el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. ESTADÍSTICA La estadístca es la cenca que permte hacer estudos de grandes poblacones escogendo sólo un pequeño grupo de ndvduos, lo que ahorra tempo y dnero. Poblacón y muestra. Poblacón es el conjunto de todos los elementos objetos de nuestro estudo. Muestra es un subconjunto, etraído de la poblacón, cuyo estudo srve para nerr característcas de toda la poblacón. Indvduo es cada uno de los elementos que orman la poblacón o la muestra. Ejemplo: Un abrcante de tornllos desea hacer un control de caldad. Para ello recoge de cada 00 tornllos producdos y lo analza para llegar a la conclusón de que es CORRECTO o DEFECTUOSO. El conjunto de todos los tornllos producdos es la poblacón. Los que se analzan son la muestra. (S, por ejemplo, observa que son deectuosos el,7 % de los que analza, nerrá que, apromadamente, éste será el porcentaje de deectuosos en la poblacón). Cada tornllo es un ndvduo. Caracteres y varables estadístcas. Carácter estadístco es una propedad que permte clascar a los ndvduos de la poblacón. Pueden ser cualtatvos o cuanttatvos. Varable estadístca son los dstntos valores que toma un carácter estadístco. Hay dos tpos de varables estadístcas: - varables cuanttatvas (numércas): aquellas cuyos valores se epresan con números. - varables cualtatvas: aquellas que no se pueden epresar medante un número. Dentro de las varables cuanttatvas, tambén se puede hacer la sguente clascacón: - dscretas: aquellas que sólo pueden tomar valores aslados. - contnuas: aquellas varables que pueden tomar todos los valores de un ntervalo. Pasos para hacer un estudo estadístco.. Escoger una muestra representatva de la poblacón.. Recoger los datos. 3. Ordenar los datos. 4. Recontar las recuencas. 5. Agrupar los datos: s la varable es dscreta con un número grande de datos o es contnua, se agrupan los datos en ntervalos o clases (de la msma ampltud y cuyos puntos medos se llaman marcas de clase). 6. Representar grácamente la dstrbucón. Frecuencas absolutas y relatvas. Frecuenca absoluta de un valor es el número de veces que se repte dcho valor. Se representa. Frecuenca relatva de un valor es el cocente entre la recuenca absoluta del valor total de datos que ntervenen en la dstrbucón. Se representa h h :, sendo el número total de datos. y el número Frecuencas absolutas y relatvas acumuladas. Frecuenca absoluta acumulada de un valor es la suma de las recuencas absolutas de los valores menores o guales a. Se representa por F....
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. Frecuenca relatva acumulada de un valor valor H y el número total de datos. Se representa F es el cocente entre la recuenca absoluta acumulada del H :... h h...... Ejemplo: Un proesor tene anotadas en su cuaderno las notas de los 30 alumnos de una clase que son las sguentes: 5, 3, 4,,, 8, 9, 8, 7, 6, 6, 7, 9, 8, 7, 7,, 0,, 5, 9, 9, 8, 0, 8, 8, 8, 9, 5, 7. Ordena de menor a mayor las notas y agrupa las que sean guales ormando una tabla estadístca colocando en la prmera columna la nota y en la segunda columna el número de alumnos que tenen esa nota. Formamos la tabla estadístca para las notas del proesor: ota: º de alumnos: F h H 0 /30 /30 3 5 3/30 5/30 6 /30 6/30 3 7 /30 7/30 4 8 /30 8/30 5 3 3/30 /30 6 3 /30 3/30 7 5 8 5/30 8/30 8 7 5 7/30 5/30 9 5 30 5/30 h Datos agrupados en ntervalos. A menudo los datos son tan numerosos que es necesaro ordenarlos y dstrburlos en ntervalos o clases. La derenca entre el mayor y el menor valor del ntervalo se llama ampltud del msmo y la marca de clase es su punto medo, y es el valor que se toma como representatvo de la clase o ntervalo. Ejemplo 5º: Agrupa en ntervalos y construye una tabla con la marca de clase y la recuenca absoluta de las sguentes alturas, meddas en centímetros, de los 30 alumnos de un aula: 75 67 6 68 74 60 7 6 63 65 55 63 68 7 57 48 60 63 59 66 77 70 58 7 6 70 67 50 66 64 Solucón: El menor valor es 48 y el mayor es 77, sendo por tanto el recorrdo 9. Se pueden construr ses ntervalos de 5 cm. de ampltud, obtenéndose la sguente tabla: Intervalo Marca de clase Frecuenca absoluta [48,53) 50,5 [53,58) 55,5 [58,63) 60,5 7 [63,68) 65,5 9 [68,73) 70,5 7 [73,78) 75,5 3 Suma 30 Representacones grácas. La normacón estadístca se presenta a los usuaros medante tablas o grácas. Estas están conecconadas de modo que con atencón y buena acttud se consgue etraer la normacón.
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 3 - Los dagramas de barras se utlzan para comparar datos cualtatvos o cuanttatvos sn agrupar en clases. Se representan sobre el eje de abscsas los valores de la varable. Sobre estos puntos se levantan barras de longtud gual a la recuenca. Ejemplo 6º: De los 30 estudantes de un grupo, 8 han elegdo rancés como lengua etranjera, 3 han preerdo alemán, talano y el resto nglés. Construye la tabla de recuencas y observa el correspondente dagrama de barras. - Los dagramas de sectores se utlzan para comparar las dstntas modaldades de un carácter. Srve para varables cualtatvas y cuanttatvas. El ángulo central de cada sector debe ser proporconal a la recuenca absoluta correspondente. Se construye dvdendo un círculo en sectores proporconales a las recuencas. Ejemplo: En el caso de las asgnaturas de doma optatvas, se harán las sguentes reglas de tres: 8 360º 7 360º ;Inglés: 30 30 04º 3 360º 360º 36 ; Italano: 30 30 4º Francés: 96º Alemán: º ;. - Los hstogramas permten comparar datos cuanttatvos agrupados en clases (cuando la varable es contnua o los datos son muy numerosos). Se representan sobre el eje de abscsas los etremos de las clases. Se construyen unos rectángulos de base la ampltud del ntervalo (sendo las ampltudes guales) y de altura la recuenca absoluta (o relatva). Así, las recuencas quedan representadas medante áreas. En el supuesto de que los ntervalos tengan dstnta ampltud, cómo las áreas de los rectángulos deben ser proporconales a las recuencas, deben hallarse las alturas correspondentes. Ejemplo 8º: Construye el hstograma de recuencas absolutas correspondente a las alturas de los estudantes de la tabla sguente: Altura (cm.) º de alumnos [48,53) [53,58) [58,63) 7 [63,68) 9 [68,73) 7 [73,78) 3 El polígono de recuencas es la línea quebrada que une los puntos medos de los lados superores de un dagrama de barras o de un hstograma.
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 4 Ejemplos: Para los ejemplos anterores de las asgnaturas de lengua etranjera y las alturas de los alumnos, se tene: - Los pctogramas se utlzan generalmente para comparar datos no agrupados en clases. Son dbujos alusvos a la dstrbucón que se está estudando y que, medante su orma y tamaño orecen una descrpcón muy epresva aunque poco precsa. - Los cartogramas se utlzan para representar la densdad demográca de una nacón, la renta per cápta, las horas de sol anuales de un país, los índces de lluva, etc. Se construyen representando un mapa, señalando en determnadas zonas, con dstntos colores o rayados, lo que se está representando. - Los dagramas lneales se utlzan para mostrar las varacones de uno o varos caracteres estadístcos con el paso del tempo. º.- Las puntuacones obtendas en un test por 0 alumnos son las sguentes: 6,,, 0, 3,, 7, 5, 3,, 7, 8, 0, 7,, 6, 3,,, 8. a) Construye la tabla de recuencas. b) Representa el dagrama de barras de recuencas absolutas. F h H 3 0,050 0,050 5 0,050 0,00 6 4 0,00 0,00 7 3 7 0,50 0,350 8 9 0,00 0,450 0 0,00 0,550 3 0,00 0,650 5 8 0,50 0,900 3 0 0,00,000 º.- A los alumnos varones de un centro escolar se les ha tallado y se ha obtendo la sguente tabla: Talla (m.) º de alumnos [,50-,55) 5 [,55-,60) 80 [,60-,65) 30 [,65-,70) 40 [,70-,75) 90 [,75-,80) 40 a) Forma la tabla en la que gure: recuencas absolutas, recuencas acumuladas, relatvas y relatvas acumuladas. b) Representa el hstograma y el polígono de recuencas. Solucón: F h H [,50-,55) 5 5 0,0495 0,0495 [,55-,60) 80 05 0,585 0,080 [,60-,65) 30 35 0,574 0,4654 [,65-,70) 40 375 0,77 0,746 [,70-,75) 90 465 0,78 0,908 [,75-,80) 40 505 0,079
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 5 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ Las tablas estadístcas y las representacones grácas dan una dea del comportamento de una dstrbucón, pero ese conjunto de datos se puede smplcar medante unos valores numércos. Las meddas de centralzacón srven para estudar cuáles son los parámetros mas recuentes o el valor medo en torno al cual se concentran la mayoría de los datos. La meda artmétca de una dstrbucón estadístca es el cocente entre la suma de todos los valores de la varable y el número de éstos. La meda artmétca se representa:... La medana de una dstrbucón estadístca es un valor de la varable, tal que el número de datos menores que él es gual al número de datos mayores que él. n n Para calcular la medana se procede del sguente modo:. Se ordenan los datos de menor a mayor.. S el número de datos es mpar, la medana es el valor central. 3. S el número de datos es par, la medana es la meda artmétca de los dos valores centrales. Cuando se trata de una dstrbucón estadístca dada por una tabla de recuencas, se completa la tabla con la columna de recuencas absolutas acumuladas F, se calcula la mtad del número de datos y la medana es el prmer valor de la varable cuya recuenca absoluta acumulada es mayor que la mtad del número de datos. Cuando se trata de una dstrbucón estadístca con los datos agrupados en clases, se toma como apromacón la marca de clase. EJERCICIOS º.- Las notas en matemátcas son las sguentes. Cuál es la medana? ota: º de alumnos: 3 4 4 5 5 8 6 9 7 0 8 4 9 3 3º.- Los pesos de 50 recén nacdos están ndcados en la tabla. Cuál es la medana? Peso (kg.) º de nños [,5-) [-,5) 7 [,5-3) 9 [3-3,5) 5 [3,5-4) [4-4,5) 5 [4,5-5) Medana=3,5 Medana=5 La moda de una dstrbucón es el valor de la varable que tene mayor recuenca. Cuando los datos de la dstrbucón están agrupados por clases, la clase o ntervalo que tene mayor recuenca se llama clase modal o ntervalo modal. Como apromacón del valor de la moda se toma la marca de clase modal.
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 6 EJERCICIO 9º.- La meda de 4 números es 5,4. La meda de los otros 6 números derentes es 4,3. Encuentra: a) Cuánto suman los 4 prmeros números. b) Cuánto suman los otros 6 números. c) La meda de todos los números juntos. Solucón: a) 5,4 4=,6 b) 4,3 6=5,8 c),6+5,8=47,4; meda de todos=47,4/0=4,74 CUARTILES Y PERCETILES S en lugar de partr la totaldad de los ndvduos en dos mtades, lo hacemos en cuatro partes guales (todas ellas con el msmo número de ndvduos), los dos nuevos puntos de separacón se llaman cuartles. Cuartl neror, Q, es un valor de la varable que deja por debajo de él al 5 % de la poblacón, y por encma, al 75 %. Cuartl superor, Q 3, es un valor de la varable que deja por debajo de él al 75 % de la poblacón, y por encma, al 5 %. La medana sería el Q. Ejemplo 30º: En la dstrbucón:,,, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 8, 9, 0, éstos parámetros toman los valores Q. sguentes:, 5 Q, M 5, 7 e 3 S partmos la poblacón en 00 partes y señalamos el lugar que deja debajo k de ellas, el valor de la varable correspondente a ese lugar se desgna por p y se denomna centl k o percentl k. La medana es p50 M e y los cuartles Q p5 y Q3 p75. Medana, cuartles y percentles, se llaman meddas de poscón. Ejemplo 3º: En la dstrbucón:,,, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 0 hay 7 ndvduos. Como 7/=8,5: M e 5, Q 3, 5, Q 3 7, p 0, p 7 80. k Obtencón de percentles en tablas de recuencas: F En % 0 4 4 3,6 8 0 4 63 57,3 3 3 95 86,4 4 06 96,4 5 3 09 99, 6 0 00 Obtenemos: M p e 50, Q p5, Q 3 p75 3, p 99 5, p, 5 0
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 7 MEDIDAS DE DISPERSIÓ Ejemplo 34º: En un nsttuto se ha aplcado un test a dos grupos de 3º de 8 alumnos cada uno, obtenéndose los resultados de la sguente tabla. S se calcula la meda, la moda y la medana de los dos grupos, se obtene que todas son guales a 50, pero ambos grupos son muy dstntos; todos los alumnos del grupo A tenen calcacones de tpo medo, mentras que los del grupo B tenen calcacones o muy altas o muy bajas. Para poder dstngur dchos grupos se hace mprescndble conocer s los datos están agrupados o no alrededor de los valores centrales. A esto es a lo que se llama dspersón. Grupo A Grupo B 46 0 48 8 49 30 50 50 50 50 5 70 5 8 54 90 Rango o recorrdo de una dstrbucón es la derenca entre el mayor valor y el menor valor de la varable estadístca. Cuanto menor es el rango de una dstrbucón mayor es el grado de representatvdad de los valores centrales. Pero como sólo depende de los valores etremos, s uno de ellos se separa mucho del resto de los valores de la dstrbucón, entonces el rango se ve muy aectado. Ejemplo 34º: el rango en el grupo A es 54 46 = 8 y en el grupo B es 90 0 = 80. Las derencas entre cada valor de la varable respecto a la meda ( d ): EJERCICIO d y la meda artmétca se llaman desvacones 34º.- Calcula como se apartan las calcacones de cada alumno respecto de la meda artmétca de ambos grupos, que es 50, hallando las derencas entre cada nota y la meda. GRUPO A 46 46-50=-4 48 48-50=- 49 49-50=- 50 50-50=0 50 50-50=0 5 5-50= 5 5-50= 54 54-50=4 Suma 0 GRUPO B 0 0-50=-40 8 8-50=-3 30 30-50=-0 50 50-50=0 50 50-50=0 70 70-50=0 8 8-50=3 90 90-50=40 Suma 0 La suma de desvacones respecto a la meda es cero. Por tanto, se utlza su valor absoluto o sus cuadrados. El valor absoluto de un número a se desgna por a y concde con el número s es postvo o 0, y con su opuesto s es negatvo: a s a 0 a a s a 0
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 8 Desvacón meda de una dstrbucón estadístca es la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacones respecto de la meda: concentrados están los datos de una dstrbucón.. La desvacón meda srve para saber cuánto de dspersos o EJERCICIO 34º.- Completa la tabla anteror con una columna que eprese el valor absoluto de las desvacones, es decr,. Calcula la desvacón meda en cada grupo. GRUPO A GRUPO B 46 46-50=-4 4 48 48-50=- 49 49-50=- 5 5-50= 5 5-50= 54 54-50=4 4 0 0-50=-40 40 8 8-50=-3 3 30 30-50=-0 0 70 70-50=0 0 8 8-50=3 3 90 90-50=40 40 Suma 0 Suma 4 Suma 0 Suma 84 La meda de los valores absolutos de las desvacones es (desvacones medas) es: 4 84 D,75 y D 3 A B 8 8 Varanza de una dstrbucón estadístca es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones respecto de la meda. Se representa por s, y vene dada por la epresón: s...... Desvacón típca de una dstrbucón estadístca es la raíz cuadrada postva de la varanza. Se representa por s. n n n EJERCICIOS 35º.- Completa la tabla anteror con una columna que eprese los cuadrados de las desvacones, es decr,. Calcula la varanza en cada grupo. GRUPO A 46 46-50=-4 6 48 48-50=- 4 49 49-50=- 5 5-50= 5 5-50= 4 54 54-50=4 6 Suma 0 Suma 4 GRUPO B 0 0-50=-40 600 8 8-50=-3 04 30 30-50=-0 400 70 70-50=0 400 8 8-50=3 04 90 90-50=40 600 Suma 0 Suma 6048
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 9 La meda de los cuadrados de las desvacones (la varanza) es: 4 6048 s A 5,5 y s B 756 8 8 36º.- Se ha anotado el peso de 88 personas, obtenéndose los sguentes resultados: Peso (kg) [38-44) [44-50) [50-56) [56-6) [6-68) [68-74) [74-80) º de personas 7 8 5 5 8 9 6 Calcula el rango, la desvacón meda, la varanza y la desvacón típca. Solucón: A partr de la sguente tabla, se calculan los parámetros peddos. 504 639,08 59, 4kg ; rango=80-38=4kg; D 7, 6 kg 7846,3 ; 89, 6 88 88 88 s 89,6 9,44 Clases Datos Meda Desvacón Marcas de clase Desvacón meda s ; Varanza [38-44) 4 7 87-8,4 8,4 6,98 39,05 303,35 [44-50) 47 8 376 -,4,4 97, 47,38 79,04 [50-56) 53 5 795-6,4 6,4 9, 37,70 565,5 [56-6) 59 5 475-0,4 0,4 3,50 0,096 0,49 [6-68) 65 8 70 5,86 5,86 05,48 34,34 68, [68-74) 7 9 639,86,86 06,74 40,65 65,86 [74-80) 77 6 46 7,86 7,86 07,6 38,98 93,88 88 504 639,08 7846,3 Coecente de varacón. Cuando se quere medr la dspersón o varacón relatva de dos dstrbucones no epresadas en meddas comparables (ejemplo, s las undades son y cm.), se utlza una medda abstracta, sn undades, llamada coecente de varacón de Pearson, dendo como el cocente entre la desvacón típca y el valor absoluto de la meda, es decr: s CV, 0 Ejemplo 37º: En la tabla adjunta se relejan la paga y las horas que ven la televsón a la semana cnco jóvenes. Qué datos pueden consderarse más dspersos en relacón a su meda? Paga (euros) Horas de TV 4 0 6 4 8 9 8
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. 0 Solucón: Para la paga semanal se tene: p, Para las horas de televsón se tene: t, 8, s, 56, CV 0,. p horas, s 3, 5 horas, CV 0, 4. Por tanto, como CV 0, CV 0, 4, puede consderarse más dspersa la dstrbucón de las p t pagas semanales que la de las horas de televsón que se ven a la semana. t p t EJERCICIOS 38º.- Halla el rango, la varanza y la desvacón típca de los sguentes datos: 3, 8, 9,,, 6, 7, 3 Solucón: meda=4,87; rango=8; varanza=7,86; desvacón típca=,80 39º.- Un nspector de autobuses anota los mnutos de retraso con que llegan los autobuses a una parada. Su trabajo queda relejado en el sguente dagrama de barras. Halla la meda, moda, medana, varanza y el rango. Solucón: 0 3 0 337,08 5 60 376,3 0 4 40 5,04 5 7 05 35,5 0 3 60 65,08 5 50 44,7 30 30 376,36 4 445 90, 40º.- Se ha analzado la sangre de 5 pacentes para realzar la determnacón de calco y se han obtendo los sguentes resultados: 9'7 9'3 0' 9' 9' 9'3 9'4 8'7 8'8 8'7 9' 8'3 0' 9'5 9'6 9'7 9' 9'3 8'8 9'5 9'8 9' 9' 9'6 8'4 Halla la meda artmétca, la moda, la medana, el rango y la desvacón típca. Solucón: Clases Marcas de clase F [8,5-8,65) 8,45 6,9,3 [8,65-9,05) 8,85 5 7<,5 44,5 0,8405 [9,05-9,45) 9,5 0 7>,5 9,5 0,000 [9,45-9,85) 9,65 6 3 57,9 0,96 [9,85-0,5) 0,05 5 0,,48 5 3,65 4,345 Meda=9,6; varanza=0,7; desvacón típca=0,45; rango=
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. Utlzacón conjunta de y s. Se han anotado las tallas, en centímetros, de 33 alumnos, obtenéndose: 63 69 7 63 58 68 73 67 65 7 78 56 68 65 6 58 69 7 63 7 70 77 5 8 67 67 65 66 64 58 6 76 70 Al representar el polígono de recuencas se observa que la dstrbucón es unmodal y bastante smétrca. La meda y la desvacón típca son: 66, 75cm y s=6,47 cm. Calcularemos el porcentaje de personas con estaturas en los sguentes ntervalos: s, s 60'8,73' 4personas 7% s, s 53'8,79'69 3personas 94% 3s, 3s 47'34,86' 6 33personas 00% Estos resultados que se acaban de obtener epermentalmente se vercan de orma general de la sguente orma: En dstrbucones con una sola moda y bastante smétrcas se verca: En el ntervalo s, s se encuentra el 68 % de los datos. En el ntervalo s, s se encuentra el 95 % de los datos. En el ntervalo 3s, 3s se encuentra el 99 % de los datos. EJERCICIOS 4º.- Un proesor ha realzado un eamen a una clase ormada por 50 alumnos. Las notas han osclado de 0 a 0 puntos con un comportamento muy smétrco, sendo la dstrbucón unmodal. La meda de las puntuacones ha sdo 5,5 y la desvacón típca,5. Qué sabes de la dstrbucón de los alumnos por ntervalos de puntuacones? Solucón: En el ntervalo s, s se encuentra el 68 % de los datos: (5,5-,5;5,5+,5)=(4,7). En este ntervalo se encuentra el 68 % de 50 = 34 alumnos. Como el comportamento es smétrco, habrá apromadamente: 7 alumnos con notas entre 4 y 5,5 y 7 alumnos con notas entre 5,5 y 7. En el ntervalo s, s se encuentra el 95 % de los datos: (5,5-3;5,5+3)=(,5;8,5). En este ntervalo se encuentra el 95 % de 50 = 48 alumnos. Como ya se habían dstrbudo 34, quedan 4 alumnos, por tanto, habrá: 7 alumnos con notas entre,5 y 4 y 7 alumnos con notas entre 7 y 8,5. En el ntervalo 3s, 3s se encuentra el 99 % de los datos, es decr, apromadamente 50. Como ya se han dstrbudo 48, quedan por stuar, y, al ser la dstrbucón muy smétrca, habrá: alumno con nota neror a,5 y alumno con nota superor a 8,5.
el blog de mate de ada CSI: Estadístca undmensonal pág. En resumen: alumno con nota neror a,5. 7 alumnos con notas entre,5 y 4. 7 alumnos con notas entre 4 y 5,5. 7 alumnos con notas entre 5,5 y 7. 7 alumnos con notas entre 7 y 8,5. alumno con nota superor a 8,5.