2 El modelo de regresión simple: estimación y propiedades

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1 El modelo de regresó smple: estmacó y propedades Ezequel Urel Uversdad de Valeca Alguas defcoes e el modelo de regresó smple.. El modelo de regresó poblacoal y la fucó de regresó poblacoal.. La fucó de regresó muestral 3. Obtecó de las estmacoes por Mímos Cuadrados Ordaros (MCO) 4.. Dferetes crteros de estmacó 4.. Aplcacó del crtero de mímo cuadrados 6.3 Alguas característcas de los estmadores de MCO 8.3. Implcacoes algebracas de la estmacó 8.3. Descomposcó de la varaza de y Bodad del ajuste: Coefcete de determacó (R ) Regresó a través del orge.4 Las udades de medda y la forma fucoal 3.4. Udades de medda 3.4. Forma fucoal 4.5 Supuestos y propedades estadístcas de los MCO 9.5. Supuestos estadístcos del MLC e regresó leal smple 0.5. Propedades deseables de los estmadores.5.3 Propedades estadístcas de los estmadores MCO 3 Ejerccos 7 Aeo. U caso de estudo: Curvas de Egel para la demada de productos lácteos 34 Apédces 40 Apédce.: Dos formas alteratvas de epresar ˆ 40 Apédce.. Demostracó de que ry R 4 Apédce.3. Cambo proporcoal versus cambo e logartmos 4 Apédce.4. Demostracó de que los estmadores MCO so leales e sesgados 4 Apédce.5. Cálculo de la varaza de : ˆ 43 Apédce.6. Demostracó del teorema de Gauss-Markov para la pedete e la regresó smple 43 Apédce.7. Demostracó de que es u estmador sesgado de la varaza de las perturbacoes 45 Apédce.8. Cossteca de los estmadores de MCO 47 Apédce.9 Estmacó por máma verosmltud 48. Alguas defcoes e el modelo de regresó smple.. El modelo de regresó poblacoal y la fucó de regresó poblacoal E el modelo de regresó smple, el modelo de regresó poblacoal o, smplemete, el modelo poblacoal es el sguete: y u (-) Vamos a ver los dferetes elemetos del modelo (-) y la termología utlzada para desgarlos. E prmer lugar, e el modelo hay tres tpos de varables: y, y u. E este modelo el úco u factor eplícto para eplcar y es. El resto de los factores que afecta a y está recogdos e u. Deomamos a y varable edógea (del grego: geerada detro) o varable depedete. Se utlza també otras deomacoes para desgar a y: varable

2 eplcada o regresado. E este modelo todas estas deomacoes so equvaletes, pero e otros modelos, como veremos más adelate, puede haber alguas dferecas. E la regresó leal smple de y sobre, a la varable se le deoma varable eógea (del grego: geerado fuera de) o varable depedete. Otras deomacoes utlzadas també para desgar a so: varable eplcatva, regresor, covarable o varable de cotrol. Todas estas deomacoes so equvaletes, pero e otros modelos, como veremos más adelate, puede haber alguas dferecas. La varable u recoge todos aquellos factores dsttos de que afecta a y. Es deomada error o perturbacó aleatora. El térmo de perturbacó puede captar també el error de medcó de la varable depedete. La perturbacó es ua varable o observable. Los parámetros y so fjos y descoocdos. E el segudo membro de (-) se puede dstgur dos compoetes: u compoete sstemátco y la perturbacó aleatora u. Llamado y al compoete sstemátco, podemos escrbr: (-) y Esta ecuacó es coocda como la fucó de regresó poblacoal (FRP) o recta poblacoal. Por lo tato, como puede verse e la fgura., y es ua fucó leal de co térmo depedete gual a y pedete gual a. La lealdad sgfca que u aumeto de ua udad e mplca que el valor esperado de y - m E( y) - varíe e udades. y Ahora, supogamos que dspoemos de ua muestra aleatora de tamaño {(y, ): =,...,} etraída de la poblacó estudada. E el dagrama de dspersó de la fgura., se muestra los hpotétcos valores de la muestra. y y FIGURA.. La fucó de regresó poblacoal. (FRP) FIGURA.. Dagrama de dspersó. El modelo poblacoal para cada observacó de la muestra se puede epresar de la sguete forma: y u,,, (-3)

3 E la fgura.3 se ha represetado cojutamete la fucó de regresó poblacoal y el dagrama de dspersó, pero es mportate o olvdar que y so fjos, pero descoocdos. De acuerdo co este modelo es posble, desde u puto de vsta teórco, hacer la sguete descomposcó: y u,,, (-4) y que ha sdo represetada e la fgura.3 para la observacó -ésma. S embargo, desde u puto de vsta empírco, o es posble hacerlo debdo a que y so descoocdos y, cosecuetemete, u es o observable... La fucó de regresó muestral El objetvo prcpal del modelo de regresó es la determacó o estmacó de y a partr de ua muestra dada. La fucó de regresó muestral (FRM) es la cotrapartda de la fucó de regresó poblacoal (FRP). Dado que la FRM se obtee para ua muestra dada, ua ueva muestra geerará otra estmacó dstta. La FRM, que es ua estmacó de la FRP, vee dada por y ˆ ˆ (-5) ˆ y permte calcular el valor ajustado ( y ˆ ) para y cuado. E la FRM ˆ y ˆ so los estmadores de los parámetros y. Para cada teemos u valor observado ( y ) y u valor ajustado ( y ˆ ). A la dfereca etre y e se le deoma resduo u yˆ ˆ : uˆ y yˆ y ˆ ˆ (-6) E otras palabras, el resduo u ˆ es la dfereca etre el valor muestral y el valor ajustado de y, segú puede verse e la fgura.4. E este caso sí es posble ˆ calcular empírcamete la descomposcó para ua muestra dada: y yˆ uˆ y 3

4 y μ y y μ y u y yˆ y yˆ uˆ y ˆ ˆ ˆ FIGURA.3. La fucó de regresó poblacoal y el dagrama de dspersó. FIGURA.4. La fucó de regresó muestral y el dagrama de dspersó. Resumedo, ˆ, ˆ, yˆ y uˆ so la cotrapartda muestral de,, y y u respectvamete. Es posble calcular ˆ y ˆ, para ua muestra dada, pero para cada muestra las estmacoes será dsttas. Por el cotraro, y so fjos pero descoocdos.. Obtecó de las estmacoes por Mímos Cuadrados Ordaros (MCO).. Dferetes crteros de estmacó Ates de obteer las estmacoes por mímos cuadrados, vamos a eamar tres métodos alteratvos para lustrar el problema que teemos plateado. Estos tres métodos tee e comú que trata de mmzar, de algua forma, el valor de los resduos e su cojuto. Crtero U prmer crtero cosstría e tomar como estmadores ˆ y ˆ a aquellos valores que haga la suma de todos los resduos ta próma a cero como sea posble. Co este crtero la epresó a mmzar sería la sguete: M uˆ (-7) El problema prcpal de este método de estmacó radca e que los resduos de dstto sgo puede compesarse. Tal stuacó puede observarse gráfcamete e la fgura.5, e la que se represeta tres observacoes aleadas, (,y ), (, y ) y ( 3, y 3 ). E este caso, ocurre lo sguete: y y y3 y 3 4

5 y 3 FIGURA.5. Los problemas del crtero. S ua líea recta se ajusta de forma que pase a través de los tres putos, cada uo de los resduos tomará el valor cero, de modo que 3 uˆ 0 Este ajuste podría ser cosderado óptmo. Pero també es posble obteer 3 u ˆ 0, medate la rotacó de la líea recta - desde el puto, y- e cualquer dreccó, como muestra la fgura.5, porque uˆ 3 uˆ. E otras palabras, hacedo 3 grar de esta maera la recta, se obtee sempre el resultado de que u ˆ 0. Este smple ejemplo muestra que este crtero o es adecuado para la estmacó de los parámetros, ya que, para cualquer cojuto de observacoes, este u úmero fto de líeas rectas que satsface este crtero. Crtero Co el f de evtar la compesacó de los resduos postvos co los egatvos, de acuerdo co este crtero se toma los valores absolutos de los resduos. E este caso se mmzaría la sguete epresó: M uˆ (-8) Desgracadamete, auque los estmadores así obtedos tee alguas propedades teresates, su cálculo es complcado, requredo la resolucó de u problema de programacó leal o la aplcacó de u procedmeto de cálculo teratvo. Crtero 3 U tercer método cosste e mmzar la suma de los cuadrados de los resduos, es decr, M S M uˆ (-9) Los estmadores obtedos se deoma estmadores de mímos cuadrados (MC), y goza de certas propedades estadístcas deseables, que se estudará más 5

6 adelate. Por otra parte, frete al prmero de los crteros eamados, al tomar los cuadrados de los resduos se evta que se compese, metras que, a dfereca del segudo de los crteros, los estmadores de mímos cuadrados so secllos de obteer. Es mportate señalar que, desde el mometo e que tomamos los cuadrados de los resduos, estamos pealzado más que proporcoalmete a los resduos grades frete a los pequeños (s u resduo es el doble que otro, su cuadrado será cuatro veces mayor). Esto caracterza la estmacó de mímos cuadrados co respecto a otros procedmetos posbles... Aplcacó del crtero de mímo cuadrados A cotuacó se epoe el proceso de obtecó de los estmadores de MC. El objetvo es mmzar la suma de los cuadrados de los resduos (S). Para ello, e prmer lugar epresamos S como ua fucó de los estmadores, utlzado (-6): Por lo tato T S uˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t y ˆ ˆ,,, t M M M ( ) (-0) Para mmzar S, dervamos parcalmete co respecto a ˆ y ˆ : S ( y ˆ ˆ ) ˆ S ( y ˆ ˆ ) ˆ Los estmadores de MC se obtee gualado las aterores dervadas a cero: ˆ ˆ ( y ) 0 (-) ˆ ˆ ( y ) 0 (-) Las ecuacoes (-) se deoma ecuacoes ormales o codcoes de prmer orde de MC. E las operacoes co sumatoros se debe teer e cueta las sguetes reglas: ( y) y a a Operado co las ecuacoes ormales, se tee que a a ˆ ˆ y (-3) y ˆ ˆ (-4) Dvdedo ambos membros de (-3) por, se tee que 6

7 Por tato, y ˆ ˆ (-5) ˆ y ˆ (-6) que Susttuyedo este valor de ˆ e la seguda ecuacó ormal (-4), se obtee Resolvedo para ˆ se tee que: ˆ ˆ y ( y) ˆ ˆ y y ˆ y y O, como se puede ver e el apédce., ˆ ( y y)( ) ( ) (-7) (-8) S dvdmos umerador y deomador de (-8) por, se puede ver que ˆ es el cocete etre la covaraza de las dos varables y la varaza de. Por lo tato, el sgo de ˆ es el msmo que el sgo de la covaraza. Ua vez calculado ˆ, se puede obteer ˆ utlzado la ecuacó (-6). Estos so los estmadores de MC. Dado que este métodos más complejos, que també se deoma de MC, al método que acabamos de desarrollar le deomaremos método de mímos cuadrados ordaros (MCO), debdo a su smplcdad. E los epígrafes precedetes, ˆ y ˆ se ha utlzado para desgar estmadores geércos. A partr de ahora co esta otacó sólo desgaremos a los estmadores MCO. EJEMPLO. La estmacó de la fucó de cosumo Dada la fucó de cosumo keyesaa, cos reta u vamos a estmarla utlzado los datos de 6 hogares que aparece e el cuadro.. 7

8 CUADRO.. Datos y cálculos para estmar la fucó de cosumo. Observ. cos reta cos reta reta cos cos reta reta ( cos cos) ( reta reta) ( reta reta) Suma Calculado cos y reta, y aplcado la fórmula (-7), o alteratvamete (-8), a los datos de la cuadro., obteemos: cos 9 ; reta ;(-7): ˆ ;(-8): ˆ Aplcado después (-6), obteemos que ˆ Alguas característcas de los estmadores de MCO.3. Implcacoes algebracas de la estmacó Las mplcacoes algebracas de la estmacó so dervadas eclusvamete de la aplcacó del procedmeto de MCO al modelo de regresó leal smple:. La suma de los resduos de MCO es gual a 0: uˆ 0 (-9) De la defcó de los resduos: uˆ y yˆ y ˆ ˆ,,, (-0) S sumamos para las observacoes, se obtee: u ˆ ˆ y ˆ ( ) 0 (-) que es precsamete la prmera ecuacó (-) del sstema de ecuacoes ormales. Obsérvese que, s (-9) se cumple, esto mplca que y y, dvdedo (-9) y (-) por, se obtee yˆ (-) uˆ 0 y yˆ (-3). La recta de regresó de MCO pasa ecesaramete por el puto (, y ). Efectvamete, dvdedo la ecuacó (-3) por, se obtee: y ˆ ˆ (-4) 8

9 3. El producto cruzado muestral etre cada uo de los regresores y los resduos de MCO es cero. Es decr, uˆ = 0 (-5) Puede verse que (-5) es gual a la seguda ecuacó ormal: uˆ ( y ˆ ˆ ) 0 dada e (-). 4. El producto cruzado muestral etre los valores ajustados ( ŷ ) y los resduos de MCO es gual a cero. Es decr, yu ˆˆ 0 (-6) Demostracó E efecto, teedo e cueta las mplcacoes algebracas -(-9)- y 3 - (-5)-, se obtee que yu ˆˆ ( ˆ ˆ ) uˆ ˆ uˆ ˆ uˆ ˆ 0 ˆ Descomposcó de la varaza de y Por defcó y yˆ uˆ (-7) Restado y e ambos membros de la epresó ateror (recordar que ŷ es gual a y ), se obtee y y yˆ yˆ uˆ Elevado al cuadrado ambos membros: y y ( yˆ yˆ) uˆ ( yˆ yˆ) uˆ uˆ ( yˆ yˆ) Sumado para todo : y y ( yˆ yˆ) uˆ uˆ ( yˆ yˆ) Teedo e cueta las propedades algebracas y 4, el tercer térmo del segudo membro es gual a 0. Aalítcamete, u ˆ ( ˆ ˆ) ˆ ˆ ˆ ˆ y u y y u 0 (-8) Por lo tato, obteemos 9

10 y ( ˆ ˆ) ˆ y y y u (-9) E palabras, Suma de cuadrados totales (SCT) = Suma de cuadrados eplcados (SCE)+Suma de los cuadrados de los resduos (SCR) Debe recalcarse que se debe cumplr la relacó (-9) para asegurar que (-8) es gual a 0. Hay que recordar que (-9) está asocada a la prmera ecuacó ormal, es decr, a la ecuacó correspodete al térmo depedete. S e el modelo ajustado o hay térmo depedete, etoces, e geeral, o se cumplrá la descomposcó obteda e (-9). Esta descomposcó puede aplcarse a las varazas, dvdedo ambos membros de (-9) por : y y ( yˆ yˆ) uˆ E palabras, Varaza total=varaza eplcada+ varaza resdual (-30).3.3 Bodad del ajuste: Coefcete de determacó (R ) A pror, se ha obtedo uos estmadores que mmza la suma de los cuadrados de los resduos. Ahora, ua vez hecha la estmacó, podremos ver e qué medda la recta de regresó muestral se ajusta a los datos. Ua medda que dque el grado de ajuste de la recta de regresó muestral co los datos se deoma medda de bodad del ajuste. Vamos a estudar ahora la medda más coocda: el coefcete de determacó o R cuadrado ( R ). Esta medda se defe de la sguete maera: R ( yˆ yˆ) ( y y) (-3) Por lo tato, R es la proporcó de la suma de cuadrados totales (SCT), que se eplca por la regresó (SCE), es decr, que se eplca por el modelo. També podemos decr que 00 R es el porcetaje de varacó muestral de y eplcada por. Alteratvamete, teedo e cueta (-9), teemos: Substtuyedo e (-3), teemos ( yˆ yˆ) ( y y) uˆ R ( yˆ ˆ y) ( ) ˆ ˆ ( y y) ( y y) ( y y) y y u u SCR SCT (-3) 0

11 Por lo tato, R es gual a meos la proporcó de la suma de cuadrados totales (SCT), que o es eplcada por la regresó (SCR). De acuerdo co la defcó de, debe cumplrse que 0 R Casos etremos: a) S el ajuste es perfecto, etoces se verfcará uˆ 0 yˆ y yˆ yˆ y y R í í ( ) ( ) b) S yˆ í c, esto mplca que í. Esto mplca que yˆ c yˆ yˆ cc yˆ yˆ R 0 ( ) 0 0 S R está prómo a cero, esto mplca que el ajuste o es bueo. E otras palabras, hay muy poca varacó de y que sea eplcada por. E muchos casos, se obtee u R elevado cuado se ajusta u modelo utlzado datos de seres temporales, debdo al efecto de ua tedeca comú. Por el cotraro, cuado utlzamos datos de corte trasversal es frecuete obteer valores bajos, pero esto o sgfca que el modelo ajustado sea malo. Cuál es la relacó etre el coefcete de determacó y el coefcete de correlacó estudados e estadístca descrptva? El coefcete de determacó es gual al coefcete de correlacó al cuadrado, como puede verse e el apédce.: r R (-33) y (Esta gualdad es válda e el modelo de regresó leal smple, pero o e el modelo de regresó leal múltple) EJEMPLO. Cumplmeto de las propedades algebracas y R e la fucó de cosumo E la columa del cuadro., se calcula cos ; e las columas 3, 4 y 5, puede verse el cumplmeto de las mplcacoes algebracas, 3 y 4, respectvamete. E el resto de las columas se realza cálculos co el f de obteer 4.67 SCT SCE SCR R o, alteratvamete, R CUADRO.. Datos y cálculos para estmar la fucó de cosumo. R Observ. cos uˆ uˆ reta cos u ˆ cos ( cos cos) cos ( cos - cos)

12 .3.4 Regresó a través del orge S forzamos a que la líea de regresó pase por el puto (0,0) estamos mpoedo la restrccó de que el térmo depedete sea cero, como puede verse e la fgura.6. A esta regresó se le deoma regresó a través del orge. y FIGURA.6. Ua regresó a través del orge. Ahora, vamos a estmar ua recta de regresó a través del orge. El modelo ajustado es el sguete: Por lo tato, debemos mmzar y (-34) M S M ( y ) (-35) Para mmzar S, dervamos co respecto a e gualaremos a 0: Resolvedo para ds ( y ) 0 d (-36) y (-37) Otro problema que se platea al ajustar ua recta de regresó para que pase por el orge es que sucede e geeral que: y y ( yˆ yˆ) uˆ S o es posble la descomposcó de la varaza de y e dos compoetes (eplcada y resdual), etoces R o tee setdo. Este coefcete puede tomar valores egatvos o superores a e el modelo s térmo depedete. Resumedo, se debe clur sempre u térmo depedete e las regresoes, a meos que haya fuertes razoes e cotra sustetadas por la teoría ecoómca.

13 .4 Las udades de medda y la forma fucoal.4. Udades de medda Cambo de udades de medda (cambo de escala) e S es multplcada/dvdda por ua costate c0, etoces la pedete de MCO queda dvdda/multplcada por la msma costate, c. Así EJEMPLO.3 ˆ ˆ c yˆ ( c) (-38) Supogamos la sguete fucó del cosumo estmado, e la que ambas varables se mde e mles de euros: cos = reta (-39) S ahora se epresa la reta e euros (multplcado por 000) y se desga por retae, el modelo ajustado a las uevas udades de medda de la reta será el sguete: cos retae Como puede verse, el cambo de las udades de medda de la varable eplcatva o afecta al térmo depedete. Cambo de udades de medda (cambo de escala) e y S y es multplcada/dvdda por ua costate c0, etoces la pedete y el térmo depedete calculados por MCO se multplca/dvde por la msma costate, c. Así, ( yˆ c) ( ˆ c) ( ˆ c) (-40) EJEMPLO.4 S epresamos, e el modelo (-39), el cosumo e euros (multplcado por 000) y lo deomamos cose, el modelo ajustado a las uevas udades de medda del cosumo será el sguete: cose c Cambo del orge S se suma/resta ua costate d a y/o y, etoces la pedete MCO o se ve afectada. S embargo, s se camba el orge de y/o y el térmo depedete de la regresó sí se ve afectado. S se resta ua costate d a, el térmo depedete camba de la sguete maera: yˆ ˆ ˆ ˆ ( d) ( d) (-4) S se resta ua costate d a y, el térmo depedete camba de la sguete maera: yˆ d ( ˆ d) ˆ (-4) 3

14 EJEMPLO.5 Supogamos que la reta meda es de 0 ml euros. S defmos la varable retad reta reta y ambas varables se mde e mles de euros, el modelo ajustado co este cambo e el orge será el sguete: EJEMPLO.6 cos ( ) 0.85 ( reta 0) retad Supogamos que el cosumo medo es de 5 ml euros. S defmos la varable cosd cos cos y medmos ambas varables e euros, el modelo ajustado co el cambo e el orge será el sguete: Es decr, cos reta cosd = reta Hay que observar que R o varía al realzar cambos de udades de y/o y, y tampoco vara cuado se camba el orge de las varables..4. Forma fucoal E muchos casos las relacoes leales o so adecuadas e las aplcacoes ecoómcas. S embargo, e el modelo de regresó smple podemos corporar o lealdades (e las varables) redefedo de forma apropada la varable depedete y la varable depedete. Alguas defcoes Vamos a estudar ahora alguas defcoes de las meddas de varacó que será útles e la terpretacó de los coefcetes de dsttas formas fucoales. E cocreto, vamos a estudar las sguetes meddas: cambo proporcoal y cambo e logartmos. El cambo proporcoal (o tasa de varacó relatva) etre y 0 vee dado por: 0 (-43) 0 0 Multplcado u cambo proporcoal por 00 se obtee u cambo proporcoal e %. Es decr: 00 % (-44) El cambo e logartmos y el cambo e logartmos e % etre y 0, vee dados por l( ) l( ) l( 0) (-45) 00 l( )% El cambo e logartmos es ua apromacó del cambo proporcoal, como puede verse e el apédce.3. Esta apromacó es buea cuado la varacó es 0 4

15 pequeña, pero las dferecas puede ser mportates cuado el cambo proporcoal es grade, como puede observarse e el cuadro.3. CUADRO.3. Ejemplos de cambos proporcoales y cambos e logartmos Cambo proporcoal e % % 5.0% 0.0% 0.0% 50.0% Cambo e logartmos e % % 4.9% 9.5% 8.% 40.5% La elastcdad es la razó etre los cambos relatvos de dos varables. S se utlza cambos proporcoales, la elastcdad de la varable y co respecto a la varable vee dada por y y 0 y/ (-46) 0 S se toma logartmos se obtee cambos ftesmales, etoces, la elastcdad de la varable y co respecto a ua varable vee dada por dy y d l( y) y / (-47) d d l( ) E geeral, e los modelos ecoométrcos, la elastcdad se defe segú (-47). Formas fucoales alteratvas El método MCO també se puede aplcar a modelos e los que se haya trasformado la varable edógea y/o la eógea. El modelo (-) os muestra que la varable eógea y el regresor so térmos equvaletes. Pero a partr de ahora, deomaremos regresor a la forma específca e la que ua varable eógea aparece e la ecuacó. Por ejemplo, e el modelo y l( ) u la varable eógea es, pero el regresor es l(). El modelo de (-) també os dca que la varable edógea y el regresado so equvaletes. Pero de ahora e adelate, deomaremos regresado a la forma específca e la que ua varable edógea aparece e la ecuacó. Por ejemplo, e el modelo l( y) u la varable edógea es y, pero el regresado es l(y). Ambos modelos so leales e los parámetros, auque o so leales e la varable (el prmero) o e la varable y (el segudo). E cualquer caso, s u modelo es leal e los parámetros, se puede estmar aplcado el método de MCO. Por el cotraro, s u modelo o es leal e los parámetros, la estmacó debe hacerse por métodos teratvos. S embargo, este certos modelos o leales que, por medo de trasformacoes adecuadas, puede covertrse e leales. Estos modelos so deomados lealzables. Así, e alguas ocasoes se postula modelos potecales e la teoría ecoómca, como es el caso de la coocda fucó de produccó de Cobb-Douglas. U modelo potecal co ua úca varable eplcatva vee dado por 5

16 y e S se troduce el térmo de perturbacó de forma multplcatva se obtee y u e e (-48) Tomado logartmos e ambos membros de (-48), se obtee u modelo leal e los parámetros: l( y) l( ) u (-49) Por el cotraro, s se troduce el térmo de perturbacó de forma adtva, se obtee y e u E este caso o este ua trasformacó que permta covertrlo e u modelo leal. Será, por tato, u modelo o lealzable. Ahora, vamos a cosderar alguos modelos co formas fucoales alteratvas, pero todos ellos so leales e los parámetros. Estudaremos e cada caso la terpretacó del coefcete ˆ : a) Modelo leal El coefcete ˆ mde el efecto del regresor sobre y. Veamos esto co detalle. La observacó de la fucó de regresó muestral se epresa de acuerdo co (-5) por y ˆ ˆ (-50) ˆ Cosderemos ahora la observacó h del modelo ajustado e la cual el valor del regresor y, e cosecueca, del regresado ha cambado co respecto a (-50): y ˆ ˆ (-5) ˆh h S restamos (-5) de (-50), vemos que tee u efecto leal sobre ŷ : ŷ ˆ (-5) dode yˆ yˆ ˆ yh y h Por lo tato, ˆ es el cambo producdo e y (e las udades e qué esté medda y) al cambar e ua udad (e las udades e qué esté medda ). Por ejemplo, e la fucó ajustada (-39), s la reta aumeta e ua udad, el cosumo se cremetará e 0.85 udades. La lealdad de este modelo mplca que u cambo de ua udad e tee sempre el msmo efecto e y, co depedeca del valor de cosderado. 6

17 EJEMPLO.7 Catdad de café veddo como ua fucó de su preco. Modelo leal E u epermeto de marketg se formuló el sguete modelo para eplcar la catdad de café veddo por semaa (coffqty) e fucó del preco del café (coffprc). coffqty coffprc u La varable coffprc toma el valor, el preco habtual, y també los valores 0.95 y 0.85 e dos accoes cuyos efectos está bajo vestgacó. El epermeto duró semaas, coffqty está epresado e mles de udades y coffprc e fracos fraceses. Los datos aparece e el cuadro.4 y e el fchero coffee. El modelo ajustado es el sguete: coffqty coffprc R 0.95 Iterpretacó del coefcete ˆ : s el preco del café se cremeta e fraco fracés, la catdad vedda de café se reducrá e mles de udades. E la medda que el preco del café es ua magtud pequeña, es preferble dar la sguete terpretacó: s aumeta el preco del café e cétmo de fraco fracés, la catdad vedda de café se reducrá e 6.93 mles de udades. CUADRO.4. Datos sobre catdades y precos del café. semaa coffprc coffqty EJEMPLO.8 Eplcado el valor de mercado de los bacos españoles. Modelo leal Utlzado datos de la Bolsa de Madrd (Bolsa de Madrd) del 8 de agosto de 995 (fchero bolmad95, 0 prmeras observacoes), se ha estmado el sguete modelo para eplcar el valor de mercado de bacos e sttucoes faceras: marktval bookval R =0.836 =0 dode - marktval es el valor e mercado de ua empresa. Se calcula multplcado el preco de la accó por el úmero de accoes emtdas. - bookval es el valor cotable o el valor eto de la compañía. El valor cotable se calcula como la dfereca etre los actvos de ua empresa y sus pasvos. - Los datos de marktval y bookval está epresados e mlloes de pesetas. Iterpretacó del coefcete β : s el valor cotable de u baco se cremeta e mlló de pesetas, la captalzacó de mercado de ese baco se cremetará e.9 mlloes de pesetas. Los datos de este ejercco se ha obtedo de u epermeto cotrolado de marketg, sobre el gasto e café e tedas de París. La refereca es A. C.Bemmaor ad D. Mouchou, Measurg the Short-Term Effect of I-Store Promoto ad Retal Advertsg o Brad Sales: A Factoral Epermet. Joural of Marketg Research, 8 ( 99),

18 b) Modelo leal logarítmco U modelo leal logarítmco se epresa como y l( ) u (-53) La fucó ajustada correspodete es la sguete: yˆ ˆ ˆ l( ) (-54) Tomado prmeras dferecas e (-54), y multplcado y dvdedo el segudo membro por 00, se tee ˆ yˆ 00 l( )% 00 Por lo tato, s aumeta u %, ŷ se cremetará e ( ˆ /00) udades. c) Modelo logarítmco leal U modelo logarítmco leal se epresa como l( y) u (-55) El modelo ateror se obtee tomado logartmos aturales e ambos membros del sguete modelo: y ep( u) Por esta razó, el modelo (-55) també se llama també epoecal. La fucó de regresó muestral correspodete a (-55) es la sguete l( y ) = bˆ + bˆ (-56) Tomado las prmeras dferecas e (-56), y multplcado ambos membros por 00, se tee 00 D l( y )% = 00 bˆ D Por lo tato, s aumeta e ua udad, etoces ŷ 00 bˆ %. se cremetará u d) Modelo doblemete logarítmco El modelo que fgura e (-49) es u modelo doblemete logarítmco o, ates de la trasformacó, u modelo potecal (-48). A este modelo també se le deoma modelo de elastcdad costate. El modelo ajustado correspodete a (-49) es el sguete: l( y ) = bˆ + bˆ l( ) (-57) Tomado prmeras dferecas e (-57), se tee D l( y ) = bˆ D l( ) 8

19 Por lo tato, s aumeta e %, etoces ŷ se cremetará u ˆ %. Hay que resaltar que, e este modelo, ˆ es la elastcdad estmada de y co respecto a, para cualquer valor de e y. E cosecueca, e este modelo la elastcdad es costate. E el aeo e u caso de estudo de la curva de Egel para la demada de productos lácteos se aalza ses formas fucoales alteratvas. EJEMPLO.9 Catdad de café veddo e fucó de su preco. Modelo doblemete logarítmco (Cotuacó del ejemplo.7) Como ua alteratva al modelo leal se ha estmado el modelo doblemete logarítmco: l( coffqty) - 5.3l( coffprc) R 0.90 Iterpretacó del coefcete ˆ : s el preco del café aumeta e u %, la catdad vedda de café se reducrá e u 5,3%. E este caso, ˆ es el estmador de la elastcdad de la demada/preco. EJEMPLO.0 Eplcado el valor de mercado de los bacos españoles. Modelo doblemete logarítmco (Cotuacó del ejemplo.8) Utlzado datos del ejemplo.8, se ha estmado el sguete modelo doblemete logarítmco: l( marktval) l( bookval ) R =0.98 =0 Iterpretacó del coefcete ˆ : s el valor cotable de u baco se cremeta e %, el valor de mercado de ese baco se cremetará e u 0.938%. E este caso ˆ es el estmador de la elastcdad del valor de mercado/valor cotable. E el cuadro.5 se muestra, para el modelo ajustado, la terpretacó de los cuatro modelos estudados. S hubéramos cosderado el modelo poblacoal e lugar del muestral, la terpretacó de es la msma pero teedo e cueta que u debería ser gual a 0. CUADRO.5. Iterpretacó de ˆ e los dferetes modelos. Modelo S aumeta e etoces y se cremetará e leal udad ˆ udades leal logarítmco % ( ˆ /00) udades logarítmco leal udad (00 ˆ )% doblemete logarítmco % ˆ %.5 Supuestos y propedades estadístcas de los MCO ˆ y Vamos ahora a estudar las propedades estadístcas de los estmadores de MCO, ˆ, del modelo de regresó leal smple. Prevamete, es ecesaro formular u cojuto de supuestos estadístcos. Específcamete, al cojuto de supuestos que vamos a formular se les deoma supuestos del modelo leal cásco (MLC). Es de resaltar que los supuestos del MLC so secllos, y que los estmadores MCO tee, bajo estos supuestos, muy bueas propedades. 9

20 .5. Supuestos estadístcos del MLC e regresó leal smple a) Supuesto sobre la forma fucoal ) La relacó etre el regresado, regresor y perturbacó aleatora es leal e los parámetros: y u (-58) El regresado y los regresores puede ser cualquer fucó de la varable edógea y de las varables eplcatvas, respectvamete, a codcó de que etre los regresores y el regresado esta ua relacó leal. Es decr, el modelo es leal e los parámetros. La adtvdad de la perturbacó garatza la relacó leal co el resto de los elemetos. b) Supuestos sobre el regresor ) Los valores que toma so fjos e repetdas muestras: De acuerdo co este supuesto, cada observacó del regresor toma el msmo valor para dferetes muestras del regresado. Este es u supuesto fuerte e el caso de las cecas socales, dode, e geeral, o es posble la epermetacó. Los datos se obtee medate observacó, o medate epermetacó. Es mportate destacar que los resultados obtedos basados e este supuesto permaece vrtualmete détcos a los que se obtee cuado asummos que los regresores so estocástcos, sempre, que postulemos el supuesto adcoal de depedeca etre los regresores y la perturbacó aleatora. Este supuesto alteratvo se puede formular así: *) El regresor se dstrbuye de forma depedete de la perturbacó aleatora. E cualquer caso, a lo largo de este capítulo y los sguetes vamos a adoptar el supuesto. 3) El regresor o cotee errores de medcó Se trata de u supuesto que a meudo o se cumple e la práctca, ya que los strumetos de medcó o so sempre fables e la ecoomía. Pesemos, por ejemplo, e la multtud de errores que se puede cometer e la recoplacó de formacó cuado se realza ecuestas a las famlas. 4) La varaza muestral de es dstta de 0 y tee u límte fto cuado tede a fto Por lo tato, este supuesto mplca que S c) Supuesto sobre los parámetros 5) Los parámetros y so fjos X 0 (-59) S o se adopta este supuesto, el modelo de regresó sería muy dfícl de aplcar. E cualquer caso, puede ser aceptable postular que los parámetros del modelo so estables e el tempo (s o es u período muy largo) o e el espaco (s es relatvamete lmtado). 0

21 d) Supuestos sobre las perturbacoes aleatoras 6) La esperaza de las perturbacoes es cero, Eu ( ) 0,,,3,, (-60) Éste o es u supuesto restrctvo, ya que sempre se puede utlzar para ormalzar E(u) a 0. Supogamos, por ejemplo, que Eu ( ) 4, etoces podríamos redefr el modelo del sguete modo: y ( 4) v dóde vu 4. Por lo tato, la esperaza de la ueva perturbacó, v, es 0 y la esperaza de u ha sdo absorbda por el térmo depedete. 7) Las perturbacoes tee ua varaza costate ( ),, var u (-6) A este supuesto se le deoma supuesto de homoscedastcdad. Esta palabra vee del grego: homo (gual) y scedastcdad (varabldad). Esto sgfca que la varabldad e toro a la líea de regresó es la msma e toda la muestra de ; es decr, que o aumeta o dsmuye cuado varía, como puede verse e la fgura.7, parte a), dode las perturbacoes so homoscedástcas. F(u) F(u) y µ y y µ y y y a) b) FIGURA.7. Perturbacoes aleatoras: a) homoscedastcdad; b) heteroscedastcdad. S este supuesto o se cumple, como ocurre e la parte b) de la fgura.7, los estmadores de MCO o so efcetes. Las perturbacoes e ese caso se dce que so heteroscedástcas (hetero sgfca dstta). 8) Las perturbacoes co dferetes subídces o está correlacoadas etre sí (supuesto de o autocorrelacó): E( uu ) 0 j (-6) j Es decr, las perturbacoes correspodetes a dferetes dvduos o a dferetes mometos de tempo, o está correlacoadas etre sí. Este supuesto de o autocorrelacó o o correlacó seral, al gual que e el caso de homoscedastcdad, es cotrastable a posteror. La trasgresó de este supuesto se produce co bastate frecueca e los modelos que utlza datos de seres temporales. 9) Las perturbacoes se dstrbuye ormalmete Teedo e cueta los supuestos 6, 7 y 8 se tee que

22 u NID, (-63) ~ (0 ),,, dode NID dca que las perturbacoes está ormal e depedetemete dstrbudas. La razó de este supuesto es que s u se dstrbuye ormalmete, també lo hará y y los coefcetes estmados de regresó, lo cual es útl e la realzacó de cotrastes de hpótess y e la costruccó de tervalos de cofaza para y.la justfcacó de este supuesto se basa e el Teorema Cetral del Límte. E eseca, este teorema dca que, s ua varable aleatora es el resultado agregado de los efectos de u úmero defdo de varables, tedrá ua dstrbucó apromadamete ormal, cluso s sus compoetes o la tee, a codcó de que guo de ellos sea domate..5. Propedades deseables de los estmadores Ates de eamar las propedades de los estmadores mímo-cuadrátcos bajo los supuestos estadístcos del MLC, se puede platear la sguete cuestó preva: cuáles so las propedades deseables para u estmador? Dos propedades deseable para u estmador es que sea sesgado y que su varaza sea lo más pequeña posble. S esto sucede el proceso de fereca se podrá llevar a cabo de ua forma satsfactora. Vamos a lustrar estas propedades de forma gráfca. Cosderemos e prmer lugar la propedad de sesgadez. E las fguras.8 y.9 se ha represetado las fucoes de desdad de dos hpotétcos estmadores obtedos por dos procedmetos dferetes: f ( bˆ ) f ( b ) ( b ˆ ) ˆb () b = E ˆb () FIGURA.8. Estmador sesgado. ˆb b ( ) b E( b ) b b ( ) FIGURA.9. Estmador sesgado. El estmador ˆb es sesgado, es decr, su esperaza matemátca es gual al parámetro que trata de estmar,. El estmador ˆb es ua varable aleatora que e cada muestra de y las so fjas e repetdas muestra segú el supuesto - toma u valor dferete, pero e promedo, es decr, teedo e cueta los ftos valores que puede tomar ˆb, es gual al parámetro. Co cada muestra de y se obtee u valor específco de ˆb, es decr, ua estmacó. E la fgura.8 se ha represetado dos estmacoes de : ˆb () y ˆb (). La prmera estmacó está relatvamete cerca de, metras que la seguda está mucho más alejada. E todo caso, la sesgadez es ua propedad deseable, ya que os asegura que el estmador e promedo está cetrado sobre el parámetro.

23 El estmador b, e la fgura.9, es sesgado, ya que su esperaza o es gual a E b -b. E este caso també se ha represetado dos. El sesgo es precsamete ( ) hpotétcas estmacoes: b () y b (). Como puede verse b () está más cerca de que el estmador sesgado ˆb () : es ua cuestó de azar. E todo caso, por ser sesgado o está cetrado e promedo sobre el parámetro. No cabe duda que sempre es preferble u estmador sesgado puesto que, co depedeca de lo que ocurra e ua muestra cocreta, o tee ua desvacó sstemátca respecto al valor del parámetro. La otra propedad deseable es la efceca. Esta propedad hace refereca a la varaza de los estmadores. E las fguras.0 y. se ha represetado dos hpotétcos estmadores sesgados a los que seguremos llamado ˆb y b. El prmero de ellos tee ua varaza más pequeña que el segudo. f ( bˆ ) f ( b ) b ˆb 3 ( ) ˆb 4 ( ) ˆb FIGURA.0. Estmador co varaza pequeña. b 4 b b ( ) b 3 ( ) FIGURA.. Estmador co ua varaza grade. E ambas fguras hemos represetado dos estmacoes: ˆb (3) y ˆb (4) e el estmador co varaza más pequeña; b (3) y b (4) e el estmador co varaza más grade. També aquí, para resaltar el papel jugado por el azar, la estmacó que está más cerca de es precsamete b (3). E cualquer caso sempre es preferble que la varaza del estmador sea lo más pequeña posble. Así por ejemplo, utlzado el estmador ˆb es práctcamete mposble que ua estmacó esté ta alejada de como lo está b (4), debdo a que el recorrdo de ˆb es mucho más reducdo que el que tee b..5.3 Propedades estadístcas de los estmadores MCO Bajo los supuestos aterores, los estmadores MCO posee alguas propedades deales. Así, podemos decr que los MCO so estmadores leales sesgados y óptmos. Lealdad e sesgadez de los MCO El estmador ˆb de MCO es sesgado. E el apédce.4 se demuestra que es u estmador sesgado utlzado mplíctamete los supuestos 3, 4 y 5, y eplíctamete los supuestos, y 6. E dcho aeo també se puede ver que es u 3

24 estmador leal, utlzado los supuestos y. Del msmo modo, se puede demostrar que el estmador MCO ˆb es sesgado. Recordemos que la sesgadez es ua propedad geeral del estmador, pero que para ua muestra determada la estmacó puede estar más "cerca" o más "lejos" del verdadero parámetro. E cualquer caso, la dstrbucó del estmador está cetrada e el parámetro poblacoal. Varazas de los estmadores de MCO Ahora sabemos que la dstrbucó muestral de uestro estmador está cetrada e el parámetro poblacoal, pero cuál es la dspersó de su dstrbucó? La varaza, que es ua medda de dspersó, de u estmador es u dcador de la precsó de ese estmador. Para obteer las varazas de ˆ y ˆ se requere los supuestos 7 y 8, además de los ses prmeros. Estas varazas so las sguetes: Var( ˆ ) Var ˆ ( ) E el apédce.5 se muestra cómo se obtee la varaza de ˆ. (-64) Los estmadores de MCO so ELIO Los estmadores de MCO tee la meor varaza de etre todos los estmadores leales e sesgados. Por esta razó se dce que los estmadores de MCO so estmadores leales sesgados y óptmos (ELIO), como se lustra e la fgura.. Esta propedad se cooce como el teorema de Gauss-Markov. Para la demostracó de este teorema se utlza los supuestos a 8, como puede verse e el apédce.6. Este cojuto de supuestos se cooce como los supuestos de Gauss-Markov. Estmador Lear Leal Ubased Isesgado ˆ, ˆ 0 ELIO óptmo FIGURA.. Los estmadores MCO so ELIO. La estmacó de la varaza de las perturbacoes y de la varaza de los estmadores Dado que o coocemos el valor de la varaza de la perturbacó,, teemos que estmarlo. S embargo, o podemos estmarlo utlzado los valores muestrales de las perturbacoes u porque o so observables E su lugar, teemos que utlzar los resduos de MCO (û ). La relacó etre las perturbacoes y los resduos vee dada por 4

25 uˆ y yˆ u ˆ ˆ ˆ ˆ u (-65) Por tato, û o es lo msmo que u, auque la dfereca etre ellos - ˆ ˆ - tee u valor esperado que es gual a cero. Por ello, u prmer estmador de podría ser la varaza resdual: uˆ (-66) S embargo, este estmador es sesgado, esecalmete porque o tee e cueta las dos sguetes restrccoes que debe ser satsfechas por los resduos de MCO e el modelo de regresó leal smple: uˆ 0 uˆ 0 (-67) Ua forma de ver estas restrccoes es la sguete: s coocemos - de los resduos, podemos obteer los otros dos resduos medate el uso de las restrccoes mplíctas e las ecuacoes ormales (-67). Por lo tato, sólo hay - grados de lbertad e los resduos de MCO, a dfereca de los grados de lbertad que tedría las correspodete perturbacoes. E el estmador sesgado de mostrado a cotuacó se realza u ajuste e el que se tee e cueta los grados de lbertad: ˆ uˆ (-68) Bajo los supuestos -8 (supuestos Gauss-Markov), se obtee, como puede verse e el apédce.7, que ˆ ˆ E( ) (-69) S se troduce e las fórmulas de la varaza obteemos etoces los estmadores sesgados de var( ˆ ) y var( ˆ ) El estmador atural de es ˆ ˆ y se llama error estádar de la regresó. La raíz cuadrada de la varaza se deoma desvacó estádar de ˆ, es decr, de( ˆ ) (-70) 5

26 Por lo tato, su estmador atural, al que se deoma error estádar de ˆ, vee dado por ˆ ˆ ee( ) (-7) Nótese que el ee( ˆ ), debdo a la preseca del estmador ˆ e (-7), es ua varable aleatora gual que ˆ. El error estádar de ua estmacó os ofrece ua dea de lo precso que es el estmador. La cossteca de los MCO y otras propedades astótcas A veces o es posble obteer u estmador sesgado. Etoces, se cosdera que la cossteca es el requsto mímo que debe cumplr el estmador. Segú u efoque tutvo, cossteca sgfca que a medda que, la fucó de desdad del estmador coverge al valor del parámetro. Esta propedad puede epresarse para el estmador ˆ como: plm ˆ (-7) dode plm es el límte e probabldad. E otras palabras, ˆ coverge e probabldad a. Es mportate teer e mete que las propedades de sesgadez y cossteca so coceptualmete dferetes. La propedad de sesgadez se matee para cualquer tamaño muestral, metras que la cossteca es ua propedad estrctamete de grades muestras o, de forma más precsa, es ua propedad astótca. Bajo los supuestos a 6, los estmadores MCO, ˆ y ˆ so cosstetes. La demostracó de la cossteca de ˆ puede verse e el apédce.8. Otras propedades astótcas de ˆ y ˆ : Bajo los supuestos de Gauss-Markov a 8, ˆ y ˆ tee ua dstrbucó astótcamete ormal y es astótcamete efcete detro de la clase de estmadores cosstetes y astótcamete ormales. Los estmadores MCO so estmadores de máma verosmltud (MV) y estmadores sesgados de míma varaza (EIMV) Ahora vamos a troducr el supuesto 9 e la ormaldad de las perturbacoes u. El cojuto de supuestos a 9 se cooce como los supuestos del modelo leal clásco (MLC) Bajo los supuestos del MLC, los estmadores de MCO so també estmadores de máma verosmltud (MV), como puede verse e el apédce.8. Por otro lado, bajo los supuestos del MLC, los estmadores de MCO además de ser ELIO, so estmadores sesgados de míma varaza (EIMV). Esto sgfca que los estmadores de MCO tee la varaza más pequeña etre todos los estmadores 6

27 sesgados, leales o o leales, segú se lustra e la fgura.3. Por lo tato, ya o teemos que restrgros a los estmadores que so leales e y. També se cumple que cualquer combacó leal de ˆ, ˆ ˆ ˆ, 3,, k se dstrbuye ormalmete, y cualquer subcojuto de las ˆ j tee ua dstrbucó ormal cojuta. Estmador Isesgado ˆ, ˆ Mma Varaza EIMV FIGURA.3. Los estmadores MCO so EIMV. E resume, hemos vsto que los estmadores de MCO tee propedades muy deseables cuado se cumple los supuestos estadístcos del MLC. Ejerccos Ejercco. El sguete modelo ha sdo formulado para eplcar las vetas auales (vetas) de empresas fabrcates de productos de lmpeza doméstca e fucó de u ídce de precos relatvo (pr): vetas pr u dode la varable vetas está epresada e mlloes de euros e pr es u ídce de precos relatvos (precos de la empresa/precos de la empresa de la muestra). Así, el valor 0 de la empresa dca que su preco es u 0% mal elevado que e la empresa. Para ello se dspoe de los sguetes datos sobre dez empresas fabrcates de productos de lmpeza doméstca: empresa vetas pr a) Estme β y β por MCO. b) Obtega la suma de los cuadrados de los resduos. c) Calcule el coefcete de determacó. d) Compruebe s se cumple las mplcacoes algebracas, 3 y 4 e la estmacó por MCO. 7

28 Ejercco. Para estudar la relacó etre cosumo de combustble (y) y el tempo de vuelo () e ua compañía aérea se ha formulado el sguete modelo: y u dode y está epresado e mles de lbras y e horas, utlzádose como udades de orde feror fraccoes decmales de la hora. De las estadístcas de «Tempos de vuelo y cosumos de combustble» de ua compañía aérea se ha obtedo datos relatvos a tempos de vuelo y cosumos de combustble de 4 trayectos dsttos realzados por avoes DC-9. A partr de estos datos se ha elaborado los sguetes estadístcos: y 9.79; 3.470; 5.075; y ; y Se pde a) La estmacó de β y β. b) La descomposcó de la varaza de y e varaza eplcada por la regresó y varaza resdual. c) El coefcete de determacó. d) Qué cosumo total estmaría, e mles de lbras, para u programa de vuelos compuesto por 00 vuelos de meda hora, 00 de ua hora y 00 de dos horas? Ejercco.3 U aalsta formula el sguete modelo: y u Utlzado ua muestra dada, se estma el modelo obteedo los sguetes resultados: ( )( y y) 0 ( ) 0 Le parece coheretes los resultados obtedos por el aalsta? y 8 4 ˆ 3 Ejercco.4 U ecoómetra ha estmado el sguete modelo co ua muestra de cco observacoes: y = b + b + u Ua vez realzada la estmacó el ecoómetra perde toda la formacó ecepto la que aparece e el sguete cuadro: Obs ? 5 6? Co la formacó ateror el ecoómetra debe calcular la varaza resdual. Hágalo e su lugar. Ejercco.5 Sea el sguete modelo u ˆt y u,,, 8

29 Al estmar este modelo co ua muestra de tamaño se ha obtedo los sguetes resultados: 0 y 0 B y E y F a) Obtega la estmacó de β y β. b) Obtega la suma de cuadrados de los resduos. c) Calcule el coefcete de determacó. d) Calcule el coefcete de determacó bajo el supuesto de que F BE. Ejercco.6 La empresa A se dedca a motar paeles prefabrcados para aves dustrales. Hasta el mometo ha realzado 8 obras, e las cuales el úmero de metros cuadrados de paeles y el de horas de trabajo drectamete empleadas e el motaje ha sdo los sguetes: Nº de metros cuadrados (mles) Nº de horas La empresa A desea partcpar e u cocurso para motar 4000 m de pael para ua ave dustral, para lo cual tee que presetar u presupuesto. Como datos a teer e cueta e la elaboracó del presupuesto, se cooce los sguetes: a) El presupuesto debe referrse eclusvamete a los costes de motaje, ya que el materal lo proporcoa la empresa que ha covocado el cocurso. b) El coste por hora trabajada para la empresa A es de 00 pesetas. c) Para cubrr los restates costes, la empresa A debe cargar u 0% sobre el mporte total del coste de mao de obra empleada e el motaje. Por la stuacó e que se ecuetra, a la empresa A le teresa partcpar e el cocurso co u presupuesto e el que úcamete se cubra los costes. E estas codcoes, y bajo el supuesto de que el úmero de horas trabajadas es fucó leal del úmero de metros cuadrados de paeles motados, cuál debería ser el mporte del presupuesto de la empresa A? Ejercco.7 Cosdere las sguetes gualdades:. E[u] = 0.. E[ȗ] = u = û = 0. E el coteto del modelo leal, dque s cada ua de las aterores gualdades se cumple o o, razoado la respuesta. 9

30 Ejercco.8 Se ha estmado por mímos cuadrados ordaros los parámetros β y β del modelo y u co ua muestra de tamaño 3. Los valores de so {,,3}. Se sabe també que el resduo correspodete a la prmera observacó es de 0.5. A partr de la ateror formacó, es posble calcular la suma de los cuadrados de los resduos y obteer ua estmacó de? E caso afrmatvo, realce los correspodetes cálculos. Ejercco.9 Se tee los sguetes datos, para estmar ua relacó etre y y : y a) Estme por MCO los parámetros α y β del sguete modelo: y b) Estme var(ε ). c) Por otra parte, estme por MCO los parámetros γ y δ del sguete modelo: y d) So las dos líeas de regresó ajustadas guales? Eplque el resultado e térmos de la metodología mímo-cuadrátca. Ejercco.0 Respoda a las sguetes pregutas: a) U vestgador, después de realzar la estmacó de u modelo por MCO, calcula uˆ y comprueba que o es 0. Es esto posble? Razoe la respuesta dcado e su caso las codcoes e las cuales puede haberse producdo este hecho. b) Obtega u estmador sesgado de, dcado los supuestos utlzados. Razoe la respuesta. Ejercco. E el coteto del modelo de regresó leal y u a) Idque e que se basa el cumplmeto, e su caso, de las sguetes gualdades u ˆ u u 0; uˆ =0; Eu =0; Eu=0; b) Establezca la relacó etre las dos epresoes sguetes: uˆ Eu = ; ˆ = k Ejercco. Respoda a las sguetes pregutas: a) Defa las propedades probablístcas de los estmadores de MCO bajo los supuestos del MLC. Razoe la respuesta. 30

31 b) Qué sucede co la estmacó del modelo de regresó leal s la varaza muestral de la varable eplcatva es ula? Razoe su respuesta. Ejercco.3 U vestgador cosdera que la relacó etre cosumo (cos) y reta dspoble (reta) debe ser estrctamete proporcoal. Por ello, platea el sguete modelo: cos=β reta+u a) Deduzca la fórmula para estmar β. b) Deduzca la fórmula para estmar σ. c) E este modelo, a qué es gual å uˆ? = Ejercco.4 E el coteto del modelo de regresó leal smple y u a) Qué supuestos debe cumplrse para que los estmadores de mímos cuadrados ordaros sea sesgados? b) Qué supuestos se requere para que su varaza sea míma detro del cojuto de estmadores leales e sesgados? Ejercco.5 E leguaje estadístco se suele hacer e muchas ocasoes afrmacoes como la sguete: Sea ua muestra aleatora de tamaño etraída de ua varable co dstrbucó ormal N(α,σ). a) Eprese la afrmacó ateror co leguaje ecoométrco, troducedo u térmo de perturbacó. b) Deduzca la fórmula para estmar α. c) Deduzca la fórmula para estmar σ. d) E este modelo, a qué sería gual å uˆ? Ejercco.6 Sea el sguete modelo que relacoa el gasto e educacó (geduc) co la reta dspoble (reta): geduc=β +β reta+u Utlzado la formacó obteda de ua muestra de 0 famlas se ha obtedo los sguetes resultados: = = = = å å å geduc = 7 reta = 50 reta = geduc = 6 reta geduc = a) Estme β y β por MCO. b) Estme la elastcdad gasto e educacó/reta para el promedo de las famlas de la muestra. c) Descompoga la varaza total del gasto e educacó de la muestra e varaza eplcada y varaza resdual. d) Calcule el coefcete de determacó. e) Estme la varaza de las perturbacoes Ejercco.7 Dado el modelo poblacoal 3

32 y =3+ +u =,, 3 y sedo los valores de ={,,3}: a) Geere 5 muestras de u, u y u 3, y obtega los correspodetes valores de y, utlzado los úmeros aleatoros N(0,). b) Realce las correspodetes estmacoes de β y β e el modelo: y u c) Compare las medas y varazas muestrales de ˆ y ˆ co sus esperazas y varazas poblacoales. Ejercco.8 Basádose e la formacó sumstrada e el ejercco.7, y co las dsttas estmacoes de β y β obtedas: a) Calcule los resduos correspodetes a cada ua de las estmacoes. b) Eplque el motvo por el cual los resduos adopta sempre la forma uˆ ˆ u uˆ 0 3 Ejercco.9 El sguete modelo se formuló para eplcar el tempo dedcado a dormr (sleep) e fucó del tempo dedcado al trabajo remuerado (padwork): sleep padwork u dode el sleep y la padwork se mde e mutos por día. Usado ua sub-muestra aleatora, etraída del archvo tmuse03, fuero obtedos los sguetes resultados: sleep padwork R = =6 a) Iterprete el coefcete de padwork. b) Cuál es el cremeto prevsto de sueño, e promedo, s el tempo dedcado al trabajo remuerado dsmuye e ua hora por día? c) Que parte de la varacó e el sueño se eplca por el tempo dedcado a trabajo remuerado? Ejercco.0 La cuatfcacó de la felcdad o es ua tarea fácl. Los vestgadores de la Ecuesta Mudal de Gallup vestgaro sobre este tema medate ecuestas a mles de partcpates e 55 países, etre 006 y 009, co el f de medr dos tpos de beestar. Se pregutó a los ecuestados sobre la satsfaccó geeral e su vda, utlzado ua escala de putuacó de a 0. Para eplcar la satsfaccó geeral (stsfglo) se formuló el sguete modelo e el que cada observacó se refere a las medas obtedas e los dsttos países: stsfglo lfepec u dode lfepec es la esperaza de vda al acer, es decr, el úmero de años que se espera que vva u recé acdo. Utlzado el archvo HDR00, se obtee el sguete modelo ajustado: stsfglo lfepec R = =44 a) Iterprete el coefcete de lfepec. 3

33 b) Cuál sería la meda de satsfaccó global e u país co ua esperaza de vda al acer de 80 años? c) Cuál debe ser la esperaza de vda al acer para obteer ua satsfaccó global gual a 6? Ejercco. E ecoomía se deoma tesdad e la actvdad e vestgacó y desarrollo, o smplemete I+D, a la relacó etre la versó de ua empresa e vestgacó y desarrollo y las vetas de dcha empresa. Para la estmacó u modelo que eplque la tesdad e I+D es ecesaro cotar co ua base de datos apropada. E España se puede utlzar la Ecuesta sobre Estrategas Empresarales realzada por el Mstero de Idustra. Esta ecuesta, co perodcdad aual, proporcoa u profudo coocmeto de la evolucó del sector dustral a través del tempo, ya que ofrece múltples datos relatvos al desarrollo empresaral y a las decsoes de la empresa. Esta ecuesta també está dseñada para geerar formacó mcroecoómca que permte especfcar y cotrastar modelos ecoométrcos. E cuato a su cobertura, la poblacó de refereca de esta ecuesta so empresas co dez o más trabajadores de la dustra maufacturera. El área geográfca de refereca es España, y los datos so auales. Ua de las característcas más destacadas de esta ecuesta es su alto grado de represetatvdad. Utlzado el fchero rdspa, que es ua base de datos de las empresas españolas desde 983 a 006, se estmó la sguete ecuacó para eplcar los gastos e vestgacó y desarrollo (rdtes): rdtes = l( sales ) R = =983 dode rdtes se epresa como u porcetaje de las vetas, y las vetas se mde e mlloes de euros. a) Iterprete el coefcete de l(sales). b) S las vetas aumeta e u 50%, cuál es el cambo estmado e putos porcetuales de rdtes? c) Qué porcetaje de la varacó de rdtes se eplca por las vetas? Es elevado? Justfque su respuesta. Ejercco. El sguete modelo se formuló para eplcar el salaro de u graduado MBA (salmbagr) e fucó de las tasas de matrícula (tuto) salmbagr tuto u dode salmbapr es el salaro medo aual e dólares para los estudates matrculados e el año 00 de las 50 mejores escuelas de egocos amercaas y tuto so los derechos de matrícula, cluyedo todos los gastos ecesaros para el programa completo (co eclusó de los gastos de subssteca). Utlzado los datos de MBAtu0, se obtuvo el sguete modelo ajustado: salmbagr tuto R =0.475 =50 a) Cuál es la terpretacó del térmo depedete? b) Cuál es la terpretacó del coefcete de la pedete? c) Cuál es el valor predcho de salmbagr para u estudate de posgrado que pagó 0000 dólares por los derechos de matrícula e u MBA de años? 33