10. VIBRACIONES EN SISEMAS CON N GRADOS DE LIBERAD 10.1. Matrces de rgdez, nerca y amortguamento Se puede demostrar que las ecuacones lneales del movmento de un sstema dscreto de N grados de lbertad sometdo a pequeños desplazamentos, con coordenadas generalzadas representadas por el vector q de dmensón N 1, se pueden escrbr como Mq + Cq + Kq = f (9.14) donde M, C y K son matrces de tamaño N N y se denomnan matrces de nerca, amortguamento y rgdez, respectvamente. Las matrz M es smétrca y postvo defnda. La matrz K tambén es smétrca pero puede ser postvo defnda o postvo semdefnda. La matrz C no goza, en general, de nnguna de las propedades anterores. Ejemplo 10.1-1 Obtener las ecuacones del movmento e dentfcar las matrces de masas, rgdez y amortguamento para el sstema de dos grados de lbertad de la Fgura 10.1. x 1 x k 1 k k 3 f 1 (t) f (t) c 1 m 1 c m c 3 Fgura 10.1. k 1 x 1 k (x -x 1 ) k (x -x 1 ) k x.. m 1 x 1 f 1 (t).. m x. c 1 x 1.. c (x -x 1 ).. c (x -x 1 ). c x Fgura 10.. Para hallar las ecuacones de este sstema, basta con aplcar las ecuacones de equlbro a cada una de las dos masas. La Fgura 10. muestra los dagramas de sóldo lbre, con todas las fuerzas actuantes. Sumando las fuerzas e gualando a cero se llega a: mx 1 1 + cx 1 1 c( x x 1) + kx 1 1 k( x x1) = f1( t) m x + c x x + c x + k x x + k x = f t ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 Alejo Avello, ecnun (Unversdad de Navarra).
40 Cap. 10: Vbracones en sstemas con N grados de lbertad Reordenando térmnos, estas dos ecuacones se pueden poner de forma matrcal como m1 0 x 1 c1 + c c x 1 k1 + k k x1 f 1( t) + + = 0 m x c c + c3 x k k + k3 x f () t Identfcando con la ecuacón (9.14), las matrces M, C y K resultan ser: M m1 0 c1 + c c k1 + k k = 0 m C = = c c + c K 3 k k + k3 10.. Vbracones lbres de sstemas no amortguados Partcularzando la ecuacón (9.14) para el caso de las vbracones lbres ( f= 0) en sstemas no amortguados (C=0), se tene Mq + Kq = 0 (9.15) sujeto a las condcones ncales q( 0 ) = q 0 y q ( 0 ) = q 0.De forma análoga a lo que se hzo en el caso de las vbracones con un grado de lbertad, asummos una solucón armónca de la forma st ( t) = e q A (9.16) donde A es un vector de ampltudes. Susttuyendo la ecuacón (9.16) en la (9.15), resulta: ( s ) st M+ K Ae = 0 (9.17) Puesto que n A n st e pueden ser nulos, ya que s no obtendríamos la solucón trval nula, se deduce que ( ) s M+ K A = 0 (9.18) 10..1. Frecuencas naturales Para calcular los valores de s y A, debemos resolver la ecuacón (9.18), que representa un problema de valores y vectores propos generalzado. Como es sabdo, esta ecuacón tene solucón dstnta de la trval nula s y sólo s la matrz de coefcentes es sngular o, lo que es lo msmo, s su determnante es nulo. s M+ K =0 (9.19) Se puede demostrar que s la matrz M es postvo defnda y K es postvo defnda o postvo semdefnda, todos los valores propos s son reales y negatvos o nulos. Por ello, para manejar cantdades postvas es costumbre realzar el cambo de varables s = ω (9.130) que equvale a s =±ω (9.131) Alejo Avello, ecnun (Unversdad de Navarra).
Cap. 10: Vbracones en sstemas con N grados de lbertad 41 Con este cambo, la ecuacón (9.19) se converte en K ω M =0 (9.13) con valores propos ω1, ω,, ωn postvos o nulos. A las raíces cuadradas de estos valores se les denomna frecuencas naturales del sstema. 10... Modos de vbracón Asocado con cada valor propo obtener de la ecuacón ( ) ω hay un vector propo de dmensón N, que se puede K ω M A = 0 (9.133) Este sstema de ecuacones homogéneo tene una matrz de coefcentes que es sngular, por lo que tene solucón dstnta de la trval nula. Esta solucón no trval, con módulo ndetermnado, se obtene dando valor arbtraro a una de las componentes del modo de vbracón y calculando el resto. Estos vectores propos recben el nombre de modos de vbracón. La solucón general a las vbracones lbres se puede escrbr como una combnacón lneal de las solucones de la forma dada por la ecuacón (9.16) encontradas. Es decr, ω1t ω1t ωnt ωnt () t = 1( β 1 e +β ) ( ) 1 1 e + N β N e +β 1 N e q A A (9.134) donde las constantes β se puede obtener a partr de las condcones ncales. Se puede demostrar fáclmente que esta ecuacón puede tambén escrbrse medante funcones armóncas smples de la forma q t = B A cos ω t ψ + B A cos ω t ψ (9.135) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 donde, de nuevo, las constantes B y N N N N ψ se determnan de las condcones ncales. Como se puede ver en la ecuacón (9.135), la respuesta a las vbracones lbres es una combnacón lneal de los modos de vbracón. Cada coefcente vene dado por una funcón armónca desfasada cuya frecuenca de vbracón es, precsamente, la frecuenca de vbracón correspondente al modo. 10..3. Propedades de los modos de vbracón Ortogonaldad de los modos de vbracón Una propedad de gran mportanca en el estudo de las vbracones es la ortogonaldad de los modos. Gracas a ella, podemos desacoplar las ecuacones del movmento convrténdolas en N ecuacones dferencales ndependentes por medo del cambo de varables conocdo como transformacón modal que veremos más adelante. Basándonos en la ecuacón (9.133), partcularzada para las frecuencas naturales ω, ω y sus modos correspondentes A y A, podemos escrbr j j Alejo Avello, ecnun (Unversdad de Navarra).
4 Cap. 10: Vbracones en sstemas con N grados de lbertad =ω KA MA (9.136) j =ωj j KA MA (9.137) Premultplcando la ecuacón (9.136) por el vector (9.137) por el vector A transpuesto, obtenemos j =ω j A j transpuesto y la ecuacón A KA A MA (9.138) j =ωj j A KA A MA (9.139) Restando ambas ecuacones térmno a térmno y tenendo en cuenta que tanto M como K son smétrcas, obtenemos ( ) j j ω ω A MA = 0 (9.140) S ω y ω j son valores propos dstntos, conclumos que A MA j = 0 para j (9.141) A MA j 0 para = j Es decr, los vectores propos asocados con valores propos dstntos son ortogonales respecto a la matrz de masas. Debdo a que la matrz de masas es postvo defnda queda garantzado que el producto A MA no es nulo excepto en el caso en que A sea nulo. Por ello, podemos escrbr A MA j = 0 para j (9.14) A MA j = m para = j donde m es un térmno escalar, postvo y constante. Los modos de vbracón tambén son ortogonales respecto a la matrz de rgdez. La prueba es evdente a partr de la ecuacones (9.138)-(9.139) y de la ecuacón (9.14), lo que conduce a A KA j = 0 para j (9.143) A KA j = m ω = k para = j sendo k otro térmno escalar, postvo o nulo y constante. Independenca lneal de los modos de vbracón La propedad de ortogonaldad recén vsta se puede utlzar para probar que los modos de vbracón son lnealmente ndependentes. Como es sabdo, el conjunto de vectores A1, A,, AN es lnealmente ndependente s la relacón c1a1 + ca + + c N A N = 0 (9.144) se cumple sólo cuando las constantes c 1, c,..., c N son nulas. Premultplcando la ecuacón (9.144) por A M resulta Como cm= 0 (9.145) m es dstnto de cero, se concluye que c = 0 (9.146) Alejo Avello, ecnun (Unversdad de Navarra).
Cap. 10: Vbracones en sstemas con N grados de lbertad 43 es decr, los vectores son lnealmente ndependentes. Probando la ortogonaldad de los modos de vbracón hemos asumdo que los valores propos ω y ω j eran dstntos. En algunos casos partculares pueden aparecer valores propos repetdos. En un problema de valores propos general, los vectores propos asocados con valores propos repetdos pueden ser ndependentes o no serlo. Supongamos un valor propo ω r con multplcdad s, de manera que ωr, ωr+ 1,, ωr+ s 1 son guales. S todos los demás vectores propos son ndependentes entre sí, el rango de la matrz K ω r M es gual a N-s, y se puede demostrar que el sstema de ecuacones ( r ) K ω M A = 0 (9.147) r tene s solucones no trvales Ar, Ar+ 1,, Ar+ s 1 que son lnealmente ndependentes. En el caso de que el rango de la matrz fuese superor a N-s, esta propedad no se verfcaría. Afortunadamente, se puede demostrar que s las matrces M y K son reales y smétrcas, como ocurre en el caso de los sstemas mecáncos, los vectores propos asocados a valores propos repetdos son lnealmente ndependentes. Ejemplo 10..3.-1 Calculemos las frecuencas y modos de vbracón del ejemplo 10.1-1 para los valores m1 = m = 1Kg, c 1 = c = c 3 = 0 y k 1 = k = k 3 = 1N/m. Partcularzando, las ecuacones del movmento para el caso de las vbracones lbres, resulta: 1 0 x 1 1 x1 0 + x = 1 x 0 Las frecuencas naturales se calculan de la ecuacón característca dada por la ecuacón (9.13), que para este caso es 1 1 0 4 ω =ω 4ω + 3= 0 1 La solucón a esta ecuacón bcuadrátca es 4± 1 ω = = 3 de manera que ω 1 = 1 y ω = 3. Para calcular el prmer modo de vbracón, partcularzamos la ecuacón (9.133). Para el prmer modo, la ecuacón se converte en 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 = = A 1 1 A 0 Dando arbtraramente a la prmera componente de A 1 el valor de 1, resulta 1 A 1 = 1 Análogamente, para el segundo modo podemos escrbr 1 1 0 1 1 0 3 1 = = A 1 1 A 0 Alejo Avello, ecnun (Unversdad de Navarra).