.: Derivadas de orde superior: Elaborada por: Wilfredo Saravia M. Uiversidad Nacioal Autóoma de Hoduras Facultad de Ciecias Ecoómicas Guía de Ejercicios No. DET 85, Métodos Cuatitativos III E los ejercicios del al 6, ecuetre la seguda derivada de la fució dada. ) y ( + ) ) t + 5 4) g( t) t y + 5 0 ) y ( ) 5) f ( ) l ( e + ) 6) E los ejercicios del 7 al, ecuetre la derivada idicada. 7) 4 6 5 d y 4 5, 4 d d y e, f ( ) ( + ), f '''( ) 8) y + 9) d y 0) y l( ), 5 ) y d 5 d f ( ) y l( ), 4 + 5 d y 5 d ) (5) g( ), g ( ) E los ejercicios del al 8, ecuetre ua fórmula para la derivada idicada. d ) ( ) d d d 6) [ l( )] 4) d d d 5) ( e ) d d d 7) ( 4 + ) 8) ( e ).: Aplicació de la derivada e el trazado de curvas: d E los ejercicios siguietes utilice criterio de la primera derivada para determiar los Itervalos dode la fució es creciete o decreciete y ecotrar los putos máimos y míimos relativos, si eiste. Determie asimismo, de acuerdo a los sigos de la seguda derivada, los itervalos dode la fució es cócava hacia arriba y dode es cócava hacia abajo, así como los putos de ifleió, si eiste. Si es posible, ecuetre las iterseccioes co los ejes coordeados. Fialmete, co toda esta iformació trace la gráfica de la fució. ) 4 f ( ) 4 ) 5 4) 5 8 g( t) 5) 7) 6 5 0) ) f ( t) + 8) 4 6 8 f ( ) ) f ( ) ( ) 4 5 8 4 / f ( ) 6) f ( ) ( 5 ) f ( ) + + 9) d f ( ) + f ( ) ) / f ( ) ) f ( ) ( 7) / 7( 6) 4( 4 + 6) f ( ) ( 7), Ayuda : f '( ), f ''( ) / 5 / 7( 7) 9( 7)
4) f ( ) e 5) f ( ) l( + ) 6).: Aplicació de máimos y míimos a la ecoomía: f ( ) + E cada uo de los ejercicios siguietes, p es el precio uitario y es la catidad producida por uidad de tiempo, a meos que se especifique otra cosa. Los costos fijos se refiere a costos que permaece costates bajo cualquier ivel de producció e u período determiado (u ejemplo de ello es el alquiler). ) Ua empresa dispoe de L.,000 para cercar ua porció de terreo adyacete a u río utilizado a este como u lado del área cercada. El costo de la cerca paralela al río es de 5 lempiras por pie lieal istalado y el costo de la cerca para los otros dos lados restates es de 5 lempiras por pie lieal istalado. Halle las dimesioes del área máima cercada. ) (Costo promedio) U fabricate ecuetra que el costo total C de producir determiado artículo está dado por la fució: C() 0.05 + 5 + 500 Para que ivel de producció será míimo el Costo promedio por uidad? ) (Gastos de u automóvil) El costo por hora C de operar u automóvil está dado por C(v) 0.v 0.00v + 0.08, 0 v 60, dode v es la velocidad e millas por hora. A qué velocidad es el costo por hora u míimo? 4) (Igreso) La ecuació de demada para u moopolista es p 0 5. A qué precio se maimiza el igreso? 5) (Igreso) La ecuació de demada para u moopolista es: 0.0 p 0, 000e Ecuetre el valor de p para el cual se obtiee el igreso máimo. 6) (Utilidad) El costo fijo mesual de operar ua plata maufacturera de muebles se 8,000 lempiras y hay u costo variable de 0 lempiras por uidad producida. El fabri-
cate estima que la fució de demada mesual de muebles está dada por la ecuació: p 00. a) Escriba epresioes para las fucioes de costo C(), igreso R() y utilidad U(). b) Ecuetre el valor de que maimiza la utilidad. c) Ecuetre el valor (e lempiras) de la utilidad máima y grafique la fució de utilidad. 7) (Costo margial) El costo total de producir y veder uidades de ua mercacía e particular está dada por: C() 9 + +,000 Ecuetre: a) El ivel de producció para el cual el costo margial es míimo. b) El costo margial míimo. 8) (Costo promedio) El costo total de producir y comercializar uidades de cierta mercacía está dada por: 80, 000 400 + C( ) 40, 000 Para que valor de es míimo el costo promedio? 9) (Utilidad) La fució de demada para u producto es: y la fució de costo es: p 7 0.04 C() 500 + 0 A qué ivel de producció se maimiza la utilidad? A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? 0) (Utilidad) Para u moopolista, el costo uitario es de lempiras y la ecuació de demada es: p 0 Cuál es la catidad que dará la utilidad máima? A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? ) Utilidad) Para u moopolista, la demada de u producto es: p 4 4 y la fució de costo promedio es: C( ) + Ecuetre el precio que maimiza la utilidad. ) (Utilidad) Para u moopolista, la demada de u producto es: 80
y la fució de costo promedio es: Elaborada por: Wilfredo Saravia M. p 4 50 C( ) 0.5 +, 000 Ecuetre el precio y el ivel de producció que maimiza la utilidad. A este ivel, demuestre que el igreso margial es igual al costo margial. ) (Utilidad) U fabricate puede producir cuado mucho 0 uidades de cierto artículo cada año. La ecuació de demada para este producto es: y la fució de costo promedio es: p 00 +,00 0, 000 C( ) 40 + Determie el valor dode ocurre la utilidad máima y cuál es su valor. 4) (Costo) U comerciate ha determiado que, para cierto producto, el costo promedio C por uidad está dado por: dode 0. 00 ( ) 6 + 0 +, C a) A qué ivel detro del itervalo [, 0] debe fijarse la producció para miimizar el costo total? Cuál es el costo total míimo? b) Si la producció tuviese que ecotrarse detro del itervalo [5, 0], Qué valor de miimizará el costo total? 5) (Igreso) Ua empresa de cable de televisió tiee 5,000 suscriptores que paga cada uo 50 lempiras mesuales, puede coseguir,000 suscriptores más por cada 0 lempiras meos e la reta mesual. Cuál será la reta que maimiza el igreso y cuál será ese igreso? 0( 5, 000 Ayuda: El uevo precio (reta) está dado por: p( ) 50, 000 6) (Utilidad) La ecuació de demada para el producto de u moopolista es: y la fució de costo total es: p 600 0. 8 00 C( ) + +. a) Ecuetre la producció y el precio que maimizará la utilidad y determie la utilidad correspodiete. b) Si el gobiero impoe u impuesto de lempiras por uidad al fabricate (que se agregaría al costo total), Cuáles será etoces la producció y el precio que maimizará la utilidad? Cuál es ahora la utilidad?
c) Supoga que el gobiero, además del impuesto de lempiras por uidad le impoe al fabricate ua cuota de 00 lempiras por licecia de operació. Esta es ua catidad global idepediete de la producció. Demuestre que el precio y la catidad permaece iguales. Si embargo, idique por qué se tedrá ua meor utilidad. 7) (Elasticidad de la demada) Para la ecuació de demada lieal p 0.05. Determie si la demada es ielástica, elástica o de elasticidad uitaria, a los siguietes iveles de precios: a) p 0, b) p c) p 6.5. 8) (Elasticidad de la demada) Para qué valor (o valores) de tiee elasticidad uitaria las siguietes ecuacioes de demada? a) p 6 0.. b) p,00. 9) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para u producto es: 500 40p + p dode p es el precio (e lempiras) y es la catidad demadada (e miles). Ecuetre la elasticidad de la demada cuado p 5. Si el precio de p 5 se icremeta 0.5%, Cuál es el cambio aproimado e la demada? 0) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para cierto producto es: p, 500, dode p es el precio. Ecuetre la elasticidad de la demada cuado p L.0 y use este valor para calcular el cambio porcetual aproimado de la demada si el precio de L.0 se baja a L.8.50. ) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada para el producto de u fabricate es: p a) Verifique que 0 cuado p. 00 6, 000 + 0 b) Determie la elasticidad de la demada cuado p. Es la demada elástica, ielástica o tiee elasticidad uitaria e ese puto? c) Si el precio (cuado p ) dismiuye e u %, Cuál es el úmero aproimado de uidades e que la demada cambia? d) Si el precio (cuado p ) dismiuye e u %, el igresos total crecerá, dismiuirá o permaecerá costate? ) (Elasticidad de la demada) Dada la ecuació de demada: ( + p ) p, determie de la demada cuado p 9. ) (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada de u producto es:. 5
60 + l( 65 p ). p a) Determie la elasticidad de la demada cuado p 4 y clasifíquela como demada elástica, ielástica o de elasticidad uitaria a este ivel de precio. b) Si el precio dismiuye el % (de L. 4 a L..9), utilice la respuesta de la parte a) para estimar el cambio porcetual correspodiete e la catidad vedida. c) Resultará los cambios e la parte b) e u icremeto o e ua dismiució e el igreso? Eplique su respuesta. 4) (Elasticidad de la demada) U fabricate de puertas de alumiio puede veder actualmete 500 puertas por semaa al precio de L. 800 cada ua. Si el precio se baja a L. 750 cada ua podría vederse 50 puertas adicioales por semaa. Estime la elasticidad actual de la demada para las puertas y tambié el valor actual de la fució de igreso margial del fabricate. 5) Dada la ecuació de demada: p,000 -, dode 5 0, Para que valor de es η u máimo? Para qué valor es u míimo? 6) Dada la ecuació de demada: p 00 + 5, dode 5 95, Para que valor de es η u máimo? Para qué valor es u míimo?.4: Difereciació implícita. ) E los ejercicios siguietes del (a) al (w), ecuetre dy d a) 9 4 + y b) d) 9 6 44 4 6 + y c) 6 por difereciació implícita. 5 4 y / / y e) 4 + 9 y 6 f) + y / / g) + y 4 h) y 8 i) y j) + y 4 0 k) y + y 0 l) + y 4y 4 m) y + y 0 ) y + 5y 0 ñ) + 4 y
o) y + y p) + y y 9 q) y + 5y l( ) y r) y l( ) e s) l( y) 5 y t ) e + y u) y + a b, a y b costates v) y l( y ) + w) ( + e ) + l( + y) ) Si y + y + y 4, ecuetre dy d e el puto (, ). ) Si y + y +, ecuetre dy d e el puto (, ). 4) Ecuetre la pediete de la recta tagete a la gráfica de la hipérbola 9y 6 44 e el puto (0, 4) y tambié e el puto (a, b). 5) Ecuetre la pediete de la tagete a la gráfica ( 64 + y ) y + e el puto (, 0). 6) Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la curva puto (, ). 7) Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la curva el puto (, ). 8 + y e el + y y e 8) (Propesió margial al cosumo) Los Ahorros S de u país se defie implícitamete e térmios de su igreso acioal I por medio de la ecuació: + 4 S +, S I I I dode S e I está dados e miles de milloes de lempiras. Ecuetre la propesió margial al cosumo cuado I 6 y S. dc ds Ayuda: C + S I o bie +, dode S es el ahorro y C es el cosumo. di di.5: Difereciació logarítmica.. E los ejercicios del (a) al (l) ecuetre y ' por difereciació logarítmica. a) c) e) g) y ( + ) ( )( + ) b) 4 5 5 y ( + ) ( )( + ) y ( ) ( + ) d) y ( 4 ) + + + f) y ( ) + + y + y h) y + 9 + 7
i) k) y y + 5 ( ) ( ) ( + ) ( + )( ) + Elaborada por: Wilfredo Saravia M.. E los ejercicios del (a) al (h) ecuetre y '. j) l) y y 5 ( + ) + 0( ) e + a) e) y b) ( ) y f) y c) y ( ) d) y y g) y e h) y [ + l( )] e ( + ) ( ), ecuetre dy. Si y cuado. d l( ) 4. Si y [ + l( )], ecuetre dy cuado e. d 5. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva puto e que 0. y ( + )( ) ( + ) e el 6. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva y e ( + ) e el puto para el cual. 7. Ecuetre la ecuació de la recta tagete a la curva para el cual. 8. Si y, ecuetre dy cuado. d y e ( + ) e el puto 9. (Elasticidad de la demada) La ecuació de demada de u producto es: 0.00 + 5 p 50( 0 ) dp a) Demuestre que 0. 75 d cuado se demada 00 uidades. Utilice difereciació logarítmica. b) Co el resultado de la parte a), determie la elasticidad de la demada cuado se demada 00 uidades. A este ivel, es la demada elástica, ielástica o es de elasticidad uitaria? c) Utilice el resultado de la parte b) para estimar el precio por uidad si la demada dismiuye de 00 a 88 uidades. d) Si la demada actual es de 00 uidades, deberá el fabricate aumetar o dismiuir el precio para icremetar el igreso? Justifique su respuesta..5: Difereciales. 8
) E los ejercicios siguietes del (a) al (l), ecuetre la diferecial de la fució dada e térmios de y d. a) y b) y 5 c) y d) f ( ) + e) f ( ) ( 5 4 + f) f ( ) l( + ) g) f ( ) e + h) + f ( ) ( + ) e i) f ( ) l + j) f ( ) k) f ( ) + l) f ( ) ) E los ejercicios siguietes del (a) al (f), ecuetre dy y Δy para los valores de y d dados. a) y 4 7;, d 0. 0 b) c) y 4 + 5 ;, d 0 d) 6 ; 0 0 y, d. ; 0 0 y ( + ), d. e) y 5 ; 4, d 0. f) y l( ); 5, d 0. ) Sea + 5 f ( ), + a) Evalúe f(). b) Utilice difereciales para estimar el valor de f '(. ). 4) Sea f ( ), a) Evalúe f(). b) Utilice difereciales para estimar el valor de f '( 0. 98). 5) E los ejercicios del (a) al (h) aproime cada epresió por medio de difereciales: a) 99 b) c) 4 80 d) 5 05 e) l( 0. 98) f) l(. 0) g) 0.0 e h) 0.0 e 9