ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIÓN

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1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIÓN INGENIERO DE TELECOMUNICACIÓN COMPORTAMIENTO ELECTROMAGNÉTICO DE ESTRUCTURAS DE ESFERAS DIELÉCTRICAS: MONOCAPAS HÍBRIDAS DESCOMPACTADAS CON DIFERENTES ÍNDICES DE REFRACCIÓN Natalia Cote Sorribas Tutores: Ágel María Adueza Uaua Joaquí Sevilla Moroder Pamploa, Abril 013

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3 Agradecimietos E primer lugar quiero agradecer a Joaquí Sevilla darme la oportuidad de hacer este proyecto, ha sido ua grata sorpresa que lo mejor me esperara al fial. Tambié tego que agradecer todo su apoyo, trabajo, bue humor y así u si fi de calificativos, a Ágel Adueza, ha sido u placer trabajar cotigo. Y fialmete o puedo olvidarme de mi hermaa Marta, porque o tego palabras para agradecerte todo lo que has hecho por mí estos últimos años. Muchas gracias a todos los que habéis formado parte de mi vida e esta etapa fial, porque solo me llevo bueos recuerdos. Co mucho cariño Natalia 3

4 Ídice geeral Ídice geeral 4 1. Resume y objetivos Objetivos Resume Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 1.1. Itroducció Tipos y ejemplos La dispersió Dispersió Bragg e estructuras periódicas Teoría de dispersió Mie Factor de calidad y tiempo de vida medio de las resoacias Comportamieto de ua esfera aislada Modos electromagéticos de ua esfera Materiales y métodos Procedimieto de medida experimetal Materiales utilizados Preparació de las muestras Moocapas de esferas dieléctricas Redes utilizadas para el cálculo de la permitividad dieléctrica de las esferas Redes híbridas Método de medida Apertura de radiació de las ateas Herramietas de simulació y aálisis Ídice de refracció alto y bajo Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació Itroducció Distribució del campo eléctrico detro y fuera de las esferas e la red compuesta por esferas de ε 1 =3 y = Distribució del campo eléctrico para Λ=16 y 18mm Distribució del campo eléctrico para Λ=0 y mm Distribució del campo eléctrico detro y fuera de las esferas e la red compuesta por esferas de ε 1 =5 y = Distribució del campo eléctrico para Λ=16 y 18mm Distribució del campo eléctrico para Λ=0 y mm Coclusioes Ídice geeral 4

5 5. Estudio de los resultados experimetales Itroducció Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de distita permitividad dieléctrica Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de tefló de diámetro 1.7mm y esferas de vidrio de diámetro 8mm para Λ=1mm Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de borosilicato y esferas de vidrio de diámetro 8mm para Λ=16mm y Λ=0mm Modelos dispersivos de la permitividad dieléctrica de las esferas Modelo de las esferas de tefló Modelo de las esferas de borosilicato Modelo de las esferas de vidrio Efecto dispersivo e los espectros de trasmisió de redes híbridas Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de tefló de diámetro 1.7mm y esferas de vidrio de diámetro 8mm para Λ=1mm Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de borosilicato y esferas de vidrio de diámetro 8mm Espectros de trasmisió para Λ=16mm Espectros de trasmisió para Λ=0mm Aproximació del cálculo umérico a los resultados experimetales Efecto de la o homogeeidad de las esferas Efecto de estructura fiita Coclusioes A. Distribució del campo eléctrico de los modos Mie para ua esfera aislada de 8mm de diámetro y permitividad dieléctrica ε=3, 5 y 7 74 B. Fucioes de Bessel 78 Bibliografía 8 Ídice geeral 5

6 Lista de siglas y acróimos Ф Diámetro de la esfera. r o Radio de la esfera. Λ Distacia etre cetros de esferas e el plao xy. a Parámetro de red de cristales D y 3D. h hlk Distacia etre plaos cristalios de esferas de ídices de Miller (hkl). ε Costate dieléctrica del medio. ε Parte real de la costate dieléctrica del medio. ε Coeficiete de absorció del medio. taδ Tagete de pérdidas. λ Logitud de oda. f Frecuecia. c Velocidad de la luz e el vacío. Ídice de refracció del medio. ω Frecuecia agular. k Vector de oda. θ Águlo de icidecia del vector de oda. δ Cotraste de ídices. 1D Uidimesioal. D Bidimesioal. 3D Tridimesioal. R Relació de compactació. E(r) Campo Eléctrico. H(r) Campo Magético. TE Modo trasversal eléctrico. TM Modo trasversal magético. PBS Estructura de badas fotóicas (Photoic Bad Structure). PBG Bad Gap Fotóico (Photoic Bad Gap). PC Cristal Fotóico (Photoic Crystal). ρ(ω) Desidad de Estados Ópticos ODOS (Optical Desity of States). v g Velocidad de grupo. FWHM Achura a mitad de altura (Full Width at Half Maximum). Q Factor de Calidad. EM Electromagético. (m,, r ) Ídices de dispersió Mie. Ídice geeral 6

7 Ídice geeral 7

8 Capítulo 1 Resume y Objetivos 1.1. Objetivos El objetivo de este proyecto es el estudio del comportamieto electromagético de estructuras de cristal fotóico basadas e la combiació de esferas dieléctricas de distito ídice de refracció. La variació de parámetros como el factor de compactació de las esferas o su ídice de refracció, permite obteer diferetes espectros co uevas frecuecias de resoacia, hecho que puede ser muy útil para futuras aplicacioes e el rago óptico y de microodas. E este proyecto se realiza u aálisis teórico y experimetal de los espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por dos moocapas de esferas de distito ídice de refracció para distitos factores de compactació, ambas redes tiee geometría triagular. El estudio se ha realizado para redes compuestas por esferas de bajo y alto ídice de refracció, dode a partir de las frecuecias de resoacia presetes e los espectros de trasmisió, y la distribució del campo eléctrico detro de las esferas obteida mediate cálculos uméricos, se ha estudiado la posible iteracció etre los dos materiales dieléctricos que compoe la moocapa. Las variables seleccioadas ha sido las siguietes: - El período de red o separació etre cetros de las esferas (Λ 1, Λ ). - Geometría de la red cristalia (triagular). - Permitividad dieléctrica de las esferas (ε 1, ). 1.. Resume La memoria de este proyecto costa de los siguietes capítulos: E el capítulo se hace ua itroducció sobre qué so los cristales fotóicos, como ha sido su evolució a lo largo de la historia y tipos de PC s que podemos ecotrar. Se preseta las ecuacioes de Maxwell para el caso de estructuras dieléctricas periódicas y el modelo físico asociado a las esferas utilizadas como dispersores idividuales, la dispersió Mie. Este último es fudametal e el 1. Resume y objetivos 8

9 estudio del comportamieto electromagético de las moocapas de esferas dieléctricas que os lleva este proyecto, ya que la teoría Mie permite estudiar el comportamieto de estructuras periódicas de esferas a partir de su comportamieto idividual. E el capítulo 3 se describe todos los procesos y herramietas utilizadas tato e la parte experimetal como e la parte de simulació y aálisis. Tambié se describe el equipamieto de microodas utilizado (aalizador de redes, ateas, soporte de medida ) y como se ha diseñado las moocapas de esferas que compoe las redes híbridas. A lo largo del capítulo 4 se realiza u estudio mediate cálculos uméricos del comportamieto espectral de ua red compuesta por esferas de distita permitividad dieléctrica. Para ello se utiliza como herramieta de simulació el paquete CST Microwave Studio (MWS). Tras los cálculos uméricos, e el capítulo 5 se lleva a cabo el correspodiete estudio experimetal. Como e el laboratorio o se dispoe de todas las esferas estudiadas e el capítulo 4, se calcula uméricamete alguos de los espectros de trasmisió de las redes medidas co el aalizador. A partir de los resultados obteidos y co el fi de poder extraer coclusioes de los resultados tato uméricos como experimetales, es ecesario recalcular de uevo alguos de los resultados uméricos del capítulo 4 teiedo e cueta el efecto dispersivo de los materiales dieléctricos así como el efecto de estructura fiita. E el capítulo 4 se preseta los espectros de trasmisió de ua red híbrida compuesta por dos moocapas de esferas de permitividad ε 1 y variables, para distitos factores de compactació. Co el fi de ver cuál es el orige de los picos presetes e los espectros, se muestra la distribució del campo eléctrico de ua esfera a las frecuecias de resoacia de iterés. A partir de estos resultados podemos cocluir como alguos de los picos so origiados por ua de las dos redes idividuales que compoe la red híbrida, y otros so fruto de la combiació de ambas. Para eteder mejor el orige de estas resoacias, las distribucioes del campo eléctrico se compara co los modos Mie para ua esfera aislada. E el capítulo 5 se estudia los espectros de trasmisió obteidos experimetalmete de redes compuestas por dos moocapas de esferas de distito ídice de refracció, para ello se dispoe e el laboratorio de esferas de tefló (ε=.), borosilicato (ε=4.83), y vidrio (ε=7). Co el fi de extraer coclusioes mas claras sobre el comportamieto espectral de ua red híbrida, dichos resultados se compara co los correspodietes cálculos uméricos. Tras apreciar ciertas discrepacias etre ambos resultados, es ecesario recalcular los resultados uméricos teiedo e cueta el efecto dispersivo de los materiales dieléctricos, para ello se obtiee u modelo de la permitividad de las esferas depediete de la frecuecia y compuesta por ua parte real y ua parte compleja. 1. Resume y objetivos 9

10 Otro efecto es el de estructura fiita. Los cálculos uméricos se realiza teiedo e cueta que las redes so ifiitas, si embargo, tras el estudio experimetal vemos que e alguos casos es ecesario recalcular dichos resultados cosiderado que las redes so fiitas. 1. Resume y objetivos 10

11 1. Resume y objetivos 11

12 Capítulo Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas.1. Itroducció Los cristales fotóicos (Photoic cristal, PC) so materiales que se caracteriza por la variació periódica de su ídice de refracció e el espacio a lo largo de varias direccioes, este hecho hace que se ecuetre umerosas aplicacioes e el rago óptico y de microodas. Co estos uevos materiales se pretede coseguir u cotrol sobre la luz e el rago óptico y de microodas igual al de la electróica sobre los electroes e el rago de los kilohertzios y los megahertzios. Los cristales fotóicos preseta Estructuras de Badas Fotóicas (Photoic bad Estructure, PBS), dode hay estados prohibidos para ciertas eergías de los fotoes e cualquier direcció de propagació k (Photoic Bad Gap, PBG). Para eteder el orige de las estructuras de badas fotóicas u sistema muy utilizado ha sido el formado por esferas dieléctricas debido al carácter resoate que preseta. Cuado se hace icidir ua oda electromagética sobre ua esfera existe ciertas frecuecias a las cuales tiee lugar la absorció de la luz por parte de la esfera, estas frecuecias a las cuales o se produce la reemisió de la luz se deomia frecuecias de resoacia. Más adelate se estudiará co detalle dos feómeos muy importates asociados a esferas dieléctricas, so la dispersió Mie asociado a ua esfera aislada y la dispersió de Bragg. A pricipios de los años 80, K. Ohtaka y M. Ioue, pusiero la base del estudio de los PC. Posteriormete u cojuto de autores japoeses comezaro a estudiar teórica y experimetalmete las propiedades de las moocapas de esferas dieléctricas e la regió de las odas milimétricas. E el año 1996 K. Ohtaka e Y. Taable publicaro simultáeamete 4 artículos dode se poía las bases del estudio de las PBS y el comportamieto físico de los sistemas e D y 3D empleado esferas dieléctricas. Se estudiaro los siguietes aspectos: la iteracció etre los fotoes y los PC costituidos por esferas, estableciedo por primera vez la relació del comportamieto de esfera aislada Mie al de u PC. El comportamieto y orige de las badas fotóicas de los sistemas bidimesioales y tridimesioales, la respuesta espectral, y el efecto del cofiamieto óptico como cosecuecia de la existecia de badas de baja dispersió.. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 1

13 A partir de estos resultados, K. Ohtaka et al. desarrollaro herramietas de cálculo para caracterizar las distribucioes de campo, la desidad de estados y el tiempo de vida de los modos e los sistemas de moocapas. Simultáeamete se desarrollaro trabajos que estudiaba aplicacioes ovedosas de los sistemas bidimesioales de esferas para la costrucció de cristales fotóicos tridimesioales, la ifluecia del ídice de refracció e la PBS. E el año 004 Y. Kurokawa et al., estudiaro la distribució de la itesidad del campo eléctrico e moocapas de esferas dieléctricas, asociado la distribució del campo eléctrico de las esferas de alto ídice de refracció co las frecuecias de resoacia de los modos Mie para ua esfera aislada y co la iteracció etre las esferas el caso de bajo ídice de refracció. Si aalizamos las diferecias etre los fotoes y los electroes, la luz preseta múltiples vetajas respecto del electró. Puede viajar a través de u material dieléctrico a velocidades mucho mayores de lo que el electró viaja a través de u metal. El acho de bada para las comuicacioes a través de fibra óptica es del orde del teraherzio mietra que para los sistemas electróicos es de alguos cietos de kilohertzios o megahertzios. A pesar de estas vetajas, e la actualidad aú existe dificultades para el diseño de u compoete aálogo al trasistor electróico. Si embargo, los cristales fotóicos so la clave para la proliferació de los futuros circuitos ópticos. Tradicioalmete, el tratamieto de los fotoes se ha basado pricipalmete e el mecaismo de la reflexió itera. La luz al propagarse a través de u medio dieléctrico de alta costate dieléctrica, es reflejada e la iterfase co otro dieléctrico de baja costate dieléctrica. Esto limita el grado de miiaturizació de los compoetes ópticos porque la iterfase debe se lisa co respecto al acho de bada de la luz. E u semicoductor, la red de átomos geera u potecial periódico para u electró moviédose a través del material. La geometría de la red y la fuerza del campo so tales que debido a la difracció de tipo Bragg desde los átomos, aparece ua bada de eergías prohibidas a través de la cual u electró o se puede propagar e igua direcció. E u PC, el potecial periódico es debido a ua red de cuerpos dieléctricos de tamaño microscópico. Si la diferecia e las costates dieléctricas es lo suficietemete grade, podrá aparecer difracció Bragg, que produce los mismos efectos que e el caso de los electroes para los materiales semicoductores... Tipos y ejemplos Como ya se ha defiido e el apartado aterior los cristales fotóicos (PC) so estructuras dieléctricas cuyo ídice de refracció varía periódicamete e ua o varias direccioes espaciales. E el caso e el que esa variació sea e ua direcció so cristales fotóicos Uidimesioales (1D), como por ejemplo las películas dieléctricas multicapa o las redes de difracció Bragg e fibra óptica, e dos so PC s Bidimesioales (D), como los PC s de bloques agujereados o slabs, cilidros e aire, fibra óptica moomodo, etc. y fialmete e tres so PC s tridimesioales. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 13

14 (3D), como las esferas dieléctricas y las estructuras basadas e tiras dieléctricas o woodpiles. Los diferetes tipos so mostrados e la figura.1. Figura.1: Tipos de cristales fotóicos e 1D (a), D (b) y 3D (c). E este proyecto se ha utilizado como elemetos dispersores moocapas de esferas dieléctricas, so cristales tridimesioales que so tratados como cristales bidimesioales al presetar ua modulació fiita e la tercera direcció, y ser perfectamete periódicos e las otras dos..3. La dispersió Ates de estudiar la dispersió Bragg y la dispersió Mie se va a hacer ua pequeña itroducció de qué es la dispersió. La dispersió es el feómeo que tiee lugar cuado ua oda electromagética ecuetra u obstáculo, al icidir la oda sobre el material los electroes de las moléculas que lo forma so perturbados periódicamete co la misma frecuecia que la oda icidete origiádose u mometo dipolar iducido, el resultado es la emisió de ua oda a la misma frecuecia que la oda icidete (oda dispersada). Figura.: Dispersió de la luz debido a ua oda electromagética icidete.. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 14

15 .4. Dispersió Bragg e estructuras periódicas La ley de dispersió o difracció de Bragg fue derivada por los físicos britáicos William Hery Bragg y su hijo William Lawrece Bragg e 1913 al estudiar la difracció de rayos X sobre la superficie de u material cristalio. Permite predecir los águlos e los que cualquier radiació electromagética es difractada por u material co estructura atómica periódica (materiales cristalios). Cuado los rayos X alcaza u átomo iteraccioa co sus electroes exteriores, estos reemite la radiació icidete e diferetes direccioes y co pequeños cambios e frecuecia, este feómeo es coocido como dispersió de Rayleigh. Los rayos reemitidos desde átomos cercaos iteraccioa etres sí dado lugar a la difracció, cuado la diferecia de fase de estos rayos es proporcioal a л la iterferecia es costructiva y el águlo co el que el rayo es difractado se expresa co la ley de difracció de Bragg: λ = d seθ (.1) hkl siedo λ la logitud de oda, d hkl la distacia etre los plaos de la red cristalia ombrados segú los ídices de Miller, θ es el águlo etre los rayos icidetes y los plaos de dispersió y u úmero etero positivo. Cuado la diferecia de fase es proporcioal a л la iterferecia es destructiva, los fotoes de los rayos X o se puede propagar por el material y se refleja o so absorbidos. Los picos de la difracció de Bragg, e cristales ordiarios, aparece e la regió de los rayosx (f>30phz), puesto que el parámetro de red de del orde del aómetro. Los cristales fotóicos opera e la regió de la luz visible (f>700th), si embargo, ocurre u efecto completamete similar. Debido a la existecia de plaos cristalios e la estructura, alguas badas frecueciales será difractadas segú la Ley de Bragg para la regió óptica y de microodas segú: λ c = d ε ε se θ (.) hkl 1 - hkl siedo λc la logitud de oda, d hkl la distacia etre los plaos de la red cristalia segú los ídices de Miller, ε 1 y es la permitividad dieléctrica del cristal fotóico y el medio respectivamete y θ hkl es el águlo etre la oda icidete y los plaos determiados por los ídices de Miller. La distacia etre plaos co ídices de Miller hkl es: d hkl = h a + k + l.5. Teoría de dispersió Mie Como los elemetos dispersores utilizados e este trabajo so esferas, vamos a estudiar la dispersió Mie asociada a ua esfera dieléctrica, homogéea e isótropa. La teoría Mie resuelve la ecuació de oda para los campos eléctricos y magéticos. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 15

16 detro y fuera de la esfera. A partir de las ecuacioes de Maxwell y de la ecuació de Helmholtz la ecuació de oda resultate es: E( r) + k E( r) = 0 H( r) + k H( r) = 0 (.3) (.4) dode k = ω εµ, y elcampoeléctricoy magéticoseexpresa como: E( r,t) = E( r)e iωt H( r,t) = H( r)e iωt (.5) El campo eléctrico y magético se relacioa a través de las expresioes: xe = iωµ H y xh = iωε E (.6) Estas expresioes ha sido desarrolladas para obteer la expresió del campo eléctrico e el iterior y e el exterior de la esfera e fució de dos vectores M y N que cumple las propiedades electromagéticas del campo, estos campos so ua superposició de modos TE (o hay compoete radial del campo eléctrico) y modos TM (o hay compoete radial del campo magético) poderados por uos coeficietes que os da iformació de como se dispersa la oda electromagética cuado etra e cotacto co la esfera. Las expresioes de los coeficietes a, b, c y d se muestra a cotiuació. Los coeficietes e el iterior de la esfera so: c = j(x)[xh j ( δx)[xh (1) (x)] h (x)] h (1) (1) (1) (x)[xj (x)] (x)[δxj ( δx)] (.7) d = δj ( δx)[xh ( 1 ) ( 1 ) δ j ( δx) [xh (x)] - δh (x)] -h ( 1 ) ( 1) (x)[xj ( δx)] (x)[ δxj ( δx)] (.8) Y los coeficietes de dispersió: a ( 1 ) δ j( δx)[xj (x)] j(x)[ δxj( δx)] = ( 1) ( 1) δ j ( δx) [xh ( δx)] h (x)[ δxj ( δx)] (.9) b = j ( δx)[xh j ( δx) [xh ( 1) ( 1) ( (x)] j (x)[ δxj( δx)] δx)] h (x)[ δxj ( δx)] ( 1) (.10). Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 16

17 e π 0 siedo x = k. r0 = r0 y δ = el cotraste de ídices, dode r0 es el radio de λ 0 la esfera, e y 0 so los ídices de refracció de la esfera y del medio (1 ) respectivamete, y j, h so las fucioes esféricas de Bessel, ver apédice B. La prima idica la derivació respecto del argumeto. Los polos de estos coeficietes da orige a las resoacias electromagéticas que tiee lugar e la esfera, vemos que depederá por tato del tamaño e ídice de refracció de la esfera y del ídice de refracció del medio. Las ecuacioes que hay que resolver para determiar las resoacias electromagéticas e cada modo TE o TM so: los polos del coeficiete a o d : [ xh h (1) (1) (1) ( x)] [ δxj = ( x) δ j ( δx)] ( δx) Modo TM (.11) y los polos del coeficiete b o c : [ xh h (1) (1) ( x)] [ δxj = ( x) j (1) ( δx)] ( δx) Modo TE (.1) Debido a que las solucioes de las ecuacioes.11 y.1, so comues a los coeficietes detro (c y d ) y fuera (a y b ) de la esfera, las posicioes e frecuecia de las resoacias o depede de si se evalúa el campo e el iterior o e el exterior de la esfera. Los coeficietes depede, para cada frecuecia ω, de la geometría del objeto, de su tamaño y del ídice de refracció, por lo que el espectro se puede cosiderar como u patró uívoco que caracteriza al objeto ilumiado, e este caso la esfera..6. Factor de calidad y tiempo de vida medio de las resoacias El factor de calidad Q de ua resoacia se defie como la relació etre la eergía almaceada y la eergía perdida por ciclo, viee dada por la expresió: eergía almaceada W Q = π = (.13) eergía perdida por ciclo dw / dt dode ω 0 es la frecuecia resoacia expresada e radiaes, W es el promedio temporal de la eergía almaceada, y (-dw/dt)x1/f 0 es la potecia perdida por ciclo. El tiempo de vida medio de u fotó e el modo resoate es Q/ω 0.Tambié Q puede cosiderarse como el úmero de ciclos que se requiere para que la eergía almaceada dismiuya hasta e -л veces su valor origial. La eergía electromagética ω 0. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 17

18 se acopla a u modo de alto factor de calidad muy despacio y, recíprocamete, tambié escapa de la cavidad de forma relativamete leta. El valor de Q de u resoador se calcula e realidad a través de las pérdidas radiactivas, y por gaacia o pérdidas que podemos atribuir a la absorció o emisió de los materiales de la cavidad. Es coveiete defiir u Q relativo a las pérdidas radiactivas o exteras (la Q de u resoador si absorció o emisió), Q out, y el Q relativo a la pérdida o gaacia itera, Q i. El factor de calidad total de la cavidad resoate es: 1 Q 1 1 = + (.14) Q out Q i Salvo que se idique lo cotrario, Q se especificará para referirse al factor de calidad extero. El campo eléctrico e el iterior de la cavidad queda: ω0 E(t)=E0 exp iω 0- (.15) Q Cerca de la frecuecia de resoacia la distribució de eergía e la cavidad resoate, E (ω), es proporcioal a: 1 ω ( - ) 0 ω ω + Q La resoacia posee la forma de ua loretziaa. (.16).7. Comportamieto de ua esfera aislada Tras haber aalizado el problema de resolver las fucioes de oda vectoriales electromagéticas que satisface las codicioes impuestas por ua esfera dieléctrica, e este apartado aalizaremos el caso escalar. Como se ha mecioado ateriormete el campo eléctrico E se puede represetar e fució de los vectores de oda esférica M y N que se costruye a partir de las fucioes escalares radiales S (r) y T (r), por lo que bastará discutir la fució potecial de Debye S (r) para estudiar desde el puto de vista escalar las resoacias electromagéticas para ua esfera aislada. Los poteciales radiales de Debye so fucioes escalares que satisface las ecuacioes de segudo orde dadas por: d S ( r) ( + 1) + ( ) ( ) = 0 k r S r dr r (.17). Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 18

19 d T ( r) d( r) dt ( r) ( + 1) ( r) + ( ) ( ) k r T dr r dr dr r ( r) = 0 (.18) La solució de estas ecuacioes debe obedecer las codicioes iiciales S ( 0) = 0 y T ( r) = 0 para asegurar que el campo eléctrico es fiito e el orige. Además dado que el ídice de refracció es costate para todo r, las ecuacioes (.17) y (.18) tiee la misma forma, y sus solucioes so las ecuacioes de Ricatti-Bessel. Estas ecuacioes defie la aalogía etre las ecuacioes de Maxwell y la ecuació de Schrödiger como se describirá a cotiuació. La ecuació (.17) la reescribimos como: dode ε ( r ) = ( r). d S ( r) ( + 1) 0 ( ) ( ) = 0 k ε r S r (.19) dr r Añadiedo k S ( ) a ambos lados de la ecuació teemos: 0 r d S ( r) ( + 1) + k0 (1 ( r)) S ( r) k0 S ( r) = dr ε + r (.0) Esta ecuació es similar a la ecuació radial de Schrödiger: h d ψ ( r) ( + 1) + V ( r) ψ ( r) = Eψ ( r) m dr + r (.1) que describe la evolució temporal de ua partícula masiva o relativista, de masa m, eergía E y eergía potecial V(r). Para uestro aálisis cosideraremos el caso de h u sistema co uidades = 1. m Si comparamos las ecuacioes (.0) y (.1) observamos que se cumple: k0 ( ε ( r) 1) V ( r) E k 0 Existe ua importate diferecia etre el caso electromagético y el mecaocuático: e el primer caso el potecial de dispersió es directamete proporcioal a la eergía, y e el segudo es idepediete de ésta. El potecial total o potecial efectivo Veff es la suma del potecial de dispersió, V(r) y la cotribució cetrífuga: ( + 1) V eff ( r) = k0 ( ε ( r) 1) + (.) r. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 19

20 El úmero de oda local p ( r l ) se defie co la relació p l ( r) = E Vl ( r), para ua esfera aislada se escribe como: ( + 1) p l ( r) = k0 ε ( r) (.3) r ( ) es aáloga a la eergía ciética e la mecáica cuática. Ua regió está p l r permitida o prohibida depediedo de si p ( r l ) es positivo o egativo respectivamete. Basádoos e la aalogía mecaocuática-electromagética, la permitividad dieléctrica detro y fuera de la esfera es: siedo r 0 el radio de la esfera. ε : r < r0 ε ( r) = (.4) 1: r > r0 k0 (1 ε ) + ( + 1) / r y el potecial efectivo: Veff ( r) = ( + 1) / r : r < r : r > r 0 0 (.5) siedo k 0 el vector de oda y el orde de la esfera. Que el potecial sea positivo o egativo depederá de los valores de k 0 y ε, e uestro caso se cumple que: k 0 > 0 y ε > 0. E la figura.3 se muestra el potecial efectivo detro y fuera de la esfera. La característica pricipal es que existe u pozo de potecial e la regió r 1 <r<r 0. Para ciertos valores de eergías, las partículas quedará temporalmete atrapadas e el pozo, oscilado hacia delate y hacia atrás muchas veces, ates de hacer efecto túel para volver fuera del pozo. Estos estados cuasi ligados so coocidos como resoacias electromagéticas. Figura.3: Potecial efectivo asociado a la esfera dieléctrica co ε ( ω ) > 0 y k > Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 0

21 Las resoacias electromagéticas solo ocurre para valores de eergía que satisface las codicioes de cotoro, la codició que determia los iveles discretos de eergía de u modo resoate se trasforma e el requerimieto de que la fució de oda exhiba u decaimieto expoecial e la regió de la barrera (lo que es lo mismo que hablar de odas evaescetes de la superficie de la esfera resoate). Esto justifica que los campos cerca de la superficie del objeto presete grades amplitudes. Si la barrera se extediera hasta el ifiito, la oda decaería hasta cero, y el estado cuasi ligado se covertiría e estado ligado. Ua esfera dieléctrica co u ε>1 trabaja e el espacio libre como u potecial atractivo para los fotoes, que crece a medida que lo hace k ( ). Como el potecial de V eff es proporcioal a (+1) la viculació es más fuerte para las resoacias de mayor orde, iducida por la alta barrera de potecial que experimeta e r=r 0. Esto sigifica que a mayor mayor tiempo de vida por lo que el factor de calidad Q de los modos para u estado ligado se hace mayor. Además, a medida que ω se hace mayor, el potecial se hace más atractivo. Pero la característica como estados ligados se hará más difusa cuado la eergía del fotó, (ω/c), vaya más allá del valor (+1)/ r, altura de la barrera de potecial e la 0 frotera de la esferas r=r 0. Además a medida que ω crece, ε tiede a la uidad, por lo que el potecial de la esfera siempre permaecerá observable y fiito, satisfaciedo el Teorema de Leviso. El mecaismo de fuga radiactiva que experimeta las resoacias Mie, es la base de la formació de las badas fotóicas de ua moocapa de esferas. El cocepto importate que subyace aquí es el salto de los fotoes elazados de ua esfera a otra. U fotó, ligado a la frecuecia de resoacia Mie e ua esfera, es trasferido a otras esferas como cosecuecia de que las esferas o está completamete aisladas. La fuga de los fotoes desde la barrera de esfera es empleado e el proceso de salto a las esferas vecias. E ua moocapa, la causa del tiempo de vida fiito e ua esfera aislada se trasforma o covierte e el orige del movimieto coherete o bada fotóica, la cual está libre del efecto de tiempo de vida de ua sola esfera. De esta forma, podemos decir que la estructura de badas de ua esfera aislada está formada de badas fuertemete elazadas (Tight-Biidig Bads). 0 ω.8. Modos electromagéticos de ua esfera E apartados ateriores hemos visto el campo eléctrico de dispersió como u cojuto de fucioes esféricas vectoriales, las odas parciales M y N poderadas por los coeficietes a y b. Esta combiació resulta fialmete e las distribucioes espaciales del campo eléctrico dispersado por la partícula esférica. Por orma geeral, la cotribució particular de ua oda parcial e las imediacioes de las frecuecias de resoacia electromagética, la hemos deomiado como modo. Para cada ídice teemos dos tipos diferetes de modos, uo los modos trasversales magéticos (TM) y otro los modos trasversales eléctricos (TE). Especial relevacia adquiere las distribucioes de campo que preseta la esfera e las imediacioes de. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 1

22 las frecuecias de resoacia electromagéticas, como cosecuecia de que la cotribució del modo se hace domiate e la relació de dispersió de la esfera. Por secillez, evaluaremos las distribucioes de campo eléctrico e u plao D, cosiderado el caso del plao xy (θ=π/). (a) (b) Figura.4: Modos del campo eléctrico para las resoacias Mie del tipo (a) TE 11 y (b) TM 11, e ua esfera co costate dieléctrica ε=7 y co oda icidete co polarizació s. La distribució del campo eléctrico itero correspodiete a los modos TE 11 y TM 11 se muestra e la Figura.4. El campo eléctrico mostrado e la figura.4(a) y correspodiete al modo TE 11 (oda parcial M 011 ), preseta ua distribució marcada por itesa cocetració del campo eléctrico e la regió ecuatorial de la esfera u e el exterior. Esta distribució correspode a u campo eléctrico que gira e el iterior de la esfera, co u eje de giro dado por el eje y. El campo detro de la esfera se desvaece a lo largo del eje y, como cosecuecia del peso de la compoete agular θ del campo. Por otro lado, la figura.4(b) muestra la distribució del campo del Modo TM 11 (oda parcial N e11 ). Esta preseta ua cocetració sustacial del campo e el iterior de la esfera, de forma que este va dismiuyedo a medida que os alejamos e la direcció del eje x. Este hecho es cosecuecia de que la compoete radial del campo se va aulado a medida que os acercamos al eje x, siedo el campo totalmete radial a lo largo de ese eje.. Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas

23 . Cristales fotóicos y moocapas de esferas dieléctricas 3

24 Capítulo 3 Materiales y métodos E este capítulo se va a explicar los compoetes utilizados e la parte experimetal y e los cálculos uméricos desarrollados e capítulos posteriores. E ua primera parte se describe los materiales utilizados para la realizació de las medidas experimetales así como u breve aálisis de la precisió y feomeología asociada al proceso de medida, y e ua seguda parte se describe el simulador co el que se ha realizado los cálculos uméricos Procedimieto de medida experimetal A lo largo de este capítulo y e posteriores, se deberá teer e cueta que la medida de los espectros de las moocapas de esferas dieléctricas se ha realizado e trasmisió Materiales utilizados A cotiuació se va a realizar ua breve descripció de los materiales empleados a lo largo de la parte experimetal. Aalizador vectorial de redes (figura 3.1(a)): El aalizador de redes utilizado es el modelo HP87ES del fabricate Agilet, puede operar e el rago de frecuecias compredido etre 5 MHz y 40 GHz. La calibració se realizó co los siguietes parámetros: Potecia: -5 dbm Número de putos de represetació: 160 Vetaa de observació: GHz Ateas de bocia rectagulares (figura 3.1(b)): Los puertos del aalizador se coectaro a dos ateas de bocia rectagulares modelo 639 del fabricate Narda, ambas ateas puede emitir y recibir la radiació electromagética e el espacio libre. Las pricipales características de las ateas so: 55.8x43.9mm de apertura y 88.33mm de logitud 3. Materiales y métodos 4

25 Operatividad de 1-18 GHz Achura del haz 3º a 18 GHz y 34º a 1 GHz Lóbulos laterales de H meores de 0 db, y de E meores de 13 db Auque las ateas posee u rago de frecuecia e trasmisió etre 1 y 18 GHz (ver figura 3.7), este rago se puede exteder empleado u método diferecial explicado e el apartado Figura 3.1: (a) Aalizador vectorial de redes HP87ES. (b) Atea Narda modelo 639. Soporte para las ateas y la moocapa de esferas (figura 3.): Para la colocació de todo el cojuto de ateas y de la moocapa de esferas se ha utilizado como soporte ua estructura metálica. Figura 3.: Soporte metálico para la colocació de las ateas y la moocapa de esferas. 3. Materiales y métodos 5

26 Ambas ateas fuero alieadas e la direcció z co ua separació de 300 mm aproximadamete. E el espacio itermedio se colocaro las muestras a medir, a uos 150 mm de cada atea, perpediculares al eje de la atea (ver figura 3.3). Figura 3.3: Cofiguració de la medida. Moocapas de esferas dieléctricas: Para la costrucció de las moocapas de esferas dieléctricas, se describe a cotiuació los tipos de esferas utilizadas (ver figura 3.5), cuál es su tamaño y cuál es el valor de su permitividad dieléctrica determiado mediate la comparació sistemática de medidas y simulació: Esferas de tefló de permitividad dieléctrica ε=. (=1.45) y diámetro Φ=1.7 mm. Esferas de borosilicato de permitividad dieléctrica ε=4.83 (=.19) y diámetro Φ=8 mm. Esferas de vidrio (Soda-Lima) de permitividad dieléctrica ε=7 (=.65) y diámetro Φ=8 mm. E el capítulo 5 se hará u estudio de la homogeeidad de las esferas, como veremos mas adelate, las esferas de vidrio so las que preseta ua desviació mayor de su diámetro respecto de la media. Tras el estudio podemos cocluir que la o homogeeidad de las esferas itroduce pequeños errores e los resultados experimetales. Las esferas se colocaro por gravedad sobre ua superficie de cartó agujereada co la geometría y el período espacial (Λ) cosiderados e cada ua de las redes híbridas. Auque la realizació de las platillas fue muy cuidadosa, o se pudiero evitar pequeños errores e la posició de las esferas. Este hecho, auque leve, debe de teerse e cueta a la hora de iterpretar los resultados. 3. Materiales y métodos 6

27 3.1.. Preparació de las muestras Se costruyero diferetes moocapas basadas e esferas dieléctricas. A cotiuació se detallará brevemete la omeclatura y coveios utilizados así como los detalles de preparació de las muestras Moocapas de esferas dieléctricas Las moocapas de esferas dieléctricas so u tipo de PC dode la modulació del ídice de refracció e el eje z está limitada, por lo que os podemos referir a ella como u PC quasi-bidimesioal, auque e setido estricto es u PC 3D. E este proyecto se ha fabricado varias cofiguracioes de moocapas de esferas co geometría triagular para distitos valores de la costate de red Λ y distitos diámetros Φ. A cotiuació se detallará la omeclatura y el esquema de la red híbrida (figura 3.4). Figura 3.4: Red híbrida compuesta por dos moocapas de esferas co geometría triagular. El color de las esferas está referido al uso de diferetes materiales. La primera moocapa que compoe la red híbrida está compuesta por las esferas de color azul, estas esferas tiee ua permitividad dieléctrica ε 1 y u diámetro Φ 1, las esferas ha sido colocadas e ua red co geometría triagular, dode Λ es la distacia etre cetros. La seguda moocapa que compoe la red híbrida está compuesta por las esferas de color cia, tiee permitividad dieléctrica y u diámetro Φ, como e el caso aterior, las esferas ha sido colocadas e ua red co geometría triagular. La combiació de ambas da lugar a ua red híbrida compuesta por esferas de distito ídice de refracció. 3. Materiales y métodos 7

28 Redes utilizadas para el cálculo de la permitividad dieléctrica de las esferas E la figura 3.5 se muestra alguas de las redes utilizadas para el cálculo de la permitividad dieléctrica de las esferas mediate la comparació sistemática de los resultados experimetales y uméricos. Las esferas utilizadas así como las redes que se fabricaro para dicho estudio se recoge e la siguiete tabla. Material Φ (mm) ε Λ (mm) Tefló , 13.5, 15,16.6, 18, 1 Borosilicato , , 1, 13.5, 15, 16.5 Vidrio 8 7 9, , 1, 13.5, 15, 16.5 Tabla 3.1: Parámetros utilizados para el cálculo de la permitividad dieléctrica Figura 3.5: Moocapas de esferas co geometría triagular, a) red de esferas de borosilicato co Φ=8mm para Λ=11.357mm, b) red de esferas de tefló co Φ=1.7mm para Λ=15mm, c) red de esferas de vidrio co Φ=8mm y Λ=18mm. 3. Materiales y métodos 8

29 Redes híbridas E la figura 3.6 se muestra parte de las redes utilizadas para la obteció de los espectros de trasmisió de las redes híbridas. Co el fi de estudiar de forma mas clara su comportamieto electromagético, e primer lugar se ha obteido por separado los espectros de trasmisió de cada ua de las moocapas que compoe la red híbrida, y posteriormete se ha obteido los espectros de trasmisió de la red compuesta por ambas. La figura 3.6(a) correspode a ua moocapa de esferas de tefló colocadas e ua red co geometría triagular y período espacial Λ 1 =10.5 mm, la seguda moocapa de esferas se muestra e la figura 3.6(b), las esferas so de vidrio colocadas e ua red co la misma geometría y el mismo Λ que la aterior. La combiació de ambas redes da lugar a la red híbrida mostrada e la figura 3.6(c). Figura 3.6: Moocapas de esferas co geometría triagular, a) red de esferas de tefló de diámetro Φ=1.7mm y Λ=10.5mm, b) red de esferas de vidrio de diámetro Φ=8mm y Λ=10.5mm, c) red híbrida compuesta por las redes de las figuras a) y b). De la misma forma se fabricaro otras dos redes híbridas, la primera de ellas compuesta por la combiació de dos moocapas de esferas de borosilicato y vidrio co período espacial Λ =16 mm, y la seguda compuestas por la combiació de dos moocapas de esferas tambié de borosilicato y vidrio co Λ 3 =0 mm. 3. Materiales y métodos 9

30 Método de medida Como ya se ha mecioado ateriormete es posible exteder el máximo acho de bada de trabajo de las ateas empleado ua metodología diferecial. Si E (ω) es el espectro de trasmisió si el cristal fotóico y E ) es el espectro de trasmisió co la muestra, la trasmitacia T (w) y la variació de la fase φ(ω) vedrá dadas por las siguietes expresioes: sam (ω ref Esam ( ω) T ( w) = (3.1) E ( ω) ref φ( ω) = φ ( ω) φ ( ω) (3.) sam El aalizador del que se dispoe e este proyecto obtiee directamete T (ω) e escala lieal o logarítmica (db), así es posible que el acho de bada de medida se amplíe hasta los 5-8 GHz al o superar la diferecia de magitud de la potecia trasmitida de las ateas a 8 GHz, los 0 db del valor máximo del espectro. Si embargo, e el rago hasta los 30 GHz la superposició de u fodo de ruido o hace posible difereciar co precisió los espectros, auque sí permite la visualizació de la líea base de los mismos. ref Figura 3.7: Espectro de trasmisió de la atea Narda 639 e el vacío si muestra. Todas las medidas se realizaro e dos cofiguracioes de polarizació diferetes, s y p, tal y como se muestra e la figura3.8. Defiimos el plao de icidecia como el plao formado por el rayo icidete y la ormal, es decir, la líea perpedicular a la superficie del medio e el puto de icidecia. Así, la compoete del campo eléctrico paralela al plao de icidecia es deomiada p y la compoete perpedicular es deomiada s, ambas compoetes se muestra e la figura Materiales y métodos 30

31 E el caso particular de la atea empleada e las medidas, la polarizació del campo eléctrico es paralelo al lado corto de la atea (43.9 mm). La mayor parte de las medidas se realizaro e ambas polarizacioes, auque e el caso de las moocapas de esferas o se apreciaro sigificativos cambios e los espectros. Figura 3.8: Esquema de polarizació s y p e las medidas experimetales. 3.. Apertura de radiació de las ateas Para garatizar la realidad de los resultados y evitar cualquier feómeo asociado al método experimetal, el área ilumiada por haz de la atea se determió empíricamete. Para obteer la máxima apertura de la atea sobre la muestra a ua distacia de 150 mm, se costruyó ua moocapa cuadrada regular de costate de red Λ=7 mm. Iicialmete ua columa de suficiete logitud y simétrica a la atea fue relleada co esferas de 6 mm de diámetro. A cotiuació las columas a ambos lados de la columa cetral fuero progresivamete relleadas hasta alcazar el borde de la moocapa (ver figura 3.9(a)). Como las aperturas de la atea puede ser diferetes para las direccioes x e y, las medidas fuero realizadas e ambas direccioes. Figura 3.9: (a) Cofiguració de medida de la apertura de la atea. (b) Potecia medida del espectro medido respecto a la distacia, [ref 7]. 3. Materiales y métodos 31

32 La potecia media del espectro e fució de columas os permite determiar el área total cubierta por el haz icidete proveiete de la atea (ver Figura 3.9(b)). Las regioes ruidosas del espectro (a partir de 5 GHz) o fuero teidas e cueta para ese cálculo. Vemos como e la primera parte de las curvas es dode el efecto lete aparece, cayedo la curva y alcazado ua regió bastate estable a partir de R=10 mm para ambas direccioes, [ref 7]. Vemos de forma estimada como la apertura o supera e el peor de los casos los 1 cm. Como el soporte posee u tamaño de 5x5 cm, e el plao xy, o hay problemas de difracció asociados al uso de ua estructura metálica Herramietas de simulació y aálisis Las simulacioes se ha llevado a cabo co el paquete de simulació CST Microwave Studio (MWS), es ua herramieta para la simulació rápida y precisa de campos electromagéticos de alta frecuecia. El motor de CST está basado e u método de resolució por diferecias fiitas e el domiio del tiempo o FDTD (Fiite- differece Time-Domai). El método cosiste básicamete e la discretizació de las ecuacioes de Maxwell e forma diferecial, e la regió de estudio. La solució se cosigue de forma iterativa, es decir, ua vez obteido el campo eléctrico para u istate dado, se calcula el campo magético para el siguiete istate y así sucesivamete hasta que el sistema coverge a ua solució correcta. CST Microwave Studio posee diversos procesadores: Trasiete Solver. Frecuecy Domai Solver. Eigemode Solver. Resoat: Fast S-Parameter Solver. Resoat: S-Parameter fields Solver, más coocido como aálisis modal. E este proyecto se ha utilizado el procesador Trasiet Solver ya que se trata de ua herramieta flexible que es posible aplicar a la mayoría de problemas electromagéticos. Permite además obteer represetacioes de los campos eléctricos y magéticos de los espectros de trasmisió Ídice de refracció alto y bajo La utilizació de u límite o frotera para poder clarificar cuado el ídice de refracció de ua esfera e ua moocapa es alto o bajo, o es algo simple. E este proyecto emplearemos los resultados del trabajo del ivestigador japoés T. Kodo e el Physical Review B [ref 5] para deomiar y clasificar el ídice de refracció de las esferas empleadas. De esta forma, hablaremos de ídice de refracció bajo o permitividad dieléctrica baja cuado el valor sea meor o esté e toro a 3, por otro lado hablaremos de permitividad alta cuado sea mayor de Materiales y métodos 3

33 3. Materiales y métodos 33

34 Capítulo 4 Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació E el siguiete capítulo se va a estudiar la distribució del campo eléctrico de moocapas híbridas triagulares variado la compactació de las esferas así como su ídice de refracció (), para ello se empleará redes compuestas por dos tipos de esferas de igual diámetro pero distito ídice de refracció. A partir de estas distribucioes se estudiará co más detalle el orige de las resoacias presetes e los distitos espectros de trasmisió Itroducció Co el fi de estudiar el efecto que tiee sobre las redes de esferas dieléctricas la variació de la compactació y del ídice de refracció, se ha simulado estructuras híbridas compuestas por ua red triagular de esferas de baja permitividad dieléctrica ε=3 (=1.73) y otra red triagular compuesta por esferas cuya permitividad dieléctrica ha ido variado desde ε=1 hasta ε=9 ( ε=1). Se ha repetido la misma secuecia de simulacioes sustituyedo las esferas de baja permitividad dieléctrica por esferas de ε=5 (=.4) y ε=7 (=.64). Todas las esferas tiee u diámetro de Φ 1 =Φ =8 mm. A partir de los espectros de trasmisió para cada ua de las redes cosideras, se ha estudiado la distribució del campo eléctrico detro y fuera de las esferas para las frecuecias de resoacia más relevates. Podremos así estudiar el comportamieto de las redes híbridas así como asociar el orige de estos picos a ua de las dos redes formadas por esferas de distito ídice de refracció o a la iteracció etre ambas. Para la obteció de los espectros de trasmisió las simulacioes se ha realizado para u rago de frecuecias de 10 GHz a 30 GHz, para su represetació gráfica dichas frecuecias ha sido ormalizadas al diámetro de las esferas mediate la expresió: fφ c Φ = λ (4.1) dode c es la velocidad de la luz, f la frecuecia y λ la logitud de oda. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 34

35 Normalizar la frecuecia e térmios del diámetro de la esfera Φ supoe ormalizar las diferetes estructuras al mismo diámetro uidad pero co ua costate de red distita Λ Φ, este parámetro es u idicador del factor de lleado o compactació de las moocapas. Para la visualizació de la distribució del campo eléctrico de las redes formadas por moocapas de esferas se ha teido e cueta las siguietes cosideracioes: - Las esferas que compoe la red híbrida ha sido colocadas e redes triagulares e el plao xy como se muestra e la figura El orige de coordeadas se ha cosiderado e el cetro de ua de las esferas. - El campo eléctrico icidete está alieado e la direcció del eje x correspodiete a ua polarizació p paralelo al plao de la oda icidete (plao yz). - El plao de referecia para la distribució de campo eléctrico será paralelo al plao xy, dode la altura del plao será de 0.Φ=1.6mm respecto del orige de coordeadas, [ref 6]. Figura 4.1: Red periódica compuesta por esferas de permitividad dieléctrica ε, dode Ф es el diámetro de las esferas y Λ el período espacial. El plao de muestreo es represetado co la líea discotiua. Como a lo largo de este capítulo se va a aalizar el orige de los picos presetes e los espectros a partir de las distribucioes del campo eléctrico de las moocapas de esferas, para poder asociar su orige a los modos Mie se preseta e el apédice A la distribució del campo eléctrico para ua esfera aislada de 8 mm de diámetro y permitividad dieléctrica ε=3, ε=5 y ε=7. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 35

36 Los espectros de trasmisió se ha calculado para los parámetros recogidos e la tabla 4.1, e ella se muestra de color verde los valores teidos e cueta para el estudio de la distribució del campo eléctrico. Φ 1 (mm) Φ (mm) ε 1 Λ 1 =Λ (mm) ,18,0, 16,18,0, 16,18,0, Tabla 4.1: Parámetros de las esferas dieléctricas itroducidas como dispersores e redes híbridas co geometría triagular. 4.. Distribució del campo eléctrico detro y fuera de las esferas e la red compuesta por esferas de ε 1 =3 y =7 E primer lugar se va a aalizar el comportamieto espectral cuado la red híbrida está compuesta por esferas de baja permitividad dieléctrica, ε 1 =3, y alta, =7, para distitos factores de compactació. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 36

37 4..1. Distribució del campo eléctrico para Λ= 16, 18 mm E la figura 4. se muestra la evolució del espectro de trasmisió de ua moocapa compuesta por esferas de permitividad ε 1 =3 y esferas de permitividad variable cuado el período es Λ=16mm y Λ=18mm, figura 4.(a) y 4.(b) respectivamete. =9 =9 =8 =8 =7 =7 Trasmittace (db) =6 =5 =4 =3 Trasmittace (db) =6 =5 =4 =3 = = =1 =1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Φ/λ 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 (a) (b) Figura 4.: Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de diámetro Φ 1 =8mm y ε 1 =3 y esferas de diámetro Φ =8mm cuya permitividad varía desde 1 hasta 9:(a) período espacial Λ=16mm, (b) período espacial Λ=18mm. De los espectros mostrados e la figura 4., se ha seleccioado los espectros de color verde para el estudio de la distribució del campo eléctrico realizado a cotiuació. E las figuras 4.3(a) y 4.4(a) se muestra los espectros de trasmisió cuado la red híbrida está compuesta solamete por esferas de ε 1 =3 (espectro de color egro), solamete por esferas de =7 (espectro de color verde) y por la combiació de ambas (espectro de color rojo) cuado el período de red es de Λ=16 mm y de Λ=18 mm respectivamete. Tambié se muestra la distribució del campo eléctrico para alguas de las frecuecias de resoacia de los tres espectros co el fi de poder ver co mas claridad el orige de las resoacias de la red híbrida compuesta por esferas de distito ídice de refracció. Para la correcta iterpretació de la gráfica siguiete y sucesivas, se debe de teer e cueta que los putos de colores presetes e los picos de los espectros de la figura Φ/λ 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 37

38 4.3(a), está relacioados co la distribució del campo eléctrico que preseta ua líea del mismo color. Figura 4.3: (a) Espectros de trasmisió de ua red triagular compuesta por esferas de permitividad ε 1 =3 y Λ=16mm (color egro), ua red triagular compuesta por esferas de permitividad =7 y Λ=16mm (color verde), y ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g) y (h) Distribucioes del campo eléctrico detro y fuera de las esferas para los picos seleccioados mediate putos de colores e los espectros de la figura 4.3a. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 38

39 Figura 4.4: (a) Espectros de trasmisió de ua red triagular compuesta por esferas de permitividad ε 1 =3 y Λ=18mm (color egro), ua red triagular compuesta por esferas de permitividad =7 y Λ=18mm (color verde), y ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g) y (h) Distribucioes del campo eléctrico detro y fuera de las esferas para los picos seleccioados mediate putos de colores e los espectros de la figura 4.4a. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 39

40 Si observamos el espectro de la red híbrida compuesta por esferas de ε 1 =3 y esferas de =7 de la figura 4.3(a), podemos ver como las dos primeras resoacias coicide co los dos primeros picos de la red compuesta solo por esferas de =7, hecho que podemos cofirmar viedo como la distribució del campo eléctrico e ambas redes es muy similar para esas frecuecias. Además la distribució del campo eléctrico del primer pico correspode co el modo Mie TE 11 para ua esfera aislada de permitividad 7 (la distribució del campo para los modos Mie se preseta e el apédice A), por otro lado, si comparamos la distribució del campo del segudo pico co los modos Mie, vemos que o existe igua similitud etre ambos. El tercer pico de la red híbrida está u poco desplazado e frecuecia respecto a la red formada solamete por esferas de ε 1 =3 y la red formada solamete por esferas de =7, viedo la distribució del campo eléctrico se aprecia que o preseta ua semejaza clara a igua de las distribucioes por separado, se trata pues de u modo origiado por la combiació de esferas de diferete permitividad, es por tato u modo híbrido. Los espectros correspodietes a la red formada por esferas co u período de red de Λ=18 mm se muestra e la figura 4.4(a). Como ha ocurrido e el caso aterior las dos primeras resoacias de la red híbrida coicide e frecuecia co los dos primeros picos de la red formada solamete por esferas de =7, hecho que comprobamos viedo como preseta la misma distribució del campo eléctrico. Además, podemos ver como la primera frecuecia de resoacia es el modo Mie TE 11 para ua esfera aislada de ε=7, o ocurre lo mismo co el segudo pico. La tercera resoacia coicide e frecuecia co el primer pico para la red formada solamete por esferas de ε 1 =3, co la diferecia de que el pico de la red híbrida es más profudo. Si observamos la distribució del campo eléctrico e ambas redes a dichas frecuecias, comprobamos como la distribució del campo e las esferas de ε 1 =3 es la misma que para la red compuesta solo por ellas, siedo prácticamete ulo e el iterior de las esferas de =7. Por lo tato, podemos decir que el tercer pico de la red híbrida ha sido origiado por las esferas de ε 1 =3. Además observado la itesidad del campo etre las esferas vemos como para ua separació de Λ=18 mm sigue existiedo ua alta iteracció etre las esferas debido a su proximidad, hecho que ya ocurría co mayor itesidad e el caso aterior cuado las esferas estaba e cotacto. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 40

41 4... Distribució del campo eléctrico para Λ= 0, mm E la figura 4.5 se muestra la secuecia de espectros cuado la red está compuesta por esferas de ε 1 =3 y esferas de permitividad variable para Λ=0 mm y Λ= mm, figura 4.5(a) y 4.5(b), respectivamete. =9 =9 =8 =8 Trasmittace (db) =7 =6 =5 =4 =3 Trasmittace (db) =7 =6 =5 =4 =3 = = =1 =1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Φ/λ 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Φ/λ (a) (b) Figura 4.5: Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de diámetro Φ 1 =8mm co ε 1 =3 y esferas de diámetro Φ =8mm cuya permitividad varía desde 1 hasta 9:(a) período espacial Λ=0mm, (b) período espacial Λ= mm. De la secuecia de espectros de la figura 4.5, se ha seleccioado los espectros de color verde para hacer u estudio detallado del comportamieto espectral de la red híbrida a partir de la distribució del campo. E las figuras 4.6(a) y 4.7(a) se muestra los espectros de trasmisió cuado la red está compuesta por esferas de ε 1 =3 (espectro de color egro), por esferas de =7 (espectro de color verde) y por la combiació de ambas (espectro de color rojo) cuado el período de red es de Λ=0 mm y Λ= mm, respectivamete. Tambié se muestra la distribució del campo eléctrico para las frecuecias de resoacia de iterés idicadas e los propios espectros. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 41

42 Figura 4.6: (a) Espectros de trasmisió de ua red de esferas de permitividad ε 1 =3 y Λ=0mm (color egro), ua red de esferas co =7 y Λ=0mm (color verde), y ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h) y (i) distribució del campo para los picos seleccioados e los espectros. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 4

43 Figura 4.7: (a) Espectros de trasmisió de ua red triagular compuesta por esferas de permitividad ε 1 =3 y Λ=mm (color egro), ua red triagular compuesta por esferas de permitividad =7 y Λ=mm (color verde), y ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g) y (h) Distribucioes del campo eléctrico detro y fuera de las esferas para los picos seleccioados mediate putos de colores e los espectros de la figura 4.7a. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 43

44 A partir del espectro de trasmisió de la red híbrida formada por esferas de ε 1 =3 y =7 de la figura 4.6(a), podemos ver como los dos primeros picos coicide e frecuecia co los de la red formada solamete por esferas de =7, Si observamos la distribució del campo eléctrico a estas frecuecias para ambas redes, vemos que preseta la misma distribució, además, el primer pico correspode co el modo Mie TE 11. El tercer pico presete e el espectro coicide e frecuecia co el primer pico de la red formada solamete por esferas de ε 1 =3, ya que ambas redes preseta la misma distribució. Además, podemos ver como e la red híbrida la itesidad del campo es prácticamete ula e las esferas de =7, por lo cual atribuimos el orige de esta frecuecia de resoacia a la ifluecia de las esferas de ε 1 =3. Para ver el orige del cuarto pico presete e el espectro observamos la distribució del campo a esa frecuecia. La magitud de ese campo eléctrico es itesa tato e las esferas de permitividad 3 como e las de 7, por lo que viedo el campo e ambas redes por separado se puede cocluir que esta resoacia puede haberse origiado por la iteracció etre ambas redes. El espectro de trasmisió para la red formada por esferas de ε 1 =3 y =7 para ua separació de Λ= mm mostrado e la figura 4.7(a) es muy similar al obteido para Λ=0 mm. Si observamos la distribució de los campos para las tres primeras frecuecias de resoacia, observamos uevamete como los dos primeros picos so origiados por las esferas de permitividad =7 y el tercer pico por las de ε 1 =3. Para este período de red el campo etre las esferas es meor ya que coforme aumetamos la distacia dismiuye la iteracció etre ellas. A partir de los resultados ateriores podemos cocluir que al aumetar la separació etre las esferas el espectro de la red híbrida es resultado de la superposició de los espectros de las redes formadas solamete por esferas de ε 1 =3 y de = Distribució del campo eléctrico detro y fuera de las esferas e la red compuesta por esferas de ε 1 =5 y =7 E el siguiete apartado se va a estudiar los espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de distita permitividad, éstas estará compuestas por esferas de ε 1 =5 y =7. Nuevamete se presetará la distribució del campo eléctrico de aquellos picos que resulte de iterés e el estudio del comportamieto de este tipo de redes. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 44

45 Distribució del campo eléctrico para Λ= 16, 18 mm La figura 4.8 muestra la evolució del espectro de trasmisió de la moocapa de esferas cuado éstas se ecuetra muy compactas, Λ=16 mm (figura 4.8(a)), y cuado aumeta la separació etre ellas, Λ=18 mm (figura 4.8(b)). =9 =9 =8 =8 =7 =7 Trasmittace (db) =6 =5 =4 =3 = Trasmittace (db) =6 =5 =4 =3 = =1 =1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Φ/λ 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Φ/λ (a) (b) Figura 4.8: Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de diámetro Φ 1 =8mm co ε 1 =5 y esferas de diámetro Φ =8mm cuya permitividad varía desde 1 hasta 9:(a) período espacial Λ=16mm, (b) período espacial Λ= 18mm. E las figuras 4.9(a) y 4.10(a) se muestra los espectros de trasmisió cuado la red híbrida está compuesta por esferas de ε 1 =5 (espectro de color egro), por esferas de =7 (espectro de color verde) y por la combiació de ambas (espectro de color rojo) cuado el período de red es de Λ=16 mm y Λ=18 mm respectivamete. Tambié se muestra la distribució del campo eléctrico para las frecuecias de resoacia de iterés de los tres espectros. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 45

46 Figura 4.9: (a) Espectros de trasmisió para ua red de esferas de permitividad ε 1 =5 y Λ=16mm (color egro), para ua red de esferas de permitividad =7 y Λ=16mm (color verde), y para ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h) y (i) distribució del campo para los picos seleccioados e los espectros. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 46

47 Figura 4.10: (a) Espectros de trasmisió de ua red de esferas de permitividad ε 1 =5 y Λ=16mm (color egro), ua red de esferas de permitividad =7 y Λ=16mm (color verde), y ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h) y (i) distribució del campo para los picos seleccioados e los espectros. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 47

48 E la figura 4.9(a) se muestra el espectro de la red compuesta por esferas de permitividad dieléctrica ε 1 =5 y =7 y los espectros de las dos redes idividualmete. A partir de las distribucioes del campo eléctrico de las tres primeras frecuecias de resoacia vemos que el primer pico de la red híbrida preseta u campo similar al de la red compuesta por esferas de =7. Además, el campo etre las esferas es más iteso que e la red compuesta por esferas co el mismo período de red Λ=16 mm pero co ε 1 =3 y =7 estudiada e el apartado Esta mayor iteracció puede deberse a la mezcla de esferas de mayor ídice de refracció. La distribució del segudo pico es la misma que la correspodiete a la red formada solo por esferas de =7. Observado el espectro de la red híbrida vemos que las dos primeras resoacias o coicide e frecuecia co las resoacias de red formada por esferas de =7 como ocurría e el apartado aterior, auque sí matiee la misma distribució del campo. El tercer pico de la red híbrida coicide e frecuecia co el segudo pico de la red formada solamete por esferas de ε 1 =5, además, las esferas de permitividad ε 1 =5 preseta la misma distribució del campo, teiedo e cueta que el campo es iteso tato e las esferas de =7 como etre las esferas se puede atribuir el orige de esta frecuecia de resoacia a ambas esferas. E la figura 4.10(a) se muestra los espectros de trasmisió para u período de red Λ=18 mm juto co las distribucioes del campo a las frecuecias de resoacia de iterés. Las dos primeras frecuecias de resoacia de la red híbrida preseta la misma distribució del campo que los dos primeros picos de la red de esferas de =7 auque o se ecuetra localizados a la misma frecuecia. La tercera frecuecia de resoacia o preseta ua distribució del campo similar a ua de las dos redes idividualmete, sí se observa u campo más iteso e las esferas de =7, es por lo tato u modo híbrido. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 48

49 4.3.. Distribució del campo eléctrico para Λ= 0, mm Fialmete se va a realizar el estudio de la distribució del campo eléctrico cuado las esferas preseta mayor descompactació, e la figura 4.11 podemos ver la evolució de los espectros de trasmisió cuado Λ=0 mm (figura 4.11(a)) y Λ= mm (figura 4.11(b)). =9 =9 =8 =8 =7 =7 Trasmittace (db) =6 =5 =4 =3 = Trasmittace (db) =6 =5 =4 =3 =1 = =1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Φ/λ (a) 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Φ/λ (b) Figura 4.11: Espectros de trasmisió de redes híbridas compuestas por esferas de diámetro Φ 1 =8mm co ε 1 =5 y esferas de diámetro Φ =8mm cuya permitividad varía desde 1 hasta 9:(a) período espacial Λ=0mm, (b) período espacial Λ= mm. E las figuras 4.1(a) y 4.13(a) se muestra los espectros de trasmisió cuado la red híbrida está compuesta por esferas de ε 1 =5 (espectro de color egro), por esferas de =7 (espectro de color verde) y por la combiació de ambas (espectro de color rojo) cuado el período de red es de Λ=0 mm y Λ= mm, respectivamete. Tambié se muestra la distribució del campo eléctrico para los picos seleccioados e los espectros. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 49

50 Figura 4.1: (a) Espectros de trasmisió de ua red triagular compuesta por esferas de permitividad ε 1 =5 y Λ=0mm (color egro), ua red triagular compuesta por esferas de permitividad =7 y Λ=0mm (color verde), y ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g) y (h) Distribucioes del campo eléctrico detro y fuera de las esferas para los picos seleccioados mediate putos de colores e los espectros de la figura 4.1a. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 50

51 Figura 4.13: (a) Espectros de trasmisió para ua red triagular compuesta por esferas de permitividad ε 1 =5 y Λ=mm (color egro), para ua red triagular compuesta por esferas de permitividad =7 y Λ=mm (color verde), y para ua red híbrida compuesta por ambas redes (color rojo). (b), (c), (d), (e), (f), (g) y (h) Distribucioes del campo eléctrico detro y fuera de las esferas para los picos seleccioados mediate putos de colores e los espectros de la figura 4.13a. 4. Distribució del campo eléctrico e redes de esferas de distita permitividad dieléctrica variado la compactació 51