II.- FUNDAMENTOS AERODINÁMICOS DE LAS MAQUINAS EÓLICAS

Transcripción

1 II.- FUNDAMENTOS AERODINÁMICOS DE LAS MAQUINAS EÓLICAS El ieno esá compueso por parículas de aire en moimieno; cuando la masa de aire esé conformada por filees yuxapuesos, perfecamene indiidualizados, se dice que el moimieno del mismo es laminar, mienras que si los filees de aire se enrecruzan y no conseran su indiidualidad, se dice que el moimieno es urbuleno; ése es el caso más general que aconece en el ieno. Si en cada puno de una masa de aire en moimieno urbuleno se miden las elocidades insanáneas, se obsera que esas arían en magniud y en dirección sin ninguna regularidad, pero no suelen apararse mucho de un alor medio. Los moimienos desordenados del aire a niel macroscópico se llaman urbulencias, que pueden influir en masas de aire imporanes. Cuando el ieno se encuenra con un obsáculo, su moimieno empieza a ser perurbado y a hacerse irregular a una ciera disancia del mismo. II.1.- FUERZAS SOBRE UN PERFIL Un objeo siuado en el seno de una corriene de aire presena una resisencia al aance deformando los filees fluidos; éso depende de la forma del objeo y de su posición con relación a la dirección del ieno, Fig II.1. Al esudiar los efecos de la resisencia del aire sobre una placa plana, se obsera que la resulane R de las fuerzas aplicadas a la placa es un ecor cuyo puno de aplicación es su cenro aerodinámico o cenro de empuje, siendo su dirección perpendicular a la placa, su senido el del ieno, y su inensidad proporcional a la superficie S expuesa y al cuadrado de la elocidad del ieno, en la forma: R C w ρ S k S en la que k es un coeficiene que depende del ángulo α de incidencia, de las unidades elegidas y de la urbulencia del moimieno; C w es el coeficiene de resisencia (peneración), ρ es la densidad del aire y S la sección fronal del perfil. Si el ángulo α que forma el plano de la placa con la dirección del ieno es grande, exise una sobrepresión en la pare delanera de la placa y una depresión en su pare poserior de carácer urbillonario, Fig II.; si el ángulo de incidencia α es pequeño, la sobrepresión aparece en la pare inferior de la placa y II.-1

2 la depresión por encima, por lo que aparece una fuerza que iende a elearla, Fig II.3, conocida como fuerza de susenación o de eleación. Fig II.1.- Perfil siuado en el seno de una corriene fluida Fig II. Fig II.3 Fig II.4 En la Fig II.4 se represena un perfil placa plana con dos ipos de inclinación; se indican los alores de R, obserándose que, conra más pequeño sea el ángulo α de inclinación, la resulane R será mayor. Para perfiles planos (fijos) de longiud L paralelos a la elocidad del ieno, el alor del nº de Reynolds y el coeficiene de peneración son: Re L ν ; C w Régimen laminar: C w 1,38 ; Re< 10 5 Re C w 0,074 Régimen urbuleno: Re 1/5 ; 10 5 < Re < ,455 C w (log Re),58 ; Re > 10 7 Para oros perfiles no planos con su eje de simería paralelo a la dirección del ieno, se indica en la Fig II.5 el alor del coeficiene C w. Para un perfil diseñado en forma aerodinámica se definen dos zonas que son: a) El exradós, que es la pare del perfil en donde los filees de aire esán en depresión b) El inradós, que es la pare del perfil en donde los filees de aire esán en sobrepresión. Si la placa no esá perfilada conenienemene, las urbulencias originadas sobre el exradós disminuyen la energía cinéica del aire. Si se permie que la placa se desplace bajo el efeco de la fuerza ejercida por el ieno, producirá un ciero rabajo recuperable en forma de energía mecánica; conra menor sea la urbulencia, mayor será ese rabajo. II.-

3 D Fig II.5.- Coeficiene Cw para algunos perfiles semiesféricos L FUERZAS DE ARRASTRE Y ASCENSIONAL EN PERFILES FIJOS.- La componene de R en la dirección del ieno es la fuerza de arrasre F r arr mienras que la componene de R perpendicular a la fuerza de arrasre es la fuerza ascensional F r asc de la forma: F arr R sen α k x S F asc R cos α k y S La fuerza R se considera normal a la cuerda del perfil, que es al mismo iempo su longiud caracerísica; el empuje ascensional aumena a medida que α disminuye. La cuerda se considera desde el borde de aaque del perfil, al borde de salida poserior. Si la forma del perfil no es plana, se puede descomponer R en función de dos ipos de coeficienes, k x de arrasre, y k y ascensional, siendo el eje x paralelo a la dirección del ieno, Fig II.6. Fig II.6.- Fuerzas de arrasre y ascensional en un perfil fijo POLAR DE UN PERFIL.- Se define la esbelez de un perfil, para un alor dado de α, como la relación enre los coeficienes k y y k x, en la forma: Esbelez: f k y k x C x 1 g α La cura f(c x ), Fig II.7, se denomina polar del perfil y Fig II.7.- Polar de un perfil se deermina haciendo mediciones de los alores de F arr y F asc mediane una balanza de orsión en un únel de ieno, para diersos alores del ángulo de aaque α. II.-3

4 II..- ACCIÓN DEL VIENTO SOBRE EL PERFIL. POTENCIA ÚTIL Y RENDIMIENTO PALAS PERFILADAS.- El elemeno básico de una aerourbina es el roor, que esá formado por una o arias hélices o palas, (su eoría de cálculo elemenal es análoga a la de las hélices de aión). En el roor esán siuadas las palas, cuyo número es ariable según los casos; cada pala iene un perfil que iene forma aerodinámica; ésos perfiles ienen un exremo romo, que es el borde de aaque mienras que el oro exremo, de forma afilada, es el borde de salida. Los perfiles ienen disinos nombres según su geomería. Se denominan biconexos si el inradós y el exradós son conexos y plano-conexos si ienen el exradós conexo y el inradós plano y de doble curaura si el inradós y el exradós son cóncaos. En general, los ipos de perfiles uilizados en las máquinas eólicas rápidas son de la serie NACA (Naional Adisory Commiee of Aeronauics), y ienen deerminados por un conjuno de cifras que definen su geomería. NOMENCLATURA DE PERFILES NACA-4 CIFRAS.- La primera cifra iene un significado geomérico, e indica la máxima flecha de la línea media de la cuerda en %, proporcionando la máxima curaura. - La segunda cifra iene un significado geomérico, e indica su posición, es decir, la disancia desde el borde de aaque hasa la posición de la máxima flecha de la línea media o máxima curaura - Las dos úlimas cifras indican el espesor relaio máximo del perfil en % respeco a la cuerda. Fig II.8.- Perfiles NACA El perfil se obiene mediane dos parábolas angenes en el puno de máxima línea media Ejemplo: El perfil NACA415, iene un % de alura máxima de la línea media, siuada a un 40% del borde de aaque, con un espesor relaio del 15%. Los perfiles NACA44XX ienen el inradós con pare conexa, por lo que son de consrucción más compleja y al igual que los aneriores el XX indica el máximo espesor del perfil. NOMENCLATURA DE PERFILES NACA-5 CIFRAS.- La primera cifra indica el alor del coeficiene de susenación ideal de la curaura del perfil, muliplicado por 0 y diidido por 3. - Las dos cifras siguienes indican el doble de la posición de la flecha máxima de la línea media (curaura) en % de la cuerda - Las dos úlimas cifras indican el espesor relaio máximo del perfil respeco a la cuerda en %, igual al del perfil NACA de 4 cifras El perfil se obiene mediane una parábola cúbica conecada a una línea reca que llega hasa el borde de salida. La serie 30XX muy uilizada en roores de aerourbinas se corresponde con perfiles siméricos biconexos, indicando la relación XX el espesor máximo. Modificaciones a los perfiles NACA de 4 y 5 cifras.- Se pueden añadir dos cifras más a la nomenclaura básica de 4 ó 5 cifras, cuyo significado es el siguiene: La primera indica el radio de curaura de la disribución de espesores en el borde de aaque con una II.-4

5 escala enre 0 y 8, al que el nº 6 indica perfil no modificado. La segunda cifra indica la posición de máximo espesor en décimas de cuerda, no esando localizado en el 30%. Exisen oros ipos de perfiles como los de la serie NASA (anecesora de la NACA), Göinger, Clark, ec, que incluyen en su nomenclaura no sólo caracerísicas geoméricas, sino ambién su comporamieno aerodinámico. ÁNGULOS DE LA CUERDA.- La pala de una hélice de un aerogenerador eólico es una pala perfilada que ransforma la energía cinéica del ieno en energía mecánica de roación. Las fuerzas que acúan sobre un elemeno de longiud de pala dx en roación, se obienen esudiando la acción del ieno relaio Fig II.9.- Fuerzas que acúan sobre un elemeno de pala en roación que recibe la pala de elocidad c (ieno aparene o esela), que se puede considerar suma del ieno real de elocidad, y de un ieno originado por el moimieno de roación de la pala, de elocidad u, Fig II.9. Si se raa de una hélice de aión (propulsia), como el ieno incidene es un ieno relaio debido al desplazamieno del aión, exise una diferencia en la posición de la pala respeco a la del aerogenerador, como se indica en las Fig II.10 y 11, en las que: β es el ángulo que forma una cuerda del perfil con el plano de roación; es el ángulo de calaje o de inclinación (cuerda/u) α es el ángulo que forma la cuerda del perfil con la elocidad aparene del ieno c, (ángulo de incidencia o de aaque) θ es el ángulo que forma el plano de roación con la dirección aparene del ieno que pasa por el borde de aaque; se conoce como ángulo aparene del ieno. Se iene que: β θ - α, para una hélice de aerogenerador β θ + α, para una hélice de aión r u es la elocidad del ieno creada por el desplazamieno (giro) de la pala es la elocidad del ieno real (elocidad nominal) Fig II.10.- Pala de hélice de aión Fig II.11.- Pala de hélice de aerogenerador II.-5

6 El cabeceo es una medida de la endencia de un perfil de ala a bajar su borde de aaque en una corriene fronal del ieno, dao imporane a la hora de diseñar la esrucura de las palas, mecanismos de hélices, ec; algunos perfiles son neuros porque no ienen momeno de cabeceo. La pala de un aerogenerador es más sencilla y fácil de consruir que la de un aión, ya que es más lisa, presenando al ieno una superficie casi plana, mienras que una hélice de aión girando en las mismas condiciones que la hélice de un aerogenerador, no endría apenas aplicación para la ransformación de la energía eólica. FUERZAS DE ARRASTRE Y ASCENSIONAL EN PERFILES MÓVILES.- La fuerza que acúa en el cenro aerodinámico de un elemeno de pala en roación, de superficie fronal elemenal ds, (proyección del perfil sobre la dirección del ieno aparene), iene dada por dr, Fig II.1. Fig II.1.- a) Velocidades y b) fuerzas que aparecen sobre una pala de aerogenerador Esa fuerza se puede descomponer a su ez en oras dos, ano a la enrada del ieno en el perfil móil, como a la salida. - A la enrada del perfil móil se iene un ieno de elocidad que da lugar a la fuerza axial F ax y a la fuerza de par F par - A la salida del perfil móil se iene un ieno de elocidad aparene c que da lugar a la fuerza de arrasre F arr y a la fuerza de susenación F sus dr x F arr en la dirección c del ieno aparene se corresponde con una degradación de la energía dr y F sus es la fuerza ascensional o empuje sobre el elemeno de pala, que la hace olar. Para un elemeno de pala diferencial en roación ds, y de acuerdo con la Fig II.1 se puede poner: Fuerza de arrasre: dr x df arr 1 C x ρ c ds Fuerza ascensional: dr y df asc 1 ρ c ds C x, es el coeficiene de arrasre y es el coeficiene ascensional, que dependen del ipo de perfil, del ángulo de incidencia y del número de Reynolds. ds, es el área del elemeno diferencial de la pala que se ofrece al ieno, de alor (L dr) siendo L la longiud caracerísica del perfil, igual a la longiud de su cuerda. II.-6

7 Los coeficienes C x y esán relacionados por el coeficiene aerodinámico oal C T de la forma: C T C x + FUERZAS DE PAR Y AXIAL.- Si se proyecan las fuerzas de arrasre o de resisencia dr x y de empuje ascensional o susenación dr y, sobre el plano de roación, se obiene una fuerza úil, df par, (paralela a u), que hace girar la hélice, y ora fuerza perpendicular, df axial, (fuerza de empuje del ieno sobre el roor), que se compensa por la reacción del sopore del eje del roor de la hélice, de la forma: df par dr y sen θ - dr x cos θ 1 ρ c ds ( sen θ - C x cos θ) 1 ρ sen θ ds ( sen θ - C x cos θ) ρ (1 + cog θ) ds ( sen θ - C x cos θ) df axial dr y cos θ + dr x sen θ 1 ρ c ds ( cos θ + C x sen θ) 1 ρ sen θ ds ( cos θ + C x sen θ) ρ (1 + cog θ) ds ( cos θ + C x sen θ) siendo θ el ángulo que forma la dirección del ieno aparene (relaia), enre los ecores elocidad u y c Los alores que inerienen en el cálculo de esos elemenos diferenciales son función de las elocidades en cada zona y, por ano, del ángulo de aaque α, ya que conocido ése, es posible obener los alores de C x y en función de él. Como: cos θ - C x sen θ g α C x (sen θ - C x cos θ) (sen θ - g α cos θ) sen (θ - α) cos α cos θ + C x sen θ g α C x (cos θ + C x sen θ) (cos θ + g α sen θ) cos ( θ - α) cos α resula: df par 1 ρ sen (θ - α) ds sen θ cos α df axial 1 ρ cos (θ - α) ds sen θ cos α La fuerza de susenación aumena con el ángulo de aaque α hasa un máximo y luego disminuye. Como u aría con el radio r, c ambién ariará, por lo que el ángulo β deberá ariar a lo largo de la pala, y de ahí que ésas se consruyan alabeadas. PAR MOTOR.- Los aerogeneradores eólicos cuyo par moor se obiene a parir de la fuerza de arrasre df arr, son los aerogeneradores Saonius y los Molinos mulipala (1 a 4 palas). dc r df arr r C x ρ c ds r C x ρ (1 + cog θ) ds r ρ sen (θ - α) sen θ cos α ds Los aerogeneradores eólicos en los que el par moor se obiene a parir de la fuerza de par df par, son los aerogeneradores Darrieux y Hélice. II.-7

8 dc r df par r ρ ds (1 + cog θ) ( sen θ - C x cos θ) RENDIMIENTO AERODINÁMICO DE LAS HÉLICES.- La poencia úil generada por un elemeno diferencial de pala es: dn úil df par u y la poencia consumida por el ieno: dn ieno df axial por lo que se puede definir el rendimieno aerodinámico η (aerod) como la relación enre la poencia úil generada por la pala y la consumida por el ieno, en la forma: η aerod df par u df axial dr y sen θ - dr x cos θ dr y cos θ + dr x sen θ u sen (θ - α) cos (θ - α) u g (θ - α) u (dr y /dr x ) - cog θ (dr y /dr x ) cog θ + 1 f u 1 µ dr y dr x TSR u máx C x 1 g θ cog θ máx R w 1 - µ cog θ 1 + µ g θ f - cog θ f + g θ que depende de la esbelez f, Fig II.13, y del TSR (Tip-Speed-Raio) definido como la relación enre la elocidad periférica de la pala u y la del ieno, sin inerención de elocidades inducidas, siendo un concepo que en esas máquinas susiuye al número específico de reoluciones. La relación enre la elocidad angular w para un radio r cualquiera y el ángulo θ, es: SR u cog θ r w π r n 30 con SR (Speed-Raio), en la que r es la disancia del elemeno de pala considerado al eje de roación del aerogenerador; si r disminuye, el ángulo θ aumena; si β es consane, el ángulo de incidencia α aumena. De la expresión del rendimieno de una pala de aerogenerador en función de su esbelez f y del ángulo aparene del ieno θ, se deduce que conra menor sea el alor de µ, (o conra mayor sea el alor de la esbelez f), ano mayor será el rendimieno η (aerod), obeniéndose para (µ 0) ó (f ), un rendimieno máximo igual a la unidad, cuesión imposible por el Teorema de Bez. Cuando se proyeca un aerogenerador hay que elegir una elocidad del ieno que sea la más adecuada y a parir de ella inenar obener el rendimieno máximo; ésa es la elocidad nominal, dependiendo su elección del paraje en donde se aya a insalar el aparao; una ez Fig II.13.- Esbelez de un perfil NACA fijada se elige el ipo de perfil de la pala y la elocidad de roación deseada. Conociendo la elocidad nominal del ieno y la elocidad periférica de roación u, se deermina el ángulo aparene del ieno θ que aría a lo largo de la pala según la disancia al eje de roa- II.-8

9 ción de la hélice. También hay que ener en cuena que para obener el η (aerod.máx ) el ángulo de incidencia del ieno sobre la pala debe ener un alor fijo α 0 a odo lo largo de la misma; para que éso sea así es necesario que el ángulo (β θ α) aríe al mismo iempo que θ. Para obener un mayor rendimieno aerodinámico, la pala debe ener forma helicoidal en la que el ángulo β es muy imporane al principio y lo es menos en su exremidad. POTENCIA MÁXIMA.- Para hallar la poencia maximal se puede parir de la expresión de la poencia úil de la forma: dn úil u df par u (dr y sen θ - dr x cos θ) u ρ c ds ( sen θ - C x cos θ) u ρ ds (cog θ + 1) ( sen θ - C x cos θ) ρ 3 ds cog θ (cog θ + 1) ( sen θ - C x cos θ) que en la prácica se simplifica ya que θ < 0º, por lo que: g θ sen θ ; cos θ 1 ; cog θ 1 sen θ quedando la expresión de dn úil en la forma: dn úil ρ 3 ds 1 sen θ (co g θ + 1) ( sen θ - C x ) ρ 3 ds ρ 3 ds ( sen θ - { (cog cog θ + 1 θ + 1) - C x } sen θ C x sen 3 θ ) ρ 3 ds ( cog θ - C x cog 3 θ) La condición de poencia maximal desarrollada por el ieno correspondiene al elemeno de superficie de pala ds, se calcula deriando la expresión de la dn úil respeco de θ, obeniéndose: cog θ - 3 C x cog θ 0 cuyas soluciones son: cog θ 0 3 C x cog θ cog θ 3 C x f 3 3 µ dn úil máx ρ 3 ds ( C 4 C y y 9 C - C 8 C 3 y x x 7 C3 ) ρ 3 ds x 7 3 C x PAR MOTOR MÁXIMO.- El par moor dc correspondiene al elemeno de superficie de pala ds se ha calculado aneriormene como: dc r df par r ρ ds (1 + cog θ) ( sen θ - C x cos θ) También se puede obener a parir de la dn úil como sigue: dc dn úil w dn úil u r dn úil cog θ r r ρ ds ( cog θ - C x cog θ) que se anula para: cog θ C x II.-9

10 La condición de par moor máximo se obiene igualando a cero la anerior: C x cog θ cog θ dc máx r ρ ds ( C x - C x C x 4 C ) r ρ ds x 8 C x VELOCIDAD ANGULAR MÁXIMA.- La elocidad angular máxima w máx es: w máx ( dn dc ) máx ρ 3 ds 7 r ρ ds 8 C3 y C x C x 16 7 r C x π n máx 30 En los aerogeneradores de eje horizonal, para obener una elocidad angular w uniforme, es necesario que ano la elocidad del ieno, como su dirección, permanezcan consanes respeco a la pala. La relación (TSR cog θ) esá comprendida enre 0, y 13, lo que permie hacer la siguiene clasificación de maquinaria eólica de eje horizonal: Para grandes molinos...u/ < 1 Para aerogeneradores de palas múliples...u/ 3 Para aerogeneradores rápidos de hélice...u/ 10 II.3.- MODELO TEÓRICO DE BETZ Vamos a suponer que la energía eólica se puede recuperar y ransformar mediane un aerogenerador de hélice (dao ése no esricamene necesario, por cuano la demosración es álida para cualquier oro medio de ransformación). La hélice se supone inmersa en una corriene de aire de elocidad que, aguas abajo, posee una elocidad no nula, lo que permie asegurar que no es posible la ransformación y recuperación de oda la energía del ieno en ora forma de energía. Se supondrá que aguas arriba de la hélice, el aire que circula por el ubo de corriene indicado en la Fig II.14, posee una elocidad 1 en la sección ransersal ficicia A 1, que es la elocidad del ieno sin perurbar, mienras que la elocidad se corresponde con ora sección ransersal ficicia A aguas abajo de la zona en que se encuenra la hélice. En el plano que coniene la hélice, la sección ransersal baida por la misma sería un disco imaginario de sección A, siendo la elocidad úil del ieno en la misma. Fig II.14.- Modelo de Bez La hélice se supone como un disco de diámero d que capa la energía del aire en moimieno que llega a él. Si el disco fuese capaz de capar oda la energía cinéica del ieno, aguas abajo del mismo el aire esaría en reposo y, por lo ano, la elocidad sería ( 0). Suponiendo que el gaso másico G de aire que circula por el ubo es consane, se puede poner: G ρ A 1 1 ρ A ρ A II.-30

11 La ariación de la energía cinéica del ieno en la unidad de iempo es de la forma: ΔE cinéica E c1 - E C G ( 1 - ) ρ A ( 1 - ) La fuerza F ejercida por el ieno en la unidad de iempo (Δ1) sobre el área ficicia A barrida por la hélice, es igual a la ariación de la canidad de moimieno del aire que la araiesa; el rabajo generado por esa fuerza F en la unidad de iempo, es la poencia N úil, de la forma: N úil F F G Δ Δ ρ A ( 1 - ) ρ A ( 1 - ) que es igual a la ariación de energía cinéica del aire, en el mismo iempo, pudiéndose poner: N úil ρ A ( 1 - ) ρ A ( 1 - ) 1 + Si se hace el cambio ( b 1 ) con (0 < b < 1), resula: N úil ρ A ( 1 + ) 4 ( 1 - ) ρ A (1 + b) (1 - b ) El máximo alor de N úil se obiene haciendo dn úil db 0, resulando (1 - b ) + (1 + b) (- b) 0 ; (1 + b) (1-3 b) 0 cuyas soluciones son: b - 1, que no cumple con la condición ( 0 < b < 1) b ; 1 3 que permie hallar la poencia máxima suminisrada por el roor, de alor: N úil máx ρ A ( ) (1-1 9 ) 8 ρ A ,37 A 1 3 que se conoce como ecuación de Bez, y en la que se ha omado como densidad media del aire (ρ 1,5) kg/m3, ya que en inierno ésa iene a ser del orden de 1,33 y en erano de 1,15. De odo éso se deduce que la poencia máxima eórica es proporcional al diámero D del círculo barrido por la pala y al cubo de la elocidad nominal del ieno 1. Como la poencia del ieno aguas arriba de la hélice, iene dada por la expresión: N disponible ieno ρ A 1 3 0,65 A 1 3 el rendimieno maximal aerodinámico (o facor de poencia maximal) es: η max imal N úil máxima N ieno ,595 59,5% que es el límie eórico o coeficiene de Bez, resulado que ninguna máquina eólica, por muy sofisicada que sea, puede superar. Consideraciones prácicas.- La ecuación de Bez proporciona el límie superior de las posibilidades de un II.-31

12 aerogenerador, pero en sí es poco fina, pues no iene en cuena una serie de facores como: La resisencia aerodinámica de las palas La pérdida de energía por la esela generada en la roación La compresibilidad del fluido La inerferencia de las palas El rendimieno prácico depende del ipo de roor, por lo que muliplicando la expresión anerior de la poencia máxima eórica por un coeficiene del rendimieno eórico máximo, que compendia los facores aneriores, y que esá comprendido en el ineralo (0,30 0,80) se obiene: 3 N máxima real (0,11 0,30) A 1 En realidad habrá que ener en cuena además el rendimieno de los diersos mecanismos que componen el aerogenerador, por lo que considerando el siguiene balance del mismo para los disinos componenes: Rendimieno de Bez... 59,3% Rendimieno de la hélice... 85% Rendimieno del muliplicador... 98% Rendimieno del alernador... 95% Rendimieno del ransformador... 98% se obiene un rendimieno global de la insalación del orden del 46%. En la prácica el rendimieno del aerogenerador será aún menor, por lo que se puede acepar como un alor basane razonable para la poencia del mismo, la siguiene expresión: 3 N úil (0,11 0,17) A 1 II.4.- ROTOR MULTIPALA FUERZA AXIAL SOBRE UNA PALA.- Si la hélice iene Z palas, siendo L la longiud de la cuerda del perfil y el paso angencial de las palas, la fuerza axial que se ejerce sobre un elemeno de pala es: df axial 1 ρ cos (θ - α) L dr cos α sen θ FUERZA AXIAL TOTAL.- La fuerza df axial oal, para Z palas es: df axial oal Z df axial Z ρ cos (θ - α) L dr cos α sen θ Si se produjese un aproechamieno oal del ieno 0, se endría que 1 F oal en la dirección del eje del aerogenerador sería:, y la fuerza df axial oal ρ da ( 1 - ) ρ da da π r dr 4 π ρ r dr Igualando las dos expresiones de df axial oal se obiene: II.-3

13 Z ρ cos (θ - α) L dr cos α sen θ 4 π ρ r dr Z L π r 4 cos α sen θ cos (θ - α) Conocida la relación enre el paso angencial y el número de palas Z, se obiene: Z π r ; Z π r 1 ; L 4 cos α sen θ cos(θ - α) Fig II.15.- Fuerzas sobre un perfil de pala del coeficiene de susenación. Para una elocidad aguas abajo de la forma b 1 se iene: Z L π r 4 cos α sen θ cos (θ - α) 1- b 1 + b L FUERZA DE PAR.- La fuerza de par df par es de la forma: que es la relación que exise enre el ángulo de incidencia del ieno α y el del moimieno relaio θ del mismo a la salida, en función de la longiud de la cuerda L, del paso, y df par dr sen (θ - α) df axial g (θ - α) 1 ρ sen (θ - α) L dr cos α sen θ El ieno llega axialmene a una pala, pero sabemos que a la salida de la misma ha cambiado de dirección, adquiriendo una elocidad aparene c que iene una componene u (igual y de signo conrario a la elocidad periférica de la pala). El ieno aparene a la enrada de la pala iene una elocidad c 1 y el ieno aparene a la salida iene una elocidad c conformando sobre los riángulos de elocidades, Fig II.16, una componene para la elocidad aparene de la forma: c c 1 - c u a w r a en la que w es la elocidad angular de la hélice, r es la disancia de la sección ds considerada al eje de giro y a es una ariable a deerminar, que depende de r,, w y θ. Si se aplica el Teorema de la Canidad de moimieno a la sección anular barrida por las palas, de anchura dr, y que es araesada por el ieno en el iempo unidad (Δ 1), se iene: df par Δ dg (c 1 - c ) Δ 1 df par ( π r dr ρ ) ( w r a) 4 π ρ a w r dr que es una expresión de df par para Z palas por cuano en su deerminación se ha enido en cuena el área barrida por las mismas, independienemene de su número. PAR MOTOR.- El momeno dc aplicado al elemeno de superficie ds se obiene muliplicando dr por su disancia r al eje de giro: dc df par r 4 π ρ a w r 3 dr II.-33

14 La expresión de dc, para Z palas, es de la forma: dc 4 π ρ a w r 3 dr Z r ρ sen (θ - α) L dr cos α sen θ e igualando ambas expresiones del par moor se obiene: Z L sen (θ - α) cos α sen θ 4 π a w r Z π r ; r Z π 4 π a w r Z π función del radio r, paso de las palas y su número Z, llegándose a: L 4 a w r cos α sen θ sen (θ - α) Igualando las expresiones enconradas para L se llega a: 4 a w r cos α sen θ sen (θ - α) 4 cos α sen θ sen (θ - α) r w g (θ - α) a SR Para una elocidad aguas abajo de la forma b 1 se iene: SR 1 - b 1 + b g(θ - α) a Fig II.16.- Triángulos de elocidades a la enrada y salida del perfil Teniendo en cuena los riángulos de elocidades a la enrada, a la salida y en el cenro de susenación de la pala, Fig II.16, se encuenra el alor de a: g θ w r - w a r w r (1 - a) u (1 - a) 1 SR (1 - a) ; a 1-1 SR g θ deduciéndose una relación enre la elocidad del ieno y la elocidad angencial de las palas u, en función de los ángulos θ y α, de la forma: {g θ g (θ - α) + 1} w r g θ π n 30 r g θ ; r w u g θ g θ g (θ - α) SR L La represenación gráfica de las ecuaciones f(θ) u r w SR se presena en las Fig II.0.a.b, para diersos alores de θ en el ineralo (0º< θ < 60º) y (α 1º) y (α 6º); se obsera que en el ineralo de II.-34

15 alores de α comprendidos enre 0º y 6º, el alor de del orden de 40º a 45º, Fig II.17-b. r w 1 SR pasa por un máximo para alores de θ Si se fija la elocidad angular w, el flujo de aire se hace maximal cuando L alcanza alores comprendidos enre:,5 < < 3, que son demasiado eleados, lo que implica el riesgo de desprendimien- L o de la pala y la consiguiene desrucción del aparao. Fig II.17.a.b. Parámeros de diseño; los alores de a esán comprendidos enre 1 y 6 º Si se considera la esadísica de Rayleigh, en la que: 1 6 π 1,38 1 1,38 0,74 1 0,618 0,448 1 b 1 b 0,448 el alor de la fuerza axial oal y la relación L serían: df axial oal π r dr ρ ( 1 - ) π r dr ρ (1,38-0,618) 4,8 ρ r dr L 1,55 cos α sen θ cos(θ - α) pudiéndose oler a repeir con esos daos el méodo aneriormene expueso. Al par moor no afecan esas elocidades ya que en su deducción no se han enido en cuena, por cuano la fuerza de par oal se ha obenido a parir del área barrida por las palas. II.-35

16 II.5.- TEORÍA TURBILLONARIA DE HÉLICES EÓLICAS En lo aneriormene iso, las pérdidas de energía que se han considerado son mínimas, ya que se han despreciado algunos efecos imporanes como son la pérdida de poencia por el giro de la esela, la inerferencia de las palas, la resisencia aerodinámica de las mismas, la compresibilidad del aire, ec. En la eoría de la pala no se han considerado elocidades inducidas, ni la roación de la esela, defecos que se subsanan en la eoría urbillonaria. La elocidad del ieno aguas arriba del roor es 1 y al llegar al roor se modifica de forma que su alor es 1 menos una elocidad inducida axial que llamamos ( ind k 1 ), Fig II.18. Se puede considerar, por lo ano, que la elocidad del ieno en el roor es de la forma: 1 (1 - k)} De igual manera, a la esela se la puede suponer que aguas arriba del roor gira con una elocidad angular w 1 ; al llegar al roor, el alor de w 1 se erá afecado por una elocidad inducida de roación de la forma (k* w 1 ), por lo que se puede considerar que la elocidad angular de la esela en el roor es: w w 1 (1 + k*) Fig II.18 Aguas abajo del roor, la elocidad axial de salida del ieno será: 1 (1 - k) y la elocidad angular de la esela: w w 1 (1 + k*) Aplicando el Teorema de la canidad de moimieno y del momeno cinéico al elemeno diferencial de espesor dr, a la disancia r del eje de giro, se obiene para una pala: df axial oal ρ da ( 1 - ) 1 (1 - k) 1 (1 - k) ρ ( π r dr ) 1 (1 - k) { 1-1 (1 - k)} 4 π ρ k r dr 1 (1 - k) dc π r dr ρ r (u - u 1 ) u r w u 1 r w 1 π r 3 dr ρ (w - w 1 ) π r 3 dr ρ 1 (1 - k) {w 1 (1 + k*) - w 1 } 4 π r 3 dr ρ 1 (1 - k) w 1 k* La fuerza df axial oal para Z palas (deducida aneriormene) quedaría en la forma: II.-36

17 df axial oal Z ρ cos (θ - α) L dr cos α sen θ 1 (1 - k) Z ρ 1 (1 - k) cos (θ - α) L dr cos α sen θ Igualmene, la fuerza df par para Z palas es: df par oal Z ρ sen (θ - α) L dr cos α sen θ 1 (1 - k) Z ρ 1 (1 - k) sen (θ - α) L dr cos α sen θ y el par moor: dc df par r Z ρ 1 (1 - k) sen (θ - α) L dr cos α sen θ r Igualando las dos expresiones de df oal axial se obiene: 4 π ρ k r dr 1 (1 - k) Z ρ 1 (1 - k) cos (θ - α) L dr cos α sen θ k 1 - k Z L 8 π r cos (θ - α) cos α sen θ Solidez Ω Z L π r Ω 8 cos (θ - α) cos α sen θ Haciendo lo mismo con las dos expresiones del momeno: 4 π r 3 dr ρ 1 (1 - k) w 1 k* Z ρ 1 (1 - k) sen (θ - α) L dr cos α sen θ r k* 1 - k* Z 1L 8 π r w 1 sen (θ - α ) cos α sen θ u g θ 1 (1 - k) r w 1 (1 + k*) k* r w k g θ Z L 8 π r 1 + k* 1 - k g θ sen (θ - α) cos α sen θ k* 1 + k* Z L 8 π r sen (θ - α) sen θ cos θ cos α Solidez Ω Z L π r Ω 8 sen (θ - α) sen θ cos θ cos α El alor TSR u 1 1 R w 1 1 (1 - k) cog θ r (1 + k*) Las expresiones aneriores permien un procedimieno de cálculo de palas de aerogeneradores calculando los alores de k y k*: En primer lugar se oma una sección cualquiera del perfil ya diseñado, con su espesor, cuerda, ec, y se supone inicialmene un ángulo de aaque α, que juno con la orsión ó calaje β que se ha dado a la pala, permien enrar en las expresiones: k 1 - k Ω 8 cos (θ - α) cos α sen θ k* 1 + k* Ω 8 sen (θ - α) sen θ cos θ cos α de las que se conoce odo el segundo miembro. Los ángulos de aaque que deben ir apareciendo, deben ser ales que no produzcan disconinuidades a lo largo de la pala. II.-37

18 Conocidos k y k* se enra en: TSR u 1 1 R w 1 1 (1 - k) cog θ 1 + k* y si el alor obenido para el TSR es correco, se ha concluido. Si no lo es, habrá que iniciar de nueo un proceso ieraio. Para el esudio general se oma un deerminado perfil, y se calcula el alor de para cada ángulo de aaque y para cada espesor, para diersos alores de α, y con ello se prepara un programa informáico que permia obener daos para cada siuación. Como la elocidad del ieno aguas abajo del roor es: 1 (1 - k) el alor de k no puede ser mayor de 0,5 porque implicaría elocidades negaias. Un buen alor de k que esaría de acuerdo con los alores de b dados por la esadísica de Weibull es: k 1 - b 1-0,448 0,76 II.7.- OPTIMIZACIÓN DE UNA INSTALACIÓN EÓLICA La opimización de una insalación eólica radica en conseguir la máxima generación de energía para un cose dado. Por ano, y eniendo en cuena que el cose principal procede de la amorización de la inersión, es eidene que el objeio es conseguir que el equipo insalado genere la mayor canidad de energía posible. Esa energía se puede calcular como la poencia elécrica media que ha generado la insalación a lo largo de un año, muliplicada por el número de horas de ese año. Suponiendo que la elocidad del ieno se puede represenar como una ariable aleaoria de la función de densidad f(), la poencia elécrica media generada será: N el éc. generada ρ A nom conex η p η m η g f() d + ρ A η p η m η g emb nom f() d η p η m η g N ieno en la que: η p < 59,5%, es la eficiencia conque la energía del ieno se coniere en energía mecánica (Límie de Bez) η m < 0,83, es la eficiencia conque la energía mecánica es cedida al generador a raés de la ransmisión mecánica η g < 0,93, es la eficiencia conque la energía cedida al generador se ransforma en elecricidad Por lo ano, para un emplazamieno dado se debe escoger un aerogenerador cuyos parámeros conex, nom y emb hagan máxima esa poencia elécrica media. Para que ese cálculo se pueda realizar, es necesario conocer la función de disribución de elocidades del ieno f() y la relación exisene enre η p, η m y η g con la elocidad del ieno ; no obsane, debido a que el funcionamieno del generador para poencias inferiores a la nominal es poco coneniene, se puede realizar la opimización considerando solamene la segunda inegral de la ecuación anerior. Además, como es eidene, el generador ópimo (independienemene de las caracerísicas del ieno), debería ener ( conex 0) y ( emb ), quedando únicamene como parámero a elegir el alor de ( nom ). Pero éso no es posible por cuano ( conex > 0) debido a la exisencia de rozamienos y pérdi- II.-38

19 das y ( emb < ) por razones de resisencia mecánica de las palas. Para calcular el alor de nom que hace ópimo a N (elécr. generada) se puede efecuar una simplificación adicional, basándose en que N n es proporcional al cubo de nom ; en primera aproximación, se puede suponer además que ( emb ), obeniéndose: dn elécrica generada d no min al 0 En el caso de uilizar la disribución de Rayleigh se iene: nominal 6 π 1, ,38 0,74 1 y en el caso de uilizar la disribución de Weibull (k facor de disribución de forma): nominal 1 k ˆ Γ(1 + 1 k ) ( 3 k ) Si no se acepa esa simplificación, la ecuación resulane sería: Para la disribución de Rayleigh: {3 - π ( nom ˆ ) } e - π 4 ( nom ˆ ) 3 e - π 4 ( emb ˆ Para la disribución de Weibul: {3 - k ( nom c )k } e ( nom c )k 3 e - ( emb c )k Para alores pequeños de la influencia de emb es despreciable y se puede uilizar la ecuación de Weibull: no min al ) Γ(1 + 1 k ) ( 3 k ) 1 k pero conforme aumena, las diferencias enre ambas expresiones se hacen cada ez mayores. ) II.-39