Diseño o de Controladores PID. Control 2 Prof. Mariela CERRADA

Transcripción

1 Dieño o e Controlaore PID Control 2 Prof. Mariela CERRADA

2 Definiión n el Problema e Comenaión El lugar e la raíe omo métoo m que ermite viualizar informaión n obre la reueta tranitoria y etabilia. Control Proorional: Permite eoger una ganania aeuaa que ermite alanzar una eeifiaión n e reueta tranitoria, limitaa a aquella que etá obre el lugar e la raíe (Dieño rígio) u(t) e(t) Ley e ontrol Proorional R() E() U() Y() Planta Figura. Diagrama e bloque e un itema on realimentaión unitaria

3 Definiión n el Problema e Comenaión Flexibilia el ieño: Poibilia e ieñar reueta que no etán n obre el lugar e la raíe. B Im A Re

4 Definiión n el Problema e Comenaión Soluión: Comenar el itema, añaieno a aieno olo y/o ero aiionale. El lugar e la raíe el itema omenao ontiene al onjunto e olo ominante ara algún n valor e ganania el itema. Caraterítia el métoo m e omenaión: n: Permite mejorar la reueta tranitoria y la etaionaria e manera ineeniente. Lo omenaore ueen er aiionao en la aena ireta ante e la lanta o en la aena e realimentaión. n. No reentan arga aiional o roblema e ieño. Pueen er imlementao on ree ativa (amlifiaore oeraionale) o aiva (ree RLC). Lo omenaore uee er ieale (Tio PID) o no ieale (Tio Aelanto-Atrao). Atrao).

5 Controlaor el tio PID Lo ontrolaore el tio PID on omenaore que ermiten inororar aione Proorionale-Integrale Integrale-Derivativa obre la eñal e error el itema. R() E() U() Y() PID Planta E() S U() Figura 3. Comenaión en erie i / S Figura 4. Control PID u( t) e( t) e( t) + + i e( t) t t U ( ) E( ) + E( ) + i E( ) S

6 Controlaor el tio PD: Mejorano la reueta tranitoria Lo ontrolaore el tio PD olo inororan la aione Proorionale Derivativa, que ermiten inororar mejora obre e la reueta tranitoria. R() E() U() Y() PD Planta E() S + + U() Figura 5. Comenaión PD u( t) e( t) + e( t) t Funión e Tranferenia e Controlaor U ( ) E( ) E( ) + ( ) + ( + Figura 6. Control PD )

7 Interretaión n el Controlaor PD: ominio temoral El efeto el ontrolaor PD e inororar un ero en en la aena ireta y una nueva ganania que ermite ajutar la ganania total el itema omenao. El ontrolaor NO altera el TIPO el itema. Interretaión n el ontrol PD: Figura 7. Reueta e alia y(t) e un itema e eguno oren realimentao unitariamente

8 Interretaión n el Controlaor PD: ominio temoral alia.5 error.5.5 er error Figura 8. Señal e error (- -). Derivaa el error (-) Figura 9. Salia, error, erivaa el error

9 Interretaión n el Controlaor PD: ominio temoral El ontrol Proorional tiene a rouir grane obreao y oilaione ebio a la magnitu el error, que genera aione e ontrol oitiva muy elevaa y ueiva aione e ontrol negativa n oo aeuaa en relaión n al obreao que e etá generano La inororaión n e la aión n erivativa omena el efeto el ontrol roorional iminuyeno la magnitu e la aión n e ontrol oitiva y aumentano negativamente la aione e ontrol negativa uano o e neeario a fin e reuir lo obreao. Efeto Reuir lo obreao negativo y oitivo

10 Interretaión n el Controlaor PD: ominio freuenial El ontrol PD e omorta omo un filtro ao alto, agregano fae oitiva (aelanto e fae) al itema no omenao. Eta araterítia ermite: Mejorar al margen e fae e un itema e ontrol y en oneuenia mejorar la etabilia relativa el itema La urva e magnitu el ontrolaor emuja la freuenia e rue e ganania haia un valor ma alto. Inremento el anho e bana: reue lo tiemo e reueta ero aentúa a lo ruio a alta freuenia. Phae (eg); Magnitue (B) To: Y() Boe Diagram From: U() Frequeny (ra/e) Figura. Diagrama e Boe el ontrol PD

11 Interretaión n el Controlaor PD: lugar e la raíe La aiión n el ero en lazo abierto roue un elazamiento el lugar e la raíe el itema no omenao haia la izquiera. Ete nuevo ero atrae una e la rama y mejorano la etabilia relativa el itema (iminuye el número n e rama haia el infinito) Imag Axi Imag Axi Real Axi Figura. LR e un itema e 2o. oren Real Axi Figura 2. Efeto el ontrol PD obre el lugar e la raíe e la fig.

12 Interretaión n el Controlaor PD: lugar e la raíe Imag Axi Imag Axi Real Axi Figura 3. LR e un itema e 3er. oren Real Axi Figura 4. Efeto el un ontrol PD obre el lugar e la raíe e la fig.3

13 Interretaión n el Controlaor PD: lugar e la raíe Imag Axi Imag Axi Real Axi Real Axi Figura 5. LR e un itema e 3er. oren. Figura 6. Efeto el un ontrol PD obre el lugar e la raíe e la fig.5

14 Interretaión n el Controlaor PD: lugar e la raíe Imag Axi Imag Axi Real Axi Real Axi Figura 7. LR e un itema e 3er. oren. Figura 8. Efeto el un ontrol PD obre el lugar e la raíe e la fig.7

15 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M el lugar e la raíe (Algoritmo I) Priniio e ieño Evaluar la ontribuión n angular el itema no omenao en el unto e ieño o (olo en lazo errao aoiao a una reueta tranitoria eeífia). La iferenia on +/-8 8 ebe er la ontribuión n angular el ero el ontrolaor. La ganania el ontrolaor e ajuta oteriormente, a artir e la oniión n e magnitu. Diha ganania uee no atifaer una oniión n e error e etao etable. m Algoritmo e ieño o I + zi Sea () ) la funión n e tranferenia e la lanta: i ( ) n () σ + jω y un olo aoiao a un onjunto e eeifiaione temorale. Denote omo Z al ero el ontrolaor, e eir: z q j + j

16 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M el lugar e la raíe (Algoritmo I). Calule el aorte e fae e () ) a So m θ θ + θ qθ i ( z i ) n ( + ) j j ( ) (2) ( 2. Determine la fae a aortar or el ontrolaor + θ 8 θ 3. Calule la loalizaión n e Z, reolvieno + ) σ+ jω z ) ( σ + z + jω (3) tg ω θ σ + z θ θ z ω σ + z σ + jω tgθ (4)

17 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M el lugar e la raíe (Algoritmo I) 4. Ajute la ganania e lazo el itema ( ) Uano la oniión n e magnitu, enuentre : m i ( + z ) n q j ( + z ) i ( + j ) q j m + z Finalmente etermine,, a artir el onoimiento e n + i j + z i (5) z

18 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M el lugar e la raíe (Algoritmo II) Priniio e ieño Reoremo que la ganania el itema omenao viene aa or Lim ( ) Aí,, la ontante finita e error e oiión, e veloia y e aeleraión n eenen el valor e la ganania el Controlaor PD. Algoritmo e ieño o II Sea () ) la funión n e tranferenia e la lanta ya efinia en () y σ + jω un olo aoiao a un onjunto e eeifiaione temorale y m ( + z ) m i i i i Lim ( + ) n n q q ( + j ) j j z j (6) e < e una oniión n ara el valor el error en etao etable.

19 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M el lugar e la raíe (Algoritmo II). Elija un valor e que umla on la oniione e error en etao etable. 2. Enuentre el lugar e la raíe el itema omenao ante la variaión n el arámetro el itema omenao. Verifique que exite un valor e iho arámetro que aroxime a la eeifiaione e omortamiento temoral y, a artir e iho valor, enuentre el arámetro el ontrolaor. Como enontrar iho lugar e la raíe? Reuere: + ( ) + ( + ) m ( + z ) i i n q ( + j ) j (8) Tomano la variaión e + q n j ( + m ( + z ) i i m j ) + i ( + z ) i (9)

20 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M Analítio Baao en el lugar e la raíe El métoo m analítio arte e la iguiente uoiione: Sea σ + jω un olo, en general omlejo, aoiao a una reueta temoral eeaa. Entone, o σ + jω 2 σ o e jβ 2 + ω ; β tg ω ( ) σ (a) Por otro lao: ( jψ ) ( ) e ; ψ arg ( ) ± 8 (b) y también: θ ( ) ( ) α jλ e ; λ 8 y α Sea la fae aortaa or el ontrolaor PD, entone: () (ya que So etá Sobre el LR el itema omenao) ( ) ( ) e jθ ()

21 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M Analítio Baao en el lugar e la raíe A artir e la euaión (), e uee verifiar que: ( Entone: ) (e) ( ) ψ + θ λ 8 (f) ( ) + + (o β + j in β ) (oθ + ( ) j inθ ) (g) Igualano la arte imaginaria e (g) Sabieno e (f) que θ λ ψ 8 ψ inθ ( ) in β y uano la ientia trigonométria in a ob o ain b in( a b) obtenemo que in θ inψ

22 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M Analítio Baao en el lugar e la raíe Se tiene finalmente que inψ ( ) in β (h) Igualano la arte reale e (g) + o β oθ ( ) (i) Dearrollano (i), y uano (h) e tiene: in β oθ inψ o β ( ) in β (j) Uano la iguala (f) y la iguiente igualae trigonométria: o a ob + in ain b o( a b) obtenemo que oθ oψ in a ob + o a in b in( a + b) obtenemo que (j) e reeribe omo: in( ψ + β ) ( ) in β (j) Uano (h) y (j) e ieña el ontrolaor PD

23 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M freuenial (Algoritmo I) Loalizar la freuenia e orte el ontrolaor ara lograr Priniio e ieño una mejora en el margen e fae en la nueva freuenia e rue e ganania el itema omenao. Algoritmo e ieño o I Sea () ) la funión n e tranferenia e la lanta: ( ) m i n q j ( + z ) i ( + Para roóito e ieño o en el ominio freuenial,, rereentemo a la funión n el tranferenia el ontrolaor e la iguiente manera: j ) () ω + ( + ) ( ) + ω ()

24 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M freuenial (Algoritmo I) Tomano en uenta la reueta freuenial: La fae e ( jω) viene aa or: Sea θ m θ m tg θ tg ω ( ) ω la fae aortaa or el ontrolaor en ωm ( ) ω (3a) 2 log 45 θm ωm ω. ω ω ω ( jω ) ( + j) ω (3) ω ω m. De eta manera: 9 (2) Figura 9. Diagrama e Boe el ontrolaor PD

25 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M freuenial (Algoritmo I) El ieño o en el ominio freuenial e orienta ara atifaer otra eeifiaión n el ominio temoral, tomano en uenta la iguiente euaione que relaionan eeifiaione e reueta freuenia on eeifiaione e reueta tranitoria: Φ 2ξ M tg Si ξ < (3b) 2ξ + + 4ξ Φ M.ξ tgφ M 8 ω T g (3) ΦM ω g e el margen e fae e la freuenia e rue e ganania

26 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M freuenial (Algoritmo I). Fije el valor e ara alanzar la freuenia e rue e ganania eeaa ω g 2. Dibuje el iagrama e Boe el itema omenao on, e eir, tome la iguiente lanta: ( ) 3. Enuentre el margen e fae el itema y etermine la ontribuión n angular θ m el ontrolaor, ara alanzar el margen e fae eeao θ. Reuere agregar un oo má m e fae eeaa en virtu el elazamiento e la freuenia e rue e ganania ω g el itema no omenao or efeto e la inororaión n el ero e ontrolaor. Aí, θ m θ Φ MF + e θ m i n q (5) j ( + z ) ( + ) i j (4) e θ Φ MF Done rereenta el aumento e fae onierao

27 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M freuenial (Algoritmo I) 4. Elija ω a la izquiera e la freuenia e rue e ganania i θ > 45 ó a la ereha i θ < 45. Puee obtenere un etimao oluionao la euaión n (3a) ara ω m ω g. 5. Dibuje el nuevo Diagrama e Boe omenao y ajute el ontrolaor i e neeario.

28 Dieño o el Controlaor PD: Métoo freuenial (Algoritmo I)

29 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M freuenial (Algoritmo II) Priniio e ieño Seleionar la freuenia e orte el ontrolaor ara lograr el margen e fae eeao en iha freuenia, atifaieno requerimiento e error en etao etable. Algoritmo e ieño o II. Dao un margen e fae eeao θ y un tiemo e reueta eeao T, enuentre la freuenia e rue e ganania ω g eeaa uano la euaión n (6). 2. Elija un valor e que atifaga requerimiento e error en etao etable 3. Dibuje el iagrama e Boe el itema ao en la euaión n (4). 4. Ubique la freuenia ω g y omare reeto a la freuenia e rue e ganania atual. Si e oible alanzar ω g, entone eoga la freuenia e orte el ontrolaor ara lograr el margen e fae eeao, egún n el algoritmo anterior.

30 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M freuenial (Algoritmo II)

31 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M Analítio Baao en la Reueta Freuenial El iguiente métoo m analítio etá baao en aumir que el itema omenao alanzará el margen e fae eeao θ en una freuenia e rue e ganania eeaa. Eto e: ω g ( jω ) g (7) arg ( jω ) 8 + θ g (8) θ Entone, i e la fae que ebe aortar el ontrolaor ara umlir on (8), e tiene que: ( jω g ) + jω g ( jω g ) (oθ + j inθ) Uano (7) + jω g (oθ + j inθ ) (2) ( jω ) g (9)

32 Dieño o el Controlaor PD: Métoo M Analítio Baao en la Reueta Freuenial Algoritmo e ieño Siguieno el riniio e ieño o el algoritmo II baao uano reueta freuenial,, ea ω g la freuenia e rue e ganania eeaa ara el itema omenao y θ la fae que ebe aortar ar el ontrolaor PD ara alanzar el margen e fae eeao θ Entone, igualano la arte reale e imaginaria e ambo lao e la euaión n (2), e tiene: oθ ( ) jω g enθ (2) ω g ( ) (22) jω g Oberve que e (8), e tiene que: θ arg ( jω ) 8 + θ arg ( jω ) (23) g g Y eto no e má que lo exreao en la euaión (5) ero on relaión a la freuenia e rue e ganania eeao ω g omo e lantea en el algoritmo I Uano el métoo freuenial!!!.