ICI3140 Métodos Numércos Proesor : Dr. Héctor Allende-Cd e-mal : hector.allende@ucv.cl
Proyecto Tópcos: Numercal Optmzaton Mínmos Cuadrados Numercal Lnear Algebra: SVD QR NMF Dmensonalty Reducton PCA ICA Partal and Ordnary Derentaton Equatons Numercal Smulaton Montecarlo Aplcacones Functon Decomposton (Wavelet or Fourer CUDA ICI3140 Dr. Héctor Allende 2
Repaso b ± 2 b 2a 4ac ( a 2 + b + c 0 Los valores de, se les denomna las raíces de la uncón. Son los valores que hacen que la uncón sea gual a 0. ICI3140 Dr. Héctor Allende 3
Motvacón dv dt g cd m 2 v v: velocdad vertcal [m/s] t: tempo [s] g: aceleracón de gravedad c_d: coecente de arrastre agrupado m: masa del saltador gm gc d v( t tanh t Solucón analítca m68.1 [kg] c d m g9.81[m/s^2] c_d0.25[kg/m] ICI3140 Dr. Héctor Allende 4
Motvacón Dversos estudos médcos ndcan que el resgo de que un saltador tenga problemas en sus vertebras aumenta demasado s después de 4 [s] de caída ecede los 36 [m/s]. De estudos prevos Ud. sabe que la solucón analítca puede ser usada para predecr la velocdad: v( t gm gc d tanh t cd m ICI3140 Dr. Héctor Allende 5
Motvacón No se puede manpular la ecuacón para resolver de manera eplícta. Por lo tanto s sustraemos v(t de ambos lados de la ecuacón, da como resultado: gm gc d ( m tanh t v( t c d m La solucón al problema es encontrar los valores de m que hacen que la uncón sea gual a 0. ICI3140 Dr. Héctor Allende 6
Objetvos Entender que son problemas de raíces y cuando ocurren en ngenería y cenca. Saber como determnar raíces de manera gráca. Resolver problemas de raíces con el método de la bseccón (y sus varantes Resolver problemas de races con el método de Newton (y varantes Entender la derenca entre las 2 amlas de métodos y cuando aplcarlos en los dstntos problemas.
Resolucón gráca
Resolucón gráca
Método de la Búsqueda Incremental Es un método para estmar en que ntervalo se encuentran las raíces. Se aprovecha de la stuacon que s (a(b<0, sendo a y b puntos sucesvos, entre a y b este una raíz. Qué pasa s la derenca entre a y b es muy grande?
Método de la Bseccón El método consste en lo sguente: Debe estr segurdad sobre la contnudad de la uncón ( en el ntervalo [a,b] A contnuacón se verca que: Se calcula el punto medo m del ntervalo [a,b] y se evalúa (m s ese valor es gual a cero, ya hemos encontrado la raíz buscada En caso de que no lo sea, vercamos s (m tene sgno opuesto con (a o con (b Se redene el ntervalo [a, b] como [a, m] ó [m, b] según se haya determnado en cuál de estos ntervalos ocurre un cambo de sgno Con este nuevo ntervalo se contnúa sucesvamente encerrando la solucón en un ntervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precsón deseada
Método Regula Fals Cómo se podría mejorar la estmacón de la raíz y hacer que la convergenca sea más rápda? r u ( ( u l ( l ( u u
Tpos de Métodos Métodos basados en Intervalos Métodos Abertos
Método del Punto Fjo Tenemos la uncón: ( 0 Se aplca la tranormacón: g( ( + Se elge un valor ncal de _: g( + 1
Método del Punto Fjo Grácamente:
Método del Punto Fjo Use el método de punto jo para encontrar la raíz de: ( e Para del punto ncal (3 teracones: 0 0.5005
Método del Punto Fjo Use el método de punto jo para encontrar la raíz de: ( e e + 1 Para del punto ncal (3 teracones: 0 0.5005
Método de Newton-Raphson Es el método más usado. Se basa en la nterpretacón geométrca de la dervada. Con un arreglo convenente: 1 0 ( '( + '( ( 1 +
Método de Newton-Raphson Volvendo al ejemplo anteror ( e Para del punto ncal (3 teracones: 0 0.5
Método de Newton-Raphson Volvendo al ejemplo anteror ( e '( e e e + 1 1 Para del punto ncal (3 teracones: 1 0 0.5
Método de la Secante Qué pasa cuando la dervada de una uncón es muy dícl? Puedo apromar la dervada de alguna manera?
Método de la Secante Qué pasa cuando la dervada de una uncón es muy dícl? Puedo apromar la dervada de alguna manera? Reemplazando la ecuacón anteror en: 1 1 ( ( '( '( ( 1 +
Método de la Secante Nos queda: Tenemos que elegr 2 estmacones ncales de ( ( ( ( 1 1 1 + m n n,..., 2, ( ( ( ( 1 1 1 2 1 1 0 +
Relacón entre encontrar raíces y optmzacón Vendo el gráco comente con su compañero como se relaconan ambos tópcos.
Sstemas de Ecuacones No lneales Más adelante, después de ver Sstemas de Ecuacones lneales. y 2 2 + ( y 2 2 4 Problemas reales mles de varables y de ecuacones.
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