VI. Ifereca estadístca
Ifereca Estadístca La fereca estadístca es prmordalmete de aturaleza ductva y llega a geeralzar respecto de las característcas de ua poblacó valédose de observacoes empírcas de la muestra. Al utlzar estadístcas muestrales para estudar u parámetro de la poblacó es muy ormal que ambos sea dferetes y la gualdad d etre ambos sea mera cocdeca. d La dfereca etre la estadístca muestral y el correspodete parámetro de la poblacó se suele llamar error de estmacó. Solo cooceríamos dcho error s se coocera el parámetro poblacoal que por lo geeral se descooce. La úca forma de teer algua certeza al respecto es hacer todas las observacoes posbles del total de la poblacó; e la mayoría de las aplcacoes práctcas es mposble o mpractcable.
Ifereca Estadístca Las ferecas estadístcas se hace por posbldades o probabldades. Por ejemplo de la meda de ua muestra se hace ferecas sobre la meda de la poblacó. Eactamete o sabemos cuál es la dfereca etre ambas. Lo que s sabemos es que es pequeña la probabldad de que esta dfereca sea mayor que, por ejemplo 3 o errores estádares.
VI.. Estmacó Putual La fereca estadístca más seclla es la Estmacó Putual o por puto, e la que se calcula u valor úco (estadístco co las datos muestrales para estmar u parámetro poblacoal l
VI.. Estmador Defcó U estmador es e s msmo ua varable aleatora y por lo msmo tee ua dstrbucó (muestral teórca. U estmador de u parámetro θ es ua fucó de los valores muestrales aleatoros X, X,..., X que proporcoa ua estmacó putual de θ.
3 3... Estmador Ejemplo: Sea los valores sguetes 0, 7.5, 5 tomados de ua poblacó fta, obteer la estmacó resultate: La estmacó: ˆ X + + X 3 X X 3 Se terpreta como el proceso de tomar ua muestra de tres valores y promedarlos. De la muestra que se da e partcular: 0 7.5 3 5 Y se obtee como ua estmacó de la meda poblacoal que está basada e la muestra especfcada.
VI VI... Característcas de los Estmadores VI...- Estmador Isesgado. U estmador que es ua fucó de los datos muestrales X, X,..., X se cooce como estmador sesgado del parámetro poblacoal θ s su valor esperado es gual a θ. Dcho de otra maera, es u estmador sesgado del parámetro θ s E( θ. La codcó de que el estmador es sesgado supoe que el valor promedo de es eactamete correcto. No dce que u valor partcular sea eactamete correcto.
VI... Característcas de los Estmadores VI...- Estmador Efcete Se dce que u estmador es el más efcete, para u problema e partcular, cuado tee el error estádar más pequeño de todos los estmadores sesgados posbles. Se utlza la palabra efcete porque, el estmador hace el mejor uso posble de los datos muestrales. VI...3.- Estmador Cosstete U estmador es cosstete s se aproma al parámetro poblacoal co probabldad uo a medda que el tamaño de la muestra tede a fto.
VI.3. Método de Máma Verosmltud S,,..., y so los valores de ua muestra tomada al azar de ua poblacó co el parámetro θ, la fucó de verosmltud de la muestra está dada por: L(θ f (,,..., ;θ Para valores de θ cotedos e u domo dado. El método de máma verosmltud cosste e mamzar la fucó de verosmltud co respecto a θ y os refermos al valor de θ que mamza la fucó de probabldad como la estmacó de máma verosmltud de θ.
VI.3.. De la dstrbucó de probabldad bomal determar el estmador de máma verosmltud del parámetro θ L ( θ θ θ ( θ Obteedo el logartmo atural. l ( L( θ l + lθ + ( l( θ Dervado co respecto a θ. d [ l L ( θ ] ( dθ θ ( θ
VI.3.. De la dstrbucó de probabldad bomal determar el estmador de máma verosmltud del parámetro θ Igualado a cero: θ θ ( ( θ ( ( θ ( θ θ 0 ( θ θ θ + θ θ θ θ Es el estmador de máma verosmltud del parámetro θ de la dstrbucó bomal. θ
VI.3.. De la dstrbucó de probabldad Posso determar el estmador de máma verosmltud del parámetro λ e muestras aleatoras smples de tamaño L( X : λ e λ Obteedo el logartmo atural: l L( X : λ λ! λ + l λ Dervado parcalmete co respecto a λ: l L( X : λ λ + l λ!
VI.3.. De la dstrbucó de probabldad Posso determar el estmador de máma verosmltud del parámetro λ e muestras aleatoras smples de tamaño Igualado a cero y resolvedo: + λ El estmador es la meda. λ λ 0 λ
VI.3.3. Dada la fucó de Probabldad ormal co meda µ y varaza σ, determar los estmadores de máma verosmltud La fucó de probabldad está dada por: L ( μ, σ ( ; μ, σ ( σ π σ L μ, σ e Obteedo el logartmo atural: l L l L l L l L ( μ ( μ, σ l + ( μ σ π σ le ( μ, σ [ l( l( σ π ] ( μ ( μ, σ ( lσ + l π σ [ ] ( μ σ ( μ, σ l σ l π ( μ, σ
VI.3.3. Dada la fucó de Probabldad ormal co meda µ y varaza σ, determar los estmadores de máma verosmltud Dervado parcalmete co respecto a µ: l[ L( μ, σ ] ( ( μ ( l Igualado a cero: μ [ L( μ, σ ] μ σ σ σ σ ( ( μ ( ( μ 0 ( μ 0 ( μ 0
VI.3.3. Dada la fucó de Probabldad ormal co meda µ y varaza σ, determar los estmadores de máma verosmltud ( μ 0 ( μ μ ( El valor obtedo es la meda.
VI.3.3. Dada la fucó de Probabldad ormal co meda µ y varaza σ, determar los estmadores de máma verosmltud Ahora se derva parcalmete co respecto a σ: l l ( μ, σ ( ( L σ L σ σ 3 ( μ, σ ( + 3 σ σ σ ( μ μ
VI.3.3. Dada la fucó de Probabldad ormal co meda µ VI.3.3. Dada la fucó de Probabldad ormal co meda µ y varaza y varaza σ, determar los estmadores de máma, determar los estmadores de máma verosmltud verosmltud Igualado a cero: ( 0 ( 3 0 + μ σ σ ( 3 σ μ σ ( ( 3 σ σ μ ( σ μ ( μ σ σ
VI.3.3. Dada la fucó de Probabldad ormal co meda µ y varaza σ, determar los estmadores de máma verosmltud Susttuyedo el valor de se obtee: σˆ ( σˆ σ ( Es ua estmacó de máma verosmltud de σ.
VI.3.4. De la Dstrbucó de probabldad epoecal egatva obteer el estmador de máma verosmltud f ( θ e θ θ o f ( λ λe λ 0< < Obteer el estmador de máma verosmltud. Ua demostracó es: Como, E ( X λ E ( X λ λ E(X (
VI.3.4. De la Dstrbucó de probabldad epoecal egatva obteer el estmador de máma verosmltud Dode: Etoces: E( X λ ˆλ La otra demostracó es por medo de los estmadores de máma verosmltud.
VI.4. Estmacó por Itervalos ˆ θ θˆ
VI.4. Estmacó por Itervalos
VI.4. Estmacó por Itervalos
VI.4. Estmacó por Itervalos Los tervalos de cofaza de parámetros dados o so úcos, este umerosos tervalos de cofaza de µ dode tee el msmo grado de cofaza. Igual que e el caso de la estmacó ó putual, los métodos de obtecó de tervalos de cofaza debe de juzgarse por sus propedades estadístcas.
VI.4.. Itervalos de Cofaza para Medas
VI.4... VI4 La dstrbucó t Teorema S y s so la meda y la varaza de ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó ormal co la meda µ y la varaza σ, etoces: t μ s Tee la dstrbucó t co grados de lbertad.
VI4 La dstrbucó t VI4 La dstrbucó t VI.4... La dstrbucó t VI.4... La dstrbucó t Por lo tato: α α α < < (,, t t t P Al susttur a t, la desgualdad queda como: μ α μ α α < < (,, t s t P
VI4 La dstrbucó t VI4 La dstrbucó t VI.4... La dstrbucó t VI.4... La dstrbucó t Lo que es equvalete a: ( s t s t P α μ α α + < < (,, t t P
VI.4... VI4 La dstrbucó t Propedades:. La dstrbucó t, gual que la dstrbucó ormal, es smétrca co respecto a la meda µ 0.. La dstrbucó t tee ua mayor varabldad que la dstrbucó z. 3. Hay muchas dstrbucoes t que so dferetes. Se determa ua e partcular al especfcar sus grados de lbertad, g.l. S se toma ua muestra aleatora de ua poblacó ormal, el estadístco: t μ s Tee ua dstrbucó t co g.l.. 4. A medda que se cremeta (o, lo que es lo msmo, g.l se cremeta, la dstrbucó t se aproma a la de z. Lo ateror coduce al sguete teorema para muestras pequeñas de µ (auque es válda para muestras de cualquer tamaño.
VI.4..3. Teorema (Itervalo de cofaza para µ, cuado σ es descoocda S y s so los valores de la meda y la desvacó estádar de ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó ormal co la varaza descoocda, u tervalo de cofaza del dl ( 00% para µ está dado d por: t s < µ < + t α α,, s
VI.4.. Itervalo de Cofaza para Proporcoes Este stuacoes e las cuales se debe de obteer la proporcó, probabldad, porcetaje o ídce (tasa, como la proporcó de udades defectuosas e u cargameto grade de televsores, la probabldad de que u auto tega los freos e mal estado, la tasa de mortaldad que provoca ua efermedad, etc. E muchos de estos casos es razoable supoer que se muestrea ua poblacó bomal y, que el problema se reduce a calcular el parámetro bomal θ. Utlzado el hecho de que para grade la dstrbucó bomal se obtee por ua apromacó de la dstrbucó ormal, es decr, que la varable aleatora: z p pq Se puede cosderar como s tuvera la dstrbucó ormal estádar.
VI.4... Teorema (Itervalo de Cofaza de muestra grade para p U tervalo de cofaza del ( 00% para el parámetro bomal p está dado por: p ˆ z α pˆ( pˆ Dode: p ˆ
VI.4... Itervalo de Cofaza para Varazas Dada ua muestra aleatora tomada de ua poblacó ormal, se puede obteer u tervalo de cofaza del ( α 00% para utlzado el sguete teorema.
VI.4... Itervalo de Cofaza para Varazas
VI.4... Itervalo de Cofaza para Varazas Varazas Por lo tato: α χ σ χ α α < < ( (,, s P Despejado para obteer el valor de: Despejado para obteer el valor de: ( ( ( < < s s P σ,, ( α χ α χ De lo ateror se deduce el sguete teorema
VI.4..3. Teorema (Itervalo de Cofaza para S s es el valor de la varaza de ua muestra aleatora de tamaño tomada de ua poblacó ormal, u tervalo de cofaza del ( α 00% para está dado por: ( s ( < σ < χ α χ, α, Se puede obteer límtes de cofaza del ( α 00% correspodetes para σ sacado las raíces cuadradas de los límtes de cofaza para. s
VI.4..3. Teorema (Itervalo de Cofaza para ( s ( χ < σ < α χ, α, s