MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL RESUMEN

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1 CAPÍTULO ÉTODO DE SUPERPOSICIÓN ODAL RESUEN Se presenta el marco teórco del étodo de Superposcón odal a partr de la solucón de un sstema de ecuacones dferencales acopladas que gobernan los problemas dnámcos. El étodo permte desacoplar el sstema consderando que la matrz de amortguamento es una combnacón lneal de las matrces de rgdez y de masas. Es mportante conocer que con el método se puede encontrar la respuesta en el tempo paso a paso trabaando con acelerogramas o encontrar la respuesta máxma trabaando con espectros. Como aplcacón del étodo se analza una estructura de acuerdo a lo estpulado por el Códgo Ecuatorano de la Construccón CEC- y se presenta con detalle el cálculo para que el lector pueda utlzar con propedad programas comercales que exsten en el medo. Se ndcan los controles de cortante basal mínmo, del efecto P, y de la derva o dstorsón de pso. Una vez que se tene dseñada la armadura de los dferentes elementos de la estructura es fundamental que el proyectsta estructural calcule el factor de reduccón de las fuerzas sísmcas con el cual obtuvo el espectro nelástco. El calculo de este factor se R w presenta en este capítulo al gual que el desempeño que va a tener la msma, para el efecto se ndcan los elementos estructurales que van a ngresar al rango no lneal, todo esto con la estructura que se analza, la msma que tene 6 psos. Fnalmente se explca la aplcacón del étodo de Superposcón odal al Análss Sísmco de estructuras espacales consderando tres grados de lbertad por planta. Es decr consderando que la losa o dafragma horzontal es completamente rígdo en su plano. Se ndca el cálculo de la torsón accdental y la smultanedad de accones sísmcas.

2 8 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE. DESCRIPCIÓN GENERAL DEL ÉTODO En forma general, se puede ndcar que el sstema de ecuacones dferencales que gobernan los problemas dnámcos está defndo por la ecuacón (.). En la cual,, C, K son las matrces de masas, amortguamento, rgdez; Q el vector de coordenadas generalzadas;., q, q q son los vectores de desplazamentos, velocdades y aceleracones.. q + C q + K q Q (. ) El sstema defndo en (.), es un sstema de ecuacones dferencales acopladas, en vrtud de que las matrces de rgdez K y amortguamento C por lo general no son dagonales. El acoplamento, dfculta la solucón matemátca. El método de superposcón modal, permte desacoplar el sstema de ecuacones dferencales, para ello se trabaa con la matrz modal Φ, la msma que vene a ser una matrz de transformacón de coordenadas, como se verá más adelante. Φ ( ) () (3) ( n) [ K K ] donde la prmera columna de la matrz modal Φ es el prmer modo de vbracón, la segunda columna el segundo modo y así sucesvamente hasta el últmo modo de vbracón. Para el desacoplamento se consdera que la matrz de amortguamento C, es del tpo Raylegh, ndcado en la ecuacón (.), que se repte a contnuacón. C ao + a K (. ) Por otra parte, se plantea la transformacón de coordenadas ndcada en la ecuacón (.3); donde se defne como coordenadas prncpales. q Φ (.3 ) Al reemplazar (.) en (.) y luego al pasar a coordenadas prncpales utlzando la ecuacón (.3), se tene:.. + ao + a K + K Q (.4 ) Donde: K Q Φ Φ Φ t t t Φ K Φ Q (.5 ) (.6) (.7 )

3 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 8 La deduccón de las ecuacones (.6) y (.7) se presentan en Aguar (995). La deduccón de la ecuacón (.5) puede obtenerse evaluando la energía cnétca de una estructura. En Aguar (989) se presenta tambén la deduccón de las ecuacones ndcadas. De otro lado, por la ortogonaldad de los modos de vbracón, se conoce que: K t t ) ( ) ( ) ( ) (.. odos normalzados de la forma ) ( ) ( t Los modos de vbracón se obtenen de la solucón de un sstema de ecuacones que es lnealmente dependente, de tal manera que se tene nfnto número de modos de vbracón pero que guardan certa relacón entre s. Con el obeto de determnar modos específcos se acostumbra normalzar los modos de vbracón, una forma de hacerlo es la sguente: ) ( ) ( t Se ha denomnado a la constante de normalzacón de los modos de vbracón. Con este antecedente y notacón, se tene que las matrces y K, valen: n K K K K K Al ser y K, matrces dagonales, el sstema de ecuacones dferencales, está desacoplado. Sendo la ecuacón correspondente al modo de vbracón, de la sguente forma o Q a a.. donde es la frecuenca natural del sstema correspondente al modo. Por otra parte, son el desplazamento, velocdad y aceleracón en coordenadas prncpales del modo. Ahora s se factora, se obtene:.,, o Q a a. ) (

4 8 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE En Aguar (989) se demuestra que el valor de ( a + a o ) es gual a una de las ecuacones dferencales desacopladas tene la sguente forma: ξ. Luego. + ξ + Q (.8 ) ( ) t ( ).. odos normalzados de la forma Para este caso de normalzacón de los modos de vbracón, la ecuacón a la que se llega por un procedmento análogo es la sguente:. + ξ + Q (.9 )..3 odos normalzados de cualquer forma La ecuacón dferencal desacoplada queda en funcón de, se destaca que es un escalar y vale: t ( ) ( ) (. ) La ecuacón genérca, es la sguente:. + ξ + Q (. )..4 Caso de análss sísmco Para el caso general, en que actúen las tres componentes sísmcas, que son: U ghx aceleracón horzontal en sentdo X, U ghy ( t) aceleracón horzontal en sentdo Y, y U gv ( t) aceleracón vertcal. El vector de cargas Q, es: Q J U ghx ( t) J U ghy ( t) J U gv ( t) (. ) X Y Z ( t) Q () t El térmno no es más que el modo de vbracón por el vector Q. En consecuenca, se tene: Q ( ) t J X U ghx ( ( t) ) t J Y U ghy ( ( t) ) t J Z U gv ( t)

5 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 83 Se defnen γ γ, γ x,, los factores de partcpacón del modo, para análss sísmco y z en sentdo X, Y y para la componente vertcal de movmento del suelo. ( ) t J X γ x (.3. ) γ γ y z ( ( ) t ) t J J Y Z (.3. ) (.3.3 ) Al dvdr la ecuacón (.) para el escalar dferencal desacoplada es la sguente:, la forma general de una ecuacón. + ξ + γ U ghx ( t) γ U ghy ( t) γ U gv ( t) (.4 ) x y z La ecuacón (.4) corresponde a un sstema de un grado de lbertad. En consecuenca se puede encontrar la respuesta dnámca aplcando la ntegral de Duhamel o el método β de Newmar. La mportanca del método de superposcón modal radca cuando se aplca utlzando un espectro de dseño...5 Organzacón del étodo de Superposcón odal Una vez que se ha defndo el modelo numérco de cálculo que se va a utlzar el sguente es el procedmento a segur empleando el método de superposcón modal. ) Se determnan las matrces de rgdez K, de masas y los vectores J X, J Y y J Z. ) Estmar o determnar los valores de ξ 3) Calcular las propedades dnámcas y. Es un problema de valores y vectores propos. 4) Determnar ( ) t ( ) 5) Determnar los factores de partcpacón modal. γ γ γ x y z ( ( ( ) t ) t ) t J J J X Y Z

6 84 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE 6) Resolver la ecuacón dferencal correspondente a un grado de lbertad y hallar, utlzando métodos analítcos o numércos. +. ξ + γ x U ghx ( t) γ U y ghy ( t) γ U z gv ( t) 7) Encontrar el vector de desplazamentos q q Φ En funcón de los modos de vbracón () se tene: q N ( ) ( t) (.5 ) Donde N es el número de modos que se consderan en la respuesta dnámca. Se destaca que no es necesaro consderar todos los modos de vbracón en la respuesta sísmca, los modos superores nfluyen muy poco en la respuesta.. ÉTODO DE SUPERPOSICIÓN ODAL CON ESPECTRO La respuesta dnámca, se puede encontrar aplcando el método de superposcón modal ya sea trabaando con un espectro de respuesta, con un espectro de dseño elástco o con un espectro de dseño nelástco. Por otra parte, s ben todas las aplcacones de este capítulo están orentadas al análss plano, no es menos certo que se aplcan las msmas defncones y procedmentos de cálculo para el análss espacal de estructuras. Por lo tanto, es un método de carácter general sempre y cuando sea factble desacoplar el sstema de ecuacones dferencales. Los espectros defnen la respuesta máxma de oscladores de un grado de lbertad y de un msmo amortguamento, sometdas a una hstora de aceleracones dada, para el análss sísmco. En consecuenca el espectro proporcona la respuesta máxma del sstema. Con este antecedente la respuesta máxma se obtene con la ecuacón (.6) T m T m γ Ad π (.6 ) donde es el período correspondente al modo. Por otra parte,, es la aceleracón espectral correspondente al período partcpacón modal espectros. T Ad. Se ha defndo en forma general el factor de γ. La ecuacón (.6) tene nvolucrado el concepto de pseudo.3 RESPUESTAS ODALES ÁXIAS Varos son las respuestas modales máxmas que nteresan para el análss y dseño sísmco de edfcos, las msmas que se detallan en el presente apartado.

7 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO Desplazamentos odales áxmos La ecuacón (.6) defne el desplazamento máxmo, en coordenadas prncpales, para el modo. Los desplazamentos máxmos de la estructura, se obtenen con la m ecuacón (.7) q m q m ( ) ( ) T m γ Ad (.7 ) π La ecuacón (.7) permte encontrar los desplazamentos máxmos en cada uno de los dferentes modos. Para encontrar los desplazamentos máxmos totales, se aplcará un crtero de combnacón modal que se ndcará posterormente. Con los desplazamentos máxmos modales, se pueden encontrar las dervas de pso en cada uno de los modos. La derva, a secas, no es más que el desplazamento horzontal relatvo entre dos puntos colocados en la msma línea vertcal, en dos psos o nveles consecutvos de la edfcacón..3. Fuerzas equvalentes y Cortantes En forma aproxmada se puede encontrar las fuerzas estátcas equvalentes de un modo de vbracón F, como el producto de la matrz de rgdez K por el vector de desplazamentos del modo q m. F K q m (.8 ) Al reemplazar el valor de q m por la ecuacón (.7) y s se tene en cuenta que: π T K Se demuestra fáclmente que las fuerzas estátcas equvalentes del modo, denomnadas, se obtene con la ecuacón (.9 ). F F () γ Ad (.9 ) Se denomna A factor de partcpacón modal., Coefcentes de forma, al producto del modo de vbracón por el A () γ (. ) El cortante V, se determna sumando las fuerzas laterales en cada uno de los psos. Se destaca que el crtero de combnacón modal, tema que se abordará posterormente, no debe aplcarse en las fuerzas estátcas equvalentes sno en los cortantes, ya que así se toma en cuenta la forma del modo. Una vez que se ha realzado la combnacón modal en los cortantes se obtene las fuerzas estátcas equvalentes.

8 86 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE Se denomna V o la base al que se llamará Peso efectvo modal que se trata a contnuacón. al cortante basal. En cada modo de vbracón se tene un cortante en V o, cortante basal del modo, en base al cual se va a calcular el.3.3 Peso efectvo odal Se defne el peso efectvo modal coefcente sísmco pero evaluado en cada modo de vbracón. como la relacón entre el cortante basal para el La sumatora de los pesos efectvos Vo Ad c (. ) c g, en todos los modos de vbracón reporta el peso total de la estructura. El cálculo del peso efectvo, es fundamental, para saber determnar el mínmo número de modos que se deben consderar en el análss. El cálculo de los pesos modales con la ecuacón (. ) mplca el conocer el cortante basal en cada modo de vbracón, lo que demanda un consderable trabao razón por la cual se recomenda encontrar los pesos modales con las ecuacones (. ) y (.3). α n n m m n m (. ) α T (.3 ) donde α es el factor de partcpacón del modo en el cortante basal., n es el número de grados de lbertad que se consderan en el análss. Para deducr la ecuacón (.) se recuerda que la sumatora de las fuerzas laterales reporta el cortante basal. Sea un subíndce para dentfcar el número de pso y n el V número total de psos, esto sería para el caso en que las masa se concentra a nvel de pso y se consdera un grado de lbertad por planta, en el caso general es el número de grados de lbertad. En funcón de este subíndce se tene que el cortante basal en el modo, vale: V n F γ Sa n m El factor de partcpacón modal γ de la masa de pso se puede escrbr de la forma sguente: m y del vector modal de pso

9 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 87 Al susttur esta últma ecuacón en γ V n n m m se encuentra: V n n m m Sa Por otra parte, el cortante basal V en funcón de α se escrbe de la sguente forma: T V α donde es la masa total de la estructura y es gual a. Al comparar estas dos últmas ecuacones se obtene: α n n n m m T m Sa n m Es recomendable que el número mínmo de modos de vbracón sea tal que la sumatora de los pesos efectvos para ese número mínmo de modos sea mayor al 9% del peso de la estructura. En funcón de la varable α el número mínmo de modos se obtene cuando α >. 9 N.4 CRITERIOS DE COBINACIÓN ODAL Exsten una sere de crteros de combnacón modal, para estmar la respuesta sísmca máxma. En el presente apartado se presentan algunos de ellos..4. Crtero del máxmo valor probable Sea r un certo valor de respuesta que se desea obtener, puede ser un momento, desplazamento, corte, etc. El crtero del máxmo valor probable propuesto por Newmar y Rosenblueth (97) es:

10 88 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE r N ( r ) (.4 ) N donde es el número de modos que se consderan en la respuesta y la varable corresponde al modo de vbracón. Por su sencllez es uno de los más utlzados. Es apropado su uso cuando las frecuencas naturales de vbracón se encuentran bastante separadas, más del %. Utlzar el crtero del máxmo valor probable cuando no cumple esta condcón puede llevar a subestmar o sobrestmar consderablemente la respuesta..4. Crtero de la doble suma sí. Este crtero se utlza cuando las frecuencas naturales están bastante cercanas entre r ε N N N ( r ) + ξ ξ + r r + ε (.5 ) (.6 ) sendo, las frecuencas de vbracón de los modos,, respectvamente; ξ el porcentae de amortguamento crítco para cada modo de vbracón. La forma de cálculo de ε, ndcada en la ecuacón (.6) es la más práctca. Sn embargo una forma más refnada de cálculo es la sguente: s ' ' ε ξ + ξ (.7 ) ' ' ' ξ ξ + s ' ξ (.8 ) (.9 ) donde, es la duracón del ssmo. Este crtero consdera la proxmdad entre los valores de las frecuencas de los modos naturales que contrbuyen a la respuesta, la fraccón del amortguamento crítco y la duracón del ssmo..4.3 Crtero de la combnacón cuadrátca completa

11 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 89 Este crtero consdera la posbldad de acoplamento entre los modos de vbracón. r ρ a ρ N 8 ξ r ( + a) a.5 ( a ) + 4 ξ a ( + a) N ρ r.5 8 ξ ξ ( ξ + a ξ ) a ( a ) + 4 ξ ξ a ( + a ) + 4( ξ + ξ ) a (.3 ) (.3 ) (.3 ) (.33 ) Se puede utlzar las ecuacones (.3) o (.33) para evaluar ρ ; ξ, fraccones del amortguamento crítco correspondentes a los modos de vbracón,. ξ son las Cuando las frecuencas están bastante separadas, el crtero de la combnacón cuadrátca completa, proporcona valores smlares al crtero del máxmo valor probable..4.4 Crtero AGH Exste una gran cantdad de crteros de combnacón modal y lo nteresante es que se contnúa nvestgando en esa línea es así como Gómez () presenta un nuevo crtero sn condconar su empleo a las frecuencas de vbracón. En consecuenca se puede utlzar en estructuras cuyas frecuencas estén cercanas o aleadas, El crtero cuyo nombre corresponde a las ncales del autor es el sguente: + r N r r (.34 ) Este crtero está nsprado en los crteros de la respuesta modales totales y el del máxmo valor probable..5 APLICACIÓN UTILIZANDO EL CEC- Se desea encontrar las fuerzas estátcas equvalentes, los desplazamentos máxmos y las dervas de pso de la estructura de 6 psos ndcada en la fgura., la altura de los entrepsos es de 3. m., cada uno. Las columnas de los dos prmeros psos son guales y tenen una seccón transversal de 6/6, las columnas de los psos 3 y 4 son de 55/55 y las de los últmos psos de 5/5. Las vgas de los dos prmeros psos es de 3/45 y las restantes de 3/4. Se desea calcular la respuesta sísmca plana del pórtco, ante el espectro estpulado por el Códgo Ecuatorano de la Construccón CEC-, s la msma se halla stuada en la zona de mayor pelgrosdad sísmca del Ecuador sobre un perfl de suelo S y va a ser utlzada

12 9 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE para vvenda. Consderar para el espectro nelástco un valor de R 8. En la fgura. se ndca en la parte superor el espectro elástco y en la parte nferor el espectro nelástco que se consdera en el análss sísmco y que responde a las condcones del problema. w Fgura. Dstrbucón en planta de edfcacón de ses psos que será analzada. Fgura. Espectro Elástco e Inelástco para R 8 en la zona de mayor pelgrosdad sísmca de w Ecuador (.4 g) y para un perfl de suelo S. El análss sísmco debe realzarse de acuerdo al CEC-, consderando nercas agretadas ya que la estructura va a ngresar al rango no lneal ante el ssmo de análss y las vgas serán las más afectadas. Las Inercas agretadas son: I.5 I I. 8 I V g C g (.35 )

13 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 9 La matrz de rgdez lateral que se obtene para el pórtco, consderando nercas agretadas en vgas y columnas es la sguente (trangular superor) K La carga muerta unforme dstrbuda que actúa en cada pso del pórtco analzado es. T/m., y la carga vva es.7 T/m., se consdera por facldad que ésta carga es gual en todos los psos. Para el análss sísmco se trabaa con el 5% de la carga vva, de tal manera que la carga vertcal es de.75 T/m. Al multplcar ésta cantdad por la longtud total de cada pórtco que es de 5 m. y al dvdr para la gravedad se encuentra la masa de cada pso que es de 3.48 T s/m. De tal manera que la matrz de masas es: Tabla. Valores Propos, Frecuencas (/s) y Períodos (s). odo Valor Propo Frecuenca Natural Período λ T En la tabla. se ndca los valores propos, las frecuencas naturales de vbracón y los períodos de vbracón, se destaca que el período fundamental es bastante alto esto es debdo a que se calcula con nercas agretadas. En la tabla. se ndcan los respectvos modos de vbracón. Tabla. odos de Vbracón Pso odo odo odo 3 odo 4 odo 5 odo ()

14 9 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE Los factores de partcpacón modal γ se ndcan en la tabla.3. Se destaca que para el caso plano el vector J es untaro. Con cada período de vbracón nelástco ndcado en la fgura. y se obtene la aceleracón espectral ndca en la tabla.3. T se ngresa al espectro Ad que tambén se Tabla.3 Factores de Partcpacón odal y Aceleracón Espectral. odo Factor de Partcpacón γ Aceleracón Espectral Ad (m/s ) Las fuerzas laterales en cada modo se obtenen con la sguente ecuacón () F γ Ad. Los valores se ndcan en la tabla.4. Con estas fuerzas laterales se obtenen los cortantes modales los msmos que se ndcan en la tabla.5. Tabla.4 Fuerzas Laterales odales. Pso odo odo odo 3 odo 4 odo 5 odo 6 (T.) (T.) (T.) (T.) (T.) (T.) Tabla.5 Cortantes odales. Pso odo odo odo 3 odo 4 odo 5 odo 6 (T.) (T.) (T.) (T.) (T.) (T.) Tabla.6 Cortantes Totales y Fuerzas Laterales Pso Cortante (T.) Fuerza Lateral (T.)

15 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO Al aplcar el crtero del máxmo valor probable en los cortantes se obtenen los valores ndcados en la tabla.6 y de ellas por un procedmento contraro se determnan las fuerzas laterales que tambén se ndcan en la tabla. En la tabla.6 se apreca que el cortante basal obtendo del análss sísmco gual a 4.87 T. Este cortante debe compararse con el cortante basal mínmo recomenda el CEC-. S un factor de correccón cortante basal sea mínmo. V om V o es que Vo V om se prosgue con el análss, caso contraro se determna Vom f por el cual se multplcan las fuerzas laterales para que el V o V om Z I C R (.36 ) w p e donde Z es el factor de zona sísmca, I es el factor de mportanca, C es el coefcente sísmco defndo en la fgura.3, en funcón del factor de amplfcacón por efecto de suelo S y del período fundamental T, es el peso reactvo el msmo que se calcula exclusvamente con la carga muerta, espectro nelástco, R w rregulardades en planta y elevacón. es el factor de reduccón de las fuerzas sísmcas para obtener el p, e factores reducen el comportamento no lneal debdo a Fgura.3 Coefcente sísmco C, de acuerdo al CEC. Para el eemplo el cortante basal mínmo vale 7.4 T., que es mayor a, luego el factor f.77 con el cual deben multplcarse las fuerzas laterales ndcadas en la tabla.6. El resultado se ndca en la tabla.7, donde tambén se presentan las fuerzas laterales que se obtendrían al aplcar el método estátco en base al modo fundamental aplcando la ecuacón (.37) y al modo fundamental equvalente medante la ecuacón (.38), todo esto con el obeto de comparar resultados. Ecuacones que fueron estudadas en el capítulo. V o

16 94 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE donde m es la masa del pso ; N F F N m V m N om m V m (.37 ) (.38 ) es la forma del prmer modo en el pso, V es el cortante F basal, es el número de psos y la fuerza lateral correspondente al pso. En la ecuacón (.38) se tene que es el modo fundamental equvalente, Valles et al (996) el msmo que se calcula con la ecuacón (.39) en funcón del factor de partcpacón modal γ. N ( ) γ (.39 ) Con la ecuacón (.37) se determnan las fuerzas laterales equvalentes debdo a ssmo en forma muy rápda trabaando en funcón del modo fundamental y es aplcable a estructuras regulares que responden báscamente en el prmer modo. La ecuacón (.38) en cambo es aplcable a estructuras en las cuales la nfluenca de los modos superores es mportante. Pso Tabla.7 Fuerzas estátcas equvalentes obtendas de dferentes maneras Fuerzas Laterales Fuerzas Laterales étodo de étodo Estátco Superposcón odal odo Fundamental Fuerzas Laterales étodo Estátco odo Fundamental Equvalente (T.) (T.) (T.) Para el cálculo de las dervas o dstorsones de pso, de acuerdo al CEC- es necesaro volver a calcular la matrz de rgdez de la estructura pero trabaando con las nercas gruesas ya no con las nercas agretadas. Está matrz resulta: K

17 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 95 Los desplazamentos elástcos lneales sguente: q se obtenen de la solucón del sstema de ecuacones Q K q (.4 ) donde el vector de cargas Q está formado por las fuerzas laterales de pso. Los desplazamentos nelástcos q n se obtenen de acuerdo al CEC- multplcando los desplazamentos elástcos por el factor de reduccón de las fuerzas sísmcas. R w q n R w q (.4 ) Con los desplazamentos nelástcos se determna la derva de pso δ como la relacón entre el desplazamento relatvo nelástco para la altura de entrepso. En la tabla.8 se ndcan los desplazamentos elástcos, nelástcos y las dstorsones de pso obtendas con las fuerzas laterales encontradas del método de superposcón modal. Pso Tabla.8 Desplazamentos elástcos, nelástcos y dstorsón de pso. Desplazamento Desplazamento Dstorsón de Elástco Inelástco Pso (cm.) (cm.) (%) δ La derva máxma recomendada por el CEC- para el ssmo analzado es del %, y los valores obtendos son menores a dcha cantdad. En consecuenca no hay problema de dstorsón de pso. Ahora lo que se debe controlar es el efecto P. Una forma smplfcada de controlar el efecto P es medante el factor de establdad de pso θ el msmo que vene defndo por la sguente ecuacón: PT δ V θ (.4 ) donde PT es la carga vertcal que gravta desde el pso hasta el tope del edfco, δ es la derva del pso y V es el cortante del pso. S el valor de θ en todos los psos es menor a.8, la estructura no tendrá problema del efecto P. Por el contraro s en algún pso el valor de P θ supera el valor de.3 la estructura tendrá seros problemas por el efecto debendo redseñarse la msma para el efecto se debe ncrementar la seccón transversal de vgas y columnas y repetr el análss sísmco.

18 96 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE Fnalmente para el caso en que el valor de θ en algún pso este comprenddo entre.8 y.3 se debe encontrar un factor de correccón y todas las fuerzas laterales deberán multplcarse por dcho valor. f P (.43 ) θ En la tabla.9 se ndcan los índces de establdad de pso θ obtendos para el eercco resuelto se observa que nngún valor supera.8. Pso f P Tabla.9 Descrpcón del cálculo del efecto δ PT P. V K θ.6 DISEÑO DE VIGAS Y COLUNAS Una vez que se realzó el análss sísmco se procedó al dseño de vgas y columnas consderando cargas vertcales (muerta y vva) y cargas sísmcas. Se consderó un hormgón con una resstenca máxma a la compresón de g/cm y un acero con un límte de fluenca de 4 g/cm. En la fgura.4 se ndca el armado respectvo y en las tablas. y. se detallan las armaduras utlzadas. c 3 c 4 c c 5 c 6 c 7 c 8 c c 9 c A B C D ARADO DE VIGAS TIPO TODOS LOS NIVELES bc 8 ø bv c - c E y c 3, 4, 5, 6 hc hv c 7, 8, 9, E y COLUNAS VIGAS Fgura.4 Armadura de una vga y columna tpo. Tabla. Detalle de Seccones Para Vgas y Columnas Nvel Rw 8

19 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 97 Columna Refuerzo Vga x 6 8 ø 5 3 x x 6 8 ø 5 3 x x 55 8 ø 3 x x 55 8 ø 3 x x 5 8 ø 3 x x 5 8 ø 3 x 4 Tabla. Dsposcón de Acero de Refuerzo en Vgas c Nvel +3. Nvel +6. Nvel +9. Nvel +. Nvel +5. Nvel +8. ø 6 ø 6 3 ø 6 3 ø 6 3 ø 3 ø ø 6 ø 6 3 ø 6 3 ø 6 3 ø 3 ø 3 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 4 ø 6 7 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 8 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 9 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6 ø 6.7 CAPACIDAD SÍSICA RESISTENTE Una vez que se tene dseñado el pórtco se encuentra la curva de capacdad sísmca resstente, que relacona el desplazamento lateral máxmo en el tope con el cortante basal V, se ha consderado el modelo de hormgón confnado de Par et al (98), el modelo trlneal para el acero y el modelo de plastcdad extendda de Thom et al (983). D t Fgura.5 Curva de capacdad sísmca resstente y modelo blneal. Por otra parte la dstrbucón de cargas laterales empleadas en la técnca del pushover es proporconal a las fuerzas laterales obtendas del método de superposcón modal ndcadas en la prmera columna de la tabla.7. En la fgura.5 se ndca la curva de capacdad resstente y el modelo blneal equvalente obtendo con el crtero de gual área. En el modelo

20 98 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE blneal se apreca que el punto de fluenca está caracterzado por un desplazamento de fluenca D ty 9.47 cm. y un cortante de fluenca V y 36.8 T. Para el punto de fallo se consdera que este está asocado a una derva global del edfco del %. Del análss con el pushover se encuentra que el punto más cercano al % de la altura total del edfco es: D tu 9. cm., V u 5.5 T..8 CÁLCULO DE R w Y DESEPEÑO SÍSICO Por otra parte del análss sísmco realzado se encontró que el desplazamento lateral máxmo que se espera ante el ssmo estpulado por el CEC- es y que el cortante basal de dseño V o 7.4 T. En consecuenca se tene: D t. cm. R s w V V D µ D R u o tu ty R s µ R s µ R w donde R es la sobreresstenca, µ es la ductldad y el factor de reduccón de las fuerzas s sísmcas por comportamento nelástco. El valor encontrado es lgeramente mayor al valor ncal con el cual se obtuvo el espectro nelástco. En consecuenca está muy ben, lo R w 8 naceptable habría sdo que el valor de R w sea menor. En la fgura.6 se ndca el desempeño esperado de la estructura analzada ante el ssmo estpulado por el CEC-. Se apreca que el daño se va a presentar en las vgas pero este no es de consderacón, en nngún momento se van a formar rótulas plástcas. Los extremos de las vgas que ngresan al rango no lneal sus momentos han superado el momento de fluenca. R w 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 5 m 5 m 5 m

21 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 99.9 COENTARIOS Fgura.6 Desempeño esperado de estructura analzada. El período de vbracón que se obtene del análss con la técnca del pushover, asocado al desplazamento lateral de. cm. es de.5 s. que es muy dferente al que se obtuvo en el análss con nercas agretadas cuyo valor era de.84 s. Por otra parte esta estructura fue analzada por Aguar y Vera (3) por el étodo del Espectro de Capacdad para el msmo espectro sísmco de análss y se encontró que el desplazamento lateral máxmo en el últmo pso es de.5 cm. Cantdad que dfere notablemente a los. cm. Los desplazamentos laterales y las dervas que se encuentran en cada pso, con la técnca del pushover, asocado al desplazamento de. cm. se ndcan en la tabla. los msmos que se comparan con los que reporta el étodo de Superposcón odal y se apreca en térmnos generales que son parecdos. Tabla. Desplazamentos obtendos con Técnca de Pushover y étodo de Superposcón odal. Técnca del Pushover étodo de Superposcón odal Pso Desplazamento Derva Desplazamento Derva (cm.) (%) (cm.) (%) ANÁLISIS ESPACIAL Se presenta el análss sísmco de estructuras consderando tres grados de lbertad por planta las msmas que deben satsfacer los sguentes requermentos para que su losa o entrepso sea consderado nfntamente rígdo en el plano horzontal. La relacón entre el largo y el ancho de la losa o dafragma horzontal debe tender a uno. S es mayor que tres ya no se podrá modelar como pso rígdo. Las rgdeces de sus elementos deben estar dstrbudos de una manera más o menos unforme. La losa o dafragma horzontal tenen un espesor adecuado. La explcacón de la teoría se realza en base a la estructura, rregular, de dos psos ndcada en la fgura.7 Nótese que el prmer pso tene 6 columnas y el segundo pso 4 columnas, de tal manera que sus Centros de asa no van a ser colneales. Se defne el Centro de asa C como el lugar geométrco en el cual se consdera que está concentrado todo el peso de la planta. En edfcos cuya carga está dstrbuda en forma smétrca se puede calcular el Centro de Gravedad como el C En el C se acostumbra consderar los tres grados de lbertad por planta con el obeto de que la atrz de asa sea dagonal y de esta forma se puede evaluar muy fáclmente los

22 3 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE valores y vectores propos, además que faclta el desacoplamento del sstema de ecuacones dferencales. En la fgura.8 se ndcan los tres grados de lbertad por planta que se han consderado para la estructura de dos psos. Nótese que prmero se numeran todas las coordenadas horzontales en sentdo X, empezando desde la planta baa hasta el últmo pso. Después se numeran las coordenadas horzontales en sentdo Y de la msma manera y fnalmente las rotacones de pso. Fgura.7 Estructura con la que se realzará el análss sísmco espacal. El vector de coordenadas generalzadas para la estructura de la fgura.8, se ndca a contnuacón. Donde es la componente de desplazamento horzontal en sentdo X del q q q3 q4 q5 q6 pso, es la componente de desplazamento horzontal en sentdo X del pso, y es smlar a las anterores pero en sentdo Y, es la componente de torsón del pso y la componente de torsón del pso.

23 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 3 q q q q q q q Fgura.8 Sstema de coordenadas de pso Q - q... atrz de Rgdez en coordenadas de pso K E El procedmento de cálculo para encontrar la matrz de rgdez en coordenadas de pso Aguar (995), es el sguente:. Se determna la matrz de rgdez lateral K L de cada uno de los pórtcos planos... Se encuentra la matrz de compatbldad de deformacones A de cada pórtco. Se halla la matrz de rgdez en coordenadas de pso. K E NP A ( ) t K ( ) L A ( ) (.44 ) donde () es el número del pórtco plano y NP es el número de pórtcos. La ecuacón (.44) es la clásca de Análss atrcal de Estructuras con la cual se obtene la matrz de rgdez a partr de los elementos de una estructura. Ahora para el análss sísmco espacal con tres grados de lbertad por planta los elementos son los pórtcos, esa es la hpótess de cálculo. La forma de la matrz A es:

24 3 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE A ( ) Cosα Senα Cosα. Senα r r n (.45 ) donde α es el ángulo que forma la orentacón postva del pórtco con respecto al ee X, la dstanca desde el orgen de coordenadas (C) hasta el pórtco () en el pso uno, es es la dstanca medda en el últmo pso desde el orgen de coordenadas hasta el pórtco. En las fguras.9 y. se ndcan las orentacones postvas de los pórtcos de la estructura que se analza. El valor de r tene sgno, será postvo s la orentacón postva del pórtco rota en sentdo anthoraro con relacón al C, en las fguras.9 y. se ndca además el sgno de esta varable. r n r Fgura.9 Valores y sgnos de r para los pórtcos y de la estructura.

25 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 33 Fgura. Valores y sgnos de r para los pórtcos en sentdo Y. Las matrces de compatbldad A de los pórtcos de la estructura de dos psos ndcada en la fgura.7, son: A A () () ( A) A El pórtco A, es de un pso de tal forma que su matrz de compatbldad debería tener una fla y tres columnas pero para poder aplcar la ecuacón (.44) y poder sumar todas las restantes contrbucones se utlza un artfco que consste en dearla del msmo orden de las otras matrces y colocar ceros donde no exste pso. A A ( B) ( C ) Al ser el pórtco A de un solo pso su matrz de rgdez tendrá un solo elemento, pero para poder realzar el trple producto matrcal con la matrz de compatbldad ndcada se debe utlzar el msmo artfco que consste en que la matrz de rgdez lateral del menconado pórtco sea de X donde úncamente el elemento de la prmera fla y prmera columna tene cantdad dferente de cero. La atrz A relacona las coordenadas laterales de los pórtcos que se va a denomnar con la letra p, con las coordenadas de pso. q

26 34 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE p ( A q (.46) ( ) ) En la fgura. se ndcan las coordenadas laterales de cada uno de los pórtcos de la estructura analzada. Por otra parte, sea P el vector que contene las fuerzas laterales en cada pórtco. La relacón entre P y p vene dada por la matrz de rgdez lateral. P K p (.47) ( ) ( ) ( ) L Para el cálculo de la matrz de rgdez lateral se procede de gual manera a lo ndcado en el apartado.5, es decr se trabaa con nercas agretadas en cada uno de los pórtcos. Luego se aplca la ecuacón (.44) y se obtene la matrz de rgdez espacal. Fgura. Sstema de coordenadas laterales de cada elemento... atrz de asas

27 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 35 La forma general de la matrz de asas para el análss sísmco consderando tres grados de lbertad por planta y para cuando se numeran prmero los desplazamentos en X, luego los en Y, y fnalmente las rotacones de pso. La forma de es: m m m J J m. J m J m n J n (.48) (.49) (.5) m donde es la masa total del pso, es el momento de nerca de la masa referdo al C del pso. sendo a, b J ( a b ) m J + (.5), las dmensones de la planta. En psos que tenen aberturas se determna el momento de nerca dvdendo la planta en fguras rectangulares y se aplca la ecuacón (.5). m J C.. + ( a + b ) m d donde d es la dstanca desde la fgura hasta el C del pso. K (.5) Con las matrces de rgdez E y de masas en coordenadas de pso, se resuelve el problema de valores y vectores propos y se hallan las propedades dnámcas de la estructura y los respectvos modos de vbracón. Se puede trabaar con todos los modos de vbracón pero tambén es factble consderar úncamente unos cuantos modos, los prmeros. m..3 Factores de Partcpacón odal

28 36 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE El análss sísmco se debe realzar en las dos dreccones, prmero el ssmo actúa en sentdo X, y luego el ssmo actúa en sentdo Y. Por lo tanto hasta el cálculo de las propedades dnámcas y los modos de vbracón no se hace nnguna dferenca en el procedmento de cálculo. A partr de este punto s hay que consderar el sentdo de análss del ssmo. Para ssmo en sentdo X, los factores de partcpacón γ x() se obtenen con la ecuacón (.53) y para ssmo en sentdo Y, los factores γ y() se hallan con la ecuacón (.55). Caso. Análss en Sentdo X. sendo ( ) ( ) t X γ x( ) t ( ) (.53) J X J un vector untaro cuyo orden es el número de psos de la estructura, (.54) Caso. Análss en Sentdo Y. ( ) t J Y ( ) t ( γ y( ) ) (.55) J Y (.56)..4 Procedmento de Cálculo Prmero se debe determnar las propedades dnámcas de la estructura para ello hay que proceder de la sguente manera:. Encontrar la matrz de rgdez lateral de cada uno de los pórtcos trabaando con Inercas Agretadas.. Determnar el Centro de asas de cada uno de los psos. (). Obtener la matrz de compatbldad de cada pórtco A. Ecuacón (.45). v. Hallar la matrz de rgdez en coordenadas de pso K E. Ecuacón (.44).

29 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 37 v. Calcular la matrz de masas. Ecuacón (.48). v. () Encontrar los valores propos λ y los vectores propos. v. Encontrar las propedades dnámcas, y. T Segundo se debe encontrar las respuestas máxmas probables para cuando el ssmo actúa en sentdo X, para ello se debe hacer lo sguente:. Determnar los factores de partcpacón modal γ x. Ecuacón (.53). T. Con cada período de vbracón se determna del espectro nelástco.. Calcular los desplazamentos en cada modo q x. v. q π Ad T ( ) x γ x Ad (.57) Encontrar los desplazamentos laterales en cada pórtco y en cada modo de p () vbracón. Ecuacón (.46). v. Hallar las fuerzas laterales Ecuacón (.47). () P en cada pórtco y en cada modo de vbracón. v. v. v. Obtener los cortantes en cada pórtco y en cada modo de vbracón. Aplcar un crtero de combnacón modal en los cortantes. Encontrar las fuerzas estátcas equvalentes. x. Realzar el control del Cortante Basal ínmo. Ecuacón (.36) x. Realzar el control del efecto P. Ecuacón (.4). Tercero Encontrar las fuerzas laterales debdas a Torsón Accdental para análss sísmco en sentdo X. Cuarto Se realzan los pasos dos y tres pero consderando el ssmo en sentdo Y. Qunto Realzar el control de la derva en cada uno de los pórtcos con las fuerzas laterales totales. Sexto Se consdera la posbldad de smultanedad de las accones sísmcas. Es decr que el ssmo puede actuar en cualquer dreccón...5 Torsón Accdental Exste una sere de aproxmacones que se cometen en el análss sísmco en general, como por eemplo se consdera que la ampltud de la onda sísmca de entrada a un edfco es

30 38 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE la msma que a la salda, es decr no hay atenuacón por efecto de la dstanca, lo cual no es certo. En la deduccón de la ecuacón (.5) se consdera que la densdad del materal es la msma en todos los puntos de la losa, lo cual tampoco es certo. En fn exsten una sere de aproxmacones que por facldad se han adoptado para smplfcar los cálculos. Estas aproxmacones en la deduccón de las ecuacones de cálculo son cubertas con lo que se denomna torsón accdental. Del análss descrto en el párrafo anteror se determnan unas fuerzas laterales en cada pórtco a las que se van a denomnar por ddáctca. Ahora con el análss de la torsón accdental se van a determnar otras fuerzas laterales en cada pórtco a las cuales se las llamará. La suma de estas dos fuerzas dan las totales que se F TOTAL denomnan. F TOR F DIN F + TOTAL FDIN FTOR (.58) Es mportante destacar que las fuerzas debdas a torsón accdental sempre deben ncrementar a las fuerzas obtendas del análss dnámco. Por nngún motvo luego de aplcar la torsón accdental estas fuerzas van a dsmnur. El propósto de la torsón accdental es cubrr las aproxmacones realzadas. Hay varas formas de consderar la torsón accdental, una de ellas que es la más conceptual es mover la ubcacón del Centro de asas C, una dstanca gual a la que recomendan las dferentes normatvas sísmcas. Por eemplo el CEC- contempla que el C se mueva un 5% de la dstanca de la dreccón perpendcular al sentdo de análss sísmco. Nótese que se generan varos casos de la nueva poscón del C En cada caso se deben aplcar las fuerzas laterales encontradas del análss dnámco y resolver como un problema estátco. Al hacer lo ndcado en el párrafo anteror para una determnada ubcacón del C en algunos pórtcos las fuerzas laterales que se obtuveron del análss dnámco se habrán ncrementado pero en otros pórtcos las fuerzas habrán dsmnudo. Pero al mover el C a la poscón contrara camba la stuacón, de tal mamera que se deben consderar todas las probables ubcacones del C que se tenen con el 5%. Al mover el C, las matrces de compatbldad de cada uno de los pórtcos camba por consguente varía tambén la matrz de rgdez en coordenadas de pso, etc. Práctcamente camba todo por lo que esta forma de análss de la torsón accdental no es práctca más es conceptual. Lo meor es calcular un momento torsor F DIN que se genera en cada pso el msmo que se aplca en el C ncal de tal manera que no hay que calcular otra matrz de rgdez en coordenadas de pso. Para calcular éste momento torsor se tenen dos posbldades de hacerlo, la prmera es trabaar con los cortantes de pso y la segunda con las fuerzas laterales de pso. S se trabaa con los cortantes de pso t se debe tener claro que al resolver el problema estátco lo que se obtenen son cortantes. Por lo tanto a partr de estos cortantes se obtendrán las fuerzas. En cambo s el momento torsor se obtene con las fuerzas F TOR laterales que actúan en cada pso al resolver el problema estátco lo que se hallan son fuerzas. Las normatvas sísmcas presentan el cálculo en funcón de los cortantes de pso de la sguente manera: V

31 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 39 t. 5 B V (.59) donde V B es la dstanca mayor de la planta, perpendcular a la dreccón del análss sísmco; es el cortante del pso ; fnalmente t es el momento debdo a torsón accdental en el pso. Con relacón a la estructura de dos psos que se ha vendo analzando el vector de cargas Q por efecto de la torsón accdental, tene la sguente forma: Q t t Se recomenda ver la fgura.8 para entender la forma del vector de cargas Q, anotado, el procedmento de cálculo de es el sguente: F TOR. Determnar los momentos de torsón accdental en cada pso. Ecuacón (.59).. Calcular el vector de cargas Q.. Encontrar el vector q, que contene los desplazamentos y gros en coordenadas de pso. Para el efecto se debe resolver el sguente sstema de ecuacones lneales. Q K E q Donde K E F DIN cálculo de. es la matrz de rgdez en coordenadas de pso con la que se realzó el v. Hallar los desplazamentos laterales p en cada pórtco. Ecuacón (.46). v. Obtener las fuerzas laterales P en cada pórtco. Ecuacón (.47). A las fuerzas P en valor absoluto se ha denomnado absoluto para tener en cuenta la dferente ubcacón del C F TOR. Se consdera en valor..6 Smultanedad de Accones Sísmcas Para el dseño de las vgas en sentdo X, sufcente es consderar los resultados del análss sísmco en sentdo X, más las cargas vertcales. Lo propo para el dseño de las vgas en sentdo Y, que se debe trabaar con los resultados del análss sísmco en sentdo Y, más las cargas vertcales de los estados de carga permanente (muerta) y transtora (vva).

32 3 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE Pero para el dseño de las columnas es mportante consderar la posbldad de que el ssmo llegue al edfco en cualquer dreccón generando cargas (fuerzas y momentos) en los elementos mayores a los que se obtenen cuando el ssmo actúa en una dreccón. El tener en cuenta que el ssmo actúa en cualquer dreccón sobre un edfco se conoce con el nombre de smultanedad de accones sísmcas ya que para su formulacón se consdera una combnacón lneal de los resultados obtendos en sentdo X, y en sentdo Y, como se lo verá a contnuacón. Se destaca que este tema todavía se lo está nvestgando, López et al () porque es bastante compleo sn embargo de ellos se acostumbra tratar la smultanedad de accones sísmcas de la sguente manera: Pórtcos en sentdo X Ssmo X +. 3 Ssmo Y (.6) Pórtcos en sentdo Y Ssmo Y +. 3 Ssmo X (.6) Con las ecuacones (.6) y (.6) se aspra cubrr las cargas que gravtan en los elementos debdo a que un ssmo actué en la base de una estructura con cualquer ángulo de ncdenca y no solamente a cero grados cuando actúa solo ssmo en sentdo X, o a noventa grados cuando actúa solo ssmo en sentdo Y.. CONCLUSIONES Se ha presentado el marco teórco del étodo de Superposcón odal para el análss sísmco plano con un grado de lbertad por pso y espacal consderando tres grados de lbertad por planta. Este método es muy utlzado en el análss sísmco de estructuras y se ha desarrollado un eercco paso a paso, para el caso plano, de tal manera que el lector pueda segur el cálculo. Por otra parte se ha determnado las fuerzas laterales de tres maneras por el étodo de Superposcón odal, por el étodo Estátco en funcón del modo fundamental y por el étodo Estátco en funcón del modo fundamental equvalente. Posterormente se ha encontrado el desempeño de la estructura y se ha calculado el valor de, del estudo realzado se desprenden las sguentes conclusones: R w Las fuerzas laterales en cada pso que se obtenen al aplcar el étodo de Superposcón odal, el étodo Estátco en funcón del modo fundamental y el étodo Estátco en funcón del modo fundamental equvalente son dferentes, las que más se aproxman son las encontradas con el prmer y tercer método pero se nsste que son dferentes. Exsten varos controles que deben realzarse al utlzar el étodo de Superposcón odal que convene que el usuaro los conozca cuando este eecutando programas comercales. S estos programas no reportan por eemplo el control del efecto P, el usuaro puede calcularle a mano en base a los otros reportes pero es necesaro que los conozca para saber más sobre su estructura.

33 ANÁLISIS SÍSICO POR DESEPEÑO 3 El étodo de Superposcón odal se lo debe utlzar con mucha cautela, el usuaro no debe dearse vslumbrar con programas comercales que presentan el movmento de los modos de vbracón como snónmo de exacttud del método. Exsten ncertdumbres en el étodo como por eemplo en la forma como se encuentran los desplazamentos máxmos modales o en la forma como se encuentran los desplazamentos nelástcos. Es mportante el cálculo del factor de reduccón de las fuerzas sísmcas una vez que se ha termnado el dseño, con el obeto de ver s el valor con el cual se determnó el espectro nelástco es el correcto y sobre todo para conocer más sobre el desempeño de la estructura, saber s la msma va a responder de acuerdo a la flosofía de dseño. R w REFERENCIAS. Aguar R. (995), Análss atrcal de Estructuras, Escuela Poltécnca del Eércto. Segunda Edcón, 6 p, Quto, Ecuador.. Aguar R. (989), Análss Dnámco Espacal, Escuela Poltécnca del Eércto, 7 p, Quto, Ecuador. 3. Aguar R. y Vera P. (3), Desempeño sísmco en térmnos estructurales y económcos de edfcacones de hormgón armado, XVI Jornadas Naconales de Ingenería Estructural. Escuela Superor Poltécnca del Ltoral, 4 p, Guayaqul, Ecuador. 4. Gómez J. (), Presentacón de un nuevo modelo matemátco para cálculo de la respuesta modal total de estructuras de edfcos, XIII Congreso Naconal de Ingenería Estructural, p, Puebla, éxco. 5. López O., Chopra A., and Hernández J., (), The sgnfcance of the drecton of ground moton on the structural response, Desastres sísmcos en desarrollo. Unversdad Central de Venezuela, 77-87, Caracas. 6. Newmar N., y Rosenblueth E., (97), Fundamentals of Earthquae Engneerng, Prentce Hall. 7. Par R., Prestley., Gll. D., (98), Ductlty of Square Confned Concrete Columns, Journal of Structural Dvson, ASCE, 8 (4), Thom C.., Bucle I.G. and Fenwc R. C., (983), The Effect of Inelastc Shear of the Sesmc Response of Structures, Dept. of Cvl Engneerng Unversty of Aucland, Report No 347, 64 p, New Zealand. 9. Valles R., Renhorn A., Kunnath S., L C. y adam A. (996), IDARCD Versón 4.: A computer program for the nelastc análss of buldngs, Techncal Report NCEER-96-, Natonal Center for Earthquae Engneerng Research, Buffalo, New Yor.

34 3 Roberto Aguar Falconí CEINCI - ESPE