ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo, cuado las fucioes preseta propiedades especiales como la periodicidad, que los poliomios o posee, o so los mejores aproximates. E este tema, cosideraremos otros desarrollos e serie más adecuados para fucioes periódicas. 3. Series trigoométricas. Defiició 3. Llamamos serie trigoométrica a ua serie de fucioes reales, de la forma f (x) = (a cos x + b se x) = a 0 + (a cos x + b se x), 3. y deotaremos por S(x) = f (x) a la fució suma de la serie e su cojuto de covergecia. Observació 3. Las fucioes f (x) = a cos x + b se x, so periódicas de periodo π, por tato, S(x) es ua fució periódica de periodo π. 3.. Las series trigoométricas e modo complejo. Usado los úmeros complejos, como e ix = cos x + i se x, se tiee que e ix + e ix e ix e ix a ib S(x) = a 0 + a + b = a 0 + e ix + a + ib e ix i [] a = a 0 + ib e ix a + +ib e ix co la covergecia de ambas y reidexado, podemos escribirlo e la forma c 0 = a 0 = c e ix dode c = a ib, si > 0 3. c = c, si < 0 []: Si las dos series siguietes coverge. Como a +ib e ix = a ib e ix ambas coverge o o simultáeamete. Proposició 3.3 Sea S(z) = c e iz, co c 0 = a 0, c = a ib, si > 0, y c = c, si < 0, siedo a, b IR. Etoces, si z = x IR se tiee que S(z) = S(x) IR. Demostració: Es claro, pues etoces S(x) puede expresarse como 3. que es ua serie real. eoría de variable compleja. 54
3. Series trigoométricas. Proposició 3.4 Las series uméricas sólo si, la serie Además, la serie a y c e ix coverge absolutamete e IR. c e ix coverge uiformemete e IR. b so absolutamete covergetes sí, y Demostració: } a Es imediato ya que, para cada IN, se tiee b c e ix = c a + b. Como la acotació aterior es válida para todo x IR, el criterio M de Weierstrass asegura la covergecia uiforme e IR. Proposició 3.5 La fució real S(x) = 3., es π -periódica. c e ix, co las codicioes idicadas e Demostració: E efecto, para todo x IR, S(x + π) = c e i(x+π) = c e ix e iπ = c e ix = S(x). 3.. Itegració de ua serie trigoométrica. Supogamos que la serie trigoométrica S(x) = el itervalo [, π]. Etoces, c e ix es uiformemete covergete e S(x) dx = c e ix dx = c e ix dx = c e ix dx + c 0 dx + c e ix dx e ix ] π e ix ] π = c + c 0 π + c = 0 + c 0 π + 0 = πc 0. i i Por tato, si m 0, se tiee que e imx S(x) dx = = = m m c e i( m)x dx c e i( m)x dx + 0 + πc m + =m+ E cosecuecia, para todo Z, se tiee que c m dx + 0 = πc m. =m+ c e i( m)x dx c = S(x)e ix dx. 3.3 π eoría de variable compleja. 55
3. Series de Fourier luego Desde el puto de vista real, para cada IN, se tiee que a ib = c = π a 0 = π S(x) dx a = π S(x)e ix dx = π S(x) cos x dx i π S(x) cos x dx b = π S(x) se x dx, S(x) se x dx. 3.4 De lo aterior, es claro que los coeficietes de ua serie trigoométrica está ítimamete ligados co la fució suma. Así, asociada a cada fució real periódica se puede costruir ua serie trigoométrica asociada (siempre que se pueda calcular las itegrales ateriores). 3. Series de Fourier Defiició 3.6 si f es ua fució real π -periódica, tal que existe las itegrales de 3.3 (o de 3.4 ), etoces la serie se llama serie de Fourier de f. c e ix = a 0 + (a cos x + b se x) Pero, bajo qué codicioes ua fució periódica es expresable mediate su serie de Fourier? Es decir, cuádo ua fució periódica coicide co su serie de Fourier? Defiició 3.7 Ua fució f: [a, b] IR se dice moótoa a trozos si se puede dividir el itervalo e u úmero fiito de subitervalos, de forma que sea moótoa e cada uo de ellos. eorema 3.8 Si ua fució real f π -periódica es moótoa a trozos y acotada e [, π], etoces la serie de Fourier de f coverge e todos los putos de IR. Además, si S(x) es la suma de la serie de Fourier, se tiee que S(c) = f(c) si f es cotiua e c y lim f(x) + lim f(x) x c + x c S(c) = = f(c+ ) + f(c ) si f o es cotiua e c. Nota: Es claro que si la fució es moótoa por trozos y acotada e el segmeto [a, b], etoces puede teer sólo putos de discotiuidad de primera especie, es decir de salto fiito, por lo que tiee setido el valor que toma la serie e los putos de discotiuidad. Ejemplo 3.9 Sea f: IR IR co f(x + π) = f(x) para todo x IR y siedo f(x) = x cuado x (, π]. La represetació gráfica de f es: 5π 3π π 3π 5π eoría de variable compleja. 56
3. Series de Fourier La serie de Fourier de f tiee por coeficietes c 0 = π x dx = 0 y, para > 0, } u = x c = π = π = xe ix dx = dv = e ix dx ( ) πe iπ i ()e i() 0 = i i cos π = () i. : du = dx v = e ix i π πi = π ( e iπ + e iπ) = i Como a 0 = c 0 = 0, a = Re(c ) = 0 y b = Im(c ) = () moótoa creciete e (, π], por el teorema 3.8 aterior, la serie S(x) = () + se x xe ix ] π e ix i π i dx e iπ + e iπ = ()+, y f es coverge e (, π] (por la periodicidad e todo IR). Además, S(x) = x e (, π) y e π se tiee S(π) = f(π+ )+f(π ) = ()+π = 0. Fig. 3.. Aproximacioes de f(x) k= () k+ k se kx, para =,, 3, 4. 3.. Fucioes de periodo arbitrario Si f es ua fució -periódica, > 0, tambié puede costruirse su serie de Fourier y los resultados correspodietes so aálogos a los ateriores. Para ello, basta tomar x = π y, obteiédose ( ) f(x) = f π y = g(y) 3.5 ua fució g que será π -periódica. Si f es moótoa a trozos e [, ] tambié lo será g e [, π]. Proposició 3.0 Sea f real -periódica y moótoa a trozos e [, ]. Etoces, la fució g(x) = f( π x) es: 3. periódica de periodo π, y 3. moótoa a trozos e [, π]. Demostració: eoría de variable compleja. 57
3. Series de Fourier 3. E efecto, ( ) g(x + π) = f π (x + π) = f []: Por ser -periódica la fució f. ( ) π x + [] ( ) = f π x = g(x) 3. Sea [, ] = [, t ] [t, t ] [t m, ] y f moótoa e cada uo de los [t k, t k ]. Etoces, tomado [, π] = [, π t ] [ π t, π t ] [ π t m, π], e cada itervalo de la forma [ π t k, π t k] la fució g tiee la misma mootoía que f e [t k, t k ]. E efecto, para cualesquiera x y x co π t k x x π t k, se verifica que g(x ) = ( ( f π ) x y g(x ) = f π ) x, pero como t k π x π x t k será g(x ) g(x ) ó g(x ) g(x ) segú que f sea moótoa creciete o decreciete e [t k, t k ]. Como cosecuecia, de los resultados ateriores, si f e -periódica, usado la fució g costruida e 3.5, se tiee f(x) = g(y) = c e iy = c e i π x dode c = π = g(y)e iy dy = π ( ) f π π y e iy π dy = y = x π i f(x)e x dx. E su versió real os queda: f(x) = a 0 + a cos( π x) + b se( π x) co π dy = dx } = π i f(x)e x π π dx a 0 = f(x) dx a = b = Ejemplo 3. Sea f ua fució -periódica, co f(x) = x e [, ]. La represetació gráfica de f es: f(x) cos( π x)dx f(x) se( π x)dx. 3.6 5 3 La serie de Fourier de f tiee por coeficietes c 0 = c = = iπ = x π i e x u = x dx = dv = e iπx dx (e iπ e iπ) + iπ } u = x dv = e iπx dx : du = dx v = e iπx iπ : du = xdx v = e iπx iπ 3 5 } xe iπx dx = se(π) π = 0 + iπ xe iπx iπ = π (e iπ ()e iπ ) + 0 = cos(π) π = () π. x dx = 3 = ] x e iπx iπ + iπ iπ y, para > 0, ] xe iπx dx e iπx iπ dx xe iπx iπ dx eoría de variable compleja. 58
3. Series de Fourier Como a 0 = c 0 = 3, a = Re(c ) = () 4 y b π = Im(c ) = 0, y f es moótoa creciete e (, ], por el teorema 3.8 aterior, la serie S(x) = 3 + coverge e [, ] y S(x) = x e [, ]. () 4 π cos(πx) Fig. 3.. Aproximacioes de f(x) 3 + k= () k 4 k π cos(kπx), para = 0,,, 3. Si ua fució es -periódica, para calcular c es obligatorio usar el itervalo [, ]? Dada la periodicidad de las fucioes parece razoable pesar que o, pues la fució toma los mismos valores e cualquier itervalo del tamaño del periodo, y el siguiete resultado os asegura que o es así. Lema 3. Sea f ua fució -periódica e itegrable, etoces f(x)dx = λ+ λ f(x) dx, para todo λ IR. Demostració: Por ser f periódica de periodo, se tiee que f(t ) = f(t), luego haciedo el cambio x = t, etoces c, d se puede escribir d c f(x)dx = d+ c+ f(t )dt = E particular, si c = y d = λ, obteemos λ f(x)dx = luego f(x)dx = para todo λ IR. λ d+ c+ λ+ f(t)dt = f(x)dx, d+ c+ f(x)dx. λ+ λ+ f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx, λ λ λ Ejemplo 3.3 Sea f ua fució -periódica tal que f(x) = x e (0, ]. Como = y la expresió de f e el itervalo [, x +, si x [ ] es f(x) =, 0] x, si x (0, ], si el resultado aterior, los coeficietes se obtedría calculado c = ( 0 ) (x + )e iπx dx + xe iπx dx, mietras que c = xe iπx dx 0 permite u cálculo más secillo. Comprobar la igualdad de ambas expresioes y obteer la serie de Fourier. 0 eoría de variable compleja. 59
3. Series de Fourier 3.. Desarrollo de ua fució o periódica e serie de Fourier. Sea f: [a, b] IR ua fució cualquiera moótoa por trozos. Podemos represetar esta fució f e los putos de su cotiuidad por ua serie de Fourier, si cosideramos ua fució f periódica de periodo b a, moótoa por trozos y que coicida co la fució f e el itervalo [a, b]. Etoces, desarrollado la fució f (x) e la serie de Fourier, la suma de esta serie e todos los putos del segmeto [a, b] (excepto e los de discotiuidad) coicide co la fució dada f, lo que sigifica que hemos desarrollado f e serie de Fourier e el itervalo [a, b]. Ejemplo 3.4 Desarrollar e serie de Fourier la fució f(x) = x e el itervalo [, ]. Podemos itetarlo de dos maeras: Cosiderar g que sea 3 -periódica co g(x) = x e (, ]. 5 5 7 4 5 Por ser g moótoa por trozos y 3 4 -periódica, coicide co su serie de Fourier S(x) = c e i 4π 3 x e (, ), pero o e los putos de discotiuidad y dode la serie vale S( ) = S() = + = 3 4. Si cosideramos h que sea -periódica co h(x) = x e [, ], se tiee que f(x) = h(x) e [, ] 5 3 3 5 y, por ser h cotiua, coicide co su serie de Fourier S(x) = c e iπx e todo IR, luego h(x) = S(x) e IR y, e particular, f(x) = c e iπx e [, ]. 3... Casos particulares. Proposició 3.5 E la expresió real de la serie de Fourier ( 3. ) de ua fució par solo puede apararecer los térmios de los coseos y e la de ua fució impar solo puede aparecer los térmios de los seos. Demostració: Sea f(x) = c e i πx, co c = c, etoces: Si f es par se verifica que f( x) = f(x), es decir, f( x) = c e i π( x) = luego c = c y para, c = a c e i π( )x = c e i πx = IR. Es decir, f(x) = a 0 + c e i πx a cos( πx ). = f(x) eoría de variable compleja. 60
3.3 Ejercicios Si f es impar debe ser f( x) = f(x). Como e el apartado aterior, f( x) = c e i π( x) = c e i πx = f(x) = c e i πx luego c = c de dode c = i b iir. Es decir, f(x) = b se( πx ). Ejemplo 3.6 La fució usada e el ejemplo 3., f(x) = x e [, ] es par, pues f( x) = ( x) = x = f(x), y su serie de Fourier obteida S(x) = 3 + cos(πx) sólo () 4 π está formada por térmios de coseos. La fució del ejemplo 3.9, f(x) = x e [, π] es impar, pues f( x) = x = f(x), y su serie de Fourier S(x) = se(x) sólo está formada por térmios de seos. () + Sea f(x) dada e el itervalo [0, ]. Completado la defiició de esta fució de modo arbitrario e el segmeto [, 0] (coservado la mootoía por trozos), podemos desarrollar esta fució e la serie de Fourier. No obstate: Si completamos la defiició de modo que f(x) = f( x) si x < 0, obteemos ua fució par. Etoces esta fució se desarrolla e la serie de Fourier de forma que solamete cotiee coseos. De esta forma la fució f(x), dada e [0, ], la hemos desarrollado e serie de coseos. Si completamos la defiició de la forma f(x) = f( x) si x < 0, obteemos ua fució impar que se desarrolla e serie de seos. De este modo, si e el itervalo [0, ] está dada cierta fució moótoa por trozos f, podemos desarrollarla tato e la serie de Fourier de coseos, como e la serie de Fourier de seos. 3.3 Ejercicios 3. Sea f ua fució periódica de periodo π defiida de la forma siguiete f(x) =, si π < x < 0, si 0 x π. Calcular la serie de Fourier de dicha fució y utilizar dicha serie para demostrar que () + = π 4. 3. Sea f ua fució periódica de periodo π defiida por f(x) = 0, si π x 0 x, si 0 < x π. Hallar su serie de Fourier y demostrar que () = π 8 (dado x = 0). eoría de variable compleja. 6
3.3 Ejercicios 3.3 Hallar los coeficietes de Fourier para la fució f defiida por 0, si 5 < x < 0 f(x) = 3, si 0 < x < 5 sabiedo que es periódica de periodo 0. Escribir la serie de Fourier correspodiete. Cómo habría que defiir f e x = 5, x = 0 y x = 5 para que la serie de Fourier coverja hacia f(x), para todo x [ 5, 5]? 3.4 Desarrollar la fució y = e x e el itervalo (, ) e ua serie de Fourier. 3.5 Desarrollar la fució y = se x e el itervalo (0, π) e ua serie de coseos. 3.6 Desarrollar la fució y = cos x e el itervalo (0, π) e ua serie de seos. 3.7 Dada la fució f(x) = x, si 0 x π, prologarla de maera que sea par y de periodo π. Desarrollarla e serie de Fourier y aprovechar este desarrollo para demostrar que π 8 = + + + +. 3 5 7 3.8 Dada la fució: f(x) = x(π x), si 0 x π, prologarla de maera que sea par y de periodo π. Desarrollarla e serie de Fourier y aprovechar este desarrollo para demostrar que = π 6 y () + = π. eoría de variable compleja. 6