CAPÍTULO 2. Movimiento oscilatorio

Transcripción

1 CAPÍTULO. Mviien scilari INTRODUCCION. Las vibracines u scilacines de ls siseas ecánics cnsiuen un de ls caps de esudi ás ipranes de da la física. Virualene d sisea psee una capacidad de vibración la aría de ls siseas pueden vibrar libreene de uchas aneras diferenes. En general, las vibracines naurales predinanes de bjes pequeñs suelen ser rápidas, ienras que las de bjes ás grandes suelen ser lenas. Las alas de un squi, pr ejepl, vibran cenenares de veces pr segund prducen una na audible. La Tierra cplea, después de haber sid sacudida pr un erre, puede cninuar vibrand a un ri del una scilación pr hra apriadaene. El is cuerp huan es un fabuls recipiene de fenóens vibraris; nuesrs craznes laen, nuesrs pulnes scilan, irias cuand enes frí, a veces rncas, pdes ír hablar gracias a que vibran nuesrs ípans laringes. Las ndas luinsas que ns perien ver sn casinadas pr vibracines. Ns ves prque haces scilar las piernas. Ni siquiera pdres decir crrecaene "vibración" sin que scile la puna de nuesra lengua.. Inclus ls ás que cpnen nuesr cuerp vibran. La raza de un elecrcardigraa, srada en la figura, regisra la acividad elécrica ríica que acpaña el laid de nuesrs craznes. suela se prducen las scilacines. Un carri aad enre ds spres en un plan hriznal pr edi de resres scilará cuand el carri se desplaza de su psición de reps después se suela. Una regla afianzada cn abrazadera en un ere a un banc scilará cuand se presina después se suela el ere libre. Qué haces en éss rs ejepls, para cnseguir las scilacines? Las asas se sacan de su psición de reps después se suelan. Una fuerza resauradra ira de ellas parecen ir ás allá de la psición de reps. Esa fuerza resauradra debe eisir de ra anera ellas n se verían cuand sn sladas. Prque ha una fuerza ennces debes ener una aceleración. La fuerza de resauración se dirige siepre hacia la psición de equilibri cenral -- la aceleración se dirige así siepre hacia la psición de equilibri cenral. MOVIMIENTO OSCILATORIO Definición caracerísicas Qué es un viien scilari? Es un viien de vaivén! Pdes hacer una descripción cienífica? Si esudias el viien de un núer de bjes pdes quizás cnesar a la preguna. Si una asa se suspende a parir de un resre, se ira hacia abaj después se suela, se prducen las scilacines El balance de una blia en una pisa curvada, la blia scila hacia delane arás de su psición de reps. Una asa suspendida del ere de una cuerda (un péndul siple), cuand la asa se desplaza de su psición de reps se la Pdes deerinar el gráfic disancia - iep para un bje scilane and una fgrafía esrbscópica para un péndul usand el Snic Ranger del labrari. Se biene su desplazaien ái a un lad r de la psición de reps. La figura arriba uesra ls gráfics disancia iep. Algunas scilacines parecen ener la isa caracerísica a la ada al is iep para cada scilación cplea. Tales sciladres se cncen c isócrnas, anienen esa caracerísica cnsane del iep sin iprar ls cabis de la apliud debid al ariguaien. Cn un eperien siple c el srad en la figura a cninuación, abién se puede bener el gráfic desplazaien - iep para el viien scilari de un sisea asa resre, al que se le ha aad un pluón que deja una raza en un rll de papel que se gira a velcidad cnsane. Es prduce una hja que uesra que el viien de la asa iene la fra sinusidal.

2 π Tabién f, f es la frecuencia en scilacines pr segund. Una scilación pr segund se llaa herz (Hz). Tds ess érins sn u ipranes Oscilacines Sinusidales Cncenrares prefereneene nuesra aención sbre las scilacines sinusidales. La razón física cnsise en que realene se presenan scilacines puraene sinusidales en una gran variedad de siseas ecánics, siend riginadas pr fuerzas resauradras que sn prprcinales a ls desplazaiens respec al equilibri. Ese ip de viien es psible casi siepre si el desplazaien es suficieneene pequeñ. Si, pr ejepl, enes un cuerp suje a un resre, la fuerza ejercida sbre el is cuand el desplazaien respec al equilibri es puede describirse en la fra F ( ) ( ), dnde,,, ec., sn una serie de cnsanes, siepre pdres encnrar un argen de valres de denr del cual sea despreciable la sua de érins crrespndienes a,, ec., de acuerd cn cier crieri previ (pr ejepl, hasa en en 6 ) en cparación cn el érin -, a n ser que el is. sea nul. Si el cuerp iene asa la asa del resre es despreciable, la ecuación del viien del cuerp se reduce ennces a d d, bien + d d Si pr definición haces, la ecuación anerir se ransfra en: d +, que en nación cra es d + La slución a dicha ecuación diferencial puede epresarse en cualquiera de las fras: () Asen ( ϕ), () Acs ( φ ), dnde las fases iniciales, ϕ φ difieren en π. Fácilene se adviere que A represena el desplazaien ái, es es la apliud. Asen ϕ, Las ecuacines () ( ) () Acs ( φ ), describen el viien arónic siple. A es la apliud, es la frecuencia angular, en radianes pr segund, ϕ es la cnsane de fase. La canidad en parénesis + ϕ es la fase de la scilación. A ϕ se ( ) deerinan pr las cndicines iniciales del prblea. Ejepl. Desrar que las ecuacines A Acs ( ) sen ( ϕ), () ( φ ) + saisfacen la ecuación. Asen ϕ, d d d d ( ) ( ϕ ) A cs, A sen ( ϕ) Reeplazand en la ecuación: A sen( ϕ) + Asen( ϕ), cn l que queda desrad. De igual anera sucede cn A ( ) ( φ ) cs. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Un viien del ip descri en la ecuación ( ) Asen ( ϕ), es cncid c viien arónic siple (MAS), se represena en un gráfic - de la fra indicada en la figura. Desaques las caracerísicas ás ipranes de esa perurbación sinusidal: Mviien arónic siple de períd T apliud A. l. Esá cnfinada denr de ls líies ± A. La agniud psiiva A se denina apliud del viien.. El viien iene un períd T igual al iep ranscurrid enre áis sucesivs ás generalene enre ds ens sucesivs en se repian an el desplazaien c la velcidad d d. T es la inversa de la frecuencia f, T. f Dada la ecuación básica Asen( + ϕ ), el períd debe crrespnder a un auen de π en el arguen de la función sinusidal. Así pues, se iene

3 ( + T ) + ϕ ( + ϕ ) π π T + π f., de aquí se iene La siuación en ( en cualquier r insane señalad) queda cpleaene especificada si se esablecen ls valres de d d en dich en. En el insane paricular, llaares a esas agniudes v, respecivaene. Ennces se ienen las idenidades siguienes: Asenϕ Esas ds relacines v Acsϕ pueden uilizarse para calcular la apliud A el ángul ϕ (ángul de fase inicial del viien): v A +, ϕ an v El valr de la frecuencia angular, del viien se supne cncid pr rs edis. Ejepl. Deerinar si P en el ecanis ilusrad en la figura se ueve cn MAS. En ese ecanis, QQ es una barra sbre la cual puede deslizarse el cilindr P; esá cnecada pr una varilla L al brde de una rueda de radi R que gira cn velcidad angular cnsane (Ese ecanis, encnrad en uchas áquinas de vapr, ransfra el viien scilari del pisón en el viien racinal de la rueda). R csθ + ( L R sen θ ) θ da ( ), Cn R cs + L R sen θ Esa epresión da el desplazaien de P en función del iep. Cuand cparas esa ecuación cn la Asen + ϕ, ves que el prier ecuación ( ) érin, Rcs, crrespnde al viien arónic siple cn ϕ π, per el segund n. Así, aunque el viien de P es scilari, n es arónic siple Un ingenier ecánic al diseñar un ecanis c el de la figura iene que pensar có aplicar la fuerza crreca en P de d que el desplazaien esé dad pr la ecuación epresada líneas arriba, de d que la rueda se ueve cn viien circular unifre. Cuand P esá unid al pisón de una áquina de vapr, es se lleva a cab reguland la adisión de vapr. EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Y EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME. La psición. El viien arónic siple (MAS) se puede relacinar cn el viien circular de la anera siguiene. Iagine una clavija P unida a una rueda rienada cn su eje perpendicular al plan de la figura siguiene. La clavija esá una disancia A del eje, la rueda ra cn velcidad angular cnsane. Se preca la clavija sbre el eje hriznal (el eje de en la figura). El viien de P es scilane per n arónic siple. De la figura pdes ver fácilene que P scila desde una psición a una disancia (L + R) a parir de O hasa una psición (L R) a parir de O. Para deerinar si el viien es arónic siple, debes encnrar si el desplazaien de P saisface la ecuación Asen ( + ϕ). De la geería de la figura enes que R csθ + L csφ L senφ Rsenθ, de d que R senφ senθ L csφ ( sen φ) ( L R sen θ ) Pr cnsiguiene L. En, la clavija en da la raecria esá a la derecha la prección esá en A. La psición de la prección es Acs θ Acs. La velcidad. La velcidad angencial de la clavija iene una agniud A, su prección en el eje es v Asen c se uesra en la figura siguiene. La aceleración.

4 A La aceleración de la clavija (cenrípea) es dirigida c se uesra en la figura siguiene. La prección de la aceleración en el eje de es a A cs. Así ves que la psición en el eje ehibe el viien arónic siple desde que las ecuacines para, v, a sn iguales a l benid arriba. Si en vez de fijar cuand la prección esaba da a la derecha, nsrs hubiéses elegid r pun de parida cn, nuesras ecuacines habrían incluid el ángul de la fase ϕ. De la discusión anerir se puede ver prque se designa cn la lera a la velcidad angular, así c abién a la frecuencia angular. Ejepl. Un pun aerial de,5 g eperiena un viien arónic siple de Hz de frecuencia. Hallar: a) Su frecuencia. b) Su aceleración cuand la elngación es de 5 c. c) El valr de la fuerza recuperadra para esa elngación. La pulsación se relacina cn la frecuencia ediane la epresión: a) π f π 6π rad. b) a s (6π),5 7,8 /s. c) F s,5 7,8 44,4 N. de prescinde del sign - en la epresión de la aceleración pues al sign únicaene indica que el senid de esa agniud es cnrari al de la elngación. Ejepl 4. La apliud de un óvil que describe un MAS, viene dada, en función del iep, pr la π epresión: cs π + (SI). Deerinar: 4 a) Apliud, frecuencia perid del viien. b) Fase del viien en s. c) Velcidad aceleración del óvil en función del iep. d) Psición, velcidad aceleración del óvil en s. e) Velcidad aceleración áias del óvil. f) Desplazaien eperienad pr el óvil enre s. a) Pr cparación cn la ecuación general Acs( + ϕ ) se deduce que: A π c πf ; π πf; f,5 s - T /f /,5 s. b) La fase viene dada, en ese cas pr φ π + π 4 ; φ π + π 4 9π / 4rad ϕ c) Derivand la ecuación de la elngación respec a la variable enes la ecuación de la velcidad: d π v πsen π + (SI) d 4 d) Derivand de nuev respec a la variable benes la ecuación de la aceleración: dv π a π cs π + (SI) d 4 Susiuend en las ecuacines crrespndienes: -,44. ; v 4,44 /s. ; a,96 /s e) La velcidad áia se adquiere cuand el sen del ángul vale ; v á ±6,9/s la aceleración áia cuand el csen del ángul vale ; a á ± 9,7/s f) El desplazaien Δ viene dad pr la diferencia enre para e para. El valr de para es -,44, para es cs π/4,44 ; Δ -,44 -,44 -,8 Ejepl 5. Sseng cn la pala de la an abiera una caja de fósfrs. De repene cienz a ver la an vericalene cn un viien arónic siple de 5 c apliud frecuencia prgresivaene creciene. Para qué frecuencia dejará la caja de fósfrs de esar en cnac cn la an? Cuand baja la pala de la an, la caja de fósfrs, a parir de la psición de equilibri, se encuenra seida a la aceleración de la gravedad, g, cnsane en d en, dirigida vericalene hacia abaj, a la aceleración crrespndiene al viien arónic siple: 4π f, dirigida hacia arriba que alcanza el valr ái en el ere de la raecria: a á 4π f A a a. Cuand esa úlia aceleración iguale supere a la de la gravedad la caja de fósfrs dejará de esar en cnac cn la an. Es sucederá cuand: f A g 4π f, s - 4

5 Ejepl 6. Un blque descansa sbre una superficie hriznal. a) Si la superficie se encuenra en viien arónic siple en dirección paralela al pis, realizand ds scilacines pr segund. El ceficiene esáic de rzaien enre el blque la superficie es,5. Qué agniud debe ener la apliud de cada scilación para que n haa deslizaien enre el blque la superficie? b) Si la plaafra hriznal vibra vericalene cn viien arónic siple de apliud 5. Cuál es la frecuencia ínia para que el blque deje de ener cnac cn la plaafra? d a,5 sen d a á,5 El blque dejará de ener cnac cn la superficie cuand la fuerza de fricción que la ssiene fija al pis sea ar que el pes del bje, es sucede cuand a á g f c/s π f 4π Asen Asen4π Su aceleración es: d a A6π sen a 6Aπ á d El blque dejará de ener cnac cn la superficie cuand la fuerza de fricción que la ssiene fija al pis sea enr que la fuerza de inercia, es sucede cuand a F á f,5 g,5 g g 9,8 rad/s,5 f,5 c/s Ejepl 7. Si la Tierra fuese hgénea se hiciese un cnduc rec de pl a pl, al dejar caer pr él un cuerp desde un de ls pls. a) Desrar que adquirirla un viien arónic siple (MAS). b) Calcular el períd de ese viien. μg 6 Aπ μg A 6π (,5)( 9,8) A, 6π A b) a) La le de la graviación universal ns dice: M F G rˆ r M En ódul: F G,5sen Su aceleración es: el sign ens ns indica que F va dirigida hacia O. En nuesr prblea M la asa encerrada denr del círcul de puns de la figura. Si llaas ρ a la densidad de la Tierra, endres: 4 M V ρ π ρ 5

6 Pr la segunda le de Newn: F a M F G 4πρG Lueg: F 4πρG De aquí El viien es, pr an, vibrari arónic siple. b) de períd: T π π 4πρG Ejepl 8. Si la Tierra fuese hgénea se hiciese en cnduc rec c se indica en la figura, al dejar caer pr él un cuerp de asa a) desrar que adquiriría un viien scilari arónic siple. b) Calcular el períd de ese viien. Supner que n eisen rzaiens enre el cuerp las paredes del cnduc. a) Llaand M a la asa de Tierra encerrada en la esfera de radi r, benes para valr del ódul de la fuerza F que represenas en la figura: M G g GM g R, R gr Obenes: F R La fuerza respnsable del viien es: g r F senϕ, R De aquí g F R sen ϕ El sign ens ns indica que va dirigida hacia abaj. El viien es scilari arónic siple. b) de períd R T π π 84 in g Ejepl 9. Una barra pesada unifre de asa repsa sbre ds discs iguales que sn girads cninuaene en senids puess, c se uesra. Ls cenrs de ls discs esa separads una disancia d. El ceficiene fricción enre las barras la superficie de ls discs es μ, cnsane independiene de la velcidad relaiva de las superficies. Inicialene la barra se aniene en reps cn su cenr a una disancia del pun equidisane de ls discs. Al iep se suela. Encnrar el viien subsiguiene de la barra. R Apara M F G r C: r M R ρ M d dv M V M V Susiuend, eniend en cuena que 6

7 Diagraa de cuerp libre de la barra Las fuerzas acuanes sbre la viga se uesran en dibuj siguiene. Ls cenrs de ls discs esán separads una disancia d. Las fuerzas de rzaien sn en senids puess. Aplicand la segunda le de Newn: F : N + N g () d d τ C : N + + N () La ecuación de ens () se escribe cn respec al cenr de gravedad C de la barra, Despejand N N de () (), benes d d N g, N g + F a, para la barra, benes: C F f Ff μ N μn d d μ g + Siplificand: + μg d. Ecuación crrespndiene al viien arónic siple, cua frecuencia naural es es μg rad/s d La ecuación del viien de la barra. cs La barra se aniene un viend scilari arónic siple sbre ls discs que giran en senids puess. ENERGIA EN EL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE C sciladr arónic siple es un sisea cnservaiv, la fuerza se puede derivar de la función energía pencial. du F d du C F, enes: d U du d La energía pencial del sciladr arónic siple es U C hes vis es la energía de defración elásica del resre. C Asen ϕ, a A Se iene U a A ( ) Pr ra pare la energía cinéica del sciladr arónic siple es K C v ( ϕ) Acs, Cn a A K, se iene a a A A La Energía ecánica al es: E K + U A cs( ϕ ) + A cs( ϕ ) C E A cs E A Cnsane O sea que E K + U K a U a ( ϕ) + A sen ( ϕ) PROBLEMA BASICO MASA RESORTE Resre hriznal. En nuesra priera referencia a ese ip de siseas, cnsiderábas que esaba cpues pr un sl bje de asa suje a un resre de cnsane lngiud l a r dispsiiv equivalene, pr ejepl, un alabre delgad, que prprcina una fuerza resauradra igual al prduc de ciera cnsane pr el desplazaien respec al equilibri. Es sirve para idenificar, en función de un sisea de un ip paricular sencill, las ds caracerísicas 7

8 que sn esenciales en el esableciien de viiens scilanes:. Una cpnene inercial, capaz de ransprar energía cinéica.. Una cpnene elásica, capaz de alacenar energía pencial elásica. Adiiend que la le de He es válida, se biene una energía pencial prprcinal al cuadrad del desplazaien del cuerp respec al equilibri igual a. Adiiend que da la inercia del sisea esá lcalizada en la asa al final del resre, se biene una energía cinéica que es precisaene igual v, siend v la velcidad del bje. Debe señalarse que abas hipóesis paricularizacines de las cndicines generales que habrá uchs siseas scilanes en que n se apliquen esas cndicines especiales. Sin ebarg, si un sisea puede cnsiderarse cpues efecivaene pr una asa cncenrada al final de un resre lineal ( lineal se refiere a su prpiedad n a su fra geérica), ennces pdes escribir su ecuación del viien ediane un de ess ds prcediiens:. Mediane la segunda le de Newn (F a), a. Pr cnservación de la energía ecánica al (E), v + E La segunda epresión es, nauralene, el resulad de inegrar la priera respec al desplazaien, per abas sn ecuacines diferenciales del viien del sisea. Vas a aplicar la segunda le de Newn (F a), en el insane en que el resre se a esirad una lngiud La figura a cninuación uesra el diagraa del cuerp libre de la asa. Aplicand la segunda le de Newn (F a), d a + + d + Cuand se vea una ecuación análga a ésas se puede llegar a la cnclusión de que el desplazaien es una función del iep de la fra ( ) Asen ( ϕ), en dnde siend la cnsane del resre la asa. Esa slución seguirá siend válida, aunque el sisea n sea un bje aislad suje a un resre carene de asa. La ecuación cniene ras ds cnsanes, la apliud A la fase inicial ϕ, que prprcinan enre las ds una especificación cplea del esad de viien del sisea para (u r iep señalad). Resre verical. Hasa ese pun hes cnsiderad slaene resres en psición hriznal, ls que se encuenran sin esirar en su psición de equilibri. En uchs cass, sin ebarg, enes resres en psición verical. El resre iene una lngiud riginal l, cuand se aa una asa a un resre en psición verical, el sisea esá en equilibri cuand el resre ejerce una fuerza hacia arriba igual al pes de la asa. Es es, el resre se esira una lngiud Δ l dada pr Δl g g Δl Pr cnsiguiene, una asa en un resre verical scila alrededr de la psición de equilibri. Aplicand la segunda le de Newn ) ( F a, ( + Δl ) + g a Δl + g a C Δl g : a d + + d 8

9 + En ds ls rs aspecs las scilacines sn iguales que para el resre hriznal. Asen ϕ () ( ) El viend es arónic siple la frecuencia esá dada pr, siend la cnsane del resre la asa. Ejepl. Una asa se cneca a ds resres de cnsanes fuerza c en las figuras a, b c. En cada cas, la asa se ueve sbre una superficie sin fricción al desplazarse del equilibri slarse. Encuenre el perid del viien en cada cas. Para cada un de ls resres: F a, F, F Vis en cnjun la asa scila debid a un resre equivalene: F e, ahra F F + F Lueg, pdes escribir. e + e +, Cn es ( ) + T π c) Haciend el diagraa de cuerp libre. ( + ) (a) (b) (c) a) Haciend el diagraa de cuerp libre. Para cada un de ls resres: F a, F, F Vis en cnjun la asa scila debid a un resre equivalene: F e, dnde + Lueg, pdes escribir. F F F +, e e + Cn es, + e T π ( + ) ( + ) Para cada un de ls resres: F a, F, F Vis en cnjun la asa scila debid a un resre equivalene: F e, ahra F F + F Lueg, pdes escribir. e + e +, Cn es ( ) + T π Cuál sería el perid para el cas de la figura siguiene? ( + ) Ejepl. Al suspender un cuerp de asa de un resre de cnsane, separarl ligeraene de su psición de equilibri, el sisea scila cn una frecuencia f. Si ahra ese resre se na c indica la figura, jun cn rs ds, de cnsanes 4, uilizand una barra de pes despreciable, cuál será la nueva frecuencia prpia del sisea cn relación a la anerir? A es el pun edi de la barra. b) Haciend el diagraa de cuerp libre. 9

10 C es diferene, ls esiraiens de ls resres n sn iguales, pr l an n pdes cnsiderar la sua de las cnsanes c la cnsane equivalene de la pare en paralel. En ese cas vas hallar direcaene la cnsane equivalene del cnjun. f f 8 5,6. Ejepl. Un pequeñ precil de asa g que vuela hriznalene a velcidad /s ipaca plásicaene cnra un blque de adera de asa 9 g unid a un resre ideal de cnsane 5 N/ que se halla en psición hriznal. Deerine la apliud frecuencia de las scilacines prducidas. El esiraien del resre es: g / g El esiraien del resre es: g / g 4 El esiraien del resre es: g g 4 Cn el pes g el resre se esira + + g Siend eq Reeplazand,, : g g + g 4 g 5g + eq eq 5 La frecuencia del cnjun es: eq 8 π f 5 8 f π 5 C la frecuencia del resre es f π Obenes: Pr cnservación de canidad de viien: v + M ( ) v v v ( + M ) ( + 9) s Pr cnservación de energía: ( + M ) v A N,g 5 A s De aquí: A, c La frecuencia se biene de πf + M f ( ) π ( ) ( + M ) 5 5 f 7, 96Hz π, π Ejepl. En el diagraa de la figura el resre iene asa despreciable una lngiud de c cuand esá sin defrar. Un cuerp de g. Unid al resre puede verse sbre una superficie plana hriznal lisa. A dich cuerp se le aa un hil que pasa pr una plea sin rzaien del cual pende un cuerp de 4g. El sisea se halla inicialene en reps en la psición represenada la lngiud del resre cpriid es de 5c. Se cra ennces el hil el cuerp de g epieza a scilar cn viien arónic siple.

11 a) Cuál es el valr de? b) Hallar la ecuación diferencial c) Hallar la apliud de scilación la frecuencia naural del MAS. d) Hallar la energía ecánica del sisea. a) Cuál es el valr de? Δ,,5,5 F Δ F g Δ Δ 4( 9,8),5 b) Hallar la ecuación diferencial Al crar la cuerda 784 N/ Vas a aplicar la segunda le de Newn (F a) al cuerp de asa g en el insane en que el resre esá cpriid una lngiud + 9 c) La apliud del viien es A,5, la frecuencia angular es 9 9,8 rad/s 9,8 La frecuencia es: f π,5 c/s π d) Hallar la energía ecánica del sisea. E A ( ),98 J 784,5 PÉNDULOS Péndul siple Un ejepl de viien arónic siple es el viien de un péndul. Un péndul siple se define c una parícula de asa suspendida del pun O pr una cuerda de lngiud l de asa despreciable. Si la parícula se lleva a la psición B de d que la cuerda haga un ángul θ cn la verical OC, lueg se suela, el péndul scilará enre B la psición siérica B. Para deerinar la nauraleza de las scilacines, debes escribir la ecuación de viien de la parícula. La parícula se ueve en un arc de circul de radi l OA. Las fuerzas que acúan sbre la parícula sn su pes g la ensión T a l larg de la cuerda. De la figura, se ve que la cpnene angencial de la fuerza es F gsenθ, dnde el sign ens se debe a que se pne al desplazaien s CA. La ecuación del viien angencial es F a, c la parícula se ueve a l larg de un círcul de radi l, pdes usar la ecuación dv d d θ a R R Rα (reeplazand d d d R pr l ) para epresar la aceleración angencial. d θ Es es a l lθ. La ecuación del d viien angencial es pr cnsiguiene g l θ gsenθ θ + sen θ l d a + + d Mviien sciari de un péndul.

12 Esa ecuación n es del is ip que la ecuación + debid a la presencia del θ sen Sin ebarg, si el ángul θ es pequeñ, l cual es cier si la apliud de las scilacines es pequeña, pdes usar la apriación sen θ θ escribir para el viien del péndul g θ + θ l Esa es la ecuación diferencial idénica a la ecuación + si reeplazas pr θ, esa vez refiriéndns al viien angular n al viien lineal. Pr ell pdes llegar a la cnclusión que, denr de nuesra apriación, el viien angular del péndul es arónic siple g cn l θ θ cs + ϕ. El ángul θ puede así epresarse en la fra ( ), el períd de scilación esá dad pr la epresión l T π g Nóese que el períd es independiene de la asa del péndul. Para ares apliudes, la apriación sen θ θ n es válida. Ejepl 4. Calcular la ensión en la cuerda de un péndul en función del ángul que hace la cuerda cn la verical. Para calcular la ensión T, prier benes la fuerza cenrípea sbre la parícula, Fc T FN T g csθ, a que, de la figura del péndul siple, F N esá dada pr g csθ. Lueg igualand esa epresión a la asa uliplicada pr la aceleración cenrípea v / l (nóese que l es el radi), cn es benes v T g csθ l Para cnseguir la velcidad usas la cnservación de la energía cnsiderand c nivel, el pun de suspensión del péndul: v v gl csθ gl csθ gl( csθ csθ ) Es es, v gl( csθ csθ ) pr l an T g ( csθ csθ ) Péndul cpues Un péndul cpues ( físic) es cualquier cuerp rígid que puede scilar libreene alrededr de un eje hriznal baj la acción de la gravedad. Sea ZZ el eje hriznal C el cenr de asa del cuerp. Cuand la línea OC hace un ángul θ cn la verical, el rque alrededr del eje z acuane sbre el cuerp es τ z Mgdsenθ, dnde d es la disancia OC enre el eje z el cenr de asa C. Si I es el en de inercia del cuerp alrededr del eje z, α θ es la aceleración angular. Aplicand la segunda le de Newn para la ración τ Iα benes: Mgdsen θ I θ. Supniend que las scilacines sn de pequeña apliud, pdes supner que sen θ θ, de d que la ecuación del viien es Mgd Mgd θ θ θ + θ T T Péndul cpues. Pdes cparar esa ecuación del viien cparar cn la ecuación +, desrand que el viien angular scilari Mgd es arónic siple, cn. Pr I cnsiguiene, el períd de las scilacines es T π I Mgd Ejepl 5. Un anill de, de radi esá suspendid de una varilla, c se ilusra en la figura. Deerinar su períd de scilación. Designand el radi del anill pr R, su en de inercia cn respec a un eje que pasa a ravés de su cenr de asa C es I C R. Ennces, si I I Md, aplicas el erea de Seiner ( ) O C +

13 en ese cas d R, el en de inercia cn respec a un eje que pasa a ravés del pun de suspensión O es I I C + MR MR + MR MR, Para un péndul físic cpues I T π, lueg Mgd MR T π T MgR π R g L cual indica que es equivalene a un péndul siple de lngiud R, sea el diáer del anill. Al reeplazar ls valres de R, g 9,8 /s benes T,88 s. Ejepl 6. En una cainaa nral, las piernas del ser huan del anial scilan libreene ás ens c un péndul físic. Esa bservación ha periid a ls cienífics esiar la velcidad a la cual las criauras einas ales c ls dinsauris viajaban. Si una jirafa iene una lngiud de piernas de.8, una lngiud del pas de, qué esiaría used para el períd de la scilación de la pierna? Cuál sería su velcidad al cainar? Pdes delar la pierna de la jirafa c un péndul físic de lngiud L que scila alrededr de un ere. Su en de inercia alrededr del pun de scilación es I L El perid de un péndul físic es I L T π π π Mgd L g, s lngiud del v pas perid, s L g,46 s Ejepl 7. Cnsidere una barra delgada cn asa M 4 g de lngiud L, pivada en un eje hriznal libre de fricción en el pun L/4 desde un ere, c se uesra en la figura. a) Encuenre (a parir de la definición) la epresión para el en de inercia de la barra respec del pive. b) Obenga una ecuación que dé la aceleración angular α de la barra c función de θ. c) Deerine el perid para pequeñas apliudes de scilación respec de la verical. a) I L r M L L r dm dr M L L 4 L 4 M 8L 7ML L MgL b) r senθ I α 4 MgL g α senθ θ 4I 7L Para scilacines pequeñas, g α θ 7L I 7L c) T π π MgL 4 g,68 s r M L Ejepl 8. Un disc pequeñ delgad de asa radi r se sujea fireene a la cara de r disc delgad de radi R asa M, c se uesra en la figura. El cenr del disc pequeñ se lcaliza en el brde del disc ar. El disc ar se na pr su cenr en un eje sin fricción. El dispsiiv se gira un ángul θ se suela a) Deuesre que la rapidez del disc pequeñ cuand pasa pr la psición de equilibri es ( csθ ) v gr M r + + R b) Deuesre que el perid del viien es T π ( M + ) R gr + r dr

14 un, senads en ls eres puess de la barra se balancean. Cuál es el perid del viien de ese sube baja dificad? a) E K + U cnsane, Lueg K arriba + U arriba K abaj + U abaj C K arriba U abaj Obenes gh I, per v h R R csθ R( csθ ), e R MR r I + + R. Susiuend encnras MR R v gr cs R θ + + R ( ) M r gr( cs ) v 4 R θ + + ( csθ ) v 4gR M r + + R de aquí ( csθ ) v gr M r + + R b) Para un péndul físic I T π, aquí M + M ; Mgd R + M ( ) R d + M ( + M ) Lueg: MR r + + R T π R ( + M ) g T π ( + M ) ( M + ) R gr + r Ejepl 9. Prblea del sube baja. Una barra de 4, de lngiud, 8,5 g de asa iene un dblez de º en su cenr de al anera que queda c uesra la figura. El dblez de la barra repsa sbre un ap agud. Ls geels de asa 44 g cada La ecuación del péndul físic puede encnrarse aplicand la segunda le de Newn para la ración: τ O I O α gdsen θ I O θ, es la asa al del sisea., g la aceleración de la gravedad, d la disancia del pun de ap al cenr de asa del sisea. I O es el en de inercia del sisea cn respec al ap (cenr de scilación) es el ángul que fra la línea que pasa pr el pun de ap pr el cenr cn la verical cuand el sisea esá sciland. gd Lueg θ + sen θ, para scilacines I O gd pequeñas θ + θ, De aquí I O gd I O Reeplazand valres: (44) + 8,5 96,5 g, (44)(,)sen d I O,8 + Lueg: (44)(,) 4,56 g 96,5(9,8),8 4,56 + ((4,5)(,5)sen 96,5 (4,5)(,) rad,95 s 4

15 SISTEMAS DE PENDULOS Y RESORTES Ejepl. El sisea srad en la figura cnsise de una barra de asa despreciable, pivada en O, Una asa pequeña en el ere pues a O un resre de cnsane en la iad de la barra. En la psición srada el sisea se encuenra en equilibri. Sí se jala la barra hacia abaj un ángul pequeñ se suela, cuál es el perid de las scilacines? Supngas al sisea desviad un ángul θ : La figura uesra un erón un del de erón. Merón verical inverid La figura uesra un erón inverid, dnde la asa M se puede siuar enre ls eres A B. Despreciar el pes de la barra rígida OAB. OA l, OB l, la asa de la barra del péndul se cnsidera despreciable. a) Encuenre la ecuación diferencial que gbierna el viien cuand la asa M esá siuada a una disancia h del pun O. b) Cuál es la frecuencia naural de la scilación cuand M esá prier lcalizada en A lueg en B Aplicand la segunda le de Newn para la ración: τ I Oα O El resre es el únic eleen que causa una fuerza recuperaiva, el efec del pes de la asa esá cpensad pr el efec del esiraien previ del rese para pner al sisea en psición hriznal. l csθ l θ Tenes que senθ l Para ánguls pequeñs: sen θ θ csϑ l Así: θ l θ θ + θ 4 4 Ecuación de viend arónic siple cn 4 T π 4 Ejepl. Prblea del Merón. El erón es un apara para edir el iep arcar el cpás de la úsica a) τ O C:. l csθ Mgh. senθ I lsenθ, I O Mh : d θ. l senθ csθ Mgh. senθ Mh d Cn sen θ θ, cs θ siplificand: l θ ghθ h θ M O α 5

16 l g θ + + θ M h h b) cn M en A: h l g θ + + θ M l g + M l M Cn M en B: h l M g + l g θ + + θ M l g M g + + M l M l Merón verical derech La figura uesra un erón inverid, dnde la asa M se puede siuar enre ls eres A B. Despreciar el pes de la barra rígida OAB. OA l, OB l. a) Encuenre la ecuación diferencial que gbierna el viien cuand la asa M esá siuada a una disancia h del pun O b) Cuál es la frecuencia naural de la scilación cuand M esá prier lcalizada en A lueg en B l g θ + θ M h h b) cn M en A: h l g θ + θ M l g M M l M Cn M en B: h l g θ + θ M l g M l Mg 5 M l Merón hriznal La figura uesra un erón inverid, dnde la asa M se puede siuar enre ls eres A B. Despreciar el pes de la barra rígida OAB. OA l, OB l. a) Encuenre la ecuación diferencial que gbierna el viien cuand la asa M esá siuada a una disancia h del pun O b) Cuál es la frecuencia naural de la scilación cuand M esá prier lcalizada en A lueg en B g l a) a) τ O C:. l csθ + Mgh. senθ I lsenθ, I O Mh : d θ. l senθ csθ + Mgh. senθ Mh d Cn sen θ θ, cs θ siplificand: l θ + ghθ h θ M O α Equilibri esáic τ O Δl + Mgh El rque prducid pr ls pess de las asas es cpensad pr ls rques prducids pr las reaccines a las defracines previas de ls resres. Lueg la ecuación dináica es: 6

17 τ O C:. l csθ I lsenθ, O α I O Mh : d θ. l senθ csθ Mh d Cn sen θ θ, cs θ siplificand: l θ h θ M l θ + θ M h b) Cn M en A: h l θ + θ M M Cn M en B: h l θ + θ M M Ejepl. Un cilindr de asa M radi R se cneca pr edi de un resre de cnsane c de uesra en la figura. Si el cilindr iene liberad de rdar sbre la superficie hriznal sin resbalar, encnrar su frecuencia. Pr la le de Newn Aplicand la segunda le de Newn al cilindr, F a F f Dnde F f es la fuerza de fricción, Usand la segunda le de Newn para la ración, τ I θ, I θ F f R R F f R R De aquí F f, susiuend esa epresión en la ecuación de la fuerza benes + rad / s M Pr el éd de la energía: La energía al del sisea es la sua de la energía cinéica (raslacinal racinal) la energía pencial; peranece igual para d iep, E (K raslación +K ración ) +U K raslación, M K ración I θ Dnde el en de inercia del cilindr es I MR, Rθ Tabién R θ La ecuación de la energía del sisea para cualquier iep es. E M 4 M + + MR de C E cnsane, d R + de d C M +. n siepre es cer, la ecuación del 7

18 viien es M + rad / s M Ejepl. El disc hgéne iene un en de inercia alrededr de su cenr I,5 g radi R,5. En su psición de equilibri abs resres esán esirads 5 c. Encnrar la frecuencia angular de scilación naural del disc cuand se le da un pequeñ desplazaien angular se l suela. 8 N/ Para hacerl scilar ha que sacarl del equilibri cn un viien verical de la asa. Slución aplicand la segunda le de Newn: C el pes esá cpensad pr el esiraien previ la única fuerza acuane es prducida pr el esiraien adicinal del resre. Usand la segunda le de Newn para la ración, τ I θ, La ensión inicial en cada un de ls resres es N 8 (, 5) 4N El cabi en ensión es 8(,5θ) 4θ, [( 4 4θ ) ( 4 4 )], 5,5θ + θ + 4 ο θ θ De la cual 4 rad / s Ejepl 4. Deerinar la frecuencia naural del sisea resre-asa-plea srad en la figura. Equilibri esáic: El resre iene un esiraien inicial igual a rθ que prduce una fuerza rθ que equilibra al pes g. O sea rθ g Aplicand la segunda le de Newn: Para la asa, F a T ' a C rθ, rθ Lueg T ' rθ () Para el disc de asa M, τ Iα θ I α I θ T ' r ( r ) r () Dnde I Mr es el en de inercia de la plea. Reeplazand (? En (): Mr θ r( rθ ) r θ Mr + r θ + r θ, Finalene rad / s M + Slución pr el éd de la energía: E K + U cnsane K K asa + K plea 8

19 .. + I θ r θ + I K θ U r θ C la energía al de sisea peranece cnsane, d d r ( K +U ) θ θ + I θ θ + r θ θ θ r θ + I θ + r θ C θ n siepre es cer, r θ + I θ + r θ es igual a cer. Lueg r θ + θ I + r rad / s M + PENDULO DE TORSION. Or ejepl de viien arónic siple es el péndul de rsión, cnsisene en un cuerp suspendid pr un alabre fibra de al anera que la línea OC pasa pr el cenr de asa del cuerp. Cuand el cuerp se ra un ángul θ a parir de su psición de equilibri, el alabre se uerce, ejerciend sbre el cuerp un rque τ alrededr de OC que se pnen al desplazaien θ de agniud prprcinal al ángul, τ κθ, dnde κ es el ceficiene de rsión del alabre. Aplicand la segunda le del viien (para variables angulares): τ α I Si I es el en de inercia del cuerp cn respec al eje OC, la ecuación del viien κθ I α, cn α θ, es κ I θ κθ θ + θ I Nuevaene encnras la ecuación diferencial del MAs, de d que el viien angular es arónic siple, cn scilación es I T π κ κ I ; el períd de Ese resulad es ineresane debid a que pdes usarl eperienalene para deerinar el en de inercia de un cuerp suspendiéndl de un alabre cu ceficiene de rsión κ se cnce, lueg idiend el períd T de scilación. MOVIMIENTO ARMONICO EN DOS DIMENSIONES. Hasa ahra n hes liiad a esudiar el viien arónic de la parícula cuerp descri pr una sla variable, ahra periires a la parícula, viien en ds diensines. F r La fuerza se puede descpner en ds cpnenes F, F Las ecuacines del viien sn: +, + Dnde c anes. Las slucines sn: () Acs ( α ), () B cs ( β ) Lueg el viien es arónic siple en cada una de las diensines, abas scilacines ienen la isa frecuencia per ienen que diferenciar apliudes fases. Pdes bener la ecuación de la raecria de las parículas eliinand el iep enre las ds ecuacines. Para es escribis: () B cs [ α ( α β )] B cs( α ) cs( α β ) - B sen( α ) sen( α β ) Cn cs ( α ) A : sen( α ) Llaand δ ( α β ) B csδ B senδ A A Elevada al cuadrad se ransfra en: A AB csδ + B cs δ A B sen δ B sen δ Que es: B AB csδ + A A B sen δ A 9

20 Para π δ ±, esa ecuación a la fra de una elipse: + B A En el cas paricular de A B δ ±π, endres un viien circular: + A Or cas paricular es cn δ, en que endres: B AB + A ( B A), epresión de ecuación de una reca: B, para δ A De fra siilar para δ ± π B, para δ ± π A En la figura pueden bservarse algunas de las curvas crrespndienes al cas A B, cuand δ, δ π 4 π δ Curvas de Lissajus. En el cas de que el cciene de las frecuencias n sea una fracción racinal, la curva será abiera; es decir, la parícula n pasará ds veces pr el is pun a la isa velcidad. Medida del desfase enre ds señales En un scilscpi cpnes ds MAS de direccines perpendiculares de la isa frecuencia, desfasads δ. Supndres pr siplicidad que abas señales iene la isa apliud A. Asen( ) Asen( + δ) La raecria c pdes cprbar es una elipse. La edida de la inersección de la elipse cn ls ejes X e Y ns perie edir el desfase δ, enre ds señales e. En general las scilacines bidiensinales n ienen pr qué ser las isas frecuencias en ls iss viiens según las direccines e, de fra que las ecuacines se cnvieran en () Acs ( α ), () B cs ( β ) la raecria n es a una elipse, sin una de las llaadas curvas de Lissajus. Esas curvas serán cerradas cuand el viien se repia sbre sí is a inervals regulares de iep, l cual sól será psible cuand las frecuencias, sean «cnensurables», sea, cuand sea una fracción racinal. En la figura a cninuación se represena un de ess cass, para el cual / ( asiis, A B α β ). a) Inersección cn el eje Y Cuand, ennces, ó π. Asenδ Asen(π + δ ) - Asenδ Si edis en la pare psiiva del eje Y, endres que sen δ /A En la panalla del "scilscpi" el eje X el eje Y esá dividid en pares, cada división es una unidad. En la figura, A, e 5, el desfase δ º, ó ejr δ π /6 b) Inersección cn el eje X Cuand, ennces -δ, ó (π - δ). - Asenδ

21 Asen(π - δ) Asenδ En la figura, A, e 5, el desfase δ º, ó ejr δ π /6 c) Inersección cn A el brde derech de la panalla del "scilscpi" A Asen( ) pr l que π / Asen(π /+δ ) Acsδ Crrespnde a una reca de pendiene -/. En la figura A 8.75, el desfase δ» º, ó ejr δ π /6 Pdes cprbar que se biene la isa raecria cn el desfase º º abién cn 5º º. Per pdes disinguir el desfase º de 5º, pr la rienación de ls ejes de la elipse. Medida de la frecuencia Cpnes ds MAS de direccines perpendiculares de disina frecuencia,.supndres pr siplicidad que abas señales iene la isa apliud A el desfase δ puede ser cualquier valr Asen( ) Asen( +δ ) La relación de frecuencias se puede bener a parir del núer de angenes de la raecria en el lad verical en el lad hriznal. Núer de angenes lad verical núer de angenes lad verical núer de angenes lad hriznal Ejepl: en la figura Ejepl 5. Ds viiens vibraris perpendiculares de la isa frecuencia ienen sus apliudes en la relación / una diferencia de archa de edia lngiud de nda. Hállese la fra del viien resulane. Las ecuacines de ess viiens sn: A sen ; A sen( + π ) A sen csπ + Acssenπ A sen A A El viien resulane es según la ecuación Ejepl 6. Encuenre la ecuación de la raecria de un pun seid a ds viiens scilaris arónics recangulares dads pr las ecuacines π sen ; 5sen 6 sen sen Lueg: cs π 5sen 6 sen π 6 5 π π sen cs + cssen Elevand al cuadrad: Siplificand: Crrespnde a la ecuación de una elipse inclinada.

22 Ejepl 7. Ds scilacines perpendiculares enre si ienen el is perid, la isa apliud una diferencia de archa igual a λ/6. Qué scilación resulane prduce? Una diferencia de archa de λ equivale a π. Una diferencia de archa de 6 λ equivale a π λ π λ 6. Lueg, las ecuacines de ls viiens cpnenes sn: asen π / asen, ( ) Trabajand cn : π asen π π asen cs a cssen a a a a Elevand al cuadrad siplificand: + a 4 Crrespnde a la ecuación de una elipse inclinada MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO. En el viien arónic siple la apliud es cnsane al igual que la energía del sciladr. Sin ebarg sabes que la apliud del cuerp en vibración, c un resre, un péndul, disinue gradualene, l que indica una pérdida paulaina de energía pr pare del sciladr. Decis que el viien scilari esá ariguad. El Ariguaien es causad pr la fricción, para una resisencia la viscsa al c la fuerza ariguadra del aire, la fuerza ariguadra puede arse c prprcinal de la velcidad. Sea la fuerza de un ariguadr F b -bv dnde el sign ens indica que esa fuerza iene senid pues al viien del cuerp scilane: Aplicand la segunda le de Newn: a - - bv b + b b +, β + (I)

23 b β, Slución de la ecuación es de la fra Reeplazand en la ecuación benes: r e r + β re Siplificand r r + β r + + e r Las raíces de esa ecuación sn: r β + β r r e β β Pr cnsiguiene la slución general de la ecuación (I) es e β β Be + Ce Discusión de la slución a) Cuand β > β β i s una canidad iaginaria [ Be ] i Ce i + β e Haciend A B iδ e A C e iδ Obenes i( + δ ) i( + δ ) β e + e Ae Epresión que se puede escribir usand las relacines de Euler c β Ae cs ( + δ ) Dnde es la frecuencia del sciladr ariguad, aunque habland esricaene n es psible definir la frecuencia en el cas del viien ariguad desde que ese n es un viien periódic. La apliud áia del viien disinue debid al facr e. β. Ese viien se cnce c SUBAMORTIGUADO pc ariguad. b) Cuand β β canidad real En ese cas la slución iene la fra β ( B + C) e El desplazaien decrece a su psición de equilibri sin scilar en el enr iep psible, a ese viien se le cnce c CRITICAMENTE AMORTIGUADO. Per para ariguadres fueres según l srad en la figura abaj, el períd varía según la apliud el viien cabia cnsiderableene del del arónic siple. El ariguaien críic es la que lleva al sciladr al reps en el enr iep. Es encuenra aplicacines en insruens dnde es una venaja el pder ar una lecura rápida del indicadr. Es abién úil pr resres en asiens ariguadres de vehículs. c) Cuand < β β en ese cas la slución iene la fra [ Be Ce ] + β e En ese cas apc eise scilación, per se acerca a la psición de equilibri ás lenaene que el críic, a ese viien se le cnce c SOBREAMORTIGUADO Ejepl 8. Un péndul se ajusa para ener un períd eac segunds, se pne en viien. Después de inus, su apliud ha disinuid a /4 de su valr inicial. Si el viien del péndul puede se represenad β θ θ e cs πf, cuál es el valr de β? pr ( ) Na: e,86 4 β a) θ θ e cs( πf) Para 6 s θ θ e 4 β ()

24 e β,86 e 4,86,86 β, 55, - N.s/ ó g/s. Ejepl 9. El cuerp E de,7 N en la figura esá asegurad a la varilla DF cu pes puede ignrarse. El resre iene un ódul N/ el ceficiene del ariguadr es b 6,7 N-s/. El sisea esá en equilibri cuand DF esá hriznal. La varilla se desplaza, rad en senid hrari desde el reps cuand. Deerinar a) la ecuación del viien de la varilla, b) la frecuencia del viien. La figura uesra el diagraa del cuerp libre de la varilla DF, desplazada en la dirección psiiva. Cuand el cuerp esá en equilibri, θ θ abas,,5 valen cer T (,7) T. ( φ) β θ De cs β β θ De sen ( φ ) Dβe cs( φ ) Cn D φ cnsanes cus valres dependen de las cndicines iniciales del viien (en ese cas para, θ, rad θ. β 4 46, 9 Pr las cndicines iniciales, D cs( φ) D csφ () D sen( φ) Dβ cs( φ) D ( senφ β csφ) () De () benes β 4 anφ,7 5,56 φ -,6 rad De (), D csφ,,8, rad 5,56 rad La ecuación del viien es 4 θ,e cs( 5,56,6) rad Crrespndiene a un viien scilari subariguad cu gráfic se uesra a cninuación, la vibración se arigua rápidaene. Aplicand la segunda le de Newn para la ración cn el desplazaien velcidad indicads en la figura es:, (,7),( 6,7) F, 5T b I, +,7 (, ) θ 9,8 La ecuación se reduce a (,7),( 6,7), θ,5[ (,5 ),7 (, 5θ )] 4,8θ + 8.4θ + 5θ θ + 8,θ + 46,9θ. De la fra θ + β θ + θ Dnde: β Cua slución es θ b) La frecuencia del viien es 5,56 rad/s. Ejepl. El sisea srad en la figura se encuenra en el plan hriznal en equilibri. Cnsise en una barra rígida indefrable de asa M, ligada a ds resres de cnsane, cn una asa en el ere libre de agniud, sbre la cual acúa una fuerza disipaiva prprcinal a su velcidad F v - b v. Si se desplaza un ángul,5 rad en senid hrari lueg se le suela. Deerinar: a) La ecuación de viien del sisea para ánguls pequeñs de defración b) Encnrar la le de viien para cuand 5 N/, b 4 N s/ M g, adeás l,5 4

25 a) τ O. l csθ b l csθ I Oα C: lsenθ lθ, lsenθ lθ lθ I ( ) ( ) M l + l csθ : M. l θ 4bl θ + 4l θ b θ + θ + θ + + b θ + θ + θ 4 β b) θ θ e cs( + ϕ) b β 4 β 4 Cuand 5 N/, b 4 N s/ M g, adeás l.5 el ángul inicial,5 rad. ( 4 β ) ( 5) 4() 4() ,58 θ θ e cs + 75 ( 6,58 ϕ) cs( 6,58 ϕ) e sen( 6,58 ) θ θ e + 6,58θ + ϕ Si para se desplaza un ángul,5 rad en senid hrari lueg se le suela. ϕ,5 θ cs θ cs ( ) ( ϕ) 6,58θ sen( ϕ) De esas ecuacines benes: ϕ,54rad θ,75rad θ,75e cs 6,58,54 en +,687, Lueg: ( ) Ejepl. Un blque de 5, ilgras se une a un resre cua cnsane es 5 N/. El blque se jala de su psición del equilibri en a una psición en +,687 se libera del reps. El blque ennces ejecua scilación ariguada a l larg del eje. La fuerza ariguadra es prprcinal a la velcidad. Cuand el blque prier vuelve a, la cpnene de la velcidad es -, /s la cpnene de la aceleración es +5,6 /s. a) Calcule la agniud de la aceleración del blque después de ser liberad en +,687? b) Calcule el ceficiene de ariguaien b? c) Calcule el rabaj realizad pr la fuerza ariguadra durane el recrrid del blque de +,687 a. a) Fra fácil C la ecuación del viien es + b a 7,8 / s (,687) Fra rabajsa β Ae cs β Aβe + ( φ ) cs β ( φ) Ae sen( φ) β β Aβ e cs( φ ) + Aβe sen( φ ) β β Aβe sen( φ) A e cs( φ) β β A( β ) e cs( φ) + Aβe sen( φ) Para cs φ e β, ( ) sen ( φ) a A β A, Lueg: ( ) Reeplazand valres: a,687 b) Fra fácil ( 5) 7,8 /s 5

26 Cuand el blque prier vuelve a, la cpnene de la velcidad es -, /s la cpnene de la aceleración es +5,6 /s. + b + 5 ( 5,6) + b (,) + ( ) 5 5 ( 5,6) (,) ( 5,6) + b b 4 / s, Fra rabajsa β Ae cs φ A ( ) β β Aβe cs ( φ) Ae sen( φ) β β ( β ) e cs( φ) + Aβe sen( φ), v -, /s, a +5,6 /s. ( φ) β Ae cs () ( φ), Ae β sen () sucede. En ese cas decis que enes scilacines frzadas. Ahra ha ds frecuencias en el prblea: la frecuencia naural de las scilacines libres, la frecuencia prducra de las scilacines frzadas Descripción C bservas en un clupi, para anener las scilacines hes de aplicar una fuerza scilane al sciladr ariguad. ( φ) 5,6 Aβe β sen () () / () 5,6, β Aβe sen Ae sen β ( φ) ( φ) 5,6 β, 4 4, b Siend β b β ()( 5,4 ) 4g / s c) En +,687 A 687 v ( 5)(, ) E 9,5 J E J 5, En ()( ) ΔE E E - 9,5-9,5 J Trabaj realizad pr la fuerza ariguadra OSCILACIONES FORZADAS Las scilacines que hes discuid hasa ahra sn las scilacines libres en las cuales el sisea se da una ciera energía, dejad sl. Pr ejepl, used pdría epujar a un niñ en un clupi hasa ciera alura, después dejarl esperar que el viien erine. Per ésa n es la única psibilidad; pdrías abién epujar en varias casines el clupi a cualquier frecuencia que iras a ver que F ' Sea sen la fuerza scilane aplicada, siend su frecuencia angular. La ecuación del viien será ahra F a.. b + F sen ' a + b + F sen' Epresas la ecuación del viien en fra de ecuación diferencial + β + F sen' β b La slución de esa ecuación diferencial es cplicada, se cpne de la sua de ds érins Ae + + D β () cs( δ ) sen( ' δ ') +, 6

27 dnde D' δ' sn cnsanes arbirarias que han de ajusarse a fin de saisfacer las cndicines iniciales ' es la frecuencia del sciladr ariguad n frzad. Pasad un iep suficieneene larg, al que b >>, el prier érin de la ecuación es prácicaene nul puede despreciarse frene al segund érin. Así, pues, la epresión: β Ae cs ( + δ ) se denina slución ransiria. En cabi la epresión D sen( ' + δ ') se cnce c slución esacinaria, es la predinane siepre que se enga >>. b Para bener las epresines de A δ ', se susiue Dsen( ' + δ ') en la ecuación diferencial, l que ns da: F / D ' + 4β ' ( ) ' anδ ' β' El cpraien dependiene del iep real de un sciladr arónic ariguad frzad puede resular u cplej. La figura uesra la respuesa de un sciladr ariguad frene a la acción de una fuerza ipulsra de frecuencia ½, supniend que el sisea esá en reps cuand la fuerza cienza a acuar. Obsérvese que una vez eliinad el cpraien ransiri, únicaene persise el viien esacinari cn frecuencia. que hace que D sea áia, se le denina frecuencia de resnancia R. El valr de que hace ái a D pdes encnrarl de la anera siguiene: D, derivand D e igualand a cer, se ' ' R biene: ' R β En la figura se uesra la respuesa en apliud de la scilación frzada, en el esad esacinari. C pdes bservar a parir de la fórula la gráfica, la apliud de la scilación frzada en el esad esacinari disinue rápidaene cuand la frecuencia de la scilación frzada f se hace ar enr que la frecuencia prpia del sciladr. En el cas ideal que n eisa rzaien, la apliud de la scilación frzada se hace u grande, iende a infini, cuand la frecuencia de la scilación frzada se hace próia a la frecuencia prpia del sciladr. En el cas de que eisa rzaien (β >) la apliud se hace áia cuand la frecuencia de la scilación frzada es próia a la del sciladr Ls efecs de la resnancia igualene pueden resular indeseables inclus desrucivs. EI raquee en la carrcería de un auóvil el les zubid en un ala vz eseref6nic se deben casi siepre a la resnancia. Casi ds hes escuchad que una canane de pene vz puede rper el crisal al canar a deerinada frecuencia. Igualene cncida es la adverencia de que un grup de persnas n debe archar pr un puene pr ied a que la frecuencia de ls pass crrespnda a alguna frecuencia naural del is. Tds éss sn ejepls de resnancia. Ejepl. El ere libre del resre de cnsane epieza en a scilar arónicaene cn apliud B frecuencia alrededr de su psición de equilibri P. Resnancia, aplicacines. Resnancia C la apliud D de depende de, ésa puede ar diferenes valres, en paricular, al valr de 7

28 Haga el DCL del blque deerine la ecuación diferencial que gbierna el viien del blque. Mviien del pun P ' Bsen' ( ' ) a a + ( + ) + ( + ) Bsen' ( + ) B + sen ' ' Ecuación que crrespnde a un viien arónic siple frzad. F + sen' CASO DEL PUENTE TACOMA aparas sensibles. Una slución cún al prblea de la vibración cnsise en fijar la fuene de vibración sbre un naje elásic que arigüe absrba ls viiens. L que quizás n sea an bvi es el hech de que el prblea puede agravarse cn un naje elásic incrrec. E aislaien se cnsigue al disinuir la frecuencia naural del sisea cn relación a la frecuencia de la fuene vibraria. La razón pr la que esa écnica funcina es la enr ransferencia de energía cuand la frecuencia de la fuerza ipulsra es uch ar que la frecuencia naural del sisea. Hes fundaenad cpleaene nuesr análisis de la resnancia, así c de la respuesa de un sisea al viien frzad, en el cpraien de una asa unida a un resre que cuple cn la le de He. Sin ebarg, se aplican ls iss principis resulads generales a rs siseas scilanes, sean ecánics, elécrics de r ip. Ejepl. Un equip de venilación del sisea de calefacción aire acndicinad de un edifici se na fireene en el ech pera en fra cninua. Las vibracines se ransien a la esrucura del edifici generan niveles de vibración inacepables. El puene Taca riginal era cncid c "Gallping Gerie" debid a su balance, cpraien ndulad. Tenía una lngiud de 98 ers apriadaene fue abier al ráfic el de juli de 94 uniendtaca el puer Gig pr carreera. El puene era un diseñ inusualene liger, ls ingeniers descubriern, una peculiar sensibilidad a ls fueres viens. En lugar de resisirls, c l hacen la aría de ls puenes derns, El puene Taca endía a sacudirse a vibrar. Es eperó prgresivaene debid a ls fenóens arónics. Cuar eses después de la inauguración del puene, hub una rena cn vien de 7 /h en el área alrededr del puene el 7 de nviebre de 94. El vien hiz sacudir puene vilenaene de lad a lad, finalene rpió el puene. Ese incidene sucedió debid a la esrucura del puene enró en resnancia cn la vibración que prducía el vien. Nadie urió, pues el puene había sid cerrad debid a sacudidas anerires. Ése es el ás cncid esudiad de fallas pr scilación frzada, gracias a la película las fgrafías que regisran el derrubaien. Muchas veces necesias un sisea que n ransfiera eficieneene la energía. Un ejepl es un ecanis para aislar de las vibracines a Para reducir la vibración que se percibe abaj, se va a fijar el equip a una placa nada sbre resres. EI eje del veniladr gira a 8 rp (revlucines pr inu) la asa cbinada de la unidad la placa de naje (véase la figura) es de 576 g. Cuál es la cnsane de rigidez aprpiada para ls resres usads para sprar la placa? Supnga que se eplean cuar resres, un en cada esquina. Esraegia. El sisea de scilación en ese cas esá cpues pr el r, el veniladr, la plaafra de naje ls resres. Una regla prácica a la que se recurre algunas veces esablece que la frecuencia ipulsra, perurbadra, debe ser pr l ens veces la frecuencia naural del sisea. Para uchs cass, resula adecuad un facr de 5, en cndicines críicas, resula cnveniene un facr de 8