TEMA 19. Determinantes. Propiedades. Aplicaciones al cálculo del Rango de una Matriz

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1 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz TEM 9. Determites. Propieddes. pliccioes l cálculo del Rgo de u Mtriz. Itroducció El determite es u operció multiliel socid geerlmete mtrices cudrds. De est form el determirte relcio u mtriz cudrd co u úmero del cuerpo e el que trb l mtriz K. Curiosmete el cocepto de determite surge tes que el de mtriz, e rs de resolver e iterpretr ls solucioe de sistems de ecucioes lieles. Se puede cosiderr Crmer medidos siglo XVIII como el mtemático pricipl que clculó los determites pr culquier dimesió si bie hy que recordr tmbié mtemáticos predecesores él como Leibitz y el poés Kow Seki que e el siglo terior prece ser que clculro determites de orde y. El estudio de los determites puede hcerse co dos distitos efoques: plicció multiliel lter o como sum de! térmios bsdos e permutcioes dimesió de l mtriz. E este tem se v desrrollr medite el segudo efoque, que permite u visulizció secill pero riguros de los determites y de sus propieddes.. Cuestioes prelimires: Permutcioes y Mtrices tes de ver l defiició de determites es ecesrio coocer ls mtrices, sobre ls que se defie los determites, y ls permutcioes,que se utiliz e l defiició del determite... Mtrices Se los coutos fiitos de N I{,,,m} y J{,,, } y u cuerpo K geerlmete se us R llmremos mtriz de dimesió mx e el cuerpo K tod plicció de l form: : IxJ K i, i, i l couto de tods ls mtrices de dimesió mx e el cuerpo K ls deotremos como M mx K. Hbitulmete, y e este tem si pérdid de geerlidd, se trb co K R, siedo etoces el couto de mtrices mx e los reles el couto deotdo como M mx R. Detro de ls mtrices distiguiremos ls mtrices cudrds, e ls que el úmero de fils es igul l de colums m. l couto de tods ls mtrices cudrs de dimesió se deot por M K... Permutcioes Se u couto fiitos de N J{,,,} u permutció so tods ls forms diferetes de order los distitos elemetos del couto J. l couto de tods ls permutcioes ls deotremos por G. Este couto posee! elemetos, es decir! distits permutcioes. Por lo geerl ls permutcioes se deot como p, siedo p, p,,p l posició de los elemetos de J. Se defie como trsposició es u permutció, p G, que cmbi de orde dos elemetos del couto J, es decir pi, pi y pkk si k i,. Cudo teemos u permutció p G y se i, {,,,,} co i< cudo pi>p decimos que p posee u iversió e los lugres i y, o que pi y p iversió e p. Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri

2 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz l úmero de iversioes que posee p se llm ídice de p y se deot por Ip. Si Ip es pr o cero se dice que p es pr, e cso cotrrio p es impr. Eemplo p,, posee u iversió e los lugres y y otr e los lugres y, es por tto pr. Se llm pridd o sigtur de p, y se deot como εp l vlor εp- Ip, sí si p es pr εp y si es impr εp-. Por eemplo u trsposició εp- - es impr.. Determites, defiició, cálculo y propieddes... Defiició de determite Se i u mtriz cudrd de orde. Se llm determite de y se represet por det o l sum de! térmios! es el úmero de elemetos de G todos ellos de l form εp p p p p, dode p G y εp es l pridd de p. Etoces, se l mtriz M K Podemos escribir det ε p p p p G.. Determites de orde y. p Determite de orde : plicdo l defiició de l mtriz result: Puesto que l permutció, es pr y l, es impr. Determites de orde : plicdo uevmete l defiició Ls permutcioes,,,,,,,, so pres y,,,,,,,, impres. El determite de orde tres se suele simbolizr medite l regl de Srrus: El cálculo de determites de orde superior tres result muy lborioso medite l defiició que se h ddo; por lo que veremos, más delte, u método que permite reducir el cálculo de u determite de orde p l de otros de orde p, y sí sucesivmete, hst reducirlo l cálculo de determites de orde ó. Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri

3 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz..Propieddes de los determites Ls propieddes más importtes de los determites so ls que preseto cotiució: P : detdet t P : detf,f,,f i,, F,,F -detf,f,,f,, F i,,f P : detf,f,,kf i,,f k detf,f,,f i,,f o detc,c,,cf i,,c k detc,c,,c i,,c P : detk k det co M x P 5 : detf, F,,,, F o detc, C,,,, C P 6 : detf,, F i,,k F i,,f o detc,, C i,,k C i,,c P 7 : detf,f,,f i +F i,,f detf,f,,f i,,f + detf,f,,f i,,f detc,c,,c i +C i,,c detc,c,,c i,,c + detc,c,,c i,,c P 8 : detf, F,, λ F +λ F + +λ i- F i- +λ i+ F i+ + +λ F,, F Fil i detc, C,, λ C +λ C + +λ i- C i- +λ i+ C i+ + +λ C,, C Colum i P 9 : detf,f,,f i,,f detf,f,,λ F +λ F + +λ i- F i- +F i +λ i+ F i+ + +λ F,, F P : det F i λ F +λ F + +λ i- F i- +λ i+ F i+ + +λ F P : det Bdet detb P : det - /det C i λ C +λ C + +λ i- C i- +λ i+ C i+ + +λ C Demostrcioes: Tods ls demostrcioes bsds e ls propieddes de ls permutcioes y de l lielidd de los sumtorios. P : detdet t Se i y t i t. Se tiee que i t i. Si p G y p - es su ivers, εp εp - demás como el producto e R es comuttivo y i R Observmos que pr i {,,, }, si pi etoces p - i l ser p - l ivers, luego el térmio co lo cul... ip i p p p p p p p sí: det ε p p p p p G p G ε p p p p det t Y que os d igul sumr e p que e p - pues so ls misms pliccioes. Not: Est propiedd os hce que o se ecesrio demostrr ls propieddes pr fils y colums, co ver pr ls fils será equivlete pr ls colums. Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri

4 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz P : detf,f,,f i,, F,,F -detf,f,,f,, F i,,f l permutr dos fils o dos colums tods ls permutcioes que se obtiee cmbi de pridd, por lo que sldrá u fctor - e tods ls sums. P : detf,f,,kf i,,f k detf,f,,f i,,f por defiició de determite detf,f,,kf i,,f ε p p p kip i p p G k ε p p p ip i p k detf,f,,f i,,f p G P : detk k det co M x pr est demostrció o hce flt más que plicr veces l propiedd terior, sí k detk F,k F,..,k F k detf,k F,.,k FK detf,f,kf,,k F k detf,,f k P 5 : detf, F,,,, F por defiició de determite: detf, F,,,, F ε p G p p p ip i p dode se cumple que i i i, luego ipi pr tod p G y por tto tods ls sums d cero, luego detf, F,,,, F ε p P 6 : detf,, F i,,k F i,,f p G p p p Pr est demostrció solo hy que plicr ls propieddes P y P : detf,, F i,,k F i,,f k detf,, F i,,f i,,f - k detf,, F i,,f i,,f, dode teemos que k -k, que sólo es cierto si. P 7 : detf,f,,f i +F i,,f detf,f,,f i,,f + detf,f,,f i,,f Sólo hy que plicr l defiició de determite y plicr l propiedd distributiv : detf,f,,f i +F i,,f ε p p ip i + bip i p ε p p ip i p + + p G p G p p bip i p p G ε detf,f,,f i,,f + detf,f,,f i,,f P 8 : detf, F,, λ F +λ F + +λ i- F i- +λ i+ F i+ + +λ F,, F Fil i Solo teemos que plicr veces l terior propiedd y ver cd u de los determites so cero por l propiedd 6. P 9 : detf,f,,f i,,f detf,f,,λ F +λ F + +λ i- F i- +F i +λ i+ F i+ + +λ F,, F plicdo P 8 coseguimos teer el determite como producto de determites, luego plicmos l propiedd 6 pr los - determites que tiee u fil proporciol: F,F,,F i,,f detf,f,,λ F,, F + detf,f,,λ F,, F + +detf,f,,f i,, F + + detf,f,,λ F,, F ++ + detf,f,,f i,, F detf,f,,f i,, F Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri

5 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz P : det F i λ F +λ F + +λ i- F i- +λ i+ F i+ + +λ F Supogmos que det y los vectores fil lielmete depediete y lleguemos u cotrdicció. l ser depedietes podemos poer culquier fil como combició liel de ls demás, por eemplo F λ F + +λ F por lo que detdetλ F + +λ F,F,,F, plicdo P 8 teemos det detλ F,F,,F + detλ F,F,F,F + + detλ F,F,,F por P 7 Not: L propiedd o l demostrremos por ser más extes y o poderls bordr por flt de tiempo. L P es trivil prtir de plicr l P plicdo que - id y detid.. Desrrollo de u determite. Mtriz complemetri y duto. Se u mtriz cudrd y i uo culquier de sus elemetos. Si se suprime l fil i y l colum de l mtriz se obtiee u submtriz M i que recibe el ombre de mtriz complemetri del elemeto i. Eemplo: L mtriz complemetri del elemeto es l mtriz que result de suprimir e l mtriz l fil y l colum ; es decir: Se llm duto de u mtriz por el elemeto i, deotdo por i, l determite de l mtriz complemetri multiplicdo por e úmero - i+ i - i+ M i Eemplo: + M Teorem Desrrollo de u Determite: El determite de u mtriz cudrd es igul l sum de los elemetos de u fil o colum culquier, multiplicdos por sus dutos. det i i siedo i desrrollo del determite por l i_ésim fil det i i i siedo desrrollo del determite por l _ésim colum Demostrció: Vemos l primer expresió; l otr se probrí de mer álog. Pr ello os fimos e el vlor de l sum de todos los térmios del determite de que cotiee i. Por comodidd y fcilitr el rzomieto, elimos : δ Dode δ idic el úmero de iversioes de, que por teer que figurr el térmio hce que. Tl sum buscd será: δ el Σ se extiede tods ls permutcioes de los úmeros,,,. El ídice i o form prte de l ls iversioes de iguo de los ídices de ídices hce que δ se el úmero Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri 5 δ Dode

6 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz de iversioes de ls permutcioes de los ídices. sí se cumple que el sumtorio es el determite de l mtriz complemetri de : δ M Pr u térmio i rbitrrio el procedimieto es equivlete, co l difereci que dicho elemeto se puede trspoer l lugr que ocup medite trsposicioes, respectivmete, de l i-ésim fil y colum co cd u de ls i- fils y - colums precedetes sí como cd permutció cmbi u sigo teemos que l cotribució co el térmio i será: i+ i+ i δ i Mi i Corolrio: el de determite de u mtriz trigulr es igul l producto de los térmios de su digol: T i ii Demostrció: es imedito plicdo el teorem terior e l primer fil si es trigulr iferior o por l primer colum si es trigulr superior que el determite será T T pues los demás dutos multiplicdo por cero. Repetimos el procedimieto y tedremos T T T. 5. Cálculo práctico de determites de orde. Podemos clculr los determites de tmño grde myor o igul que plicdo l defiició de determite pero tedremos! elemetos o desrrollr el determite por dutos si es de orde hcer determites de orde. Culquier de estos dos procedimietos es muy lborioso, y prácticmete ibordble pr >. E l práctic lo que se hce es utilizdo l propiedd P 9 hcer ceros los elemetos de u fil o de u colum meos el pivote co el que hces cero los demás. sí l clculr el determites por dutos sólo cotribuye el duto del pivote siedo este determite de u grdo meor. Podemos plicr este procedimieto hst que el duto se u determite de orde y lo clculemos por l regl de Srrous. Eemplo: i 6. Determite de Vdermode U determite muy importte y que sle bsttes veces por eemplo e iterpolció poliómic es el deomido determite de Vdermode Mtemático Frcés del siglo XVIII. L mtriz de Vdermode es u mtriz que tiee u progresió liel e cd fil o colum. Su determite se llm determite de Vdermode siedo su resultdo: Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri 6 det V i< i

7 Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri 7 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz Demostrció: pr demostrr l proposició plicmos el cálculo de determite visto e el prtdo terior hciedo ceros co el elemeto l primer colum: det.. det V V det det V V Repitiedo el procedimieto - veces llegremos detv < i i 7. pliccioes de los determites. 7.. Cálculo de l mtriz ivers. U mtriz M R es regulr si tiee ivers, es decir existe - tl que - Id. E el cso de que o teg ivers se dice sigulr. Teorem: u mtriz M R es regulr si y sólo si su determite es distito de cero. Demostrció: Supogmos que vemos cómo o puede teer ivers. plicmos P y teemos que - cumple que su determite es - / /. Es decir o tiee determite, y por tto o existirá mtriz ivers Recíprocmete, supogmos que det, etoces defiimos - como l mtriz cudrd de orde de, cuy i-compoete b i está dd por: i det Es fácil comprobr que l mtriz - b i sí defiid es tl que: - - Id. E efecto, pr poer de mifiesto que C - Id, por defiició de iguldd de mtrices, hbrá que ver que: k i k i c ik,,.

8 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz Clculemos l mtriz - prtir de l defiició de producto de mtrices, i k k, i k ibk por defiició debk i ik, i k, i k Eemplo: Se clculr - : Como y sbemos que existe - : 7.. Estudir l depedeci liel de vectores de dimesió. Proposició: Ddos vectores,,, de R, so lielmete idepedietes si y sólo si det,,,. Demostrció: plicdo P 8 y P demostrmos l proposició. Eemplo: u,, ; v,, ; w -,, - det u, v, w u, v, w so lielmete idepedietes. 7.. Rgo de u mtriz Pr eteder el cocepto de rgo, teemos que recordr l relció etre ls mtrices y ls pliccioes lieles etre espcios vectoriles. Proposició: podemos estblecer u relció isomorf etre ls mtrices M mx K y el couto de pliccioes lieles etre los K-espcios vectoriles V y W, co dimv y dimwm. Esto os permite poer tod plicció liel como u mtriz y l revés. Demostrció: si l proposició es ciert podemos estblecer u plicció biyectiv etre los coutos M mx K y HomV,W. Llmremos est plicció Ψ: HomV,W M mx K Coocer u mtriz es coocer los elemetos de l mtriz i, y coocer u plicció es coocer como se trsform u bse de V{v,,v } por l plicció liel e fució de u bse e W{w,,w m }, es decir: fv λ w +λ w + +λ m w m fv λ w +λ w + +λ m w m Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri 8

9 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz L plicció Ψ l defiimos de form que pse l plicció f defiid teriormete l λ λ mtriz i λ i. Es decir que so ls coordeds de fv i e colum. λm λm Vemos que es biyecti: ot: tmbié es fácil viedo l existeci de Ψ - Iyectiv: Ψf Ψg etoces ls mtrices socids FG y sus elemetos f i g i y por tto fv i gv i pr todo v i {v,,v }. Luego es l mism plicció f y g. b Epiyectiv: Se u mtriz i M mx K siempre podemos defiir l plicció f que geere es mtriz: fv i i w + + im w m, v i {v,,v }. Llmremos rgo de u mtriz, rg, l dimesió del espcio imge de l plicció f socid, es decir rgdimimf. Se cumple por tto que el rgo de u mtriz es el úmero de colums vectores imge de f lielmete idepedietes. Proposició: el rgo de u mtriz M mx K es meor o igul l úmero de fils, m, y l úmero de colums,. Es decir rg mx{m,} Demostrció: Rg m: trivil, m es el úmero de colums y ls colums de l mtriz so los vectores que geer l imge de f. Si rgm etoces l plicció es epiyectiv. Rg : o puede ocurrir que l dimesió de imf teg más vectores lielmete idepedietes que l dimesió del espcio orige, y que fu, fu,,fu geer el espcio imge. Se cumple que si rg etoces l plicció es iyectiv. Se M mx R, se llm meor de orde k de l mtriz l determite de l submtriz formd por los elemetos perteecietes l itersecció de k-fils y k-colums. sí, i i, So eemplos de meores de orde m m m m m Teorem Cálculo del rgo de : El rgo o crcterístic de u mtriz es igul l máximo orde de los meores o ulos que teg l mtriz. Demostrció: Se l mtriz de orde q x p y se k el máximo orde de los meores o ulos. Etoces existe u meor de orde k distito de cero. dmitmos que tl meor se el formdo por l itersecció de ls k primers fils y k primers colums. Esto es: q q p p qp k k y k k kk Etoces l k primers fils y colums de l mtriz so lielmete idepedietes. Si l mtriz tuviese k + fils o colums lielmete idepedietes, etoces l mtriz tedrí rgo k + ; por tto, su determite serí distito de cero, lo que supoe u cotrdicció co l hipótesis de que k es el máximo orde de los meores o ulos de l mtriz. Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri 9

10 TEM 9. Determites. Propieddes. Rgo Mtriz El método práctico pr clculr el rgo de u mtriz es el siguiete: Se cosider dos fils, si hy u meor de orde que se distito de cero, se ñde ls resttes fils y colums. Si, l cosiderr l fil siguiete, hy u meor de orde que se distito de cero se procede álogmete co l fil siguiete, y sí sucesivmete. Si l ñdir u meor de orde k, que es distito de cero, l fil k + result que todos los meores de orde k + so ulos, etoces es que l fil k + cosiderd es combició liel de ls teriores y podemos segú l defiició de rgo desprecirl pr obteer el rgo de l mtriz. Si cosiderd l fil k + sucede igul, e idéticmete co ls p-k resttes, como tods ls fils so combicioes lieles de ls k primers, el rgo de l mtriz es k. Eemplo: Clculr el rgo de l mtriz Rg F F - F 8. Cotexto co secudri. Los determites y sus propieddes se estudi e º de Bchillerto e ls dos rms. Jose Luis Lorete preprdor oposicioes secudri