EJERCICIOS DE TEORIA DE CONTROL AUTOMATICO DISEÑO DE CONTROLADORES EN DOMINIO FRECUENCIAL

Transcripción

1 P. Sea la iguiente reueta reuenial arximaa e un itema e ae mínima rítiamente amrtigua. Se ie: a) Determinar la unión e tranerenia el itema a artir e a reueta reuenial arximaa. b) Calular l márgene e ae y e ganania i e reteniera realimentar al itema meiante un ntrlar rrinal n ganania unitaria. ) A artir e la unión e tranerenia btenia en el aarta, ieñar un PD que umla n la iguiente eeiiaine en bule erra: - Errr en régimen ermanente ante ealón arximaamente igual al %. - Freuenia e rte arximaamente igual a ra/ Utilizan el ieñ realiza, alular el margen e ae reultante. ) A artir e la unión e tranerenia btenia en el aarta (a), ieñar un PD que umla n la iguiente eeiiaine en bule erra: - Errr en régimen ermanente ante ealón arximaamente igual al %. - argen e ae arximaamente igual a 5º. Utilizan el ieñ realiza, etimar el tiem e ubia reultante. e) Iniar e manera arximaa la araterítia riniale e la reueta temrale en bule erra ante ealón e l aarta anterire. ) Partien e ualquiera e l PD anterire, ieñar un PID e manera que e mantengan arximaamente iguale la araterítia el tranitri, y umlien la relaión T i 0T. Cuál erá el errr en régimen ermanente ante rama bteni?.. Ortega 005

2 g) Iniar, en a e er ible, óm miiar l arámetr el PID anterir ara reuir el errr en régimen ermanente a la mita, mantenien la rieae tranitria (tiem e ubia, breilaión, ) e la reueta temral. h) Iem ara uliar el errr en régimen ermanente ante rama. i) Cm e abi, iemre exiten ierenia entre el itema real y el ientiia. Suóngae que exiten variaine el 0% tant en la ganania m en la ntante e tiem e l l, aí m la aariión e una inámia e alta reuenia r aa l el itema ientiia n reuenia iez vee uerir al mim. Cn et at, etuiar en imulaión la valiez e l ieñ realiza anterirmente y jutiiar l reulta bteni. Sluión: a) Determinar la unión e tranerenia el itema El itema tiene un exe e l igual a, ya que tiene una eniente e -40 B/e en alta reuenia. Al er rítiamente amrtigua (tiene l reale e iguale, el itema e uee arximar r: ( τ ) : anania en régimen ermanente 0 B 0 Cambi e eniente aintótia e 0 B/e a -40 B/e en ω 0. ra/. 0. τ 0 egun τ Funión e tranerenia: 0 ( (0 ) b) Determinar y g n C( ( C( n C( 0 ( (0 ) R( - C( Y( argen e ganania ( g ): g ne ω t. q. ( j ) ( j ) ω80 ω 80 Puet que la ae e n alanza nuna l -80º (ól e rma aintótia): g argen e ae ( ): 80 ( jω ) ne ω t. q. ( jω ) 0 B Analítiamente e ebería hallar en rimer lugar el valr e ω (el ren e 0.3 ra/ y a artir e ete valr hallar la ae e jω ) (el ren e -43º). Cn et at, 80º -43º 37º. (.. Ortega 005

3 3 Sin emrg, i e utiliza la gráia, el margen e ae e uee etimar muh má rái en un 40º. Se uee areiar que la reiión e la meia e uiientemente buena (37º 40º ) m ara arla r vália. 3. Dieñ e PD ara neguir e r e % y ω ra/ y etimar. Frmulaión el PD: C( ( T ) ( C( ( T 0 ) (0 ) er e 0.0 (% ) B lim ( 0 0 Una vez halla, e vuelve a ibujar la ganania (la ae igue ien a mima) ante e alular la iión el er el PD (en ). T.. Ortega 005

4 4 Tenien en uenta que el PD inrementará la eniente e jω) en 0 B/e a artir e la iión el er, y que la eniente e jω) e e -40 B/e en trn a la reuenia e rte (reta ), a artir el er la eniente e erá e -40 Db/e 0 B/e -0 B/e (reta ). Aí, ara hallar la iión el er tará n ibujar una reta n eniente -0 B/e y que ae r ra/ (ω eeaa) y alular la intereión n jω), l que e l mim, hallar la intereión entre la reta y la reta. Eta intereión e uee hallar gráiamente, btenien que el er etará a una reuenia e 0.5 ra / T egun T. Otra ibilia e alular la intereión entre la reta (emilgarítmia a artir e u euaine. Reta : y 0 B / e ( lg ω lg ) Punt erteneiente a la reta ω 0 B Reta : y 0 40 B / e lg 0 ω lg0 3 0 Punt erteneiente a la reta ω 0 B Intereión e reta: y y ( lg lg ) 40 B / ( ω ) 0 B / e 0 0 e lg lg 0 lg 0 lg 0 lg ω ω ( ) ( 0.5).. Ortega 005

5 5 * ω 0.5 ra / T egun T Para alular el margen e ae, e ría ibujar n ierta reiión la ae que arta el PD, umarla reuenia a reuenia a la e jω), y n ell btener la ae e, et e, ( T jω ) jω) Una vez ibujaa la ae e, meir gráiamente el margen e ae reultante (ver unt guía en el ibuj ). Nta: Para ibujar e rma arximaa la ae artaa r un er, al men hay 3 unt que irven e guía: en /0 e arta 5º, en e arta 45º y en 0 e arta 85º. Otra ibilia ara alular el margen e ae e alular analítiamente la ae que arta el PD en ω, umarla a la e jω ), n l que e btiene a ae e en ω, y umar 80º. ( Fae que arta el PD en ω : T ω T jω artg ω ω ra / T eg ω ω ra / T eg Fae e jω) en ω : jω ) 80 ( el grái) argen e ae: ω ω ra / 80 ( jω ) 80 ( T jω ) T jω ) (T el margen e ae l arta el PD). 4. Dieñ e PD ara neguir e r e % y 5º y etimar ω. Al igual que en aarta anterir, er e 0.0 (% ) B L rimer a ibujar erá el be e, al igual que en el aarta anterir. Partien e la e e que n e eea miiar exeivamente la ω atual (e ra/, la ae que eberá artar el PD erá el margen e ae eea men el margen e ae atual. Sin emrg, tenien en uenta que al intruir el er el PD, la reuenia e rte, ω, e elazará ligeramente a la ereha, et rvará una éria e ae aiinal reet a l revit, r l que e menará n un margen e eguria, el ren, r ejeml, e 5º. Fae a artar r el PD: eea atual 5 eea 5 ( at) 0 ( e la gráia) atual Fae a artar Ortega 005

6 6 atual Para artar 47º en ω ra / T jω, el er el PD e ha e lar tal que: Tω 47 artg 47 T. 07 / ω ω ra ω ra ω / ω ra / Cer el PD en T.07 ω ω ra /.07 egun jω) inrementa u eniente en 0 B/e (aintótiamente) a artir e la reuenia ra/. T Tra ibujar el be e (ruet) e btiene una nueva ω muy erana a la iniial ( ra/ y un margen e ae inal e 47º arximaamente, r l que en un reieñ habría que aumentar el margen e eguria e 5º. 5. Caraterítia riniale e la reueta temrale en b.. e l aarta anterire (at arxima. Se etaan tre araterítia: Tranitri: π t ω SO (%) e δπ δ 00 00δ ( en gra ) Se rne imular et itema y mrr r imulaión l reulta reih. Para ell e ha e tener en uenta que el ntrlar PD e imri (tiene má er que l. Pr tant, a eet e imulaine, e rne añair un l e muy alta reuenia, a in e evitar rblema e imulaión. ( ) ( ) T C T n N >> T N Permanente: Errre en r.. (unem entraa en ealón unitari y n PD ( e ti 0 ) - Aarta : e % ω 0.3ra / t r e 37 - Aarta 3: e 5.3 egun δ 0.37 SO (%) 8.6 % % ω ra / t r e egun δ SO (%).55%.. Ortega 005

7 7 (En imulaión uee mrre que el at e la breilaión e tante iniert. Et e ebe a que la órmula 00δ eja e er vália ara < 60, l que e l mim, ara δ < 0. 6 ). - Aarta 4: e ω ra / t r e 47 %.57 egun δ 0.47 SO (%) 8.77 % 6. Dieñ e PID a artir el PD ieña (mantenien la rieae el tranitri). Partim, r ejeml, el PD ieña en el aarta, en el que 9.9 y T egun. Se trata e añair un PI a ete PD (btenien aí un PID) que mejre la niine el ermanente (al men nigue errr en régimen ermanente nul rente a ealón). El nuev ntrlar PID tenrá la rma: C( T Ti Eligien Ti 0 T 0 0 egun, el PID ruet tenrá la exreión: C( Se rne ibujar el be el nuev itema en bule abiert: ( C( ( 0 ) y mararl n el anterir ( (n el PD) ara marar u araterítia el tranitri (reuenia e rte y márgene e ae). El valr el errr en régimen ermanente ante rama bteni e el iguiente: e r rama lim lim lim 0 0 T 0 i v ( lim C( 0 0 ( 0 ) 4.95 lim 0 T Ti (0%) Se rne aimim realizar imulaine ara mrr l reulta bteni. Para ell, téngae en uenta que al igual que el PD, el PID e un ntrlar imri. Pr ell, a eet e evitar rblema e imulaión, e rne realizar la iguiente arximaión:.. Ortega 005

8 8 ( ) T C T n N >> T T T i i N 7.- iiaión e arámetr el PID ara reuir a la mita el errr en régimen ermanente ante rama, mantenien araterítia el tranitri. A ierenia e tr ejeml, en ete a e ie etuiar la miiaión l arámetr el PID. Pr l tant, e une que n e ermite añair una nueva re e retar. Ete ejerii e eja PROPUESTO. Iea: Cm e ha vit en el aarta anterir, el errr en régimen ermanente ante rama va a eener el valr el tiem integral (T i ). A menr tiem integral, mayr reuenia tenrá el er el PI, r l que la ganania en ja reuenia el itema en bule abiert erá mayr. Et imlia que a menr valr e T i, menr erá el errr en régimen ermanente. Sin emrg, i e iminuye en exe el valr e T i, el er e elaza emaia a la ereha, r l que la éria e ae el PI ría aetar al margen e ae, uien inetabilizar al itema. 8.- iiaión e arámetr el PID ara aumentar al ble el errr en régimen ermanente ante rama, mantenien araterítia el tranitri. A ierenia el aarta anterir, en ete a n unría ningún rblema aumentar el tiem integral al ble, alv que la reueta temral iere retaine. También e eja PROPUESTO. 9.- Valiaión el ieñ e l ntrlare n un ible itema real n inertiumbre amiible. 0 Simular l ntrlare n ól n, in también n el iguiente ible ( τ ) (0 ) itema real: real real 9 ( ( τ )( τ )( τ )( τ ) (9 )( )( 0.9 )(. ) a a ne e ha tman, r ejeml: real 0.9 9; τ 0.9τ 9 eg; τ.τ eg; τ a τ 0.9 eg; τ. ; 0 a τ eg 0.. Ortega 005