De cabeza. El mejor tobogán... o el ingenio matemático de Johann Bernoulli. Febrero 2007, pp

Transcripción

1 54 Febeo 2007, pp El mejo tobogán... o el ngeno matemátco de Johann Benoull De cabeza Foto Menchu Bas E n la seccón De cabeza del númeo anteo de SUMA habíamos dejado a Galleo sumdo en su sutl peo lamentable eo de que la cua po la que una bola caeía de un punto más alto a oto más bajo en el meno tempo posble seía un aco de ccunfeenca que unese ambos puntos. Johann, el pequeño de los Benoull, ya sabía que Galleo estaba equocado cuando lanzó en el eano de 1696, el eto públco, pensando más en pooca a su hemano mayo Jacob que en ota cosa, de enconta la auténtca cua baqustócona, la de tempo más bee posble. Hubo que espea más de un año paa que apaecesen las cnco solucones a uno de los etos más populaes de la hsto- Indudablemente este pemo no es de oo n de plata, poque éstos sólo ataen a almas unes y enales de las que no podemos espea nada laudable n útl paa la cenca. Johann Benoull Antono Péez Sanz decabezaz@fespm.og 95

2 Febeo 2007 a de las matemátcas. Y el de más altua a teno de los patcpantes: los dos Benoull, acompañados de L Hôptal y de los msmísmos pades del cálculo: Newton y Lebnz. Seguamente la solucón de Johann Benoull no sea la que más huella ha dejado en la hstoa, peo sn duda es con mucho la más ngenosa, futo de una bllante ntucón. La luz elge sempe el camno más coto ente dos puntos. Gacas a esta smple obseacón, ya fomulada po Euclídes, Heón de Alejandía, el msmo de la fómula del áea del tángulo, pudo explca la ley de la eflexón de la luz: el ángulo ncdente es gual al ángulo eflejado. Supongamos que queemos de un punto P a un punto Q po el camno más coto, peo tocando en algún punto M a la ecta. Cuál seá ese punto M? Paa encontalo basta con calcula el smétco de P especto de, P y un medante una ecta P con Q. El punto de cote de esta ecta con la ecta seá el punto M buscado. Y es edente que los ángulos z e y son guales al se ambos guales al ángulo x. En el caso de la eflexón la luz no camba de medo y su elocdad pemanece constante. No ocue lo msmo s el ayo lumnoso pasa de un medo a oto. Todo el mundo lo ha poddo compoba al sumeg una alla ecta en un ecpente tanspaente de agua. Paece como s la alla al enta en contacto con el agua se quebaa, cambando de deccón. Ahoa el ayo de luz paa de un punto A a un punto B no sgue el camno más coto. Peo oto geno matemátco nos da la clae, Femat, afma que en este caso la luz sgue espondendo a un pncpo de mínmos: el camno que sgue es aquel en el que nete el meno tempo posble. Hágase la luz Paa aclaa el poceso segudo nada mejo que un poco de luz. Y Johann comenza su camno haca la baqustócona en la Geca clásca, utlzando un ejo esultado sobe la natualeza de la luz: la luz no dobla las esqunas... o dcho de ota foma, se popaga sempe en línea ecta. La elocdad del ayo AC en el medo supeo es, e ncde con un ángulo y al llega a C pasa a un medo con densdad 96

3 Febeo 2007 tal que su elocdad se conete en sendo el ángulo de efaccón. La elocdad de la luz en cada medo es nesamente popoconal a la densdad, n, de dcho medo. De acuedo con el pncpo de Femat el tayecto del ayo seá la polgonal ACB, donde el punto C estaá ubcado de modo tal que el tempo de ecodo sea el más coto posble. A taés de múltples expementos el holandés Snell en 1621, había descubeto la elacón sen cte. sen Esta constante depende en exclusa de la elacón ente las densdades de los dos medos. En 1637, Descates en su Doptca la fomula, sn demostala, de una manea más claa: sen sen Peo es Femat el que popocona la demostacón defnta. El 1 de eneo de 1662 (una buena foma de empeza el año), en una cata a De la Chambe le escbe: Ya os dje en m pmea cata, que M. Descates no ha demostado jamás su pncpo, pues además de que las compaacones no sen apenas paa fundamenta las demostacones, emplea la suya a conta-sentdo y supone que la luz ataesa los cuepos espesos más ápdo que los cuepos lanos, lo que es apaentemente falso... La luz acabaá odando Pefecto. La luz sgue sus camnos y sus leyes, peo, qué tene que e todo esto con el poblema de la baqustócona? En apaenca nada, peo aquí suge el geno del pequeño de los Benoull. Imagna una esfea cayendo po la accón de la gaedad en un medo no homogéneo, es dec, la esfea pasa de un medo a oto con densdades dstntas. En este tpo de stuacones tambén se cumple que el tayecto más coto no es el más ápdo. Johann Benoull se magna el espaco dddo en lámnas de densdad dstnta. Dento de cada una la elocdad de caída de la esfea es constante, peo la densdad sufe un cambo busco de una lámna a la sguente y po tanto la elocdad tambén. En cada capa la tayectoa seá un segmento ectlíneo y la tayectoa global seía una polgonal como la de la fgua. Como el tempo del ecodo ha de se mínmo, se ha de cumpl el pncpo de Femat, es dec: sen sen Imagnemos, como Johann, que las lámnas se hacen cada ez más fnas y su númeo aumenta sn paa. La polgonal se á apoxmando a una cua: a la cua buscada! Paa sal de este eo e ntenta enconta la edadea azón de la efaccón, os ndcaba en m cata que empleando en esta nestgacón ese pncpo, tan común y tan compobado, de que la natualeza elge sempe las ías más cotas, podemos enconta nuesto esultado. Femat demuesta la fómula utlzando el método de máxmos y mínmos. S llamamos x a la longtud EC, podemos expesa el tempo de ecodo desde el punto A hasta el punto B como una funcón de la aable x tx ( ). Buscamos los aloes de x paa los que t (x)0, x t ( x) AE + x AE + x y es fácl obtene la elacón. sen sen + DB + ( ED x) ED x DB + ( ED x) En un punto cualquea de esta cua, la ecta tangente se puede dentfca con el segmento coespondente de la polgonal. Y po tanto, el ángulo u que foma la tangente con la etcal en cada punto y la elocdad en dcho punto efcaán: cte. Peo la elocdad de caída en cada punto es una funcón de la altua y: 97

4 Febeo gy Po tanto, obtenemos que: cte. 2g y peo g es la constante de la gaedad, es dec: y k Paa y 0, sen u 0 y la tangente es etcal. La cclode... la eja conocda. Huygens ya había descubeto en 1673 ota maallosa popedad de esta cua tan especal: s dejamos cae una esfea desde un punto de una cclode, el tempo en alcanza su punto más bajo no depende del punto ncal desde donde se suelta la esfea. O dcho de ota foma: la cclode es la cua tautócona: el tempo en alcanza el punto más bajo es el msmo paa cualque punto de la cclode. Amo de hemanos A la solucón de Johann Benoull publcada en mayo de 1697 en las Acta Eudtoum, le acompañaon las de Newton, que además en una cata dgda a Montague en eneo de 1697 popocona un método paa constu la cclode que pasa po dos puntos dados A y B, la de Lebnz, elaboada en el otoño de 1696, la de L Hôptal y sobe todo, la más elaboada y la que sn duda más aba debó poduc a Johann, la de su hemano Jacob mucho más geneal que la suya, publcada en un tabajo ttulado Resolucón del poblema de m hemano, a quen yo a m ez planteo oto. Jacob, como muesta de su gan amo fateno, además de denunca lo patcula del método de su hemano, le popone otos etos elaconados con la cclode, el pmeo: Peo, obseando la fgua es fácl expesa sen u, en funcón de dy y dx: Y susttuyendo aba, obtenemos: dx dx + dy dx y dx + dy k Dada una línea etcal, enconta ente todas las cclodes que comenzan en un msmo punto y tenen la msma base hozontal, aquella en la que una esfea llega antes a la línea etcal. Johann no tuo demasadas dfcultades en enconta la espuesta. Peo Jacob tenía un as en la manga, en foma de un segundo poblema, po el que se pemtó el lujo de ofece a su hemano una ecompensa de 50 ducados s lo esolía en un plazo de tes meses. Es un poblema sopemétco: Intendo el cocente y eleando al cuadado obtenemos la ecuacón: 2 dy 1 y 1+ C 2 dx k Y como muy ben pesumía Johann, al lanza su eto, no es dfícl dentfca esta cua con una muy popula en la época, ya nestgada po Galleo, Pascal y Huygens: la cclode. 98

5 Febeo 2007 De ente todas las fguas de gual peímeto sobe la base común BN, detemínese la cua BFN que aunque ella msma no contenga la máxma áea, en cambo haga que sí la tenga ota cua BZN cuya odenada PZ es popoconal a una potenca o aíz del segmento PF o del aco BF. Y como es njusto no compensa a una pesona po un tabajo que empenda en benefco de oto con menoscabo de su popo tempo y en detmento de sus popos asuntos, po esto deseo gaantza a un hombe po quen yo salgo fado, m hemano, s esolese el poblema apate del elogo al cual se hace aceedo una gatfcacón de cncuenta ducados con la condcón de que en el plazo de tes meses a pat de esta publcacón pometa ntentalo y pesente antes del fnal del año la solucón po cuadatuas, lo cual es posble. Johann pesumó de que no necestaía tes meses, que le bastaba con tes mnutos. Peo este poblema le tajo DE CABEZA... Los aataes y el desenlace de este nueo eto colocaía a cada uno de los dos hemanos en su luga, ncluso más allá de la muete... Peo esa es ota hstoa. REFERENCIAS BIBLIOGÁFICAS ÁLVAREZ PÉREZ, J.M. (2006), Cuas en la hstoa, Ed. Nola CHABERT J.L. (1993), Le poblème bachstochone, Hstoe de poblèmes, hstoe des mathématques. Ed. Comsón Inte.-IREM SÁNCHEZ C. Y VALDÉS C. (2001), Los Benoull. Geómetas y ajeos, Ed. Nola SÁNCHEZ C. Y VALDÉS C.(2003), De los Benoull a los Boubak, Ed. Nola