Tem 3 Trignmetrí elementl pln. 1. Intrduión L plr Trignmetrí deriv de ls ríes griegs gnis (ángul) y metrn (medid). El prefij tri se refiere que ls figurs plns gemétris más simples, y demás ls más utilizds tnt en ls desrrlls teóris m en muhs pliines, sól pseen tres ánguls: sn ls triánguls. En est leión únimente se estudirán triánguls trzds en el pln y n lds retilínes. Pr tnt, estms hlnd de Trignmetrí pln. Fue el mtemáti Lenhrd Euler (1707-1783), quien nsideró l Trignmetrí pln m un rm independiente de ls Mtemátis, desligándl de l Astrnmí de psiión, que utiliz l Trignmetrí esféri pr efetur áluls sre ls psiines de ls strs en el firmment. En estrit lógi históri, l Trignmetrí esféri ls nids rdends gegráfis ltitud y lngitud, que tn hitules sn hy dí en ls llizines medinte GPS, en sus diverss vrintes- es nterir l Trignmetrí pln.. Ánguls plns y su medid Pr menzr, drems un definiión de ángul pln, y tmién indirems óm medirl. Cund un semirret, sin slir del pln en que está trzd, gir pivt lrededr de su rigen, l que llmrems vértie del ángul, se die que gener, desrie rre un ángul, uy mgnitud indi uánt h gird l semirret. L direión de l semirret ntes de iniir su gir define el ld iniil del ángul, y l que lnz l terminrl, su ld finl. Si l semirret gir en sentid ntrri l de ls gujs del relj, el ángul desrit se nsider psitiv y si gir en el sentid de ls gujs del relj, negtiv (ver l figur djunt). L definiión nterir de ángul es stnte lr pr ánguls pequeñs y psitivs, sin emrg n es pertiv en l reltiv l mgnitud, pues n die óm her rrespnder l rrid gemétri un númer, su medid. Pr ejempl, el mvimient pdrí nluir n l psiión finl de l semirret igul l iniil, n l que se tendrí que un vuelt mplet pdrí interpretrse m un ángul n medid nul. 41
Cm en el presente tem se trjrá n ánguls tnt psitivs m negtivs y de mgnitud ritrri, se preis finr lg más en ls definiines. Supngms que el vértie de un ángul up el entr de un irunfereni, y quedémns sól n ls trms segments de semirret que representn rdis de l irunfereni. Pdems llmr ángul entrl est nstruión gemétri. Ahr y se puede signr un medid l ángul entrl: Es l lngitud del r que une ls extrems de ls rdis que l definen. Hy ds uestines imprtntes plnteds pr est definiión: En primer lugr, usnd vris irunferenis néntris, l medid del ángul resultrí diferente l medirl sre d irunfereni. Sin emrg, l lngitud del r es prprinl l rdi, pues l lngitud ttl de l irunfereni es π r, sí que tmrems m medid del ángul l rzón iente entre l lngitud tenid y el rdi de l irunfereni sre l que se midió. Así, l medid del ángul n dependerá del rdi de l irunfereni usd en su mediión. Éste es un ejempl de ntidd dimensinl. Segund. Si el ld finl del ángul inidier n el ld iniil trs un vuelt mplet, y pdems dr l vuelt mplet un medid distint de er: Serí l lngitud ttl de l irunfereni, y l dividirl pr el rdi, resultrá igul l ntidd dimensinl π r = π. r Ls ánguls uy medid, según el métd nterir, está entre 0 y π, se llmn ánguls guds, y si entre π π y π, ánguls tuss. Ls ánguls n medids y π, respetivmente, sn ls ánguls rets y llns. L mediión de ulquier mgnitud neesit un unidd deud. Pr medir lngitudes pueden emplerse metrs, yrds, et, y pr medir ánguls se usn hitulmente m uniddes el grd y el rdián. 4
.1. Sistem sexgesiml Este métd nsiste en supner dividid l irunfereni en 360 prtes igules, ls grds, usds pr medir ánguls entrles. El grd se sudivide, su vez, en 60 minuts, y el minut en 60 segunds. Es hitul enntrr ests medids en l rdends gegráfis de ls GPS, en expresines tles m 8 06' 7'' ( 8 grds, 6 minuts, 7 segunds).. Sistem irulr Este sistem el más utilizd en ls Mtemátis teóris- tm m unidd el r uy lngitud se igul l rdi de l irunfereni l que pertenee. Tl r se llm rdián. Cn ests uniddes, el ángul que r un irunfereni mplet mide 360 ó π rdines, m y se indió un p más rri, unque sin usr l π plr rdián. Así pues, ls ánguls guds miden mens de rdines, ien, mens de 0 90, y sí suesivmente..3. Cmis entre ms sistems y us de ls misms Aunque ls luldrs ientífis freen l psiilidd de trjr n ls ds sistems de medid, es nveniente expliitr el mi de rdines grds y vievers. Así, tendrems: π rdines = 360 360 180 ( ) ( ) 1rdián = = π π 360 = π rdines = π = π 360 180 1 rdines rdines Ejempl: Operines n ánguls en el sistem sexgesiml. Sól hy que tener en uent que l perr n minuts segunds, vees será neesri tener en uent si ls ntiddes sn myres que 60: Dds ls ánguls α = 53 0'31'' y β = 41 35'44'', lulr:. α + β. α β + 53 0' 31'' 41 35' 44'' = = 94 55' 75'' 5 94 6' 15'' 53 0' 31'' es igul á 5 79' 91'' 41 35' 44''restnd hr: 41 35' 44'' qued 11 44' 47'' 43
. 3 γ = 3 (53 15'31'') = 159 45' 93'' = 159 46' 33 ' Ejempl: Expresr en rdines ls siguientes ánguls: 330º, 1º, º 30 Grds: 330 º 1 º º 30 ' Rdines: 330 π = 5, 76 1 π = 8, 73 10 3. 5 π = 0, 397 180 180 180 Ejempl: Expresr en grds ls siguientes ánguls: Rdines: 7π 0π 4 1 6 9 π Grds : 180 7 180 7 180 π = = 10 0π = 40 9, 18 18, 4 π 6 6 π 9 Ejempl: Usr frines deimles de grds y psrls minuts y segunds. Se tiene que: 3,5 = 3 grds y (0,5 60) minuts = 3 30' Y tmién que: 4,51 = 4 grds y (0,51 60) minuts = 4 grds y 30, 6 minuts = 4 grds y 30 minuts y (0, 6 60) segunds = 4 30'36'' 3. Ds prpieddes fundmentles L primer es que l sum de ls tres ánguls de ulquier triángul pln es 0 180. L demstrión se s en ls prpieddes de ls ánguls determinds pr un ret que rt trs ds rets prlels, según se ve en l figur. N insistims quí en ls detlles, invitnd l letr servr detenidmente el diuj. L segund se refiere que en un triángul retángul (est es, un de uys 44
0 π ánguls mide 90 ó rdines ), el udrd nstruid sre l hiptenus (el myr de ls lds) tiene l mism áre que l sum de ls udrds nstruids sre ls trs ds lds (ls tets). El resultd segund se ne m Terem de Pitágrs. Un demstrión gráfi viene dd en l figur siguiente, dnde h, et, sn ls representines simólis de ls áres de ls udrds. Est demstrión es de rigen hin, y se nen más de tresients demstrines diferentes del Terem 4. Rznes trignmétris y sus nmres En l práti st n estudir únimente l medid de ánguls guds, m se verá más delnte en ls ejeriis. Cnstruyms un ángul entrl gud y medinte un sistem de rets prlels perpendiulres l ld iniil frmems vris triánguls retánguls semejntes, m se ve en l figur de l págin siguiente (se llm triánguls semejntes ls que tienen extmente ls misms ánguls) que permiten estleer ls siguientes dens de igulddes, definidrs de ls rznes trignmétris uys nmres figurn entre préntesis: PM OM OP OM PM OP OP PM OM OP OM PM = P M tet puest = = OM hiptenus = sen α (sen) = OP tet dyente = = OM hiptenus = s α (sen) = P M tet puest = = OP tet dyente = tg α (tngente) = OP tet dyente = = PM tet puest = t α (tngente) = OM hiptenus = = OP tet dyente = se α (sente) = OM hiptenus = = PM tet puest = se α (sente) 45
M M M M α O P P P P Se verifi que: Ls rznes tenids dependen sól del ángul α, y n del triángul retángul nret usd pr su álul. Ls nmres de ls rznes sn ls siguientes: Sen de un ángul gud, es l rzón entre el tet puest l ángul y l hiptenus del triángul retángul frmd n dih ángul. Csen, l rzón entre el tet dyente l ángul y l hiptenus. Tngente, l rzón entre ls tets puest y dyente del triángul retángul definid pr dih ángul. Ctngente, el reípr de l tngente. O se, 1 tngente. Sente, el reípr del sen. Csente, el reípr del sen. 5. Fórmul fundmentl de l Trignmetrí pln L sum de ls udrds del sen y del sen de un mism ángul es igul l unidd. α En efet, se α un ángul gud ulquier y frmems un triángul retángul tl m se ve en l figur nterir. Aplind ls definiines de sen y sen de un 46
ángul, se tiene que: senα = sα = Elevnd l udrd ms igulddes y sumnd, quedrá: + α + α = sen α + s α = + = = = 1 sen s 1 Puede verse que es un s prtiulr del terem de Pitágrs. 6. Funines trignmétris 6.1. Definiines Cm d vlr α del ángul le rrespnde tr pr d un de ls rznes indids, ésts resultn ser funines del ángul α, nids m funines trignmétris gnimétris. Según l definiión de ls rznes trignmétris m ientes de lngitudes, pree que siempre deerín ser númers psitivs. Sin emrg, en l práti es nveniente que, pr indir ls psiines reltivs de punts y figurs plns, se utilien tmién vlres negtivs pr ls rznes. Diujnd uns ejes de rdends y djudind un sign ls segments trzds sre ells prtir del rigen, qued dividid el pln en utr udrntes, hitulmente llmds I, II, III, y IV: II: sen +, s - + sen (vertil) I: sen +, s + III: sen -, s - sen (hrizntl) IV: sen -, s + En l figur se hn representd ds ánguls de diferentes udrntes n ls signs de sus sens y sens, de ls que se deduen ls de ls demás rznes trignmétris. Tmién es nveniente ser rener el spet de ls funines trignmétris, est es, óm vrín n el ángul. Se tienen ls gráfis que se muestrn. 47
6.. Representión gráfi de ls funines trignmétris sen x, en grds (izq) y rdines (der) 1 1 0.5 0.5-300 -00-100 0 100 00 x 300-0.5-6 -4-0 x 4 6-0.5-1 -1 s x, representd en grds (izq) y rdines (der) 1 1 0.5 0.5-300 -00-100 0 100 00 x 300-0.5-6 -4-0 x 4 6-0.5-1 -1 tg x ( vees, tn ) x representd en grds (izq) y rdines (der) 30 0 10 30 0 10-300 -00-100 0 100 00 x 300-10 -0-30 -6-4 - 0 x 4 6-10 -0-30 48
4. Apliines: reslver triánguls retánguls En generl, reslver un triángul es lulr ls elements del mism (lds y ánguls) und se tienen dts sufiientes pr ell. Ntems que sn seis ls elements de un triángul, y que n es neesri drls tds pr determinr el triángul. Ls ss extrems sn: Dds ls tres lds, ls demás elements quedn determinds 1, mientrs que si se dn sól ls tres ánguls, es impsile determinr ls lds. Un triángul retángul qued pr mplet determind pr ds de sus elements, siempre que n sen ds ánguls, y pr lulr ls restntes elements, será neesri ner ls relines que lign d element desnid n ls dts dispniles. γ β α En l suesiv representrems pr αβγls,, medids de ls ánguls de un triángul, y pr,,, ls medids de ls lds respetivmente puests ls ánguls. 1. Pr ser mplementris ls ánguls guds de un triángul retángul, tenems l siguiente relión entre ls ánguls: β + γ = 90. El terem de Pitágrs ns drá + =. 3. Cm nseueni inmedit de ls definiines trignmétris, tenems: Pr el tet : senβ = ien = senβ sγ = ien = sγ Pr el tet : senγ = est es = senγ s β = est es = s β 1 Siempre que stisfgn l ndiión de que ulquier ld se menr que l sum de ls trs ds y myr que l difereni. Hn de sumr 180 grds, lr está. 49
Opernd un p más, un tet result ser igul l prdut del tr tet pr l tngente de ángul puest l primer ( pr l tngente del ángul dyente). Pr el tet : tn β = de dnde = tn β t γ = de dnde = t γ Pr el tet : tn γ = lueg = tn γ t β = lueg = t β Cn ls fórmuls hllds se puede reslver un triángul retángul ulquier, puest que d fórmul relin l sum tres elements (ds dts y un inógnit). Pueden presentrse utr ss psiles: 1.- Dts: l hiptenus y un ángul. Ánguls Lds α = 90 nid β nid = senβ γ = 90 β = s β.- Dts: un tet y un ángul que n se el ret. Anguls Lds Anguls Lds α = α = senβ senγ β nid nid β nid = senβ γ = 90 β = s β γ = 90 β nid 3.- Dts: l hiptenus y un tet. 4.- Dts: ls ds tets. Anguls Lds α nid β = 90 γ = sγ γ; sen γ =, est es, γ = rsen nid 50
Anguls Lds α = + β ; tn β = β = rtn nid γ = 90 β nid Ejempls 1.- Reslver el triángul retángul en el que un ángul mide 60º y el tet dyente este ángul mide 4. 60º =4 β 90º Sluión: Bst ver l figur pr pder esriir l que sigue. tet s 60 = hiptenus 4 0.5 = = 8 tet sen 60 = hiptenus 0.866 = 8 = 6.98 y evidentemente, β=30º Tmién se pdrí her heh us del terem de Pitágrs ien de l relión, tet puest tg 60 =, pr tener l mism sluión. tet dyente 51
.- Reslver el triángul retángul si l hiptenus mide 9 y un tet mide 4. γ =9 =4 β 90º Pr el terem de Pitágrs: Pr tr ld 9 = 4 + = 81 16 = 65 = 8.06 sen β = 4 sen β = 9 β = rsen 0.44 = 6.38º γ = 90 β = 90 6.38 = 63.6º 5