ANALISIS DE LA ARQUITECTURA SALLEN-KEY

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1 ANALISIS DE LA AQUITECTUA SALLEN-KEY ESUMEN En este artíulo se presenta la arquitetura Sallen-Key. Se hae un análisis general el esquema Sallen-Key y se eriva la unión e transerenia, seguio por una isusión aera e la onstruión e iltros pasaajos, inluyeno inormaión e iseño y oniiones e operaión. Las simulaiones son realizaas utilizano el moelo Spie el THS00 e Texas Instruments. ABSTACT This artile isusses the Sallen-Key arhiteture. The report gives a general overview an erivation o the transer untion, ollowe y etaile isussions o low-pass ilters, inluing esign inormation, an ieal an non-ieal operation. The simulations are mae with the Spie moel o the THS00 o Texas Instruments. Luis Enrique Avenaño, Ms Proesor Titular Universia Tenológia e Pereira leavena@utp.eu.o Eison Duque C. Ing. Eletrónio Proesor Auxiliar Universia Tenológia e Pereira euque@utp.eu.o Gloria M. Valenia T. Ing. Eletriista. Introuión Un iltro onvenional presenta un valor e Q relativamente ajo, se pretene emostrar que la arquitetura Sallen-Key permite mejorar iho parámetro. En la igura se muestra una re C e os etapas que onorman un iltro pasaajo e seguno oren. Este iltro es limitao porque su Q es siempre menor que ½. Con y CC, el Q/. El Q se aproxima a su máximo valor e ½ uano la impeania e la seguna etapa C es muho más grane que la primera. En la prátia, muhos iltros requieren un Q más elevao que el valor e ½. positiva. En el año 955,. P. Sallen y E. L. Key esriieron estos iruitos e iltro, por ello iha topología es generalmente onoia omo iltro Sallen- Key. C Figura. Filtro pasaajo Sallen-Key e ganania unitaria. C C s ( C C) s( C C C ) Figura. Filtro pasaajo e seguno oren. Se pueen otener valores altos e Q si se utiliza un ampliiaor on realimentaión positiva. Esto es posile si se ontrola iha realimentaión (loalizaa en la reuenia e orte el iltro), esto es restringio prinipalmente por las limitaiones ísias e la uente e alimentaión y las toleranias e los omponentes. La igura muestra un ampliiaor e ganania unitaria utilizao e esta manera. El onensaor C, que no está onetao a tierra, proue un amino e realimentaión C La operaión puee ser esrita ualitativamente: - En ajas reuenias, one C y C apareen omo iruitos aiertos, la señal es simplemente llevaa a la salia. - En altas reuenias, one C y C apareen omo iruitos erraos, la señal es llevaa a tierra en la entraa el ampliiaor, el ampliiaor pasa la señal e entraa a la salia, y la señal entones no aparee en (elimina la señal). - Cera e la reuenia e orte, one la impeania e C y C está en el mismo oren e y, la realimentaión positiva a través e C provee un reale e la señal (Q vees).. Análisis generalizao el iruito El iruito mostrao en la igura es una orma genéria el iruito Sallen-Key, one se utilizan términos e impeania generalizaa,, para los omponentes en orma el iltro pasivo; y ajustan la ganania inepeniente e la reuenia.

2 SCIENTIA ET TECHNICA No. 6 AGOSTO 00/ Figura. Ciruito generalizao Sallen-Key. Para usar la soluión el iruito para este esquema generalizao, se hallan las relaiones matemátias entre,, y Vn y se onstruye un iagrama e loques. Apliano la Ley e Corrientes e Kirhho en V: V () Apliano la Ley e Corrientes e Kirhho en : V V () Sustituyeno la euaión en la euaión y resolvieno para : () Apliano la Ley e Corrientes e Kirhho en Vn: Vn Vn (). Diagrama e loque e ganania El iruito generalizao el iltro Sallen-Key es representao en orma e loque e ganania en la igura. En iha representaión: a() ganania e lazo aierto Ve - Vn Figura. Diagrama e loque e ganania el iltro generalizao e Sallen-Key. A partir e la igura se puee resolver áilmente la unión e transerenia oservano lo siguiente: a()ve Ve esolvieno para la unión e transerenia generalizaa ese la igura se otiene: a ) ( (5). Funión e transerenia ieal Asumieno que la ganania e lazo aierto a() es muy grane en el rango e las reuenias e operaión, entones: 0 ) ( a Por tanto, la unión e transerenia ieal quea: (6) V Vn - a(). Ve

3 SCIENTIA ET TECHNICA No. 6 AGOSTO 00/ Haieno los siguientes reemplazos: K, N y D N, D one N, N y D son los numeraores y enominaores mostraos anteriormente, la euaión ieal puee ser reesrita así: K D KN N N Poniénolo en los términos e impeania generalizaa se otiene la unión ieal e transerenia on términos e impeania así: ( lp) s Haieno: s jπ, K ( CC ) s( C C C ( K )) (9) y π CC CC Q C C C ( K) la euaión 9 sigue la misma orma e la euaión 8. Con algunas simpliiaiones, estas euaiones pueen ser trataas eiientemente. A ontinuaión se isuten algunos métoos e simpliiaión omúnmente usaos. K (7) ( K ) C. Ciruito Pasaajas La euaión estánar en el ominio e la reuenia para un iltro pasaajos e seguno oren es: C H LP K j Q Done es la reuenia e orte y Q es el ator e alia. Cuano << la euaión 8 se reue a K, y el iruito eja pasar las señales multipliánolas por un ator e ganania K. Cuano, la euaión 8 se reue a jkq, y las señales son inrementaas por el ator Q. Cuano >>, la euaión 8 se reue a - K(/), y las señales son atenuaas por el uarao e la relaión e reuenias. Con la atenuaión en altas reuenias en términos e una potenia e, la órmula esrie un iltro pasaajo e seguno oren. (8) En la igura 5 se muestra el iruito Sallen-Key onigurao omo pasaajos, one:,, /sc, /sc y K / De la euaión 7, la unión e transerenia ieal el pasaajos Sallen-Key es: Figura 5. Ciruito pasaajos Sallen-Key.. Simpliiaión : Haer que los omponentes el iltro sean proporionales Haieno m,, CC y CnC, el resultao es que: y πc Q m ( K ) Esto simpliia algo las osas, pero esto signiia una interaión entre y Q. El iseño poría empezar ajustano la ganania y el Q, asaos en m, n y K, luego se seleiona C y se alula para otener la eseaa. Note que si m K se otiene Q. Con granes valores, Q se vuelve negativo, esto es, los polos se mueven al lao ereho el plano s y el iruito osila. Muhos iltros requieren valores ajos e Q por lo que este métoo raramente será elegio.

4 SCIENTIA ET TECHNICA No. 6 AGOSTO 00/. Simpliiaión : Haer que los omponentes el iltro sean proporionales y ajustar la ganania a uno Haieno m,, CC, CnC y K, el resultao es que: y πc Q m Esto mantiene la ganania igual a en la ana pasante, pero otra vez aquí existe una interaión entre y Q. El iseño puee empezar seleionano los términos e proporionalia m y n para ajustar el Q, y entones se seleiona C y se alula para la eseaa.. Simpliiaión : Haer que las resistenias sean proporionales y los onensaores iguales Haieno m,, CCC, el resultao es que: y πc m m Q m mk La razón para oloar los onensaores iguales es la limitaa seleión e valores que existen en omparaión on las resistenias. Aquí existe interaión entre el ajuste e y Q. El iseño poría empezar seleionano m y K para otener la ganania y el Q el iruito, entones se puee seleionar C y espués alular para la eseaa.. Simpliiaión : Haer que los omponentes el iltro sean iguales Haieno y CCC, el resultao es que: aso analizao on resistenias el % resulta en Q.0. Valores e resistenias one K entregan un Q ininito, on granes valores e K Q se vuelve negativo, los polos se mueven al lao ereho el plano s y el iruito osila. Los iltros iseñaos on mayor reuenia requieren ajos valores e Q, razón por la ual iha oniión anterior sería raramente vista..5 Operaión no ieal el iruito La isusión anterior y los álulos realizaos asumen un iruito ieal, pero hay una reuenia one esto no es por muho una suposiión vália. La lógia ie que el ampliiaor ee ser un omponente ativo en las reuenias e interés o si no hay un prolema. Como se menionó anteriormente se tienen tres moos ásios e operaión: aajo el orte, por enima el orte y en el área el orte. Asumieno que el ampliiaor tiene una respuesta en reuenia aeuaa más allá el orte, el iltro traaja omo se espera. En reuenias muy arria el orte, el moelo e alta reuenia (HS), mostrao en la igura 6, es utilizao para mostrar la operaión esperaa el iruito. La suposiión heha aquí es que C y C son ortos eetivos uano se ompara su impeania on y, e tal orma que la entraa el ampliiaor sea una tierra para señales a. En respuesta, el ampliiaor genera una tierra a y su salia está limitaa úniamente por su impeania e salia, o. En la órmula se muestra la unión e transerenia e este moelo. Asumieno o << o entones, o y πc Q K o Ahora y Q son inepenientes uno e otro, y el iseño es enormemente simpliiao aunque limitao. La ganania el iruito ahora etermina el Q. C ija la reuenia e orte (se esoge C y se alula ). Un pequeño paso atrás es que la ganania ontrola el Q el iruito, por ello es posile que si se requiere ierto nivel e señal en la ana pasante se haga neesario algún iruito e ampliiaión o atenuaión aiional. Valores e K muy eranos a resultan en altos valores e Q que son sensitivos a variaiones en los valores e y. Por ejemplo, on K.9 se otiene un Q0, el peor aso analizao on resistenias e % resulta en Q6. De otro lao, on K se otiene Q, el peor Figura 6. Eeto no ieal e la impeania e salia el ampliiaor y unión e transerenia. o es la impeania e salia e lazo errao. Esto epene el lazo e transmisión y e la impeania e zo salia e lazo aierto zo: o a( ), one a() es el lazo e transmisión. El ator e realimentaión,, es onstante (ajustao por y ), pero la ganania e lazo aierto, a(), es epeniente e la reuenia. Con ompensaión e polo ominante, la ganania e lazo aierto el ampliiaor esiene en

5 SCIENTIA ET TECHNICA No. 6 AGOSTO 00/ 5 0B/e sore las posiles reuenias e operaión. Asumieno que zo es prinipalmente resistivo (esta onsieraión generalmente es vália hasta 00 MHz), o se inrementa a una rata e 0B/e. La unión e transerenia aparee omo un pasaaltos e primer oren. En reuenias arria e 00MHz la inutania parásita en la salia empieza a jugar un papel y la unión e transerenia hae una transiión a un pasaaltos e seguno oren..6 Simulaiones Un iltro pasaajos Sallen-Key utilizano el THS00 e Texas Instruments muestra los eetos esritos anteriormente. El THS00 es un ampliiaor e alta veloia on realimentaión e orriente y on un anho e ana e 0 MHz. No se ha iseñao ningún tipo partiular e iltro (ejemplo: Butterworth, Cheyhev, elíptio, et.). Se ha seleionao KΩ, nf, aierto y KΩ, el resultao es un iltro pasaajo on 59kHz y Q/. k k C nf C nf a) o 0 ohm C nf THS00 k La simulaión on el moelo spie el THS00 se hae para ver el omportamiento esperao el iruito. En la igura 7 se muestran los iruitos simulaos y en la igura 8 se presentan los resultaos para ser omparaos en una sola gráia. La igura 7a) muestra el iruito simulao on el moelo Spie moiiao para que su impeania e salia sea ero. En la urva a) e la igura 8 se muestra la respuesta en reuenia tal omo apareió en el simulaor. Esto muestra que sin la impeania e salia la atenuaión e la señal es mayor a mayor reuenia. La igura 7) muestra el moelo e alta reuenia mostrao en la igura 6 one la entraa es una tierra y la impeania e salia ontrola la unión e transerenia. El moelo Spie utilizao para el THS00 inluye la ompleja re LC para la impeania e salia tal omo se esrie en la teoría el moelo (para otener el moelo spie se puee visitar la página La urva ) en la igura 8 muestra la respuesta en reuenia tal omo apareió en el simulaor. la magnitu e la señal e salia se ruza on la urva a) era e los 7MHz. Arria e esta reuenia la impeania e salia ausa el amio en la unión e transerenia tal omo se esriió anteriormente. La igura 7) muestra el iruito simulao utilizano el moelo Spie ompleto on la ompleja re LC en la impeania e salia. La urva ) en la igura 8 muestra la respuesta en reuenia. Esto muestra que on la impeania e salia la atenuaión ausaa por el iruito sigue la urva a) hasta que se ruza on la urva ), a partir el ual sigue la urva ). k k C nf THS00 k o / (B) ) o LC ) Moelo HF (on o) -60 C nf ) Moelo HF a) o 0 ohm -90 k k C nf THS00 k o -00 E0 E05 E06 E07 E08 E09 - Freuenia (Hz) ) o LC (on o) Figura 7. Ciruitos e pruea el iltro pasaajos Sallen-Key. Figura 8. Curvas e respuesta en reuenia e los iruitos simulaos one se ve el eeto e la impeania e salia.

6 SCIENTIA ET TECHNICA No. 6 AGOSTO 00/ 6. Conlusiones [8] Manuales Spie. Se ha heho un análisis e la arquitetura Sallen-Key, presentano, no solo los lineamientos teórios, sino tamién los aspetos prátios que se een tener en uenta para otener el unionamiento esperao. Teóriamente, ualquier valor e y C que satisagan las euaiones puee ser utilizao, pero se een tener en uenta algunas onsieraiones prátias que tienen que ver on la isponiilia e los valores enontraos. Aemás, tenieno una reuenia e orte espeíia, los valores e C y son inversamente proporionales: a mayor valor e C se tiene un menor y vieversa. En el aso el iltro pasaajos Sallen-Key, la relaión entre la impeania e salia el ampliiaor y el omponente el iltro, ajusta la unión e transerenia vista en reuenias más arria el orte. La mejor eleión e valores e omponentes epene e las oniiones partiulares el iruito y e lo que se esea realizar. Se ee tener en uenta las siguientes reomenaiones: - Evitar onensaores menores e 00pF. - Utilizar onensaores ompensaos para temperatura, preerilemente tipo NPO. - Utilie omponentes on toleranias el %. - Los valores e resistenias son mejores en el rango e algunos ientos e ohms hasta algunos miles e ohms. 5. eerenias [] Avenaño, Luis E. Sistemas Eletrónios Lineales: Un Enoque matriial. Puliaiones UTP, Pereira, 995. [] Floy, T. Eletroni Devies: Conventional - Flow Version. ª E., Prentie Hall, Englewoo Clis, N. J [] Huelsman, L. Ative an Passive Analog Filter Design an Introution. MGraw-Hill In. N.Y. USA. 99. [] Kreyszig, E. Avane Engineering Mathematis. 6ª E.. John Wiley & Sons. N. Y., USA, 988. [5] Proakis, J. G. Digital Signal Proessing. Prentie-Hall. Upper Sale iver, N. J., USA, 996. [6] Sera, Ael S., Smith, K., C. Miroeletroni Ciruits. ª E. Oxor University Press. N. Y., USA, 998. [7] Avenaño, Luis E., Duque, E., Valenia, G.. Funiones e aproximaión e magnitu en iltros análogos. Sientia et Tehnia, Marzo, 00.