REGREIÓN NO LINEAL Ídce. CUÁNDO EXITE REGREIÓN?.... TIPO DE REGREIÓN... 3. REPREENTATIVIDAD DE LA CURVA DE REGREIÓN... 3 3.. Poder explcatvo del modelo... 3 3.. Poder explcatvo frete a poder predctvo... 3 3.3. Causaldad... 4 3.4. Extrapolacó... 4 4. REGREIÓN NO LINEAL E INFERENCIA... 4 5. LINEALIZACIÓN... 5 6. MÍNIMO CUADRADO ORDINARIO Y PONDERADO... 5 7. ETIMACIÓN DE LO PARÁMETRO CON EL MÉTODO MONTE CARLO... 5 8. ALGORITMO DE GAU NEWTON... 5 8.. El problema... 6 8.. El algortmo... 6 8.3. Otros algortmos... 6 9. REGREIÓN NO LINEAL... 7 9.. Parábola de regresó... 7 9.. Regresó hperbólca... 8 9.3. Fucó expoecal, potecal, y logarítmca... 8 0. EJEMPLO DE REGREIÓN NO LINEAL... 0 0.. Ajuste de ua fucó parabólca: Y = a + b X + c X... 0 0.. Ajuste de ua fucó potecal: Y = a X b... 0.3. Ajuste de ua fucó expoecal: Y = a b X.... RELACIÓN NO LINEAL Y NO LINEALIZABLE.... BIBLIOGRAFÍA... 5. Cuádo exste regresó? De ua forma geeral, lo prmero que suele hacerse para ver s dos varables aleatoras está relacoadas o o (de ahora e adelate se deomará X e Y, sedo Y la varable depedete, y X la varable depedete o regresora), cosste e tomar ua muestra aleatora. obre cada dvduo de la muestra se aalza las dos característcas e estudo, de modo que para cada dvduo se tega u par de valores x, y =,,,. ( )( ) egudamete, se represeta dchos valores e uos ejes cartesaos, dado lugar a u dagrama de dspersó o ube de putos. Así, cada dvduo vedrá represetado por u puto e el gráfco, de coordeadas ( x, y ). De esa forma, se podrá obteer ua prmera dea acerca de la forma y de la dspersó de la ube de putos. Al dbujar la ube de putos, se ecotrará, etre otros, casos como los que hace refereca la fgura. E prmer lugar deberá dstgurse etre depedeca fucoal y depedeca estocástca. E el prmer Y = f X (fgura d y e); es decr, los putos del dagrama de dspersó caso la relacó es perfecta: ( ) correspodete aparece sobre la fucó Y = f ( X). Por ejemplo, e d sería Y = a+ bx. embargo, suele ocurrr que o exste ua depedeca fucoal perfecta, so otra depedeca o relacó meos rgurosa o depedeca estocástca (fgura b y c). Etoces, la relacó etre X e Y, se escrbría (e el caso de la fgura b) de la forma Y = a+ bx + e, dode e es u error (o resdual), debdo por ejemplo, a o clur varables e el modelo que sea mportates a la hora de explcar el
comportameto de Y, y cuyos efectos sea dferetes a los de X ; errores aleatoros o de medda, o smplemete a que se ha especfcado mal el modelo (por ejemplo, e lugar de ser ua recta, sea ua parábola). Fgura. Tpos de relacó etre dos varables X e Y El caso de la fgura a se correspode co el de auseca de relacó, o depedeca. E la depedeca estocástca, se dstgue dos tpos de téccas: (a) Aálss de regresó; (b) Aálss de correlacó. El aálss de correlacó, tee como f dar respuesta a las pregutas: Exste depedeca estocástca etre las varables?; Cuál es el grado de dcha depedeca? E el aálss de regresó las cuestoes so: Cuál es el tpo de depedeca etre las dos varables?; Puede estmarse los valores de Y a partr de los de X? y Co qué precsó?. De modo geeral, se drá que exste regresó de los valores de ua varable co respecto a los de otra, cuado hay algua líea, llamada líea de regresó que se ajusta más o meos claramete a la ube de putos. exste regresó, se deomará ecuacó de regresó a la ecuacó que descrbe la relacó etre las dos varables. Por ejemplo: Y = a+ bx Y = a+ bx + cx E geeral, la varable X se cooce como varable depedete, y la Y como varable depedete. Evdetemete puede ser arbtraro el determar la exsteca de regresó así como el tpo de la msma, ya que depede del autor o del estado de ámo de la persoa e u mometo determado. Por lo tato, se hace ecesaros métodos estadístcos objetvos, depedetes del vestgador, para determar la exsteca o o de relacó y el tpo de la msma.. Tpos de regresó las dos varables X e Y se relacoa segú u modelo de líea recta, se habla de regresó leal smple: Y = a+ bx
Cuado las varables X e Y se relacoa segú ua líea curva, se habla de regresó o leal o curvlíea. Aquí se puede dstgur etre regresó parabólca, expoecal, potecal, etc. Cuado hay más de ua varable depedete ( X, X,, X ) habla de regresó múltple. Las varables 3. Represetatvdad de la curva de regresó, y ua sola varable depedetey, se X se deoma, regresoras, predctoras o depedetes. 3.. Poder explcatvo del modelo La curva de regresó, tee carácter de líea meda que trata de resumr o stetzar la formacó sumstrada por los datos. tee carácter de líea meda (de promedo, e deftva), deberá r acompañada sempre de ua medda que exprese su represetatvdad, es decr, de lo buea que es la curva, ya que el haber obtedo la mejor de todas o da garatías de que sea buea. e ecesta, por tato, ua medda de dspersó, que tega e cueta la dspersó de cada observacó co respecto a la curva, es decr, lo alejado que se ecuetra cada puto de la curva. Es decr, se debe evaluar esas dstacas vertcales a la curva, es decr, los errores o resduales. las dspersoes so pequeñas, la curva será u bue represetate de la ube de putos, o lo que es lo msmo, la bodad de ajuste del modelo será alta. la dspersó es grade, la bodad de ajuste será baja. Ua forma de medr dcha bodad de ajuste es precsamete evaluado la suma de los cuadrados de los errores. Por tato, se llamará varaza resdual a la expresó: e = ( y ) y = la varaza resdual es grade, el modelo será malo, es decr, la curva o explcará el comportameto geeral de la ube. La cota máxma de la varaza resdual es la varaza que se trata de explcar medate el modelo de regresó, es decr, la varaza de la varable depedete. Por tato, s más que hacer relatva la varaza resdual respecto de su máxmo valor, y multplcado por 00, se obtee el porcetaje de varacó o explcado por el modelo: e % de varacoes s explcar = 00 s E el que es fácl obteer ua medda R o coefcete de determacó que dque el porcetaje de varacó cotrolada o explcada medate el modelo. Expresado e tatos por, será: e R = s Como puede observarse, a partr de la expresó ateror: 0< R <. Por tato: R = o hay resduos: habrá ua depedeca fucoal. Cuato más se acerque dcho valor a la udad, mayor poder explcatvo tedrá el modelo de regresó. Cuato más cercao a 0 esté dcho valor, meor poder explcatvo; R = 0 etoces X o explca e absoluto gua de las varacoes de la varable Y, de modo que o be el modelo es adecuado, o be las varables so depedetes. y y 3.. Poder explcatvo frete a poder predctvo U modelo de regresó co u alto porcetaje de varacoes explcado, puede o ser bueo para predecr, ya que el que la mayoría de los putos se ecuetre cercaos a la recta de regresó, o mplca que todos 3
lo esté, y puede ocurrr, que justamete para aquel rago de valores e el que el vestgador está teresado, se aleje de la recta, y por tato, el valor predctvo puede alejarse mucho de la realdad. La úca forma de poder evaluar el poder predctvo del modelo es tras la observacó y el aálss de los gráfcos de resduales, es decr, de dagramas de dspersó, e los que e el eje de ordeadas se coloca los resduales, y e el eje de abscsas se coloca o be X, Y, o Y. ólo s la bada de resduales es homogéea, y se ecuetra todos los putos o demasado alejados del 0 (auque depede de la escala de medda), dremos, que u modelo co u alto poder explcatvo, també es bueo para predecr. 3.3. Causaldad Es muy mportate resaltar el hecho, de que u modelo sea capaz de explcar de maera adecuada las varacoes de la varable depedete e fucó de la depedete, o mplca que la prmera sea causa de la seguda. Es u error muy comú cofudr causaldad co casualdad. El hecho de que las varables esté relacoadas o mplca que ua sea causa de la otra, ya que puede ocurrr el hecho de que se esté dado ua varacó cocomtate, por el smple hecho de que las dos so causa de ua tercera. Por ejemplo, s se realza u estudo e el que se aalza el úmero de caas ( X ) y la presó arteral ( Y ) podría ecotrarse ua relacó leal cas perfecta. Eso o sgfca que el teer caas aumete la presó arteral, lo que verdaderamete está ocurredo es que es la edad, la causate, de que se tega más caas y ua tedeca a teer más alta la presó arteral. 3.4. Extrapolacó Es mportate resaltar el hecho de que al hacer predccoes, o debe extrapolarse los resultados más allá del rago de la varable X utlzado para ajustar el modelo, ya que más allá de ese rago se descooce qué puede estar ocurredo. De todos es coocdo que las platas ecesta aboo para poder crecer y que hay que aboarlas, de modo que e prcpo, cuato más aboo se les sumstre más crecerá. Pero qué ocurrría s se aboase demasado el suelo? Obvamete, morría la plata. Esto se traduce e que coforme aumeta la catdad de aboo, el crecmeto es más otable, pero a partr de u puto, la plata deja de crecer y muere, como refleja la fgura que lustra el pelgro de extrapolar los resultados. Fgura : Comparacó de ua posble verdadera relacó etre catdad de aboo y crecmeto de ua plata, co los resultados de ua recta de regresó obteda medate el estudo de u rago lmtado de valores de aboo. 4. Regresó o leal e fereca E estadístca, la regresó o leal es u problema de fereca para u modelo tpo: (, ) y = f x θ + ε 4
basado e datos multdmesoales x, y, dode f es algua fucó o leal respecto a alguos parámetros descoocdos θ. Como mímo, se pretede obteer los valores de los parámetros asocados co la mejor curva de ajuste (habtualmete, co el método de los mímos cuadrados). Co el f de determar s el modelo es adecuado, puede ser ecesaro utlzar coceptos de fereca estadístca tales como tervalos de cofaza para los parámetros así como pruebas de bodad de ajuste. 5. Lealzacó Alguos problemas de regresó o leal puede lealzarse medate ua trasformacó e la formulacó del modelo. Por ejemplo, cosdérese el problema de regresó o leal (gorado el térmo de error): y = a exp( bx) Aplcado logartmos a ambos lados de la ecuacó, se obtee: l y = l a + bx ( ) ( ) lo cual sugere ua estmacó de los parámetros descoocdos a través de u modelo de regresó leal de l ( y ) co respecto a x, u cálculo que o requere procedmetos de optmzacó teratva. De todas formas, la lealzacó debe usarse co cudado ya que la flueca de los datos e el modelo camba, así como la estructura del error del modelo y la terpretacó e fereca de los resultados, cosa que puede ser u coveetes. Hay que dstgur etre la "lealzacó" usada e los párrafos aterores y la "lealzacó local" que se adopta para algortmos cláscos como el de Gauss-Newto. 6. Mímos cuadrados ordaros y poderados e cosdera la mejor curva de ajuste aquella que mmza la suma de las desvacoes (resduales) al cuadrado (RC). Esta es la aproxmacó por el método de mímos cuadrados (MMC). embargo, e aquellos casos dode se tee dferetes varazas de error para dferetes errores, es ecesaro mmzar la suma de los resduales al cuadrado poderados (RCP) (método de mímos cuadrados poderados). E la practca, la varaza puede depeder del valor promedo ajustado. Así que las poderacoes so recalculadas para cada teracó e u algortmo de mímos cuadrados poderados teratvo. E geeral, o hay ua expresó de forma cerrada para los parámetros de mejor ajuste, como sucede e el caso de la regresó leal. Métodos umércos de optmzacó so aplcados co el f de determar los parámetros de mejor ajuste. Otra vez, e cotraste co la regresó leal, podría haber varos máxmos locales de la fucó a ser optmzada. E la práctca se supoe alguos valores cales los cuales juto co el algortmo de optmzacó coduce a ecotrar el máxmo global. 7. Estmacó de los parámetros co el método Mote Carlo el error de cada observacó es coocdo, etoces la precsó y cofabldad de los parámetros puede ser estmada medate smulacó Mote Carlo. Cada observacó es aleatorzada de acuerdo a su meda y su desvacó estádar. Co el uevo cojuto de datos, ua ueva curva es ajustada y las estmacoes de los parámetros regstradas. Las observacoes so etoces aleatorzadas y uevos valores de los parámetros so obtedos. Al fal, se geera varos cojutos de parámetros y puede ser calculadas la meda y desvacó típca. 8. Algortmo de Gauss Newto E matemátcas, el algortmo de Gauss Newto se utlza para resolver problemas o leales de mímos cuadrados. Es ua modfcacó debda a CF Gauss del método de optmzacó de Newto que o usa segudas dervadas. 5
8.. El problema Dadas m fucoes f, f,, fm de parámetros p, p,, p co m, se desea mmzar la suma: ( ) ( ) ( ) p = f p dode p se refere al vector ( p, p,, p ). = 8.. El algortmo El algortmo de Gauss Newto es u procedmeto teratvo. Esto sgfca que se debe proporcoar ua 0 estmacó cal del parámetro vector deomado p. Estmacoes posterores dode f ( f, f,, fm ) k p para el vector parámetro so producdas por la relacó recurrete: k+ k k k k k f f f ( ) ( ) ( ) ( ) p = p J p J p J p f p = y ( ) J p es el Jacobao de f e p (ótese que o es ecesaro que f J f sea cuadrada). E la práctca uca se computa explíctamete la matrz versa, e su lugar se utlza: p = p + δ k+ k k k y se computa la actualzacó de δ resolvedo el sstema leal: J p J p = J p f p k k k k k ( ) ( ) δ ( ) ( ) f f f Ua buea mplemetacó del algortmo de Gauss-Newto utlza també u algortmo de búsqueda leal: k e lugar de la fórmula ateror para p +, se utlza: dode k α 8.3. Otros algortmos es de algú modo u úmero óptmo. p = p + α δ k+ k k k La relacó de recurreca del método de Newto para mmzar la fucó es: dode ( ( )( )) ( ) p = p H p J p k+ k k k J y H( ) so respectvamete el Jacobao y Hessao de. Utlzado el método de Newto para la fucó: m ( ) ( ) ( ) p = f p se obtee la relacó recurrete: m k+ k p = p J f p J f p + f p H f p J f = p f p = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 6
e puede coclur que el método de Gauss Newto es el msmo que el método de Newto gorado el térmo f H( f ). Otros algortmos utlzados para resolver el problema de los mímos cuadrados cluye el algortmo de Leveberg Marquardt y el de desceso de gradete 9. Regresó o leal upógase que al represetar gráfcamete la correspodete la dstrbucó bdmesoal, se obtee la fgura c. e observa ua clara relacó etre las dos varables, pero claramete o leal. Por tato, deberá buscar la fucó que ha de descrbr la depedeca etre las dos varables. Estas otas se lmtará al estudo de las más utlzadas: las fucoes parabólca, hperbólca, logarítmca, expoecal y potecal. 9.. Parábola de regresó Fgura 3. E muchos casos, es ua fucó de segudo grado la que se ajusta lo sufcete a la stuacó real dada. La expresó geeral de u polomo de segudo grado es: Y = a + bx + cx dode a, b y c so los parámetros. El problema cosste, por tato, e determar dchos parámetros para ua dstrbucó dada. e segurá para ello, u razoameto smlar al que se hace e el caso del modelo de regresó leal smple, utlzado el procedmeto de ajuste de los mímos cuadrados, es decr, hacedo que la suma de los cuadrados de las desvacoes co respecto a la curva de regresó sea míma: dode y y ( ) D = y y = so los valores observados de la varable depedete, y so los valores estmados segú el modelo; Por tato, D se puede escrbr de la forma: ( ) ( x x ) = = D = y y = y a b c Para ecotrar los valores de a, b y c que hace míma la expresó ateror, se gualará las dervadas parcales de D co respecto a dchos parámetros a cero y se resolverá el sstema resultate. Las ecuacoes que forma dcho sstema se cooce, gual que e el caso de la regresó leal smple, como ecuacoes ormales de Gauss. 7
y = a + b x + c x = = = 3 x y = a x + b x + c x = = = = 3 4 x y = a x + b x + c x = = = = 9.. Regresó hperbólca Cuado la depedeca etre las varables X e Y es de forma hperbólca, teresa ajustar a la ube de putos ua fucó del tpo: b y = a + x La fucó a mmzar será: dode por tato, yˆ = a + b x, j, j=, j= ( ˆ ) j M = d = y y b M = a + y, j= x Para mmzar la expresó, se calcula las dervadas parcales respecto a los parámetros a y b, gualado a cero: M b = a + y j = 0 a, j x = M b = a + y j = 0 b, j= x x E cosecueca, las ecuacoes ormales será: b a + y j = 0 an + b = y j, j x x = = j= b y j a y j 0 a + b = + =, j x x x, j x = x = = = 9.3. Fucó expoecal, potecal, y logarítmca j El problema de ajustar u modelo potecal, de la forma reduce al de la fucó leal, co solo tomar logartmos. Y b = AX y uo expoecal Y X = A B se 8
Modelo potecal Fgura 4. e la expresó de la fucó potecal se toma logartmos, se obtee: logy = log A + blog X que es la ecuacó de ua recta Y = a+ bx, dode ahora a= log A. El problema se reduce a trasformar Y e logy y X e log X y ajustar ua recta a los valores trasformados. El parámetro b del modelo potecal cocde co el coefcete de regresó de la recta ajustada a los datos trasformados y A se obtee medate atlog ( a ). Modelo expoecal E determados expermetos, e su mayoría bológcos, la depedeca etre las varables X e Y es de forma expoecal, e cuyo caso teresa ajustar a la ube de putos ua fucó del tpo: y= exp( a+ bx). Medate ua trasformacó leal, tomado logartmos eperaos, se coverte el problema e ua cuestó de regresó leal. Es decr, tomado logartmos eperaos: l y = a + bx Y llamado Y = l y se tee Y = a + bx (regresó leal). Para smplfcar, descartado multplcdades y supoedo que cada par se repte ua sola vez, las ecuacoes ormales será: an + b x = l y a x + b x = x y = = l = = = Calculado los parámetros a y b se tee la ecuacó de la fucó expoecal: y exp( a bx) = +. 9
Modelo logarítmco Fgura 5. La curva logarítmca Y = a+ blog X es també ua recta, pero e lugar de estar referda a las varables orgales X e Y, está referda a log X y a Y. 0. Ejemplos de regresó o leal 0.. Ajuste de ua fucó parabólca: Y = a + b X + c X X Y X X 3 X 4 XY X Y Y e=y-y e,5,5,5,8 0,07 0,0049 5 4 8 6 0 0 5, -0, 0,0 3,5 9 7 8 33,75 0,5,3-0,07 0,0049 4 0 6 64 56 80 30 9,8 0,9 0,036 5 30,5 5 5 65 5,5 76,5 30,58-0,08 0,0064 Σ 5 68 55 5 979 77,5 05 68 0 0,0644 /5 Σ 3 3,6 55,5 3,6 0 0,08 Aplcado el método de los mímos cuadrados se obtee el sguete sstema de ecuacoes: Y = Na + b X + c X = = = 68 = 5a + 5b + 55c 3 X Y = a X + b X + c X 77,5 = 5a + 55b + 5c 05 = 55a + 5b + 979c X Y = a X + b X + c X = = = = 3 4 = = = = Resolvedo este sstema se obtee: a b c = 0, 47 = 0,5 =,4 Y = 0, 47 + 0,5X +,4 X 0
Bodad del ajuste Coefcete de determacó: R = 0,088 0,9998 = =,75 = Y e Y Y e N = = ECM = = 0, 088 N e 0.. Ajuste de ua fucó potecal: Y = a X b Lealzado: l l l Y = a + b X V = A+ bu X Y U=lX V=lY U UV Y e=y-y e,5 0 0,3 0 0,557-0,0057 0,0000 5 0,693,6094 0,4803,56 4,9888 0,0 0,000 3,5,0986,403,069,6590,8 0,0697 0,0049 4 0,3863,9957,95 4,530 9,8 0,799 0,034 5 30,5,6094 3,477,590 5,5006 30,90-0,40 0,60 Σ 5 68 4,7875 0,666 6,988 3,48 68,46-0,46 0,984 /5 Σ 3 3,6 0,9575,33,397,6856 3,69-0,09 0,0397 e 0 UV UV UV 5 =,6856 0,9575,33 b = = = =,990 U,397 0,9575 U U 5 = A = V bu =,33,990 0,9575 = 0, 77 e deshace el cambo efectuado: a = at l A = at l 0, 77 =, 557 De modo que el ajuste efectuado es: Bodad del ajuste Y =, 557 X,990 N = ECM 3 = = 0, 0397 N Nótese que al haber trasformado la varable depedete ya o se mmza ( ly ly ) de ahí que e 0. e e so
0.3. Ajuste de ua fucó expoecal: Y = a b X Lealzado: l l l Y = a + X b V = A+ BX e 0 X Y V=lY X XV Y e=y-y e,5 0,3 0,3,7794-0,59 0,798 5,6094 4 3,88 3,86,38,950 3,5,403 9 7,609 8,37,88 8,944 4 0,9957 6,983 8,8,8 3,34 5 30,5 3,477 5 7,088 39,45-8,95 80,0 Σ 5 68 0,666 55 39,774 7,64-3,64 95,803 /5 Σ 3 3,6,33 7,9548 4,38-0,78 9,6 XV XV 5 7,9548,33 3 B = = = = 0,7776 XV = X 3 X X 5 = A = V bx =,33 0, 7776 3 = 0,996 Deshacedo los cambos efectuados: a = at l A = at l 0,996 = 0,89 b = at l B = at l 0, 7776 =,76 Por lo que el ajuste efectuado es: Y = 0,89,76 X Bodad del ajuste N e = ECM 4 = = 9,6 N La comparacó de la bodad de modelos de regresó medate el coefcete de determacó sólo es correcta cuado la varable depedete o ha sdo sometda a trasformacoes o leales (por ejemplo, ua trasformacó logarítmca). E este ejercco, medate R sólo se puede comparar la regresó leal y la parabólca. Por eso, para comparar los cuatro ajustes efectuados se utlza el error cuadrátco medo (ECM). El mejor ajuste resulta ser el parabólco puesto que preseta el meor valor para el ECM.. Relacó o leal y o lealzable e ha vsto que los modelos leales so útles e muchas stuacoes y auque la relacó etre la varable respuesta y las varables regresoras o sea leal, e muchos casos la relacó es lealzable e el setdo de que trasformado (logartmos, versa,...) la varable respuesta y/o alguas varables regresoras la relacó es leal. embargo, exste stuacoes e que la relacó o es leal y tampoco es lealzable. Por ejemplo, s el modelo de regresó es el sguete: ( ) y = α exp α x + α x + ε 3
la fucó de regresó m( x, α) = α exp( α x + α3 x ) leal, sería u modelo de regresó o leal. La forma geeral de estos modelos es: =, + ( ) y m x α ε o es leal se puede trasformar e dode m es ua fucó que depede de u vector de parámetros α que es ecesaro estmar; ε so los errores que se supoe que verfca las msmas hpótess que el modelo leal. El estudo de los modelos de regresó o leal es muy exteso y complejo sobre el que exste ua ampla lteratura sobre el tema. Textos de refereca so los de Bates y Watts (988) y eber y Wld (989). La estmacó del vector de parámetros α se realza por el método de mímos cuadrados. Esto es, se calcula el α que mmza la fucó de la suma de resduos al cuadrado: Ψ α = y m x, α ( ) ( ) ( ) = El algortmo para mmzar esta fucó es u procedmeto teratvo que se basa e el método de Gauss Newto o e algortmos más complejos como el algortmo de Leveberg Marquard. Para aplcar estos procedmetos se parte de uos valores cales α 0 que permte car el algortmo teratvo y e cada etapa se obtee u uevo estmador ( α ) hasta obteer la covergeca segú u crtero de parada predfdo. Ejemplo e ha dseñado u expermeto para estudar la ressteca de u materal plástco que es sometdo a u proceso de caletameto costate durate u período de tempo. Para ello se ha realzado pruebas e las que se ha sometdo al materal a ua temperatura T costate durate t períodos de tempo predetermados. A cotuacó se somete el materal a uas pruebas de ressteca que se mde segú la varable Y. Los resultados de estas pruebas so los de la tabla adjuta. t Y t Y t Y 8 0 ' 49 0 ' 49 0 0 ' 48 0 ' 47 0 ' 48 0 ' 47 0 ' 46 0 ' 46 0 ' 45 0 ' 43 4 0 ' 45 0 ' 43 0 ' 43 6 0 ' 44 0 ' 43 0 ' 43 8 0 ' 46 0 ' 45 0 0 ' 4 0 ' 4 0 ' 43 0 ' 4 0 ' 4 4 0 ' 4 6 0 ' 4 0 ' 4 8 0 ' 4 30 0 ' 38 3 0 ' 4 34 36 0 ' 4 0 ' 38 38 40 0 ' 39 4 0 ' 39 3
e desea estudar la relacó de la varable ressteca Y e relacó co la varable explcatva tempo T. A la vsta del gráfco de las observacoes y por estudos realzados aterormete se supoe que la fucó de regresó es de la forma: () = α + ( 0, 49 α) exp ( α ( t 8) ) mt Para estmar este modelo de regresó se ha Utlzado el algortmo teratvo dcado, obteédose el modelo de regresó e catorce teracoes. E la teracó cal se utlzaro los valores α = 0, 0 y α = 0,30. Los resultados de las teracoes se resume e la tabla adjuta teracó α α e teracó α α e 0 0,00 0,300,574 7 0,4 0,5 0,009 0,347 0,8 0,55 8 0,395 0,3 0,006 0,445 0,53 0,050 9 0,393 0,07 0,005 3 0,403 0,359 0,09 0 0,39 0,06 0,005 4 0,4 0,368 0,06 0,390 0,0 0,005 5 0,43 0,347 0,05 0,390 0,0 0,005 6 0,45 0,03 0,0 3 0,390 0,0 0,005 4 0,390 0,0 0,005 El modelo ajustado es: el coefcete de determacó, () = 0,39 + 0,0exp( 0,0( t 8) ) mt R = 0,873, es muy alto e dca bue ajuste. E la fgura 6a se represeta la ube muestral y la curva ajustada. e observa que el ajuste es razoablemete bueo. E la fgura 6b se preseta el gráfco de resduos frete a predccoes e el que o se observa gú problema. Fgura 6. (a) Nube de putos y curva ajustada. (b) Dagrama de resduos. 4
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