Modlo Eléctrico dl Cátodo d una Dscarga d Alta Prsión d Sodio José Luis Tapia Fabla 1, Yulia Nikolavna Ldnva 1, Rné Arnulfo García Hrnándz 1. 1 Dpartmnto d Ingniría d Softwar Univrsidad Autónoma dl Estado d México Unidad Académica Profsional Tianguistnco Para dl Tocot, San Pdro Tlaltizapan, Tianguistnco Estado d México, C.P. 52640. ltapiaf@uamx.mx Rsumn. En st trabao s prsnta l dsarrollo d un modlo léctrico dl cátodo (ECM) d una dscarga HPS basado n las cuacions físicas qu dscribn su comportaminto léctrico. El modlo propusto valúa la caída d volta instantána n la cubirta dl cátodo (caída d volta prdominant n una lámpara HPS) y la distribución d tmpratura dntro dl mismo usando como parámtros d ntrada la gomtría dl cátodo y la corrint d la dscarga. El ECM s basa n la cuación dl transport d calor dl lctrodo; dicha cuación fu rsulta mplando l método d lmntos finitos. Los rsultados obtnidos furon comparados con los rportados n la litratura, ncontrándos una buna corrspondncia. Por lo antrior, s concluy qu l ECM s una hrraminta qu ayuda a ntndr la intracción ntr la dscarga y l cátodo. 1. Introducción Los lctrodos d una lámpara d dscarga gasosa constituyn la intrfaz ntr la columna positiva y l circuito lctrónico. Una fracción important d la potncia léctrica suministrada a la lámpara s disipa n los lctrodos rsultando n una pérdida d potncia para fctos d iluminación. Por lo tanto, rsulta sncial comprndr la intracción ntr los lctrodos y la columna positiva para tratar d rducir las pérdidas d nrgía y morar l dsmpño d la lámpara. El studio xprimntal d la intracción ntr l cátodo y la columna positiva d una dscarga rsulta difícil d ralizar usando lámparas comrcials porqu éstas no cuntan con trminals qu prmitan mdir la caída d potncial n los lctrodos, así qu s ncsario una disposición xprimntal sofisticada para ralizar las mdicions. Admás, n algunos casos las dimnsions d las dscargas son tan pquñas, qu rsulta difícil ralizar las mdicions. Conscuntmnt, un modlo numérico d la intracción plasma-cátodo rprsnta una buna opción para llvar a cabo dicho studio. En st trabao s propon un modlo léctrico dl cátodo ECM d una dscarga, l cual s capaz d prdcir la caída d volta a través d la cubirta M.A Cruz-Chávz, J.C Zavala Díaz(Eds):CICos2009, ISBN:978-607-00-1970-8, pp. 210-220, 2009.
Modlo Eléctrico dl Cátodo 211 dl cátodo bao difrnts frcuncias y formas d onda d la corrint d alimntación. El ECM s basa n la cuación dl transport d calor n l lctrodo y la cuación d las pérdidas léctricas n l frnt dl lctrodo propusta por J.J. d Groot & Van Vlint [Groot, 1986]. Esta cuación rlaciona l gradint d tmpratura n l frnt dl lctrodo (suprfici activa) con la caída d potncial n l mismo. El ECM fu dsarrollado n Matlab aplicando l método d solución d lmntos finitos. El modlo propusto stá basado n cuacions físicas qu dscribn l comportaminto léctrico dl cátodo y por lo tanto s válido bao divrsas condicions d opración. El usuario dl ECM solo ncsita introducir la amplitud, frcuncia y forma d onda d la corrint d la columna positiva, y para una gomtría dl cátodo dada, l modlo prdcirá la caída d volta instantána n l cátodo. Admás, usando l ECM s posibl calcular la distribución d tmpratura dntro dl cátodo. Esto rsulta d gran intrés porqu la vida útil d una lámpara HPS stá furtmnt rlacionada con la distribución d tmpratura n los lctrodos [Tilmans, 1983]. 2. Gomtría dl Cátodo El cátodo d una dscarga HPS alcanza una alta tmpratura durant su funcionaminto, por lo qu ést db sr laborado d un matrial rfractario, con un punto d fusión alto. La gomtría dl cátodo d una dscarga HPS s mustra n la figura 1. Fig. 1. Scción transvrsal dl cátodo d una lámpara d dscarga HPS [Fabla, 2007]. El cátodo d una dscarga HPS stá compusto por una barra d tungstno, nvulta con una o dos bobinas dl mismo matrial; lo antrior con l obtivo d incrmntar la suprfici radiativa. Entr las bobinas s dposita una mzcla activadora d bario qu prmit una mayor misión d lctrons.
212 J.L. Tapia, Y. Nikolavna, R.A. García 3. Modlo Tórico D acurdo con J.J Groot & van Vlint [Groot, 1986], las pérdidas léctricas ( P k ) n l frnt dl cátodo ( y 0 ) d una dscarga HPS stán dfinidas por la cuación: 1 3 dt P 2 k d K (1) 4 dy y0 dond: d simboliza l diámtro n l frnt dl lctrodo, K s la 1 2 conductividad térmica dl tungstno, y z( d ) rprsnta la coordnada axial rducida con z igual a la coordnada axial y T s la tmpratura dl lctrodo. Como s pud obsrvar n la cuación (1), la caída d potncial n l cátodo stá rlacionada con l gradint d tmpratura n su suprfici activa. Po lo qu para calcular las pérdidas léctricas n l lctrodo d una dscarga, s ncsario obtnr la distribución d tmpratura a través dl mismo usando una dtrminada corrint léctrica y condicions d frontra. Una vz qu s conoc la distribución d tmpratura s posibl spcificar l gradint d tmpratura n la suprfici activa dl lctrodo. 3.1 Cálculo d la Tmpratura n la Suprfici Activa dl Cátodo La misión trmo-iónica d lctrons, n l caso dl cátodo d una dscarga HPS, s v favorcida con l campo léctrico aplicado y por la prsncia d la capa activadora, qu rduc la función d trabao n la suprfici dl lctrodo. En st studio s asum qu la dnsidad d corrint n la suprfici activa dl cátodo ( ) stá dfinida por: i dond i rprsnta la dnsidad d corrint iónica y s la dnsidad d corrint d lctrons compusta por: la misión scundaria ( sc trmo-iónica corrgida por l campo léctrico ( ) rlacionada con l procso γ-townsd y por la misión th ) (dscrita n la cuación d Richardson-Dushman cuación (4)). Por lo tanto:. D acurdo con [Shrman, 1977], la misión d lctrons scundarios dbida al bombardo d ions d sodio sobr l cátodo d tungstno s igual al 1% d los ions qu alcanzan l cátodo. Usando l coficint β-waymouth, l cual stablc una rlación ntr la dnsidad d corrint iónica i y lctrónica n la cubirta dl cátodo d una dscarga HPS [Waymouth, 1982] tnmos: th sc
Modlo Eléctrico dl Cátodo 213 i th i sc (2) sc i (3) th E A T 2 ( k ) xp (4) k T 2 3 6-2 2 dond: A 4 m k h 1.210 A m, simboliza la constant d Richardson-Dushman [Flsch, 2006], y m rprsntan la carga y la masa dl lctrón rspctivamnt, h s la constant d Planck, k s la constant d Boltzmann, E k corrspond al campo léctrico aplicado n la suprfici dl cátodo y s rlaciona con la caída d potncial ( V ) mdiant la cuación d MacKown 2 [Mackown, 1929]: E m V k 4 i 0 i k 2 k dond m i rprsnta la masa iónica dl sodio, 0 s igual a la constant diléctrica dl vacío, y: ( Ek ) E k 0 ( E k ); ( E k ) (5) 4 0 Aquí, 0 s la función d trabao para l tungstno y simboliza la corrcción Schottky para la función d trabao dl tungstno. Para calcular la tmpratura n la suprfici activa dl cátodo d una dscarga HPS, s asum qu l acoplaminto ntr l arco y l cátodo s d modo difuso [Lichtnbrg, 2002]. Cuando l cátodo opra n modo difuso, l plasma cubr la suprfici activa dl lctrodo y sus lados. En l prsnt studio s supon qu únicamnt la suprfici activa dl cátodo participa n la misión trmo-iónica. Las otras zonas dl lctrodo son considradas inactivas dsd l punto d vista d misión lctrónica [Lichtnbrg, 2002]. Tomando n cunta los argumntos antriors y substituyndo las cuacions (2) y (3), n la cuación (4), s posibl drivar la siguint cuación qu rlaciona la dnsidad total d corrint con la tmpratura n la suprfici activa dl cátodo T ): ( act E 1 ( A Tact xp 2 1 k T k act ) (6)
214 J.L. Tapia, Y. Nikolavna, R.A. García Rsolvindo la cuación antrior s pud dducir la tmpratura n la suprfici activa dl cátodo qu produc una dnsidad d corrint igual a la corrint d la dscarga. D acurdo con Waymout [Waymouth, 1982], l valor dl coficint s considrado como l 20% d la dnsidad d corrint d lctrons. 3.2 Ecuación dl Transport d Calor dl Elctrodo La distribución d tmpratura dntro dl cátodo y n su suprfici activa pud obtnrs rsolvindo la cuación dl transport d calor dl lctrodo (cuación (7)), usando las condicions d frontra dadas (vr scción 3.3). La cuación (7) dscrib la variación d la cantidad d calor por unidad d volumn n l lctrodo [Crista, 2003]: T c p S K T (7) t dond: rprsnta la dnsidad, c p la capacidad calorífica spcífica, T s la tmpratura dl lctrodo, t dnota la dpndncia dl timpo d la cuación y K simboliza la conductividad térmica dl tungstno. El término S d la cuación (7) rprsnta la potncia disipada n l lctrodo por unidad d volumn dbida al fcto Joul y s dada por la cuación [Crista, 2003]: S 2 (8) Aquí rprsnta la dnsidad d corrint d la dscarga y la conductividad léctrica dl lctrodo. El calor producido n l curpo dl lctrodo dbido a la circulación d la corrint d la dscarga a través dl mismo, lva su tmpratura y por consiguint l valor d la conductividad léctrica cambia; st cambio stá dtrminado por la rlación [Crista, 2003]: ( T) o 1 T Tact (9) Las constants 0 y dpndn dl matrial dl cual stá constituido l cátodo. Para l caso dl tungstno sus valors s mustran n la Tabla 1. Admás, la condición suplmntaria siguint (para la corrint total d la dscarga) db sr vrificada: r0 2 r dr I (10) 0
Modlo Eléctrico dl Cátodo 215 dond: r0 d 2 s l radio dl cátodo, r s la coordnada radial I rprsnta la corrint n la dscarga. Tabla 1. Coficints dl tungstno [Crista, 2003] Símbolo Valor Unidads 19300 [kg m -3 ] c p K 0 133 776/(T0.256) [J kg -1 K -1 ] [W m -1 K -1 ] 5.28X10-8 [Ω -1 m -1 ] 6.76X10-3 [K -1 ] 3.3 Condicions d Frontra El frnt (suprfici activa) y l xtrmo postrior dl cátodo furon caractrizados con una condición d frontra d Dirichlt. La tmpratura n l xtrmo postrior dl cátodo d una dscarga HPS similar a la modlada n st studio fu mdida xprimntalmnt por Crista T nd 600K [Crista, 2003]; n l prsnt studio, ant la imposibilidad d ralizar sta mdición, s usó l valor rportado. La tmpratura n la suprfici activa dl cátodo T act s obtin al rsolvr la cuación (6) para una dtrminada dnsidad d corrint d la dscarga. Las condicions d frontra n los bords dl cátodo s dfiniron como condicions d Numann; l significado físico d stas condicions s l intrcambio continuo dl fluo nrgético (radiación, conducción, convcción) ntr l cátodo y l mdio adyacnt. La cuación qu dfin la condición d frontra s [Crista, 2003]: T K( Tb ) n b n ( Tb Tamb ) ( Tb ) ( T 4 b (11) dond: T rprsnta la tmpratura dl cátodo n l bord, b T amb s la tmpratura ambintal, s l coficint d convcción, simboliza la misividad dl tungstno y s la constant d Stfan Boltzmann. El término ( T n) b rprsnta la drivada d la tmpratura n dircción normal n a la suprfici activa dl cátodo.
216 J.L. Tapia, Y. Nikolavna, R.A. García 4. Rsultados y Discusión El procdiminto mplado para calcular las caractrísticas léctricas dl cátodo s rsum n l diagrama d fluo mostrado n la figura 2. En st diagrama los parámtros d ntrada y salida son rprsntados mdiant rctángulos rdondados para difrnciarlos d los rctángulos qu idntifican a los pasos d procso. Como s pud vr, para obtnr la tmpratura n la suprfici activa dl lctrodo s ncsario conocr la caída d volta inicial n l cátodo y la corrint d la dscarga. Con la tmpratura obtnida s posibl calcular la distribución d tmpratura a través dl lctrodo, y continuando con los pasos subscunts s pud obtnr una nuva caída n l cátodo qu cumpla con las condicions impustas. El procso s rpit hasta qu l programa convrg. La cuación (7) fu rsulta n Matlab usando l método d lmntos finitos. Las dimnsions dl cátodo mplado furon (vr figura 1): d =1 mm, r 2 =1.5 mm, r 3 =1.0 mm, d 1 =1.5 mm, d 2 =3 mm, d 3 =5 mm. Los rsultados obtnidos s prsntan a continuación. Corrint d la dscarga calculada 0 Ek 1 ( ) ATact xp 2 1 ktact calculada. 03 sí fin no Tmpratura n la suprfici activa dl cátodo T c p S K T t calculada 1 ( Ek ) ATact xp 2 1 ktact Distribución d tmpratura n l cátodo dt dy y 0 Gradint d tmpratura n la suprfic activa dl cátodo 3 1 dt 2 Pk d K 4 dy y 0 Caída d potncial n l cátodo Fig. 2. Solución structurada para calcular la caída d volta n la cubirta dl cátodo d una dscarga HPS [Fabla, 2007].
Modlo Eléctrico dl Cátodo 217 4.1 Cálculo d la Tmpratura n la Suprfici Activa dl Cátodo La tmpratura n la suprfici activa dl cátodo s obtin mdiant la cuación (6). La solución fu consguida por mdio d un procso itrativo qu cambia la tmpratura n la suprfici activa dl cátodo y calcula la corrint ncsaria para alcanzar dicha tmpratura, l procso finaliza cuando s convrg con la corrint impusta por la dscarga. En otras palabras, la solución d la cuación (6) s una tmpratura qu produc una dnsidad d corrint léctrica igual a la d la dscarga. Los rsultados dl procso antrior, para una dnsidad d corrint d la dscarga d 1.2732 106 A/m 2 n una lámpara HPS (400 W), s mustran n la figura 3. La tmpratura obtnida n la suprfici activa alcanza los 1650 K. Fig. 3. Solución gráfica para la tmpratura d la suprfici activa dl cátodo usando una dnsidad d corrint d la dscarga d 6 1.2732x10 Am 2. 4.2 Cálculo d la Distribución d Tmpratura n l Elctrodo En la figura 4 s prsnta la distribución d tmpratura a través dl cátodo d una dscarga HPS, obtnida para una tmpratura n la suprfici activa d T act 1650 K la cual corrspond a una corrint n la dscarga d 4 A. Como s pud obsrvar, la distribución d tmpratura prsnta simtría axial. Considrando qu n modo difuso la tasa d agotaminto d la capa misiva dl cátodo s la misma n todos los puntos, ntoncs s pud suponr qu n st modo d opración l cátodo funcionará apropiadamnt hasta la conclusión d la capa misiva. La distribución d tmpratura dntro dl cátodo d una dscarga rsulta d gran intrés dbido a qu la vida útil d las lámparas HPS stá íntimamnt rlacionada con dicha distribución [Flsch, 2006].
218 J.L. Tapia, Y. Nikolavna, R.A. García Fig. 4. Distribución d tmpratura (scala d griss) y fluo d calor (flchas) n l cátodo d un dscarga HPS. 4.3 Cálculo dl Gradint n la Suprfici Activa dl Cátodo Una vz qu s cunta con la distribución d tmpratura n l intrior dl cátodo, s posibl calcular l gradint d tmpratura n l frnt dl lctrodo (suprfici activa). En la figura 5 s mustra l prfil d tmpratura n l cntro dl cátodo d una dscarga HPS. En l frnt dl lctrodo la tmpratura s d 1650 K; sin mbargo, la tmpratura dcrc rápidamnt cuando s aproximan a la part postrior dl lctrodo alcanzando un valor d 600 K. El dcrmnto d tmpratura s dbido a las pérdidas por conducción y radiación dl cátodo dfinidas n las cuacions (7) y (11). Asimismo, n la figura 5 s mustra l gradint d tmpratura n la suprfici activa dl lctrodo. El prfil d tmpratura fu comparado con las rfrncias [Crista, 2003], s ncontró una buna corrspondncia n cuanto a la pndint dl prfil n los primros 5 mm; sin mbargo, xist una notabl difrncia n la part postrior dl lctrodo. Lo antrior s xplica dbido al hcho d qu para l cálculo dl prfil d tmpratura, los autors d las rfrncias antriormnt citadas, considran qu l lctrodo s una barra d longitud infinita, y l cálculo lo ralizan d manra unidimnsional. Fig. 5. Gradint d tmpratura n la part frontal dl cátodo usando una corrint snoidal d 4 A d 60 Hz.
Modlo Eléctrico dl Cátodo 219 Usando l gradint d tmpratura d la suprfici activa dl cátodo, obtnido n la scción prvia, s pudn calcular las pérdidas léctricas y conscuntmnt s logra dtrminar la caída d potncial n l cátodo. En la figura 6 s rsum l procdiminto adoptado n st studio para dtrminar la influncia d la frcuncia y forma d onda d la corrint d la dscarga n la opración dl cátodo ECM I (f, wf) Fig. 6. Diagrama dl modlo léctrico dl cátodo (ECM) propusto. Como s pud obsrvar, para ralizar l studio dscrito, s aplica una funt d corrint I con frcuncia (f) y forma d onda (wf) al modlo propusto ECM. En la Tabla 2 s rportan algunos rsultados típicos obtnidos para cátodos d tungstno n dscargas HPS, lo antrior con l propósito d validar l modlo dsarrollado. D la Tabla 2 s important notar un ligro incrmnto n la caída d volta al aumntar la frcuncia. Las difrncias qu aparcn con las rfrncias consultadas son dbidas probablmnt a las simplificacions considradas n l modlo propusto. Tabla 2. Caída d volta típica obtnida para cátodos d tungstno n dscargas HPS. Matrial dl cátodo Gas Corrint [A] Forma d onda d la corrint Frcuncia [Hz] Caída d volta n l cátodo [V] (pico) Caída d volta n l cátodo[v] (pico) Tungstno sodio 4.45 sinusoidal 60 17 [Groot, 1986] 16.4 ECM Tungstno sodio 4 sinusoidal 60 20 [Waymouth, 1982] 19.5 ECM Tungstno sodio 4.45 sinusoidal 40000 24.6 [Groot, 1986] 22 ECM Tungstno sodio 4 sinusoidal 40000 25.3 [Waymouth, 1982] 24 ECM 5 Conclusions En l prsnt trabao s disñó un modlo léctrico dl cátodo d una dscarga HPS dispusto para l disño d balastras lctrónicas. El modlo s basa n la cuación d la transfrncia d calor y la cuación d las pérdidas léctricas dl lctrodo. Fué implmntado n Matlab mdiant l uso dl método d lmntos finitos. Dbido a qu l modlo propusto stá basado n cuacions físicas qu dscribn l comportaminto léctrico dl cátodo, los rsultados obtnidos con st modlo son validos sobr distintas condicions d opración. El ECM s capaz d prdcir la caída d volta n la cubirta dl lctrodo, bao difrnts frcuncias y formas d onda d la corrint d alimntación. Usando l ECM s posibl dtrminar la distribución d tmpratura n l intrior dl cátodo, lo cual s d gran
220 J.L. Tapia, Y. Nikolavna, R.A. García intrés dbido a qu la vida útil d una lámpara HPS stá furtmnt rlacionada con ésta. Los rsultados obtnidos usando l modlo furon comparados con los rportados n la litratura y s ncontró qu l modlo prdic d una manra satisfactoria los parámtros léctricos n l cátodo d una dscarga HPS. Por lo antrior s pud concluir qu l ECM s una hrraminta qu ayuda a ntndr la intracción ntr la dscarga y l cátodo con l obtivo d morar l disño d balastras lctrónicas. 6. Rfrncias 1. Crista M. y Zissis G. (2003).Thin barium layr formation and its influnc on tungstn lctrod arc attachmnt mods in HID lamps. Journal of Optolctronics and Advancd Matrials, 5: 511-520. 2. Fabla J. L. T., Pachco-Sotlo J. O., Pachco M. P., Bnitz-Rad J. S., Lopz- Callas R., Zissis G., Bhosl S. (2007). Modling th voltag drop across th cathod shath in HPS. IEEE Trans. Plasma Sci., 35: 1104-1110. 3. Flsch P. (2006). Light and Light Sourcs, High-Intnsity Discharg Lamps. Brlin: Springr. Grmany. 4. D Groot J. J, van Vlit J. A. J. M. (1986). Th high prssur sodium lamp. MacMillan Education, Dvntr. 5. Lichtnbrg S., Nandlstädt D., Dabringhausn L., Rdwitz M., Luhmann J. y Mntl J. (2002). Obsrvation of diffrnt mods of cathodic arc attachmnt to HID lctrods in a modl lamp. J. Phys. D: Appl. Phys., 35: 1648-1656. 6. Mackown S. S. (1929). Th cathod drop in an lctric arc. Physical Rviw, 34: 611-614. 7. Shrman J. C. (1977). Scondary lctron mission by multiply chargd ions and its magnitud in vacuum arcs. J. Phys. D: Appl. Phys., 10: 355-359. 8. Tilmans P., Oostvogls F. (1983). Elctrod tmpratur in high prssur gas discharg lamps. Philips J. Rs., Vol. 38, pp. 214-223. 9. Waymouth J. F. (1982). Analysis of Cathod-Spot Bhavior in High-Prssur Discharg Lamps. J. Light & Vis. Env., 6: 53-64.