Aplicaciones multilineales entre espacios vectoriales. Determinantes. Propiedades. Utilización en diferentes campos

Transcripción

1 Apliccioes multilieles etre espcios vectoriles. Determites. Propieddes. Utilizció e diferetes cmpos ítulo: Apliccioes multilieles etre espcios vectoriles. Determites. Propieddes. Utilizció e diferetes cmpos. rget: Profesores de Mtemátics. Asigtur: eorí de Determites. Autor: Mri de l O Mrtiez Stibñez, Licecid e Mtemtics, Profesor de Mtemtics e Educcio Secudri. L teorí de los determites tiee u histori sigulrmete ccidetd y que se vio desrrolldo de modo itermitete desde l tigu Chi. Además, curiosmete, los determites hiciero su prició más de u siglo tes que ls mtrices. El térmio mtriz se debe J.J. Sylvester, que quiso dr eteder que er l mdre del determite. L myorí de los historidores coicide e firmr que l eorí de los Determites se origió co el mtemático lemá Leibitz ( ) l estudir l resolució de sistems de ecucioes lieles simultáeos. Posteriormete, l teorí de los determites fue fudmetd por Cuchy ( ) que o solo puso de mifiesto l eorme poteci de cálculo de éstos, sio que demás mostró su ppel fudmetl pr l determició de los rsgos eseciles de l mtrices, como so: rgo, codició de iversió y poliomio crcterístico. Lplce ( ) fue el primero e desrrollr u determite por sus djutos y co Jcobi ( ) se ceptó filmete el térmio determite y se estbleció l eorí de ls fucioes de vris vribles. Al hblr de determites o podemos olvidros del mtemático iglés Chrles Dogso ( ), más coocido por su pseudóimo Lewis Crroll, cuy portció l coocimieto de l teorí de los mismos fue otble, sistemtizdo sus propieddes y pliccioes. 1. Apliccioes multilieles etre espcios vectoriles. Defiició: Ddo E espcio vectoril sobre K, u form multiliel de orde k sobre E es u plicció : E x E x x E K tl que, pr cd j 1,2,, k, u, u, ve,, K se tiee que j k veces u,, u, u v, u,, u u,, u, u, u,, u u,, u, v, u,, u j j k j j k 1 j1 j1 k Es decir, que u form multiliel es u plicció, vlores e K, que depede de vrios vectores y es liel e cd uo de ellos. O dicho de otr mer: fijdo tods ls vribles vectoriles meos u culquier, se obtiee u form liel de E. 176 de 196 PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto 2012

2 K Defiició: u form multiliel : E Kse dice lterd (tisimétric) si i, j 1,, k u, v, u E, sucede j,,,,,, 1,,,,,, k 1 k i) j) i) j) u u v u u v u u, es decir, el vlor de l fució cmbi de sigo cudo se itercmbi los vlores de dos culesquier de sus vribles vectoriles. K Corolrio: Si : E K es u form multiliel lterd, etoces decir, se ul siempre que se repit lgu de sus vribles vectoriles. u E, Observció: cudo el cuerpo de esclres es o, se cumple el recíproco de lo terior. Proposició: od form multiliel que cumpl, u,, u, 0 ue, es lterd., u,, u, 0, es E lo sucesivo, os ocupremos de forms multilieles lterds de orde igul l dimesió del espcio. Costrucció de l fució determite. El cocepto de determite es posible itroducirlo de diferetes forms: Por medio de pliccioes multilieles lterds, por iducció o medite sums de! sumdos pr u determite de orde. E este prtdo lo vmos itroducir de l primer form y que es l más riguros de ls tres, uque e el siguiete lo veremos de l tercer form, ddo que fcilit l demostrció de sus propieddes. Ates de presetr l defiició coviee que recordemos lguos coceptos referidos permutcioes. Permutció de elemetos. Es u biyecció : co su imge y escribiremos i i i e vez de A l permutció se le llm permutció pricipl.. E ocsioes idetificremos Iversió/trsposició de dos elemetos de u permutció. Dos elemetos de l permutció i i i está e iversió si e es permutció figur e orde distito l de l permutció pricipl. 1 2 Cudo u permutció tiee u úmero pr de iversioes diremos que es de clse pr y si el úmero es impr, se dirá que es de clse impr. Sigtur de u permutció. Dd i 1 i 2 i u permutció de 1,,, otremos 1 1 i úmero de iversioes de. Se defie sigtur de como el úmero sg 1 Existeci y uicidd. pr i l impr eorem: Si e,, e 1 es u bse de E, pr culquier K, existe u úic form multiliel lterd de orde sobre E tl que e, e,, e 1 2. PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto de 196

3 Dem: Es obvio que, si : E K es multiliel y lterd, y puesto que l plicársel vectores repetidos el resultdo es ulo, etoces qued crcterizd por los! esclres e, e,, e, S, 1 2 es decir, por los vlores de sobre tods ls posibles permutcioes de los elemetos de l bse. Pero como tod permutció es producto de trsposicioes, y, debido l lterci, si es u trsposició, e, e,, e e, e,, e, se tiee que pr culquier permutció S,,,, 1 2,,, 1 2 e e e sg e e e, e dode sg 1 i siedo i el úmero de trsposicioes de culquier descomposició de (recuérdese que tods ls descomposicioes tiee l mism pridd). Por lo tto, cocluimos que l form multiliel lterd qued crcterizd por el úico vlor e, e,, e. 1 2 Corolrio: Existe u úic form multiliel lterd sobre los vectores cóicos de K. K que vle 1 sobre e,, e, siedo e 1 j Defiició y ejemplos. Defiició: Se llm fució determite sobre K, y se deot por det, l úic form multiliel lterd terior. Dd x de A. A K, se llm determite de A Ejemplos: (Iterpretció geométric) A : det A det A,, A, dode A so ls colums 1 j 2 det uv, mide el áre del prlelogrmo de 2 cuyos ldos so los vectores u y v. 3 det u, v, w mide el volume del prlelepípedo de 3 delimitdo por los tres vectores u, v y w. 2. Determites. Por lo visto e el prtdo terior, estmos e codicioes de proceder socir cd mtriz cudrd A M K, u esclr llmdo A o det A 11 1 Defiició: (determite de u mtriz cudrd) Se A M K, A, se llm 1 determite de A, l esclr defiido por 178 de 196 PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto 2012

4 i1 2i2 i S S i det A A 1 sg, dode 1 2 permutció culquier de los elemetos extedid ls! permutcioes de 1, 2,,. Observcioes: 1,,, i i i i es u el úmero de iversioes de y estdo l sum Por cd permutció de úmeros 1, 2,, hy u sumdo e l defiició, sí que el det A cost de! sumdos. Cd sumdo del determite es u producto de elemetos de l mtriz, de tl mer que e cd producto hy u fctor por cd fil y colum de A. El sigo de cd sumdo será positivo o egtivo segú l sigtur de l permutció. Es lo mismo referiros fils que colums. Cálculo de determites de orde 2,3 y. Orde A i i (1 2) (2 1) det A Orde 3. A i i i (1 2 3) (1 3 2) (2 1 3) det A i i i (2 3 1) (3 2 1) (3 1 2) Pr recordr este desrrollo se suele usr el siguiete esquem coocido como REGLA DE SARRUS Orde. A PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto de 196

5 Pr determites de orde, >3, plicremos l propieddes de los determites que veremos cotiució, sí como el método de desrrollo de u determite por u fil o colum (Desrrollo de Lplce). 3. Propieddes. Propieddes. Se A M K, El determite de u mtriz coicide co el de su trspuest: A A Dem: Se ij B A A y ij B b, co b, etoces, A B sg b b b sg A. S S ij ji observció Est propiedd os v permitir sustituir l plbr fil por colum e el resto de propieddes. Si todos los elemetos de u fil (colum) so ulos, etoces su determite tmbié lo es: A 0. Dem: por l propi defiició de determite, e cd uo de los! sumdos, iterviee como fctor uo de los elemetos de cd fil y por tto de l fil ul. Así que todos los sumdos so ulo y A 0. 4) Si itercmbimos etre sí dos fils de A, pr l mtriz B obteid se tiee que B A b b pj qj Dem: Itercmbimos por ejemplo ls fils p y q (p<q). Se tiee: si,, 1 qj pj j 1. det( B) sg i i i i b b b b sg i i i i 1 p q 1i1 pip qiq i 1 p q 1i1 qiq pip i sg i i i i 1 p q 1i1 pip qiq i b i p q j y ij ij Si e cd permutció i i i i 1 p q trspoemos i p e 1 1 p q 1 q p sg i i i i sg i i i i. i q, ést cmbi de sigtur Así que det( B) det( A ). El determite de u mtriz A co dos fils igules es ulo. Dem: Si itercmbimos e A ess dos fils, obteemos l mism mtriz A, y plicdo l propiedd 3) llegmos que det( A) det( A) det( A ) de 196 PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto 2012

6 Al multiplicr u fil culquier de A por u esclr, el determite de l mtriz B obteido es det( B) det( A ). E cosecueci, det( A) det( A ). Dem: odos los! sumdos cotiee uo y solo uo de los elemetos de l fil multiplicd por. Así que, scdo fctor comú se obtiee que det( B) det( A ). Si l mtriz A tiee dos fils proporcioles det( A ) 0. Pr op. 4) Dem: Por l propiedd 5) teemos que det( A) det( B ) 0 0. tiee dos fils igules b b b b b b Dem: es u simple cosecueci de l plicció de l propiedd distributiv del producto respecto de l sum, l plicrl cd sumdo del desrrollo del det(a). El determite de u mtriz cudrd o vri si se le sum u fil (colum) culquier combició liel de otrs fils (colums). Dem: utilizdo l propiedd 7), supogmos que l fil p de A se le sum otr fil q multiplicd por. Etoces, i p se tiee b. E el cso de ij ij, co pj qj pj ij det( B) det( A) det mtriz co dos fils proporcioles det( A) 0 det( A ). por Pr op.6) i p b B b.luego, Si u fil de A es combició liel de otrs fils det( A ) 0. Dem: por l propiedd 7) det( A ) = sum de determites de mtrices que tiee dos fils proporcioles. Como todos estos determites so ulos por l propiedd 6) det( A ) 0. El determite de u mtriz trigulr o digol es igul l producto de los elemetos de l digol pricipl. Dem: e todos los sumdo prece u cero excepto e los térmios de l digol pricipl. Desrrollo de u determite por los elemetos de u fil (o colum). PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto de 196

7 Se A M K. Al suprimir l fil p y l colum q de u mtriz cudrd A de orde, result u mtriz A de orde -1, cuyo determite recibe el ombre de meor complemetrio del elemeto, que pq figur e l fil p y l colum q. Lo represetmos por Defiició: llmremos djuto del elemeto pq M. pq det pq pq M A. l úmero que represetmos por l mtriz que tiee como elemetos los djutos de los elemetos de A, djut de A. Vemos hor u teorem que os fcilitrá el cálculo del determite de orde >3. ij pq M pq 1 p q pq. A M K se llm mtriz eorem (Desrrollo de Lplce). A M K. Se verific: 1) det( A), j 1 (colum j) 1 j 1 j 2 j 2 j j j 2) det( A), i 1 (fil i) i1 i1 i2 i2 i i El determite de u mtriz es igul l sum de los productos de los elemetos de u fil/colum por sus correspodietes djutos Observció: el vlor del determite es idepediete de l fil/colum elegid. Corolrio: A M K A A det( A) I. E prticulr, si A es regulr A det( A) 1 1 Dem: llmmos ij El coeficiete (i,j) de c. Vemos que A det( A) I. A es: c c c i1 1 j i 2 2 j i j i1 j1 i 2 j 2 i j det( A), i j 0, i j mtriz co dos fils / colums igules A det( A) I Ahor vemos que A det( A) I. El coeficiete (i,j) de A es: 182 de 196 PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto 2012

8 c c c i1 1 j i 2 2 j i j i1 1 j i2 2 j i j det( A), i j 0, i j mtriz co dos fils / colums igules A det( A) I Es imedito ver que A det( A) 1 1 (A regulr). Corolrio: L sum de los productos de los elemetos de u fil/colum por los djutos de los elemetos correspodietes de otr fil/colum es igul cero. Dem: se l sum de los productos de los elemetos de l fil p por los djutos p1 q1 p2 q2 p q de los elemetos de l fil q. Est sum es el desrrollo por los djutos de l fil q de u mtriz obteid sustituyedo l fil q por su fil p, que tiee dos fils igules. Así que, det(a)=0. 4. Utilizció e diferetes cmpos. L teorí de Determites preset umeross pliccioes e diferetes cmpos, etre ls que citmos: 1 ) Estudio de l idepedeci liel de vectores. El uso de determites proporcio u método de secillo pr comprobr cudo vectores de lielmete idepedietes. m so Se M l mtriz cuys colums so los vectores ddos. M es u mtriz m x. Ls colums so lielmete depedietes si y sólo si existe u vector de dimesió (diferete del vector ulo) tl que: M.x=0; esto es: M.x=x 1.M 1 + x 2.M x.m = 0 (Nótese que M j es l j-ésim colum de M). E cso cotrrio; si sólo existe el vector ulo, los vectores so lielmete idepedietes. E coclusió, Se M 1, M 2,..., M vectores de m. Si >m, etoces culquier cojuto de vectores de m so lielmete depedietes. Si <m, etoces M 1, M 2,..., M so lielmete idepedietes si y sólo si M M 0. Si =m, etoces M 1, M 2,..., M so lielmete idepedietes si y sólo si M 0. 2) Cálculo del rgo de u mtriz. Defiició: Se mx lielmete idepedietes. A M K. Llmmos rgo de A l úmero máximo de vectores fil/colum PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto de 196

9 Observció: A M K, rgo( A) A regulr mx eorem 1 (eorem del rgo) E culquier mtriz A M K, el rgo por fils es igul l rgo por colums. Dem: Se r=rgo por fils y s=rgo por colums. Vemos que r=s. Result que los vectores fil se puede expresr como combició liel de s vectores lielmete idepedietes, por lo que r s. Además, todos los m vectores colum se puede expresr como combició liel de r vectores lielmete idepedietes, luego s r. mx Defiició: Dd u mtriz A M K, se llm meor de orde h e A l determite de u mtriz cudrd de orde h obteid suprimiedo m-h fils y -h colums e A. mx eorem 2 (Crcterizció del rgo medite determites) Se AM K rgo( A) mx s : A tiee u meor de orde s o ulo mx r s A tiee u meor de orde s o ulo. Vemos que r r. Dem: Se r=rgo (A) y mx : rgo( A) r r colums de A l.i. se puede ecotrr u meor de orde r o ulo todos los meores orde r 1 so ulos todos los meores orde myor so 0 r r. De otr prte, r máximo orde existe u meor de orde r o ulo r colums de A l.i. (ls del meor) r r. Por tto, r r. Corolrio. Se A M K. Si A tiee u meor de orde p o ulo y todos los meores de orde p+1 que mx se obtiee orldo co u fil y u colum el meor de orde p so ulos, etoces, rgo( A) p. Cálculo práctico del rgo de u mtriz. Segú el eorem 2, bst ecotrr u meor o ulo que l orlrlo de tods ls mers posibles os produzc determites ulos. PASOS: 1. Obteido el meor de orde h de A o ulo, M, se orl co u de ls fils que o está e M y cd u de ls colums de A que o iterviee e M. 184 de 196 PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto 2012

10 2. Si todos los meores de orde h+1 sí obteidos so ulos, l fil cosiderd es c.l. de ls fils de M y l suprimimos. 3. Proseguimos co otr fil. Si se obtiee u meor de orde h+1 o ulo, l orlr M co es fil, el rgo es l meos h+1. Se cotiú sí hst que se termi ls fils de l mtriz o se obtiee u cierto meor o ulo que determi el rgo de A Ejemplo: Clculr el rgo de l mtriz A ; ; , Así que el rgo(a)= ) Cálculo de l mtriz ivers. El corolrio del eorem que os port el Desrrollo de Lplce pr el cálculo de determites de orde A M K dd ( A regulr). >3, os idicb el modo de clculr l mtriz ivers de u mtriz Corolrio: A M K A A det( A) I. E prticulr, si A es regulr A det( A) 1 1 4) Regl de Crmer. Si AX B es u sistem de ecucioes dode A es l mtriz de coeficietes del sistem, X x, x,, x 1 2 es el vector colum de ls icógits y B es el vector colum de los térmios idepedietes, etoces, l solució l sistem se preset sí: det( A ) j x j det( A ), dode A j es l mtriz resultte de reemplzr l j-ésim colum de A por el vector colum B. (cemos otr que pr que el sistem se comptible determido, A h de ser regulr) 5) Cálculo de áres y volúmees. El cálculo de áres y volúmees bjo form de determites e espcios euclídeos prece como csos prticulres de u oció más geerl de determite. El áre de u prlelogrmo de ldos o prlelos, v ywviee defiido como el producto vectoril: PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto de 196

11 i j k A v x w v v v prle log rmo x y z w w w x y z Cosideremos los tres vectores u, v y w plicdos sobre el mismo orige, de mer que forme u prlelepípedo (co sus proyeccioes). Se cumple que el volume del prlelepípedo es igul l vlor bsoluto del producto mixto de los tres vectores que lo form: u u u x y z V re ltur u, v, w v v v prlelepípedo bse x y z w w w x y z 6) Cáculo del jcobio. E cálculo vectoril, se llm jcobio o determite jcobio l determite de l mtriz jcobi. L mtriz jcobi es u mtriz formd por ls derivds prciles de primer orde de u fució. U de ls pliccioes más iterestes de est mtriz es l posibilidd de proximr lielmete l fució e u puto. E este setido, el jcobio represet l derivd de u fució multivrible. Ejemplo. El determite jcobio de l fució F : R 3 R 3 defiid como: 2 F x, x, x 5 x, 4x 2si x x, x x es: y y y x x x y y y 2 2 2,, 8 2 cos 2 cos x x x x x 3 2 y y y x x x x 2x cosx x J x x x x x x x x x x xx 0 x U propiedd itereste del jcobio es que cudo éste es diferete de cero e el etoro de u puto ddo, etoces el teorem de l fució ivers grtiz que l fució dmite u fució ivers lrededor de dicho puto. 186 de 196 PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto 2012

12 5. Coclusió. El cocepto de determite de u mtriz cudrd tiee u gr relevci detro de l teorí de mtrices. Los determites result de gr utilidd l hor de resolver determidos sistems de ecucioes lieles (los llmdos sistems de Crmer), discutir l existeci de solució de sistems de ecucioes lieles geerles (medite el cocepto de rgo de u mtriz y del eorem de Rouché Frobeious), y lizr l depedeci liel de u cojuto de vectores (lo cul, etre otrs coss, os permitirá idetificr posibles bses de u espcio vectoril). Además, l iterpretció geométric de los determites os permite clculr, de form secill, áres y volúmees de determids figurs geométrics, relizr productos vectoriles, y hllr ls ecucioes de u plo e el espcio. Los cmpos de plicció de l teorí de los determites y, e geerl, de l teorí de mtrices so muy mplios, y brc desde ls más clásics pliccioes e ls áres de físic, ecoomí e igeierí hst pliccioes más recietes como l geerció de gráficos por ordedor, l teorí de l iformció y l criptogrfí. Bibliogrfí REY PASOR, J.(1941) Elemetos de Aálisis Algebrico MADRID. SANLEY GROSSMAN (2008). Álgebr Liel. MADRID MC GRAW HILL.. Págis web como: PubliccioesDidctics.com Nº 28 Agosto de 196