Guía para la Presetacó de Resultados e Laboratoros Docetes Prof. Norge Cruz Herádez Departameto de Físca Aplcada I Escuela Poltécca Superor Uversdad de Sevlla Curso 05-06 6 de octubre de 05 I Itroduccó Las cecas aturales trata de explcar los feómeos del mudo que os rodea a partr de modelos y teorías. U paso fudametal cosste e hacer expermetos que srve de base a la teoría y/o que la poe a prueba. Medr ua magtud es compararla cuattatvamete co otra de su msma aturaleza tomada como udad patró. Cuado decmos que ua pared tee 4,5 m de acho estamos dcado que el metro patró cabe cuatro veces y meda e el acho de esa pared. O al decr que u preparado químco tee 8,4 g estamos comparado la masa del preparado co las de 8 pestas de u gramo y co cuatro pestas de décmas de gramos, establecedo ua equvaleca etre las masas de estas pesas y la del preparado. La Metrología es la ceca de la medda. Su objeto fudametal es el estudo y evolucó de las propedades medbles, las escalas de medda, los sstemas de udades, y los métodos y téccas de medcó, así como la valoracó de la caldad de las medcoes y su mejora costate, facltado el progreso cetífco, el desarrollo tecológco, el beestar socal y la caldad de vda. S medcoes correctas o hay I+D caldad, y s lo ateror o hay desarrollo, compettvdad, futuro para la ecoomía. A cotuacó eumeramos alguos coceptos que será de uso tesvo a lo largo del trabajo e el laboratoro: Magtud: Propedad de u feómeo, cuerpo o sustaca, que puede expresarse cuattatvamete medate u úmero y ua refereca (habtualmete ua udad de medda). Mesurado: Magtud que se desea medr. Durate el trabajo expermetal e el laboratoro podemos realzar medcoes drectas o drectas. E el prmer caso usamos u strumeto de medda. E el segudo caso, las meddas drectas, se obtee a partr del uso de ua expresó
matemátca o método de aproxmacó umérco. Por ejemplo, cuado medmos co u croómetro el tempo de caída lbre de u cuerpo estamos realzado ua medcó drecta. S el valor meddo lo utlzamos para calcular la aceleracó de la gravedad, etoces la determacó de la gravedad es ua medcó drecta. Toda medcó, drecta ó drecta, está sujeta a certa certdumbre y o debe expresarse como u úmero exacto. La matemátca y las teorías físcas trabaja co úmeros exactos, pero el trabajo expermetal e los laboratoros requere el uso de úmeros aproxmados. Y las operacoes matemátcas co los úmeros aproxmados o da tampoco resultados exactos, so aproxmados, por lo que es ecesaro defr u método de expresar correctamete las meddas drectas e drectas. Solamete así podremos estar seguros de hasta qué puto so certas las leyes, teorías y modelos de ua ceca, y hasta qué cfra es cofable el resultado de u aálss clíco, químco, botáco, o físco. II Errores Durate cualquer medcó tee lugar ua sere de errores proveetes de dsttas fuetes: el propo mesurado (defcó y/o realzacó práctca), el strumeto de medda, las codcoes ambetales, el operador, etc., los cuales se clasfca e sstemátcos y aleatoros. Los prmeros puede cacelarse o corregrse, s se cooce sus causas, metras que sobre los segudos, de comportameto mpredecble, o puede actuarse de la msma maera. Ambos errores cotrbuye a la certdumbre de la medda, auque debe quedar be claro que so dsttos de esta. A cotuacó defremos alguos coceptos relacoados co los errores: Errores absoluto y relatvo: Cualquer error puede expresarse e valor absoluto (error absoluto) o e valor relatvo (error relatvo). Así, s al medr ua magtud, se ecuetra ua magtud dstta, más o meos cercao a, la dfereca se deoma error absoluto ( ). El error absoluto puede ser postvo o egatvo (o hay que cofudrlo co el valor absoluto del error) y tee las msmas dmesoes que la magtud que se mde. E alguas medcoes, como las de logtud, este error suele deomarse desvacó del valor omal. El error relatvo, se defe como, os ofrece mayor dea de la dmesó del error absoluto, al compararlo co el valor de la magtud medda. El error absoluto o lo podemos coocer, lo úco que podemos es estmarlo. Error aleatoro: Compoete del error de medda que, e medcoes repetdas, varía de maera mpredecble (Fgura ). El error aleatoro oscla e toro a u valor medo y se supoe que procede de varacoes temporales y espacales de las magtudes de flueca (temperatura, humedad, presó, etc.). No es posble compesar el error aleatoro de ua medda, pero puede reducrse cremetado el úmero de observacoes, a f de dsmur la dspersó e toro al valor medo. Error sstemátco: Compoete del error de medda que, e medcoes repetdas permaece costate o varía de maera predecble (Fgura ).
El error sstemátco o puede elmarse totalmete, pero puede reducrse o cluso corregrse, s se detfca sus causas. Por ejemplo, el error obtedo al medr ua peza a ua temperatura dstta de la de refereca, puede corregrse teedo e cueta la dlatacó o cotraccó sufrda por la peza. Cuado o es posble aplcar ua correccó, debe sumarse todo el error sstemátco a la certdumbre de medda expadda. Correccó: Compesacó de u efecto sstemátco estmado. Puede ser: adtva, multplcatva, o deducrse de ua tabla. Fgura. Hstograma de ua medcó realzada varas veces. III Exacttud y precsó Exacttud: Proxmdad etre el valor medo y el valor verdadero de u mesurado. Precsó. Proxmdad etre las dcacoes o los valores meddos obtedos e medcoes repetdas de u msmo objeto, o de objetos smlares bajo codcoes especfcadas (Fgura ). El cocepto de exacttud de u strumeto de medda se refere a la capacdad de dar valores o dcacoes próxmas al valor verdadero de la magtud medda. Ua medcó, o el resultado, es más exacto cuato más pequeño es el error sstemátco de medda; es decr, cuato meor es la dfereca etre el valor medo de los resultados obtedos y el valor covecoalmete verdadero de la magtud. La dea de precsó de u strumeto de medda refleja la capacdad de dar valores o dcacoes próxmas etre sí al efectuar medcoes repetdas (Fgura ). Ua medcó, es más precsa cuato meor es la dspersó que preseta etre sí los resultados obtedos.
Auque e el leguaje de la calle, exacttud y precsó suele tomarse como sómos, e metrología, la dferecacó etre ambos es muy clara. E la fgura, el cetro de la daa represeta el valor covecoalmete verdadero y los dsttos putos, los resultados de medda obtedos e ua sere de repetcoes. Fgura. IV Icertdumbre de medda Se le llama certdumbre (ucertaty) de medda a u parámetro o egatvo asocado al resultado de ua medcó, que caracterza la dspersó de los valores y que podría ser razoablemete atrbudos al mesurado. També podemos llamarle así a la medda del error posble e el valor estmado del mesurado, proporcoado como resultado de ua medcó, o la estmacó que expresa el campo de valores detro del cual se halla el verdadero valor del mesurado. Por ejemplo, cuado medmos ua magtud, uestro resultado lo escrbmos como. La certdumbre (llamada certdumbre expadda e la Gude to the Expresso of Ucertaty Measuremet - GUM) es el valor que se coloca a cotuacó del, es decr,. Esto sgfca que el valor verdadero de se ecuetra e el tervalo,. A cotuacó señalamos otros coceptos que será de uso comú a lo largo de este maual. Icertdumbre típca: Icertdumbre del resultado de la medda, expresada e forma de desvacó típca y se deota como, sedo la magtud medda. Icertdumbre típca relatva: Se llama así al valor y se expresa e %. El úmero así calculado os dca ua forma de comparacó porcetual del valor de la certdumbre típca co el valor de la medda.
Icertdumbre típca combada: Icertdumbre típca del resultado de ua medcó, que se obtee a partr de los valores de otras magtudes, gual a la raíz cuadrada postva de ua suma de térmos, sedo éstos las varazas o covarazas de esas otras magtudes, poderadas e fucó de la varacó del resultado de medda co la varacó de dchas magtudes. Habtualmete se deota como. Icertdumbre típca combada relatva: Se llama así al valor y se expresa e %. El úmero así calculado os dca ua forma de comparacó porcetual del valor de la certdumbre típca combada co el valor de la medda. Icertdumbre expadda (e alguos textos smplemete ): Magtud que defe u tervalo e toro al resultado de ua medcó, y e el que se espera ecotrar ua fraccó mportate de la dstrbucó de valores que podría ser atrbudos razoablemete al mesurado. Habtualmete a la certdumbre expadda de la medda se le deota. Factor de cobertura. Factor umérco utlzado como multplcador de la certdumbre típca, para obteer la certdumbre expadda. Habtualmete a este factor se le deota como. Así, podemos escrbr. U factor de cobertura típco, toma valores compreddos etre y 3. A la hora de expresar el resultado de ua medcó de ua magtud físca, es oblgado dar algua dcacó cuattatva de la caldad del msmo o, dcho de otro modo, de la cofaza que se tee e él. S dcha dcacó, las medcoes o puede compararse etre sí, co otros valores de refereca. Esto se dca e la forma:, dode es el resultado más probable y es la certdumbre de medda asocada al msmo. El cocepto de certdumbre es relatvamete uevo e la hstora de la medcó, por lo que muchos lbros de texto cotúa utlzado úcamete coceptos como error y aálss de errores, los cuales ha formado parte desde hace mucho tempo de la práctca de la medcó. S embargo, estos coceptos, s llegar a desaparecer, ha evolucoado. E la metrología actual sgue habládose de error, pero o tato de aálss de errores, e el setdo que a éste se le daba hasta hace uos años, so de estmacó de certdumbres. Es claro que hay que dagar sobre los posbles errores exstetes e ua medcó, co objeto de elmarlos o corregrlos, pero gua correccó es total, por lo que sempre exstrá ua certdumbre asocada al resultado fal. La certdumbre es cosecueca del error, exstedo métodos teracoalmete aceptados para su estmacó. Exste umerosas fuetes de errores, y por tato de certdumbres, etre ellas: a) defcó completa del mesurado b) realzacó mperfecta de la defcó del mesurado c) muestra o represetatva del mesurado, la muestra aalzada puede o represetar al mesurado defdo d) coocmeto completo de los efectos de las codcoes ambetales sobre la medcó, o medcó mperfecta de dchas codcoes ambetales e) lectura sesgada de strumetos aalógcos, por parte del técco f) resolucó fta del strumeto de medda o umbral de dscrmacó
g) valores exactos de los patroes de medda o de los materales de refereca h) valores exactos de costates y otros parámetros tomados de fuetes exteras y utlzados e el algortmo de tratameto de los datos ) aproxmacoes e hpótess establecdas e el método y e el procedmeto de medda j) varacoes e las observacoes repetdas del mesurado, e codcoes aparetemete détcas. Estas fuetes o so ecesaramete depedetes, y alguas de ellas, de a) a ), puede cotrbur e j). Por supuesto, u efecto sstemátco o detfcado o puede ser tedo e cueta e la evaluacó de la certdumbre del resultado de ua medcó, auque cotrburá a su error. Las certdumbres se agrupa e dos categorías, segú su método de evaluacó, tpo A y tpo B. Estas categorías se refere a la certdumbre y o susttuye a las palabras aleatoro y sstemátco. tpo A: Está relacoadas co magtudes estmadas a partr de u determado úmero de observacoes repetdas e depedetes, y como certdumbre típca de dcha estmacó se toma la desvacó típca expermetal de la medda. tpo B: Está relacoadas co magtudes cuyo método de estmacó o ha sdo a partr de observacoes repetdas. A modo de receta, el proceso geeral a segur para estmar la certdumbre es el sguete:. Expresar matemátcamete la relacó exstete etre el mesurado y las magtudes de etrada de las que éste depede segú,!,, #. La fucó debe coteer todas las magtudes, cluyedo todas las correccoes y factores de correccó que puede cotrbur sgfcatvamete a la certdumbre del resultado de medcó.. Obteer ua estmacó $ del mesurado, utlzado las estmacoes de etrada,!, # de las magtudes,!, # tal que $ %,!,, # & () a) S la magtud de etrada es estmada a partr de ' observacoes repetdas e depedetes,,,!,,(, es decr, tpo A; etoces la estmacó de la etrada será la meda artmétca de todas las meddas, es decr: x x, k () y como certdumbre típca : u ( x ) ( x x, k ) A (3) ( )
b) S la magtud de etrada o es estmada a partr de observacoes repetdas, es decr, tpo B; etoces la estmacó de y la certdumbre típca se obtedrá a partr de decsoes cetífcas basadas e el coocmeto dspoble sobre la posble varabldad de la medda, lo que permte asocarle u determado tpo de dstrbucó (ormal, rectagular, etc.). Este coocmeto puede prover de: resultados de medcoes aterores expereca o coocmetos geerales sobre el comportameto y las propedades de los materales e strumetos utlzados especfcacoes del fabrcate datos de certfcados de calbracó u otros tpos de certfcados certdumbres asgadas a valores de referecas o costates aturales procedetes de lbros y mauales. c) S teemos e ua medda ambos tpos de cetrdumbre, etoces la combacó de ambas la hacemos a partr de la expresó: )% * &! % + &! 3) A cotuacó se obtee la certdumbre típca combada $ como: u c N ( y) u ( x ) f x (4) Cada es ua certdumbre típca evaluada como se ha descrto e el paso ), depededo s es de tpo A y/o de tpo B. La certdumbre típca combada $ es ua desvacó típca estmada y caracterza la dspersó de los valores que podría ser razoablemete atrbudos al mesurado. 4) Obteer la certdumbre expadda multplcado la certdumbre típca combada $ por u factor de cobertura y su correspodete vel de cofaza asocado. 5) Idcar el resultado de la medcó e la forma $, dcado las udades de $ y de. Idcar asmsmo el valor de utlzado para obteer $ y el vel de cofaza asocado al tervalo $. Desde u puto de vsta práctco, la propuesta cal del Comté Iteracoal de Pesas y Meddas (CIPM) supuso desechar la hpótess de que todas las cotrbucoes de certdumbre respodese a leyes ormales; trabajar sempre co desvacoes típcas o varazas; y o detfcar la certdumbre co u tervalo de cofaza so drectamete co la desvacó típca resultate. La multplcacó de esta últma por u factor de cobertura, habtualmete etre y 3, y que debe especfcarse sempre como parte del resultado de medda, permte obteer uos valores de certdumbre expadda más fables para las decsoes habtuales e la mayor parte de las aplcacoes, especalmete e la dustra, de forma que: $. S embargo, subsstía la ecesdad de armozar la certdumbre expadda de los resultados de las meddas, por lo que la seguda recomedacó del CIPM e 986 ya adelató que esta cuestó estaba sedo cosderada por u grupo de trabajo de ISO (Orgazacó Iteracoal de Normalzacó) e el que també estaba represetadas otras orgazacoes.
El trabajo de dcho grupo se publcó formalmete e 993 y además de presetar el cálculo de la certdumbre típca combada $ a partr de las recomedacoes del CIPM, dcó cómo caracterzar la certdumbre expadda medate u factor resultate de establecer u certo vel de cofaza. Posterormete se comezó a trabajar e u prmer suplemeto de la GUM que establecera las bases para propagar dstrbucoes e vez de varazas (es decr, $ sguedo las expresoes 4 y 5), medate téccas adecuadas como el método de Mote Carlo o la fórmula de Welch-Satterthwate. Desde el año 004 exstía u borrador de dcho documeto que se ha hecho ofcal e otoño del 007 publcado por la Orgazacó Iteracoal de Metrología Legal (OIML). E este curso seguremos el procedmeto recomedado por la GUM para la estmacó de las certdumbres de medda. E eseca, las cotrbucoes cosderadas determa ua fucó modelo co varables de etrada,,!, #. Para cada ua de ellas,, hay que coocer su valor, estmado por, y su desvacó típca,, además de u parámetro que caracterce la cofaza de la desvacó típca, lo que suele hacerse facltado el úmero de grados de lbertad que es tato mayor cuato mayor sea la fabldad de. Posterormete usaremos la propagacó de los grados de lbertad para obteer el grado de lbertad efectvo, sguedo la fórmula de Welch-Satterthwate (WS): - 3$ - # $ 3 4. /00 5.. /00 # 5 - $ 3$ - 3 4. Falmete, co este. /00 obteemos el valor de a partr de la dstrbucó t- Studet (Tabla I., del apédce I). Ejemplo : Queremos medr el tempo 7 de caída lbre de u cuerpo desde ua altura determada. Para ello os vamos al edfco Torre Caja Madrd, y desde ua altura de 40 m aproxmadamete y por el hueco del ascesor, dejamos caer lbremete u cuerpo. Medmos el tempo de caída lbre empleado u croómetro. Debdo a que el tempo de caída depede de factores mpredecbles que fluye e la aleatoredad de la medcó del tempo, vamos a repetr el expermeto 8 0 veces y así obteemos los valores 7,7!, 7 que se preseta e la sguete tabla. No. 3 4 5 6 7 8 9 0 7; 7, 6,8 7,0 7,0 7, 6,8 7,0 7,0 6,8 7, Co estos valores calculamos el valor medo de todas las medcoes realzadas.
0 t (7) medo t 0 y como resultado obteemos 7 </> 7,0 ;. Co los datos de la msma tabla calculamos la compoete de certdumbre debdo al hecho de haber repetdo la medda varas veces (tpo A). ( t) 0 ( t t ) medo u A (8) 0 0 ( ) * 70,05 ; Teemos la formacó, a través de otros métodos y mauales, de que el croómetro que hemos utlzado tee ua certdumbre tpo B muy pequeña comparada co la certdumbre tpo A que hemos calculado ates. Así, la certdumbre típca de uestra medda será: 7 * 70,05 ; (9) A cotuacó debemos calcular el valor de la certdumbre expadda: 77 (0) Nuestro expermeto los hemos repetdo 8 0 de forma depedete cada uo de ellos. El úmero de grados de lbertad para este expermeto se calcula como:. 8 E este caso teemos. 9. A cotuacó buscamos e la tabla I. (Apédce I) los valores del factor que correspode co u determado % de cofabldad. Para ello hemos cogdo el fragmeto de la tabla dode se localza. 9. Grados de C % lbertad E 68,7 90 95 95,45 99 99,73 9,06,83,6,3 3,5 4,09 Supogamos que queremos expresar uestro resultado co ua cofabldad del 68,7 %. Etoces de la tabla obteemos que,06, y: 77 70.055 ; Falmete expresamos uestra respuesta de la forma: El tempo de caída lbre de uestro cuerpo ha sdo 7,0000,055 ;, co u factor de cobertura,06, que represeta el 68,7 % de cofabldad.
Esto sgfca, que s volvemos a repetr la medda, e las msmas codcoes, obtedremos u valor que se ecotrará e el tervalo 7,000 0,055; 7,00 0,055 ; co ua probabldad del 68,7 %. També podíamos haber escogdo uestro resultado co ua cofabldad del 90 %. Etoces de la tabla obteemos que,83, y: 77 70.095 ; El resultado de uestra medda se debe expresar etoces de la forma: El tempo de caída lbre de uestro cuerpo ha sdo 7,0000,095 ;, co u factor de cobertura,83, que represeta el 90 % de cofabldad. Y así, para u determado tervalo de cofaza obtedremos u valor dferete de k y co ello u valor dstto de U. Normalmete K suele adoptarse para recubrmetos mportates de la dstrbucó de Y, por ejemplo, 95% o 99,7 %. E el seo de EA (Europea co-operato for Accredtato) se adopta u factor de cobertura que correspoda a u recubrmeto del 95%. Así, sguedo la orma de la EA sempre expresaremos la respuesta fal de ua medcó para u 95 % de cofabldad. E este ejemplo le correspode u valor,6, y: 77 70. ; El resultado de uestra medda, de acuerdo co la EA, se debe expresar etoces de la forma: El tempo de caída lbre de uestro cuerpo ha sdo 7,000, ;, co u factor de cobertura,6, que represeta el 95 % de cofabldad. A cotuacó os hacemos la sguete preguta: Qué sucederá e el caso de que repetmos uestro expermeto u gra úmero de veces (8 )? E este caso el úmero de grados de lbertad se calcula como., y el fragmeto de la tabla I que debemos usar es el sguete: Grados de C % lbertad E 68,7 90 95 95,45 99 99,73,000,645,960,000,576 3,000 Esto sgfca que e el tervalo 7 </> 7,7 </> 7 se ecotrará el valor más probable de la medcó co ua probabldad del 68,7%, e el tervalo 7 </> 7,7 </> 7 co ua probabldad de 95,45%, y e el tervalo 7 </> 37,7 </> 37 co ua probabldad del 99,73%. Estos valores cocde co los tervalos y los correspodetes % de cofabldad para ua dstrbucó ormal. Falmete debemos señalar que el procedmeto explcado e este ejemplo para 8 0, será el msmo para cualquer 8 N.
Ejemplo : Supogamos ahora que queremos medr, de forma drecta, el valor de la aceleracó de la gravedad O. Para ello, además del tempo 7 meddo e el Ejemplo, será ecesaro coocer la altura P desde la que ha caído el cuerpo, y usar la sguete expresó: h g () t Medmos la altura ua vez y obteemos u valor de P 40, R, y además hemos coocdo, por otros métodos, que la certdumbre de tpo B e la medda de la altura es muy pequeña e comparacó co otras compoetes de certdumbres e el expermeto, pudedo tomar P0,0 R. Susttumos los valores de P y 7 e la expresó () y calculamos O: O 9,80 R ;! A cotuacó calculamos la certdumbre típca combada O a partr de la expresó (4) y de la 7 calculada e (9):! OS T-U V W X!! 7 () O0,436 R ;! Segudamete calculamos la certdumbre expadda OO. Para el cálculo del factor de cobertura, prmeramete dcaremos e ua tabla toda la formacó de que dspoemos de las varables de las que depede O. E este caso 7 y P: Magtud Valor Y E Z 7,00 ; 0,05 ; 9 [ 40, R \0,0; - Co estos valores calculamos el úmero de grados de lbertad efectvos. /00 para O, a través de la fórmula de Welch-Satterthwate (WS):. /00 # 5 - O 3O - 3 4. Como O depede solamete de 7 etoces os quedará:
. /00 - O 3O 37 74 -. V. /00 9 Sguedo la orma de la EA expresaremos la respuesta fal de la medcó para u 95 % de cofabldad. E este ejemplo le correspode u valor,6, lo que os lleva a O0,33 R ] ;!. El resultado fal lo expresaremos de la forma: Al medr drectamete la aceleracó de la gravedad e la zoa correspodete al edfco Torre Caja Madrd, e Madrd, se obtee u valor de 9,800,33 <^_ co u factor de cobertura,6, que represeta el 95 % de cofabldad. V Resolucó de u strumeto Se le llama resolucó a la míma varacó de la magtud medda que da lugar a ua varacó perceptble de la dcacó correspodete. La resolucó cotrbuye a la certdumbre de medda, por cuato supoe u límte a la aprecacó del valor de la magtud. S la resolucó del strumeto co el que medmos es ` etoces, supodremos e este curso, que el valor de la medda que hacemos puede obteerse co gual probabldad e cualquer puto detro del tervalo S a, a X. Así, los posbles valores de la medda que realzamos puede!! descrbrse medate ua dstrbucó rectagular de probabldad, de ampltud ` y se cumplrá que! a_!, lo que supoe ua certdumbre típca! ` para cualquer medda que realcemos. Aquí estamos supoedo que uestra medda se ecuetra e el tervalo S a!,a X co u 00 % de cofabldad, lo que sgfca! (a falta de más formacó sobre la calbracó del strumeto) a.! E alguos casos solamete podemos saber que uestra medda se ecuetra etre u valor mímo <( y otro valor máxmo <. Etoces supodremos que la medda se ecotrará co gual probabldad detro del tervalo <(, < y que el valor se puede calcular medate la expresó cdef c g! c gt cde!. c gt cde! y ua certdumbre típca co u 00 % de cofabldad. E ambos casos, como estamos cosderado ua dstrbucó de probabldad cotua, tomaremos que el úmero de grados de lbertad e esta medda es., para los casos e que usemos la fórmula de WS para obteer el úmero de grados de lbertad efectvo. E el apédce II de estos aputes explcaremos co más detalle como calcular la certdumbre tpo B debdo a los strumetos de medcó.
Ejemplo 3: Queremos medr la logtud h de ua varlla que tee forma clídrca y de dámetro j0, RR. Para ello utlzamos ua regla graduada e mlímetros. La meor dvsó de la regla es de RR, es decr, la resolucó ` RR. Debdo a que la varlla es muy fa realzaremos la medcó ua vez. Al comparar la logtud de la varlla co la regla, observamos que la medda se ecuetra etre los valores 5 y 6 RR, pero o somos capaces de decdr cuál de los dos valores tomar. E este caso k <<f l << debemos tomar que uestra medda es h 5,5 RR. Tomado que la medda sgue ua dstrbucó rectagular de ampltud ` y cetrada e h, etoces la certdumbre típca + h a. Falmete obteemos h! +h0,9 RR. La certdumbre expadda para este strumeto es h a 0,5 RR, correspodete! a ua cofabldad del 00 %. De ambos valores obteemos m 3. Falmete expresamos, La logtud de la barra ha sdo de 5,50,5 RR, co u factor de cobertura de 3, que represeta el 00 % de cofabldad. S más adelate quséramos usar el úmero de grados de lbertad correspodete a esta medcó, debemos tomar.. Ejemplo 4 Queremos medr la msma barra del Ejemplo 3, pero usado u strumeto dgtal que tee ua resolucó ` 0,0 RR. Co este dspostvo obteemos ua logtud de h 5,3 RR. E este caso uestra medda se ecotrará, co toda segurdad, e el tervalo, Sh a,h a X. Tomado que uestra medda sgue ua!! dstrbucó rectagular de ampltud ` y cetrada e h etoces la certdumbre típca + h a.! Falmete obteemos h + h0,009 RR. La certdumbre expadda para este strumeto es h a 0,005 RR, correspodete a ua! cofabldad del 00 %. A partr de ambos valores obteemos m 3. Falmete expresamos, La logtud de la barra ha sdo de 5,300,005 RR, co u factor de cobertura de 3, que represeta el 00 % de cofabldad. S más adelate quséramos usar el úmero de grados de lbertad correspodete a esta medcó, debemos tomar.. Ejemplo 5 Queremos hacer el msmo expermeto del Ejemplo, pero esta vez usado u croómetro dgtal co resolucó ` 0, ;. Co el objetvo de gaar e smplcdad, vamos a supoer que el expermeto se realza 0 veces y que se obtee los msmos valores de la tabla del Ejemplo. Aplcado la expresó (7) calculamos el valor medo del tempo de caída lbre meddo y obteemos 7 </> 7,0 ;. A cotuacó debemos calcular la compoete de certdumbre (tpo A) asocada a la repetbldad del expermeto usado la expresó (8), * 70,05 ;. Segudamete calculamos la certdumbre asocada a la resolucó (tpo B) del strumeto sguedo los msmos argumetos del Ejemplo 4, y obteemos la certdumbre típca + 7 a!. Falmete la certdumbre típca asocada a la determacó de 7 será la combacó cuadrátca debdo a la repetbldad de las medcoes y a la resolucó del strumeto.!
! 7 *! 7 +! 7 (3) 70.059 ; E el sguete paso calculamos el úmero de grados de lbertad efectvos de esta medcó a través de la fórmula de WS, teedo e cueta que la certdumbre típca costa de dos compoetes.. /00 # 5 - $ 3$ - 3 4.. /00-7. /00 - * 7 + - 7. * 0.05 ; - 9. + 0.060 ; -. /00 6 0.09 ;- A cotuacó buscamos e la tabla I. (Apédce I) los valores del factor que correspode co u determado % de cofabldad. Para ello hemos cogdo el fragmeto de la tabla dode se localza. 6. Grados de C % lbertad E 68,7 90 95 95,45 99 99,73 6,03,75,,7,9 3,54 Sguedo la orma de la EA expresaremos la respuesta fal de la medcó para u 95 % de cofabldad. E este ejemplo le correspode u valor,, lo que os lleva a 70,3 ;. Falmete, expresaremos la medda fal del tempo e la forma: El tempo de caída lbre de uestro cuerpo ha sdo 7,000,3 ;, co u factor de cobertura de,, que represeta el 95 % de cofabldad. Ejemplo 6 Supogamos ahora que queremos medr, de forma drecta, el valor de la aceleracó de la gravedad O de forma smlar a como lo hcmos e el Ejemplo, pero mdedo el tempo como e el Ejemplo 5. El valor de la altura desde dode cae el cuerpo se ha meddo usado ua cta métrca cuya resolucó es ` 0, R, co lo cual la certdumbre típca e la medda de P es P a. El cálculo de la!
aceleracó de la gravedad lo realzamos a partr de la expresó (), y obteemos O 9,80 <^_. A cotuacó calculamos la certdumbre típca combada O a partr de la expresó (4):! OS! V _X!! PS T-U V W X!! 7 (4) O0,7 R ;! El sguete paso será el cálculo de. /00 para O, a través de la fórmula de Welch- Satterthwate (WS):. /00 3O 37 74 - - O. V 3O 3P P4 -. U Los valores a susttur e la ecuacó ateror de WS será: Magtud Valor Y E Z 7,00 ; 0,060 ; 6 [ 40, R 0,09 R Se obtee así:. /00 o0,7 R ;!po 4P 7 q 0,060 ;p - 6. /00 7 El sguete paso será el cálculo de la certdumbre expadda OO. Para ello buscamos e la tabla I. (Apédce I) los valores del factor que correspode co u determado % de cofabldad. Para ello hemos cogdo la fla de la tabla dode se localza. 7. Grados de C % lbertad E 68,7 90 95 95,45 99 99,73 7,03,74,,6,90 3,5
Sguedo la orma de la EA expresaremos la respuesta fal de la medcó para u 95 % de cofabldad. E este ejemplo le correspode u valor,, lo que os lleva a O0,36 <^_. Falmete, expresaremos: Al medr drectamete la aceleracó de la gravedad e la zoa correspodete al edfco Torre Caja Madrd, e Madrd, se obtee u valor de 9,800,36 <^_ co u factor de cobertura,, que represeta el 95 % de cofabldad. VI Número de cfras sgfcatvas e el resultado de ua medcó Los valores umércos de la estmacó de ua magtud y de su certdumbre típca y/o típca combada y/o de su certdumbre expadda o debe darse co u úmero excesvo de cfras. Actualmete se ha establecdo el redodeo de la certdumbre a dos cfras sgfcatvas e la presetacó de los resultados fales, auque durate los cálculos termedos es ecesaro mateer cfras suplemetaras para evtar la propagacó de errores de redodeo e cálculos posterores. A la hora de presetar los resultados fales se redodea por exceso o por defecto depededo de la tercera cfra sgfcatva. E el caso de que la tercera cfra sgfcatva sea 5, etoces s la seguda es par se redodea por defecto, metras que s la seguda es mpar se redodea por exceso. Por ejemplo, 0,78 RΩ se redodea a RΩ, y u valor tal como 8,05 st deberá redodearse al valor feror 8 st. Además, las estmacoes de la medda (drecta ó drecta) debe redodearse de acuerdo co sus certdumbres; por ejemplo, s $ 0,0576 Ω co $7 RΩ, etoces el valor de $ deberá redodearse a 0,058 Ω. VII Gráfcos expermetales, ajustes leales. Muchas veces el objetvo de u cojuto de medcoes es comprobar ua ley propuesta teórcamete, o a partr de ua ley ya aceptada determar ua magtud. S al represetar gráfcamete las medcoes, éstas se ajusta a ua recta, etoces podemos calcular la pedete o la ordeada e el orge de dcha recta (Fgura 3). Ambos parámetros estará relacoados co magtudes físcas que pretedemos calcular. Para ello se toma meddas de las dos varables de terés, que llamaremos e $, y se hace ua tabla de valores: X x x x 3 x 4... x... x Y y y y 3 y 4... y... y y co las parejas de abscsa y de ordeada se represeta los putos e u gráfco uv $. S los putos queda bastate aleados, se traza la mejor recta que ajusta esos putos y ua vez represetada se calcula la pedete. A cotuacó se extrapola la recta hasta el eje y para ecotrar la ordeada e el orge. S al represetar los putos, se alea sobre ua curva, lo recomedado es troducr algú cambo de varable y probar co otro gráfco (e vez de uv $., probar co! uv $, o co uv $, o co T uv $, o co hwo uv $, o co otros cambos de varables) hasta que se obtega ua recta. La líea recta es el gráfco expermetal de mayor cofabldad.
Para represetar los putos de maera que resulte cómodo hacer medcoes sobre el gráfco se recomeda teer e cueta lo sguete (ver fgura): Fgura 3. Escoja ua escala cómoda e cada eje: múltplos de 0, de, o de 5. Esto es, que el mlímetro del eje tega valores como: ; 0; 00; 0,; 0,0; etc.: o como ; 0; 00; 0,; 0,0; etc. Es gual s es múltplo de 5. Pero tomar dvsoes múltplos de 3, 6, 7, 9 u otros valores (clusve el 4 y el 8) faclta equvocarse al colocar el puto e el papel, o al leer algú valor terpolado e el gráfco: o so escalas fácles de leer.. Represete e los ejes aproxmadamete los tervalos de valores e que aparecerá los putos expermetales. No tee setdo tomar ua escala de 0 a 00 para represetar valores expermetales etre 50 y 65. 3. Trazar la recta, a smple vsta, que más se acerque a los putos represetados, es decr, la recta que mejor se ajuste. 4. Calcular la pedete de la recta al marcar dos putos,,$ y, x,$ x sobre ésta: m y x b a (5) b y x a Estos putos se debe escoger próxmos a los extremos del tervalo de medcó para o perder cfras sgfcatvas del tervalo. No tee setdo hacer medcoes e u tervalo de 00 udades de la varable y escoger u tervalo de x de 8 o 0 udades para calcular la pedete, pues equvale a reducr las cfras sgfcatvas del resultado. 5. Tome las escalas gráfcas de forma tal que u mlímetro ( mm) de la escala cocda co el orde decmal de la últma cfra sgfcatva que se cooce e las medcoes.
La medcó de la ordeada e el orge puede lograrse extrapolado hasta el eje $, leyedo drectamete la escala e la tercepcó co el eje de las ordeadas. Esto será así s el eje $ se levata sobre el puto 0 del eje. S la escala del eje estuvera desplazada del orge, la ordeada e el orge deberá ser calculada a partr de la ecuacó geeral de la recta, coocda su pedete y las coordeadas de u puto cualquera. Fgura 4 E la descrpcó del método que debemos segur para obteer el gráfco de la Fgura 3, o hemos tedo e cueta la resolucó de los strumetos usados para medr los valores que hemos represetado e los ejes e $. Cada valor que stuamos e la gráfca debe teer asocado ua certdumbre, co lo cual cada puto se coverte e ua pequeña vetaa rectagular por dode puede pasar la mejor recta (Fgura 4). S la certdumbre de los strumetos es meor que la escala del eje, etoces o tee setdo hablar de esta vetaa. S embargo, e el caso de que sea valores comparables sí es ecesaro cosderar que o so putos, so vetaas. Así, los valores de la pedete y ordeada e el orge de la mejor recta y sus certdumbres depederá de los strumetos utlzados, pues e la represetacó gráfca se ha tedo e cueta las certdumbres de los pares,$. E la fgura 4 podemos observar que exste fdad de rectas que puede pasar por todas las vetaas represetadas. De todas ellas podremos obteer ua co pedete máxma R < y otra co pedete míma R <(. El valor de la pedete que os teresa se debe ecotrar e el tervalo R <(,R <. Exste métodos para estmar, medate el gráfco, la certdumbre de la pedete y la ordeada e el orge, pero o será objetvo de estos aputes.
VIII Ajuste por el método de los mímos cuadrados Exste u método matemátco para calcular la pedete y la ordeada e el orge de la mejor recta para u cojuto de putos expermetales. Se cooce como el método de los mímos cuadrados. E este método se toma las coordeadas,$ de ' putos expermetales: x x x x 3 x 4... x... x y y y y 3 y 4... y... y y se supoe que satsface la ecuacó de ua recta: $ Ry tal que para cada valor meddo expermetalmete se podría calcular u valor teórco $ V que debería cocdr, o estar muy próxmo al valor expermetal $. El método de los mímos cuadrados establece que s los parámetros R y y so los de la recta de mejor ajuste, las dferecas $ V $, deberá ser mímas. Como las dferecas e cuestó so postvas y egatvas, se cosdera etoces sus valores al cuadrado para que sea sempre postvas, $ V $!. E esta aproxmacó se está supoedo que las certdumbres asocadas co las meddas de cada puto,$ so desprecables comparadas co la aleatoredad de los putos (Fgura 3). S cosderamos que la mejor recta també puede ser aquella que pase por ua vetaa formada por las certdumbres (Fgura 4), etoces sí estaríamos cosderado el hecho de que cada uo de uestros valores ha sdo determado co certa certdumbre. S embargo, ese caso o será cludo e estos aputes. La hpótess básca del método es defedo la suma v como: S ( mx + b y ) (6) exstrá u valor para R y u valor para y que haga míma esta suma. La codcó de mímo la podemos escrbr como: S 0 m S 0 b De estas se obtee u sstema de dos ecuacoes leales y dos cógtas R y y. Falmete se obtee los valores para la mejor recta: x y m (7) x x x y b y m x (8)
Nótese que co las expresoes deducdas para m y b, se puede calcular la pedete y la ordeada e el orge de la recta que mejor ajusta estos putos, esté be aleados o muy dspersos, parezca ua recta o ua parábola, u otra curva. S embargo, se puede calcular el coefcete de correlacó z, y y x x y x y x r (9) que os dca como de bueo ha sdo uestro ajuste. S el coefcete de correlacó queda próxmo a la udad, la correlacó es buea, pero e la medda e que se aproxma a cero sgfca que la dspersó es muy grade. El coefcete de correlacó o puede resultar mayor que la udad. La estmacó de la certdumbre típca combada de la pedete R y la certdumbre típca combada de la ordeada e el orge y se calcula a partr de las sguetes expresoes: ( ) ( ) ( ) ( ) c x x b mx y m u (0) ( ) ( ) ( ) ( ) c x x x b mx y b u () Solamete os queda decr, que e el caso de hacer el ajuste por el método de los mímos cuadrados, el úmero de grados de lbertad asocado co la determacó de R y y es. '. Ejemplo 7 Queremos medr, de forma drecta, la aceleracó de la gravedad O. Para ello vamos a dejar caer u cuerpo desde dferetes alturas, y medremos el tempo de caída lbre para cada altura. La relacó matemátca etre estas parejas de datos 7,P será la expresó (), que ahora escrbremos de la forma: P! O7! () Como se puede observar, la relacó que hay etre cada ua de las alturas P y el correspodete tempo 7 es cuadrátca. Así, s represetamos u gráfco co los pares de putos 7!,P debemos obteer ua recta cuya pedete será R! O, lo que
sgfca que s calculamos R podremos coocer OR. Las meddas de las alturas las hacemos co el msmo strumeto del Ejemplo, es decr, P0,0 R y las meddas del tempo las hacemos ua vez para cada altura co el msmo strumeto que el Ejemplo, 7 + 70,0 ;. Así, tomamos los datos que se preseta e la sguete tabla: P R 00 30 60 00 40 7! ;! 0 7 33 4 49 Co estos datos hacemos u gráfco smlar al de la Fgura 3, dode e el eje de las abscsas tomamos 7! y e el eje de las ordeadas los valores de P. Después aplcamos la ecuacó (7) y obteemos la pedete R 4,865 <^_ y R0,08 <^_ co u úmero de grados de lbertad. < '3. Además, el coefcete de correlacó z calculado a partr de la expresó (9) es z 0,9996 dcado que el ajuste a la recta ha sdo adecuado. Co estos datos podemos calcular el valor de O R 9,73 <^_. El valor de la certdumbre típca O se calcula a partr de la ecuacó (4). OR (3) O0,6 R ;! A cotuacó calculamos el úmero de grados de lbertad efectvos. /00 a través de la fórmula WS:. /00 - O 3O 3R R4 -. <. /00 3 El sguete paso será el cálculo de la certdumbre expadda OO. Para ello buscamos e la tabla I. (Apédce I) los valores del factor que correspode co u determado % de cofabldad. Para ello hemos cogdo el fragmeto de la tabla dode se localza. 3. Grados de C % lbertad E 68,7 90 95 95,45 99 99,73 3,0,35 3,8 3,3 5,84 9, Sguedo la orma de la EA expresaremos la respuesta fal de la medcó para u 95 % de cofabldad. E este ejemplo le correspode u valor 3,8, lo que os lleva a O0,53 <^_.
Falmete, expresaremos: Al medr drectamete la aceleracó de la gravedad e la zoa correspodete al edfco Torre Caja Madrd, e Madrd, se obtee u valor de 9,800,53 co u factor de cobertura 3,8, que <^_ represeta el 95 % de cofabldad.
APENDICE I Tabla I. Valor de a partr de la dstrbucó t-studet, para. grados de lbertad, que defe u tervalo de certdumbre e toro a la medda, desde hasta X, co u ua cofabldad de K %. Grados de C % lbertad E 68,7 90 95 95,45 99 99,73,84 6,3,7 3,97 63,66 35,80,3,9 4,30 4,53 9,9 9, 3,0,35 3,8 3,3 5,84 9, 4,4,3,78,87 4,60 6,6 5,,0,57,65 4,03 5,5 6,09,94,45,5 3,7 4,90 7,08,89,36,43 3,50 4,53 8,07,86,3,37,36 4,8 9,06,83,6,3 3,5 4,09 0,05,8,3,8 3,7 3,96,05,80,0,5 3, 3,85,04,78,8,3 3,05 3,76 3,04,77,6, 3,0 3,69 4,04,76,4,0,98 3,64 5,03,75,3,8,95 3,59 6,03,75,,7,9 3,54 7,03,74,,6,90 3,5 8,03,73,0,5,88 3,48 9,03,73,09,4,86 3,45 0,03,7,09,3,85 3,4 5,03,7,06,,79 3,33 30,0,70,04,09,75 3,7 35,0,70,03,07,7 3,3 40,0,68,0,06,70 3,0 45,0,68,0,06,69 3,8 50,0,68,0,05,68 3,6 00,005,660,984,05,66 3,077,000,645,960,000,576 3,000
APENDICE II. Icertdumbre tpo B Como ya hemos cometado al co de estos aputes, el acto de medr es comparar ua catdad de magtud, mesurado, co otra catdad de refereca de la msma clase que se adopta como patró, ya sea empleado u strumeto comparador y hacedo terver e el proceso de patroes o materales de refereca que materalza valores próxmos al del mesurado, o aplcado exclusvamete u strumeto de medda sobre el mesurado (medda absoluta drecta). La seguda opcó o es sustacalmete dstta de la prmera. E efecto, auque e este caso la comparacó se realza cotra la escala del strumeto, prevamete tuvero que utlzarse patroes o materales de refereca para establecerla calmete e el strumeto. Así msmo, també se emplea patroes o materales de refereca para comprobarla peródcamete (calbracó). Para que las meddas sea metrológcamete represetatvas, es decr posea trazabldad, los strumetos debe comprobarse peródcamete medate su calbracó, operacó cosstete e efretar el strumeto o patró a calbrar (calbrado) a otros elemetos coocdos, co trazabldad, para determar cuattatvamete las dferecas exstetes. El resultado de la calbracó de u elemeto debe fgurar adecuadamete e cualquer medda e la que tervega dcho elemeto. Exste varas magtudes que o so objeto de la medcó pero que tee u efecto sobre el resultado de la medcó. Así, las varacoes de temperatura afecta a las dmesoes geométrcas de los cuerpos por lo que la temperatura es ua magtud de flueca e la medda de logtudes. Otros ejemplos: Las desdades de las masas que se compara e ua balaza so magtudes de flueca debdo al empuje que aquellas expermeta e el are segú el prcpo de Arquímedes. La temperatura de u coductor fluye sobre su ressteca eléctrca de forma que la medda de dcha ressteca depede de la temperatura del coductor. La determacó de la logtud de oda de u láser está afectada por la presó atmosférca, la temperatura, la humedad relatva y la composcó del are. No sempre es posble medr e las codcoes de refereca dode se calbró el strumeto. E este caso, los valores obtedos debe corregrse para que resulte smlares a los que se habría obtedo s los valores de las magtudes de flueca sgfcatvas hubese sdo los de refereca. Se deoma correccó a la modfcacó que debe troducrse e el valor s corregr, a veces desgado valor bruto, para obteer el valor corregdo. Auque e alguos casos se utlza correccoes multplcatvas, las más frecuetes so las correccoes adtvas que proporcoa el valor corregdo sumado la correccó al valor bruto. Es decr, s e u strumeto de medda obteemos el valor debemos sumarle la correspodete correccó por o ecotraros e las codcoes de refereca. Así el valor fal meddo será: t sedo t el valor de la correccó. Además de las correccoes por medr e codcoes dsttas a las de refereca, la calbracó peródca de cualquer strumeto de medda para dotarle de
trazabldad determa la aparcó de la correccó de calbracó, que també debe ser teda e cueta e la correccó fal de uestra medda. Durate el proceso de calbracó de u strumeto lo que hacemos es estmar la correccó que debemos aplcar cuado posterormete tetemos medr co este strumeto. Para ello, medmos u determado patró co el strumeto y así defmos la correccó como: correccót valor del patró dcacó del strumeto La correccó a utlzar por cada uo de los strumetos e u laboratoro se realza a través de u modelo matemátco, que e muchos casos depede de cada medda. S embargo, exste alguas compoetes de la correccó que so comues a muchos strumetos de medda. Por ejemplo, dgamos que estamos usado u sesor para medr ua magtud P, y que leemos a través de su escala el valor h. Etoces, el valor de la medcó lo escrbmos como: La correccó sería: P ht t ` } ~ } } dode: ` es la cotrbucó por derva del sesor desde su últma calbracó } ~ es la correccó por la temperatura a la que se realza la medcó } es la correccó asocada a la dvsó de la escala } es la correccó asocada al cero del strumeto La certdumbre típca de la correccó se calculará como:! t! `! } ~! }! } A cotuacó debemos coocer el úmero de grados de lbertad para cada uo de las compoetes de la correccó, y falmete usado la fórmula de Welch- Satterthwate (u otro método como el de Mote Carlo) calculamos el factor de cobertura para el 95% de cofabldad. Así obtedremos el valor fal de P, que es la certdumbre que verdaderamete os teresa. E la web de los profesores de la asgatura podrá ecotrar alguos ejemplos de certfcados de calbracó para dferetes strumetos. Este procedmeto es complcado y por ello exge de la ayuda de profesoales e sttucoes que se dedca a emtr certfcados de calbracó de strumetos, por ejemplo: Cetro Español de Metrología. E este curso solamete usaremos la correccó debdo a la escala del strumeto, cuya certdumbre tpo B hemos calculado a partr de ua dstrbucó de probabldad rectagular costate alrededor del puto de medda. E el apartado V Resolucó de u strumeto, hemos vsto como calcular la certdumbre típca de u strumeto cuado o teemos ua formacó detallada sobre éste. Etoces tomamos la resolucó del strumeto ` como la míma escala. A partr de ahí calculamos a y a. S embargo, e muchos casos sí teemos!! q formacó más detallada sobre la resolucó del strumeto.
Por ejemplo, alguos polímetros cluye la formacó como la que aparece e la sguete tabla, escaeada del catálogo de u polímetro: Fígura II. Iformacó del catálogo de u polímetro e el laboratoro. A cotuacó explcaremos como maejar la formacó que vee e este catálogo. Lo que llama "resoluto" (resolucó) es la últma cfra que veremos al eceder el polímetro, que o sgfca que sea lo que el polímetro es capaz de "resolver" cuado toma ua lectura. Los polímetros (voltímetros, amperímetros, etc) so strumetos complejos cuya resolucó o puede smplfcarse a la últma cfra sgfcatva so que depede del rago e el que te mueves y de la lectura que estés tomado. Por ejemplo, s queremos medr,5 V e DC estaríamos e el rago de V, y
la ultma cfra que veremos e el polímetro será " mv", es decr veremos algo como:,50 u. Para calcular la compoete de certdumbre debda a la lectura de la escala }, debemos tomar los datos de "accuracy" (precsó) e ese rago, es decr: 0,5 % de la lectura + dgtos, es decr:,50 0,005 u Ru 9,5 Ru sedo la sem-ampltud del rago de medcó. Como el texto de las especfcacoes o dce ada, le podemos asgar ua dstrbucó rectagular, por lo que la compoete de certdumbre sería: } 3 S o teemos gua otra formacó sobre el strumeto, etoces falmete: + 5,5 Ru 3 S usamos el strumeto para realzar ua úca medda, etoces 9,5 Ru Así, falmete escrbremos uestra medda como: u,5000,0095 u S más adelate queremos usar este valor para ua propagacó cuadrátca y obteer ua certdumbre típca combada, etoces debemos tomar: + 5,5 Ru 3 S embargo, co esto solo teemos ua compoete de la certdumbre. Para calcular la certdumbre de ua medda realzada co ese polímetro ecestaremos además coocer la certdumbre de calbracó y la derva del strumeto (etre otras posbles compoetes). Defedo u modelo matemátco smple de tpo adtvo, bastaría compoer cuadrátcamete esas tres compoetes para teer la certdumbre combada. El factor de cobertura k se puede calcular usado la formula de Welch- Satterthwate a partr de los grados efectvos de lbertad de cada compoete para la probabldad que desees (habtualmete el 95,45 %). S queremos smplfcar podemos supoer que la dstrbucó de probabldad de la certdumbre combada (que hemos calculado al compoer esas tres compoetes) es ua dstrbucó ormal (gausaa), por lo que el k correspodete a ua probabldad del 95,45 % sería k. S queremos usar las especfcacoes de los equpos es mportate y fudametal saber que o debemos malterpretarlas. Además de las especfcacoes es ecesaro calbrar los equpos. Lo que los fabrcates llama "accuracy" o es u susttutvo de la certdumbre de calbracó. La calbracó de los strumetos debe realzarse e cetros especalzados como el Cetro
Español de Metrología. Así, auque tegamos las especfcacoes de u strumeto, debemos teer muy presete que para expresar correctamete ua medda se debe obteer el certfcado de calbracó (ver ejemplo e las web de los profesores) ates de ser usados.
Bblografía A cotuacó presetamos la bblografía utlzada para hacer este documeto. Se recomeda al alumo el uso de los sguetes materales: A troducto to ucertaty measuremet usg the GUM (Gude to the Expresso of Ucertaty Measuremet). Autores: Les Krkup y Bob Frekel. Dspoble e la Bbloteca de la Escuela Poltécca de la Uversdad de Sevlla. Recomedacoes del CEM para la Eseñaza Metrología. Cetro Español de Metrología, Eero de 0. (http://www.cem.es:808/cem/es_es/commo/pop_extero.jsp?url../documet aco/geerales/recomedacoes%0cem%0eseaza%0metrologa.pdf) GUM DIGITAL 00 (GUM 995 co lgeras correccoes). Cetro Español de Metrología, 008. (http://www.cem.es/stes/default/fles/gum0dgtal000.pdf)