Omar Nápoles Peña. Las Tunas. López. Repto Velásquez. Licenciado en Contabilidad y Finanzas. Nancy Céspedes Trujillo

Transcripción

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2 Daos de los auores: Nombre Insiución a la que perenece. Dirección paricular Tíulos Caegoría docene Años de Experiencia 5 Correo elecrónico omarnp@ul.edu.cu Omar Nápoles Peña CENTRO UNIVERSITARIO. V.I. Lenin. Las Tunas. Calle #3 enre77 y Luis Ramírez López. Repo Velásquez. Licenciado en Conabilidad y Finanzas. Insrucor en Adiesramieno. Nombre Nancy Céspedes Trujillo Insiución a la que perenece. CENTRO UNIVERSITARIO. V.I. Lenin. Las Tunas. Dirección paricular Calle 15 #10. Enre J. Espinosa y C. Barreda. Rpo Buena Visa. Las Tunas. Tíulos Licenciada en Maemáica. Caegoría docene Profesor universiario Asisene. Años de Experiencia 0 años Correo elecrónico nancy@ul.edu.cu

3 RESUMEN El presene Laboraorio de ejercicios ha sido elaborado con el objeivo de que el mismo sirva de maerial docene a la asignaura Invesigación de Operaciones II, la cual se impare en las especialidades de Ciencias Económicas en nuesras Universidades. Se ha raado como propósio, que en la presenación de los ejercicios prevalezca la sencillez en las explicaciones, las cuales van acompañadas de numerosos ejemplos con sus respecivas respuesas. El esudio del mismo permiirá acomeer su aplicación a problemas de índole económica que se manifiesan en la prácica. Es de vial imporancia en los momenos acuales para los profesionales que desempeñan su labor en el campo de la economía dominar los méodos maemáicos cuaniaivos qué permien la opimización de los problemas económicos. Consideramos que con los nuevos reos, moivados por el desarrollo de la Universalización de la enseñanza el presene maerial consiuye una conribución al foralecimieno del proceso de enseñanza aprendizaje. Ese rabajo fue presenado y uvo muy buena acepación en el Forum de Ciencia y écnica a nivel de Faculad (FCT), y esá propueso por el colecivo deparamenal para ser publicado en la revisa elecrónica EDUNIV y en el CIGET LAS Tunas. Por el apore meodológico que presena se esá uilizando con ópimos resulados a nivel provincial en las sedes universiarias municipales, en la sede cenral y por los esudianes de los cursos a disancia.

4 INFORME TÉCNICO

5 Cenro Universiario Vladimir I. Lenin Tme = a + 4m+ b Auores: Omar Nápoles Peña Nancy Céspedes Trujillo Dpo: Maemáica Las Tunas 008

6 Índice Conenido Pág Prólogo II Inroducción 1 Elemenos de eoría de redes 1.1 Usos Anecedenes Glosario 3 1. PERT: Uso de redes probabilísicas Esimación de la erminación del proyeco La acualización según como el proyeco progresa CPM: rueque enre el iempo y el coso Cómo hallar la red de iempo mínimo- coso mínimo? Elección enre PERT y CPM Diferencias Enre PERT y CPM 13.1 Ejercicios propuesos 15. Respuesas Bibliografía 49 I

7 Prólogo El presene folleo ha sido elaborado con el objeivo de que el mismo sirva de maerial docene a la asignaura Invesigación de Operaciones II, la cual se impare en las especialidades de Ciencias Económicas en nuesras Universidades. Se ha raado como propósio, que en la presenación de los ejercicios prevalezca la sencillez en las explicaciones, las cuales van acompañadas de numerosos ejemplos con sus respecivas respuesas. El esudio del mismo permiirá acomeer su aplicación a problemas de índole económica que se manifiesan en la prácica. Ese Folleo ha sido confeccionado por los auores: Insrucor no graduado Omar Nápoles Peña y la Lic. Nancy Céspedes Trujillo del Dpo. de Maemáica del Cenro Universiario de Las Tunas. Es de vial imporancia en los momenos acuales para los profesionales que desempeñan su labor en el campo de la economía dominar los méodos maemáicos cuaniaivos qué permien la opimización y solución ópima de los problemas económicos. Consideramos que con los nuevos reos, moivados por el desarrollo de la Universalización de la enseñanza el presene Folleo consiuye una conribución al foralecimieno del proceso de enseñanza aprendizaje. Agradecimienos Queremos agradecer en especial a los profesores del colecivo de Maemáica aplicada por su apoyo incondicional. II

8 Inroducción La elaboración de maerias docenes que conribuyan a foralecer el proceso de enseñanza aprendizaje en nuesros educandos, consiuye la labor fundamenal de nuesros educadores, encaminados a lograr un profesional de las ciencias económicas más inegral, mediane la adquisición de los conocimienos que aporan los modelos económicos maemáicos que ayuda a la oma de decisiones y la adminisración más eficaz de los recursos maeriales y financieros en el mundo empresarial. El presene Folleo surgió con la inención de desarrollar una herramiena que sirva como maerial de apoyo para la docencia. En concreo, la herramiena desarrollada raa de ser de uilidad ano para el profesor en forma de maerial de apoyo a la hora de imparir sus clases como para el alumno a la hora de esudiarse los conenidos de la asignaura. La elaboración de ese Folleo sigue la secuencia del programa de la asignaura Invesigación de Operaciones II para las carreras universiarias de perfil económico. Para faciliar al esudiane la eoría y prácica de la evaluación y planeación de proyecos. El desarrollo del maerial de la asignaura, se hace considerando la Invesigación de Operaciones como una ciencia adminisraiva basada en el enfoque cienífico, para resolver problemas y proporcionar ayuda para la oma de decisiones. Planear, organizar, dirigir, doar al personal, conrolar, son acividades que el Economisa en su ejercicio profesional puede desempeñar, y la Invesigación de Operaciones le sirve de ayuda con su méodo analíico y sisemáico. Basado en el enfoque gerencial es que se planea en el presene manual el esudio de esa ciencia. Elemenos de eoría de redes represena el ema # al esudio de las diversas écnicas y los respecivos modelos que conforman la asignaura Invesigación de operaciones II. Se hace énfasis en la consrucción de una red de un proyeco, en la deerminación de los iempos de duración, la holgura y rua críica para servir de puno de parida del proceso que deerminará la oma de decisiones mediane los méodos PERT y CPM. Dado por las dificulades que confronan los esudianes por no disponer de una adecuada bibliografía, se ha elaborado ese Folleo que coniene un sisema de concepos, ejemplos resuelos y ejercicios propuesos que esperamos sean del agrado de usedes, nuesros esudianes. 1

9 Elemenos de eoría de Redes La problemáica de la planeación de proyecos no ha sido una problemáica reciene, si no que desde iempos pasados nuesros anepasados han enfrenado emprendimienos de gran envergadura que significaron una problemáica desde el puno de la planificación. Acualmene se han logrado perfeccionar herramienas que permien a los adminisradores de dichos proyecos, realizar una labor más eficiene permiiendo una ópima aplicación de los recursos en las mismas y logrando una maximización de los mismos. Admiiendo que la ejecución de un proyeco o elaboración se puede subdividir en planear, programar y conrolar, y hablando de manera clásica, podemos considerar las écnicas PERT (Program Evaluaion and review Technique) y el CPM (Criical Pah Mehod,) que son los mas usuales para un primer comeido. En general esas écnicas resulan úiles para una gran variedad de proyecos que conemplen: Invesigación y desarrollo de nuevos producos y procesos. Consrucción de planas, edificios, y carreeras. Diseño de equipo grande y complejo. Diseño e insalación de sisemas nuevos. Diseño y conrol de epidemias, y oras múliples aplicaciones en las cuales se requiera una planificación adecuada. Usos El campo de acción de ese méodo es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adapabilidad a cualquier proyeco grande o pequeño. Para obener los mejores resulados debe aplicarse a los proyecos que posean las siguienes caracerísicas: a. Que el proyeco sea único, no repeiivo, en algunas pares o en su oalidad. b. Que se deba ejecuar odo el proyeco o pare de el, en un iempo mínimo, sin variaciones, es decir, en iempo críico. c. Que se desee el coso de operación más bajo posible denro de un iempo disponible. Denro del ámbio aplicación, el méodo se ha esado usando para la planeación y conrol de diversas acividades, ales como consrucción de

10 presas, aperura de caminos, pavimenación, consrucción de casas y edificios, reparación de barcos, invesigación de mercados, movimienos de colonización, esudios económicos regionales, audiorias, planeación de carreras universiarias, disribución de iempos de salas de operaciones ampliaciones de fábrica, planeación de iinerarios para cobranzas, planes de vena, censos de población, ec. Anecedenes Dos son los orígenes del méodo del camino críico: el méodo PERT (Program Evaluaion and Review Technique) desarrollo por la Armada de los Esados Unidos de América, en 1957, para conrolar los iempos de ejecución de las diversas acividades inegranes de los proyecos espaciales, por la necesidad de erminar cada una de ellas denro de los inervalos de iempo disponibles. Fue uilizado originalmene por el conrol de iempos del proyeco Polaris y acualmene se uiliza en odo el programa espacial. El méodo CPM (Críical Pah Mehod), el segundo origen del méodo acual, fue desarrollado ambién en 1957 en los Esados Unidos de América, por un cenro de invesigación de operaciones para la firma Dupon y Remingon Rand, buscando el conrol y la opimización de los cosos de operación mediane la planeación adecuada de las acividades componenes del proyeco. Ambos méodos aporaron los elemenos adminisraivos necesarios para formar el méodo del camino críico acual, uilizando el conrol de los iempos de ejecución y los cosos de operación, para buscar que el proyeco oal sea ejecuado en el menor iempo y al menor coso posible. GLOSARIO Para lograr una adecuada comprensión del ema a desarrollar se consideró prioriario desarrollar un glosario que sirva como guía para comprender la erminología empleada. PERT. Las raducciones de las siglas en inglés significan: écnica de revisión y evaluación de programas, es una écnica de redes desarrollado en la década de los 50, uilizada para programar y conrolar programas a realizar. Cuando hay un grado exremo de inceridumbre y cuando el conrol sobre el iempo es más imporane sobre el conrol del coso, PERT es mejor opción que CPM. CPM. La raducción de las siglas en inglés significan: méodo del camino críico, es uno de los sisemas que siguen los principios de redes, que fue desarrollado en 1957 y es uilizado para planear y conrolar proyecos, añadiendo el concepo de coso al formao PERT. Cuando los iempos y cosos se pueden esimar relaivamene bien, el CPM puede ser superior a PERT. Acividad. Es un rabajo que se debe llevar a cabo como pare de un proyeco, es simbolizado mediane una rama de la red de PERT. 3

11 Lisa de acividades. Es una lisa cuidadosa y ordenada donde se recopilan odas las diferenes acividades que inervienen en la realización de un proyeco. Eveno. Se dice que se realiza un eveno, cuando odas las acividades que llegan a un mismo nodo han sido erminadas. Son los círculos numerados que forman pare del diagrama de red y represenan el principio y el fin de las acividades que inervienen en el proyeco. Rama: Son las flechas que forman Pare del diagrama de red y significan las acividades en el proyeco. Rua críica o camino críico: Camino es una secuencia de acividades conecadas, que conduce del principio del proyeco al final del mismo, por lo que aquel camino que requiera el mayor rabajo, es decir, el camino más largo denro de la red, viene siendo la rua críica o el camino críico de la red del proyeco. Predecesor Inmediao. Es una acividad que debe Preceder (esar anes) inmediaamene a una acividad dada en un proyeco, ambién nombradas prioridades inmediaas. Diagrama de red. Es una red de círculos numerados y conecados con flechas, donde se muesran odas las acividades que inervienen en un deerminado proyeco y la relación de prioridad enre las acividades en la red. Acividad ficicia. Acividades imaginarias que exisen denro del diagrama de red, sólo con el Propósio de esablecer las relaciones de precedencia y no se les asigna iempo alguno, es decir, que la acividad ficicia Permie dibujar redes con las relaciones de Precedencia apropiadas, se represena por medio de una línea puneada. Holgura. Es el iempo libre en la red, es decir, la canidad de iempo que puede demorar una acividad sin afecar la fecha de erminación del, proyeco oal. Disribución bea. Disribución uilizada para la esimación del iempo de acividad esperado en el PERT, esa esimación se basa en el supueso de que el iempo de la acividad es una variable aleaoria cuya Probabilidad iene una disribución bea unimodal. Tiempo opimisa. Es el iempo mínimo o más coro posible en el cual es probable que sea erminada una acividad si odo marcha a la Perfección, uilizado en el PERT y simbolizado con a. Tiempo más probable. Es el iempo que esa acividad sea más probable que ome sí se repiiera una y ora vez, en oras palabras, es el iempo normal que se necesia en circunsancias ordinarias, uilizado en el PERT y simbolizado con m. Tiempo pesimisa. Es el iempo máximo o más largo posible en el cual es probable sea erminada una acividad bajo las condiciones más desfavorables, uilizado en el PERT y simbolizado con b. 4

12 Tiempo esperado para una acividad. Es el iempo calculado en el PERT usando el promedio ponderado (a+4m+b)/. Tiempo normal. Es el iempo en el CPM requerido para erminar una acividad si esa se realiza en forma normal. Es el iempo máximo para erminar una acividad con el uso mínimo de recurso, el iempo normal se aproxima al iempo esimado probable en PERT. Tiempo acelerado. Tiempo en el CPM que sería requerido si no se evia coso alguno con al de reducir el iempo del proyeco. Tiempo mínimo posible para erminar una acividad con la concenración máxima de recursos. PERT: Uso de redes probabilísicas: METODO PERT (Program Evaluaion and Review Technique) El PERT (écnica de evaluación y revisión de programas) se desarrolló con el fin de poder incluir la inceridumbre en las esimaciones de la duración. En lugar de una esimación de iempo el PERT usa res esimaciones. Esas de combinan esadísicamene para llegar a esimaciones probabilisas de la erminación del proyeco. Al usar PERT se esiman la duración máxima, la mínima y la más probable para cada acividad del proyeco. El iempo mínimo se llama esimación opimisa y el máximo esimación pesimisa. El iempo más probable es el mejor juicio sobre lo que durará la acividad. La écnica del PERT combina esas res esimaciones suponiendo que definen los parámeros de una disribución de probabilidad bea. Los iempos opimisa y pesimisa esablecen los límies de la disribución y el iempo más probable define el puno pico o la moda de la misma. PERT inena corregir ese error suponiendo que la duración de cada acividad es una variable aleaoria. Para cada acivad, se requiere esimar las siguienes canidades: a = Tiempo Opimisa. Duración de la acividad bajo las condiciones más favorables. b = Tiempo Pesimisa. Duración de la acividad bajo las condiciones más desfavorables. m = Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la acividad. La forma de la disribución se muesra en la siguiene Figura. iempo más probable es el iempo requerido para complear la acividad bajo condiciones normales. Los iempos opimisas y pesimisas proporcionan una medida de la inceridumbre inherene en la acividad, incluyendo desperfecos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, reardo en los maeriales y oros facores. Con la disribución definida, la media (esperada) y la desviación esándar, respecivamene, del iempo de la acividad para la acividad Z puede calcularse por medio de las fórmulas de aproximación. El iempo esperado de finalización de un proyeco es la suma de odos los iempos esperados de las acividades sobre la rua críica. De modo similar, suponiendo que las disribuciones de los iempos de las acividades son 5

13 independienes (realísicamene, una suposición fueremene cuesionable), la varianza del proyeco es la suma de las varianzas de las acividades en la rua críica. Realice los cálculos para hallar la media y la desviación esándar de la erminación del proyeco. a) Cuál es la probabilidad de erminar el proyeco en 18 semanas? b) Cuál es la probabilidad de erminarlo en 10? La media de la disribución bea esá dada por: = (a+4m+b)/ en donde a = iempo opimisa (mínimo) b = iempo más probable (moda) c = iempo pesimisa (máximo) = iempo medio. Una vez hallado el iempo medio, el siguiene paso al analizar la red sería emplear los iempos medios de las acividades para enconrar la TP y la TL de cada eveno y después enconrar los iempos de las acividades la rua críica. Se necesiará la desviación esándar de la duración de cada acividad para analizar la erminación de odo el proyeco. Con la disribución bea eso esá dado por: δ = (b -a)/ donde: Esadísicas de la rua críica Uno de los principales objeivos del PERT es enconrar el iempo medio y la desviación esándar de la rua críica, es decir de odo el proyeco. Formalmene eso significa combinar las variables (acividades) que ienen una disribución bea, eso es una area difícil. Para simplificar el procedimieno es común suponer que el proyeco es grande y concluir que el iempo de erminación sigue una disribución normal. Aunque puede haber algún error en ese razonamieno, en la mayoría de los casos el error inroducido será menor que el que ya exise en las res esimaciones de iempo para cada acividad. Suponiendo la disribución normal, el iempo medio de la rua críica será la suma de los iempos medios de las acividades individuales. La desviación esándar de la rua críica es un poco más complicada. La fórmula es: T = δ = desviación esándar a = iempo opimisa b = iempo pesimisa 1... n

14 En donde: T es la desviación esándar de la rua críica y i es la desviación esándar de la acividad i, incluyéndose sólo las acividades que esán en la rua críica. Esimación de la erminación del proyeco El PERT da una respuesa esadísica a la preguna: cuándo se erminará el proyeco? En lugar de una sola esimación, el PERT da una disribución de probabilidad. Ésa es una disribución normal, con media de 1 semanas y desviación esándar de Enonces se dirá que exise sólo una probabilidad del 50% de posibilidades de erminar en 1 semanas o menos. La disribución del iempo de erminación de un proyeco puede usarse para responder una serie de pregunas sobre el iempo esimado. Por ejemplo supóngase que se quiere conocer la probabilidad de erminar la casa en 15 semanas. Para dar respuesa se uiliza la abla normal. Primero se convieren 15 semanas en una coordenada normal esandarizada: Z = (x - µ) / Z = (15 1)/1.91 Z = 1.57 Después se encuenra en la abla normal la probabilidad asociada con Z = El valor de la abla es Enonces exise una probabilidad del 94.% de erminar la casa en 15 semanas. Analicemos ese méodo a ravés del siguiene ejemplo. Tiempo en semanas Acividad Opimisa Más probable Pesimisa Tme Desviación Típica 1, , , , ,4 (ficicia) , Realice los cálculos para hallar la media y la desviación esándar de la erminación del proyeco. 7

15 a) Cuál es la probabilidad de erminar el proyeco en 18 semanas? b) Cuál es la probabilidad de erminarlo en 10? Respuesas Para dar respuesa se uiliza la abla normal. Primero se convieren 10 semanas en una coordenada normal esandarizada: a) T T = = n ( 1.33) + ( 0.33) + ( 1.33) T = 1.91 Después se encuenra en la abla normal la probabilidad asociada con Z = El valor de la abla es 1. Enonces exise una probabilidad de 1 de erminar la casa en 18 semanas. Para dar respuesa se uiliza la abla normal. Primero se convieren 10 semanas en una coordenada normal esandarizada: b) Z = (x - µ) / Z = (18 1)/1.91 Z = 3.14 T = n T = ( 1.33) + ( 0.33) + ( 1.33) T = 1.91 Z = (x - µ) / Z = (10 1)/1.91 Z =-1.05 Después se encuenra en la abla normal la probabilidad asociada con Z = El valor de la abla es Enonces exise una probabilidad de 0.49 de erminar la casa en 10 semanas. 8

16 LA ACTUALIZACIÓN SEGÚN COMO EL PROYECTO PROGRESA Haga los ajuses en la cara del PERT como progresa el proyeco. Mienras que el proyeco revela, los iempos esimados se pueden susiuir por épocas reales. En casos donde hay rerasa, los recursos adicionales puede ser necesario permanecer en horario y la cara del PERT se puede modificar para reflejar la nueva siuación. VENTAJAS DEL PERT El PERT es úil porque proporciona la información siguiene: Tiempo previso de la erminación del proyeco. Probabilidad de la erminación anes de una fecha especificada. Las acividades de la rayecoria críica que afecan direcamene el iempo de la erminación. Las acividades que ienen iempo flojo y que pueden presar recursos a las acividades de la rayecoria críica. Fechas del comienzo y del exremo de la acividad. LIMITACIONES Los siguienes son algunas de las debilidades del PERT: Las esimaciones del iempo de la acividad son algo subjeivas y dependen del juicio. En casos donde hay poca experiencia en la ejecución de una acividad, los números pueden ser solamene una conjeura. En oros casos, si la persona o el grupo que realiza la acividad esiman el iempo puede haber diagonal en la esimación. Incluso si bien-se esiman los iempos de la acividad, el PERT asume una disribución bea para ésos las esimaciones del iempo, pero la disribución real puede ser diferene. Incluso si la asunción bea de la disribución sosiene, el PERT asume que la disribución de la probabilidad del iempo de la erminación del proyeco es igual que el de la rayecoria críica. Porque oras rayecorias pueden converirse en la rayecoria críica si se rerasan sus acividades asociadas, el PERT subesima consanemene el iempo previso de la erminación del proyeco. CPM: rueque enre el iempo y el coso El méodo de la rua críica (CPM) se desarrolló para resolver el problema de los rueques enre el iempo y los recursos. El méodo supone que las duraciones y los cosos de las acividades se pueden predecir basane bien para poder usar esimaciones deerminisas. Sin embargo el CPM requiere de dos esimaciones de iempo y coso para cada una de las acividades en vez de una sola. Toma en cuena la posibilidad de que el esfuerzo exra (coso) puede reducir el iempo de erminación de una acividad. Los dos pares de esimaciones que usan en CPM se llaman iempo y coso normal y iempo y coso inensivo para cada acividad. La esimación normal se refiere al iempo y el coso para erminar una acividad suponiendo un nivel de esfuerzo esándar o normal. La esimación inensiva supone que se aplica el mayor esfuerzo para minimizar el iempo de erminación de la acividad. Ora suposición es que esas esimaciones guardan una relación lineal. 9

17 Cómo hallar la red de iempo mínimo- coso mínimo? Una de las cuesiones principales que pueden resolverse con el CPM es cuál es el coso mínimo para complear un proyeco en un iempo mínimo? Con las esimaciones dobles el CPM incluye dos redes exremas y algunas variaciones inermedias. En un exremo se iene la red con odo normal que se lleva el iempo más largo para la erminación y iene el coso oal más pequeño posible. En el oro exremo esá la red con odo inensivo que iene el iempo más coro pero el coso oal de proyeco máximo. Con frecuencia sucede que algunas de las acividades de esa red no necesian hacerse inensivas. Es decir, el iempo mínimo de erminación puede alcanzarse a un coso un poco menor que el máximo. Eso es lo que se llama la red de iempo mínimo- coso mínimo. Exisen res enfoques para enconrar la red de iempo mínimo- coso mínimo: 1. Comenzar con la red normal e ir reduciendo los iempos de erminación hasa un mínimo.. Comenzar con la red de odo inensivo y desinensificar acividades para ir reduciendo el coso sin afecar el iempo oal. 3. Comenzar con la rua críica de la red de odo inensivo con un iempo mínimo, pero con odas las demás acividades normales. Después reducir las oras rayecorias como sea necesario. Se ilusrará el primer enfoque comenzando con la red de odo normal. Para cada problema uno de los res méodos es el más eficaz. Lamenablemene, es difícil predecir de anemano cuál es el mejor; casi siempre eso se sabe después. Considérese una vez más el ejemplo de la casa. Para hacerlo más ineresane para el méodo CPM, se ha modificado la red, y se dan los siguienes iempos y cosos normales e inensivos. El coso incremenal de inensificar cada acividad ambién se muesra pues se usará después. 10

18 Inensivo Acividad N l Tiempo, semanas Coso, $ Tiempo, semanas Coso, $ C, $ 1, , , , , , , , , El análisis comienza colocando los iempos normales en la red. Ésos de usan para enconrar la holgura de cada eveno y deerminar la rua críica. Así se observa que el proyeco puede erminarse en 1 semanas con un coso normal de $ º El siguiene paso es hacer inensivas las acividades de la rua críica, es decir, reducirlas a su iempo mínimo. El razonamieno correspondiene es que no es posible erminar el proyeco anes que el iempo mínimo para esa rayecoria. Así el resulado sería: Coso adicional Acividad 1, inensificar 1 semana. $00 Acividad,4 inensificar semanas 1000 Acividad 4,5 inensificar 1 semana 700 Acividad 5,7 inensificar 1 semana 400 Nóese que el inensificar una acividad aumena su coso. El iempo mínimo para la rua críica es de 7 semanas. Después se deben inspeccionar las 11

19 rayecorias para ver si es necesario inensificar algo más. La manera más segura de hacer eso es razar odas las rayecorias a ravés de la red. Una forma cora es buscar subredes comparando con la rua críica. Por ejemplo enre los evenos y 4 hay dos rayecorias, -4, La primera es críica en 1 semana. Por ano la ora rayecoria se debe hacer inensiva a no más de 1 semana. Exisen dos acividades en la segunda rayecoria pero una es ficicia y ni puede reducirse. Enonces la acividad (,3) se debe reducir 1 semana. En la abla se observa que eso puede hacerse aumenando el coso de $500. De manera análoga considérese la duración del eveno 4 al 7. Hay dos acividades a lo largo de la rua críica con un oal de res semanas. Se sabe que una de las dos (4,) o (,7) endrá que reducirse una semana. Según la abla cuál debe ser? El coso para reducir la acividad (4,) una semana es de $00 mienras que para la acividad (,7) es $400. Como se quiere minimizar el coso se reduce la acividad (,7). Acividad Acción Coso adicional Coso normal Toal 1- Inensificar 1 semana $ 00 $ 1400 $ Inensificar 1 semana Inensificar semanas Inensificar 1 semana Inensificar 1 semana Inensificar 1 semana El resulado final es que el proyeco puede complearse en 7 semanas con un coso de $11400, que es $400 menos que el programa de la red de odo inensivo. Elección enre PERT y CPM La elección enre el enfoque de las res esimaciones de PERT y el méodo de rueques enre el iempo y el coso del CPM depende fundamenalmene del ipo de proyeco y de los objeivos gerenciales. El PERT es en paricular apropiado cuando se maneja mucha inceridumbre al predecir los iempos de las acividades y cuando es imporane conrolar de una manera efeciva la programación del proyeco; por ejemplo, la mayor pare de los proyecos de invesigación y desarrollo caen denro de esa caegoría. Por oro lado, el CPM resula muy apropiado cuando se pueden predecir bien los iempos de las acividades (quizá con base en la experiencia) y cuando esos iempos se pueden ajusar con facilidad (por ejemplo, si se cambian amaños de brigadas), al igual que cuando es imporane planear una combinación apropiada enre el iempo y el coso del proyeco. Ese úlimo ipo lo represenan muchos proyecos de 1

20 consrucción y manenimieno. En la acualidad, las diferencias enre las versiones acuales de PERT y CPM no son an marcadas como se han descrio. Muchas versiones de PERT permien emplear una sola esimación (la más probable) para cada acividad y omien así la invesigación probabilísica. Una versión llamada PERT/Coso considera ambién combinaciones de iempo y coso en forma parecida al CPM. Diferencias Enre PERT y CPM La diferencia enre PERT y CPM es la manera en que se realizan los esimados de iempo. E1 PERT supone que el iempo para realizar cada una de las acividades es una variable aleaoria descria por una disribución de probabilidad. E1 CPM por ora pare, infiere que los iempos de las acividades se conocen en forma deerminísicas y se puede variar cambiando el nivel de recursos uilizados. La disribución de iempo que supone el PERT para una acividad es una disribución bea. La disribución para cualquier acividad se define por res esimados: 1. el esimado de iempo más probable, m;. el esimado de iempo más opimisa, a; y 3. el esimado de iempo más pesimisa, b. La forma de la disribución se muesra en la siguiene Figura. E1 iempo más probable es el iempo requerido para complear la acividad bajo condiciones normales. Los iempos opimisas y pesimisas proporcionan una medida de la inceridumbre inherene en la acividad, incluyendo desperfecos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, reardo en los maeriales y oros facores. Con la disribución definida, la media (esperada) y la desviación esándar, respecivamene, del iempo de la acividad para la acividad Z puede calcularse por medio de las fórmulas de aproximación. 13

21 El iempo esperado de finalización de un proyeco es la suma de odos los iempos esperados de las acividades sobre la rua críica. De modo similar, suponiendo que las disribuciones de los iempos de las acividades son independienes (realísicamene, una suposición fueremene cuesionable), la varianza del proyeco es la suma de las varianzas de las acividades en la rua críica. Esas propiedades se demosrarán poseriormene. En CPM solamene se requiere un esimado de iempo. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los iempos de acividad se conocen. A medida que el proyeco avanza, esos esimados se uilizan para conrolar y moniorear el progreso. Si ocurre algún reardo en el proyeco, se hacen esfuerzos por lograr que el proyeco quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos. 14

22 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo. Acividad predecesor NORMAL INTENSIVO TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO A B C A D B E B,A F D G E H F ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo. Acividad Predecesor NORMAL INTENSIVO TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO A B C B D C,A E C F D G E H F ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo. Acividad Predecesor NORMAL INTENSIVO TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO A B C A D B E B,C F D G E H F ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo. 15

23 NORMAL INTENSIVO Acividad Predecesor TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO A B C A,B D A E C F E,D G F H E ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo Acividad Tiempo Coso $ Tiempo inens Coso $ ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo Acividad Tiempo Coso $ Tiempo Coso ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo 1

24 Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso

25 11) * Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana y el coso en pesos. a) Dibuje la red y encuenre la rua críica, del iempo normal. b) Halle la red iempo mínimo coso mínimo. Diga cuál es el coso mínimo Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: Acividad predecesor Tiempo pesimisa Tiempo más probable Tiempo opimisa A B ---,5 C D A, B, C 10 3 E A, B, C F C G D, E H D, E 5 4 I F 4 3 Dibuje la red y encuenre la rua críica. Cual es la probabilidad de erminar el proyeco en no más de una semana después de la duración media del proyeco 14) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: 18

26 Acividad Predecesor Tiempo opimisa Tiempo más probable Tiempo pesimisa A B C A, B 10 1 D A, B 5 7 E A, B F C, D G C, D H E 8 10 I F 9 1 a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco en no más de 3 semanas? 15) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: Acividad Predecesor Tiempo opimisa Tiempo más probable Tiempo pesimisa A B C A 1 3 D A 3 10 E B F B G C 8 10 H D,E I F 1 3 J I 1 9 a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco en no más de 18 semanas? 1) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: Acividad Predecesor Tiempo opimisa Tiempo más probable Tiempo pesimisa A B C A D A E B 4 14 F B 5 19 G D,E H F I H 4 J C 7 0 a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco en no más de 0 semanas? 17) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: 19

27 Acividad Predecesor Tiempo opimisa Tiempo más probable Tiempo pesimisa A B C A 3 10 D A E B 5 19 F B 7 0 G F 4 H G I C J D,E a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco en no más de 5 semanas? 18) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: Acividad Predecesor Tiempo opimisa Tiempo más probable Tiempo pesimisa A B C D E A F A, B G C, D H E, F 3 10 I F, G J H, I a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco en no más de 4 semanas? 19) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco al menos en 30 semanas? Acividad a m b

28 0 ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco a lo sumo en 7 semanas? Acividad a m b ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco al menos en 48 semanas? Acividad a m b ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco como máximo en 47 semanas? Acividad a m b

29 3) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco como máximo en 50 semanas? Acividad a m b ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco como máximo en 50 semanas? Acividad a m b

30 5) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco al menos en 37 semanas? Acividad a m b ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco al menos en 30 semanas? Acividad a m b ) Dado el siguiene proyeco con el iempo en semana: a) Dibuje la red y encuenre la rua críica. b) Cual es la probabilidad de erminar el proyeco como máximo 0 semanas? Acividad a m B

31 Respuesas Preguna # 1 Primero used para aplicar el méodo CPM iene que ejecuar los siguienes pasos: 1. Dibujar la red normal y deerminar la rua críica. Inensificar la rua críica y raar de que no se viole la misma. 3. Inensificar aquellas acividades que se encuenran fuera de la rua críica con el objeivo que la misma no se viole. 1) Para cumplir con el paso número 1 se consruye la red de acuerdo con los daos de la red normal, y con los iempos que aparecen en abla a cada eveno se le deermina el iempo de erminación más próxima y más lejana, para luego calcularse la holgura y poder deerminar la rua críica. TP = MÁX { TP anerior + Tiempo de duración de la acividad} TL = MIN{ TL eveno siguiene - Tiempo de duración de la acividad} Holgura = TL - TP. ) El paso número se ejecua una vez que se concluye el número 1, de acuerdo a la abla de la red inensificada se va consruyendo una nueva red donde los iempos de las acividades de la rua críica se van a inensificar de acuerdo a los daos que aparecen en abla. Una vez erminada la red se deerminan los iempos de deerminación más próximo y más lejano con el objeivo de calcular el iempo de duración de la rua críica inensificada que habíamos idenificado de la red normal que no se puede violar. Sí por ejemplo la duración de las acividades que pasan por la rua críica llega a esar con un valor inferior al de las demás acividades que esán fuera de la rua críica hay que darle cumplimieno al paso # 3. 3) Las acividades que se encuenran fuera de la rua críica se van inensificando de una en una, eniendo en cuena la de menor coso, cuando se inensifique la primera,se vuelve a sumar odos los iempos de esa rua, sí el iempo sumado es mayor al de la rua críica, se inensifica la ora acividad de menor coso se repie la misma secuencia hasa que la rua de esas acividades que se encuenran fuera de la rua críica sean menores ó iguales a la rua críica. Noa: Al erminar el paso número 3 se deermina el coso oal por inensificar el proyeco ese se deermina de la siguiene forma. Coso Toal = Coso Red normal + Coso adicional acividades inensificadas Acividad predece sor NORMAL INTENSIVO TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO A B C A D B E B,A F D G E H F Coso oal - - $ a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: B, D, F, H con una duración de 40 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 3 semanas maneniendo la rua críica B, D, F, H. Por lo que primero inensifico las acividades de la rua críica 4

32 y luego compruebo sí puedo manener la misma, al percaarme que no puedo( La rua A, C, E, G ; B,E,G iene una duración de 35 semanas ) manenerla ya que el iempo de duración es menor que el de las demás ruas, debo comenzar a inensificar de una en una las acividades resanes hasa que la duración de la rua de esas acividades sea igual o menor a la de la rua críica inicial por lo que comienzo a inensificar la acividad de menor coso. Comienzo por la acividad G que iene un coso de $ , disminuyéndola a 1 semanas por lo que la rua queda en 34 semanas, mayor que la rua críica, Después inensifico a E a 4 semanas disminuyendo a 33 semanas la duración de esa rua, por lo que sigo quedando por encima de la rua criica, finalmene inensifico a C a 7 semanas disminuyendo a 31 semanas. Por lo que manengo finalmene la rua críica inicial. Se inensificaron las siguienes acividades: Acividad Coso adicional 1-3 $ * * 00-4 * 1000 Coso oal adicional $5500 Leyenda: * Ruas inensificadas que se encuenran fuera de la críica. Coso oal Coso oal = $ $ = $ R/ El proyeco se logra inensificar de 40 semanas a 3 semanas con un coso mínimo de $ Preguna # Acividad Predeces or NORMAL INTENSIVO TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO A B C B D C,A E C F D G E H F Coso oal a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: B, C, E, G con una duración de 4 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 31 semanas maneniendo la rua críica B, C, E, G. Las ruas B, C, D,F,H; A,D,F,H ienen una duración de 33 y 3 semanas por lo que se necesia inensificar las acividades A,F y D en ese orden, cumpliendo primero con la de menor coso, para así manener la rua críica. Se inensificaron las siguienes acividades: 5

33 Acividad Coso adicional 1-3 $ * * * 1800 Coso oal adicional $ Leyenda: * Ruas inensificadas que se encuenran fuera de la críica. Coso oal = $ $ Coso oal = $81400 R/ El proyeco se logra inensificar de 4 semanas a 31 semanas con un coso mínimo de $ Preguna # 3 Acividad Predece sor NORMAL INTENSIVO TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO A B C A D B E B,C F D G E H F Coso oal - - $ a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: B, D, F, H con una duración de 5 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 44 semanas maneniendo la rua críica B, D, F, H. La rua A, C, E, G iene una duración de 47 semanas por lo que se necesia inensificar las acividades G y E en ese orden, cumpliendo primero con la de menor coso, para así manener la rua críica. Se inensificaron las siguienes acividades: Acividad Coso adicional 1-3 $ * * 500 Coso oal adicional $ 4900 Leyenda: * Ruas inensificadas que se encuenran fuera de la críica. Coso oal = $ $ Coso oal = $ R/ El proyeco se logra inensificar de 5 semanas a 44 semanas con un coso mínimo de $

34 Preguna # 4 NORMAL INTENSIVO Acividad Predece TIEMPO COSTO TIEMPO COSTO sor A B C A,B D A E C F E,D G F H E Coso oal a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: A, C, E, H con una duración de 48 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 38 semanas maneniendo la rua críica A, C, E, H. La rua B, C, E, H iene una duración de 39 por lo que se necesia inensificar la acividad B ya que el iempo de duración es mayor que el de la rua criica, debo comenzar la acividad hasa que la duración de la rua de esa acividad sea igual o menos a la de la rua críica inicial por lo que comienzo a inensificar la acividad de menor coso. Se inensificaron las siguienes acividades: Acividad Coso adicional 1- $ * 00 Coso oal adicional $300 Leyenda: * Rua inensificada que se encuenran fuera de la críica. Coso oal = $ $ Coso oal = $80500 R/ El proyeco se logra inensificar de 48 semanas a 38 semanas con un coso mínimo de $ Preguna # 5 Acividad Tiempo Coso $ Tiempo inens Coso $ Coso adicional 1-4 $ $000 $

35 a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: A, C, E, G con una duración de 1 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 7 semanas maneniendo la rua críica A, C, E, G. Por lo que primero inensifico las acividades de la rua críica y luego compruebo sí puedo manener la misma, al percaarme que no puedo( La rua A,B,F,H iene una duración de 9 semanas ) manenerla ya que el iempo de duración es menor que el de las demás ruas, debo comenzar a inensificar de una en una las acividades resanes hasa que la duración de la rua de esas acividades sea igual o menos a la de la rua críica inicial por lo que comienzo a inensificar la acividad de menor coso. Se inensificaron las siguienes acividades: Acividad Coso adicional 1- $ * 00-7 * 400 Coso oal adicional $3300 Leyenda: * Ruas inensificadas que se encuenran fuera de la críica. Coso oal = $ $ Coso oal = $ R/ El proyeco se logra inensificar de 1 semanas a 7 semanas con un coso mínimo de $ Preguna # Acividad Tiempo Coso $ Tiempo Coso Coso Adicional 1-7 $ $ 500 $ a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: B, F con una duración de 18 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 1 semanas maneniendo la rua críica B, F. Por lo que primero inensifico las acividades de la rua críica y luego compruebo sí puedo manener la misma, al percaarme que no puedo( La rua A,D,F ; A, E y C ienen una duración mayor que la de la rua críica inensificada : 17, 1, 15 respecivamene) manenerla ya que el iempo de duración es menor que el de las demás ruas, debo comenzar a inensificar de una en una las acividades resanes hasa que la duración de la rua de esas acividades sea igual o menos a la de la rua críica inicial por lo que comienzo a inensificar la acividad de menor coso. Se inensificaron las siguienes acividades: 8

36 Acividad Coso adicional 1-3 $ * * * * 3000 Coso oal adicional $800 Leyenda: * Ruas inensificadas que se encuenran fuera de la críica. Coso oal = $ $ Coso oal = $ R/ El proyeco se logra inensificar de 18 semanas a 1 semanas con un coso mínimo de $ Preguna # 7 Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso Coso adicional $ a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: B, D, E con una duración de 7 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 17 semanas maneniendo la rua críica B, D, E. Las ruas B, C, E; A, D, E ienen una duración de 0 y 18 semanas por lo que se necesia inensificar las acividades A y C en ese orden, cumpliendo primero con la de menor coso, para así manener la rua críica. Se inensificaron las siguienes acividades: Acividad Coso adicional 1-3 $ * * 000 Coso oal adicional $800 Leyenda: * Ruas inensificadas que se encuenran fuera de la críica. Coso oal = $ $ Coso oal = $ R/ El proyeco se logra inensificar de 7 semanas a 17 semanas con un coso mínimo de $

37 Preguna # 8 Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso Coso adicional Coso oal - $ a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: B, C, E, G con una duración de 39 semanas. b) La red coso mínimo, iempo mínimo iene una duración de 5 semanas maneniendo la rua críica B, C, E, G. Las ruas A,D,E,G; A,C,F;B,C,F y B,D,E,G ienen una duración de,7,7 y por lo que se necesia inensificar las acividades F y D en ese orden, cumpliendo primero con la de menor coso, para así manener la rua críica. Se inensificaron las siguienes acividades: Acividad Coso adicional 1-3 $ * * 4000 Coso oal adicional $18000 Leyenda: * Ruas inensificadas que se encuenran fuera de la críica. Coso oal = $ $ Coso oal = $ R/ El proyeco se logra inensificar de 39 semanas a 5 semanas con un coso mínimo de $ Preguna # 9 Acividad Tiempo Coso Tiempo Coso Coso adicional 1-4 $ $ $ Coso oal - $ a) Como puede verse en el grafico las acividades críicas de la red normal son: A, C, E, F, H con una duración de 31 semanas. 30