138 Límite funcional y continuidad 4.5. Ejercicios resueltos 4.5.1 Estudie la eistencia de los siguientes ites y calcule su valor o los valores de los ites laterales correspondientes, cuando eistan: + 6 4 + ( + sen(1/)) + sen(1/) Solución: Numerador y denominador de + 6 son funciones continuas por lo que, salvo que de lugar a indeterminación, el ite coincide con 4 el cociente entre los ites de numerador y denominador. En este caso ambos son cero y se produce la indeterminación. Pero al tratarse de polinomios que se anulan para=, el teorema de Fubini garantiza que ambos son divisibles por, asi que, para cada se tiene la igualdad + 6 4 = ( )( + 3) ( )( + ) = ( + 3) ( + ) y ahora es claro que + 6 = 5 4 4. Para el caso tenemos otra vez una indeterminación. De nuevo + podemos dividir numerador y denominador por. Pero, ahora /, que es lo que se conoce como «signo de», es la funciónσdefinida por y entonces se tiene mientras que + 1 si>0 σ() = 1 si<0 + = 1 + + 1 = 1 + = 1, + 1 = 1. Así pues, el ite no eiste aunque eisten los ites laterales. (+sen(1/)) = + (sen(1/)), pero este ite no eiste porque tomando las sucesiones convergentes a cero definidas por n = 1/(nπ) y n = 1/(nπ +π/) se verifica que (sen(1/ n)) = 0 1 = (sen(1/ n n n )). 138
4.5 Ejercicios resueltos 139 Por último en el caso de el numerador tiene ite cero + sen(1/) y el denominador no tiene ite. A pesar de ello eiste el ite buscado y vale 0 ya que 0 + sen(1/), al ser 1 + sen(1/) 3 1 y si también es y por tanto el ite es 0. + sen(1/) = 0 + sen(1/) = 0 4.5. Estudie el dominio y la continuidad de las siguientes funciones. f() = sen 1 g() = (1 +)n 1 h() = log(1 +) log(1 ) Solución: Haciendo uso de la continuidad de ciertas funciones que hemos ido estableciendo en los ejemplos y de los resultados sobre operaciones con funciones continuas podemos afirmar: 1) La función f está definida inicialmente para cualquier R\{0}. Además como la función es continua tambien lo son (por producto de continuas) y 1/ si 0 (por cociente de continuas) y al ser continua la aplicacióny seny también lo es (por composición de continuas) la función sen(1/) si 0. Así que, finalmente, la funciónf es continua (por producto de dos continuas) en su dominio. Qué ocurre en=0? En principiof no está definida, pero podríamos plantearnos si eiste f() y de eistir prolongar la función f que ya es continua en R\{0} haciendo f(0) := f(). Pero como el seno es una función acotada, se tiene que f() = sen(1/) = 0. ) La funciónges un cociente de polinomios y, por tanto, es continua (por cociente de continuas) en todos los puntos en los que el denominador no se anule, que en nuestro caso es R\{0} siendo este el dominio inicial parag. En cambio en = 0 numerador y denominador se anulan: podemos dividir ambos poryetender el dominio deg a todo R, definiendog(0) = g() a tal fin hacemos uso de la ecuación ciclotómica (a n+1 b n+1 ) = (a b)(a n +a n 1 b + +ab n 1 +b n ) 139
140 Límite funcional y continuidad y tenemos que ((1 +) 1)((1 +) n + (1 +) n 1 + + 1) g() = = ((1 +) n + (1 +) n 1 + + 1) =n + 1 debido a que hayn + 1 sumandos cada uno de los cuales tiene ite 1. 4.5.3 Qué se puede decir de una función real continua que sólo toma valores racionales? Solución: Seaf : R R continua tal quef() Qpara todo R. Comof es continua si eistieran 1, R de modo, quef( 1 )<f( ), entonces, por la propiedad de los valores intermedios, f debe tomar todos los valores del intervalo [f( 1 ),f( )] pero en ese intervalo hay puntos que no son racionales y f sólo toma, por hipótesis, valores racionales, por tanto, es imposible que eistan dos puntos en los que el valor def sea diferente. Dicho de otro modo,f es constante. 140
4.5 Ejercicios resueltos 141 4.5.1. Propuestos 4.1) Determine los dominios de definición y los puntos de discontinuidad de las funciones: f() = [] f() = [] f() =e 1 ( 1) f() = [ ] f() = sen( 1) f() = α cos(α/) si 0 f() = 1 0 si = 0 4.) Calcule los siguientes ites ordinarios (o laterales): a n a n a 1 3 1 1 ( 3 3 + 1 ) h 0 3 +h 3 h π 4 1 tg cos 0 ( sen 1 1 cos ) ( 4 1)( 5 1) sen 1 ( 3 1)( 6 1) 0 +1 a (a ) tg π a 0 6 4+e 1 0 sen 1 e 1 +1 π 1 + tg ( ) +1 1 1 1+sen 1 sen 1 0 6 4 3 +1001 sen 1 1001 + +1 sen +sen 1 n 1 m 1 + + ( 3 3 +1+ 3 8 3 +) 3 4.3) Demuestre que las siguientes ecuaciones tienen solución: sen 5 = 0 7 + 13 + + sen = 1. Apóyese en el grafismo y en el comando interpolate de Maima para calcular las soluciones aproimadas de estas ecuaciones. 4.4) Seanf,g : [a,b] R dos funciones continuas tales quef(a)<g(a) y g(b)<f(b). Pruebe que la ecuaciónf() =g() tiene solución en [a,b]. 4.5) Seaf : [0, 1] [0, 1] una función continua. Pruebe que la ecuaciónf() = tiene solución en [0, 1]. 4.6) Un escalador parte, a la salida del sol, para conquistar la cima de una montaña. Tras varios intentos en que asciende y desciende consigue conquistar 141
14 Límite funcional y continuidad finalmente la cima a la puesta del sol. Pasa la noche en la cumbre y, a la salida del sol, empieza el descenso por el mismo camino, llegando a la base también a la puesta del sol. Pruebe que a una misma hora de los dos días se encontró en la misma altitud. 4.7) Pruebe que sif : R R es una función continua con f() = + f() = 1, entoncesf tiene un máimo o un mínimo absoluto en R. 4.8) Seaf : (a,b) R una función continua tal que eisten los ites a +f(), b f() y son finitos. Demuestre quef es uniformemente continua en (a,b). 4.9) Discuta, en cada caso, la continuidad uniforme eni def :I R. f() =e 1,I = (0, 1); f() = cos( ),I = R; f() = sen( ),I = R; f() = log( + sen 1 ),I = [1, + ); f() = sen,i = R; f() = (1 + sen),i 1 = [0, + ); f :I R monótona continua y acotada. 4.10) Si [y] denota la parte entera del número real y, estudie los siguientes ites [] 0 y [1 0 ] 4.11) Seaf : [a,b] [a,b] una función continua tal que eiste una constante 0<k<1 de modo que f() f(y) <k y. Consideramos la sucesión ( n ) n definida a partir de un punto arbitrario 1 [a,b] por la fórmula n+1 =f( n ). Pruebe que la sucesión ( n ) n tiene ite. Si denotamos con z dicho ite, pruebe que se verificaf(z) =z y que además sólo eiste una solución de la ecuación f() =. 14