SIGNION INEL305 revsar a partr del marzo. Problema. Para un crcuto con bpolos, formamos el gráfco, o grafo (graph) susttuyendo cada bpolo por una línea que une los dos nodos a los que está conectado. Esta línea se llama arco o rama. El nodo sgue llamándose nodo, o vértce. S no hay nada que ndque dreccón, se llama gráfco o grafo no drgdo. S cada rama tene una dreccón asgnada, se llama gráfco o grafo drgdo. Un grafo drgdo puede formarse asgnando a la rama, por ejemplo, la msma dreccón que la corrente en el bpolo o que la caída del voltaje. Por ejemplo, en la fgura.a tenemos un crcuto con las correntes y voltajes asgnados. En la fg..b tenemos su grafo no drgdo, mentras que en la fg..c un grafo drgdo en base a las caídas de voltaje. V v 3 3 3 v 4 v 5 v 6 ( a ) ( b ) Fgura. ( c ) Un grafo conexo o conectado es aquel en que es posble encontrar un camno entre cualesquer par de nodos. Uno no conectado es el que no es conectado. Los grafos de la fg.. son ejemplos de grafos conectados. El grafo de la fg.. es uno no conectado, porque, por ejemplo, no hay camno entre nodos y. 5 Fg.. Fg..3 (árboles 456, 5 ) Un árbol de un grafo conexo con N nodos, es un subgrafo conexo con los N nodos, con N ramas y nngún lazo. Las fg..3 muestra dos ejemplos de árboles para el grafo drgdo de la fg..c. Se puede demostrar que este grafo tene 6 árboles. Encuentre los 4 árboles restantes. Problema S el grafo tene ramas y N nodos, entonces, un árbol contene N ramas, dejando fuera N ramas. Este conjunto se llama coárbol del árbol correspondente. Por ejemplo, el coárbol para cada uno de los árboles de la fg..3 se muestran en la fg... Encuentre los coárboles para cada uno de los 6 árboles del problema. Observe que el coárbol no necesaramente ncluye todos los nodos, y puede ser a su vez un árbol.
3 3 Fg. Problema 3. ado un árbol, que no tene lazos por defncón, se forma un lazo al agregarle al árbol una rama del coárbol. Este lazo está formado por la rama del coárbol y unas, no necesaramente todas, ramas del árbol. Por ejemplo, vea la fg. 3.. En este lazo, formado a partr de la rama 4 del coárbol correspondente al árbol 5 de la fg..3. En el lazo, la rama 4 pertenece al coárbol, y las ramas y 5 al árbol. 4 5 Fg. 3. S este proceso se hace para cada una de las ramas del árbol, se obtendrán N lazos que tenen la característca ndcada. Es decr, cada lazo contene una y sólo una rama del coárbol y las demás ramas son del árbol. El conjunto de lazos que resulta se llama conjunto de lazos fundamentales respecto al árbol escogdo. En la fg. 3. tenemos los 3 lazos fundamentales para el árbol escogdo 5. La rama del coárbol se puso en línea más gruesa para recalcar su papel formador de lazo fundamental. 3 4 5 5 6 ( I ) ( II ) ( III ) Fg. 3. Lazos fundamentales respecto al árbol 5 ada uno de los lazos fundamentales proporcona una ecuacón de voltaje. Tomando en la fg. 3. la flecha del coárbol como voltaje postvo, las ecuacones correspondentes son (I) v 4 v 5 v = 0 (II ) v 6 v 5 v v = 0 (III ) v 3 v v = 0
3 El sstema de ecuacones es lnealmente ndependente porque cada una de las ecuacones contene una varable (la del voltaje del coárbol que lo generó), que no se encuentra en nnguna otra de las ecuacones, y por tanto no se puede obtener a partr de las otras ecuacones. e esta forma, el uso de lazos fundamentales provee un método para obtener las ecuacones de voltaje del crcuto. Seleccone dos de los 4 árboles que generó en el problema, y encuentre para cada caso las ecuacones de voltaje de crcuto de la fg..a generadas por los lazos fundamentales. segúrese de que al menos uno de los ejemplos que genere no sean sólo mallas. Problema 4. (a) Tome un lazo cualquera que no sea fundamental en uno de los ejemplos que usted generó. Este lazo tendrá al menos dos ramas del coárbol. Explque la razón. (b) Escrba la ecuacón de voltaje para el lazo del ncso(a). hora combne algebracamente las ecuacones de los lazos defndos por las ramas de coárbol dentro del conjunto de lazos fundamentales, y verfque dcha combnacón genera la ecuacón del lazo escogdo. Este ejercco lustra el hecho de que cualquer otra ecuacón de voltajes en un lazo puede expresarse como una combnacón lneal de las ecuacones de los lazos fundamentales. Por tanto, puesto que hay N lazos fundamentales, hay solamente N ecuacones lnealmente ndependentes de voltaje. Problema 5. (a) Tener un conjunto de lazos fundamentales es sufcente, pero no necesaro, para obtener un conjunto de ecuacones de voltaje lnealmente ndependentes. emuestre que no es posble obtener un árbol en el grafo de la fg. 5. tal que las mallas nternas consttuyan un conjunto de lazos fundamentales. Fg. 5. (b) sgne dreccones (arbtraramente) al gráfco de la fg. 5., y de nombre a las ramas. (c) Se puede demostrar que s un sstema de ecuacones es lnealmente ndependente, y consderamos un subconjunto de ecuacones, entonces el sstema que resulta por la susttucón de una cualquera de estas ecuacones por una combnacón lneal de ellas, es gualmente ndependente. Este teorema se utlza para resolver sstemas de ecuacones. Por ejemplo, el sstema () es lnealmente ndependente. S sumamos el trple de la ecuacón a la ecuacón, y susttumos la ecuacón por el resultado, obtenendo el sstema (), el teorema asegura que éste tambén es lnealmente ndependente.. x y 3z = 7 5y 0z = 30. 3x y 5z = 9 3x y 5z = 9 3. 5x 6y 4z= 5x 6 y 4z = ( ) () Para el grafo de la fg. 5., escoja un conjunto de lazos fundamentales para demostrar entonces que el sstema generado por las mallas escogdas es lnealmente ndependente. (Sugerenca: usar el teorema y el resultado de la parte (b) del problema 4) Problema 6. (a )El crcuto formado con los bloques en la fg. 6. es un crcuto para el cual podemos escrbr dos ecuacones de voltaje y una de corrente. Escoja las ecuacones como desee.
4 V v 3 a c v v5 v 4 b Fg. 6. (b). Para los crcutos (I) a (IV), los cuales tenen todos la msma topología que la fg. 6., agregue el conjunto de ecuacones de elementos correspondente y encuentre los voltajes, correntes y potenca en cada elemento. Verfque que la suma de potencas generadas es gual a la suma de potencas absorbdas. kω 3. kω 0kΩ.5 kω V x.4 kω V 500 Ω 000 V x ( I ) ( II ) 500 Ω.5 kω.3 kω 50 x V V x 0kΩ 000 V 4 V x x 00Ω.5 kω ( III ) (IV) (c) En los crcutos (V) y (VI) se tenen dos elementos muy peculares, el nulator, (fg. 6.a) y el norator (fg. 6.b). Son elementos que no cumplen con la condcón de que se defnen medante una ecuacón. Por tal motvo se les llama patológcos, y no tenen sgnfcado físco. ún más, s en un crcuto hay mayor número de noratores que nulatores, o vceversa, se corre el resgo de obtener un sstema nconsstente o contradctoro. =0 v=0 v (a) Nulator (b) Norator Fg. 6. El nulator está defndo por dos ecuacones: que v e son arbtraros) v=0, =0. El norator no tene ecuacones defntoras (se dce En los crcutos V y VI, encuentre la potenca y el voltaje en el norator, s absorbe o genera. En los crcuto VII y VIII encuentre la relacón Vo/Vs
5.5 kω 500 Ω.5 kω V 500 Ω V V o V o ( V ) ( VI ) R R R V V S R V S o V o ( VII ) ( VIII ) d) El díodo (fg. 6.3) se defne por la ecuacón = I s (e v/vt ) donde Is y Vt son constantes Encontrar la potenca dspara en el díodo del crcuto IX, s Is = 5 f (femto mpere) y Vt = 6 mv. kω.4 kω v Fg. 6.3 (IX ) e) La capactanca (fg. 6.4) se defne por = dv, donde es la capactanca del elemento, meddo en dt Farad o Farados (F). En el crcuto X, reducr las ecuacones del crcuto a una sola ecuacón de la forma dv a dt a 0v = f (v s ), donde los coefcentes a y a0 son constantes y f(vs) es una funcón (lneal) de la fuente de voltaje vs. kω 3. kω 0 µf v Fg. 6.4 ( X )