TRAZADOS EN EL PLANO Trazados fundamentales en el plano Arco capaz Cuadrilátero inscriptible Teoremas del cateto y de la altura TEMA1

Transcripción

1 TRZS E EL L Tzds fundmenles en el pln pz udiláe insipile Teems del e y de l lu TE IUJ GEÉTRI jeivs y ienines medlógis El jeiv de ese em es, en pime lug, mple ls nimiens dquiids en el em Tzds fundmenles en el pln del li iuj Téni I del us psd; en segund lug dquii el nep de pz de un segmen j un ángul dd y sus pliines páis. Finlmene ess plems sevián de eps del nep de lug geméi. Fig.. L quieu uiliz ls zds geméis. IUJ TÉI II - hille

2 IUJ GEÉTRI E 3 Fig.. s F p. Tzd de l pependiul un semie en su eem Fig. ) Se l semie -, de igen. Se mn in segmens igules y se nsuye un iángul eángul de lds 3, y ess númes se llmn pigóis, y que se veifi: 3 + = ). ell, se m = 3; n en en se z el de di y n en en se z el de di ; ess ds s se n en. L e p que une ls puns y es l pependiul l semie en su eem.. Tzd de ls es plels un disni dd Fig. 3) Reuédese l definiión de es plels: sn ds es plnis que se n en el pun del infini de ells, llmd pun imppi. R G u S H Se l e y hy que z ls es s y u plels ell l disni. Se mn ds puns ulesquie R y S de l e y se z p d un de ells l pependiul ell. n ens en R y S y di, se zn ls s que n ls pependiules neies en ls puns E, G, F y H. Ls es s y u sn ls plels pedids. Fig. 3. s 3. Tzd de l e que psnd p un pun se nuene n s ds es y s que se n fue del diuj Fig. ) se zn ds es ulesquie y, n l ul se iene el iángul. pi de un pun ulquie de, se diuj el iángul uys lds sen plels ls del iángul nei, esnd en s. L e sluión es -. Fig.. d iseiz s. iseiz de un ángul uys lds se n fue del diuj Fig. ) Se el ángul fmd p ls es y s, uy véie es inesile. Se z un sene ulquie y se deeminn ls iseies,, y d de ls ánguls que fm n y s; ess iseies se n en y ; l e es l iseiz usd. En un iángul, d véie y ls puns de ineseión de ls iseies ineies y eeies esán en líne e. Fig.. IUJ TÉI II - hille

3 . Tzd de l iseiz de un ángul miilíne Fig. 6) El ángul esá fmd p l e y el s de en ; el véie es el pun. Se m un di ulquie del s y se vn mnd segmens igules - = - ; igulmene, se un pependiul se vn mnd segmens igules ls neies. L plel p y el néni l s que ps p se n en, pun de l iseiz usd. En l figu se hn deemind un seie de puns que unids n dn l uv iseiz. 6. Tzd de l iseiz de un ángul uvilíne Fig. 7) El pedimien es el mism que p el ángul miilíne. Ls ds s que fmn el ángul sn y, de ens y siend V el véie. Ls s nénis ls neies p ls puns,, e., vn dnd, l se, puns de l iseiz, les m ls y. V s Fig IUJ GEÉTRI 3 7. nsuión de ánguls n el mpás Figs. 8 3) En ls figus siguienes se ñden seis nuevs nsuines, m mplemen ls esudids en el us psd. Ángul de 37º 30 Fig. 8): Se z l iseiz f del ángul de 7º. L sluión es el ángul F que fmn ls es f y. Ángul de 0º Fig. 9): Se iene m sum de ls ánguls de 90º y º. es, se m l ued E = se l plngión del. L sluión es el ángul E que fmn ls es e y. Ángul de 0º Fig. 0): Se nsuye m sum de ls ánguls de 90º y 30º. El ángul es de 60º, lueg el ángul que fm l e n l semie - es de 0º. Ángul de 3º Fig. ): Se nsuye m sum de ls ánguls de 90º y º; el ángul que fmn y es de 3º. d E Fig. 7. F e f Fig. 8. Fig Fig. 0. Fig... E IUJ TÉI II - hille 3

4 IUJ GEÉTRI Fig.. Fig. 3. R L 80 Ángul de 0º Fig. ): Se iene m sum de ls ánguls de 90º y 60º; el ángul que fmn y es de 0º. Ángul de 80º Fig. 3): Es el ángul lln y su nsuión es inmedi. Ls semies - y - fmn 80º. Ls lds de ese ángul esán en plngión. 8. pz Figs. y ) Supngms l iunfeeni de en y en ell un ued - Fig. ). Si mms puns de es iunfeeni, les m L,,, e., y ls unims n y, enems un seie de ánguls insis que sn igules pque sus eems n el mism S de iunfeeni. ) S Fig.. pz de un segmen - j un ángul es el lug geméi de ls puns del pln desde ls ules se ve ese segmen j el ángul Fig. ). R m p nsui el pz del segmen - que se ve j un ángul Fig. ), se m el segmen -, se z su mediiz m y se diuj l e que fme el ángul n -. L pependiul p l ld del ángul en l mediiz. El de iunfeeni R de en y di = es el pz. uiee dei es que mnd puns m ls y y uniéndls n y, se ienen ánguls igules l. S El vl del ángul, semiinsi, es igul l mid del ángul enl, ángul --. El -S- seí el pz del segmen - j un ángul de 80º-. Fig.. 3 Fig. 6. ' ' 9. pliión del pz en l nsuión de un iángul Fig. 6) Ls ds del iángul sn ls lds y y el ángul ^ pues l ld. Se puede ene el iángul nsuyend el pz del segmen j el ángul ^. Si =, hy ds sluines, que sn ls iánguls y, ls ules se ienen hiend en en y n di nd el pz, que es l iunfeeni de en y di =. Si =, igul l diáme de l iunfeeni que niene el pz, hy un sl sluión, iángul. Si = 3, my que el diáme de l iunfeeni, el plem n iene sluión. IUJ TÉI II - hille

5 0. udiláe insipile Figs. Figs. 7 y 8) Un udiláe es insipile und puede se insi en un iunfeeni. Un udiláe esá insi en un iunfe- eni und sus u véies esán en ell Fig. 7). e l esudid en l nsuión del pz Fig. ) pdems dedui que, p ejempl, ls s y sn pz de l dignl y ls véies y, puess, ienen ánguls suplemenis, es dei, sumn 80. Tmién sn suplemenis ls ánguls puess y. Según es se puede dei que d udiláe nve uys ánguls puess sn suplemenis es insipile. En d udiláe insi, sn igules ls ánguls que fmn ls dignles n ds lds puess Fig. 8). Fig. 7. IUJ GEÉTRI = ; = ; = ; = Reípmene se puede dei que d udiláe nve es insipile, si umple lgun de ls igulddes neies. pliión: Un udiláe es insipile en un iunfeeni demsnd ulquie de ess ds ppieddes:. ue ls ánguls de ds véies puess sn suplemenis.. ue ls ánguls fmds p ls dignles n ds lds puess sn igules. Fig. 8.. nsuión gáfi de l u ppinl es segmens, y Fig. 9) L u ppinl es segmens, y se epes sí: = Es fómul se nsuye en l figu plind el eem de Thles. Fig. 9.. nsuión gáfi de l ee ppinl ds segmens y Fig. Fig. 0) L ee ppinl ds segmens y se epes sí: = Se nsuye m en el s nei en el que se epie el segmen. Fig. 0. IUJ TÉI II - hille

6 IUJ GEÉTRI Fig.. 3. nsuión gáfi de l medi ppinl ds segmens y ime pedimien Fig. ). L medi ppinl ds segmens y se epes sí: = ppión en l que se desne el medi mún, l que es igul: =. plims el eem de iánguls eánguls que die: un e es medi ppinl ene l hipenus y su pyeión se ell. Según es, mms el segmen y, supepues n él, el segmen ; l semiiunfeeni de diáme ns pemie ene el segmen, medi ppinl usd. Segund pedimien Fig. ). En l figu se iene p pedimien l medi ppinl ls segmens y, plind el eem de iánguls eánguls que die: l lu se l hipenus es l medi ppinl ene ls segmens en que l divide. Tee pedimien Fig. 3). Fig.. En es figu se iene l medi ppinl ls segmens y siend que l peni de un pun espe de un iunfeeni es igul l udd de l ngene zd desde el pun l iunfeeni ese nep de peni se epli en el píul siguiene). Según es, lds ls segmens y m indi l figu, se z l ngene desde el eem mún de y l iunfeeni de diáme -. Fig. 3.. lem Fig. Fig. ) ds ds puns y y un e que ls sep, enn en és el pun l que l difeeni - se máim. Se hll el siméi del pun espe l e, pun, y se une n. El pun es el pedid y l difeeni máim es.. lem Fig. Fig. ) ds ds puns y y un e l que ls ds puns esán en el mism semipln, enn en és el pun l que l sum + se mínim. Se hll el siméi del pun espe, y se une n el pun. El pun es el pedid y l sum mínim es +. Fig.. Fig.. 6 IUJ TÉI II - hille

7 6. nsuión de un udd equivlene un penágn egul Fig. 6) Se nsfm el penágn en el iángul equivlene -- medine ls plels - y - ls dignles - y -3 del penágn. espués, pi del iángul, se iene el udd equivlene: L = /; según es, s nsui l medi ppinl ene l se y l mid de l lu p ene el ld L del udd. / 3 L IUJ GEÉTRI 7. udu del íul Fig. Fig. 7) Fig. 6. Se pide nsui el udd equivlene un íul dd. unque ese plem n es e, y que ineviene en el áe el núme innmensule π, se puede ene gáfimene n sne pimión. El áe del íul es π y l del udd usd es L. Igulnd ls ds supefiies se iene π = L, l que es igul: L = π. e quí se dedue que el ld L del udd que usms es medi ppinl ene ls segmens π y. En l figu, se m el di y el segmen π, que es l eifiión de l semiiunfeeni sum de R y ), y se z l semiiunfeeni de diáme + π. El segmen L = es el ld del udd usd y n él se nsuye ése. R L Fig nsuión de un íul equivlene un elipse Fig. Fig. 8) Se iguln ls áes de ls ds figus y endems: π = π; de es se dedue =. s hll l medi ppinl ene ls semiejes y de l elipse p ene el di del íul equivlene. En l figu, = = y = ; se z l iunfeeni de diáme = - y l ngene ell desde es el di = de l iunfeeni equivlene l elipse. Fig. 8. IUJ TÉI II - hille 7

8 IUJ GEÉTRI 9. Teems del e y de l lu en un iángul eángul Fig. 9) En el pd 3, p nsui l medi ppinl ds segmens, hems heh pliión gáfi de ess ds eems. En un iángul eángul se nside l lu l pependiul desde el véie del ángul e l hipenus. m h L lu divide l hipenus en ds segmens m y n que sn ls pyeines gnles de d e se ell. Ls iánguls y sn semejnes y de es semejnz se dedue el eem: n Fig. 9. d e es medi ppinl ene l hipenus y su pyeión se ell. = m = m = n L segund epesión se dedue de nside l semejnz ene ls iánguls y. Ls iánguls y sn semejnes y su vez ls ds sn semejnes l. Se dedue: m h h = n h = m n L lu se l hipenus es medi pp- inl ene ls segmens en que l divide. Sumnd ls elines neies esul: = m = n + = m + n = m + n) = = + = epesión que enuni el eem de iágs: El udd de l hipenus es igul l sum de ls udds de ls es. Un iángul uys lds sen ppinles 3, y númes pigóis) es eángul, pues se veifi que = + 3. TIVIES. d un ángul de º 30 nsui igul que eng p véie un pun dd.. un pun dd eei un e, z que fme n ell un ángul igul dd. 3. óm se nsuye un ángul p medi del nspd?. ividi un ángul en un núme ulquie de pes igules nspd).. ividi un ángul e en es pes igules. 6. d un segmen = m, hll el pz del mism j ánguls de y Emplend l eí del pz nsui un iángul uys ds sn = 3 m, =, m y ^ = 30. Esudi l psiilidd de que según se my men el vl de, el plem eng ds sluines, un ningun. 8. nsui el iángul eángul del que se ne l lu h = 3 m y l pyeión m =, m de un e se l hipenus. 9. nsui el iángul eángul niend ls segmens m = 3 m y n = m en que su lu divide l hipenus. 8 IUJ TÉI II - hille