COTAS Y EXTREMOS DE CONJUNTOS DE NUMEROS REALES

VALORES ABSOLUTOS Defiició: si 0 =, si < 0 = Por lo tto 0 R Teorem 2 = 2 Demostrció: si 0 2 = 2, si < 0 2 = ( ) 2 = 2 PROPIEDADES. =. = + + (desiguldd trigulr) = Teorem x x Demostrció: x x 2 2 x 2 2 x 2 2 0, resolviedo l iecució se otiee l tésis. Teorem + + Demostrció: de y, sumdo os qued ( + ) + + y por teorem terior + + Defiició: fució sigo de x = sg(x) si x > 0 sg(x) = x < 0 sg(x) = - x = 0 sg(x) = 0 etoces x = sg(x) x COTAS Y EXTREMOS DE CONJUNTOS DE NUMEROS REALES Se C u cojuto de úmeros reles Defiició: h R es cot iferior de C x C, h x. R es cot superior de C x C, x. C es cotdo iferiormete h, cot iferior de C. C es cotdo superiormete, cot superior de C. C es cotdo h y / x C, h x. M es máximo de C M es cot superior de C y M C. m es míimo de C m es cot iferior de C y m C.

Teorem El máximo y el míimo de u cojuto, si existe so úicos. Demostrció: supogmos que M y M 2 so máximos de C x C, x M y x M 2. Como M C M M 2 y como M 2 C M 2 M por lo tto M = M 2. Aálogmete pr el míimo. Defiició: Se llm extremo superior de C l míim cot superior de C. Se llm extremo iferior de C l máxim cot iferior de C. NOTACIÓN Ddos y reles, <, llmremos: Itervlo cerrdo [,] = {x R / x } Itervlo ierto (,) = {x R / < x < } Itervlo semiierto [,) = {x R / x < } Etoro de x = E x Etoro (simétrico) de x de rdio ε = E x,ε = (x-ε, x+ε) SUCESIONES DE NUMEROS REALES U fució f es u relció o correspodeci etre dos cojutos A y B (o vcíos) tl que pr cd x A, existe uo y sólo uo f(x) B. A es el domiio de l fució. B es el codomiio de l fució. Defiició: U sucesió es u fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles. Ejemplos de sucesioes: ( ) / = 2 +3 ( ) / = 2 3 2 (c ) / c = (d ) / d = Oservmos que (d ) o existe pr = 0, sí que modificremos l defiició de sucesió pr que ést (u otrs de ese tipo) exist. f es u sucesió f es u fució y 0 N / 0, f(). Ejemplo de expresioes que NO so sucesioes: (z ) / z = 5 o existe pr > 5 (y ) / y = log 0 0 o existe pr 0 2

SUCESIONES CONVERGENTES Tomemos por ejemplo l sucesió =, se puede ver que medid que tommos vlores de cd vez myores, los i, o se los térmios de l sucesió so cd vez más pequeños. Por lo que os cercmos l cero tto como quermos. 2 + Lo mismo ocurre si cosidermos ( ) / =, e l medid que umet, os proximmos l 2 tto como quermos. Diremos etoces que ( ) tiede cero [( ) 0] o que ( ) 2. Pr el primer ejemplo, tomemos u etoro de cero co rdio ε = ; l sucesió de 0 los pr los 0, perteece dicho etoro, o se que TODOS los térmios de l sucesió co 0 perteece l etoro y sólo u úmero fiito de ellos qued fuer del etoro. Culquier se el rdio elegido, siempre tedremos u úmero fiito de térmios de l sucesió que NO cumple co l codició de perteecer l etoro elegido pero tedremos ifiitos térmios (todos los resttes) que sí l cumple. Defiició: (x ) x o lim (x ) = x pr cd ε > 0, 0 N / 0, x E x,ε x-ε x x+ε x E x,ε x - ε < x < x + ε x E x,ε -ε < x x < ε x E x,ε x x < ε Teorem (Uicidd del límite) (x ) α (x ) β α = β Demostrció: supogmos que (x ) tiee dos límites diferetes o se que (x ) α y (x ) β, α β y α < β. Tomemos etoros disjutos de α y β ; lo que quiere decir que E α, ε E β, ε = α β β α Por lo tto α + ε < β - ε 2ε < β - α ε < 2 Pr cd ε que cumpl co dich codició y plicdo l defiició de límite teemos (x ) α N /, α - ε < x < α + ε (x ) β 2 N / 2, β - ε < x < β + ε Si tommos mx(, 2 ) se cumplirá que x < α + ε < β - ε < x x < x lo cul es surdo. Defiició: (x ) α R (x ) es covergete 3

SUCESIONES DIVERGENTES Tomemos (x ) / x = o (y ) / y = (-2), se puede oservr que e l medid que umet, los vlores soluto de dichs sucesioes umet. O se que x umet coforme umet. Ddo culquier R, > 0, existe 0 N / 0 se cumple que x > o y > ; esto crcteriz ls sucesioes divergetes o sucesioes que tiede ifiito. Defiició: (x ) pr cd > 0, 0 N / 0 x > (x ) + pr cd > 0, 0 N / 0 x > (x ) - pr cd > 0, 0 N / 0 -x > o x < - SUCESIONES OSCILANTES Cosideremos ( ) / = (-) Como = ( ) o es divergete, pero como tom vlores y, segú se pr o impr, tmpoco todos los térmios de l sucesió ce detro de u etoro del o del, co lo que tmpoco es covergete. A ests sucesioes que o so covergetes i divergetes ls llmremos osciltes. Defiició: si (x ) o es covergete i divergete etoces es oscilte. SUCESIONES ACOTADAS Se dice que u sucesió está cotd cudo el cojuto de todos sus térmios está cotdo. Defiició (x ) cotdo h y R / N, h x Teorem ( ) ( ) está cotd Demostrció: o se que existe h y reles tles que, h < <. Como ( ) 0 se cumple que - ε < < + ε { 0,, 2,..., 0 } es u cojuto fiito y por lo tto tiee máximo M y míimo m. Bst etoces tomr como cot iferior l meor etre m y - ε, y como cot superior l myor etre M y + ε. OBSERVACION: el recíproco del teorem es flso y que existe sucesioes osciltes que so cotds, por ejemplo (-). 4

Teorem ( ) divergete ( ) o cotd Demostrció: por surdo. Teorem ( ), > > 0 Demostrció: 0 / 0, - < ε, tomo ε = > 0, por lo tto 0 ( ) < - < ( ) + < < + < Corolrio ( ) > 0 o ( ) + > 0 0 Demostrció: álog l terior, tomdo = 0. Teorem (Sucesió compredid) ( ) ( ) (c ) 0 c Demostrció: ( ) pr cd ε > 0 N /, - ε < < + ε ( ) pr cd ε > 0 2 N / 2, - ε < < + ε Etoces mx( 0,, 2 ), - ε < c < + ε - ε < c < + ε lo que sigific que (c ) Teorem ( ) ( ) 0 Demostrció: < ε ( ) 0 < ε y por defiició de límite os qued que ( ) 0 como querímos. Criterio de covergeci de Cuchy Defiició: ( ) C pr cd ε > 0 0 N / 0 y 0, < ε 5

OPERACIONES CON LIMITES S U M A + + cotd + + + + - idet. Teorem ( ) ( ) ( + ) + Demostrció: ( + ) + p/c ε > 0 0 N / 0 ( + ) (+) < ε = ( - ) + ( ) < ε ( ) p/c ε > 0 N / < ε ( ) p/c ε > 0 2 N / 2 < ε mx(, 2 ) y sumdo miemro miemro + < 2ε por propiedd de los vlores solutos ( )+ ( ) + < 2ε =ε ε st tomr ε = y qued demostrdo. 2 Teorem ( ) + ( ) + ( + ) + Demostrció: ( + ) + p/c > 0, 0 N / 0, + > ( ) + p/c 2 > 0, N /, > 2 ( ) + p/c 2 > 0, 2 N / 2, > 2 mx(, 2 ) = 0 y sumdo miemro miemro + > 2 + 2 = No hremos estudio respecto l rest teiedo e cuet que = + ( ) Teorem ( ) (- ) - Demostrció: ( ) < ε - (-) < ε (- ) - 6

P R O D U C T O. 0 cot 0. 0 0 idet Teorem ( ) 0 ( ) cotd ( ) 0 Demostrció: ( ) 0 p/c ε > 0 0 N / 0, < ε ε ( ) 0 ( ) cotd 0, < ( ) cotd R, > 0 /, < multiplicdo miemro miemro = < ε como querímos. Teorem ( ) ( ) ( ) Demostrció: ( ) p/c ε > 0 0 N 0 < ε = + = ( ) + ( ) + < ε y vimos que cotdo por cero tiede cero y hciedo uso de los teorems sore l sum 0 cot + cot 0 qued demostrdo el teorem. Teorem ( ) ( ) 0 ( ) Demostrció: ( ) p/c > 0 0 N / 0, > como ( ) 0 > > 0 ( ) > > 0 2 (multiplicdo m..m.) ' etoces 0 = mx(, 2 ), = > > como querímos. ' 7

C O C I E N T E / 0 / 0 0 cot cot 0 0 0 idet idet Teorem ( ) 0 0 Demostrció: 0 se cumple que = = < ε < ε como ( ) 0, > > 0 si como ( ) ( ) cotd < ε si 2 ε 0 = mx(, 2 ), < = ε Teorem ( ) ( ) 0 Demostrció: = por el teorem terior y hciedo uso de los teorems sore el producto cocluímos que Teorem ( ) 0 0 Demostrció: ( ) p/c > 0 0 N / 0, > 8

= < = ε st tomr ε = E form álog si ( ) 0 0 Teorem ( ) ( ) 0 Demostrció: =. por teorems sore producto. Teorem ( ) cot do ( ) 0 Demostrció: ( ) cotdo α R / 0, < α ( ) p/c > 0 N /, > mx( 0, ) < α y >, ordedo ls desigulddes y multiplicdo m..m. teemos que < α α < = ε st tomr α = ε L O G A R I T M A C I O N No cosiderremos el cso más geerl de u sucesió de l form ( ) log porque el log teorem de cmio de se os permite escriir log = Alczrá co estudir log los csos de se costte y usr si hce flt los teorems reltivos l cociete. Se supodrá e todos los csos stisfechs ls codicioes de existeci de los logritmos. log culquier > 0 log > + + > 0 + - 0<< + - 0<< 0 + + 9

Teorem ( ) ( log ) log culquier Demostrció: ( ) log log p/c ε > 0 0 N / 0 log log = log < ε por lo tto -ε < log < ε log log < ε Si >, -ε < < ε por lo tto está e u etoro del ; ( -ε, ε ) y esto es cierto porque como ( ). Aálogo si <. Teorem ( ) + (log ) + > Demostrció: (log ) + p/c > 0 0 N / 0, log > Como ( ) + p/c > 0 0 N / 0, > p/c > 0 0 / 0, log ' ' > log st tomr / log Teorem ( ) 0 + (log ) > Demostrció: (log ) p/c > 0 0 N / 0, log < - Como ( ) 0 + p/c ε > 0 0 N / 0, 0 < < ε Por lo tto log < log -, st tomr ε - ε Recordemos que log = P O T E N C I A C I O N ( ( ) ) = log = log Co est trsformció hemos psdo de u poteci de se vrile ( ) otr de se costte (). Se presetrá tres csos de idetermició, 0, 0 0 ; e los tres csos resultrá e 0. e el expoete. 0

culquier > + + > - 0 + 0<< + 0 + 0<< - + Teorem x (x ) 0 ( ) x x Demostrció: si = = = x Si >, ( x ) < ε 0 x Etoces -ε < x < ε ε < < + ε x Si ε ε 0 < < + ε Si ε < log < x < log, como >, ε < y + ε > ε +ε ε +ε log < 0 y log > 0 es u etoro del cero y esto es cierto porque (x ) 0. Si < es álogo. Teorem ( ) ( ) Demostrció: ( ) ( ) 0 por lo tto ( = )+ = =. = por teorem terior. Teorem ( ) + ( ) + > Demostrció: ( ) + p/c > 0 0 N / 0, > ( ) + p/c > 0 0 N / 0, > ' ' Etoces 0, > st tomr log Teorem ( ) + 0 < < ( + ) 0

+ Demostrció: ( ) 0 p/c ε > 0 0 N / 0, 0 < < ε ( ) + p/c > 0 0 N / 0, > Por lo tto < st tomr ε = = log ε SUBSUCESIONES O SUCESIONES CONTENIDAS Defiició: (z ) es susucesió de (x ) o (z ) está coteid e (x ) (i ) / z = co (i ) +, i N. x i Ejemplo: dd (x ), (z ) / z = x 2, (y ) / y = x 2+ (z ) e (y ) est coteids e (x ). Teorem lim (x ) (z ) es susucesió de (x ) lim(z ) = lim(x ) Demostrció: supogmos que lim(x ) = x p/c ε > 0 0 N / 0, x - x < ε e prticulr i 0 xi x < ε y como z = x i result z - x < ε pero (i ) + p/c > 0 N /, i > Tomdo = 0, N /, i > 0 z - x < ε o se que p/c ε > 0 /, z - x < ε (z ) x por defiició. Supogmos hor que lim(x ) = p/c > 0 0 N / 0, x > e prticulr i 0 x > y como z = x result z > i Como (i ) +,, i > 0 etoces uevmete decimos p/c > 0 N /, z > (z ) por def. de límite. OBSERVACIONES: ) Si (x ) es oscilte, (z ) puede ser covergete, divergete u oscilte. (x ) / x = (-), (z ) / z = x 2 = (-) 2 = C (w ) / w = x 5 = (-) 5 es OSC (y ) / y = ( + (-) ), (p ) / p = y 2 = ( + (-) 2 ) 2 = 4 D (q ) / q = y 2+ = ( + (-) 2+ ) 2+ = 0 C 2) Si (t ) y (s ) so dos susucesioes de (x ) y lim(t ) lim(s ) (x ) es OSC E efecto si existe el lim(x ), por el teorem terior lim(x ) = lim(t ) = lim(s ) cotr lo supuesto. 3) Si (z ) es oscilte y (z ) es susucesió de (x ) (x ) OSC, pues si tuvier límite (z ) tmié lo tedrí. i 2