Teoría de Juegos I. Juegos o-cooeratvos Reresetacó de u juego e forma extesva E u juego o-cooeratvo -ersoal e forma extesva ha de cosderarse los sguetes comoetes: ) los jugadores; 2) los actos o accoes de ellos; 3) el orde de dchos actos; 4) el coocmeto resete que e cada mometo del juego osee cada jugador, y 5) las cosecuecas fales que ara los jugadores tedrá el modo e que se haya desarrollado el juego. Así, deótese or N el cojuto de jugadores; éste odrá ser be := {, 2, } s o juega atura) ó 0 := {0,, 2, } s juego atura. El térmo atura se refere a cualquer fuete de acotecmetos azarosos. Cuado se quera referr al cuarto jugador, or ejemlo, se usará: jug 4. Caso que juegue atura, se la deotará or 0. Para dar cueta del orde de los actos de los jugadores se usa el (, R), dode es u cojuto o vacío cuyos elemetos será llamados odos del árbol reresetatvo del juego; y R es ua relacó bara e, llamada recedeca, que es u orde arcal estrcto,.e., rreflexva y trastva 2. Los ares ordeados de esta relacó corresode a los segmetos de recta usados e las fguras usadas ara reresetar gráfcamete u juego de este to. La relacó R determa otra relacó bara e, llamada recedeca medata, deotada or P, del sguete modo: xpy xry z, (xrz zrx). Así, se dce que P(x) := {y de : ypx} es el cojuto de los redecesores medatos de x, y que P - (x) := {z de : xpz} es el cojuto de sucesores medatos de x. Asucó :! x 0 e, P(x 0 ) :=. A este odo, x 0, se lo llama odo cal. Asucó 2: x de \ { x 0 },! m de,! (x 0, x,, x m ) tal que x = x m x 0 P(x ) x m- P(x m ). De ua sucesó tal se dce que es ua seda. Ua cosecueca medata, y que se deja como u ejercco ara el estudate, es la que cocluye que: x x 0, = P(x). Asucó 3: No exste gua seda de logtud fta y toda seda es subseda de otra que terma e u odo carete de sucesores medatos, es decr que s se defe el cojuto de odos termales como Z := {x de : P - (x) = }, etoces seda (x 0, x,, x m ), ua seda (x 0, z,, z ) tal que m z Z z = x z m = x m. Ejercco: Podría haber u caso e el que satsfacédose estas asucoes haya, s embargo, ua catdad fta de odos? x de, xrx. 2 x, y y z de, (xry yrz xrz).
Teoría de Juegos 2 El orde de los actos de los jugadores es determado como sgue. Se tee ua artcó, { 0,,, }, de \ Z, tal que 0 o etra s o juega atura. Para > 0, es el cojuto de odos e los que toca jugar al jug. Hay ua corresodeca, A, que a cada odo, x, asga el cojuto de actos dsobles, A(x), al jug, s x. Además, de cada A(x) hay ua byeccó a P - (x), deotada or b x. Ella dca a qué odo sucesor medato de x llevará el acto que el jugador decda realzar. El coocmeto resete de cada jugador es determado or artcoes dadas, H, de los cojutos. Así, s e u mometo dado el juego se ecuetra e u odo de u elemeto h de la artcó H de, etoces el jug o sabrá exactamete e qué odo de h se ecuetra el juego. Por ello, ha de asumrse que la corresodeca A es tal que A(x) = A(y) {x, y} h 2. De esta maera, el jugador o odrá dstgur etre los dferetes odos de h. Se llama cojutos de formacó del jug los elemetos de la artcó H de. Falmete, e lo tocate a las cosecuecas fales que ara los jugadores tedrá el modo e que se haya desarrollado el juego, ha de asumrse que cada jugador (o atura) osee ua relacó de referecas 3 e el cojuto de odos termales Z. Segú la teoría de la utldad eserada de vo Neuma, odrá asumrse que dchas relacoes de referecas estará reresetadas or ua fucó de utldad leal s es que las referecas satsface certas roedades. Esto es lo que ha de resetarse a cotuacó. Teoría de la utldad eserada de vo Neuma 4 Hay u cojuto fto o vacío, O, cuyos elemetos so llamados ocoes ; y hay u agete decsoro que, auque querría oder escoger ua ocó, o uede hacerlo y debe, e cambo, cotetarse co escoger etre loterías 5 sobre las ocoes. Así, s O = m, etoces ua lotería estaría dada smlemete or u vector de m + tal que sus comoetes (egatvos) sume. Es osble també cosderar loterías comuestas, esto es, loterías alguos de cuyos remos sea també loterías. Por ejemlo, s m = 3, odría teerse ua lotería que ofrecera co robabldad ½ la rmera ocó y co robabldad ½ la lotería (/3, 0 2/3). Etoces, esto equvaldría a eserar la rmera ocó co robabldad ½ + /6, la seguda ocó co robabldad 0 y la tercera ocó co robabldad /3, es decr, equvaldría a la lotería (4/6, 0, /3). Así, toda lotería comuesta determa ua lotería smle. E adelate se asumrá que al agete decsoro sólo le teresa la lotería smle determada or la lotería comuesta que se le ofrezca. Ua artcó de u cojuto C es ua coleccó de subcojutos o vacíos de él tal que su uó dé C y todas las terseccoes de ares dferetes de ellos so vacías. 2 Por tal razó uede escrbrse s ambgüedad A(h) ara deotar tales cojutos A(x) y A(y). 3 Es decr, ua relacó bara trastva y total (cualesquera dos elemetos so comarables segú la relacó). 4 Mas-Colell et al., Mcroecoomc theory, OUP, 995. 5 Ua lotería sobre O es ua dstrbucó robablístca sobre O.
Teoría de Juegos 3 Sea,ues, L el cojuto de todas las loterías smles sobre el cojuto de ocoes O = {o,, o m }. Se asume que el agete osee ua relacó de referecas,, sobre L. El cojuto de loterías, L, uede detfcarse co el smlejo de m que se defe or: m := { de m tal que 0 = m }. Ha de otarse que este smlejo es covexo Luego, resulta que cualquer combacó covexa de loterías smles es ua lotería smle. Se asume que esta relacó de referecas es () cotua e (2) deedete, esto es, que cualesquera sea las loterías, q y r, () so cerrados e [0, ] los cojutos { de [0, ]: + (-) q r} y { de [0, ]: q + (-) r}; y (2) que s q, etoces, + (-) r q + (-) r. Como be se sabe or Mcroecoomía, la roedad de cotudad e la relacó de referecas garatza la exsteca de fucoes de utldad cotuas reresetatvas de ella. E este caso eso es erfectamete alcable ues el cojuto de loterías smles sobre O uede verse como u subcojuto de m +, a saber, el m. S embargo, lo que más teresa e este cotexto es que haya fucoes de utldad ara la relacó de referecas que además de ser cotuas tega la forma de utldad eserada como la defe vo Neuma. Defcó: Se dce que ua fucó de utldad ara, U, sobre L tee forma de utldad eserada (ó que es de vo Neuma), s exste u vector u e m tal que de L, U() = u. Al resecto hay tres teoremas de gra mortaca e este cotexto. Teorema : Ua fucó de utldad ara, U, sobre L tee forma de utldad eserada s, y sólo s, (e adelate: ss ) U es leal, esto es, que la mage de toda combacó covexa de loterías sea esa msma combacó covexa de las mágees de las loterías: U( ) = U ( ), de,,, de L,,, egatvos de suma.. º) La ecesdad de la codcó (): Asúmase que U() tee forma de utldad eserada. Etoces, or defcó, u e m tal que de m, U() = u. Hay que U() demostrar que es leal e el setdo del eucado. Etoces, se sgue que U( ) = u = ( u ) = U cojuto, C de m es covexo s le erteece todas las combacoes covexas de sus elemetos,.e., que s se toma u subcojuto fto cualquera de C, dgamos {x,, x }, etoces (, ) de + tal que =, se tee que x C.
Teoría de Juegos 4 U ( ). E esta secueca de gualdades la seguda vale or la lealdad del roducto tero de vectores, y la tercera, orque U() tee forma de utldad eserada. Uedo los dos extremos de dcha secueca, se cocluye que U es leal. 2º) La sufceca de la codcó (): Sea que U() es leal e el setdo del eucado. Hay que demostrar que exste u vector, u, tal que de L, U() = u. Sea s,, s m las loterías que co certeza da resectvamete las ocoes o,, o m. Etoces, cualquera sea de L, se tedrá que m U() = U( s ) = U ( s ). m Ahora, s se defe los coefcetes u := U(s ), se obtedrá que U() = u. Teorema 2: S U es ua fucó de utldad ara e forma de utldad eserada ara, etoces cualquer otra fucó de utldad ara, U* : L, tee forma de utldad eserada ss c > 0, d, tales que U*() = cu() + d, de L. º) Sufceca de la codcó () : Por el teorema ateror, bastará co demostrar que la codcó de la derecha del ss mlca la lealdad de U(). Así, ues, dada ua combacó covexa cualquera de loterías smles, U*( ) = c U( ) + d = c U ( ) + ( ) d = ( cu ( ) d) = U *( ). E esta secueca de gualdades, la rmera vale or hótess sobre U*(); la seguda, or la hótess sobre U() y el teorema ; la tercera es u smle reacomodo algebraco, y la cuarta uevamete or la hótess sobre U*(). Uedo ambos extremos de la secueca se obtee la lealdad de U*(). 2º) Necesdad de la codcó (): Sea, ues, U*() ua fucó de utldad ara e forma de utldad eserada. Etoces, uede coclurse que exste loterías ótma y ésma,.e., o, e L tales que de L, o ; e efecto, es que U() es cotua or ser leal, y ya que L es comacto, ues L m ; se sgue que U() ha de alcazar u valor máxmo y u valor mímo e L. Además, uede establecerse que de L, [0, ], = o + (-), ues (), caso que o U ( ) U ( ), basta co defr := ; y (), caso que o, o U ( ) U ( ) como todas las loterías so dferetes etre sí, cualquer fucó de utldad de El símbolo sólo se usa ara dcar ua osble detfcacó,.e., ua gualdad covecoal que o va cotra el cotexto.
Teoría de Juegos 5 deberá ser costate, y cualesquera sea las costates y 2, semre habrá algú c > 0 y algú d tales que 2 = c + d. Volvedo al caso (), de la defcó de se sgue que U() = U( o ) + (-) U( ) = U( o + (-) ), de lo que se sgue que ( o + (-) ). Por lo tato, como U*() tee forma de utldad eserada, se tee que U*() = U*( o + (-) ) = (U*( o ) - U*( )) + U*( ). S ahora se remlaza or su defcó, se o U *( ) U *( ) sgue que U*() = c U() + d, dode c := y d := U*( ) U ( ). o U ( ) U ( ) Teorema 3 (de vo Neuma): S es cotua e deedete, etoces hay algua fucó de utldad e forma de utldad eserada ara E el teorema ateror ya se establecó que exste loterías ótma y ésma e L, a saber, o y. S ocurrera que o, etoces cualquer fucó costate sería ua fucó de utldad e forma de utldad eserada. Luego, sólo hay que cosderar el caso e que o. E tal caso uede demostrarse ( queda como ejerccos!) los sguetes resultados: ), de L, ( ]0, [, + (-) ). Basta co demostrar que: ( [0, ],, + (-) + (-)) ( [0, ],, + (-) + (-)) ( [0, ], + (-) + (-)). Ahora solo hay que usar reduccó al absurdo. 2), de ]0, [, ( o + (-) o + (-) > ). Basta comrobar que s se defe := (-)/(-), etoces o + (-) o + (-) ( o + (-) ). () Ahora hay que deducr que o o + (-). De esto se sgue que: o + (-) ( o + (-) ) o + (-). () Falmete, de () y (), se sgue (2). 3) de L,! [0, ], o + (- ). La ucdad se sgue de (2) y la exsteca se sgue del hecho de que es cotua y el segmeto [0, ] es coexo,.e., o es la uó de subcojutos dsjutos y o vacíos. 4) Defíase la fucó U : L, U() :=. Etoces, U() es ua fucó de utldad ara. 5) U() es ua fucó leal e el setdo de la defcó del teorema, y, or lo tato, gracas a ese msmo teorema, es també ua fucó e forma de utldad eserada.
Teoría de Juegos 6 També hay que teer e cueta sólo la defcó de U() los utos aterores. Las demostracoes detalladas de estos tres teorema uede verse e el texto ya ctado de Mas-Colell et al. Volvedo a la teoría de juegos o-cooeratvos e forma extedda, es de otarse que, como e ellos los agetes o uede or sus roos medos garatzarse la culmacó del juego e gú odo termal determado, todo lo que uede asumrse que ellos osea es sólo ua relacó de referecas sobre el cojuto de loterías smles sobre Z. Etoces, s dcha relacó de referecas es cotua e deedete, odrá asumrse que exste fucoes de utldad e forma de utldad eserada ara cada relacó de referecas de los jugadores e el cojuto de loterías smles sobre Z. Deótese dchas fucoes de utldad or,, m. De este modo, el últmo comoete del juego o-cooeratvo e forma extedda es ua sucesó fta ( (z)) z Z, sedo (z) = ( (z),, m (z)). E deftva, u juego o cooeratvo -ersoal e forma extesva se reresetará or el quítule ordeado ( ( ) 0, R,( H ) 0,( A( x)) x\ Z,( ( z) zz ) ) s juega atura, y or ( ), R,( H ),( A( x)) ( ( ) ) ) s o juega atura. ( x \ Z, z z Z ` Reresetacó de u juego e forma estratégca E u juego -ersoal e forma extesva,, como acaba de dcarse tres líeas ates, se defe las estrategas de los jugadores como dcacoes recsas, or arte de cada jugador, acerca de cómo hay que jugar cada vez que sea su turo. Defcó: ) Ua estratega del jug es cualquer fucó, s, defda e H y que tome valores e A := A( h), debedo cumlrse que h de H, s (h) A(h). hh 2) Se deotará el cojuto de todas las osbles estrategas del jug or S. 3) U erfl de estrategas es cualquer (s,, s ) S S. Ha de otarse que cada erfl de estrategas determa ua seda que acaba e u odo termal y que, or ede, hay ua fucó : S S Z que asga a cada erfl de estrategas u úco odo termal. Falmete, como e cada odo termal ya está determado el vector (z) = ( (z),, m (z)), uede cosderarse la fucó comuesta * := : S S ; e este cotexto de reresetacó estratégca, la fucó * que acaba de defrse será reresetada smlemete or. Co esta otacó la reresetacó e forma ormal de u juego o cooeratvo - ersoal es: G := (( S),( ) ). Ejemlos: ) La batalla de los sexos 2) El dlema del rsoero 3) El rearto de la torta.
Teoría de Juegos 7 Extesó mxta de u juego e forma ormal Se defe ua estratega mxta del jug e el juego -ersoal G, como cualquer dstrbucó robablístca sobre su cojuto S de estrategas (de ahora e adelate llamadas uras ). Así, s es ua estratega mxta del jug, etoces = (,, r ), sedo q := (s q ) q de {,, r }. El cojuto de todas las estrategas mxtas del jug se reresetará or, el cual, r s S = r, será el smlejo del esaco euclídeo de dmesó r. La extesó mxta del juego G se defe como G* := (( ),( ) ), e dode las fucoes se defe como los agos eserados al jug segú el comlejo de dstrbucoes (,, ) =:. Esto es, que () = = ( s q,..., sq ) q... q E[ ]. r,..., r q,... q Notas: )E adelate, e vez de escrbr (), se escrbrá smlemete () s temor a cofusó. 2) Ua estratega mxta uede verse como u mecasmo aleatoro sobre el cojuto de estrategas uras del jugador. Hay otra forma e que los jugadores uede aleatorzar sus tervecoes e el juego. Ella cosste e que cada jugador emleará u mecasmo aleatoro sobre cada uo de sus cojutos de formacó; a esto se llamará ua estratega coductual. Para el jug, ua tal estratega coductual uede verse como ua fucó defda e H, la coleccó de cojutos de formacó del jug, y que toma valores e el cojuto de dstrbucoes robablístcas sobre las accoes dsobles a ese jugador, (A ); es decr, : H (A ), tal que h de H, a de A ( (h) (a) = 0 s a A(h)). E otras alabras, el soorte de (h) A(h). El cojuto de todas las estrategas coductuales del jug se deota or. Cabe regutarse cuál de estas dos formas de aleatorzar es más coveete. La resuesta, arcal, es que e u juego co memora erfecta 2, ambas so equvaletes e el setdo de que cualquera que sea la estratega mxta del jug, haya ua estratega coductual de él tal que asge a cada uo de sus cojutos de formacó ua dstrbucó que dé a cada accó osble ara dcho cojuto de formacó la robabldad, segú aquella estratega mxta, de que e dcho cojuto de formacó el jugador escoja recsamete esa accó osble. Dcho de modo smbólco: jug,,, h de H, a de h, se tega que (h) (a) = Pr b ( s ( h) a h). Defcó : Se dce que u juego e forma extesva osee memora erfecta s gú jugador olvda e gú mometo del juego sus accoes revas lo que ates suo, esto es: ) que el jug o olvde la accó a de A(x) que ya adotó e el odo x de sgfca que s x P(x) = P(x) x x, etoces xˆ, ~ x,( xrxˆ x Rx ~ ) ( h( xˆ) h( ~ x)) ; Se llama soorte de ua dstrbucó robablístca al cojuto de elemetos de robabldad ostva. 2 Ver la defcó corresodete e el sguete árrafo.
Teoría de Juegos 8 2) que el jug o olvde gua formacó que haya coocdo, es decr, que s él e algú mometo carece de certa formacó, etoces semre habrá carecdo de ella. Dcho smbólcamete: (x, x, y x h(x) yrx) (y h(y), y Rx) (advértase que y be odría ser gual a y). Ejemlo (que muestra u juego co memora erfecta y otro s ella): Ejemlo (que lustra cómo ara cada estratega mxta hay ua estratega coductual tal que a cada accó osble de u jugador le asga la msma robabldad que ella tedría segú la mxta): Sea ua ua estratega mxta cualquera del jug ; etoces hay ua estratega coductual de dcho jugador tal que a de A(h), (h)(a) = Pr b ( s ( h) a h) Cosdérese, or ejemlo, el juego. Las estrategas del jug 2 uede smlemete reresetarse como X y Y, ues el jug 2 o osee so u cojuto de formacó, de modo que sus dos osbles estrategas sería de la forma {(h, X)} y {(h, Y)}. Smlarmete, las estrategas del jug uede reresetarse como (A, C), (A, D), (B, C) y (B, D), ues, teedo dcho jugador dos cojutos de formacó, sus estrategas so de la forma {(h, A), (h 2, C)}, etc. Etoces, S = {(A, C),(A, D),(B, c),(b, D)}. Sea, or ejemlo, = (½, 0, 0, ½). Luego, Prb ( s ( h2) D) = ( s) = ( s = (( A, D)) (( B, D)) = 0 + s S : s ( h 2 ) D ( ) A, D),( B, D)
½ = ½. Pero b ( s ( h ) D ) Pr 2 h 2 = ( A, D),( B, D) ( A, C),( A, D) Teoría de Juegos 9 Prb (( s ( h 2 Prb h 2 ) D) h ( ) Prb ( ) Prb = ( ( A, D) ) 0 = 0. / 2 / 2 / 2 Por lo tato s es la estratega coductual que ha de asgarse a, etoces ha de ser ecesaro que (h 2 ) (C) = (h 2 ) (D) = 0. Determacó de estratega coductual or estratega mxta E u juego e forma extesva,, sea ua estratega mxta del jug ; etoces ha de asocársele la estratega coductual que se defe a cotuacó. Prmero defíese, ara cada cojuto de formacó, h, de ese jugador el subcojuto S (h) := {s q S : s -, 0 < Prb s (la seda que s determa asa or h)}. Luego, ya uede defrse medate: ( ( s )) ( ( s )), s 0 ( s ) s S ( h): s ( h) a s S ( h) s S : s ( h) a ( h)( a) :. ( s ) s S : s ( h) a 2 ) = Ha de otarse que la seguda arte de esta defcó es del todo arbtrara ero, como ya se verá, ella carece de mortaca. Notas : ) Tato como duce ua msma aleatorzacó codcoal sobre las accoes dsobles e cada cojuto de formacó,.e. ambas refleja ua msma coducta cotgete sobre cada cojuto de formacó. 2) La fucó que acaba de defrse,, es sobreyectva ero o ecesaramete yectva como lo muestra el sguete cotraejemlo. E el juego se tee que S 2 = {AC, AD, BC, BD} s 2 := ¼(,,, ) 2 := (½, 0, 0, ½), etoces ambas duce la msma estratega coductual 2 := ((½, ½), (½, ½)) (demostrarlo como ejercco). Se usa la otacó que llama, or ejemlo, s -2 al (s, s 3 ) s es que s = (s, s 2, s 3 ). Así, s també se oe como (s 2, s -2 ).
Teoría de Juegos 0 Teorema (uh, 953): E u juego co memora erfecta so estratégcamete equvaletes las estrategas mxtas y las coductuales,.e. ellas geera el msmo cojuto de osbldades (meddas robablístcas) sobre el cojuto de sedas alteratvas del juego. Nota: E este teorema la equvaleca estratégca se refere a que, cualquera que sea el jugador y cualquera que sea el erfl de estrategas (mxtas o coductuales) de los otros jugadores, so guales etre sí las dstrbucoes robablístcas (sobre el cojuto de sedas) que geera ua estratega coductual artcular de u jugador ó ua cualquera de sus estrategas mxtas que duce dcha estratega coductual. De maera formal: jug, -,,la dstrbucó sobre sedas que geera = la dstrbucó sobre sedas que geera, semre que duzca. Smlarmete, jug, -,,la dstrbucó sobre sedas que geera = la dstrbucó sobre sedas que geera, semre que duzca. Domacó y domacó teratva Ejemlo: E el juego reresetado e forma ormal o estratégca sguete, A B C X 2,7 2,0 2,2, e dode las estrategas del jug so X, Y y Z; y las del jug 2 Y 7,0, 3,2 Z 4, 0,4,3 so A, B y C, se ve que, como jug es racoal, uca se decdrá or Z, ya que e cualquer caso le rá mejor co Y. Puede, ues, asumrse que el juego realmete se A B C X 2,7 2,0 2,2 reduce al sguete. E éste, gualmete se ve que, como jug 2 Y 7,0, 3,2 es racoal, uca se decdrá or B ya que e cualquer caso le rá mejor co C. Así, A C el juego se reducrá al X 2,7 2,2. Ahora se ve que jug uca escogerá X ya Y 7,0 3,2 que e cualquer caso le rá mejor co Y. Etoces, el juego se reduce aú más: A C. Falmete, jug 2 ve que co C le rá mejor que co A, or lo que el Y 7,0 3,2 C juego terma sedo, y ya se uede eserar que al jugar, los jugadores Y 3,2 elja resectvamete sus estrategas, los jugadores elja resectvamete sus estrategas Y y C. Defcó : Ua estratega ura, s, del jug, es domada s tal que s - de S -, (, s - ) > (s, s - ).
Teoría de Juegos Nota : S la estratega ura s es domada, etoces cualquer estratega mxta, tal que asge robabldad ostva a s será també suerada or algua otra estratega mxta,.e. tal que s - de S -, (, s - ) > (, s - ). (Demostrarlo y demostrar també que la rooscó recíroca es falsa es algo que queda como ejercco). Defcó 2: Ua estratega ura, s, del jug, es domada s tal que - de -, (, - ) > (s, - ). Defcó 3: Ua estratega ura, s, del jug, es domada s s tal que s - de S -, (s, s - ) > (s, s - ). Nota : Puede demostrarse (hacerlo es u ejercco) que la defcó 2 equvale a la ; que la 3 mlca la ero que lo recíroco o es certo. Luego, e adelate, sólo ha de coservarse la rmera defcó. El ejemlo ateror lustra u roceso de elmacó teratva que se exresa formalmete como sgue. 0 0 Deote q cualquer úmero atural e cluso el 0, y defíase S := S := ; q q q q además, S : { s S : : s S, (, s) ( s, s)} y q q : ( ) q q q so S }. Etoces se tedrá que S : { S y defedo S q q :=, se obtee que e todo juego fto () el roceso terma e u úmero S 0 fto de teracoes y (2),. Equlbros de Nash S Defcó: E u juego G dado e forma estratégca o ormal, u erfl estratégco o stuacó, s* (s *,, s *), es u equlbro de Nash s gú jugador uede, ulateralmete actuado, cremetar el ago que le corresode or s*. Dcho de modo formal, s s S, (s*), (s, s - *). Ejercco : Demostrar que todo equlbro de Nash comrede sólo estrategas que sobrevve al roceso de domacó terada. A B C A,,0,0 Ejemlo : E el juego resulta que S = {A, B, C} y! B 0, 2, 2 2,2 C 0, 2,2 2, 2 equlbro de Nash, a saber, (A, A).,, E cambo, e el juego o hay gú equlbro de Nash.,,
Teoría de Juegos 2 Defcó : E la extesó mxta, G*, de u juego dado e forma ormal, G, ua stuacó ( *,, *) * es u equlbro de Nash s,, (s*) (, - *). Es la msma dea de la defcó dada ates, ues e el juego G* las estrategas uras so las mxtas del juego G. Defcó: E u juego G dado e forma ormal se llama corresodeca de resuesta ótma del jug a la : - { : (, ) (, ) }. Etoces, se defe també la corresodeca de resuesta ótma del juego como la : dada or :=. Así, resulta que * es equlbro de Nash s, y sólo s, * (*). Ejemlo: E el juego se ecuetra que 0, 2 0, 2 -, -, : 2 2 ( 2 ) := { : (, 2) (, 2) }. {(0,)}, Por lo tato, resulta ser ( 2 ) = cualq. {(,0)}, ues (, 2 ) = ( - )( 2 2 ). s s s [0,/ 2[ 2 2 2 / 2 ]/ 2,], {(0,)}, s Smlarmete sale que 2 ( ) =, cualq. s ues 2 (, 2 ) = (2 + 2 ) 2 2 2 ). Estas corresodecas uede reresetarse gráfcamete medate:
Teoría de Juegos 3 La terseccó de ellas dará los equlbros de Nash: {((0, ), (0, ))}{((, 0), 2 ): 0 2 }. Ejercco: Hallar todos los equlbros de Nash e estrategas mxtas y uras ara los juegos moedas cocdetes y batalla de los sexos. Teorema (Nash): La extesó mxta de cualquer juego fto osee al meos u equlbro de ash e estrategas mxtas 2. Nota: La demostracó se verá más adelate. Ejemlo : El duoolo de Courot. Defcó: U juego bersoal de suma ula es uo e el que = 2 0 = + 2. U juego tal es descrtble medate ua matrz (a j ) A dode a j := (s, s 2j ). Defcó: E u juego bersoal, G = ( S, ), se llama valor maxmí de G al v (G) := max m 2 A 2, y valor mmax de G al v 2 (G) := m max 2 A 2. Teorema (vo Neuma): S G es u juego bersoal fto, descrto or la matrz A, etoces v* = v = v 2 s * es u equlbro de Nash ara G, etoces v* = * A 2 *. Se defe juego fto como aquel todos cuyos jugadores sólo osee estrategas uras e catdades ftas. 2 Ha de teerse e cueta que toda estratega ura uede verse també como ua estratega mxta degeerada,.e. ua que osee al como uo de sus comoetes.