UNIDAD 9: INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. DERIVADAS LATERALES Dfiici.- S llama drivada d ua fuci f u puto d abscisa al siguit límit si ist: f f ' lím sigifica lo mismo. f. S sul rprstar por f = D f ' ' df todas d Tambié s pud usar otro límit quivalt si a uo l gusta más s: f ' lím f f Ejmplo: Dada la fuci, calcular la drivada l puto d abscisa Aplicamos la dfiici usado l primr límit practicad usado l otro vr qu sal lo mismo 9 6 6 ' lím lím lím = 6 6 lím lím aora os sal ua idtrmiaci, qu la rsolvmos sacado factor comú = lím lím. Así la drivada d la fuci val Ejmplo: Dada f, calcular la drivada Aora vamos a aplicar l otro límit quivalt: f f f ' lím lím aora os sal ua idtrmiaci, qu la rsolvmos multiplicado por l cojugado = lím lím lím simplificamos = lím. Así la drivada d f val [Nota: No acía falta multiplicar por l cojugado si os damos cuta qu simplificar] Dfiici.- La drivada latral por la drca d ua fuci f u puto d abscisa s l siguit límit si ist: = f f f ' D f lím = lím f f UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
Dfiici.- La drivada latral por la izquirda d ua fuci f u puto d abscisa s l siguit límit si ist: f f f ' D f lím = lím f f Coscucia: Ua fuci f ti drivada u puto d abscisa si solo si ist las drivadas latrals coicid. Es dcir, f ' f ' f ' f ' = f ' Nota: las drivadas latrals s usará sobr todo las fucios dfiidas por parts o a trozos, d mara similar a como s acía l studio d la cotiuidad. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES DERIVABLES Propidad: Si ua fuci s drivabl u puto, tocs s cotiua. Lo cotrario o s cirto, s dcir, a fucios cotiuas u puto qu o so drivabls s puto Drivabl Cotiua Rsumido: Cotiua Drivabl o o drivabl Propidad: Si ua fuci s cotiua, la drivada ist si slo si ist las drivadas latrals stas coicid. Esta propidad la utilizarmos para calcular la drivada putos dod la fuci cambia d dfiici. si Ejmplo: Dada la fuci f si, studiar si s drivabl si Vamos Primro por sr ua fuci por parts vamos a studiar la cotiuidad, como a sabmos a Límits latrals lím f lím lím f lím Como podmos aprciar so distitos, lugo la fuci prsta ua discotiuidad o vitabl d salto fiito amplitud. Por tato, sgú la propidad al o sr cotiua sabmos qu o s drivabl, o ac falta calcular las drivadas latrals. Vamos aora Vamos primro a studiar la cotiuidad a Límits latrals UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
lím lím f lím f lím Como los límits latrals coicid, tocs lím f b f c Como lím f f, tocs la fuci s cotiua Co sto o sabmos si s drivabl o o, pro pud qu lo sa. Para vrificarlo mos d usar las drivadas latrals f f f ' lím lím = lím lím f f f ' lím lím = lím Como so iguals podmos afirmar qu la fuci s drivabl qu f ' NOTA: Como vmos, los putos dod la fuci cambia d dfiici, mos d studiar primro la cotiuidad si os sal cotiua ralizar dspués l studio co drivadas latrals. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA La drivada d ua fuci u puto s la pdit d la rcta tagt a la gráfica d la fuci l puto, f D f f ' mrcta tagt. Co sto podmos obtr la cuaci d la rcta tagt a la fuci l puto, f NOTA: La cuaci d ua rcta dada su pdit m u puto por dod pasa a, b s así: r b m a Aplicado la cuaci d la ota atrior tmos la cuaci d la rcta tagt: t f f ' UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
Y d sto, podmos sacar la cuaci d la rcta ormal a la fuci l puto, f, pus sta rcta tdrá por pdit, al sr prpdicular a la tagt. Co lo cual la cuaci d la rcta f ' ormal s: f f ' Ejmplo: Calcular las cuacios d la rcta tagt ormal a la fuci abscisa l puto d Como vimos l jmplo, tmos qu f '. Como f 6 a slo os quda sustituir las cuacios: Rcta tagt: t 6 Rcta ormal: 6. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Dfiici.- S llama fuci drivada o slo drivada d ua fuci f ' f ', a la fuci qu asocia a cada l valor d su drivada. Ejmplo: Calcular la fuci drivada d f Tomamos u puto cualquira l aplicamos la dfiici d drivada: s rprsta por UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
f f f ' lím lím dsarrollamos opramos = 6 6 lím sacamos factor comú simplificamos = lím 6 Lo qu mos obtido s qu para cualquir tmos qu f ' 6, Si lugar d ubiésmos pusto, os da la fuci drivada o drivada f ' 6. Esta fuci a os prmit calcula la drivada otro puto simplmt sustitudo si tr qu acr límits. Por jmplo, cuál sría la drivada? Pus fácilmt, f ' 6 Dfiici: Drivadas sucsivas so drivadas d fucios drivadas so Drivada primra d f: s la qu mos tratado ' f ' Drivada sguda d f: s la drivada d la drivada ' ' f '' f '' Drivada trcra d f: s la drivada d la drivada sguda: ' '' f ''' f ''' Y así sucsivamt, dirmos Drivada -ésima d f: f f '. DERIVADAS DE LAS OPERACIONES CON FUNCIONES So ua sri d frmulas qu a qu sabrs d mmoria. Si algui stá itrsado coocr su dmostraci lo pud ultar cualquir libro d tto. Drivada d la suma o difrcia d fucios f g' f ' g' Drivada dl producto d u º ral por ua fuci k f ' k f ' Drivada dl producto d dos fucios f g ' f ' g f g' f f ' g f g' Drivada dl cocit d dos fucios g g Drivada d la fuci compusta. Rgla d la cada ' g f ' g' f f ' Ya s vrá su utilidad más adlat. UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
6. FUNCIONES DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Y COMPUESTAS. TABLA Vamos a dar uas tablas, qu abrá qu coocr d mmoria tambié, dod vi las drivadas d las fucios lmtals compustas, así como u jmplo d cada ua FUNCIONES BÁSICAS DERIVADA Costat f Idtidad f c f ' f ' Potcial caica f f ' Racioal básica f Irracioal básica f f ' f ' FUNCIÓN SIMPLE FUNCIÓN COMPUESTA DERIVADA FUNCIÓN SIMPLE DERIVADA FUNCIÓN COMPUESTA f f f f f f f f f f f f f f f f f f a f a l a a a a f f l l l f f f log a log f a l a f l a f 6 UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
s s f ' ' f f ' f ' s ' s f f ' tg tg f ' ' f ' f arcs arcs f ' ' f ' f ar ar f ' ' f ' f arctg arctg f ' ' ' f f Ejmplos: Drivamos las siguits fucios: FUNCIÓN DERIVADA 7 7 6 7 7 f f 6 6 f 6 f f f 8 6 8 8 8 8 f f f f f l f L f f f log l l l Ejmplos: Ejrcicios rsultos d drivadas: 7 UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas 8 FUNCIÓN SOLUCIÓN s. s. s s s s.. s s. s s s. tg tg tg tg tg.. arcs. arctg. ar... g 6.. ].[ s s s g..
Ejmplos: Ejrcicios rsultos d drivadas: FUNCIÓN SOLUCIÓN 9 UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas
Ejmplos: Ejrcicios rsultos d drivadas: FUNCIÓN SOLUCIÓN UNIDAD 9: Itroducci a las drivadas