TEM 9. Geometrí del triángulo. TEM 9. Geometrí del triángulo.. Introduión. El triángulo es el polígono ms estudido, su importni reside en ls múltiples propieddes que estos tienen y que todos los polígonos se pueden desomponer en triángulos. L importni de los triángulos fue y desuiert por los ntiguos griegos, uyos pensdores más destdos en este sentido fueron Tles, Pitágors y Tolomeo. El primero demostró el teorem que llev su nomre pr relionr triángulos semejntes; el segundo demostró (se sí y on nterioridd) l relión entre los ldos de los triángulos retángulos; mientrs que el terero relizó tls de ls rzones trigonométris de grdo en grdo pr plsmr l proporionlidd de los ldos en triángulos retángulos on un ángulo igul.. Definiión y lsifiiones.. Definiión. Un polígono es tod figur geométri errd de dimensiones, formd por l unión de diferentes segmentos onseutivos. Un triángulo es un polígono de tres segmentos. Los segmentos se denominn ldos, los puntos de unión de los ldos vérties, siendo el ángulo del triángulo el interior formdo por dos ldos onseutivos. Notión: los vérties del triángulo se suelen llmr,, siendo,, los ldos y, y los ángulos. El ldo es opuesto l vértie, el de y el de.. lsifiión. Hy dos lsifiiones diferentes, tendiendo sus ldos y sus ángulos. Vemos d un de ells por seprdo. tendiendo los ldos: Triángulo equilátero: los tres ldos igules, tiene ejes de simetrí. Triángulo isóseles: dos ldos igules, tiene un eje de simetrí. Esleno: no tiene ldos igules, sin ejes de simetrí. Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es)
TEM 9. Geometrí del triángulo. tendiendo los ángulos: Retángulo: un ángulo reto. En este triángulo el ldo opuesto l ángulo reto, el myor, se llm hipotenus siendo los otros dos tetos. utángulo: todos sus ángulos son gudos (menores de 90 o ) Otusángulo: un ángulo es otuso (myor de 90 o ). Rets notles de un triángulo. En todo triángulo definimos los ls siguientes rets y segmentos signifitivos: - se: ulquier de sus ldos - ltur: el segmento perpendiulr l se o su prolongión desde el vértie opuesto. Tmién se llm ltur, h, l distni del vértie l ret que ontiene el ldo opuesto. - Medin: es l ret que une un vértie y el punto medio del ldo opuesto. - Meditriz: es l ret que equidist de dos vérties del triángulo, umple que es perpendiulr l ldo y ps por el punto medio. - isetriz (interior): ret que ps por el vértie dividiendo el ángulo en dos prtes igules, de form que equidist todos sus puntos de los ldos dyentes l vértie.. Relión entre los ángulos de un triángulo. Un de ls rterístis que hen importnte los triángulos es l relión que existe entre sus tres ángulos. Podemos ver dos teorems on respeto los ángulos de los triángulos. Teorem : en todo triángulo l sum de los ángulos internos es de 80 o (++ 80 o ). Demostrión: es muy senill, trzmos un prlel por un vértie el ldo opuesto, formándose on el vértie tres ángulos igules los ángulos del triángulo por estr formdo por ldos prlelos, por tnto l sum será 80 o. Teorem : en todo triángulo el ángulo exterior es igul l sum de los dos ángulos interiores dyentes. Demostrión: Se el triángulo ddo y el ángulo exterior del vértie. Si trzmos por un semirret prlel divide l ángulo en dos que resultn ser y por ser prlelos sus ldos. Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es)
TEM 9. Geometrí del triángulo. 4. Semejnz e iguldd de triángulos. 4. Semejnz. riterios. Dos figurs son semejntes si tiene los ángulos igules y los ldos proporionles. En el so de los triángulos ls ondiiones son ls siguientes:.,,. k ' ' ' Deido ls propieddes de los triángulos podemos segurr l semejnz on menos ondiiones, tenemos sí tres riterios de semejnz que se poyn en el Teorem de Tles. Teorem de Tles: Si en un triángulo se trz un líne prlel ulquier de sus ldos, se otiene un triángulo que es semejnte l triángulo ddo. Demostrión: D E Se umple que los triángulos DE y ED tienen l mism áre, pues tienen l mism se y l ltur de mos triángulos es l distni entre dos rets prlels. lulemos ls áres: (DE) 0.5 D EE' (ED) 0.5 E DD' ( DE) 0.5 D DD' 0.5 E EE' ( DE) D ( DE) D ( DE) E ( ED) E Tmién D E D D E E DE E D k( ) k D E k D + D E + E D E k DE D Por otro ldo los tres ángulos son igules, l estr formdo por ldos prlelos. Luego se umple que los ángulos igules y los ldos proporionles, luego los triángulos son semejntes. E Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es)
TEM 9. Geometrí del triángulo. er riterio de semejnz: dos triángulos son semejntes si tienen un ángulo igul y los ldos que lo formn son proporionles. Demostrión: se umple ' ' k, ' ' ky ˆ ˆ ' Se umple ' ' ' ' ' ' k( ) K, luego el otro ldo proporionl. Si desplzmos y girmos un triángulo podemos ponerle superpuesto sore el otro, omo el ángulo igul y los ldos proporionles por el teorem de Tles los otros ldos prlelos y por tnto los ángulos igules l estr formdo por ldos prlelos. º riterio de semejnz: si dos triángulos dos ángulos igules estos son semejntes. Demostrión: sen ˆ ˆ' y ˆ ˆ ', omo los ángulos de un triángulo sumn 80 o ˆ ˆ'. Si trsldos y girmos un triángulo y lo ponemos on ldos superpuestos on vértie en omún omo los ángulos son igules los ldos prlelos y estrán en posiión de Tles y por tnto los ldos proporionles. er riterio de semejnz: si dos triángulos tienen los tres ldos proporionles estos son semejntes. ' ' ' ' ' ' Demostrión: k, definimos un nuevo triángulo semejnte tl que l rzón de semejnz entre mos es k, por lo que,,. omo tienen los tres ldos igules por onstruión estos dos triángulos son igules, luego es semejnte de. Iguldd de dos triángulos: dos triángulos son igules si los ángulos igules y los ldos tmién. L iguldd de dos triángulos se he viendo l semejnz on k. 4. onstruión. er so: ddo un ángulo  y sus ldos dyentes y. Diujmos el ángulo y medimos sore los ldos del ángulo los vlores de y, lulndo sí y. Uniendo los tres vérties tenemos el triángulo usdo.  º so: un ldo y dos ángulo. lulmos el terer ángulo siendo que l sum de los tres es 80 o. Diujmos el ldo y en sus extremos los ángulos dyentes. Donde se orten los ldos de los ángulos es el terer vértie. Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es) 4
TEM 9. Geometrí del triángulo. er so: si onoemos los tres ldos. Diujmos uno de ellos y sore los vérties del segmento trzmos on el ompás dos irunferenis de rdios el tmño de los otros dos ldos. El punto de orte de ls dos irunferenis es el terer vértie (son dos puntos de orte y slen dos triángulo igules simétrios respeto el ldo iniil). 5. Puntos y rets notles. 5. Meditries. irunentro. L meditriz de un ldo de un triángulo es el lugr geométrio de los puntos que equidistn de los dos vérties de diho ldo. Se umple que es un ret perpendiulr l ldo que ps por el punto medio. Todo triángulo tiene tres meditries, un por d ldo. Proposiión: ls tres meditries de todo triángulo ortn en un únio punto llmdo irunentro que equidist de los tres vérties. Demostrión: l meditriz del ldo, r, es un ret que equidist de os vérties y ; l meditriz del ldo, r, es un ret que equidist de los vérties y, l meditriz de, r, es un ret que equidist de los vérties y. Se umple que el punto de orte de r y r es un punto O que equidist de, y por el que psrá tmién entones r (pues O equidist de y ). orolrio: el punto de orte de ls meditries se denomin irunentro y es el entro de l irunfereni irunsrit que ps por los tres vérties del triángulo. 5. isetriz. Inentro. L isetriz de un ángulo del triángulo es l ret que umple que todos sus puntos equidistn de los ldos que del triángulo que formn el ángulo. umple que divide el ángulo en dos prtes igules. Proposiión: ls isetries de ulquier triángulo ortn en un punto, Inentro, que equidist de los ldos del mismo. Demostrión: l isetriz de, r, equidist de los ldos y ; l isetriz de, r, equidist de los ldos y ; l isetriz de, r equidist de los ldos y. El punto de orte de r on r es un punto, I, que equidist de los tres ldos y por tnto por donde ps l ret r.. Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es) 5
TEM 9. Geometrí del triángulo. 5. lturs de un triángulo. Ortoentro. orolrio: el punto que define l interseión de ls isetries se llm Inentro, I, sien- do el entro de un irunfereni denomind insrit que es tngente los ldos del trián- gulo. Se llm ltur de un triángulo l ret que psndo por un vértie ort de form per- entre el vértie pendiulr l ldo opuesto (se). Se suele tmién llmr ltur l distni y l se. Hy lturs y ses, tnts omo ldos y vérties. Proposiión: ls tres lturs del triángulo, h,, h, h se ortn en un mismo punto llmdo ortoentro. Demostrión: no es tn senill omo ls dos nteriores, neesitmos definir un triángulo semejnte, formdo por ls rets prlels l triángulo originl por los vérties. Por onstruión (se formn prlelepípedos) se umple que, y, por lo que los vérties, y están en el punto medio de los ldos del triángulo órtio y demás este es proporionl on k. l trzr ls lturs del triángulo ests umplen que psn por el punto medio de los ldos del triángulo y son perpendiulres ls ses de y por tnto por onstru- meditries del ión los ldos de, por lo que ests lturs de nuestro triángulo son ls triángulo, y por tnto se ortn en un únio punto el irunentro de que es l vez el ortoentro de. orolrio: el ortoentro de un triángulo retángulo es el vértie reto l ser ls lturs sus tetos, umpliéndose sí que el triángulo insrito en un semiirunfereni y por tnto el ángulo uyo ro se un semiirunfereni es de 90 o Jose Luis Lorente (preprdorr oposiiones seundri www.joseluislorente.es) 6
TEM 9. Geometrí del triángulo. 5.4 Medins de un triángulo. rientro Se llm medin de un triángulo d un de los tres segmentos que une un punto medio de un ldo on el vértie opuesto. vees omo en l ltur tmién se utiliz l plr medin pr indir el tmño de l mism. Proposiión: ls medins de de un triángulo se ortn en un únio punto llmdo rientro o entro de grvedd y representdo por G. Demostrión: lo veremos l finl de este punto. Proposiión: l distni del punto medio de un ldo, M, l rientro G, es / el tmño de l medin, distni entre M y el vértie opuesto. Demostrión: si unimos dos puntos medios de dos ldos y de un triángulo, M y N, se umple que los triángulos y MN son semejntes de proporionlidd ( er riterio de semejnz on k). Por tnto MN es prlelo y de vlor l mitd. / N / / M / Se el triángulo y tremos l medin M y N, que ortrán en el rientro G. En el triángulo G lulmos los puntos medios de los ldos G, P, y del ldo G, Q. Por lo demostrdo nteriormente PQ será prlelo y de ldo l mitd /. De est form el triángulo PQG es igul l MNG pues tienen los tres ángulos igules (G opuesto por el vértie y los otros dos formdos por rets prlels) y el ldo PQMN/. De est form PPGGM, y por tnto GGM o GMM/ P N G Q M Proposiión (álulo del rientro de un triángulo): el rientro e un triángulo on puntos,, se lul sumndo los tres puntos y dividiendo entre, es deir es el entro de + + grvedd de l figur: G + Demostrión: utilizremos l nterior proposiión: G M on M. Operndo (G-) G++ G. + + + Not: si lo hemos pr ulquier otr medin el resultdo de G es el mismo, lo que nos indi que el punto de orte de ls tres medins es el mismo. Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es) 7
TEM 9. Geometrí del triángulo. 6. Propieddes métris en el triángulo retángulo. Ls propieddes métris de los triángulos retángulos son más senills que los triángulos genérios, pues en estos se puede plir el teorem de Pitágors y demás ls rzones trigonométris hn sido definids pr este tipo de triángulos. Teorem de Pitágors: En todo triángulo retángulo (un ángulo reto o de 90 o ) el udrdo del l hipotenus (el opuesto l ángulo reto) es igul l sum de los udrdos de los tetos (los otros dos ldos). + Demostrión: es uno de los teorems más demostrdos y de más diferentes forms. En est demostrión usremos un de ls más lásis sd en el álulo del áre de un udrdo dividió en 4 triángulos y un udrdo más pequeño de ldo igul l hipotenus. áre totl t udrdo grnde (+) + + re totlre udrdo pequeño +4 tringulo +4 / + Igulndo: + + +, despejndo + onseuenis teorem de Pitágors:. Teorem del teto: en todo triángulo retángulo el teto es l medi proporionl de l hipotenus y de su proyeión sore ell. Demostrión: Los dos triángulos que se formn l trzr l ltur de un triángulo retángulo son semejntes (son retos y un ángulo igul), por tnto los ldos son proporionles: x M semejnte MP ldos proporionles: x. Teorem de l ltur: en todo triángulo retángulo l ltur es medi proporionl de ls dos prtes que se divide l hipotenus por ést. Demostrión: MP y MP semejntes M, luego semejntes entre sí y los ldos proporionles: x x Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es) 8
TEM 9. Geometrí del triángulo. Rzones trigonométris en triángulos retángulos: Los triángulos retángulos l semejnz se umple si tienen entre sí un ángulo omún (demás del ángulo reto). omo semos los ldos de los triángulos semejntes son proporionles, por tnto siendo el ángulo de este triángulo retángulo quedrn determinds los vlores de ls reliones de los ldos de ulquier triángulo retángulo on este ángulo fijdo. Ests rzones entre los ldos se llmn rzones trigonométris: α sen( α) os( α) tg( α) teto opuesto hipotenus teto ontiguo hipotenus teto opuesto teto ontiguo Es importnte drse uent que el vlor de ls rzones trigonométris depende del ángulo y no del triángulo. El ángulo en est definiión umple α (0 o,90 o ) omo semos prtir del teorem de Pitágors el vlor de l hipotenus () de un triángulo es myor que el de los dos tetos ( y ), por tnto se umple que:0<sen(α)<, 0<os(α)< undo α (0,90º). prtir de ests rzones trigonométris fundmentles podemos definir ls siguientes: se( α) os( α) ose( α) sen( α) hipotenus teto opuesto hipotenus teto ontiguo tetoontiguo otg( α) tg( α) tetoopuesto Propiedd fundmentl rzones trigonométris: sen (α)+os (α). Demostrión: sen (α)+os (α) / + / ( + )/ (plindo Pitágors + ) Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es) 9
TEM 9. Geometrí del triángulo. 7. Reliones métris en triángulos ulesquier. En los triángulos no retángulos no podemos plir ni el teorem de Pitágors ni ls rzones trigonométris, en estoss triángulos podemos plir otros dos teorems: Teorem de oseno o de Pitágors generlizdo: () + - os() () + - os() () + - os() Demostrión: Si 90 o () T. de Pitágors, ()os()/,() os()/ x sen() y os() x x +(-y) sen ()+ + os ()- os() + - os() y Teorem del seno: sen( ) sen( ) Demostrión: sen ( ) R on Rrdio irunfereni irunsrit. Ddo el triángulo, denotmos por O su irunentro y diuj- Prolongndo el segmen- mos su irunfereni irunsrit. to O hst ortr l irunfereni, se otiene un diámetro P. hor, el triángulo P es reto, puesto que P es un diámetro, y demás los ángulos y P son igules, porque mos son ángulos insritos que ren el segmento (Vése definiión de ro - seno, se pz). Por definiión de l funión trigonométri tiene: sen()sen(p) P R Podemos her lo mismo sore los ldos y : Otros teorems métrios: sen()/r y sen()/r. Despejndo R otenemos el teorem Teorem : en todo triángulo ulquier ldo es menor que l sum de los otros dos ldos. Demostrión: Se el triángulo, el mino más orto pr ir de es l ret que une sus puntos: ldo ; tmién se puede ir prtir de reorrer los otros dos ldos +. Se umple entones que <+. Teorem : En todo triángulo ulquier ldo es myor que l difereni de los otros dos. Demostrión: prtir teorem nterior <+ -<. Jose Luis Lorente (preprdorr oposiiones seundri www.joseluislorente.es) 0
TEM 9. Geometrí del triángulo. Teorem : si dos ldos de un triángulo son igules sus ángulos opuestos tmién lo son. Demostrión: Se el triángulo isóseles on. Trzmos l isetriz del vértie que ortrá l ldo en el punto D. Se umple que los triángulo D y D son igules pues tienen dos ldos igules (l ltur omún y ) y el ángulo omprendido es tmién igul (l trzr l isetriz). Luego si los triángulos son igules los ángulos. L demostrión tmién se puede ver por teorem del seno. orolrio: los ángulos de un triángulo equilátero son igules y vlen 60 o y que l sum es 80 o Teorem 4: En todo triángulo l ldo myor le orresponde el ángulo opuesto myor, l ldo menor el ángulo opuesto es menor. Demostrión: Se el triángulo on >. ogemos un punto D del ldo tl que D, por lo que el triángulo D es isóseles y por tnto αβ (ver diujo). sí se umple que > : α+γ β D 80 80 β +β π-β α γ 8. Superfiie o áre de un triángulo. Proposiión: l superfiie de un triángulo es l mitd l de un prlelogrmo on el mismo ldo que l se del triángulo y mism ltur. prle tringulo Demostrión: si sore el triángulo trzmos un prlel l se por l mitd de l tur y otr prlel uno de los otros dos ldos se form un prlelogrmo de igul se,, y de ltur l mitd, h/. Se umple que el áre de este prlelogrmo es l mism l del triángulo pues hemos desplzdo l prte superior del triángulo su dereh pr inorporrlo l prelogrmo (triángulo MNNM por tener los ángulos igules y mism ltur). h M N M h/ Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es)
TEM 9. Geometrí del triángulo. lulo del áre prtir del produto vetoril: el áre de un triángulo es l mitd del módulo del produto vetoril (, y vérties del triángulo) re Demostrión: sen( α ) h 44 h α h 9. onlusiones. L geometrí del triángulo se empiez trjr en los dos primero ursos de seundri, pero no es hst 4º ESO y primero de hillerto donde se resuelven triángulos, retángulos en 4º y ulquier en hillerto. Los puntos notles del triángulo tmién se estudin en 4º y en º de hillerto de ienis undo se explin l geometrí nlíti. El onoer l geometrí del triángulo es esenil pr poder estudir l de ulquier otro polígono. Jose Luis Lorente (preprdor oposiiones seundri www.joseluislorente.es)