Prtícul e u cj de potecil uidimesiol V() V() V() V()0 0 E este cso se tiee u electró o u prtícul de ms m que se ecuetr e el eje pero restrigid moverse e el itervlo (0 ). Detro de ese itervlo l eergí potecil vle cero fuer vle ifiito. V ( ) 0 si 0 V ( ). si 0 ó L eergí potecil es icomesurble e 0 Ddo que l fució de od debe ser cotiu uivlud cudrdo itegrble etoces: (0)0 ()0
8π m d d E Ejercicio. Propó u solució ceptble est ecució E este cso l solució ceptd será π ( ) Ase me Dds uestrs codicioes l froter () 0 cudo 0. Tmbié podemos supoer que el rgumeto debe vler 180 π o 360 π e geerl u úmero de veces π π me π 13... Etoces E 8m 13... π ( ) Ase 13...; 0
Obteiedo el vlor de A que es A(/) 1/ el resultdo fil es: 0; pr: 0 1/ ) π se pr0 ( co: 13... Escribir l ecució de ormlició pr e u cj de potecil obté el vlor de A.
Prtícul e u cj de potecil tridimesiol El problem e ecotrr l fució de od l eergí totl de u prtícul que se mueve e tres dimesioes detro de u prlelepípedo de eergí potecil cero (ver l figur 1): V V 0 c b Prlelepípedo co eergí potecil igul cero e su iterior. El potecil es ifiitmete repulsivo fuer del prlelepípedo. El operdor miltoio pr u prtícul que se mueve e tres dimesioes es: ˆ H + V ( m ) (1) Co V() 0 detro del prlelepípedo L ecució de Scrödiger es etoces: Ĥ E
Por ls codicioes l froter l fució de od debe ser cero fuer del prlelepípedo / / / 0 ) ( c b pr Y pr llrl detro de éste dode V() 0 emos de resolver l ecució: + + E m l que cept u solució por seprció de vribles que result después de plicr ls tres codicioes l froter: 0 ) ( 0; ) ( 0; ) ( ± ± ± c b como ( ) c c b b π π π se se se 1/ 1/ 1/ co 1 3 ; 1 3 ; 1 3 Es decir se tiee tres solucioes l problem uidimesiol pr cd u de ls coordeds multiplicds etre sí co u eergí totl igul l sum de ls de cd compoete: + + 8 c b m E Si b c tedrímos el cubo de potecil co u fució de od:
( ) 3 / se π se π se π u eergí totl ( + ) E + 8m E este cso brí etoces degeerció es decir estdos cuáticos que tedrí el mismo vlor de l eergí totl como por ejemplo los que tedrí los siguietes vlores de los úmeros cuáticos: ; 1; 1 1; ; 1 1; 1; co E 6 8m Tedrímos etoces el siguiete espectro eergético:
El modelo de electroes libres e los metles Este modelo de l prtícul e l cj de potecil tridimesiol os permite costruir uo pr los electroes libres e los metles simples. El modelo más simple de u metl es que éste es u cubo de potecil de ldo dode se ecuetr N electroes ocupdo los estdos cuáticos dispoibles dispuestos por prejs (co diferete espí cd electró) e cd uo de los estdos. Est N es u úmero mu grde de tl form que que utilir u medio especil pr cotr los electroes que ocup st cierto ivel eergético de l cj de potecil. Si llmmos k k + + (1) L eergí de los electroes e l cj de potecil es etoces E 8m k () L segud colum de l siguiete tbl represet los vlores de k pr los primeros 60 estdos de los electroes e el metl.
Eiste u mer simple de cotr los estdos que tiee st u eergí dd que provec u proimció. Si colocmos los estdos como putos e u esquem tridimesiol pr los vlores de os d u digrm como el que sigue:
Pr N suficietemete grde los estdos ocupdos co electroes qued eglobdos detro de l esfer de rdio k so clculbles por el volume detro de l esfer porque cd estdo ocup e este digrm u cubo de volume uitrio. El úmero de electroes será igul l volume del octte de l esfer de rdio k multiplicdo por (porque dos electroes por cd estdo cuático co u espí diferete cd uo de ellos): 4 3 N (1/8) π k 3 (3) Así podemos despejr k de l epresió () k ( me) 1/ sustituirl e l epresió (3) pr obteer el úmero de electroes st cierto vlor de l eergí N(E): 3 8π N( E) me 3 3 ( ) 3/
Y como 3 es el volume V del cubo metálico: N( E) 8π V me 3 3 ( ) 3/ (4) El úmero de electroes libres por cetímetro cúbico de metl es perfectmete obteible prtir de l desidd ρ de l ms tómic A r e grmos. El cociete de l segud etre l primer es el volume por átomo Volume (cm 3 )/átomo ms u átomo e g/(desidd e g/cm 3 ) Por ejemplo pr el sodio ρ 0.97 g/cm 3 A r 3 um (1.6605 10-4 g/1 um) 3.819 10-3 g v A r /ρ 3.937 10-3 cm 3 /átomo Los átomos por cetímetro cúbico o so sio l ivers de est ctidd como cd átomo de sodio liber u solo electró es igul l úmero de electroes por cetímetro cúbico N T : N T ρ 3.54 10 electroes/cm 4 A ( 1.6605 10 r g/um) Cudo e l ecució 4 se despej E sustituedo N(E) como N T el vlor que se obtiee se cooce como Eergí de Fermi que es el último ivel de eergí lleo co electroes e u metl. E f 3NT π /3 8m
Pr el cso del sodio el vlor que se obtiee de l eergí de Fermi es 5.05 10-19 J 0.505 J.