Edtoral de la Unversdad Tecnológca Naconal ervacón Apromada Ing. Jorge J. L. Ferrante Colaboradores Lc. Maro Blas Regner Ing. Carlos Kruovs Facultad Regonal General Paceco- U.T.N. epartamento de Cencas Báscas Undad ocente Básca Matemátca - - - - O - Edtoral de la Unversdad Tecnológca Naconal edutecne ttp://www.edutecne.utn.edu.ar edutecne@utn.edu.ar [Coprgt] La Edtoral de la U.T.N. recuerda que las obras publcadas en su sto web son de lbre acceso para nes académcos como un medo de dundr el conocmento generado por autores unverstaros pero que los msmos edutecne se reservan el dereco de autoría a todos los nes que correspondan.
PRÓLOGO En aplcacones de cenca e ngenería resulta necesaro apromar numércamente el valor de dervadas de dstnto orden. En ísca una tabla de valores espaco tempo dará velocdades apromadas s a través de esos valores se puede apromar la dervada prmera. Algo smlar ocurre para calcular apromadamente la aceleracón del movmento. Estmar el error en una apromacón polnómca de grado n requere el cálculo apromado de una dervada de orden n. Este cálculo puede ser necesaro al comeno en el medo o al nal de una tabla de valores. Los casos son smlares pero su tratamento es aca delante en un caso centrado en el otro aca atrás en el últmo. Estos eemplos smples no oscurecen la más mportante utlacón de las apromacones numércas a las dervadas. Esa poscón la ocupa sn lugar a dudas su aplcacón a las ecuacones derencales ordnaras o en dervadas parcales para resolver el problema de valores ncales /o de contorno medante métodos numércos. Las técncas desarrolladas para acerlo requeren de las apromacones a las dervadas para obtener solucones de ecuacones derencales medante métodos eplíctos o mplíctos. Un capítulo de esta sere estará dedcado al tema. En este trabao se presentan esas apromacones medante derencas ntas. Se ace un uso mportante de métodos smbólcos que smplcan notablemente los procedmentos teórcos correspondentes con posbles o cas seguros rudos para algún pursta. Como sempre el Lc. Maro Blas supo aportar sus conseos sobre algún tema el Ing. Carlos Kruovs realó con su abtual solvenca dedcacón una revsón general de métodos epuestos los eemplos que se ncluen. Ing. Jorge J. L. Ferrante PROFESOR CONSULTO
ERIVACIÓN APROXIMAA I APROXIMACIÓN POR COCIENTE E IFERENCIAS El concepto de límte permte pasar en orma elegante precsa a la dencón de dervada de una uncón en un punto smplemente dcendo que s este el límte del cocente ncremental ese límte es por dencón la dervada de la uncón en el punto. Se escrbe entonces ndstntamente d d lm lm d d se enata que la dervada en un punto es un número. e nmedato se calculan las dervadas de uncones elementales en un punto en partcular o en uno genérco. Con estas últmas se obtenen las uncones dervadas tambén se deducen las reglas de dervacón aplcables a una enorme amla de uncones /o combnacónes de las msmas. En general aplcando sstemátcamente esas reglas cualquer uncón o combnacón de uncones pude dervarse. Hasta la más complea sn nnguna aplcacón posble en problemas de ngenería. Sn embargo a otra clase de problemas donde estas reglas no pueden aplcarse. Por eemplo: Una uncón denda por un gráco tal ve obtenda de un regstrador automátco. En este caso resulta necesaro aplcar la nterpretacón geométrca de la dervada en un punto traando por el msmo la correspondente tangente luego medr su pendente como cocente de segmentos que deben ser meddos en la escala del gráco o como ángulo que tambén debe ser meddo.
Como el traado de la tangente a una curva en un punto conlleva un grado de ncertdumbre mportante dependente de la abldad /o la vsta del operador resulta muco más práctco utlar un espeo en lo posble rectangular- apoándolo de canto en el punto en que se busca la apromacón de la dervada. El espeo se gra alrededor de un ee vertcal asta que la curva del papel la releada en el espeo no presenten quebre alguno en el punto de contacto. En esa poscón el lado del espeo marca la normal a la curva. Se la traa luego una perpendcular a ella en el punto en estudo da la tangente con muca menos ncertdumbre. El cálculo contnúa como se a dco mdendo segmentos o ángulo. Una uncón dada por una tabla de valores tal ve detectados cada t segundos. Este es el caso más recuente. etectores automátcos toman señales en lapsos predetermnados conormándose as una tabla de valores equespacados cuo tratamento analítco es necesaro. En todo lo que sgue en este trabao se consdera una stuacón de este tpo aunque es posble encontrar epresones que aproman las dervadas para pasos no constantes con las complcacones del caso. Una uncón desconocda cuas dervadas orman parte de una ecuacón derencal. Esta es la aplcacón más mportante de las derencas ntas sobre todo cuando se trata de resolver problemas de contorno o ecuacones derencales en dervadas parcales. Es en este tema donde el problema analítco se transorma en un sstema de ecuacones lneales o en un algortmo que permte r la solucón de un problema de la ísca matemátca que evolucona en el tempo avanando paso a paso meor sería decr tempo a tempo Naturalmente aparecen problemas de convergenca establdad de las solucones cuo análss es necesaro pero ellos no nvaldan la potenca del método de las derencas ntas. En todos estos casos es necesaro aplcar métodos numércos para obtener una apromacón aceptable de la dervada.
Obvamente el más sencllo de todos para obtener una apromacón de la dervada prmera es calcular el cocente ncremental con lo cual se podrá escrbr: sendo necesaro elegr el valor. Por supuesto se comete un error ese error está relaconado con la eleccón del valor. 7 Por eemplo la uncón en tene una dervada. La sguente tabla muestra la apromacón alcanada para dstntos valores de APROXIMACIÓN E. 9-...-....-....-....9-.9...97-.97...7-.7..... 8 Naturalmente estos cocentes ncrementales tenen un error que se puede epresar de la sguente orma aceptando que dco error es uncón del paso o ncremento e
9 Para obtener una estmacón de ese error se utla un desarrollo en Sere de Talor alrededor del punto obtenéndose e!!... e!!... Tomando en cuenta solamente el nntésmo de maor orden puede decrse que esta apromacón tene un error O Obsérvese que en el eemplo desarrollado la dervada segunda de la uncón utlada es constante e gual a de donde e como se ve en la tabla. e la msma orma en que se utló el cocente ncremental del párrao se puede escrbr recordando que s el límte este es únco La msma uncón anteror en aproma su dervada con esta epresón según la sguente tabla - APROXIMACIÓN E. -..... -..7. -..97.7 -..8.87 -.79..97
... -.879..987 -.977..987 -.99.999.9999 En este caso por la uncón eemplo elegda las apromacones son por deecto. Para analar el error se requere calcular e esarrollando en Sere de Talor el sustraendo de cocente ncremental se tene...!!! e Tomando el nntésmo de maor orden puede armarse que e O. ebe observarse el sgno negatvo compararse con la epresón encontrada en el párrao 9 precedente.... En el caso en estudo por ser resulta se nsste en este caso O - como puede verse en la tabla anteror. Se debe ser mu prudente en el cálculo de estas apromacones porque en determnado momento los problemas numércos prevalecen dstorsonan los resultados. Obsérvese que en los dos casos presentados el numerador está consttudo por una sustraccón cuos mnuendos sustraendos son cada ve más prómos entre s dando lugar a una operacón cuo resultado puede estar aectado de un enorme error relatvo como se a señalado en el capítulo ARITMÉTICA E t ÍGITOS. Como eemplo de lo epresado se consdera la dervacón de la uncón arctan en. A medda que los valores de dsmnuen la apromacón meora pero s se los sgue acendo cada ve más pequeños
los resultados en lugar de meorar empeoran. Se parte de - se lo reduce un % en cada paso de cálculo. A partr del paso Nº el cocente comena a dar valores mu dstntos al que debería ser / Nº Cocente Error.E-.8 -.7E-7 8.E-7. -.9E-7.9E-7. -.9E-7.79E-7. -9.98E-8.8E-7. -7.7E-8.E-7.7 -.9E-8 7.E-7.8 -.77E-8 8.79E-7.9 -.889E-8 8.E-7. -.9E-8.9E-7. -.998E-8...78E-.97 -.989.E-..978.E-..8978.9E-.77.77.8E-.989.7787.E-.797.977.7E-.8778.87 II IFERENCIAS EN AVANCE O IRECTAS EN RETROCESO 7 En la apromacón tratada en los párraos a está o debería estar claro que el punto en que se busca la dervada apromada es el punto que las nuevas ordenadas que se consderan para ormar el cocente ncremental corresponden a abscsas que están por delante del punto.... naturalmente el paso es constante.
8 e la msma orma la apromacón obtenda en párraos a se logra medante abscsas que están por detrás del punto - - - - - 9 Las prmeras se denomnan derencas en avance o drectas las segundas derencas en retroceso. Se las smbola respectvamente se representan para un punto genérco S el conunto en el que está denda la uncón cua dervada debe ser apromada corresponde a un conunto nto de n elementos del tpo { } { } n n...... al que le corresponden las ordenadas { } { } n n...... es decr el conunto de pares ordenados { } n Resulta oportuno un cambo de nomenclatura acendo... Con lo cual resulta
Consderando a los símbolos como operadores se pueden demostrar las sguentes propedades para ellos a a ± ± Y a a ± ± es decr son operadores lneales. Además se puede calcular análogamente con pacenca se lega a donde los coecentes responden al bnomo de Newton. ebe tenerse presente que lo anteror NO consttue una demostracón ormal de la propedad epresada. Smplemente es una
presentacón eurístca eurístca: RAE En algunas cencas manera de buscar la solucón de un problema medante métodos no rgurosos como por tanteo reglas empírcas etc. que conorma que puede ser rgurosamente demostrada. Análogamente se pueden demostrar las propedades anterores para el operador de derencas en retroceso: Y de nuevo con pacenca Una orma útl para ver derencas drectas en retroceso es medante la sguente tabla: - - - - - - - - - - - - - - - -
Por eemplo tomando la uncón sguentes valores e. se tenen los - 99 877-99 7978-997 9777-998 977-999 887 98 8788 979 77799 798 7987 Aplcando los coecentes correspondentes a las derencas en avance resultan los sguentes valores: 888 988 9E- III EL OPERAOR e la msma orma en que se an dendo los operadores puede denrse el operador medante la sguente propedad d [ ] d
es decr es un operador que aplcado a una uncón dervable da como resultado su dervada. Para este operador se cumple que [ ] I [ ] [ ]... n [ ] n... Y por supuesto tambén es un operador lneal se a eco I operador dentdad. IV IFERENCIAS EN AVANCE O IRECTAS 7 Tomando nuevamente la derenca en avance recordando el sgncado de la nomenclatura utlada se puede escrbr IV...!!!! Utlando el operador puede escrbrse [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] I! Con lo cual en orma puramente operaconal queda I!!! I!!!! 8 Llevando este valor a la epresón!!!...!...
I I I.!!!!.!!!!.!!!! recordando el desarrollo en sere de e puede ponerse en orma smbólca e ando un paso más dentro del trabao smbólco que se está desarrollando puede escrbrse e 9 Se a encontrado una epresón smbólca que relacona las derencas en avance con las dervadas de la uncón en el punto. ebe señalarse con mámo énass el carácter smbólco de la epresón encontrada que NO se obtene smplcando. Sn embargo es etremadamente útl. espeando tomando logartmos desarrollando en sere de potencas se puede escrbr... ln e Medante esa operatora puede escrbrse por eemplo como apromacón de la dervada prmera. S se toma el prmer térmno de la sere se llega a la epresón apromada con que comenó este trabao.
Agregando un térmno más se obtene... 7 - VI V IV Con lo cual el error es... 7 -... 7 - O e VI V IV VI V IV Agregando un térmno más la apromacón es Puede demostrase que el error en este caso es O El cálculo de las derencas en avance es sencllo s se utla una tabla como la sguente K X Y - - - X Y - - - X Y - - - X Y - - - X Y - - - ----- ---- ----- ----------- n- n- - n- n- X n- Y n- n- n - n- n n Y n
Por eemplo para la uncón ln en [] se tene K X Y - - -...9 -.899...9.87 -.98...8.8 -.9.8...78 -....7.899 -.....8 -.9...7. -.7.7 7.7.8.78 -.9.8 8.8.8778.7 -.7 9.9.8.9..97 ado que se a tomado. la prmera apromacón de. es gual a 9 con O. S se toman dos térmnos resulta.999 con O con tres térmnos la apromacón es.999 con O Estas apromacones se obtenen calculando:.9...9.9.899.999..9.8988..999 Obsérvese que en este caso es. Las sucesvas cada ve más precsas apromacones de la dervada prmera pueden tabularse en uncón de las ordenadas contadas a partr de la correspondente al índce consgnando los coecentes por los que deben ser aectadas dca ordenadas para la apromacón deseada.
O Y Y Y Y Y - - - - 8-9 - 8 - - Volvendo al eemplo del párrao se calcula en orma apromada la dervada prmera de la uncón en estudo Cálculo por epresón Prmera dervada apromada Prmera dervada por cálculo analítco 88878 8.9 89999 8.9 89 8.9 89 8.9 Para el cálculo apromado de dervadas de orden superor se toman las potencas sucesvas de la epresón ln
obtenéndose de esta orma las sguentes epresones se aclara que el desarrollo de las sucesvas potencas ue realado tomando MATHEMATICA como máquna de calcular. e otra orma la tarea es tedosa propca a errores 7 7......... 7 Reemplaando las sucesvas potencas de por su valor en uncón de etc se obtenen los sguentes coecentes O Y Y Y Y Y Y - - - - - - 8 - - - - - - - 8 Aplcando estos coecentes a las ordenadas de la tabla ncluda en el párrao se tene:
Orden de dervacon Cantdad de térmnos de la sere Apromada según tabla Cálculo analítco ervada segunda Uno 9878 9878 ervada segunda os 987877 9878 ervada tercera Uno.887978.88 ervada tercera os.898.88 ervada cuarta Uno.9989. ervada cuarta os.9999. Obsérvese como meora la apromacón cuando se consderan dos térmnos de la sere. El costo de esta meoría es maor cantdad de cálculo. V IFERENCIAS EN RETROCESO 8 Al trabaar con derencas en retroceso se tene Recordando la nomenclatura en uso se puede poner!!!!... I [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]!!!!... I!!!!... [ ] e onde se a trabaado como antes en orma smbólca. 9 Reemplaando en e e
Resulta en orma smbólca e e donde e Tomando logartmos queda... ln e donde nalmente.. ln e esta epresón resulta para el cálculo de la dervada prmera apromada en algún punto que tenga otro precedente El error e en el prmer caso es [ ]...!!!..!!!! O e
en el segundo 7 e... O Para el tercer caso puede demostrarse que e O e la msma orma en que se construó una tabla para las derencas drectas o en avance se puede construr una tabla para las derencas en retroceso. Resulta lo sguente: K X Y - - - - - - X Y X Y - X Y - - X Y - - - ----- ---- ----- ----------- ---------------- ------------------ n- X n- Y n- n- n- - n- n- n- - n- n- n- - n- n n Y n n n - n- n n- - n- n n - n- La tabla de derencas en retroceso para la uncón ln resulta K X Y....9.9..8.87 -.898...87 -.98...7.78 -.9. -.9...8999 -..89 -..8..7.8 -.. -.9. 7.7.8. -.9. -..8 8.8.8778.78 -..7 -.9.7 9.9.8.7 -.9.7 -.7...97.9 -.77.7 -.8.
La apromacón de la dervada prmera en. es.9.9..77.9.99..77.7.9.. Para el cálculo de dervadas de orden superor se toman potencas sucesvas de la epresón ln. Y se obtene 7... 8 7 7 8 9... 7 7 7 97 8... Que permten calcular la dervada segunda tercera cuarta En las sguentes tablas se consgnan los coecentes correspondentes a cada una de las ordenadas que ntervenen en el cálculo. O Y - Y - Y - Y - Y - Y - -
- - - -8 - - - - - Con el msmo eemplo anteror se calculan aora las dervadas segunda tercera cuarta aplcando derencas en retroceso. Orden de la dervada Cantdad de térmnos de la sere Apromada según tabla Analtca ervada segunda Uno 97797797 9878 ervada segunda os 9878 9878 ervada tercera Uno.7778.88 ervada tercera os.8978.88 ervada cuarta Uno.888977. ervada cuarta os.7998. VI IFERENCIAS CENTRALES En párraos anterores se an vsta órmulas que dan apromacones a las dervadas tomando en cuenta puntos stuados eclusvamente a la dereca del punto consderado o puntos stuados eclusvamente a la querda del msmo. Las prmeras ueron tratadas como derencas en avance o drectas las segundas como derencas retrospectvas. Va de suo que las prmeras son aptas para apromar dervadas al prncpo de un ntervalo o de una tabla de valores equespacados que las segundas lo son para el nal de la msma. 7 Cuando la apromacón de las dervadas se busca en puntos nterores al ntervalo consderado se utlan las denomnadas derencas centrales
tomandose en cuenta para ello puntos stuados a ambos lados del punto consderado 8 Para tratarlas resulta convenente dar por conocda la uncón en puntos soporte como se lo a eco en el caso de las derencas en avance retrospectvas- en los puntos medos de cada uno de los subntervalos dendos por dos consecutvos de ellos. -/ - -/ / / 9 Con esta nomenclatura las derencas centrales se denen como: es decr como la derenca entre el valor stuado a la dereca del punto consderado menos el valor stuado a la querda en la mtad del paso Sendo...!!!! IV e...!!!! IV Es nmedato que e donde como prmera apromacón de la dervada prmera se puede tomar...!!! V
El error correspondente a esta apromacón es e! V!... O que es de un orden superor al correspondente a las derencas en avance en retroceso. Obsérvese que esta apromacón corresponde a tomar como apromacón de la dervada prmera en el punto a la pendente de la secante que une los puntos / / -/ -/. Es oportuno recordar el Teorema del Valor Medo del Cálculo erencal para aprecar la meora que se alcana con las derencas centrales rente a las drectas en retroceso. Las derencas centrales sucesvas se denen como
la derenca central tercera como VII PROMEIAOR Para elmnar valores en puntos racconaros que aparecen en el cálculo de derencas centrales mpares se utlan las derencas promedo para ello se utla el operador promedador ρ que se dene ρ Entonces la prmera derenca central promedo es ρ Tomando en cuenta desarrollos de Talor a eectuados se puede escrbr e e ρ e donde nuevamente en orma smbólca s e e ρ Puede entonces escrbrse sempre en orma smbólca s ρ esarrollando en sere de potencas el seno perbólco se tene
... ρ que da la derenca central promedo en uncón de las dervadas sucesvas de la uncón 7 espeando el argumento del seno perbólco desarrollando en sere de potencas se obtenen la sguente epresón... 7 7 nn arcs ρ ρ ρ ρ ρ en la que aparecen potencas mpares del operador promedador ρ. 8 Para smplcar estas potencas es necesaro encontrar una relacón entre el operador promedador ρ el operador derenca central. Para ello se calcula ρ ρ ρ ρ ρ ρ Por otra lado se calcula Resulta Sendo guales los segundos térmnos de ambas epresones los prmeros tambén lo serán. Entonces ρ
en orma puramente smbólca ρ 9 Volvendo al desarrollo en sere de potencas luego de un mu mportante trabao algebraco se escrbe 7 9 9 ρ... 8 Tomando uno o más térmnos de la sere se obtenen apromacones cada ve meores a la dervada prmera Elevando al cuadrado la epresón anteror se tene como apromacón a la dervada segunda 8 7 9... Elevando al cubo se tene como apromacón a la dervada tercera 7 9 7 9 ρ... 8 elevando a la cuarta potenca se obtene la apromacón a la dervada cuarta 8 7 7 7 8... Por eemplo tomando un solo térmno de la epresón de párrao 9 se tene
ρ ρ ρ ρ el error en este caso es... 8 9 9 7 ρ e Tomando los dos prmeros térmnos de la epresón consderada se tene 8 8 ρ ρ ρ el error será... 8 9 9 7 ρ e Hacendo lo msmo para la dervada segunda tercera cuarta se obtenen los coeccentes que guran en la sguente tabla para las ordenadas que rodean al punto consderado.
O Y - Y - Y - Y Y Y Y - -8 8 - - 9 - -9 - - - - 8-7 7-9 7-7 - - 8-8 - 8 - - - - -9-9 - Para estas derencas centrales se construen tablas como la sguente K X Y 7 8 9 Para el eemplo que se vene desarrollando resulta
K X Y 7 8 9........7.8.9...9.8..7..7.8.87787.8.97.8.7.....778.. -.879 -.9 -.9 -.7977 -.78 -.97 -..79..879.9.8 -.8 -. -.9.7 7 Contnuando con la uncón e con. en se obtenen por cálculo medante derencas centrales los sguntes valores para las dervadas prmera segunda tercera cuarta Orden de la dervada Apromada según tabla Analtca ervada prmera 8997 8.9 ervada prmera 898 8.9 ervada prmera 89 8.9 ervada segunda 987879 98.78 ervada segunda 9877 98.78 ervada segunda 9877 98.78 ervada tercera.8798.8.8 ervada tercera.879.8.8 ervada cuarta.877.. ervada cuarta.8..
IIX ERIVACIÓN PARCIAL A contnuacón se trata el tema de apromacón de dervadas parcales de uncones de dos varables ndependentes. Se utlarán eclusvamente derencas centrales para aprecar correctamente los valores que ntervenen en el cálculo se utlará la sguente grlla para el cálculo en el punto Para el cálculo apromado de las dervads parcales prmeras se aplcan los sguentes epresones ebendo ser observado que el paso constante según es que según es 7 Estas msmas dervadas pero con errores de orden o están dadas por 8 8 8 8 -- -- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - I I - - - -
8 Las dervadas segundas estan dadas por 9 La sguente plantlla puede ser aplcada sobre un retculado acendo concdr el cuadrado central con el punto obtenéndose en los cuadrados sombreados los coecentes por los que se deben multplcar las ordenadas correspondentes para obtener una apromacón a la dervada segunda cruada multplcada por - - 7 El caso común del Laplacano
Se resuelve apromando las dervadas parcales con las epresones del párrao 8. Resulta as S se ace resulta Esta últma epresón queda sntetada en la sguente plantlla donde como antes el cuadrado central corresponde al punto - O 7 Plantllas como estas pueden allarse para dervadas /u operadores de otros órdenes tanto en coordenadas cartesanas ortogonales como oblcuas coordenadas polares otras según la naturalea del problema a resolver generalmente una ecuacón derencal en dervadas parcales o un sstema de ecuacones en dervadas parcales. 7 Por eemplo las sguentes plantllas dan la apromacón de de respectvamente:
- - - - O - - - - - -77 - - -77 8-77 - O - -77 - - - -
BIBLIOGRAFIA CONSULTAA º Análss Numérco. Rcard Burden ouglas Fares Grupo Edtoral Iberoamercano º Análss Numérco S.. Comte Carl de Boor Mc Graw Hll º Cálculo Numérco Fundamental B P emdovc I A Maron Paranno º Numercal Metods N S Bavalov MIR º Matemátca Aplcada para Ingeneros Físcos Hstórco R Zürmul Labor S A º Análss Numérco Maro Salvador Melvn Baron CECSA