INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD CULHUACAN

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1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD CULHUACAN ANÁLISIS DE DISPOSITIVOS TERMOELÉCTRICOS EN EL MARCO TERMODINÁMICO DE PROCESOS IRREVERSIBLES T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS DE INGENIERÍA EN SISTEMAS ENERGÉTICOS PRESENTA: ING. MIGUEL LINDERO HERNÁNDEZ DIRECTOR DE TÉSIS: DR. MIGUEL ÁNGEL OLIVARES ROBLES MEXICO, DF. MAYO 010.

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4 AGRADECIMIENTOS Agradeimientos al IPN por haber otorgado apoyo para la elaboraión de este trabajo.

5 RESUMEN INTRODUCCIÓN ÍNDICE I II NOMENCLATURA UTILIZADA III CAPÍTULO I PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA 1.1 TEORÍA Y DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA NOTA HISTÓRICA DE LOS EFECTOS TERMOELÉCTRICOS FENÓMENOS TERMOELÉCTRICOS EFECTO SEEBECK EFECTO PELTIER EFECTO THOMSON EFECTO JOULE EFECTO FOURIER PARTES PRINCIPALES QUE COMPONEN A UN DISPOSITIVO TERMOELÉCTRICO DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA DIFUSIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN UN MODULO TERMOELECTRICO APLICACIONES DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA 1.7 VENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA DESVENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA CARACTERIZACIÓN DE MODULOS TERMOELÉCTRICOS MODULO PELTIER DE UNA SOLA ETAPA RENDIMIENTO..5

6 1.9.3 MODULOS COMERCIALES PELTIER DE UNA SOLA ETAPA CARACTERÍSTICAS UNIVERSALES DE MÓDULOS PELTIER MODULOS PELTIER MULTI-ETAPAS RENDIMIENTO DE MÓDULOS PELTIER MULTI-ETAPAS MÓDULOS COMERCIALES PELTIER MULTI-ETAPAS CONCLUSIONES...35 CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ENTROPÍA Y TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS.1 TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS.37. ANÁLISIS DEL EFECTO SEEBECK ANÁLISIS DEL EFECTO PELTIER 46.4 ANÁLISIS DEL EFECTO THOMSON.47.5 ECUACIONES BÁSICAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA CARACTERÍSTICAS ESENCIALES DEL PRODUCTO ADIMENSIONAL ZT CONCLUSIONES...53 CAPÍTULO III ANÁLISIS TERMODINÁMICO DE UN MÓDULO TERMOELÉCTRICO: DE DOS ETAPAS Y UNIDIMENSIONAL 3.1 MÉTODO DE PRODUCCIÓN DE MÍNIMA ENTROPÍA MODELO DE ENFRIADOR TERMOELÉCTRICO DE DOS ETAPAS ECUACIONES FUNDAMENTALES PRIMER CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE SEGUNDO CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE ANÁLISIS TERMODINÁMICO DEL MODELO UNIDIMENSIONAL.63

7 3.3.1 MODELO TERMOELÉCTRICO UNIDIMENSIONAL Y ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR COEFICIENTE DE DESEMPEÑO ( ) DEL MODELO UNIDIMENSIONAL OPERADO COMO REFRIGERADOR Y BOMBA DE CALOR PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA DEL MODELO UNIDIMENSIONAL CONCLUSIONES CAPÍTULO IV RESULTADOS Y CONCLUSIONES 4.1 RESULTADOS EN EL MODELO DE DOS ETAPAS PRIMER CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE SEGUNDO CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE RESULTADOS PARA EL MODELO UNIDIMENSIONAL ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE OPERACIÓN Y RENDIMIENTO PARA UN REFRIGERADOR Y UNA BOMBA DE CALOR RESPECTIVAMENTE ANÁLISIS DE LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO UNIDIMENSIONAL CONCLUSIONES 80 BIBLIOGRAFÍA 81 TABLA DE GRÁFICAS GENERADAS EN SOFTWARE..8 CONGRESOS Y PUBLICACIONES.83

8 RESUMEN El objetivo esenial de este trabajo es llevar a abo un análisis exhaustivo de la termodinámia de los fenómenos termoelétrios, utilizando prinipalmente la teoría de la termodinámia irreversible, orientada ésta última al planteamiento de modelos teórios para analizar el desempeño de dispositivos termoelétrios, así omo los meanismos de onduión de alor que se presentan a través de estos. Nos eñimos al análisis de la refrigeraión termoelétria, en la que se pretende una desripión teória basada en los onoidos efetos termoelétrios. Haemos énfasis también en las propiedades de los materiales semiondutores empleados en estos dispositivos. Para omplementar nuestro estudio del desempeño, extendemos nuestro análisis al utilizar el método de Mínima Generaión de Entropía (MGE) ampliamente onoido en la literatura ientífia y empleado para analizar la generaión de entropía en un generador termoelétrio. Empero, nuestra finalidad es haer uso de este método, teniendo omo objetivo la generaión y análisis de urvas de razón de generaión de entropía para un refrigerador termoelétrio. Este análisis se toma omo base para evaluar diferentes regímenes de operaión, lo que lleva a haer un uso más efiiente de la energía que alimenta esta lase de dispositivos. ABSTRACT The essential aim of this work is to do an exhaustive analysis of the thermoeletri phenomena in thermodynamis, using the theory of irreversible thermodynamis, whih is applied to establish theoretial models in order to analyze the performane of thermoeletri devies as well as heat ondution mehanisms implied through these latter. We are mainly interested in the analysis of thermoeletri refrigeration in whih is made a theoretial desription based on the thermoeletri effets already known. We also made emphasis in the material properties of semiondutors used in these devies. To aomplish the study of performane, our analysis is extended at using the method alled Entropy Generation Minimization (EGM) widely known in sientifi literature and applied to analyze the entropy generation through a thermoeletri generator. However, we make use of the same method but in a thermoeletri refrigerator in order to plot and analyze its entropy generation urves. This analysis is taken aount as a mean to evaluate different operation regimes and in onsequene make a muh more effiient appliation of the energy used to feed this kind of devies.

9 INTRODUCCIÓN Nuevamente a prinipios de 1990 el enfriamiento termoelétrio despertó el interés de la omunidad de ientífios, ingenieros y ténios dediados a este ampo, después de haber permaneido durante varios años abandonado. Este auge se debe prinipalmente al interés de una tenología limpia, ya que en ese entones y hasta ahora han sido utilizados en los proesos onvenionales de refrigeraión fluidos refrigerantes que son noivos para el medio ambiente. Esta renovada atividad en la ienia y en la tenología trajo omo alternativa la refrigeraión termoelétria, la ual es uno de los meanismos de enfriamiento más sólidamente estableidos en omparaión on los efetos termomagnétios, y la emisión termoiónia, entre otros, que sin duda tendrán algún día una apliaión más amplia. En esenia, la refrigeraión termoelétria se origina uando hay un aoplamiento entre el flujo de alor y la orriente elétria. Cabe haer notar que el avane de la físia y la ienia de materiales termoelétrios fueron las responsables de la implementaión de nuevos materiales semiondutores, que en la atualidad son utilizados para mejorar el desempeño y la efiienia de dispositivos termoelétrios, debido a la relativa failidad que ofreen para modifiar sus propiedades físias. Esto por supuesto en omparaión on los materiales que fueron utilizados uando se desubrieron esta lase de efetos de enfriamiento y generaión de potenia, donde sus apliaiones fueron bastante limitadas. Debido también a que sólo había un entendimiento marosópio aportado por Lord Kelvin en el año de 1854, basándose en los trabajos de Carnot, Clausius, Seebek y Peltier, desarrolló las relaiones Thomson que involuran la dependenia de los tres oefiientes reversibles: Seebek, Peltier y Thomson. Además dedujo que el alor reversible desubierto por Peltier debe tener una entropía asoiada on él. A su vez mostró que el oefiiente desubierto por Seebek es una medida de la entropía asoiada on la orriente elétria. Así, tomando ventaja de todas estas aportaiones, enfoamos nuestra atenión al análisis del desempeño y generaión de entropía en dispositivos para enfriamiento termoelétrio, dejando para un futuro inmediato la omprensión de la físia de materiales termoelétrios que aguardan el desarrollo de la teoría uántia para ampliar las apliaiones a la eletrónia y mejorar las propiedades termoelétrias de semiondutores[6].

10 I Corriente Elétria J e Densidad de Corriente Elétria J U Densidad de Corriente de Energía K Condutania Térmia L Longitud R Resistenia Elétria Q Razón de Flujo de Calor Nomenlatura Q Capaidad de Enfriamiento del Módulo Termoelétrio Q h Rehazo de Flujo de Calor del Módulo Termoelétrio Resistividad Elétria Z Fator de Mérito Coefiiente Peltier Absoluto pn Coefiiente Seebek Absoluto T Temperatura Coefiiente Seebek k Condutividad Térmia Condutividad Elétria Coefiiente Thomson Coefiiente de Operaión BC.. Coefiiente de Bomba de Calor T h Temperatura del Lado Caliente T Temperatura del Lado Frío n, N Número de Termopares T max Diferenia de temperatura q Razón de flujo de alor en la juntura fría q h Razón de flujo de alor en la juntura aliente I max Corriente Máxima V max Voltaje Máximo T i Temperatura Intermedia T M Temperatura Promedio Q Capaidad de Enfriamiento max Máximo G Fator Geométrio J k Flujos F Fuerza Termodinámia L jk Coefiiente Cinétio E Diferenia de Potenial y Energía total C p Calor Espeífio A Área de Seión Transversal

11 Entropía Debida a Corriente Elétria S e N, n Material Tipo n S Q W Entropía Debida a Flujo de Calor Potenia Q e Calor de Deseho m Flujo Másio z Altura * S gen1 Generaión de Entropía Adimensional Etapa 1 * S gen Generaión de Entropía Adimensional Etapa I max Corriente Máxima en la etapa T 1 Temperatura de Lado Frío Etapa 1 T h1 Temperatura del lado Caliente Etapa 1 q 1 Razón de Flujo de Calor en la Juntura Fría de la Etapa 1 q h1 Razón de Flujo de Calor en la Juntura Caliente de la Etapa 1 q Razón de Flujo de Calor en la Juntura Fría de la Etapa q h Razón de Flujo de Calor en la Juntura Caliente de la Etapa V Veloidad P, p Material Tipo p 1

12 CAPÍTULO I PRINCIPIOS BÁSICOS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA En este apítulo se dan a onoer los prinipios fundamentales que dieron origen a la refrigeraión termoelétria. Primeramente se estudian los efetos que tienen lugar uando se presenta el fenómeno de enfriamiento. Posteriormente, analizamos la desripión físia del flujo de alor a través de un arreglo básio de enfriador, así omo las apliaiones de estos dispositivos, ventajas y desventajas, y por último, haemos su araterizaión. 13

13 1.1 TEORÍA Y DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA NOTA HISTÓRICA DE LOS EFECTOS TERMOELÉCTRICOS El primer fenómeno termoelétrio fue desubierto en el año de 181, llamado efeto Seebek en honor a su desubridor. Básiamente este efeto onsiste en la apariión de una orriente elétria entre dos metales uando existe una diferenia de temperatura y es utilizado para la generaión de potenia termoelétria. Posteriormente, en el año de 1835, un relojero franés llamado Peltier dio uenta de un segundo efeto: produjo transporte de alor a través de dos junturas de diferentes materiales por las que se hae pasar una orriente elétria (efeto utilizado atualmente para refrigeraión). Finalmente en el año de 1854, W. Thomson (Lord Kelvin), al estudiar los dos efetos previamente menionados, desubre una relaión entre ellos y además informa de un terer efeto, a saber, el efeto Thomson, el ual se refiere al transporte de alor uando se establee una orriente elétria y un gradiente de temperatura en un material ondutor[9]. Sin embargo, no solo los tres efetos antes menionados se presentan uando se sueldan dos materiales metálios o semiondutores diferentes, mantenidos a distintas temperaturas en sus uniones, sino que también están presentes el efeto Joule y el efeto Fourier[3]. Desribamos ada uno de estos. 1. FENÓMENOS TERMOELECTRICOS 1..1 EFECTO SEEBECK En el año de 181, el físio alemán Thomas Johann Seebek desubrió que se produía una fuerza eletromotriz en un iruito errado ompuesto por dos metales ondutores uando se estableía una diferenia de temperatura en las junturas[1,3]. Al prinipio notó que una aguja imantada puesta en la veindad del iruito era influida por éste. Al observar una deflexión en la aguja, supuso que se trataba de un fenómeno termomagnétio, aseverando erróneamente que los metales habían sido polarizados magnétiamente. Sin embargo, después se dio a onoer que el origen del ampo magnétio era debido al estableimiento de una orriente en el iruito, ausada esta última por la diferenia de temperaturas. Es así omo se desubrió el primer efeto termoelétrio que es utilizado ampliamente en la generaión de potenia termoelétria, valiéndose de una diferenia de temperaturas en las uniones de los materiales utilizados para omponer el iruito errado. En la figura 1, se muestra esquemátiamente el registro de una diferenia de potenial en el voltímetro al estableerse una diferenia de temperatura en los puntos extremos. Finalmente, este efeto es araterizado por el oefiiente Seebek, onoido también omo termopotenia. 14

14 Figura 1. Ciruito termoelétrio básio para el análisis del oefiiente Seebek 1.. EFECTO PELTIER El fenómeno del enfriamiento termoelétrio está físiamente basado en el efeto Peltier, que fue desubierto en el año de 1834, 13 años después que el efeto Seebek. Lo que Jean Charles Peltier observó fue que uando una orriente elétria pasa a través de un iruito errado ompuesto de dos metales ondutores distintos, la temperatura en la veindad de las junturas ambia, esto es, se presenta un flujo de orriente elétria y de alor de manera simultánea[1,3]. En la figura. se muestra una fuente externa de alimentaión que suministra la orriente al iruito, donde a su vez se nota el ambio en la temperatura en los puntos extremos. Este efeto es ampliamente onoido omo efeto Peltier y está araterizado por el oefiiente Peltier, el ual uantifia el flujo de alor transportado por unidad de arga elétria a través de un material dado. Si la orriente elétria es ontinua a través de una juntura, el flujo de alor asoiado desarrollará una disontinuidad si los oefiientes Peltier de los materiales y son diferentes. A B Figura. Ciruito termoelétrio básio para el análisis del oefiiente Peltier Este interesante fenómeno se mantuvo reduido a algunas apliaiones muy espeífias, hasta ahora en nuestros días en que se omienzan a utilizar sus posibilidades on más freuenia [16]. 15

15 1..3 EFECTO THOMSON El Efeto Thomson fue desubierto por W. Thomson (Lord Kelvin) quien en el año de 1854 estudió los efetos reversibles previamente desubiertos por Seebek y Peltier, desubriendo además un terer efeto, a saber, el efeto Thomson, que esenialmente es el ambio reversible en el flujo de alor dentro de un ondutor homogéneo que tiene un gradiente de temperatura uando una orriente elétria pasa a través de él[8]. Figura 3. Juntura on dos ondutores diferentes para analizar el oefiiente Thomson 1..4 EFECTO JOULE Ampliamente onoido el efeto Joule [18], está siempre presente uando irula orriente elétria a través de un ondutor, siendo un efeto de naturaleza irreversible, disipa alor por friión entre los eletrones que transportan la orriente omo se muestra en la figura 4. Figura 4. Condutor atravesado por una orriente elétria 1..5 EFECTO FOURIER Al estableerse dos temperaturas de valores T1 T, en los extremos de la muestra al seionarla en ualquiera de sus puntos intermedios se obtendrá una temperatura intermedia T i de valor no mayor que T 1, y no menor que T. Por lo que habrá un flujo de alor del extremo a T1 al extremo a T, independientemente de si por los materiales irulaba una orriente elétria antes de ser seionados [3]. Este efeto es onoido también omo onduión de alor. 16

16 Figura 5. Barra on valores diferentes de temperatura en sus extremos 1.3 PARTES PRINCIPALES QUE COMPONEN A UN DISPOSITIVO TERMOELÉCTRICO Un dispositivo termoelétrio adopta la geometría más básia uando está ompuesto por un par de materiales on diferentes propiedades físias, el ual es llamado termopar. Sus omponentes son; omo se alanza a ver en la figura 6, dos materiales semiondutores tipo p y n, dispuestos en forma paralela, teniendo no siempre la misma longitud ni seión transversal[6], una plaa superior que une los extremos altos de los materiales semiondutores, y otras plaas inferiores onetadas a los extremos bajos de los materiales semiondutores, que finalmente permiten la formaión de un iruito termoelétrio que es atravesado por orriente elétria, utilizando una fuente de energía externa. Cabe destaar que este arreglo es también el mismo para la generaión de potenia termoelétria, en el que sólo debemos ambiar la fuente de energía externa para estableer un gradiente de temperatura entre los extremos de las plaas, y así obtener omo salida una diferenia de potenial. Por último veamos que el dispositivo trabaja entre dos reservorios a temperaturas diferentes. Figura 6. Ciruito termoelétrio básio que muestra el alor absorbido y disipado uando se establee una orriente elétria. 17

17 1.4 DESCRIPCIÓN DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA La tenología de la refrigeraión termoelétria está araterizada por la flexibilidad de opiones que ofree en el diseño y fabriaión de módulos termoelétrios. Ésta se presenta uando se hae pasar una orriente elétria a través de uno o más pares de semiondutores de tipo n y p. Un refrigerador termoelétrio es básiamente una bomba de alor que transfiere alor de un lado del dispositivo al otro en ontra del gradiente térmio (de baja a alta temperatura) a osta de onsumir energía elétria. la orriente pasa del material semiondutor n al p omo lo muestra la figura 7. La temperatura T de la plaa superior que oneta a los semiondutores deree, y al mismo tiempo absorbe alor del medio ambiente. La antidad de alor es transferida a través de los materiales semiondutores por transporte de eletrones y hueos haia el otro lado de la juntura. Los portadores en los materiales se difunden o onduen uando un extremo de un ondutor está a una temperatura diferente del otro extremo. Así, los portadores alientes se difundirán del extremo aliente al frío ya que hay una menor densidad de portadores alientes en el extremo frío del ondutor. A su vez, los portadores fríos se difundirán del extremo frío al aliente por la misma razón. Los eletrones fluyen de una región de alta densidad a una de baja densidad y esta expansión oasiona enfriamiento. Los portadores intentan regresar al equilibrio que existía antes de que la orriente fuera apliada, absorbiendo energía en un lado y liberándola en el otro. Los eletrones en el material tipo n se moverán en direión opuesta a la orriente y los hueos en el material tipo p se moverán en direión de la orriente, ambos removiendo o absorbiendo alor de un lado del dispositivo y desehándolo en el otro extremo. Deimos entones que la direión del transporte de alor se ontrola por la polaridad de la orriente. Invirtiendo la polaridad ambia la direión de la transferenia de alor. 18

18 Figura 7. Ciruito termoelétrio que muestra la direión en que onduen el alor y la orriente elétria los eletrones y hueos. Para uantifiar la antidad de alor absorbido por el dispositivo termoelétrio, existe una expresión de la siguiente forma I R Qneto T I k T, (1.1) donde es el alor absorbido del medio ambiente en la plaa superior ondutora; Qneto la diferenia entre los oefiientes Seebek absolutos de ambos pn p n materiales, que también se onoe omo la potenia termoelétria; es la diferenia de temperaturas de ambas plaas ondutoras; finalmente R y k son la resistenia elétria y la ondutividad térmia, respetivamente. Analiemos ahora las tres antidades que intervienen en la euaión (1.1) de absorión de alor[8]: el primer término del lado dereho es onoido omo alor absorbido por efeto Peltier, el segundo representa el alor disipado por efeto Joule, y finalmente el terer término es el alor de onduión debido a una diferenia de temperaturas, onoido también omo efeto Fourier. 19

19 Deimos entones, que la antidad neta de alor absorbido en la juntura fría debido al efeto Peltier [17] se ve reduido por dos términos; alor de onduión de Fourier y alor disipado por el efeto Joule. Cuando la orriente se inrementa, la diferenia de temperaturas, y por onsiguiente el alor onduido, se inrementan porque el efeto de enfriamiento Peltier se intensifia. Sin embargo, este último no lo puede haer indefinidamente. Si la orriente ontinúa inrementándose, y el alentamiento Joule llega a ser el fator dominante, se alanza un estado donde la orriente adiional resultará en menor enfriamiento neto. La orriente a la ual no se alanza más enfriamiento es onoida omo la orriente máxima ( I max ) Máximo voltaje ( V max ) y máxima diferenia de temperatura se presentarán también para una razón de flujo de absorión de alor a máxima orriente. La apaidad refrigerante de un material semiondutor depende de los efetos ombinados del oefiiente Seebek, el voltaje entre los extremos del material, la resistividad elétria, y la ondutividad térmia, que además se expresan en funión del llamado fator de mérito[6,8], denotado por Z, (1.) k donde es la resistividad elétria, es el oefiiente Seebek del termopar y k es la ondutividad térmia. Si la expresión anterior es dependiente de la temperatura, puede mostrarse que la diferenia máxima de temperatura que puede ser alanzada por un termopar de materiales semiondutores tipo p y n es diretamente proporional al promedio de la temperatura y, por onsiguiente, también al fator de mérito. Notamos entones que el prinipal objetivo de la refrigeraión termoelétria en la seleión de semiondutores es maximizar el fator de mérito. Como onlusión de este apartado, queda estableido que la figura de mérito del material semiondutor limitará la diferenia de temperaturas, mientras que la razón de longitud al área de ada material semiondutor tipo n y p, define la apaidad de la razón de flujo de alor [16]. Pasemos ahora a un análisis breve del transporte de orriente elétria y de alor en términos de portadores de arga en los materiales. 1.5 DIFUSIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN UN MODULO TERMOELÉCTRICO Los portadores de arga en los materiales semiondutores utilizados para fines de refrigeraión, eletrones y hueos, se difundirán uando haya una diferenia de temperaturas entre las terminales del material. Los portadores que se enuentran en el lado a alta temperatura se difundirán haia el lado frío, ya que éste último tiene una densidad más baja de portadores. De modo similar, los portadores que se enuentran en el lado de temperatura baja se difundirán del lado frío al aliente por las mismas razones. 0

20 Si se permitiera que el ondutor alanzara el equilibrio termodinámio, el proeso resultaría en alor distribuido uniformemente a través del ondutor. El flujo de alor se da a través de los portadores de arga a temperatura aliente de una terminal a la otra, y ya que los portadores de arga se enuentran en movimiento, también habrá orriente elétria. Si en nuestro sistema termoelétrio mantenemos onstantes las temperaturas del lado frío y aliente, tendrá lugar un flujo de alor onstante, y por ende una difusión onstante de portadores. Si la razón de difusión de los portadores a temperatura alta y baja, fuera la misma en direiones opuestas, no habría un ambio neto en la arga. Empero, las argas difundidas son dispersadas por diferentes meanismos: impurezas, imperfeiones y vibraiones de red (fonones). Ya que la dispersión es dependiente de la energía, los portadores de baja y alta temperatura, serán entones difundidos a diferentes razones. Esto oasiona una densidad más elevada de portadores en una terminal del material, reándose así una diferenia de potenial eletrostátio, debido a la separaión de argas positivas y negativas. El ampo elétrio generado por esta diferenia de potenial se opone a la dispersión no uniforme de los portadores, y se alanza un estado de equilibrio uando el número neto de portadores difundidos en una direión es anelado por el número neto de portadores que se mueven en direión opuesta del ampo eletrostátio. En onseuenia, la potenia termoelétria ( ) de un material, depende en gran medida de las impurezas, imperfeiones y ambios estruturales del material. Los primeros termopares utilizados en termoeletriidad, fueron hehos de materiales metálios, pero en reientes dispositivos termoelétrios se utilizan parejas de semiondutores de tipo p y n, unidos por interonexiones metálias. Si tenemos disponible una fuente de potenia, podemos onstruir un dispositivo que funione omo refrigerador, y si se tiene una fuente de alor, haremos uno que genere potenia termoelétria [0]. Véase en la figura 8 ómo, desde la fuente de alor, son onduidos los eletrones en el elemento tipo n haia la región más fría, mientras que los elementos en el elemento p fluirán en la direión de la orriente, notando que esta puede ser utilizada para alimentar una arga, onvirtiendo la energía térmia en energía elétria. 1

21 a) Refrigerador Termoelétrio b) Generador Termoelétrio Figura 8. Muestra los modos en que se puede operar un dispositivo termoelétrio [0] 1.6 APLICACIONES DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA La refrigeraión termoelétria tiene atualmente apliaiones más amplias, esto debido al desubrimiento de nuevos materiales semiondutores que permiten un mayor oefiiente de rendimiento en esta lase de dispositivos termoelétrios. Entre las apliaiones se enuentra la refrigeraión doméstia, utilizando módulos termoelétrios de fáil fabriaión y tamaño relativamente pequeño, y el enfriamiento de iruitos eletrónios donde se requiere un ontrol preiso de la temperatura que debe ser mantenida en ellos. Reientemente también existen dispositivos termoelétrios de aire aondiionado y refrigeraión, así omo refrigeradores portátiles que se adaptan en los automóviles, entre muhas otras apliaiones. Pero también hay apliaiones en el ámbito de generaión de potenia termoelétria omo en el funionamiento de relojes de mano que utilizan la temperatura orporal para operar, generadores termoelétrios que se adaptan a las ondiiones de limas extremos para produir energía elétria, et. (véase la figura 9). Cabe destaar que no pretendemos dar una lista tan exhaustiva de todas las apliaiones existentes en la atualidad. En vez de eso, intentaremos enfoarnos al análisis de la refrigeraión termoelétria, y dar una perspetiva general de las ausas prinipales que favoreen a su desempeño.

22 Figura 9. Algunas apliaiones de la termoeletriidad 1.7 VENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA Las prinipales ventajas en esta lase de dispositivos de refrigeraión termoelétria, en omparaión on aquellos utilizados onvenionalmente, onsiste esenialmente en que pueden ser alimentados on fuentes de energía de fáil disponibilidad (energía solar, residuos de alor desehados por máquinas térmias omo los motores de automóvil, entre otros ejemplos), su relativa o asi ínfima produión de ruido, no utilizan fluidos para su operaión, su pequeño tamaño, la failidad para ser utilizados en apliaiones que requieren un alto grado de preisión en el ontrol de la temperatura (la onservaión de órganos para trasplantes humanos). Estas son sólo algunas ventajas, pero sufiientes para la búsqueda de nuevos materiales semiondutores termoelétrios que reemplaen a los onvenionales. 1.8 DESVENTAJAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA La desventaja de los dispositivos termoelétrios radia prinipalmente en el bajo oefiiente de rendimiento que guardan on respeto a los sistemas onvenionales (refrigeraión meánia que utiliza el ilo de Carnot inverso). Esto debido a que uentan on un sólo dispositivo para realizar la onversión de energía (véase figura 10) en omparaión on los refrigeradores onvenionales que uentan on ompresor, ondensador, bomba, válvula de estrangulamiento, entre otros aditamentos que ontribuyen a su funionamiento. 3

23 El bajo oefiiente de rendimiento es uno de los aspetos que motiva nuestra investigaión, y a la ual le daremos mayor atenión. Señalemos finalmente que la antidad esenial, llamada fator de mérito Z, servirá para araterizar a nuestros dispositivos, y que además nos dará una idea de los fatores y antidades físias de las que depende la refrigeraión termoelétria. Figura 10. Módulo Termoelétrio 1.9 CARACTERIZACIÓN DE MODULOS TERMOELÉCTRICOS Para araterizar los módulos termoelétrios son neesarios uatro parámetros onoidos omo: diferenia de temperatura máxima Tmax ; orriente elétria máxima I max ; flujo de alor máximo del espaio refrigerado Q max, y voltaje máximo entre terminales V max [8]. Estos parámetros están registrados en tablas y en gráfias, así omo también sus valores intermedios pueden ser obtenidos de gráfias universales. En esta seión daremos a onoer un ejemplo que muestre el uso de las gráfias y la eleión de un módulo que satisfaga determinados requisitos MÓDULO PELTIER DE UNA SOLA ETAPA Un módulo Peltier está ompuesto de un determinado número n de termopares onetados elétriamente en serie y térmiamente en paralelo, además de estar integradas entre dos plaas erámias que impiden el paso de orriente elétria. Las superfiies fría y aliente de las plaas del módulo termoelétrio aportan integridad meánia, aislamiento elétrio y una elevada ondutividad térmia, haiendo posible así un deseho de alor más efiiente y una extraión de alor del uerpo enfriado muho más direta. La onfiguraión más detallada se muestra en la figura 11. 4

24 Figura 11. Configuraión de un módulo termoelétrio Existen módulos termoelétrios sin plaas erámias, lo que es ventajoso ya que eliminan la resistenia térmia de las plaas erámias, pero por otro lado tienen el inonveniente de ser meániamente frágiles, además de que es neesario el aislamiento elétrio. Si un termopar ompuesto por dos materiales semiondutores tipos P y N ha de ser utilizado para fines de refrigeraión, se tiene disponible una aleaión uaternaria de Bismuto, Telurio, Selenio y Antimonio, que es altamente dopada para rear un exeso (material tipo N) o una defiienia (material tipo P) de eletrones. Cabe señalar aquí que el dopaje de los semiondutores es neesario para inrementar el enfriamiento termoelétrio, produiendo así un mayor rendimiento RENDIMIENTO Está disponible en el merado una gran antidad de módulos termoelétrios omeriales, lasifiada según el tamaño de estos, la geometría, las orrientes de operaión, los voltajes, y los rangos de apaidad de enfriamiento. Un módulo termoelétrio puede ser fabriado para una orriente óptima de operaión, y ésta a su vez define las dimensiones de los elementos termoelétrios. Se hae referenia también a un fator geométrio G, que es el oiente entre el área de seión transversal A y la longitud del termopar L. La apaidad de enfriamiento del módulo será por onsiguiente proporional al fator geométrio y por ende al número n de termopares que lo omponen. 5

25 En las tablas y gráfias que presentamos en esta seión para módulos termoelétrios omeriales de una sola etapa, haemos uso de uatro parámetros de rendimiento máximo on una temperatura fija en el lado aliente de 98 K (5ºC) o 300K (7ºC). Los parámetros son los siguientes: I (A): Corriente DC que produe la máxima diferenia de temperatura en las max junturas Tmax ; on un poder de enfriamiento igual a ero, lo que signifia que no hay ninguna arga de alor en el lado frío. Nótese que I max no es el valor de orriente máxima I que puede irular en el iruito, sino que orresponde al valor de la orriente que da la Tmax. Tmax (K): la máxima diferenia de temperatura en las junturas a través del módulo a I sin ninguna arga de alor. La Tmax del módulo omerial de una sola etapa max es alrededor de 67 a 70K on una temperatura fija en el lado aliente de 300K (7ºC). (W): la potenia de enfriamiento que orresponde a una diferenia de Q max temperatura a través del módulo de T 0on orriente I max. V max (V): el voltaje en terminales para una I max sin arga de alor. Debido a que todas las propiedades físias de los materiales termoelétrios son dependientes de la temperatura, el rendimiento del módulo también lo es, y se inrementa a medida que haya inrementos de temperatura sobre el rango de operaión de la juntura aliente, 13K (-150ºC) a 353 K (+80ºC). Se hae posible estimar los parámetros máximos para módulos omeriales on una temperatura óptima de la juntura aliente T h (K), haiendo uso de las siguientes euaiones empírias o de la gráfia que se presenta en la figura 1 [8]. ( T ) 67K 0.4( T 300) max Th h ( Q ) ( Q ).0( T 300) G N max Th max 300K h V max V max ( T 300) N 300 h Th K 6

26 Figura 1. Parámetros de rendimiento máximo de módulos Peltier de una sola etapa omo funión de la temperatura del lado aliente T h [8] MÓDULOS COMERCIALES PELTIER DE UNA SOLA ETAPA Esta lase de módulos abaran un amplio rango de tamaños de superfiie erámia, desde 1.8x3.4mm a 6x6mm y alturas desde.45mm a 5.8mm on un Q desde 0. a 15 W; I max desde 0.8 a 60 A; V max de 0.4 a 15.4 V; y número N de termouplas desde 4 a 17. La figura 13. muestra las máximas apaidades de enfriamiento Q max de los reientes módulos omeriales de una sola etapa on una temperatura de juntura aliente de 98 K (5ºC) o 300 K (7ºC) y on sus orrespondientes valores de entrada de orriente, I max y de voltaje V max. max 7

27 Figura 13. Máximas apaidades de enfriamiento Q max de módulos omeriales Peltier de una sola etapa, on una temperatura de juntura aliente de 98K (5ºC) o 300K (7ºC), on sus orrespondientes valores de entrada de orriente I y de voltaje V max. [* a, orporaión registrada de materiales eletrónios, MELCOR, Trenton, NJ; *, b industrias Marlow In., Dallas, TX] [8]. max CARACTERÍSTICAS UNIVERSALES DE MÓDULOS PELTIER Enuniemos en esta seión todos los parámetros importantes que son neesarios en la prátia para operar los módulos en ondiiones espeífias y según los requrimientos de la apliaión, a saber: T (K): temperatura de las junturas frías. T h (K): temperatura de las junturas alientes. T (K)= Th -T : diferenia de temperatura entre junturas. Q (W): apaidad de enfriamiento, i.e., la antidad de arga de alor que será absorbida por las junturas frías. Q h (W): antidad de alor disipado en las junturas alientes. 8

28 I (A): orriente apliada. V (V): voltaje suministrado. P (W): entrada de potenia elétria, igual a I V. El onoido oefiiente de rendimiento, COP ( ), está definido omo la apaidad de enfriamiento Q dividido por la entrada de potenia elétria P : Q / P. Teniendo todos estos valores una dependenia que es espeífia para ada módulo. Las araterístias universales son parámetros adimensionales omo T / Tmax, I / I max, Q / Q max, V / V max disponibles para un amplio rango de temperaturas de juntura aliente. La figura 14 muestra las relaiones universales entre la razón de orriente de operaión I / I max, la razón de apaidad de enfriamiento Q / Q max, y el oefiiente de rendimiento COP ( ), omo funión de la razón de diferenia de temperatura T / T obtenidas a partir de experimentos. Entre más grande es la razón de orriente de operaión más grande es la razón de apaidad de enfriamiento max max I / I, max Q / Q. Mientras hay deremento en la razón de orriente I / I max, el COP se inrementa al COP max ( max ) y después deree. Entre más grande es el COP para una apaidad de enfriamiento dada, menor es la razón de potenia elétria de entrada/apaidad de enfriamiento y el alor generado en las junturas alientes debe ser disipado por el interambiador disipador de alor. Conluimos así que una aeptable orriente de operaión la enontraremos entre los valores orrespondientes a COP max ( max ) y I max. Figura 14. Diagrama Universal etapa[8]. I para módulos omeriales Peltier de una sola 9

29 La figura 15 muestra las relaiones universales entre tres parámetros: razón de diferenia de temperatura entre junturas T / Tmax, razón de voltaje en terminales V / V max, y razón de apaidad de enfriamiento Q / Q, omo funión de la razón de orriente de operaión I / I. max max Figura 15. Diagrama Universal II para módulos omeriales Peltier de una sola etapa [8]. Ejemplo: Una plaa fría de temperatura T =80K requiere una apaidad de bombeo de alor de =4W, on una temperatura ambiente de T amb =303K. Estimando las temperaturas de las junturas: T h =98 y T = 73K. Con una orriente de 9A. La diferenia de temperatura requerida entre junturas es por tanto T =98-73=5K. La figura 1 muestra que la máxima temperatura entre junturas para T h =98K es Tmax =65K, y la razón de diferenia de temperaturas es T / T = Al elegir de las figuras 14 y 15 una razón de orriente de operaión I / Imax de 0.65, las entradas son I / I max =0.65, T / Tmax =0.385, las salidas son Q / Q max =0.47, COP=0.7, y V / V max =0.5. Por onsiguiente, los parámetros máximos requeridos para el modulo son =90W para max Q max una T h =98K y I max =14A. De la figura 13 notamos que el modulo Peltier omerial es uno de la CP-Series. La apaidad de enfriamiento Q max =90W de la CP-Serie está basada sobre una temperatura de juntura aliente de 98K. Usando la figura 1. O la euaión de esta seión vemos. Q 30

30 que la apaidad de enfriamiento es de 90W on la temperatura de 98K, lo que. orresponde a Q =88.6W. Finalmente, para obtener la referenia y los detalles del módulo se deberán onsultar atálogos de fabriantes MODULOS PELTIER MULTI-ETAPAS Extendemos el uso de esta lase de módulos apilados debido a que la diferenia de temperaturas T para un módulo simple de una etapa no puede ser exedida de su valor T max de auerdo a la figura 1, y la figura 14 muestra que uando T = Tmax, ambos, el oefiiente de rendimiento COP( ) y el poder de enfriamiento son nulos para el módulo simple, pero esta limitaión puede ser superada al utilizar módulos multi-etapas, que no son más que módulos simples apilados uno enima de otro. Cuando el módulo inmediato superior es empleado para enfriar, el que le preede deberá tener una apaidad mayor de enfriamiento para que pueda disipar el alor produido por el que le suede [8]. Entones, uando los módulos de ada etapa tengan los mismos elementos termoelétrios on el mismo fator geométrio G, todos onetados elétriamente en serie, un módulo de etapa inferior demandara más termopares que el inmediato superior. La figura 16 muestra la onfiguraión de un modulo Peltier de dos etapas on forma piramidal [8,16]. Sin embargo, si se quiere haer un módulo de dos etapas, onservando el número de termopares en ada etapa, se deberá inrementar el fator geométrio G del módulo inferior, asegurándose así una mayor apaidad de enfriamiento de este último. Figura 16. Módulo Peltier de dos etapas RENDIMIENTO DE MÓDULOS PELTIER MULTI-ETAPAS Del mismo modo que para los módulos simples de una sola etapa, se tienen los mismos uatro parámetros de rendimiento, a saber: I max, Tmax, Q max y V max on una juntura de temperatura aliente estableida en valor fijo de 300K (7ºC), notándose también que estos parámetros onservan las mismas definiiones que para los de una sola etapa. Sin embargo, la diferenia de temperatura máxima alanzada en módulos multi-etapas dependerá 31

31 diretamente del número de etapas[8,16]. En la figura 17. mostramos la Tmax de los módulos Peltier multi-etapas omo funión de la temperatura de juntura aliente del módulo más inferior T h, para una orriente máxima I max onstante. Figura 17. T, max Diferenia de temperaturas máxima de módulos Peltier multi-etapas [8] MÓDULOS COMERCIALES PELTIER MULTI-ETAPAS Estos ubren un amplio rango de tamaños de superfiie erámia, desde 3.x3.mm hasta 6x6mm en la superfiie superior (lado frío), y desde 3.8x3.8mm a 6x6mm en la base (lado aliente), y alturas desde 3.8 a 1.4mm on: I max (A) desde 0.7 a 9.5 A; Q max (W) desde 0.39 a 59 W; V max (V) desde 0.8 a 14V y on número de etapas de dos hasta seis. La tabla 1 muestra los parámetros de máximo rendimiento ya menionados de estos módulos multi-etapas. Mientras que para alular la apaidad de enfriamiento Q, y la diferenia de temperatura T podemos utilizar la siguiente expresión aproximada: Q Q (1 T / T ) max max (1 / ) T Tmax Q Q max 3

32 Tabla 1. Parámetros de máximo rendimiento de módulos Peltier multi-etapas, on una temperatura de juntura aliente en la etapa inferior de 300K (7ºC) [8]. 33

33 Finalmente vemos que la figura 18 y 19 muestran la apaidad de enfriamiento Q de varios módulos Peltier multi-etapas para una diferenia de temperatura entre junturas T por arriba de 50K, on una temperatura de juntura aliente estableida omo fija de valor 300K (7ºC). Figura 18. Capaidades de enfriamiento Q de módulos omeriales Peltier multietapas para diferenia de temperatura entre junturas T, on temperatura de juntura aliente en la etapa inferior de 300K (7ºC) - (I) [8]. Figura 19. Capaidades de enfriamiento Q de módulos omeriales Peltier multietapas para diferenia de temperatura entre junturas T, on temperatura de juntura aliente en la etapa inferior de 300K (7ºC) - (II) [8]. 34

34 1.11 CONCLUSIONES Al haber heho un estudio fundamental de la araterizaión, funionamiento, desripión y estado del arte de dispositivos termoelétrios utilizados en refrigeraión, alentamiento y generaión de potenia, hemos estableido el punto de partida en la omparaión on meanismos onvenionales de refrigeraión atualmente onoidos, y al mismo tiempo se iniió el estudio de los primeros por la neesidad esenial de un uso más efiiente de la energía. 35

35 CAPÍTULO II ANÁLISIS DE ENTROPÍA Y TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS En este apítulo se desribe el teorema de Onsager que permite la omprensión físia de los fenómenos termoelétrios de refrigeraión, alentamiento y generaión de potenia, así omo las relaiones que hay entre estos. Además se dan a onoer los meanismos de flujo de alor ausantes de la produión de entropía en módulos termoelétrios de refrigeraión. 36

36 .1 TERMODINÁMICA DE SISTEMAS TERMOELÉCTRICOS La termodinámia de proesos irreversibles establee algunos postulados básios, que permiten analizar la relaión que existe entre las antidades físias que intervienen en los sistemas termoelétrios, y que además utilizamos para deduir los tres efetos fundamentales que desriben a estos últimos[1,10], a saber: los efetos Peltier, Seebek y Thomson. Con la finalidad de estableer el teorema de reiproidad de Onsager, iniialmente son neesarias dos antidades que desriban apropiadamente a los proesos irreversibles, a saber: la fuerza termodinámia generalizada que ondue a un proeso y el flujo que desribe la respuesta a esta fuerza. La identifiaión de fuerzas y flujos en un sistema termodinámio se lleva a abo onsiderando la razón de produión de entropía omo sigue S FkJ k k (.1) donde S es la razón de produión de entropía, F k la fuerza generalizada que más adelante se definirá on detalle y J k el flujo generalizado. Para estableer la relaión existente entre flujos y fuerzas en sistemas termoelétrios, suponemos que nuestro sistema a tratar es puramente resistivo, es deir, ada flujo que se presente en el sistema dependerá úniamente de la fuerza en ese instante. La relaión funional entre flujos y fuerzas es dada omo [10] Jk Jk ( F0, F1, F,..., Fn ). (.) De auerdo a la dependenia funional anterior, podemos desarrollar los flujos en potenias de las fuerzas y tener la siguiente relaión de la que se infiere la anulaión de los flujos uando las fuerzas son ero 1 Jk Ljk Fj Lijk Fi Fj...! (.3) i j para el aso de sistemas termoelétrios utilizaremos sólo el primer término lineal de la euaión anterior, donde los oefiientes inétios L y L se definen omo la razón de ambio del flujo on respeto a la fuerza. Además, estas razones de ambio se definen omo sigue jk ijk 37

37 L jk J k J k ; Lijk F j F 0 i F j 0 (.4) donde la primera es de primer orden y la segunda de orden superior L jk L jk ( F0, F1,...). (.5) Nótese en la euaión (.5) que los oefiientes inétios dependen diretamente de las fuerzas. Para ilustrar la relaión que hay entre flujos y fuerzas generalizadas usamos un ejemplo partiular a partir de la euaión unidimensional de onduión de alor, donde notamos que la fuerza que produe el flujo de alor está definida omo el gradiente de la temperatura T ( CT p ) JQ k x x (.6) donde que la ondutividad térmia k es un oefiiente inétio por analogía según la omparaión de (.6) on Jk LjkFj Otro ejemplo unidimensional de relaión entre flujos y fuerzas generalizadas, se tiene entre el flujo de orriente elétria J, omo menos el produto de la diferenia de potenial e elétrio / x (fuerza generalizada) y la ondutividad elétria (oefiiente inétio) en un ondutor J e (.7) x Con la relaión (.1) podemos estableer la razón de produión de entropía para un termopar que tiene una juntura fría que genera entropía a ausa de la diferenia de temperatura que produe un flujo de alor. Esribimos la razón de produión de entropía omo ds J T J T, (.8) Q S dt T T 38

38 donde J S es el flujo de entropía igual a JQ T y J Q el flujo de alor. Nótese que en la relaión anterior la fuerza es el gradiente de temperatura que a su vez establee un flujo de alor, y la ombinaión de éstos da lugar a la produión de entropía. Cuando se establee una diferenia de potenial a través de un termopar se perturba el equilibrio elétrio y se produe una orriente elétria, ésta, a su vez, produe alor. Entones, la produión de entropía debida a una diferenia de potenial elétrio está dada por ds dt Je, (.9) T donde J e es el flujo de orriente elétria y es la diferenia de potenial. Si se establee una diferenia de potenial y una diferenia de temperatura simultáneamente en el termopar, entones la produión de entropía es la suma de ambas aportaiones: euaiones (.8) y (.9). Se tiene entones ds T J S J e (.10) dt T T Si la desviaión del equilibrio es pequeña, los flujos de entropía y eletriidad se aoplan de un modo senillo, on una dependenia lineal de T/ T y / T para ambos flujos, entones tenemos T JS L11 L1, (.11) T T T Je L1 L, (.1) T T Los oefiientes L 11 y L estarán dados en funión de antidades físias onoidas en el sistema termoelétrio omo la ondutividad térmia y la ondutividad elétria, respetivamente. Las magnitudes L 1 y L1 son onoidos omo oefiientes de aoplamiento. Representan el efeto de una diferenia de potenial sobre una orriente de entropía y el efeto de una diferenia de temperatura sobre una orriente elétria, respetivamente. Lars Onsager, utilizando un riterio mirosópio demostró que [10] L L (.13) 1 1 que de forma más general se esribe omo 39

39 L jk L (.14) kj que se onoe omo el teorema de reiproidad de Onsager. El teorema de Lars Onsager establee de manera espeífia que [10] : el valor del oefiiente inétio medido en un ampo magnétio externo es idéntio al valor de medido en un ampo magnétio inverso. En el teorema de Onsager se da una simetría entre el efeto lineal de la j th fuerza sobre el k th flujo y el efeto lineal de la k th fuerza sobre el j th flujo uando estos efetos son medidos en ampos magnétios opuestos. Analiemos on más detalle la produión de entropía en sistemas en donde hay flujo de alor. De auerdo a la figura 0, observamos que al haber una diferenia de temperaturas en los extremos de una barra, tendrá lugar un flujo de alor de auerdo a la ley de Fourier. Este flujo puede ser expresado también en funión del área de seión transversal A y la tasa de transferenia de alor. Q que se esribe omo. T Q JQ k x A. (.15) Si el flujo de entropía uando está presente un flujo de alor se define omo el produto del flujo de alor por el reíproo de la temperatura, entones, según la euaión (.15), la euaión está dada por J s JQ k T T T x (.16) La euaión (.8) que es la razón de produión de entropía por unidad de volumen, podemos esribirla de un modo más general utilizando (.16) que está en términos del flujo de alor por efeto Fourier omo sigue. S Q. 1 JQ dt JS dt JQ.. T T dx T dx. (.17) donde por senillez se ha onsiderado nuevamente un sistema unidimensional. 40

40 Figura 0. Barra donde se establee una diferenia de temperatruras Veamos ahora la produión de entropía debido a un flujo de orriente elétria omo se muestra en la figura 1. Si definimos el flujo de orriente elétria omo la orriente I que pasa a través de una seión transversal de área A, tenemos la siguiente relaión J e I. A (.18) Es evidente que si se establee un gradiente de potenial elétrio entre ambos extremos de la figura 1, habrá orriente elétria en el elemento de longitud diferenial, por onsiguiente, al atravesar arga elétria en ésta seión, se hará trabajo elétrio. La primera ley de la termodinámia establee la relaión entre alor Q y trabajo W omo sigue du Q + W (.19) Si no hay fuentes ni sumideros en el elemento diferenial dx que puedan proporionar o absorber energía, entones el ambio de energía interna du 0 es nulo. Tenemos entones que la produión de alor debido al trabajo elétrio es. d Q I dx dx. (.0) Ahora podemos relaionar este alor debido al flujo de orriente elétria, on la produión de entropía por unidad de volumen. La produión de entropía debido al flujo de orriente, aparee omo el produto de un flujo y una fuerza 41

41 Figura 1. Condutor en el que se establee una diferenia de potenial que da lugar a un flujo de orriente elétria Para uantifiar la produión de entropía total [17] por unidad de volumen en relaión a los dos meanismos de flujo de alor ausados por un gradiente de temperatura y por un gradiente de potenial elétrio, se tiene que es la suma, omo se hizo en la euaión (.10)... JQ. dt Je Q e. d S S S T dx T dx (.) Además, suponiendo que los fenómenos termoelétrios pueden ser tratados omo sistemas resistivos lineales, tenemos J L F (.3) k jk j donde el subíndie k=1,, representa en este aso partiular, flujo de alor y flujo de orriente elétria, respetivamente Considerando la expresión (.3) deduzamos las euaiones de flujo de alor y flujo de orriente elétria en un sistema termoelétrio que serán similares a las euaiones (.11) y (.1) previamente estableidas [1,10]. El flujo de alor se puede esribir en funión de los gradientes de temperatura y potenial elétrio representados omo F y F, respetivamente, omo sigue Q e 4

42 JQ LQQFQ LQeFe, (.4) donde el oefiiente inétio L QQ está definido omo el ambio en el flujo de alor J Q debido a un gradiente de temperatura F Q, y L Qe omo el ambio en el flujo de orriente elétria debido a un gradiente de temperatura F Q. Entones tenemos L QQ J Q J e ; LQe F Q F Q (.5) Del mismo modo definimos el flujo de orriente elétria Je LeQ FQ Lee Fe (.6) donde L eq es el ambio en el flujo de alor debido a un gradiente de potenial elétrio F e, y Lee es el ambio en el flujo de orriente elétria debido a un gradiente de potenial elétrio L eq JQ J e ; Lee Fe Fe. (.7) Sustituyendo las fuerzas por sus equivalentes orrespondientes en las euaiones (.4) y (.6) obtenemos las siguientes expresiones J Q L dt L d T dx T dx QQ Qe (.8) J e L eq 1. dt d L ee T dx T dx. (.9) 43

43 Ahora neesitamos definir los oefiientes inétios en funión de antidades físias onoidas (sus valores son obtenidos fenomenológiamente). Si se toma la relaión (.9) bajo ondiiones isotérmias, y además por la definiión previa del flujo de orriente elétria en funión de la ondutividad elétria λ, y el gradiente de potenial elétrio ( d / dx) tenemos que J e L d d T dx dx. (.30) ee Finalmente, igualando los oefiientes del gradiente de potenial de la expresión anterior obtenemos el primer oefiiente inétio, que está en funión de dos antidades físias onoidas, a saber: la temperatura T y la ondutividad elétria Lee T (.31). ANÁLISIS DEL EFECTO SEEBECK Reordemos que el efeto Seebek es la existenia de una fuerza eletromotriz térmia en un termopar, donde su valor está araterizado por el oefiiente Seebek. Al Haer uso de la euaión (.9), en ausenia de orriente elétria, obtenemos la relaión LeQ dt Lee d 0 T dx T dx (.3) Reordenando la relaión anterior, definimos el oefiiente Seebek omo la razón de ambio del potenial elétrio debido a un ambio en el gradiente de temperatura, esto es d / dx L dt dx TL / Je 0 eq ee (.33) d dt J e 0 (.34) 44

44 donde es el oefiiente Seebek. Igualando las expresiones (.33) y (.34), obtenemos el segundo oefiiente inétio, que ahora está en funión del produto de tres antidades físias onoidas L TL T eq ee (.35) Al utilizar el teorema de reiproidad de Onsager estableido en (.13), pero on subíndies Q y e en vez de 1 y tenemos de auerdo a la euaión (.35) la siguiente igualdad L L T Qe eq (.36) Considerando ahora la euaión (.9) bajo la ondiión de orriente elétria nula, despejando el gradiente de potenial, y sustituyéndolo en la expresión (.8) obtenemos la siguiente euaión uya partiularidad es que está en funión de los uatro oefiientes inétios J Q LQQ dt LQe LeQ dt Lee LQQ LeQ LQe dt.. T dx T TLee dx LeeT dx (.37) Definamos ahora la ondutividad térmia omo la razón de flujo de alor por unidad de gradiente térmio uando la orriente elétria es nula JQ k ( dt / dx) Je 0 (.38) Combinando las expresiones (.37) y (.38) obtenemos la ondutividad térmia en funión de los oefiientes inétios omo sigue L L k L L ee QQ Qe eq LT ee (.39) 45

45 Sustituyendo las expresiones (.31) y (.36) en la expresión (.39), se obtiene finalmente el oefiiente faltante LQQ kt T T T k T ( ) ( ) (.40) Como onlusión a este apartado, introduzamos los oefiientes inétios (.31), (.36) y (.40) en las expresiones (.8) y (.9) para estableer la forma final de las euaiones termodinámias de los flujos que gobiernan a los fenómenos termoelétrios. Tenemos entones dt J k T T dx d dx Q ( ). ( ). (.41) J e dt d. (.4) dx dx Por último, las euaiones fundamentales anteriores las podemos expresar en funión de y J Q omo J e T JQ k TJ x e (.43) J e k d. JQ (.44) k T dx k T.3 ANÁLISIS DEL EFECTO PELTIER El efeto Peltier se arateriza por el flujo de alor aompañado de un flujo de orriente elétria a través de una juntura isotérmia de dos materiales, omo se observa en la siguiente figura Figura. Flujo de alor por efeto Peltier 46

46 Ya menionamos que bajo ondiiones isotérmias la expresión para la orriente elétria es J e d, (.45) dx mientras que las expresiones para el flujo de alor oasionado por el flujo de orriente elétria en los puntos a y b están dadas de auerdo a J Qa ; atje JQb btj e. (.46) Por lo tanto, el flujo de alor total que es transportado a través de la juntura, está dada por la diferenia entre las dos expresiones anteriores J J J ( ) TJ. (.47) Qab Qa Qb a b e Simplifiando lo anterior obtenemos el llamado oefiiente Peltier (onoido también omo relaión de Kelvin), el ual está definido omo el alor que debe ser adiionado a la juntura uando la orriente pasa del ondutor A al ondutor B. Esto es T ( ) (.48) ab a b.4 ANÁLISIS DEL EFECTO THOMSON El efeto Thomson [5] está asoiado a un alentamiento o enfriamiento reversible debido a la presenia de un flujo de orriente elétria a través de un gradiente de temperatura en un ondutor o en una juntura de ondutores. Véase la figura 3. Figura 3. Gradiente de temperatura y flujo de orriente elétria a través de una juntura de ondutores 47

47 El flujo de alor asoiado al efeto Thomson viene dado por la siguiente expresión [1] d dt. (.49) JQ, T TJe. dt dx El oefiiente Thomson está definido omo el alor absorbido debido al efeto Thomson por unidad de orriente elétria y por unidad de gradiente de temperatura d T (.50) dt y el alor absorbido por el efeto Thomson, en términos del orrespondiente oefiiente, queda dado por dt (.51) JQ, T Je. dx.5 ECUACIONES BÁSICAS DE LA REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA Un enfriador termoelétrio básio onsiste de dos ramas de semiondutores dopados tipo p y n, las uales no siempre son de la misma longitud omo se muestra en la figura 4. Figure 4. Diagrama básio de un enfriador termoelétrio 48

48 Cuando una orriente I pasa a través de este elemento termoelétrio, el flujo total de alor dentro de ada rama (p y n) es dt (.5). Q p pti k p Ap dx dt (.53). Qn nti kn An dx dónde A n y temperatura, A p son las áreas de seión transversal de ada rama, dt / dx es el gradiente de k n y k p son las ondutividades térmias, y los subíndies en las antidades signifian que perteneen a la rama n o p, respetivamente. El oefiiente de rendimiento [8] COP ( ) lo podemos expresar omo el oiente entre la apaidad total de enfriamiento Q ( p n) IT k T 0.5I R dado también en la euaión (1.1) y la potenia termoelétria W I[( ) T IR], p n. Q ( ) 0.5 W I[( ) T IR] p n IT kt I R p n. (.54) donde k y R son la ondutividad térmia y la resistenia elétria totales. Al maximizar el flujo de alor de enfriamiento on dq / di =0 se obtiene la orriente elétria I que al sustituirla en la euaión de flujo de alor de enfriamiento nos da la máxima potenia de enfriamiento expresada omo. Q,max ( p n ) T k T. (.55) R Al estableer Q. 0, la diferenia máxima de temperatura T se obtiene omo ( p n) T Tmax (.56) kr 49

49 Al derivar on respeto a I, e igualar a ero determinamos la orriente que maximiza el COP, y si la sustituimos en la expresión del COP se obtiene el máximo COP max ( ), max T T (1 ZT ) ( ) (1 ) 1 1/ h M T max 1/ Th T ZTM. (.57) El fator de mérito [6] del elemento termoelétrio que se definió en la euaión (1.) es una simplifiaión de la expresión más general definida omo Z ( p n) ( k ) ( k ) 1/ 1/ p p n n (.58) donde representa la resistividad elétria de ada material tipo p o n dependiendo del subíndie. Las dimensiones del fator de mérito son 1/K, aunque por omodidad se utiliza un valor adimensional ZT. Cabe señalar que las expresiones anteriores no ambian uando un número determinado de termoelementos se onetan juntos para formar un módulo ompleto ompuesto por varios termopares. Deimos por onsiguiente que la efiienia de los materiales para enfriamiento termoelétrio está esenialmente determinada por el produto ZT. Suponiendo sólo un elemento enfriador termoelétrio (termopar), podemos esribir el oefiiente de rendimiento omo 1/ T (1 ZTM ) Th / T 1. 1/ Th T (1 ZTM ) 1 (.59) donde 1 on subíndie 1 se refiere al oefiiente de rendimiento de un solo termopar, T es la temperatura del lado frío, T h es la temperatura del lado aliente, y T M es el promedio de ambas temperaturas. Deimos entones que hemos esrito el oefiiente de rendimiento en funión de las temperaturas del lado frío y aliente que se onoe omo efiienia de Carnot [8,9] y esta expresada en el primer término de (.59) omo T / T T. h 50

50 .6 CARACTERÍSTICAS ESENCIALES DEL PRODUCTO ADIMENSIONAL ZT Una vez estableido el signifiado del produto adimensional ZT, el objetivo prinipal en el ampo de la termoeletriidad, y espeialmente en la refrigeraión termoelétria, es la búsqueda de valores elevados de esta antidad adimensional. En la naturaleza enontramos tres tipos de materiales, a saber; aislantes, semiondutores y metales. Los aislantes y los metales son materiales on un ZT muy por debajo de valores útiles para apliaiones debido a que los primeros tienen una baja ondutividad elétria y los últimos tienen bajos oefiientes Seebek. Además, los portadores de arga y de alor en metales son los eletrones, que obedeen la ley de Wiedmann-Franz, que establee que la ondutividad térmia es diretamente proporional a la ondutividad elétria. Debido a esta ley, es difíil obtener valores elevados de ZT en metales. Es por eso que los semiondutores son una buena eleión en la termoeletriidad. En los semiondutores el transporte térmio está usualmente dominado por fonones, mientras que la eletriidad es transportada por eletrones o hueos. Por esta razón, el transporte térmio y el transporte elétrio, pueden estudiarse por separado. A partir de los años 50s, se dio un aelerado progreso en el desarrollo de aleaiones de materiales termoelétrios, desarrollándose los primeros refrigeradores termoelétrios. El progreso al tratar de mejorar ZT fue muy lento hasta la déada de los 90s. Los valores máximos de ZT han permaneido alrededor de 1. Debido a las nuevas metodologías que atualmente se poseen para mejorar el valor de ZT ha resurgido la investigaión en la termoeletriidad. Para la produión de materiales en gran esala, los enfoques se han dado prinipalmente en la síntesis de nuevos materiales, haiendo aleaiones de materiales existentes on elevados valores de ZT, introduiendo fonones vibrantes en sus estruturas. Los materiales típios para fonones vibrantes son las estruturas onoidas omo skutterudites y lathrate. Otro enfoque para inrementar ZT está basada en utilizar los efetos uántios en nanoestruturas, tales omo pozos uántios, superestruturas de dos dimensiones, nanoalambres de una dimensión, y puntos uántios de dimensión ero. Para adoptar ideas más fundamentales aera del progreso que se ha dado a través de los años para inrementar el valor del fator de mérito Z [6], a finales de los años 1930s, hasta prinipios de los años 1960s se llevó a abo un gran progreso (véase figura 5) que ondujo a un entendimiento mirosópio de la termoeletriidad y al desarrollo de los materiales que existen hoy en día. El ímpetu mostrado en ese importante desarrollo fue mantenido asi por uatro déadas, sin embargo, la atividad tuvo un delive onsiderable alrededor de los años 1970s. 51

51 Figura 5. Produto Adimensional ZT en Funión del Tiempo. 5

52 .7 CONCLUSIONES En este apartado se hizo el análisis de los tres efetos reversibles: Seebek, Peltier y Thomson, de auerdo a la termodinámia irreversible y utilizando el teorema de reiproidad de Onsager. Se han estableido también las euaiones de flujo de alor y flujo de orriente elétria que intervienen en la euaión de produión de entropía, definida por la suma del produto de flujo de alor por gradiente de temperatura y flujo de orriente elétria por gradiente de potenial elétrio. Además, se estableieron las euaiones básias de flujo de alor, oefiiente de rendimiento y fator de mérito 53

53 CAPÍTULO III PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA Y ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE DESEMPEÑO EN DISPOSITIVOS TERMOELÉCTRICOS En este apítulo introduimos el método de generaión de mínima entropía, on la finalidad de implementarlo a un enfriador termoelétrio de una y dos etapas para haer un uso más efiiente de la energía. Además analizamos la influenia que tiene el alor generado por efeto Thomson al ser onsiderado dentro de las euaiones del oefiiente de desempeño y generaión de entropía, para ello haemos uso de un modelo termoelétrio unidimensional. 54

54 3.1 MÉTODO DE PRODUCCIÓN DE MÍNIMA ENTROPÍA El método de mínima generaión de entropía [7] (MGE) es una ombinaión de las leyes de la termodinámia, la transferenia de alor y la dinámia de fluido que esenialmente unifian lo que en ingeniería se onoe omo optimizaión termodinámia y en físia omo termodinámia de tiempo finito. Este método fue propuesto on la finalidad de estudiar el rendimiento de las máquinas de alor, omparándolo on el método de maximizaión de potenia [17] (MP). Este último optimiza el rendimiento de las máquinas de alor al maximizar la generaión de potenia, mientras que en el método (MGE) el mismo objeto se lleva a abo al minimizar la generaión de entropía. La generaión de entropía en un dispositivo termoelétrio ourre on transferenia de alor: alor extraído del espaio refrigerado, transferenia de alor a los alrededores, goteo de alor del lado aliente al lado frío [17] y alor disipado por efeto Joule. Las irreversibilidades pueden ourrir interna o externamente. El análisis puede proeder de tres modos distintos, a saber: (1) modelo internamente irreversible- externamente reversible, () internamente reversibleexternamente irreversible y (3) internamente irreversible-externamente irreversible. El motivo prinipal de este trabajo es inrementar el interés que hasta el momento se le ha dado a esta lase de estudios de generaión de mínima entropía en dispositivos termoelétrios, prinipalmente en dispositivos de refrigeraión. Si un dispositivo termoelétrio que funiona omo refrigerador se modela omo una máquina externamente reversible pero internamente irreversible [16,17], se tiene que el flujo de alor del lado de baja y del lado de alta temperatura, respetivamente, están dadas omo Q IT k T T I R H H ( H C ) / (3.1) Q IT k T T I R C C ( H C ) / (3.) donde ada euaión de razón de transferenia de alor en el lado dereho está ompuesta por tres términos, a saber: alor por efeto Peltier, alor por efeto Fourier y alor por efeto Joule donde la mitad de este último se disipa en el lado frío y la otra mitad en el lado aliente del refrigerador. Esto a menudo india que el alentamiento Joule es muho más grande en magnitud que el efeto de onduión de alor a lo largo del refrigerador. 55

55 n i1. La razón de generaión de entropía está dada por S gen Q/ T, donde el subíndie i i se refiere a los nodos de interambio de alor. Si el dispositivo tiene dos nodos, entones. S gen Q T C C Q T H H, (3.3) Sustituyendo las euaiones (3.1) y (3.) en la expresión (3.3) obtenemos una expresión de generaión de entropía dada omo S T T k T T 1 T I R T H C H C gen ( H C) THTC TH TC. (3.4) El resultado anterior onuerda on el de Bejan [7] referente a la generaión de entropía en un ampo general de temperatura sin efeto termoelétrio y, por onsiguiente sin flujo de orriente elétria. Las irreversibilidades en el refrigerador termoelétrio son flujos de alor que se disipan dentro o fuera del sistema, y que además tienen el efeto de disminuir el rendimiento. Para este aso las ausas diretas de las irreversibilidades son la onduión de alor por efeto Fourier y disipaión de alor por efeto Joule. Los efetos Seebek y Peltier no ontribuyen a la generaión de entropía puesto que estos son efetos reversibles[17]. Sin embargo, la euaión (3.4) está inompleta debido a que sólo se han tomado en uenta irreversibilidades internas, omitiendo las externas. Para haer el tratamiento más realista, es importante observar que la euaión anterior sólo toma en uenta dos meanismos de produión de entropía: alor Joule y Fourier. Al replantear el problema y onsiderar un alor de deseho externo, tendremos un terer meanismo a tomar en uenta[17]. Considerado así el problema, habrá un alor externo disponible Q para ser extraído del Q espaio refrigerado, mientras que otra parte e es desehada externamente en la direión del alor de onduión por efeto Fourier. Como tal, podemos esribir la razón de generaión de entropía omo la suma de los tres meanismos siguientes: (1) alor de onduión por efeto Fourier, () alentamiento interno Joule, y (3) deseho de alor externo. La expresión (3.4), por onsiguiente, se onvierte en k( TH TC ) 1 TH T C ( TH TC ) S gen I R Qe THTC TH TC THTC (3.5) 56

56 la ual es una euaión más general omparada on la euaión (3.4) que solo toma en uenta dos aportaiones a la entropía: alor por efeto Joule y alor de onduión de Fourier. La expresión (3.5) tiene en onsideraión el alor de deseho Q e que se inluye también al haer el análisis la generaión de entropía en un módulo de una sola etapa que produe energía elétria [17]. Como se verá más adelante, la euaión (3.5) será el punto de partida para llevar a abo el análisis de generaión de entropía de módulos termoelétrios de refrigeraión de una y dos etapas.. 3. MODELO DE ENFRIADOR TERMOELÉCTRICO DE DOS ETAPAS Un modulo termoelétrio típio de una etapa está ompuesto de varios termopares onetados térmiamente en paralelo y elétriamente en serie [8]. Como es usual, un termopar está heho de materiales semiondutores tipo p y n. Existen diversos arreglos en la prátia al diseñar un módulo termoelétrio [5]. Nosotros haemos uso del llamado enfriador termoelétrio de dos etapas [16], espeífiamente ompuesto por N termopares en la primera etapa y sólo uno en la segunda etapa, omo se muestra en la figura 6. También se onsideran orrientes separadas para ada etapa debido a que de esta manera se alanza un mejor rendimiento [14]. Para estableer las euaiones básias, primero definimos omo el oefiiente Seebek, R la resistenia elétria, k la ondutividad térmia, N es el número de termopares en la primera etapa. T h, T, q h, q son las temperaturas y las razones de transferenia de alor del espaio aliente y frío, respetivamente, I 1 e I son las orrientes elétrias. Finalmente, los subíndies 1 y están referidos a la primera y segunda etapa respetivamente. Figure 6. Modelo de Enfriador Termoelétrio de dos Etapas 57

57 3..1 ECUACIONES FUNDAMENTALES Para la primera etapa, según la figura anterior, y suponiendo: 1, k1 podemos esribir el flujo de alor absorbido y expulsado omo k, R1 R, RI ( h1 1), q I T k T T (3.6) RI qh 1 I1Th 1 k( Th 1 T 1) 1. (3.7) Ahora bien, haiendo, k k y R R para la segunda etapa tenemos RI q IT k( Th T ), (3.8) RI qh I1Th k( Th T ). (3.9) Si operamos a una apaidad máxima de enfriamiento, de la euaión (3.8) se obtiene una expresión para la orriente óptima en la segunda etapa al haer la derivada de d q / 0 di, donde la orriente máxima se esribe omo I T (3.10) R,max. El método de análisis onvenional [15], en el ual no se toman en onsideraión los efetos de resistenia de ontato térmio y elétrio que tienen lugar en las plaas erámias se supone también un aislamiento térmio perfeto para todo el dispositivo. A esta situaión le llamaremos Primer Caso. Sin embargo, on la finalidad de haer nuestro análisis más aorde on la prátia, en el Segundo Caso inluiremos pérdidas de alor irreversibles [17]. Una vez estableido el riterio para el primer aso, las siguientes expresiones deberán ser validas T, h T 1 (3.11) q n q h 1. (3.1) 58

58 Apliando las ondiiones (3.11) y (3.1), la temperatura T 1 se puede expresar omo una funión de n termopares T 1 n( KT 0.5 RI ) 0.5RI KT n( K I ) K I h (3.13) 3.. PRIMER CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE REVERSIBLE El enfriador termoelétrio de dos etapas puede ser onsiderado omo un sistema termodinámio [7]. Siendo así, podemos esribir la primera y la segunda ley de la termodinámia [17] omo sigue E V V m h gz m h gz Q W t entrada salida, (3.14) S Q t T S gen m s m s entrada salida, (3.15) donde E es la energía total, m la masa, h la entalpía, V la veloidad, z la altura, Q tasa de transferenia de alor, W entropía por unidad de masa y S gen el trabajo por unidad de tiempo, s la produión de la razón de generaión de entropía. Si se suponen ondiiones de estado estaionario, onsiderándolo un sistema errado y on N reservorios que interambien energía y alor on los alrededores, entones las euaiones (3.14) y (3.15) se reduen a la W N Q (3.16) i1 i S gen N Q. (3.17) i1 T i 59

59 Apliando la euaión (3.1) para la razón de generaión de entropía a través del modulo termoelétrio que ontiene dos nodos, se tiene S gen q T q T h1 (3.18) h1 Utilizando las expresiones (3.7), (3.8), (3.1), (3.13) y la euaión previa, obtenemos una expresión para la razón de generaión de entropía total en el modelo de dos etapas, nk( T T ) k( T T ) nri RI S gen ni 1I T T T T h1 1 h 1 h1 h1. (3.19) Sin embargo, omo no hay ontribuión a la generaión de entropía debido a que, tanto los efetos Seebek y Peltier son efetos reversibles, sólo el alor asoiado al efeto Fourier y al efeto Joule ontribuyen a la generaión de entropía. De este modo, ni (3.0) 1 I 0, Por lo tanto, la euaión (3.19) se redue a la expresión S gen k( T T ) nk( T T ) nri RI T T T T h h1 1 1 h1 h1. (3.1) 3..3 SEGUNDO CASO: PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO DE DOS ETAPAS, INTERNAMENTE IRREVERSIBLE-EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE Aquí haemos un análisis más realista de la generaión de entropía. En la prátia, ninguna máquina termodinámia está ompletamente aislada de los alrededores; además, la transferenia real de alor se da en tres dimensiones. A su vez, ningún material semiondutor, omo ninguna plaa erámia, son ondutores perfetos y aislantes. Por estas razones, el problema puede ser estableido al inluir la generaión de entropía debido a desehos de alor externo [1]. 60

60 Si este efeto se toma en uenta, se tiene una fuente de alor. q que está disponible a una temperatura T, y una parte de este alor q., entra al enfriador a T, mientras que otra parte. q e es desehada externamente en la misma direión que el alor por efeto Fourier. Entones, la razón de generaión de entropía para ada etapa es la suma de alor interno por efeto Fourier, alor interno de Joule y deseho de alor externo. Desarrollando se tiene para la primera etapa,. Th 1 T 1 I1 R Th 1 T 1 Th 1 T 1 gen1 h1 1 e1 Th 1T 1 Th 1T 1 Th 1T 1 ( ) ( ) S k( T T ).. q., (3.) la ual puede ser esrita también omo. qh 1 q 1 Th 1 T 1 gen1 qe 1 Th 1 T 1 Th 1T 1 S ( ).. (3.3) Si onsideramos el alor externo de deseho [8] definido omo q q1q 1, entones e1. ( Th 1 T 1) I1 R Th 1 T 1 q1( Th 1 T 1) q 1( Th 1T1) gen1 ( h1 1)... Th 1T 1 Th 1T 1 Th 1T 1 Th 1T 1 S k T T (3.4) Para expresar la euaión anterior en forma adimensional la dividimos por ( ) /, 1 h1 1 h1 1 q T T T T * k( Th 1 T 1) I1 R Th 1 T 1 q 1 gen1 S 1.. (3.5) q q ( T T ) q h

61 Sustituyendo el término q. 1, definido previamente, tenemos finalmente k( T T ) I RT T I T 1 1. (3.6) q q T T q * h1 1 1 h gen1 S h Haiendo lo mismo que en las euaiones (3.)-(3.5), pero para la segunda etapa, obtenemos una expresión similar, k( T T ) I RT T I T 1 1 (3.7) q q T T q * h h gen S h Por lo tanto podemos esribir la razón de generaión de entropía total adimensional debido a las ontribuiones de la primera y segunda etapas omo... * * * gen, total gen1 gen. S S S (3.8) Debido a que en la segunda etapa la orriente elétria I permanee onstante, la entropía también tendrá un valor fijo, y por simpliidad le asignaremos el valor unitario, por esta razón, la generaión de entropía total está dada por k( T T ) I RT T I T 1. * h1 1 1 h gen, total q q Th T 1 q1 S (3.9) 6

62 3.3 ANÁLISIS TERMODINÁMICO DEL MODELO UNIDIMENSIONAL Es bien sabido que el desempeño de un dispositivo termoelétrio utilizado omo refrigerador, generador o bomba de alor está diretamente relaionado on ino efetos ampliamente onoidos: Peltier, Seebek, Thomson, Fourier y Joule, siendo los tres primeros reversibles y los dos últimos irreversibles. Sin embargo, a pesar de que los efetos Peltier, Seebek y Thomson ontribuyen a disminuir las irreversibilidades on la finalidad de inrementar el desempeño de dispositivos termoelétrios, rara vez se enuentra el efeto Thomson inluido en las euaiones de flujo de alor. Es neesario, por onsiguiente, utilizar la termodinámia fuera de equilibrio para determinar los efetos que tiene este alor Thomson [1,10] en el oefiiente de desempeño y en las euaiones de minimizaión de entropía. De auerdo a la teoría de la termodinámia [1,3,10], uando se establee una densidad de orriente elétria J a través del material semiondutor ubiado en un gradiente de temperatura, tenemos, J JU ( kt) TJ J (3.30) donde J U es la densidad de flujo de energía en el interior del material semiondutor a una temperatura T, es el oefiiente Seebek, k es la ondutividad térmia y la ondutividad elétria. Aquí depende del material y de la temperatura T [4], mientras que k y dependen del material y de la geometría del semiondutor MODELO TERMOELÉCTRICO UNIDIMENSIONAL Y ECUACIONES DE CONDUCCIÓN DE CALOR En nuestro análisis del dispositivo termoelétrio empleado en la refrigeraión termoelétria, usamos el modelo unidimensional mostrado en la figura 7, propuesto por otros autores [5]. El modelo está ompuesto por una pareja de materiales semiondutores tipo p y n, onetados elétriamente en serie y térmiamente en paralelo. Cuando una orriente elétria I fluye a través de nuestro iruito, los alores liberado y de entrada, al operar entre dos reservorios a Th y T, son Q. h en la parte superior y Q. en la parte inferior, respetivamente. Cuando este dispositivo es utilizado omo un refrigerador termoelétrio, el reservorio a T es el espaio enfriado y el alor absorbido es Q. T 1 y T son las temperaturas dentro de los elementos tipo n y p, respetivamente, y son funiones de la posiión x. E es la fem de la batería externa que proporiona la orriente I al iruito.. 63

63 Figure 7. Modelo unidimensional de iruito termoelétrio Suponemos que la onstruión de los semiondutores es homogénea; por lo tanto k y son onstantes. Designemos a L omo la longitud del material, A es el área de seión transversal y el oefiiente Thomson [1]. Las antidades físias anteriores tendrán subíndie 1 para el material tipo n y para el material tipo p, e.g. 1 es el oefiiente Seebek del material tipo n, oefiiente Thomson del material tipo p, et. Partiendo de la euaión (3.30), que establee un balane de energía en el dispositivo termoelétrio, y que al apliarla en ondiiones de estado estaionario y en una sola dimensión da omo resultado dos euaiones difereniales de segundo orden que orresponden al material tipo n y p respetivamente, es deir d T dt R I K L I x L (3.31) , 0 1 dx dx L1 d T dt R I K L I x L (3.3) 0, 0 dx dx L on ondiiones de frontera, T1 T T (0) (0), (3.33) T1 L1 T L T h ( ) ( ), (3.34) 64

64 Las euaiones para la tasa de transferenia de alor son d T Q ( ) T I K L K L dx d T dx (3.35) h h d T1 d T Qh ( 1 ) Th I K1L1 K L, dx dx (3.36) donde K1 k1a1 / L1, K ka / L, R1 L1 / 1 A1 y R L / A son las ondutividades térmias y resistenias elétrias. El oefiiente Thomson es T( d / dt ) ; uando es onstante, no hay efeto de alor por efeto Thomson sobre el desempeño del dispositivo termoelétrio COEFICIENTE DE DESEMPEÑO ( ) DEL MODELO UNIDIMENSION OPERADO COMO BOMBA DE CALOR Y COMO REFRIGERADOR Resolviendo las euaiones difereniales (3.31) y (3.3) enontramos que las soluiones de los ampos de temperatura [5] en ada una de las ramas, expresadas en funión de la posiión son T a1l 1 1 x T1 T a1x (1 e ),0 x L1, 1L1 1 e (3.37) T al x T T ax (1 e ),0 x L, L 1 e (3.38) donde a 1 y a son onstantes que dependen de las ondiiones iniiales (3.33) y (3.34), y se definen omo a1 R1 I / ( 1L1 ), a RI / ( L ), I / ( K L), y T Th T. Sustituyendo (3.37), (3.38) que se evalúan desde x 0 hasta x L1, L, las onstantes a 1 y a en las euaiones de las tasas de transferenia de alor, obtenemos las expresiones expliitas para las mismas 65

65 Q T I ( K K ) T ( R R ) I * * * * 1 1 (3.39) h Q T I ( K K ) T ( ) TI [ R R ( R R )] I, h h * * * * (3.40) h h h donde,, * K1 1 I / (1 e L * L ), K I / ( e 1), 1L 1 * L 1/[1 ] 1/ ( ), y R R L e R R e L * / ( ) 1/[ 1]. Cuando las expresiones 1I / K1 1 y I / K 1son muho menores a la unidad, las uatro expresiones anteriores se reduen a * * R1 R1 / [1 1I / 6 K1], R R / [1 I / 6 K], y entones la euaión (3.40) se redue a * K K [1 I / K ], K K [1 I / K ], * h Q T I KT ( ) TI / RI / ( R / K R / K ) I /1. h h (3.41) Mientras que la diferenia Qh Q, al utilizar las uatro expresiones reduidas, se onvierte en h Q Q ( T T ) I TI RI h h (3.4) Con las euaiones (3.39) y (3.40) definimos el oefiiente de operaión para el dispositivo termoelétrio, que funiona omo bomba de alor, donde se invierte la direión de la orriente elétria y el espaio refrigerado se onvierte en el espaio a alentar. Se tiene entones h * * * * Qh ThI ( K1 K ) T ( 1) TI [ R1 R ( R1 R )] I B. CALOR h Q ( Th T) I ( 1) TI ( R1 R ) I h Q. (3.43) Funionando omo refrigerador, el COP está definido omo * * * * Q TI ( K1 K ) T ( R1 R ) I REF. h Q ( Th T) I ( 1) TI ( R1 R ) I h Q. (3.44) 66

66 Sin embargo, al utilizar las euaiones (3.41) y (3.4) se define el oefiiente de operaión para la bomba de alor omo B. CALOR Qh Q Q h h ( Th T) I TI RI h Th I KT ( ) TI / RI / ( R / K R / K ) I /1. (3.45) Finalmente, para obtener el oefiiente de rendimiento del refrigerador se hae lo mismo que se hizo para la bomba de alor PRODUCCIÓN DE ENTROPÍA DEL MODELO UNIDIMENSIONAL Con la finalidad de evaluar los diferentes meanismos de onduión de alor en esta lase de dispositivos termoelétrios, surge la neesidad de ir aún más allá del análisis del oefiiente de rendimiento o desempeño. Por esta razón haemos uso del Método de Generaión de Mínima entropía [17] utilizado previamente, on la diferenia que ahora se inluye el alor por efeto Thomson [5] en las euaiones de la produión de entropía. Kelvin supuso que los efetos irreversibles podían ser ignorados en base a que pareían ser independientes de los efetos reversibles Peltier, Seebek y Thomson. Considerando la transferenia puramente reversible de unidad de arga elétria a través de un iruito termoelétrio, Kelvin igualó a ero la suma de todos los ambios de entropía y dedujo relaiones que se han omprobado para algunas situaiones. Sin embargo, existe ontroversia atualmente del heho de que los efetos Seebek, Peltier y Thomson están ligados de forma inextriable a los efetos irreversibles [3]. Haiendo uso de la euaión (3.17) para la razón de generaión de entropía a través del módulo termoelétrio unidimensional, tenemos S gen Q T h h Q T. (3.43) Utilizando las euaiones de onduión de alor previamente estableidas para este modelo unidimensional tenemos que 3 h 1 IT 1 RI T RI T S gen ( ) I KT TT h TT h TT h 1K TT h (3.44) 67

67 donde el terer término de (3.44) es la nueva aportaión del alor por efeto Thomson a la entropía Sin embargo, de auerdo al método de generaión de mínima entropía, existe un alor llamado de deseho, que se define omo Qe QQ, y que, si se adiiona en la expresión anterior, se tiene un término más que ontribuye a la generaión de entropía 3 KT IT RI T RI T T e TT h TT h T Th 1KTT h ThT h S gen ( ) I Q (3.45) 3 h KT IT RI T RI T T gen TT h TT h T Th 1KTT h ThT S ( ) I ( Q Q ). (3.46) Si dividimos entre que. Q T T T, desarrollamos y agrupamos términos se obtiene finalmente / h * ( ) IT T KT 3I T RI T T 1 RI T I S gen 1, Q T Q Q Q T 6K Q Q h 3 h h (3.47) la ual es onoida omo razón de generaión de entropía adimensional. Notamos, a diferenia del análisis anterior del modulo termoelétrio de dos etapas, que aparee un término proporional al oefiiente Thomson. Por onsiguiente, se tiene una expresión que agrega un meanismo más de transferenia de alor a la euaión de generaión de entropía, a saber, el alor por efeto Thomson, y que además ontribuye a la generaión de entropía, a pesar de que en la teoría éste último alor se onsidera omo un efeto reversible. Sin embargo, notamos que está presente dos vees en la euaión (3.47). Por lo tanto, se establee omo un término que ontribuye a generar entropía, aumentando el oefiiente de rendimiento pero inrementando en valor el punto de mínima entropía [4]. 68

68 3.4 CONCLUSIONES Se omprobó que en la última euaión de generaión de entropía (3.9), y la más general en el modelo de dos etapas, aparee el alor por efeto Peltier omo uno de los meanismos que tienden a reduir la entropía a medida que éste tenga valores omparables on los meanismos de flujo de alor por efeto Joule y Fourier. Además, para el modelo unidimensional de una etapa se observa que en la euaión de generaión de entropía aparee el alor por efeto Thomson omo ontribuión a la produión de entropía, esto puede estar relaionado on la opinión de algunos autores de que existe una dependenia entre los efetos irreversibles Joule y Fourier y los tres efetos reversibles Peltier, Seebek y Thomson[3]. 69

69 CAPÍTULO IV RESULTADOS Y CONCLUSIONES Utilizando las euaiones de produión de mínima entropía y del oefiiente de rendimiento en dispositivos termoelétrios previamente estableidas en el apítulo III, se reportan resultados y onlusiones finales, las uales esperamos que sean útiles para futuras onsultas relaionadas on el tema. 70

70 4.1 RESULTADOS EN EL MODELO DE DOS ETAPAS Las propiedades termoelétrias de los semiondutores en ada una de las etapas se estableen omo sigue: 3 3 R7.7x10, k 5.6x10 4 W / K, 3.6x10 V / K, T 48K, T 1 308K, k( Th 1 T 1) / q1 k ( Th T ) / q 0.5, definidos estos dos últimos términos omo las fraiones de alor que se absorben de la fuente en relaión al alor por efeto Fourier. También onsideramos tres valores diferentes de temperatura T 1, estableidos de forma experimental según el rango de temperatura T máximo al que pueden ser operados los materiales semiondutores de auerdo al número n de termopares: T 1 ( n 3) 81 K, T1 ( n 4) 69 K, T 1 ( n 5) 61K y finalmente I,max 11.59A. h PRIMER CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE- EXTERNAMENTE REVERSIBLE. Si la orriente elétria de la segunda etapa I,max se mantiene fija, entones la variaión de la orriente elétria I 1 da lugar a la razón de generaión de entropía en el dispositivo termoelétrio ompleto uando se emplea la euaión (3.19), obteniéndose tres urvas de razón de generaión de entropía uando se haen variaiones en el número n de termopares. Figura 8. Curvas de razón de generaión de entropía al variar la orriente elétria, el número n de termopres y onsiderando el alor por efeto Peltier. 71

71 Analizando la Figura 8, la ual es generada on el programa MathLab versión 007, se identifia que mientras más grande es n, el punto mínimo de razón de generaión de entropía adquiere un valor ada vez menor, y al mismo tiempo las respetivas orrientes de operaión en estos puntos mínimos se ven disminuidas en valor. Cabe señalar también, que en el valor ero de orriente las tres urvas tienen valores diferentes de razón de generaión de entropía, esto debido a que la euaión (3.19) ontiene dos términos; uno que depende de n, y otro de I. Otra de las araterístias importantes de estas urvas, y que también se peribe omo un omportamiento general en las gráfias posteriores, es la tasa de reimiento en la pendiente, a saber: a medida que se adiionan termopares al modulo termoelétrio se inrementa el ángulo de la pendiente en ada urva on diferente n. En esta figura los mínimos de entropía on sus respetivos valores de orriente de operaión ofreen la posibilidad de operar el dispositivo termoelétrio on el mayor aprovehamiento de la energía que se le suministra. Sin embargo, para generar esta figura no se ha tenido en uenta otro meanismo de disipaión de alor, y por lo tanto de generaión de entropía. Figura 9. Curvas de razón de generaión de entropía al variar la orriente elétria y el número n de termopares. Un omportamiento similar omo en la Figura 8 se ve en la Figura 9, que también se realizó on el programa MathLab versión 007, sólo que en esta última los valores mínimos de razón de generaión de entropía son aún menores, y además, sus respetivas orrientes de operaión en estos puntos se inrementan debido a que no se toman en uenta las posibles irreversibilidades del primer término de la euaión (3.19). 7

72 4.1. SEGUNDO CASO: EFECTO DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA EN LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA PARA EL MODELO INTERNAMENTE IRREVERSIBLE- EXTERNAMENTE IRREVERSIBLE. Como el aso más general, se presenta la Figura 30. donde se utilizó para su reproduión, además de los ya onoidos meanismos de transferenia de alor, un meanismo de generaión de entropía llamado alor externo de deseho que es la ausa prinipal de las irreversibilidades externas, y además es el prinipal fator a tomar en uenta en un análisis de razón de generaión de entropía que se expresa en la euaión (3.9). Con esta expresión obtenemos una razón de generaión de entropía adimensional para ada onfiguraión on diferentes termopares. Al analizar las urvas de generaión de entropía de las figuras 8 y 9, inmediatamente se nota un omportamiento similar que en la figura 30 obtenida on MathLab versión 007. Aunque en esta última, los puntos mínimos de generaión de entropía son muy similares en valor, también van dereiendo en valor a medida que se agregan termopares, indiando esto último on la fleha horizontal. Además, nótese también que las orrientes de operaión en estos puntos mínimos de generaión de entropía son aún de valores más pequeños omparadas on las orrientes de las gráfias anteriores en sus puntos mínimos. Estas orrientes han disminuido en valor debido a que se tiene un nuevo meanismo de disipaión de alor, a saber, alor de deseho que aumenta las irreversibilidades. Como se meniono anteriormente, los puntos de mínima generaión de entropía se deben tomar en onsideraión si se quiere que un dispositivo termoelétrio que trabaja omo refrigerador funione on el mayor aprovehamiento de energía que se le suministra. Figura 30. Curvas de razón de generaión de entropía al variar la orriente elétria, el número n de termopares y tomando en onsideraión el alor de deseho. 73

73 Es importante haer notar que la variable n no aparee en la euaión (3.9), sin embargo, ésta se enuentra implíita en la temperatura T 1, la ual irá disminuyendo a medida que se vayan agregando más termopares. Este resultado se puede orroborar on experienias de laboratorio, donde se van adiionando termopares, detetándose una disminuión en la diferenia de temperaturas entre el lado frío y el lado aliente, T. Si se quiere expresar esta experienia de laboratorio de una manera más general entones esribimos lím T ( n) 0 (4.1) n la ual nos india diretamente que al agregar demasiados termopares, la diferenia de temperaturas es asi nula, y por onsiguiente, no habría transporte de alor ni generaión de entropía por la tendenia a igualarse en valor las temperaturas de los extremos. Esto último explia las ausas en la disminuión de la entropía en las tres gráfias anteriores. 4. RESULTADOS PARA EL MODELO UNIDIMENSIONAL 4..1 ANÁLISIS DEL COEFICIENTE DE OPERACIÓN Y RENDIMIENTO PARA UN REFRIGERADOR Y UNA BOMBA DE CALOR RESPECTIVAMENTE. Usando la euaión (3.31) y la ondiión extremal B. CALOR / I 0, (4.) enontramos la orriente en la que el COP es máximo. La euaión resultante es una euaión trasendental. Sin embargo, para el aso interesante en el que 1,I / K1, 1, y usando el heho de que para un material dado, uando la razón del oiente de longitudes al oiente de áreas transversales de los elementos tipo P y tipo N, están dados por ( L / L ) / ( A / A ) k / k, entones el produto RK mínimo esta dado por ( RK) k / k. min 1 1 Entones la euaión (3.45) puede ser esrita omo h 3 ( / ) Thi T / Z ( 1) Ti / i / Zi /1 B. CALOR h ( / ) Th T i ( 1) Ti / i (4.3) 74

74 que es el oefiiente de rendimiento uando operamos el dispositivo omo bomba de alor, y uando es utilizado omo refrigerador, tenemos 3 Ti T / Z Ti / i / Zi /1 REF. h ( / ) Th T i ( 1) Ti / i (4.4) donde I i / R y Z ( ) / KR. Cuando se usan los materiales BiTe3 BiSe % y BiTe3 SbSe3 5 75% se usan omo elementos tipo N y tipo P, usamos los valores reportados en la literatura [4]. La figura 31, obtenida on el programa Wolfram Mathematia versión 6, muestra el omportamiento del oefiiente de rendimiento de la bomba de alor B. CALOR en funión de la orriente reduida i, uando T 310K y T 90K, mientras que la figura 3 se h obtiene uando las temperaturas son Th 96K y T 73K. Nótese que uando se tiene un máximo en el oefiiente de operaión, éste nos india que el dispositivo termoelétrio está utilizando la máxima antidad de energía que se le suministra ya sea para alentar un espaio frío, o para absorber alor de un espaio refrigerado. Figura 31. El oefiiente de desempeño B. CALOR vs. Corriente reduida i (K). La línea roja 5 y la línea azul orresponden a 0y V/ K, uando las temperaturas de operaión son: T 310K y T 90K[5]. h 75

75 Figura 3. El oefiiente de desempeño B. CALOR vs. orriente reduida i (K). La línea roja 5 y la línea azul orresponden a 0y V/ K. Esto uando las temperaturas de operaión son: T 96K y T 73K [5]. h Nótese que la influenia del efeto Thomson sobre el máximo oefiiente B. CALOR on las temperaturas dadas es alrededor del % para la figura 31. Empero, uando son ambiadas las temperaturas de operaión se obtiene la figura 3, obtenida on el programa Wolfram Mathematia versión 6 en la ual se observa una disminuión en el oefiiente de rendimiento al onsiderarse los dos asos: uando se onsidera el oefiiente Thomson y uando se omite. 76

76 Figura 33. El oefiiente de desempeño REF vs. Corriente reduida i (K). La línea roja y 5 la línea azul orresponden a 0y V/ K, on temperaturas de operaión: Th 310K y T 90K[5]. Para obtener la figura 33 haemos uso de la euaión (4.4) y del programa Mathematia, donde se expresa el oefiiente de rendimiento para un refrigerador en funión de la orriente reduida uando las temperaturas de operaión son: Th 310K y T 90K. Al observar la figura 33 notamos que apenas hay un ambio pereptible en el oefiiente de rendimiento al tomar en uenta el alor por efeto Thomson. Al ser omparada esta gráfia on la 31, se nota inmediatamente la diferenia en el valor del oefiiente de rendimiento de una bomba de alor y de un refrigerador, siendo este último menor al operar entre los mismos límites de temperatura. Obsérvese ahora la figura 34, obtenida on el programa Wolfram Mathematia versión 6, uando disminuyen las temperaturas de operaión sin haber un ambio en la diferenia de temperaturas T, que se sigue manteniendo on un valor fijo. Lo que se nota es una disminuión en el oefiiente máximo de operaión en relaión a la figura 33 para el dispositivo termoelétrio. La ausa prinipal en la disminuión del oefiiente de operaión es que se trabajo on una razón máxima de rehazo de alor en el lado aliente y no on la razón máxima de alor extraído del espaio refrigerado. REF 77

77 Figura 34. El oefiiente de desempeño REF vs. Corriente reduida i(k). La línea roja y 5 la línea azul orresponden a 0y V/ K, on temperaturas de operaión: Th 300K y T 80K[5]. 4.. ANÁLISIS DE LA RAZÓN DE GENERACIÓN DE ENTROPÍA EN EL MODELO UNIDIMENSIONAL. Utilizando la euaión (3.47) junto on I i / R y final para la generaión de entropía Z ( ) / KR se dedue una forma. * gen S h ( ) TT hzki KT 3 TZKi ZKi T Th QT Q T Q Q 3 KZi ZKTi (4.5).. 6K QR Q Con la euaión anterior se obtiene la Figura 35, la ual muestra el omportamiento de las urvas de razón de generaión de entropía en funión de la orriente reduida uando es onsiderado el efeto Thomson y uando tiene un valor nulo. 78

78 Figura 35. La generaión de entropía la línea azul orresponden a 0y. * S gen vs. Corriente reduida. La línea roja y V/ K. Al observar detenidamente nuestra gráfia anterior, generada on la euaión (4.5) y el programa Wolfram Mathematia versión 6, podemos observar diretamente que al ser agregado un meanismo más de transferenia de alor (en este aso el efeto Thomson) el valor de generaión de mínima entropía se inrementa de valor (línea azul) omparado on el de generaión de entropía al ser omitido el efeto Thomson. El resultado anterior implia que si se toma en uenta el alor por efeto Thomson, entones habrá más irreversibilidades presentes en el dispositivo termoelétrio, y por esta razón se aproveharía menor antidad de energía disponible que si no fuese onsiderado. Conluimos entones que el alor por efeto Thomson debe ser tomado en uenta tanto en el oefiiente de desempeño omo en el análisis de generaión de entropía para así elegir uál de los dos riterios onviene utilizar en el desempeño de ésta lase de dispositivos termoelétrios. 79

79 4.3 CONCLUSIONES Al haber heho uso de la termodinámia de proesos irreversibles, se estudiaron los efetos internos-externos de absorión, expulsión y disipaión de alor que tienen lugar en un modulo termoelétrio de dos etapas, los uales al ser tomados en uenta en las euaiones de generaión de entropía, permiten haer distinión de la degradaión de la energía en las urvas de entropía durante el fenómeno de enfriamiento por efeto Peltier. Al haber sido apliado también el método (MGE) a un modulo termoelétrio de una etapa y unidimensional, se obtuvieron las urvas de generaión de entropía desritas a partir de la adiión y omisión del alor por efeto Thomson, el ual tiene una influenia direta en el valor o punto de mínima entropía, siendo este último de valor menor uando el alor por efeto Thomson es omitido. Al mismo tiempo se obtienen inrementos pereptibles en los oefiientes de rendimiento del refrigerador y de una bomba de alor al ser onsiderado el efeto Thomson. CONCLUSIONES GENERALES Cada vez que se haen estudios relaionados on el ahorro de energía, se pretende disminuir al máximo la energía que se disipa y pierde. En la mayoría de las vees se pretende implementar proesos que impidan al máximo estas pérdidas, y que logren elevados rendimientos. Considerando lo anterior, nuestro estudio ha tenido un enfoque onerniente a la degradaión de la energía, y por lo tanto al estudio de la produión de entropía, la ual es esenial en una époa en donde surge la neesidad del ahorro de energía y de implementar energías alternativas menos noivas al medio ambiente que los ombustibles fósiles atualmente utilizados en gran porentaje. TRABAJO A FUTURO Durante el desarrollo de este trabajo se tomó en uenta un punto de vista marosópio, es deir, partiendo de los postulados de la termodinámia irreversible, la ual hae énfasis en las propiedades físias marosópias de los sistemas termodinámios. No obstante, se pretende tomar este análisis omo base para extenderlo a un nivel mirosópio utilizando la físia de estado sólido. 80

80 BIBLIOGRAFÍA 1. Callen, H.B., Thermodynamis and an introdution to Thermostatis, nd ed. John Wiley and Sons, New York, Bejan, A., Advaned Engineering Thermodynamis. John Wiley and Sons, New York, Zemansky, M. W., Heat and Thermodynamis, 5 ed. MGraw-Hill, New York, Lampinen, M.J., Journal of Applied Physis, 1991, 69, Chen, J., Yan, Z., Wu, L.,Nonequilibrium Thermodynami Analysis of a Thermoeletri Devie, Energy, 1997,, G.S. Nolas J. Sharp H.J. Goldsmid.,Thermoeletris, Basi Priniples and New Materials Development, Springer-Verlag Berlín Heidelberg Bejan A. Entropy Generation Minimization: the new thermodynamis of finite-size devies and finite time proesses. J. Appl. Phys., 1996:79(3): David M. Rowe CRC Handbook of Thermoeletris, Edited by D.M.Rowe, Ph.D.,D.S., Leopoldo Garía Colín. De la Máquina de Vapor al Cero Absoluto (Calor y Entropía). La ienia desde Méxio Leopoldo Garía Colín Sherer y Patriia Goldstein Menahe. La Físia de los Proesos Irreversibles. Tomo I. El Colegio Naional. Méxio, Bejan A. Analysis of performane and optimum onfiguration, Wiley, New York, Bejan A. Minimization of Entropy Generation, CRC Press, Boa Raton, Moukalled F., Nuwayhid R., Noueihed N. The effiieny of endoreversible heat engines with heatleak, J. Fluid Meh. 1995,19, Xuan X. C.,Semiondutor, Si. Tehnol. 00, X.C. Xuan, K.C. Ng, C. Yap and H.T., Optimization of two-stage thermoeletri oolers with two design onfigurations, Energy Convertion and Management 001, 43, Li Kai-Zhen, Lian Rui-Sheng and Wei Zheng-Jun., Analysis of performane and optimum onfiguration of two-stage semiondutor thermoeletri module, Phys. Rev. E 009, 58, R.Y. Nuwayhid, F. Moukalled and N. Noueihed., On entropy generation in thermoeletri devies, Phys. Rev. E 000, 64, (E). 18. R. Resnik, D. Halliday y S. Krane., Físia Volumen II. Ed. Cesa, Terera Reimpresión, Méxio Andrew Muto. Devie Testing and Charaterization of Thermoeletri Nanoomposites, B.S, Mehanial Engineering 005 Northeastern University. 0. Thermoeletri effet-wikipedia, the free enylopedia. 81

81 TABLA DE GRÁFICAS GENERADAS CON SOFTWARE Gráfia o número Número de de figura euaión Variables grafiadas I( A ) vs S. ( W / K ) I( A ) vs S. ( W / K ) I( A ) vs. * S ( W / K ) Software utilizado MathLab 007 MathLab 007 MathLab ik ( ) vs Wolfram B. CALOR Mathematia i (K)vs Wolfram B. CALOR Mathematia i (K) vs Wolfram REF. Mathematia i (K) vs Wolfram REF. Mathematia * Wolfram i (K) vs S Mathematia 6 8

82 CONGRESOS Y PUBLICACIONES 83

83 REFRIGERACIÓN TERMOELÉCTRICA M. Lindero a, M. A. Olivares-Robles b a Seión de Estudios de Posgrado e Investigaión, ESIME-Culhuaan, IPN, Av. Santa Ana No 1000, Culhuaan, Mexio D.F., miguel.lindero@gmail.om. b Seión de Estudios de Posgrado e Investigaión, ESIME-Culhuaan, IPN, Av. Santa Ana No 1000, Culhuaan, Mexio D.F., olivares67@mailaps.org RESUMEN En este trabajo estudiamos los efetos termoelétrios en el maro de la termodinámia irreversible. Nuestro objetivo es evaluar el desempeño de dispositivos empleados para la refrigeraión termoelétria, haiendo uso de las euaiones difereniales que gobiernan la distribuión de temperatura en su interior. Además de identifiar los parámetros importantes que intervienen diretamente en su desempeño, haemos énfasis también en el tipo de materiales semiondutores más utilizados atualmente para el inremento en su desempeño. 1. INTRODUCCIÓN En este trabajo presentamos un análisis uantitativo de los distintos efetos termoelétrios que intervienen diretamente en el desempeño de nuestros dispositivos de refrigeraión termoelétria estudiando su omportamiento de auerdo on los prinipios fundamentales de la termoeletriidad y de la termodinámia de proesos irreversibles [1-3]. 3. MARCO TERMODINÁMICO El desempeño de un dispositivo termoelétrio usado omo refrigerador o bomba de alor es afetado prinipalmente por los efetos Peltier, Fourier, Joule y Thomson. La refrigeraión termoelétria está basada por el efeto Peltier. Al mismo tiempo están presentes los otros efetos termoelétrios anteriormente menionados. De auerdo a la termodinámia fuera de equilibrio [1,3] uando se establee un flujo de densidad de orriente elétria J a través del material semiondutor ubiado en un gradiente de temperatura, tenemos, J J ( T ) TJ J (1) U donde J U es la densidad de orriente de energía en el interior del material semiondutor a una temperatura T, es el oefiiente Seebek, es la ondutividad térmia y la ondutividad elétria. Aquí, depende del material y de la temperatura T [4] mientras que y dependen del material y de la geometría del semiondutor. 84

84 . MODELO En nuestro análisis del dispositivo termoelétrio, empleado en la refrigeraión termoelétria, usamos el modelo unidimensional mostrado en la figura 1, propuesto por otros autores [5]. El modelo está ompuesto por una pareja de materiales semiondutores tipo P y N, onetados elétriamente en serie y térmiamente en paralelo. Cuando una orriente elétria fluye a través de nuestro iruito, el alor liberado y de entrada al operar entre dos reservorios a Th y T son Qh en la parte superior, y Q en la parte inferior, respetivamente. Cuando este dispositivo es utilizado omo un refrigerador termoelétrio, el reservorio a T es el espaio enfriado y el alor absorbido es Q. T 1 y T son las temperaturas dentro de los elementos tipo N y P, respetivamente y son funiones de la posiión x. E es la fem de la batería externa y proporiona la orriente I al iruito. Figure 1 Suponemos que la onstruión de los semiondutores es homogénea. y son onstants. Designando a L omo la longitud del material, S es el área de seión transversal y omo el oefiiente Thomson [1], las antidaes físias anteriores tendrán subíndie 1 para el material tipo N y para el material tipo P, e.g. 1 oefiiente Seebek del material tipo N, oefiiente Thomson del material tipo P, et. A partir de la euaión (1), las euaiones para la onduión de alor en el interior de los semiondutores tipo n y p, respetivamente, están dadas por d T dt R I K L I x L () , 0 1 dx dx L1 d T dt R I K L I x L (3) 0, 0 dx dx L 85

85 on ondiiones de frontera, T1 T T (0) (0), (4) las euaiones para el flujo de alor son T1 L1 T L T h ( ) ( ), (5) 1 ( d T d T Q 1 ) TI K1L1 K L (6) dx dx 1 ( h h d T d T Qh 1 ) ThI K1L1 K L (7) dx dx donde K1 1S 1 / L1, K S / L, R1 L1 / 1S1 y R L / S son las ondutividades térmias y resistenias elétrias. El oefiiente Thomson es T( d / dt ) ; uando es onstante, no hay efeto del alor de Thomson sobre el desempeño. COEFICIENTE DE DESEMPEÑO (COP) Resolviendo las euaiones ()-(5), enontramos que para las distribuiones de la temperatura, T A1L 1 1x T1 T A1 x (1 e ),0 x L1, (8) 1L1 1 e T AL x T T A x (1 e ),0 x L, L 1 e (9) donde I / ( K L), A RI / ( L) y T Th T. Sustituyendo (8) y (9) en las euaiones para los flujos de alor, obtenemos expresiones expliitas para los flujos de alor Q T I ( K K ) T ( R R ) I, (10) * * * * 1 1 h Q T I ( K K ) T ( ) TI [ R R ( R R )] I, (11) h h * * * *

86 h h h donde,, * K1 1 I / (1 e L * L ), K I / ( e 1), 1L 1 * L 1/[1 ] 1/ ( ), y R R L e R R e L * / ( ) 1/[ 1]. Finalmente, de las euaiones (10) y (11) tenemos para el COP, Q T I ( K K ) T ( ) TI [ R R ( R R )] I Q Q T T I TI R R I h * * * * h h h h ( h ) ( 1) ( 1 ) (1) 3. RESULTADOS Usando la euaión (1) y la ondiión extremal / I 0, (13) enontramos la orriente en la que el COP es máximo. La euaión resultante es una euaión trasedental. Sin embargo para el aso interesante en el que 1,I / K1, 1, y usando el heho de que para un material dado, uando la razón del oiente de longitudes al oiente de áreas transversales de los elementos tipo P y tipo N, están dados por ( L / L ) / ( S / S ) /, entones el produto RK mínimo esta dado por ( RK) /, la euaión (1) puede ser esrita omo, min 1 1 h 3 ( / ) Thi T / Z ( 1) Ti / i / Zi /1 h ( / ) Th T i ( 1) Ti / i donde I i / R y Z ( ) / KR. Cuando los materiales BiTe3 BiSe % y BiTe 3 SbSe % se usan omo elementos tipo N y tipo P, usamos los valores reportados en la literatura [4]. La figura muestra el omportamiento del COP en funión de la orriente reduida. Nótese que la influenia del efeto Thomson sobre el máximo COP es alrededor del %. (14) 87

87 4. CONCLUSIONES Fig.. El oefiiente de desempeño,, vs. Corriente reduida. La línea disontinua y la línea sólida orresponden a 0 y V / K. En este trabajo, las euaiones difereniales que gobiernan el ampo de temperatura dentro del dispositivo operado entre dos reservorios son estableidas usando termodinámia fuera de equilibrio. Se muestran las expresiones para el COP, es (1) y (14) del dispositivo termoelétrio. Además, reproduimos el omportamiento del COP en funión de la orriente y mostrando que la influenia del alor de Thomson en el COP máximo es alrededor del % on respeto al aso en el que se despreia diho alor. BIBLIOGRAFÍA 1. Callen, H.B., Thermodynamis and an introdution to Thermostatis, nd ed. John Wiley and Sons, New York, Bejan, A., Advaned Engineering Thermodynamis. John Wiley and Sons, New York, Zemansky, M. W., Heat and Thermodynamis, 5 ed. MGraw-Hill, New York, Lampinen, M.J., Journal of Applied Physis, 1991, 69, Chen, J., Yan, Z., Wu, L., Energy, 1997,,

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90 Dear Colleagues, On behalf of the Organizing Committee it is my pleasure to inform you that the abstrat entitled Conjugate heat transfer and entropy generation optimization of MHD flow in a mirohannel has been aepted for poster presentation in the forthoming 5th International Workshop on Nonequilibrium Thermodynamis IWNET 009 to be held in Cuernavaa, Morelos (Mexio) from the 4th to the 30th of August, 009. Posters should be prepared with a maximum size of A0 paper and in portrait orientation. Lettering should be readable from one meter away. Please do hek the ontents of your abstrat as given below so that the printed book of abstrats ontains the least possible errors. We understand that the underlined author will be the one presenting the paper. Should that not be so please let us know immediately. We look forward to seeing you in Cuernavaa. Sinerely, Federio Vázquez Authors: M. A. Olivares Robles[1] and M. Lindero Hernández[1] Affiliations: [1] ESIME-Culhuaán - Instituto Politénio Naional, Méxio Title: Entropy Generation in a Semiondutor Thermoeletri Devie Abstrat: In this work we make use of the Entropy Minimization method to analyze a basi two-stage semiondutor thermoeletri devie, whih ontains one thermoouple in the seond stage and several thermoouples in the first stage. Our study fouses on the influene of urrent of the first stage indiating hanges in entropy depending on the number of thermoouples in the seond one. 91

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