CAPÍTULO 1: NÚMEROS REALES

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1 . NÚMEROS REALES.. Números rcioles y úmeros irrcioles Recuerd que: Y cooces los distitos tipos de cojutos uméricos: Nturles N = {0,,,, } Eteros Z = {,,,, 0,,,, } CAPÍTULO : NÚMEROS REALES Rcioles Q = ; Z, b Z, b 0. b Los úmeros rcioles tmbié cotiee los úmeros que tiee epresió deciml ect (0 ) y los que tiee epresió deciml periódic ( 0 ). Si el deomidor (de l frcció irreducible) úicmete tiee como fctores primos potecis de o l epresió deciml es ect. Si el deomidor (de l frcció irreducible) tiee lgú fctor primo que o se i i l frcció tedrá u epresió deciml periódic. Tods ls frccioes tiee epresió deciml ect o periódic; y tod epresió deciml ect o periódic se puede escribir e form de frcció. Pero y sbes que eiste úmeros que o so rcioles. Por ejemplo: o puede escribirse e form de frcció. Todos estos úmeros como por ejemplo,, π juto co los úmeros rcioles form el cojuto de los úmeros reles. A los úmeros reles que o so úmeros rcioles se les llm úmeros irrcioles. L epresió deciml de los úmeros irrcioles es de ifiits cifrs o periódics. Por tto Irrcioles I = Q. El cojuto de los úmeros reles está formdo por l uió de los úmeros rcioles y de los úmeros irrcioles. Reles = Q I. Teemos por tto que: N Z Q. I Actividdes propuests. Metlmete decide cuáles de ls siguietes frccioes tiee u epresió deciml ect y cuáles l tiee periódic: ) /9 / c) 9/0 d) / e) /8 f) /. Hll l epresió deciml de ls frccioes del ejercicio terior y comprueb si tu deducció er correct.. Clcul l epresió deciml de ls frccioes siguietes: ) / / c) /9 d) / e) /00 /. Escribe e form de frcció ls siguietes epresioes decimles ects y redúcels, después comprueb co l clculdor si está bie: ) 8 ; 9 98; c) 0. Escribe e form de frcció ls siguietes epresioes decimles periódics, redúcels y comprueb que está bie: ) c) d)... Puedes demostrr que es igul? Clcul cuáto vle 999? Ayud: Escríbelos e form de frcció y simplific.. Demuestr que es irrciol. 8. Cuáts cifrs puede teer como máimo el periodo de? 9. Cuátos decimles tiee?, te treves dr u rzó? 0. Hz l divisió : y después hz :, es csulidd?. Ahor divide 999 etre y después :, es csulidd? Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

2 .. L rect rel Desidd de los úmeros reles Los úmeros reles so desos, es decir, etre cd dos úmeros reles hy ifiitos úmeros. b Esto es fácil de deducir, si, b so dos úmeros co < b sbemos que b, es decir, l medi está etre los dos úmeros. Como ese proceso lo podemos hcer tods ls veces que quermos, pues de hí el resultdo. Curiosmete los úmeros rcioles so tmbié desos, sí como los irrcioles. Actividdes propuests. Escribe úmeros reles que esté etre y.. Escribe úmeros rcioles que esté etre y.. Escribe úmeros irrcioles que esté etre y π. Represetció e l rect rel de los úmeros reles Elegido el orige de coordeds y el tmño de l uidd (o lo que es igul, si colocmos el 0 y el ) todo úmero rel ocup u posició e l rect uméric y l revés, todo puto de l rect se puede hcer correspoder co u úmero rel. El curso psdo estudiste cómo represetr e l rect rel frccioes y ríces. Actividdes propuests. Represet e l rect uméric los siguietes úmeros: 9 ),, c), d).. Represet e l rect uméric: ) 0,, c), d).. Vlor bsoluto. Distci e l rect rel El vlor bsoluto o módulo de u úmero es igul l vlor de ese úmero igordo el sigo. Por ejemplo, el vlor bsoluto de es, y el vlor bsoluto de +, tmbié es. E leguje forml, el vlor bsoluto se defie de l siguiete mer: si 0 si 0 Si represetmos est fució e u eje de coordeds, result u gráfic como l del mrge. Como el vlor bsoluto es u fució muy importte e mtemátics, tiee su propio símbolo. Pr escribir el vlor bsoluto de u úmero, bst co ecerrr el úmero etre dos brrs verticles:. El vlor bsoluto de u úmero se cosigue suprimiedo el sigo, y se ot medite el símbolo. El vlor bsoluto de es, igul que el vlor bsoluto de +. Escrito e leguje forml serí: = = +. Actividdes propuests. Hll el vlor bsoluto de los siguietes úmeros: ) c) π Pr qué sirve? El vlor bsoluto se utiliz priciplmete pr defiir ctiddes y distcis e el mudo rel. Los úmeros egtivos so u costrucció mtemátic que se utiliz e el cálculo, pero e l relidd o eiste ctiddes egtivs. No podemos vijr u distci de 00 kilómetros, o comer crmelos. Esto se debe que el tiempo solo discurre e u direcció (positiv por coveció), pero eso o etr e el ámbito de ls Mtemátics, sio e el de l Físic. El vlor bsoluto se us pr epresr ctiddes o logitudes válids e el mudo rel, como l distci. Hgo u vije de id y vuelt hst u ciudd que se ecuetr 0 km de mi cs. Después de hcer el vije, estoy e el mismo puto, sí que mi posició o hbrá cmbido, esto es: Posició = 0 km 0 km = 0 Esto o quiere decir que o hy recorrido u distci. Hy dos ctiddes teer e cuet, u distci de id y otr de vuelt, e totl será: L = 0 km + 0 km = 80 km Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

3 Actividdes resuelts Ls propieddes del vlor bsoluto so: No egtividd: 0. Simetrí: = Defiició positiv: = 0 = 0. Vlor bsoluto y producto: b = b Desiguldd trigulr: + b + b - Simetrí. Si > 0 = Si < 0 = () = Etoces = = Represet l fució f() = se() Co trzos de putos está dibujd l fució seo. Debjo, e rojo, prece f() = se() que es igul e su prte positiv y hce positiv su prte egtiv. Actividdes propuests 8. Represet ls siguietes fucioes: ) f() = ² f() = ² c)) f() = Demuestr que el vlor bsoluto uc puede ser egtivo. No egtividd Por defiició, l fució vlor bsoluto solo cmbi el sigo cudo el operdo es egtivo, sí que o puede eistir u vlor bsoluto egtivo. Demuestr que el vlor bsoluto de u úmero y su egtivo coicide. Distci e l rect rel U distci es u medid que tiee us determids propieddes: ) No egtividd. ) Simetrí. ) Propiedd trigulr. L distci etre dos úmeros reles e y se defie como: Dist(, y) = y Verific ls propieddes tes idicds pues: ) Al estr defiid co el vlor bsoluto es siempre u úmero o egtivo. L distci etre dos putos tiee vlor cero, úicmete si los dos putos so coicidetes: 0 = Dist(, y) = y y = 0 = y. ) Simetrí: Dist(, y) = y = y = Dist(y, ). ) Propiedd trigulr: Dist(, y) Dist(, z) + Dist(z, y). Dist(, 8) = 8 = Dist(, 9) = 9 () = 9 + ) = = Dist(, ) = () = + ) = = Dist(9, ) = (9) = + 9) = = Si estmos e el sóto 9º y subimos l piso º, cuátos pisos hemos subido? Como hemos visto e el ejemplo terior, hemos subido e totl pisos. Dist(9, ) = (9) = + 9) = =. Si el termómetro mrc ºC y luego mrc ºC, cuátos grdos h subido l tempertur? Como hemos visto e el ejemplo terior, l tempertur h subido ºC. Fíjte que l escl termométric que hemos usdo es l Celsius, hy otrs, pero esto lo estudirás e Físic. Dist(, ) = () = + ) = =. Actividdes propuests 9. Represet e l rect rel y clcul l distci etre los úmeros reles siguietes: ) Dist(, 9) Dist(, ) c) Dist(/, 9/) d) Dist(.,.). Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

4 .. Itervlos y etoros Recuerd que: U itervlo de úmeros reles es u cojuto de úmeros correspodietes u prte de l rect uméric, e cosecueci, u itervlo es u subcojuto del cojuto de los úmeros reles. Tipos de itervlos Itervlo bierto: es quel e el que los etremos o form prte del mismo, es decir, todos los putos de l rect compredidos etre los etremos form prte del itervlo, slvo los propios etremos. E otrs plbrs I = (, = { < < b}, observ que se trt de desigulddes estricts. Gráficmete, lo represetmos e l rect rel del modo siguiete: Itervlo cerrdo: es quel e el que los etremos si form prte del mismo, es decir, todos los putos de l rect compredidos etre los etremos, icluidos éstos, form prte del itervlo. E otrs plbrs I = [, b] = { b}, observ que hor o se trt de desigulddes estricts. Gráficmete: Itervlo semibierto: es quel e el que solo uo de los etremos form prte del mismo, es decir, todos los putos de l rect compredidos etre los etremos, icluido uo de estos, form prte del itervlo. Itervlo semibierto por l izquierd, el etremo iferior o form prte del itervlo, pero el superior sí, e otrs plbrs, I = (, b] = { < b}, observ que el etremo que qued fuer del itervlo v socido u desiguldd estrict. Itervlo semibierto por l derech, el etremo superior o form prte del itervlo, pero el iferior sí, e otrs plbrs I = [, = { < b}, observ que el etremo que qued fuer del itervlo v socido u desiguldd estrict. Gráficmete: Semirrects reles A u semirrect se l puede cosiderr como u itervlo ifiito. Semirrect de los úmeros positivos S+ = (0, ), es decir, desde cero hst ifiito. Semirrect de los úmeros egtivos S- = (, 0), es decir, desde el meos ifiito, el ifiito egtivo, hst cero. Co lo que tod l rect de los úmeros reles es = (, ) = (S+) (S-) {0}. Etoros Es u form especil de epresr los itervlos biertos. Se defie el etoro de cetro y rdio r y se deot E(, r) (otr form usul es E r () ) como el cojuto de úmeros que está u distci de meor que r. Co u ejemplo lo etiedes mejor: El etoro de cetro y rdio so los úmeros que está de u distci meor que. Si lo pesmos u poco, será los úmeros etre y +, es decir, el itervlo (, ). Es como coger el compás y co cetro e mrcr co bertur. Fíjte que el está e el cetro y l distci del l y l es. E(, r) = ( r, + r) E(, ) = (, + ) = (, ) Es muy fácil psr de u etoro u itervlo. Vmos hcerlo l revés. Si tego el itervlo bierto (, 0), cómo se poe e form de etoro? 0 Hllmos el puto medio = que será el cetro del etoro. Nos flt hllr el rdio: (0 ) : = es el rdio (l mitd del cho). Por tto (, 0) = E(, ) Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

5 E geerl: b c c b El itervlo (b, c) es el etoro E,. 8 ( 8) El itervlo (8, ) = E, E( ', ') Tmbié eiste los etoros cerrdos pero so de uso meos frecuete. Actividdes propuests 0. Escribe los siguietes itervlos medite cojutos y represétlos e l rect rel: ) [, ) (, ) c) (, 8] d) (, ). Represet e l rect rel y escribe e form de itervlo: ) < < < c) < d). Epres como itervlo o semirrect, e form de cojuto (usdo desigulddes) y represet gráficmete: ) U porcetje superior l %. Edd iferior o igul 8 ños. c) Números cuyo cubo se superior 8. d) Números positivos cuy prte eter tiee cifrs. e) Tempertur iferior ºC. f) Números pr los que eiste su ríz cudrd (es u úmero rel). g) Números que esté de u distci iferior.. Epres e form de itervlo los siguietes etoros: ) E(, ) E(, 8/) c) E(0, 0 00). Epres e form de etoro los siguietes itervlos: ) (, ) (, ) c) (, ). Los sueldos superiores 00 pero iferiores 000 se puede poer como itervlo de úmeros reles? *Pist: 00 puede ser u sueldo?.. Aproimció de u úmero deciml. Estimció, redodeo y errores Recuerd que: E l vid cotidi y tmbié e ls ciecis plicds es ecesrio trbjr co úmeros proimdos. Uos ejemplos: Queremos comprr u tercio de metro de cit, teemos que decirle l depediete cuto queremos y o vmos ser t idiots como pr decirle que os dé 0 metros o cm que es lo ecto. Lo orml es pedir cm o cm. Medimos u folio A co l regl y os d 9 cm, l regl lleg los mm. Queremos dividirlo e 8 prtes igules, cuáto medirá cd prte? Si hcemos 9 : 8 os d cm, pero l regl o lleg tto, será mejor proimr cm. Hcemos u eme co 9 preguts que vle tods igul. Teemos bie y ls demás e blco. Qué ot teemos?, 0 /9 =, segú l clculdor, ls poemos tods?, si lo hcemos estmos supoiedo que somos cpces de distiguir prte de etre 0000 milloes de prtes igules del eme. Lo rzoble es o si somos muy pero que muy precisos. Result curioso y deberí ser delito que e ls gsoliers se ucie: Precio del gsoil 99 /litro. Si lguie v y pide u litro ecto, o o o se lo puede cobrr ectmete puesto que o eiste ls milésims de!, deberí escribir 0 /litro. Es cierto que de es mer te horrs cétimos si echs 0 litros pero ellos les compes el tem psicológico, l gete poco cult e úmeros ve e lugr de. Ectmete lo mismo ps e los supermercdos: merluz 99 /Kg. So trucos brtos que u mete etred sbe detectr y ctur e cosecueci. L difereci etre 8 /Kg y 99 /Kg es que te horrs cétimo! si comprs Kg, si comprs medio, cuáto te horrs?, d!, pues 99 : = 99 que redodedo es, que es lo que cobr. Auque bie mird l ofert o está t ml pues si comprs Kg de merluz horrs pr comprrte u crmelo, eso sí, tiees que comprr más de medio Kg por vez. Redodeo Te recordmos como se redode correctmete los úmeros. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

6 Redoder ls diezmilésims: = 9, l cifr de ls diezmilésims es, como l cifr siguiete es 9 que es, le summos l y podremos. Fíjte que está más cerc de que de. Redoder ls cetésims: =, hor l cifr de ls cetésims es y l siguiete es < luego l dejmos tl cul,. L regl es: Loclizmos l cifr de redodeo, mirmos l siguiete cifr (sólo l siguiete), si ést es meor que l cifr de redodeo se qued igul, si l cifr siguiete es o myor que icremetmos e l cifr de redodeo. Más ejemplos: Redode 99 ls cetésims 00 y los ceros hy que escribirlos pr idicr hst dóde hemos redodedo. e los miles 000 dode hy que completr co ceros después de los miles e ls décims 8 9 sólo hy que mirr el. Not importte: Si el resultdo de u problem so se redoderá siempre e los cétimos. Otr ot importte: Si queremos dr u resultdo co decimles e los psos itermedios trbjremos co más decimles, l meos o, de lo cotrrio el resultdo o tedrá l precisió que pretedemos, u ejemplo: A = 9 ; B = 98 y C = 99. Queremos hcer (A B) C, si hcemos A B y redodemos e ls cetésims os qued y si hor multiplicmos por 99 = 90 os sle. El resultdo correcto es 0 dode sólo hemos redodedo l fil. Cifrs sigifictivs Es el úmero de cifrs co vlor que se utiliz pr epresr u úmero proimdo. Uos cutos ejemplos y lo etiedes: tiee cifrs sigifictivs; 89 0 tiee cifrs sigifictivs. 00 tiee ; tiee ; 0000 o sbemos ls cifrs sigifictivs que tiee, puede ser o o o o, os tiee que decir e qué cifr se h proimdo. Pr este último cso puede recurrirse l otció cietífic pr decir co precisió el úmero de cifrs sigifictivs, sí: 0 tiee u cifr sigifictiv, 0 0 tiee y sí hst que tiee. Cosidercioes: Ls cifrs distits de 0 siempre so sigifictivs. Los ceros l izquierd uc so cifrs sigifictivs: tiee cifr sigifictiv. Los ceros e medio de otrs cifrs distits de 0 siempre so sigifictivos 00 tiee cifrs sigifictivs. Más que el úmero de decimles l precisió de u proimció se mide por el úmero de cifrs sigifictivs. No debe utilizrse más cifrs de ls que requier l situció. Actividdes propuests. Copi est tbl e tu cudero y redode co el úmero de cifrs idicdo Cifrs sigifictivs Número 0 /9 8 Error Absoluto Se defie el Error Absoluto (EA) como EA = vlor rel vlor proimdo. Si proimmos tedremos que el EA = = us milloésims. Observ que si o se cooce el vlor rel, o podemos clculr ectmete el error bsoluto, pero si proimrlo clculdo u cot del error. Cot del Error Absoluto Podemos coocer u cot del error bsoluto teiedo e cuet el orde de proimció, sí, si hemos redodedo e ls diezmilésims (como e el ejemplo) siempre podemos firmr que el EA es meor o igul , es decir, meor o igul que medi uidd del vlor de l cifr de redodeo o uiddes de l siguiete ( ciemilésims), que es lo mismo. Actividdes resuelts Clcul l cot del error bsoluto de N EA 0 0. Clcul l cot de error de N 00 es EA 0 si supoemos que hemos redodedo e ls cetes. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

7 8 Error Reltivo Pr comprr errores de distits mgitudes o úmeros se defie el Error Reltivo (ER) como: EA ER = Vlor rel que suele multiplicrse por 00 pr hblr de % de error reltivo. Si o se cooce el vlor rel se sustituye por el vlor proimdo (l difereci ormlmete es pequeñ). Actividdes resuelts Si proimmos ríz de por, el error reltivo cometido es: 0'00 0'00 EA 0 00 ER = = % ' E ls proimcioes A = co EA 0 0 y B = 90 co EA, e cuál estmos cometiedo proporciolmete meor error? Clculmos los errores reltivos: 0'0 A ER 0 00 ER 0 8 % ' B ER 0 00 ER 0 % 90 Es mejor proimció l de B. Cotrol del error cometido Recuerd que: E cd sum o rest el error bsoluto es l sum de los errores bsolutos. Por tto puede umetr peligrosmete si hcemos vris sums y rests. Los errores reltivos se sum l multiplicr dos úmeros. Actividdes resuelts Medimos el rdio de u circufereci co u regl milimetrd y mrc 0 cm. Queremos clculr el áre del círculo. El error máimo e el rdio es de 0 0 cm luego puede estr etre 9 y 0. Si plicmos l fórmul r pr estos vlores obteemos y, que so los vlores míimo y máimo. L difereci es y su mitd es que es l cot de error bsoluto. Decimos que A = 9 cm. ' A ER 0 0 ER % '9 0'0 r ER 0 00 ER 0 % El rdio teí u cot de 0 %, y el áre del círculo de, luego hemos perdido precisió. Si opermos co úmeros proimdos, y peor ú, si lo hcemos e repetids ocsioes, los errores se v cumuldo hst el puto de poder hcerse itolerbles. Actividdes propuests. Redode hst ls décims y hll los errores bsoluto y reltivo cometidos. 8. Hll u cot del error bsoluto e ls siguietes proimcioes: ) c) U blz tiee u error iferior o igul 0 g e sus medids. Usmos es blz pr elborr pquetes de cfé de medio kilogrmo cd uo que so u lote. Determi el peso míimo y máimo del lote. Cuál es l cot del error bsoluto pr el lote?. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES.. Potecis de epoete turl Recuerd que: Ddo, u úmero culquier, y, u úmero turl, l poteci es el producto del úmero por sí mismo veces E form desrrolld, l poteci de bse y epoete se escribe: =, veces, siedo culquier úmero y u úmero turl. =, veces () = () () () () (), veces. Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

8 9 L bse puede ser positiv o egtiv. Cudo l bse es positiv el resultdo es siempre positivo. Cudo l bse es egtiv, si el epoete es pr el resultdo es positivo, pero si es impr el resultdo es egtivo. Si clculmos los ejemplos de rrib tedremos: = =. Resultdo positivo porque multiplico u úmero positivo veces. () = () () () () () =. Multiplico u úmero egtivo u úmero impr de veces, por lo que el resultdo es egtivo. Cd vez que multiplicmos dos úmeros egtivos os d uo positivo, como teemos, quedrí u sigo meos si multiplicr, luego (+) () = (). Recuerd que: Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes potecis: ) () = () ( ) ( ) ( ) ( )= = = c) () = ( ) = Actividdes propuests 0. Clcul ls siguietes potecis: ) ( + ) c) ().. Propieddes de ls potecis Ls propieddes de ls potecis so: ) El producto de potecis de l mism bse es igul otr poteci de l mism bse y como epoete l sum de los epoetes: m = m+ = ( ) ( ) = + = El cociete de potecis de l mism bse es igul otr poteci que tiee como bse l mism, y como epoete l difereci de los epoetes: : m = m / = ( ) / ( ) = - = c) L poteci de u poteci es igul u poteci de l mism bse y cuyo epoete es el producto de los epoetes: ( ) m = m ( ) = ( ) ( ) ( ) = d) El producto de potecis de distit bse co el mismo epoete es igul otr poteci cuy bse es el producto de ls bses y cuyo epoete es el mismo: b = ( = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) e) El cociete de potecis de distit bse y el mismo epoete es igul otr poteci cuy bse es el cociete de ls bses y cuyo epoete es el mismo: /b = (/ 8 / = (8 8 8) / ( ) = (8/) (8/) (8/) = (8/) Tods ests propieddes de ls potecis que se h citdo pr los epoetes turles sigue siedo válids pr otros epoetes: egtivos, frcciorios.. Potecis de epoete egtivo Defiició de poteci de epoete egtivo y bse : = / Esto se justific y que se dese que se sig verificdo ls propieddes de ls potecis: m / = m. m / m+ = m (m + ) = = /. es lo mismo que (/). Actividdes resuelts: Clcul ls siguietes opercioes co potecis: ) 9 = ( ) = = 9 ( ) = = 9 c) / 0 = 0 = Bse positiv: resultdo siempre positivo. Bse egtiv y epoete pr: resultdo positivo. Bse egtiv y epoete impr: resultdo egtivo Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk = / Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

9 0 d) / = ( ) = + = 9 Actividdes propuests. Efectú ls siguietes opercioes co potecis: ) ( + ) ( + ) ( + ) : ( + ) c) {( ) } d) ( + ) ( + ). Clcul ls siguietes opercioes co potecis: ) ( ) c) / 0 d) / e) f) ( ) g) / 0 h) /. Simplific: 8 ) b ( ) ( ) c) y z d) ( ) ( ) ( ( ) 8 y z 0 ( ). POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES.. Potecis de epoete rciol Se defie l poteci de epoete frcciorio r/s y bse como: / Epoetes frcciorios: ( ) Ls propieddes citds pr ls potecis de epoete etero so válids pr ls potecis de epoetes frcciorios / Rdicles Se defie ríz -sim de u úmero, como el úmero b que verific l iguldd b =. b b = Siedo: el ídice, l ctidd subrdicl o rdicdo y b es l ríz -sim de Importte: siempre es positivo. No eiste l ríz de u úmero. L rdicció de ídice es l operció ivers de l potecició de epoete. Por l defiició de ríz -ésim de u úmero se verific que si b es ríz, etoces: b b = Observ que se puede defiir: / = y que: ( / ) = (/) = =. Como / stisfce l mism propiedd que b debe ser cosiderdos como el mismo úmero. Ejemplos: / (8) 8 ( ) / ().. Propieddes de los rdicles Ls propieddes de ls potecis eucids teriormete pr el cso de epoetes frcciorios, tmbié se puede plicr ls ríces: ) Si multiplicmos el ídice de u ríz por u úmero p, y l vez elevmos el rdicdo ese úmero p el vlor de l ríz o vrí. Se verific p 0 que: Demostrció:. p p. p p. p p. r/s = s.. Se verific puesto que segú cbmos de ver: Pr multiplicr ríces del mismo ídice, se multiplic los rdicdos y se hll l ríz de ídice comú: r Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

10 Demostrció: Segú ls propieddes de ls potecis de epoetes eteros se verific que: b ( b b c) Pr dividir ríces del mismo ídice se divide los rdicdos y se hll l ríz del ídice comú. Supoemos que b 0 pr que teg setido el cociete.. b b Demostrció: Si escribimos: ( ) b b. b b m m d) Pr elevr u rdicl u poteci bst co elevr el rdicdo dich poteci: ( ) Demostrció: Est propiedd l podemos demostrr como sigue: m m m m m e) L ríz de u ríz es igul l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices: m m. Demostrció: Se verific que: m 0 m m m y y ( y ) ( ) ( y ) y Actividdes resuelts: Reduce ídice comú () los siguietes rdicles: ; 0 ( ) ; 0. Sc fctores fuer de l ríz: 08 Escribe los siguietes rdicles como u sol ríz:... Actividdes propuests 9. Clcul: ) (. b ).... c) ( ( ) ) 8. Hll: ) : y y :. Reliz ls siguietes opercioes co rdicles: ) : ( ( ) ) y y Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

11 . OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION.. Opercioes Sum y rest de rdicles: 9 Pr sumr estos rdicles hy que sumr sus epresioes proimds. Si embrgo l epresió: sí se puede sumr y restr puesto que sus rdicles so idéticos Pr poder sumr o restr rdicles es ecesrio que teg el mismo ídice y el mismo rdicdo. Solo cudo esto sucede podemos sumr o restr los coeficietes o prte uméric dejdo el mismo rdicl Por ls propieddes de los rdicles podemos scr fctores del rdicl dejdo que todos los rdicles se idéticos: ( ) 0 Producto de rdicles Pr multiplicr rdicles debemos covertirlos e rdicles de igul ídice y multiplicr los rdicdos:.- Clculmos el m.c.m.de los ídices.- Dividimos el m.c.m etre cd ídice y lo multiplicmos por el epoete del rdicdo y simplificmos ( ) Divisió de rdicles Pr dividir rdicles debemos coseguir que teg igul ídice, como e el cso terior y después dividir los rdicles....( ) Ríz de u ríz Es l ríz cuyo ídice es el producto de los ídices (segú se demostró e l propiedd e), y después simplificmos etryedo fctores fuer el rdicl si se puede. y = y = y y RECUERDA: Pr sumr y restr rdicles estos debe de ser idéticos: RECUERDA: Pr etrer fctores del rdicl se debe cumplir que el epoete del rdicdo se myor que el ídice de l ríz. Dos opcioes: Se divide el epoete del rdicdo etre el ídice de l ríz, el cociete idic el úmero de fctores que etrigo y el resto los que se qued detro. Se descompoe los fctores del rdicdo elevádolos l mismo ídice de l ríz, cd epoete que coicid co el ídice, sldrá el fctor y los que sobre se qued detro Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

12 Etre fctores del rdicl: 8 = y y y y Los fctores que podrímos etrer serí el,, y y el, de l siguiete mer: Dividimos el epoete de l,, etre, y que el ídice de l ríz es, y teemos de cociete y de resto, por lo que sldrá dos y qued detro. De igul form pr l y, dividimos etre y obteemos de cociete y uo de resto, por lo que sle y y se qued otr detro.. Vemos: y y y y Actividdes propuests. Escribe bjo u solo rdicl y simplific: 8. Clcul y simplific:. y y. y 9. Reliz l siguiete operció: 0. Clcul y simplific: Rciolizció Rciolizr u frcció lgebric cosiste e ecotrr otr equivlete que o teg rdicles e el deomidor. Pr ello, hy que multiplicr umerdor y deomidor por l epresió decud. Cudo e l frcció solo hy moomios, se multiplic y divide l frcció por u mismo úmero pr coseguir completr e el deomidor u poteci del mismo epoete que el ídice de l ríz.. Multiplicmos y dividimos por pr obteer e el deomidor u curt poteci y quitr el rdicl. Cudo e l frcció prece e el deomidor biomios co ríces cudrds, se multiplic y se divide por u fctor que proporcioe u difereci de cudrdos, este fctor es el fctor cojugdo del deomidor. b, su cojugdo es: b. Otro ejemplo: ( su cojugdo es: ( Multiplicmos por el cojugdo del deomidor que e este cso es: ( ) ( ) ( ( )( ) ) Actividdes propuests. Rcioliz l epresió:. Rcioliz:. Rcioliz:. NOTACION CIENTÍFICA y y Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

13 .. Defiició L otció cietífic se utiliz pr escribir úmeros muy grdes o muy pequeños. L vetj que tiee sobre l otció deciml es que ls cifrs se os d cotds, co lo que el orde de mgitud del úmero es evidete. U úmero puesto e otció cietífic cost de: U prte eter formd por u sol cifr que o es el cero (l de ls uiddes). El resto de ls cifrs sigifictivs puests como prte deciml. U poteci de bse 0 que d el orde de mgitud del úmero. N = bcd... 0 siedo: su prte eter (solo u cifr), b c d su prte deciml, 0 l poteci eter de bse 0. Si es positivo, el úmero N es grde. Y si es egtivo, etoces N es pequeño Ejemplos: 8 0 (= ): Número grde (= 0, ): Número pequeño... Opercioes co otció cietífic Pr operr co úmeros ddos e otció cietífic se procede de form turl, teiedo e cuet que cd úmero está formdo por dos fctores: l epresió deciml y l poteci de bse 0. El producto y el cociete so imeditos, mietrs que l sum y l rest eige preprr los sumdos de modo que teg l mism poteci de bse 0 y, sí poder scr fctor comú. Ejemplos: ( 0 ) ( 0 8 ) = ( ) 0 +8 = 0 0 = 0 0 ' 0 ( 8) (' : ') 0 0'8 0 8' 0 8 ' = = ( ) 0 9 = = = 88 0 Actividdes propuests. Clcul: ) ( ) ( 8 0 ) ( 0 - ) : ( 0 - ). Efectú y epres el resultdo e otció cietífic: ) RECUERDA: Pr multiplicr úmeros e otció cietífic, se multiplic ls prtes decimles y se sum los epoetes de l poteci de bse 0. Pr dividir úmeros e otció cietífic, se divide ls prtes decimles y se rest los epoetes de l poteci de bse 0. Si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr co u sol cifr e l prte eter. RECUERDA: Pr sumr o restr úmeros e otció cietífic, hy que poer los úmeros co l mism poteci de bse 0, multiplicdo o dividiedo por potecis de bse 0. Se sc fctor comú l poteci de bse 0 y después se sum o rest los úmeros decimles queddo u úmero deciml multiplicdo por l poteci de 0. Por último si hce flt se multiplic o se divide el úmero resultte por u poteci de 0 pr dejr e l prte eter u sol cifr ' 0 ' Reliz ls siguietes opercioes y efectú el resultdo e otció cietífic: ) ( 0 0 ) ( ) Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

14 . LOGARITMOS.. Defiició: El logritmo de u úmero m, positivo, e bse, positiv y distit de uo, es el epoete l que hy que elevr l bse pr obteer dicho úmero. Los logritmos más utilizdos so los logritmos decimles o logritmos de bse 0 y los logritmos eperios (llmdos sí e hoor Neper) o logritmos e bse e (e es u úmero irrciol cuys primers cifrs so: e = 888 ). Ambos tiee u otció especil: log 0 m = log m log e m = l m Ejemplos: log 9 = 9 = log = = log 000 = 000 = 0 l e = e = e Como cosecuecis imedits de l defiició se deduce que: El logritmo de es cero (e culquier bse) Demostrció: Como 0 =, por defiició de logritmo, teemos que log = 0 Ejemplos: log = 0 log = 0 log = 0 El logritmo de l bse es. Demostrció: Como =, por defiició de logritmo, teemos que log = Ejemplos: log = log = log = log = Si > 0, log m = z m = z El logritmo de es cero (e culquier bse) El logritmo de l bse es. Solo tiee logritmos los úmeros positivos. Solo tiee logritmos los úmeros positivos, pero puede hber logritmos egtivos. U logritmo puede ser u úmero turl, etero, frcciorio e icluso u úmero irrciol Al ser l bse u úmero positivo, l poteci uc os puede dr u úmero egtivo i cero. log () No eiste log 0 No eiste. log 00 = 00 = 0. log 0 = 0 = 0. log 0 = / 0 = 0 /. log = Actividdes resuelts: log 8 = = 8 = = log 8 = = 8 = = log = = () / = ( ) / = / Actividdes propuests. Copi l tbl djut e tu cudero y emprej cd logritmo co su poteci: = log = 0 0 = = = log = 0 = log = = log = 0 log = log = = log 8 = log = = 8 8. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log log c) log d) log 0 9. Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log log 0 00 c) log / (/) d) log Clcul utilizdo l defiició de logritmo: ) log = log / = c) log = Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

15 . Clcul, utilizdo l defiició de logritmo: ) log + log / log 9 log log / + log / log.. Propieddes de los logritmos. El logritmo de u producto es igul l sum de los logritmos de sus fctores: log ( y) = log + log y Demostrció: Llmmos A = log y B = log y. Por defiició de logritmos sbemos que: A = log A = B = log y B = y Multiplicmos: y = A B = A+B log y = A + B = log + log y. log ( ) = log + log. El logritmo de u cociete es igul l logritmo del dividedo meos el logritmo del divisor: log (/y) = log log y Demostrció: Llmmos A = log y B = log y. Por defiició de logritmos sbemos que: A = log A = B = log y B = y Dividimos: / y = A / B = A-B log ( / y) = A B = log log y. log (/ ) = log log. El logritmo de u poteci es igul l epoete multiplicdo por el logritmo de l bse de l poteci: log y = y.log Demostrció: Por defiició de logritmos sbemos que: A = log A = ( A ) y = y = Ay Ay = log y = y log log = log. El logritmo de u ríz es igul l logritmo del rdicdo dividido por el ídice de l ríz: log log Demostrció: Teiedo e cuet que u ríz es u poteci de epoete frcciorio. log log. Cmbio de bse: El logritmo e bse de u úmero es igul l cociete de dividir el logritmo e bse b de por el logritmo e bse b de : logb log log Est epresió se cooce co el ombre de fórmul del cmbio de bse. Ls clculdors sólo permite el cálculo de logritmos decimles o eperios, por lo que, cudo queremos utilizr l clculdor pr clculr logritmos e otrs bses, ecesitmos hcer uso de ést fórmul. log log log log ' 9 log Actividdes resuelts: Desrrollr ls epresioes que se idic: b log log b log c log log b log c log log b log c c log y z log log y z log( y z) (log log y log z) log log y log z b Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

16 Escribe co u úico logritmo: log + log log b log c log log log c log b log c (log log log c ) (log b log ) log( c ) log( b. ) log b Epres los logritmos de los siguietes úmeros e fució de log = 0 000: ) log= log = log = = log0 = log 0 = 0 log = = 000. Actividdes propuests. Desrroll ls epresioes que se idic: ) l b log e c. d. Epres los logritmos de los úmeros siguietes e fució de log = 0 ) 8 c) 909. Simplific l siguiete epresió: logm logt log p logh EJERCICIOS Y PROBLEMAS: Números reles. Clsific los siguietes úmeros e rcioles e irrcioles y ps frcció los rcioles: 0; 0 ; ; '; ; '...; 9'9; 9 ; ; '; '0.... Represet, proimdmete, e l rect rel los úmeros: 0 ; 8; ; ; ; ; ; '.... Escribe dos úmeros e ls codicioes siguietes: ) Myores que 0 y meores que 0 Compredidos etre y.comprueb que l difereci etre estos úmeros y es meor que u cetésim. Ddos los itervlos: A = {; 0 < }; B = {; / < } ; C = (, ) ) Represétlos e l rect rel Clcul sus logitudes c) Clcul: AB, AB, AC, (AC)B, ABC, ABC. Clcul e ls siguietes ecucioes: (Pist: puede teer dos vlores) ) = = 0 c) + 9 =. Represet e l rect rel los úmeros que verific ls siguietes relcioes: ) < c) > d). Hll dos úmeros que diste uiddes de, y otros dos que diste uiddes de, clcul después l difereci etre el myor y el meor de todos estos úmeros. 8. Escribe el itervlo [, ] (, 9). 9. Escribe el itervlo formdo por los úmeros reles que cumple Cuál es el error bsoluto y el error reltivo cometidos l hcer ls siguietes proimcioes: ) por + por c) Redodeo cutro cifrs del úmero Potecis. Epres e form de poteci: ) t t. Clcul: ) c) ( ) z c) d) 8 e). y 8. y d) ( ) e) (8 ) Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

17 8. Clcul: ) ( ) ( ) ( ) Rdicles ( ) ( ) ( ). Epres e form de rdicl: ) 9. Epres e form de rdicl: c) ( y ) ( y ) 8 ( y ) d) 0 ( ) ( ) ( ) ( m ) c) [( ) ] d) b ) ( ). Epres como poteci úic: 8 ). Simplific: ) 9 8. Etre fctores del rdicl: ) c). c) c) b c. b. c 8 b c c) 0 ( ) d) b c 9. Itroduce fctores e el rdicl: ). 0. Clcul ) m k d) ( ).. b b 0b 8 b. Efectú: d) d) e). ) e) ) ( ( ) f) ( e) ( ) f) e) 8 b c). f) 8 8 y f) y. y g) d). e) 0 c) d) : 0 ) c) d) e) 9 f) g) Rcioliz los deomidores: ) c) d). Rcioliz y simplific: ) c) ` d) e) 0 e) : y g) g) 0. b 9 f) e) f) ( ). Efectú y simplific: ) ( ) (+ c) (- ) : ( Logritmos. Desrroll los siguietes logritmos: ) ( y) l y z log / z e. Simplific l siguiete epresió: log log log 9 Notció cietífic:. L ms del Sol es 0000 veces l de l Tierr, proimdmete, y est es 98 0 t. Epres e otció cietífic l ms del Sol, e kilogrmos. f) f) Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

18 9 8. El ser vivo más pequeño es u virus que pes del orde de 0-8 g y el más grde es l blle zul, que pes, proimdmete, 8 t. Cuátos virus serí ecesrios pr coseguir el peso de l blle?. 9. Los cico píses más cotmites del mudo (Estdos Uidos, Chi, Rusi, Jpó y Alemi) emitiero billoes de toelds de CO e el ño 99, ctidd que represet el % de ls emisioes de todo el mudo. Qué ctidd de CO se emitió e el ño 99 e todo el mudo? 0. Epres e otció cietífic: ) Recudció de ls quiiels e u jord de l lig de fútbol: 8000 Toelds de CO que se emitiero l tmósfer e 99 e Estdos Uidos 8 miles de milloes. c) Rdio del átomo de oigeo: m. Efectú y epres el resultdo e otció cietífic: ) ( 0 - ) (8 0 8 ) ( 0 - ) ( 0 - ) c) ( 0 ) : ( 0 - ) d) e)( 0 ) -. Epres e otció cietífic y clcul: ) (800) : (000) 0 ' c) (0 00) (0 000) d) '000. Efectú y epres el resultdo e otció cietífic: ) ' 0 ' 0 0 c)( 0 0 ) 0,0000 0,000. Que resultdo es correcto de l siguiete operció epresd e otció cietífic: ( 0 ) (8 0 ): ) c) 98 0 d) 98 0 AUTOEVALUACION. El úmero 8 / vle: ) u dieciseisvo Dos c) U curto d) U medio.. Epres como poteci de bse cd uo de los úmeros que v etre prétesis y efectú después l operció: / ( ) ( ) ( ). El resultdo es: ) 8 -/ -/ c) -/ d) -. El úmero: 8 es igul : ) / / c) / /9 d) 8. Cuál es el resultdo de l siguiete epresió si l epresmos como poteci úic?: ) c). d). Simplificdo y etryedo fctores l siguiete epresió tiee u vlor:. b c ).. b. c b. c. b. c. b. c c).. b. c. b. c d).. b. c. b. c. Cuál de los siguietes vlores es igul /? ) / /. - c) ( ) d). -. Cuál es el resultdo de est operció co rdicles?: 8 ) c). d) U epresió co u úico rdicl de: ( ) ( ) está dd por: ).( ) ( ) 8.( ).( ) c) 8.( ) 9.( ) d).( ).( ) 9. Pr rciolizr l epresió: hy que multiplicr umerdor y deomidor por: ) c) + d) 0. Cuál es el resultdo e otció cietífic de l siguiete operció?: ) c) 8 0 d) Cuál es el resultdo de l siguiete operció epresdo e otció cietífic?: 0 ' 0 ' 0 ) c) 8 0 d) 8.0 Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

19 0 Números reles Vlor bsoluto RESUMEN: Está formdo por l uió de los úmeros rcioles (Q) y los úmeros irrcioles si 0 si 0 Itervlos Abierto : (, = { < < b} Cerrdo: [, b] = { b} Semibierto (izq): (, b] = { < b} Semibierto (der): [, = { < b},, /,, π, e, = = + (, ) [, ] (, 8] [, ) Potecis de epoete turl y etero Propieddes de ls potecis Potecis de epoete rciol Propieddes de los rdicles () = ().() = 9 - = / ( ) ( ). m = m+ : m = -m ( ) m =.m.b =(. /b =(/ r/s = s r. p. b. b p m m ( ) b b m m. () () = () + = () : = = ( ) = (). = () 0 () () = (() ()) / = (/) / ( ). ( ) Rciolizció de rdicles Se suprime ls ríces del deomidor. Se multiplic umerdor y deomidor por l epresió decud (cojugdo del deomidor, rdicl del umerdor, etc.). ( ).( ) ( ) Notció cietífic Logritmos Se suprime ls ríces del deomidor. Se multiplic umerdor y deomidor por l epresió decud (cojugdo del deomidor, rdicl del umerdor, etc.) Si > 0, log m = z m = z log ( y) = log + log y; log (/y) = log log y log y = y.log = ( 8+9- ) 0 9 = = 88 0 ( 0 ) ( 0 8 )= 0 0 = 0 0 log (/ ) = log log log = log log log Mtemátics Aplicds ls Ciecis Sociles I. º Bchillerto. Cpítulo : Números reles LibrosMreVerde.tk Autor: José Atoio Ecbo de Lucs y Pco Moy Revisor: Nieves Zusti Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF