Manejar los comandos básicos para operaciones con vectores y matrices.

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1 . Objetvos : Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Itroduccó al Matlab Practca Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes Maejar los comados báscos para operacoes co vectores matrces.. Fudameto Teórco Se puede utlzar MATLAB como smple calculadora, escrbedo epresoes artmétcas termado co [eter]. Se obtee el resultado medatamete a través de la varable del sstema as aswer. S o se desea eco es decr, la respuesta medata a cada orde al al de cada struccó, debe alzarse co puto coma. MATLAB trabaja de acuerdo a las prordades:. Epresoes etre parétess. Potecas ^ 9. *, / trabaja de zquerda a dereca *4/5 /5 4., - trabaja de zquerda a dereca Números Formatos Matlab reorgaza deretes clases de úmeros Tpo Ejemplo Etero 6, Real.4, -.76 Complejo I ItoResultado de dvdr etre NaN No es u úmero / La otacó e es usada para úmeros mu grades o mu pequeños: -.4e e Operadores relacoales: < Meor < Meor o gual > Maor > Maor o gual Igual ~ Derete Operadores para matrces ^ * / - Potecacó, producto, dvsó, suma, resta matrcal.^.*./.\ Producto dvsó elemeto a elemeto. A.\B B/.A / Dvsó matrcal por la dereca: S CA*B C/BAC*vB \ Dvsó matrcal por la zquerda: S CA*B A\CBvA*C Traspuesta Cálculo Numérco

2 . Istruccoes báscas e Matlab Formatos umércos Comado Resultado ormat sort.. ormat sort e.e.45e-6 ormat log ormat log e.e e-6 ormat e eb4b65ac48 ormat bak.. ormat rat 4/ /845 Fucoes matemátcas elemetales Comado Descrpcó Comado Descrpcó sqrt raíz cuadrada s seoe radaes ep epoecal cos coseoe radaes log logartmo eperao ta tagetee radaes log logartmo decmal as arco seo abs valor absoluto acos arco coseo ata arco tagete Comado agle real mag coj roud Fucoes de propósto geeral Descrpcó Agulo de ase de u valor complejo Parte real de ua valor complejo Parte magara de u valor complejo Cojugada de u complejo Redodea al etero más prómo Redodea u valor real aca loor Redodea aca - cel Redodea aca sg s > - s < rem, Resduo al dvdr dos eteros e Seleccó de los elemetos de u vector o matrz A Fucó Descrpcó Devuelve el -ésmo elemeto del vector [,m,p] Devuelve los elemetos del vector stuados e las poscoes - ésmas,m-ésmas p-ésmas :m Devuelve los elemetos del vector stuados etre el -ésmo el m- ésmo, ambos clusve. :p:m Devuelve los elemetos del vector stuados etre el -ésmo el m- ésmo, ambos clusve pero separados de p e p udades. Am, Devuelve el elemeto m, de la matrz A la m columa A[m,],[p,q] Devuelve la submatrz de A ormada por la terseccó de las las - ésma m-ésma las columas p-ésma q-ésma. Cálculo Numérco

3 A,: A:,p A: A:ed,: A:,: Devuelve la la -ésma de la matrz A Devuelve la columa p-ésma de la matrz A Devuelve el vector columa cuos elemetos so las columas de A stuadas por orde Devuelve desde la tercera asta la ultma la Devuelve toda la matrz A Fucoes matrcales Fucó Descrpcó raka Rago de la matrz A. deta Determate de la matrz A tracea Traza de la matrz A, suma de los elemetos de la dagoal va Calcula la versa de la matrz A dagv S V es u vector, devuelve ua matrz cuadrada dode V se ubca e la dagoal de dca matrz, los demás elemetos será daga Etrae la dagoal de la matrz A como vector columa ee Crea la matrz detdad de orde Eem, Crea la matrz de orde m co uos e la dagoal prcpal ceros e el resto. zerosm, Crea la matrz ula de orde m oesm, Crea la matrz de orde m co todos sus elemetos uos maa,ma Devuelve u vector de los mámos o mímos de cada columa suma Devuelve u vector de la suma de cada columa [,m]szea Devuelve el úmero de las columas de la matrz A El argumeto de las ucoes puede ser u úmero, ua varable o ua epresó. Cuado e ua epresó aparece algua ucó, su valor se calcula ates. Fucó ezplot'epresó de la ucó' ezplot'epresó de la ucó',[a,b] gure subplotm,,p plot plot, lspacea,b,p Fucoes para grácos Descrpcó dbuja la gráca de la ucó dada por la epresó, para varado e u tervalo por deecto dbuja la gráca de la ucó dada por la epresó, para varado e el tervalo [a,b] Crea o actva ua vetaa dode se puede realzar u gráca, por deecto la graca se realza e la vetaa. Este comado permte dvdr la vetaa gráca e ua matrz m de sub-vetaas grácas, actvado para dbujar la p-ésma de ellas produce u gráco leal de los elemetos del vector versus los ídces de. Dados dos vectores de la msma dmesó, e, produce u gráco leal de los elemetos del vector versus los elemetos del vector Devuelve u vector de p valores desde a asta b espacados gualmete. Cálculo Numérco

4 4. Parte práctca Istruccoes báscas >> sqrt7 >> sqrt7/5 >> a.; sqrt*a >> ep >> 7*ep5/4.54 >> 5*cosp/6, 5*sp/6 >> acos/5, as/5 4 >>4^//^/5-/.-^/4 Resuelve / 4 5. Istruccoes para matrces >> A [ ; 4 5 6; ] Resultaría e la matrz A >> [-.,sqrt, *4/5] Resultaría e >>5 abs Resultaría e Para añadr otra la a la matrz A de arrba podemos acer lo sguete: >>r [ ]; >>A [A; r] Resultaría e A >> [ ]; [4 5 6]; >>z. * Resulta e z 4 8 >> :5 geera u vector la que cotee los úmeros eteros del al 5: 4 5 >>A [ ] >>A, A, A, Cálculo Numérco 4

5 Por ejemplo, supoga que A es ua matrz por. Etoces >>A:5, Especca la submatrz 5, ó vector columa, que cosste de los prmeros cco elemetos e la tercera columa de A. >>A:5, 7:Es la submatrz 5 4 de las prmeras cco las las últmas cuatro columas. Utlzado solo los dos putos deota todo lo correspodete a la la ó columa. >>BA; >>A:, [ 5 ] B:, : Reemplaza la tercera, quta décma columa de A co las prmeras tres columas de B. Grácos >> ezplot's^*/' dbuja la gráca de la ucó s, [ π, π ] Graca de la campaa de gauss >>lspace-,,5; ep-.^; z*ep-.^; >>plot,,'-',,z,'--' % Dbujamos dos ucoes >>ttle'campaas de Gauss' >>label'eje de Abscsas' % Etqueta el eje orzotal >>label'eje de Ordeadas' % Etqueta el eje vertcal >>leged'ep-^', '*ep-^' % Leeda 5. Ejerccos Propuestos 5. Evaluar las sguetes epresoes matemátcas e MATLAB. a. log c. 5 e b. arcse-.5 d. tae e.4 / /. 5. Etraer las sguetes submatrces de Arad,: a. Las 5 prmeras columas b. Las 5 ultmas columas c. prmera quta la d. últmos elemetos de la tercera la e. La terseccó de la la:,,7,9 co las columas: Crear los sguetes vectores: [ π e ] [.π.π.π.4π.5π.6π.7π.8π. 9π π ] 5.4 Crear u vector z de cuatro úmeros complejos 5.5 Lstar el tercer elemeto del vector z 5.6 Lstar los 5 prmeros elemetos del vector 5.7 Lstar los 5 últmos elemetos del vector 5.8 Lstar los elemetos de poscoes mpares del vector 5.9 Lstar los elemetos de poscoes, 4, 5, 7 del vector 5. Crear los vectores a [ 4 5] b [ 5 7 9] 5. Fusoar los vectores a b e u vector c Cálculo Numérco 5

6 5. Obteer la traspuesta del vector c 5. Obteer la traspuesta del vector z 5.4 Crear las sguetes matrces:. g Sumar las matrces g 5.6 Multplcar las matrces g 5.7 Multplcar g co la traspuesta de 5.8 Multplque g compoete a compoete 5.9 Eleve a cada elemeto de g 5. Obteer la versa de cada elemeto de g. 5. Resolver el sstema: a b c 6 4 a b c 7 6 a b 7 c 4 Medate la ucó v Resuelva el sstema ateror medate \. 5. Utlzado MATLAB determe el valor de la epresó l? 5.4 Crear la sguete matrz T Luego etraer la sguete submatrz 9 4 T Escrba las matrces A B dedas por A, j, B, j, 5.6 Obteer la sguete Matrz: j ;, j, K, j e otro caso, j... Cálculo Numérco 6

7 R Sug: Use la ucó dag. 5.7 S b [,,,4,5], resuelva el sstema Rb 5.8 Crear la sguete matrz, dado el orde de la matrz. K K K M O O O O O M K K K D 5.9 Dada la matrz >> A[ ; ; 7 8 9]; Que operacoes se utlzaro para obteer las sguetes matrces: 5. Gracar la sguete ucó < s s s 5. Gracar la ucó [ ],π e Cálculo Numérco 7

8 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Programacó e Matlab Teoría de Errores Practca Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvos - Aplcar las struccoes de cotrol báscas e Matlab, para la mplemetacó de programas. - Estudo del comportameto de los errores otacó e puto lotate.. Fudameto Teórco. Arcvos *.m U arcvo *.m es u arcvo co u cojuto de comados que Matlab puede terpretar. Dstguremos dos tpos de arcvos *.m detro del Matlab: Arcvo scrpt: es u arcvo co u cojuto de comados que Matlab ejecuta sempre de la msma maera que o ecesta gua varable de etrada o proporcoa gua varable de salda. Arcvo tpo Fucó: es u arcvo co u cojuto de comados que ecesta ua ó más varables de etrada para que Matlab pueda ejecutar. Puede teer varables de salda. Todos los arcvos *.m que sea ucoes empeza: ucto [salda, salda, ] ombreetrada, etrada, ; sedo etrada, etrada,.. Parámetros ecesaros para la ucó salda, salda,. Parámetros opcoales de salda.. Creacó de u Arcvos scrpt a Crear ua carpeta de trabajo e su dsquete o e el dsco C, usado el eplorador de Wdows, por ejemplo deomíela MB55_perez. b Establecer la ruta dode el Matlab buscara su programa, para ello dgte e la vetaa de comados la struccó cd seguda de la ruta de su carpeta de trabajo:. cd c:\mb55_perez presoe la tecla Eter c Crear u uevo arcvo-m: a. Haga clc e el meú Fle, seleccoe la opcó New aga clc e M-Fle. Aparecerá ua vetaa e blaco dode deberá dgtar su programa. d Dgte el sguete programa: % prueba.m put'igrese umero de perodos' :p/:*p*; ep-/.*s*; plot, ttle'amortguameto' label'temposeg' label'posco m' grd e Grabar el programa: Hacer clc e el meú Fle, clc e la opcó Save, luego dgte el ombre del programa: prueba aga clc e el botó guardar. Ejecucó del programa: Cálculo Numérco 8

9 E la vetaa de comados escrba el ombre del programa: prueba presoe la tecla Eter. El programa solctara el greso de u dato: Igrese umero de períodos Dgte 5 presoe Eter. Se mostrara el sguete gráco: Amortguameto Posco m Temposeg g S el programa o corre correctamete se debe acer las modcacoes correspodetes, luego volverlo a grabar ejecutar.. Fucoes El Matlab permte la creacó de ucoes dedas por el programador, la cual cotee ua cabecera como se dca abajo debe ser guardado co etesó m. ucto [argumetos salda] ombre_ ucó argumetos etrada <struccoes ejecutables> Asgar valor a los argumetos de salda [argumetos de salda] : s es más de u argumeto se separa por comas. s es u argumeto se puede omtr los [ ] argumetos de etrada : s es más de uo separado por comas. Las ucoes se debe grabar como M-les. Teoría de Errores.4 Tpos de errores: a. Errores de redodeo b. Errores de trucameto o apromacó.5 Decó de errores S a es ua apromacó a A, etoces se dee el error absoluto como ξ a ξ a A a, el error relatvo como δ a sempre que A o sea cero. A Cálculo Numérco 9

10 .6 Propagacó de Errores a Fucoes de ua varable: ξ ξ b Fucoes de varas varables:,,, ξ ξ L.7 Errores de redodeo artmétca de puto lotate Los úmeros se almacea e la computadora como ua secueca de dígtos baros o bts uos o ceros, pero para aalzar los eectos de los errores de redodeo, se supoe que los úmeros se represeta e la orma ormalzada decmal de puto lotate: ± d. m d d d L d, co d 9, d 9 para,,, Lm La secueca de dígtos como el epoete. d d, d,,, L d m se cooce como la matsa el ídce El maejo to que ace el computador de los úmeros mplca que este u úmero mámo, dgamos k, de dígtos por medo del cual puede represetarse u valor; esto es, la matsa sólo debe coteer k dígtos. Error de redodeo: se ocupa de las operacoes artmétcas e puto lotate tales como la suma, substraccó, multplcacó, dvsó. Puto lotate de precsó eps es la precsó de la maqua: s < < eps, etoces Puto lotate uderlow _m es el cero de la maqua: s < < _m, etoces Puto lotate overlow _ma es el to de la maqua: s > _ma, etoces. Istruccoes báscas e Matlab. Cotroles de Flujo Seteca de Decsó.. La seteca IF Codcoal smple Codcoal doble Codcoal múltple codco setecas ed codco setecas else setecas ed codco setecas else codco setecas else codco setecas else setecasn ed Cálculo Numérco

11 ... La Seteca SWITCH swtc selector case valor setecas case valor setecas... oterwse setecasn ed. Operadores lógcos relacoales Operadores relacoales: <, >, <, >, gual, dstto. Operadores lógcos : &, o, egacó.. Las Setecas FOR WHILE Seteca FORPara-Desde or cotadorvector Setecas Ed Setecas WHILEMetras wle codco Setecas ed.4 La setecas BREAK La seteca break ace que se terme la ejecucó del bucle mas tero de los que comprede a dca seteca..5 Etrada Salda e u arcvo scrpt Salda: dsp...vsualza teto e patalla salda ejemplo: dsp ola error... Vsualza teto e caso de error el ejemplo: error'o se puede ejecutar' terma el arcvo.m. prt... Escrbe teto co ormato ejemplo: var555; prt'el resultado es %',var var.7; prt'el resultado es %.\',var var ola ; prt'el resultado es %s\',var var4 X ; prt'el resultado es %c\',var4 prt' %s el valor de la varable %c es % %.\',,var,var4,var,var Etrada: Iput.Permte la etrada de valores desde el teclado se asga e varables Coversó Smbólca Numérca Errores Cosdere la varable umérca de MATLAB >> t. La ucó sm tee cuatro opcoes para retorar a ua represetacó smbólca del valor umérco almaceado e t. La opcó ' ' >> smt, ' ' Cálculo Numérco

12 retora ua represetacó smbólca de puto lotate ' a'*^-4 Los trece dígtos eadecmales luego del puto decmal correspode a la matsa. El MATLAB usa u almaceameto de doble precsó usado u total de 64 bts, para ver como se almacea u úmero e ormato eadecmal:» ormat e» t t b a Los últmos dígtos correspode a la matsa los tres prmeros correspode al sgo epoete: Dode e-496 5*6b 6» ormat sort % ormato por deecto La opcó ' r ' >>smt, 'r' retora la orma racoal / Ésta es la orma jada por deecto para sm.. Es decr, la llamada a sm s u segudo argumeto es gual que usar sm co la opcó ' r ': >>smt as / La tercera opcó ' e ' retora la orma racoal de t más la dereca etre la epresó racoal teórca para t su máqua valor e puto lotate e térmos de eps la eacttud relatva del puto lotate: >>smt, 'e' as /eps/4 La cuarta opcó 'd' vuelve la etesó decmal de t asta el úmero de dígtos sgcatvos especcados por dgts >>smt, 'd' as El valor prejado de dígtos es por lo tato, smt, 'd ' retora u úmero co dígtos sgcatvos, pero s usted preere ua represetacó más corta, use el comado dgts como sgue: >>dgts7 smt, 'd ' Cálculo Numérco

13 as U uso partcularmete ecaz de sm es covertr ua matrz umérca a la orma smbólca. El comado >>A lb geera la matrz de Hlbert de --» as Aplcado sm a A» A sma» A [, /, / ] [ /, /, /4 ] [ /, /4, /5 ] Precsó artmétca de las varables VPA Stas: R vpaa R vpaa,d para calcular cada elemeto de A co d dígtos decmales de eacttud, Cada elemeto del resultado es ua epresó smbólca. vpaa,4» A [.,.,.] [.,.,.] [.,.,.] Covrtedo de smbólco a puto lotate Para covertr u racoal o varable a su represetacó de puto lotate e MATLAB, use la ucó double. 4. Parte práctca 4. Programacó: Ejemplo Crear ua ucó epo que permta obteer la suma de térmos de la sere de Talor para apromar el epoecal de u úmero real dado etero: s L!!! % epo.m ucto sepo, s; or : ss^/actoral; ed Para ejecutarla escrba:» sepo,6 s Cálculo Numérco

14 .78 Ua varate de esta ucó puede ser retorado además el error comparado co la ucó ep propa del Matlab. ucto [s,err]epo, % epo.m s; or : ss^/actoral; ed errabsep-s; Para ejecutarla escrba:» [sum,err]epo,6 sum.78 err.67e-4 Nota.- Obsérvese que el ombre de arcvo es détco al ombre de la ucó. També se puede declarar ucoes e líea: le epreso_varables _..,,,.. : es ua varable de memora. por ejemplo:» le'^^','','' Ile ucto:, ^^»,4 as 5 Fucoes recursvas El MATLAB permte la creacó de ucoes que se llame a s msmas e tempo de ejecucó para crear algortmos potetes. % act.m Cálculo Numérco 4

15 ucto act ; else ; else *act-; ed Cuo llamado se realza a sea desde la vetaa de comados o desde otro programa o ucó que lo requera:»act5 Ejemplo IF % prueba.m t rad t >.75 s else t <.5 s else s -*t-.5 ed Ejemplo SWITCH % prueba.m opc swtc opc case dsp'mecaca' case 4 dsp'mecaca-electrca' case 5 dsp'naval' case 6 dsp'mecatroca' oterwse dsp'fuera de Rago...' ed Ejemplo 4 FOR %prueba4.m or k:, % cotador sqrtk; % obtee la raíz de k >5, % s raíz es maor a 5 prt %5., k %d \,,k% muestra por patalla k break % sale del lazo ed % del ed % del or Ejemplo 5 WHILE % prueba5.m m ; k ; Cálculo Numérco 5

16 wle k<m k/; dsp[, ^, ^]; % mprmrá ua tabla de valores k k; ed Ejemplo 6 Sabedo que las coordeadas cartesaas de ua crcuereca so de la orma r cosθ, r seθ crea ua ucó que se llame crcuereca.m que dbuje ua crcuereca que tega como parámetros de etrada el rado el águlo. La ucó tee que teer como parámetros de salda todos los pares de valores,. Para realzar el programa, a que teer e cueta que el rado permaece costate lo que va cambado es el águlo θ. Solucó ucto [,]crcuerecarado, paso rrado; ; ; paso>6, error'agulo mu grade', ed or :paso:6 **p/6; ; r*cos; r*s; ed plot,,'o' 4. Propagacó de Errores Artmétca del Puto Flotate Ejemplo 7 Ecuetre la propagacó de errores de la sguete ómula: H AeσT 4 co: σ , A., e., T 6 o o. problema 4. del Capra & Caale e pag. Solucó H AeσT 4 σ , A., e., T 6 o o. Error apromado: ε H ΗT H/ T T. Aqu, H/ T 4AeσT Por lo tato, Η Error eacto: H m H ma Por lo tato, ε H eact H eact H ma - H m / / 98.8 Cálculo Numérco 6

17 Este es mu cercaa al resultado apromado. Ejemplo 8 El esao de dureza Brell volucra la compresó de ua bola de acero de carburo de tugsteo, de u dámetro D eactamete de mm, cotra ua superce, co ua carga P e Newtos de 5 ± %, s d es 5.75 mm. meddo co ua precsó de. mm, d es el dámetro de la uella mpresa e la superce del materal a esaar etoces, el úmero de dureza Brell HB será: P HB π D D D d Cosdere que π.4 tee sus cras decmales eactas. a Aprome HB. b Estme el error absoluto de la apromacó HB c Estme el rago para el valor eacto de la dureza HB. Solucó D P 5 ξ P 5 d 5.75 ξ d. π.4 ξπ.5 HB HB P πd D HB π π D D HB d πd D ξ HB πd D P D d HB ξ P P D d P D d PD D d HB 7.5 ± HB D d HB HB ξπ ξ d.98 π d Ejemplo 9 Ua computadora potétca decmal almacea 6 dígtos sgcatvos decmal más dígtos de epoete, ormalza de modo que el dígto etremo zquerdo sea por lo meos. Por esta razó los úmeros represetados puede ser escrtos como ±.dppppp ±ppp dode < d < 9 < p < 9. Cuál es el epsló de la máqua? Solucó: E esta máqua UNO.*E el úmero más pequeño.*e; esto es el epsló, -5 que sumado a UNO da el sguete úmero. O usado la órmula ε b -t -5. t precsó, umero de dígtos e la matsa Cálculo Numérco 7

18 Ejemplo E la sguete máqua potétca, e e e m m m Escrba e baro: a Número postvo más grade ormalzado b Ito c uo d NaN e Número más pequeño ormalzado Caracterza al sstema g Cuatos úmeros tedrá este sstema? Solucó EEeBas Como se obtee el Bas : k- -, co k No de bts e el epoete tero E Para esta máqua k Bas Precsó t logtud de la matsa M, parte raccoara a Número postvo más grade ormalzado: E6, M co todos los bts lleos b Ito:. 6-Bas c Uo:. - dnan. 7-8 e Número más pequeño ormalzado E. -.5 Sstema: βbase, tprecsó, L mímo valor de Ee U mámo valor de Ee Fβ,t,L,U,,-, Cardaldadβ- β t- U-L 49 cludo el cero. Ejemplo Dado el sguete úmero epresado e ormato IEEE 754 de smple precsó: A que decmal represeta? Cálculo Numérco 8

19 Solucó.* Ejerccos Propuestos. Desarrolle ua ucó llamada t, que retore el úmero de térmos ecesaros para apromar el úmero asta cras decmales eactos, usado la sguete sere: π Solucó %cras sgcatvas ucto t ; error; t4; st; wle error>^- ts4*-^/*;.. ed. Eplque el sguete resultado de Matlab Matlab usa IEEE doble precsó >> e >> e >> - e >> e-6 -. Eplque los sguetes resultados log/ para pequeños >> loge-6/e-6.. >> loge-6/e Evaluar k.6446, redodeado todos los resultados termedos a 4 k dígtos. Nota Utlzar la ucó cop para el redodeo, ver elp del Matlab lazo or..ed. Cálculo Numérco 9

20 Este resultado tee solamete dos dígtos correctos, pero o a cacelacó este sustraccó. Eplque u mejor método. Solucó E ua suma grade los térmos gradualmete desmue, el error puede ser evtado sumado los térmos mas pequeños jutos. Smplemete vertr la orde de la suma restaura la eacttud.. N 5. Asuma SN, la solucó eacta es j j N N. Elabore u programa prog.m e Matlab para calcular S N co la secueca S N... N Elabore u programa prog.m e Matlab para calcular S N co la secueca S N. N N.. S S 4 S 6 Use el programa el programa para calcular,,, respectvamete, compare los resultados co la solucó eacta. S N S N S S S 4 S 6 6. Crear la ucó Horer que evalúa el valor del polomo p p p -... p - p p p p.. p - p E el puto medate el algortmo de Horer també coocdo aalítcamete como regla de Ru. Los coecetes del polomo se almacea e u vector: p[p,p,...,p -,p ]. El algortmo vee dado a cotuacó Etrada: vector p[p,p,...,p -,p ] el puto que se evalúa Salda: valor de p Paso : Asgar q p Paso : Para k desde asta repetr Paso Paso : q q* p k Co estos datos, la prmera la del arcvo debe ser: ucto q orerp, Cálculo Numérco

21 7. Igual que el ejemplo 6, e lugar de que la ucó tega varos valores de,; solo tega u valor vaa reemplazado dcos valores. La ucó se llamara crcuereca.m. 8. Crea u scrpt que llame repetdas veces a el programa crcuereca.m de orma que represete e ua msma graca 4 crcuerecas dsttas. 9. Crea ua ucó que dbuje u cldro que se llame cldro.m. La ucó tedrá como parámetros de etrada el rado, el alto el águlo. Crea ua ucó que represete el tro parabólco e tres dmesoes, sabedo que las coordeadas vee dadas por las ecuacoes: Vo cosθ cosϕ t ; Vo cosθ sϕ t ; z Vo sθ t-.5 g t; sedo θ el águlo cal que orma co la vertcal ϕ el águlo cal que orma co el eje X. Cálculo Numérco

22 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Métodos Drectos SEL Practca Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvo : Aplcar los métodos drectos de actorzacó elmacó e la solucó de sstemas leales.. Fudameto Teórco Mucas matrces especales so ucoes prededas; etre ellas está. Istruccoes báscas e Matlab zerosm, Crea la matrz ula de orde m oesm, Crea la matrz de orde m co todos sus elemetos radm, Crea ua matrz aleatora uorme de orde m radm, lpuda lplra rot9a resapea,m, trla,k trua,k Resolucó de sstemas Crea ua matrz aleatora ormal de orde m Devuelve la matrz cuas las está colocadas e orde verso de arrba abajo a las las de A Devuelve la matrz cuas columas está colocadas e orde verso de zquerda a dereca a las de A Rota 9 grados la matrz A Devuelve la matrz de orde m obteda a partr de la matrz A, tomado elemetos cosecutvos de A por columas Etrae la parte tragular eror de A debajo de la k_ésma dagoal Etrae la parte tragular superor de A sobre la k_ésma dagoal solve ecuacó, solve e,e,...,e,,,..., XlsolveA,B rootsv XA\B XA/B Resuelve la ecuacó e la varable Resuelve ecuacoes smultáeas ec,...,ec e las varables,..., sstema de ecuacoes Resuelve A*X B para ua matrz cuadrada A, sedo B X matrces Da las raíces del polomo cuos coecetes so las compoetes del vector V. Resuelve el sstema A*XB Resuelve el sstema X*AB Cálculo Numérco

23 Operacoes Lógcas co Matrces av allv dv Devuelve s todos los elemetos del vector v so ulos, devuelve s alguo de los elemetos de v es o ulo. Devuelve s todos los elemetos del vector v so o ulos, devuelve s alguo de los elemetos de v es ulo. Devuelve los lugares ó ídces que ocupa los elemetos o ulos del vector v. Factorzacoes [L,U]luA [L,U,P]luA RcolA [Q,R]qrA Descompoe la matrz A e el producto A L*U descomposcó LU de A, sedo U ua matrz tragular superor L ua matrz pseudos tragular eror tragularzable medate permutacó. Devuelve ua matrz tragular eror L, ua matrz tragular superor U, ua matrz de permutacó P tales que P*A L*U. Devuelve la matrz tragular superor R tal que R *RA Descomposcó de Colesk de A, e caso de que A sea deda postva. S A o es deda postva devuelve u error. Devuelve la matrz tragular superor R de la msma dmesó que A, la matrz ortogoal Q tales que AQ*Rdescomposcó QR de A. Esta descomposcó puede aplcarse a matrces o cuadradas. 4. Parte práctca - 4 Dada la sguete matrz: A Istruccó Solucó Hallar A metalmete 4 Hallar Hallar A co u comado de Matlab orma, A por decó usado masumabsa' comados de Matlab Hallar A co u comado de Matlab orma, Hallar rado espectral ρ A usado maabsega comados de Matlab Hallar A por u comado de Matlab orma, Hallar A por decó usado maabsega*a'^.5 comados de Matlab Cálculo Numérco

24 Factorzacó LU co pvoteo e MATLAB _ Comado: [L,U]luA _ L es ua matrz tragular eror _ U es ua matrz tragular superor _ L*U A. >> A[ ;4 5 6;7 8 ]; >> [L,U]luA L U >> L*U as Factorzacó LU co pvoteo e Matlab _ Comado: [L,U,P]luA _ L es ua matrz tragular eror _ U es ua matrz tragular superor _ P es ua matrz de permutacó _ L*U P*A. >> A[ ;4 5 6;7 8 ]; >> [L,U,P]luA L U P >> L*U as >> P*A as Ejerccos Propuestos Resuelva, co la auda de Matlab, los sguetes problemas:. Escrba ua ucó de Matlab llamada meores, ucto []meoresa,k que tega como varables A k que devuelva la sub-matrz cuadrada k k de la matrz A correspodete al meor prcpal de ese orde. ucto []meoresa,k ; Cálculo Numérco 4

25 . Recuerde que u crtero sucete para que ua matrz A sea deda postva es que todos sus meores prcpales sea estrctamete postvos. Modque la ucó meores del ejercco ateror para que devuelva la lsta de todos los meores prcpales de la matrz argumeto. Use la ucó meores para vercar s las matrces so dedas postvas. 4 ucto []meoresa []; % calza el vector como ulo [,m]szea; % obteer dmesó de matrz l. m col. or k: % Para k asta mma:k,:k; % obteer los meores de la submatrz k % mostrar por patalla los valores de los meores me ; % calcular el determate de los meores [ ]; % ecestar el vector co el valor actual de me ed; % del para.. Crear la subruta llamada sustdr.m que resuelva u sstema tragular eror utlzado el algortmo sguete. ENTRADA : Matrz tragular eror L vector b, tales que Lb SALIDA : Vector Paso : Vercar que el sstema es tragular eror Paso : Obteer el orde del sstema, Paso : Para k desde asta repetr pasos 4-5 Paso 4: Vercar que el elemeto de la dagoal o es ulo Paso 5: Hacer k k k j ucto [ ] susdr L,b aatrll-l, error o es mat. tragular eror else [,m]szel; zeros,; or k: j :k- kbk-lk,j*j/lk,k; ed b L L k, k k, j j 4 5 Cálculo Numérco 5

26 Para probar: L b, la matrz L b 4 >> susdr L,b 4. Crear la subruta llamada sustv.m que resuelve u sstema tragular superor utlzado el algortmo dscutdo e clase. ENTRADA : Matrz tragular eror U vector c, tales que Uc SALIDA : Vector Paso : Vercar que el sstema es tragular superor Paso : Obteer el orde del sstema, Paso : Para k desde asta repetr pasos 4-5 k:-: Paso 4: Vercar que el elemeto de la dagoal o sea ulo Paso 5: Hacer k b k j k 5. Crear la Subruta llamada Gauss s tercambo de las utlzado el algortmo dscutdo e clase. ucto [] gauss A,b %Fuete:Gozalo Herádez - Gozalo Ros -MA-A 7--UCle - Departameto de %Igeería Matemátca %Los comados que ejecuta la ucó "gauss.m" so los sguetes: legtb; % Se guarda e la varable el tamaño del vector b or k :- % El cclo or comeza e k, e cada teracó se suma a k, %terma cuado k-, %cluedo esa teracó or k: %Comeza u cclo or allado al ateror etre k m A,k/Ak,k; %E la varable m se guarda el valor de la dvsó s modcar la matrz A A,k: A,k: - m*ak,k:; %Para aorraros u cclo, se toma de la la los elemetos desde la columa k asta la b b - m*bk; %Se ace la trasormacó e el vector b ed % Falza el cclo del or de varable ed or k :-: Modca la ruta de gauss.m cluedo e ella la subruta de susttucó versa U U k, k k, j %Falza el cclo del or de varable k % Comeza el cclo de la susttucó e versa, calzado la varable % k, e cada teracó se le suma - a k, terma cuado k k bk - Ak,k:*bk:/Ak,k; % De orma smlar, se aorra u cclo multplcado la.la Ak,k: por la % columa bk: ed ed %Falza el cclo del or de varable k % Falza la ucó "gauss.m" 6. Icorporar a la subruta ateror ua estratega de pvoteo parcal. j Cálculo Numérco 6

27 7. Crear la Subruta llamada Crout que permta resolver el sstema leal Ab debe comprobar prmero s A es ua matrz trdagoal., e caso cotraro evar mesaje de racaso. Ico ucto [L,U] crouta l a % Probar s A es ua matrz trdagoal prmero u a /l F s Para F_Para l l, l l u a a F_Para asta, - a a, a, l, l,, - acer, u /l u,, 8. Crear la Subruta llamada Colesk que permta resolver el sstema leal Ab, comprobado prmero s A es ua matrz smétrca., e caso cotraro evar mesaje de racaso. Etrada : Orde la Matrz "" elemetos de la Matrz smetrca "A Salda Ico F l Para j Hasta Hacer F_Para Para Hasta -Hacer F_Para l l : Elemeto l, j ; de "L" j l a Para j Hasta Hacer F_Para [a a [a j l j /l k l j l k k l [a ] k j / ] / k l jk l k ] Cálculo Numérco 7

28 9. Obteer la actorzacó de Colesk de la matrz A a. Maualmete b. Utlzado la ucó col de Matlab. Crear la Subruta llamada Dooltle que permta resolver el sstema leal Ab, usado la actorzacó LU A 4 m m 6 m m m m L U 4 Notemos que: L*U 4 A Fucto [L,U]dooltleA. Resolver el sstema de ecuacoes leales b A v v, sguete: a. Usado la ucto v del MATLAB. Cálculo Numérco 8

29 b. Compare sus resultados usado A, compare el resultado de usar la ucó v. Qué es lo que Ud. coclue? c. Qué valor tee el producto: A A? d. Cuál es el resultado esperado a partr de A A - A A?. Realzar la actorzacó LU de la matrz 8 9 A b. S Pvoteo Parcal c. Co Pvoteo Parcal. S se pretede resolver el sstema Ab de orma óptma, co A smétrca deda postva. Cuál de los sguetes procesos es más óptmo. a. Prmero se calcula la descomposcó LU luego se resuelve los sstemas tragulares. b. Prmero se calcula la descomposcó LU co pvoteo parcal luego se resuelve los sstemas tragulares. c. Se calcula la descomposcó de Colesk luego se resuelve los sstemas tragulares. d. Se calcula calmete la descomposcó de Colesk a cotuacó se resuelve el sstema tragular eror, cua solucó cocde co la del sstema Ab. 4. Sea la matrz A: A 4 k a A través de actorzacó LU determe a matrz versa de A. b Determe el úmero de codcoameto de la matrz A. para A ma l < k. j j cod A A A Cálculo Numérco 9

30 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Métodos Iteratvos para Resolver Sstemas de Ecuacoes Leales Calcular Valores Vectores Propos de ua matrz Practca 4 Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvos Estudar métodos para resolver sstemas de ecuacoes leales medate téccas teratvas a partr de u vector solucó cal, el cual luego se va reado asta obteer solucoes de acuerdo a ua toleraca de precsó. També se estuda métodos teratvos para el cálculo de valores vectores característcos.. Fudameto teórco. Métodos Iteratvos para la solucó de Sstemas de Ecuacoes Leales Los métodos teratvos para resolver sstemas leales de la orma: A b, puede k k epresarse como T c. La matrz T vector c varía de acuerdo al método. Además A D L U. Dode: Jacob Gauss-Sedel Método T c T j D L U c j D b D L U T g D L b c g SOR Sobre-Relajacó Sucesva T D ωl { ω D ωu} ω c ω D ωl ω b Crteros de covergeca de los Métodos Iteratvos Teorema Codcó ecesara sucete de covergeca.- La sucesó k k T c, para k, coverge a la solucó úca, s sólo s ρ T L <, el error de sucesó se puede estmar como k L sgue: E L. Dode k represeta las teracoes, k,,.., mat. Cálculo Numérco

31 Teorema Codcó sucete de covergeca.- S la matrz A es dagoal estrctamete domate, los métodos de Jacob Gauss-Sedel coverge, para cualquer vector cal arbtraro. E el método de Sobre-Relajacó Sucesva, cuado ω obteemos el método de Gauss -Sedel. La utlzacó de este parámetro permte obteer ua covergeca más rápda. Teorema Kaa - Codcó ecesara.-para que tega covergeca el método SOR, cualquera sea la estmacó cal, es ecesaro que ω esté e ],[. Teorema Ostrowsk-Rec - Codcó sucete.- S la matrz A es smétrca deda postva <ω<, etoces el método SOR coverge para cualquer eleccó de la apromacó cal del vector solucó. Teorema: S A es deda postva trdagoal, etoces ρt g [ρt j ] <, la eleccó óptma de ω para el método SOR es: ω ρ T ω ω [ ρ ] T j Observaçó: E partcular, coclumos que e el caso que A sea smétrca deda postva el método de Gauss-Sedel coverge.. Métodos Iteratvos para el Cálculo de Valores Vectores Propos Método de la Poteca Decó Sea λ u autovalor de A que e valor absoluto es maor que cualquer otro autovalor, etoces se dce que es u autovalor domate su autovector correspodete se llama autovector domate. Para poder aplcar el método debemos supoer que la matrz A de orde co autovalores λ, λ,..,λ, co autovectores L.I:{v, v,..v } Además supoemos que A tee u autovalor domate,o també que λ > λ λ.. λ Sea u vector o ulo e R, se puede represetar como ua combacó leal de los vectores propos Algortmo de la Poteca β Etrada: vector cal arbtraro o ulo, A, tol,mat Salda: Valor propo domate, su respectvo vector propo Paso : k Paso : Normalzar el vector de Paso Metras que k<mat acer los pasos 4- v Cálculo Numérco

32 Paso 4 A* Paso 5 Ecotrar el etero p <,..,> tal que p Paso 6 S p, salr mesaje de racaso Paso 7 λp Paso 8 err -/ p / p Paso 9 S err< tol salda λ, Paso : Tomar kk. Istruccoes báscas e Matlab Istruccó daga trua trla ega va orm, orm, Descrpcó Dagoal de la Matrz Parte tragular Superor de la Matrz Parte tragular Ieror de la Matrz Valores propos de la Matrz Iversa de la Matrz Norma Eucldaa de, Norma ta de,. Implemetacó de la ucó para el método de Jacob Está dada por la sguete orma teratva: X k D L U X D B dode k,,, k Dado el puto cal X, obteemos los sguetes putos X, X,. La ucó Jacob mplemeta el Método Iteratvo de Jacob para apromar la solucó de u sstema de ecuacoes: % Jacob.m % Metodo de Jacob ucto [z,,umte]jacoba,b,tol,maxite DdagdagA; LD-trlA; UD-truA; TjvD*LU; zerosszeb; % Vector Ical CjvD*b; z[]; or :MAXITE Tj*Cj; errorm-,; z[z;' err]; ; err<tol break ed ed umte; Cálculo Numérco

33 Ejemplo.- Resolver el sguete sstema: » A [ ;.9 -.5; ]» B [8; 9; ]» [z,,umte]jacoba,b,e-6,. Implemetar el método de Gauss-Sedel el SOR medate ucoes resolver el sstema ateror.. Uso de la ucó eg. Ecotrar los valores vectores propos de la matrz A 4 4»A [ ; 4 ;- -4 -]»[Q,D] ega Q D... Así los valores propos so λ,, las columas de Q correspode a lo vectores propos..4 La ucó poteca mplemeta el método de la poteca: % poteca.m % Metodo de la poteca para calcular el valor propo domate Ejemplo.- % su vector correspodete ucto [z,l,]potecaa,,maxite,tol ; z[]; or :MAXITE A*; [m,p]maabs; lp; errorm/l-,; /l; z[z;' l]; err<tol break ed ed Cálculo Numérco

34 Calcular por el método de la poteca, el maor valor propo e valor absoluto de la matrz A. Partedo del vector T Solucó Utlzado MATLAB teemos:» A [ ; ; ]» [; ; ]» [z,l,]potecaa,,5,e-5 z l Es decr, podemos coclur que ua apromacó al valor propo de maor valor absoluto co ua toleraca de e-5 es su vector propo asocado es [ ]..5 Implemete ua ucó para el método de la poteca versa a. Implemete ua ucó para el método de la poteca versa co desplazameto terada Cálculo Numérco 4

35 4. Parte práctca Ejemplo Para resolver u certo sstema se obtuvo por Gauss-Sedel la matrz de teracó: / / T GS / / 6 como vector de térmos depedete: c G S / 9 a. Tomado [,,] t, calcular. Dejar dcadas las operacoes matrcales. b. Las teracoes de Gauss-Sedel coverge?. Justcar. Solucó a TG S TG S / / / / / / 6 / 9 /.667 / 6.5 / b T G S λi λ / / det / / 6 λ λ 7 / 9λ / 7λ / 9 λ λ λ / λ / 9 ρ Tgs / < Coverge Ejemplo Sea el sstema: a a a. Para qué valores de a, el método de Jacob es covergete? b. Realce 5 teracoes de Jacob, co a, a partr de [,] t c. Cual es el error cometdo? Comete sus resultados. Solucó a. / a Tj / a Calculo del rado espectral Cálculo Numérco 5

36 λ / a T j λi det λ / a λ λ < a a a a > a a > a>-.44 / a a b. a Sst. Leal Algortmo de Jacob Iteracoes [ ] t ; / / / / / / / / k k / / ; / / / 9 4 / / 8 / 9 / / 9 / / / 7.7 c. L Rado espectral mámo valor propo co a λ < a a L L E.58 L E la quta teracó se ve que la solucó coverge al valor de [ ] t 5. Ejerccos propuestos. Crear ua ruta e MATLAB para determar s ua matrz tee dagoal estrctamete domate. ucto lag domate A % lag : s tee dagoal estrctamete domate e caso cotraro Cálculo Numérco 6

37 ... Crear ua ruta e MATLAB para determar s ua matrz es smétrca, deda postva trdagoal. ucto lag verca A % lag : s A es smétrca, deda postva trdagoal e caso cotraro Crear ua ruta para determar s u sstema A b, es covergete para el método de Sobre-Relajacó Sucesva SOR, medate el crtero del rado espectral: ucto [lag, ro]pruebawa,w % w : Factor de sobre-relajacó % lag : s es covergete s o es covergete % ro : Rado espectral Elabore ua ruta para resolver u sstema leal A b medate Sobre- ua toleraca de Relajacó Sucesva SOR, dado el actor de sobre-relajacó, error u úmero mámo de teracoes. % ucto [, umte]solvesora, b, w, TOL, MAXITE % w : Factor de Sobre-Relajacó Cálculo Numérco 7

38 .. 5. Dado el sstema leal: a a a Halle todos los valores de a que asegure covergeca al aplcar el método de Jacob. b Co a.6, muestre la tercera teracó de Gauss-Sedel partedo de : 6. Calcule todos los valores característcos de M Realce teracoes del método de la poteca usado el método de la poteca T versa, a partr de [ ] Teedo e cueta que el método de Gauss Sedel es covergete cuado la matrz A es smé trca deda postva ecuetre para que valores de a es covergete la sguete matrz: veces K a A a K M M M M O M K a 8 a a > 9 b < a < c > 8 a e a > a d 8. Sea: 4 A, cuál de los sguetes es u vector propo de A? Cálculo Numérco 8

39 a b c d e N.A. α 5 9. Sea el sstema:, s α es el últmo dgto de su códgo α 4 etoces el rado espectral de Jacobí será:... Las struccoes e MATLAB será: Cálculo Numérco 9

40 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Solucó de Ecuacoes o Leales de ua más varables Practca 5 Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvos : Aplcar los métodos teratvos de tervalo los métodos teratvos ucoales, e la solucó de ecuacoes o leales de ua más varables.. Fudametos Teórcos Método de Bseccó E la resolucó de ecuacoes o leales se utlza, salvo solucoes aalítcas smples, métodos teratvos que geera ua sucesó de valores que tede al valor de la raíz. Este método preseta la vetaja de acotar o sólo el valor de la ucó, so també el tervalo a que perteece la raíz. Para su aplcacó es ecesaro que verque las codcoes del Teorema de Bolzao, esto es, la ucó debe ser cotua cambar de sgo e sus etremos. Algortmo de Bseccó Dato : Leer a, b tal que es cotua e [a,b] a*b< para asta MaIte ab/; errb-a/; s a* < b; so a; _s s err<tol salr _s _para Métodos de Iteracó Fucoal Cotuado co los métodos de resolucó de ecuacoes o leales, aalzaremos e esta práctca los métodos de teracó ucoal, esto es, métodos que coverte la ecuacó e g. Estos métodos preseta la vetaja de poder calcular raíces de multplcdad par o este tervalos e que la ucó cambe de sgo, el coveete de que o so capaces de acotar el tervalo a que perteece la raíz por tato es dícl evaluar su promdad a la msma. Cálculo Numérco 4

41 a. Métodos de Puto Fjo Estos métodos se basa e el Teorema de Puto Fjo, debe cumplr las codcoes del Teorema para garatzar su covergeca. Dcas codcoes se resume como: g C [ a, b] [ a, b] : g [ a, b] Algortmo de apromacoes sucesvas: Sea Leer asta equvalete a g repetr para,, L g < TOL [ a, b] : g < Comezaremos calculado por este método las raíces de El prmer paso es su escrtura e la orma g. Utlzaremos cálculo smbólco para la represetacó resolucó de estas ecuacoes. Comezaremos deedo las varables ucoes smbólcas a emplear represetaremos las curvas.» sms % Decó de la varable smbólca» ^4*^-- ; % De. Fucó smbólca» ezplot,-,;grd o; % Represetacó de e [-,] Para ecotrar las raíces de orma más eacta, además de las ucoes creadas e la práctca ateror, se puede utlzar solve zero. La prmera ecesta que se le de ua ecuacó, lo que se logra medate:» solvestrcat,'' Para usar zero, se le debe dar u puto prómo a la raíz o, mejor, u tervalo dode esta camba de sgo.» zero,[-,],zero,[,] Despejado la prmera de la epresó, se tee que g 4.Deedo represetado la ucó g medate» g -*^^.5 ; % De. ucó smbólca g» ezplotg,-,;grd o; % Represetacó de g e [-,] Para que la sucesó de valores de puto jo coverja es ecesaro que se cumpla las codcoes eucadas. La evaluacó de la dervada de la ucó su represetacó se logra usado:» dgdg; % De. ucó smbólca dg, dervada de g» ezplotdg,-,;grd o; % Represetacó de dg e [-,] b. Métodos de Newto A cotuacó utlzaremos el método de Newto, veremos deretes característcas del msmo. Este método se puede cosderar ua partcularzacó del puto jo, s be este codcoes sucetes de covergeca cua demostracó es más smple que e el caso de puto jo. C [ a, b] [ a, b] :, [ a b] : sg. cte [ a, b] : ma / b a Cálculo Numérco 4

42 Algortmo de Newto-Rapso: Leer repetr para asta,, L ' < TOL Sstemas de ecuacoes o Leales Cosderemos aora el problema de resolver u sstema de ecuacoes o leales de ecuacoes co varables. Sea : R R,. ucoes o leales sucetemete derecables. U sstema o leal se puede escrbr de la orma:,, K,,,, K,, M,, K,, S demos F: R R por F,,, t etoces podemos escrbr e orma vectoral como: F,,,, El método del puto jo.- Aálogamete al caso udmesoal, el método teratvo del puto jo se base e la posbldad de escrbr el sstema de ecuacoes F e otro equvalete de la orma G Dode G : R R, osea: g g g,,, M, K,, K,, K, Dode g,g,, g so los compoetes de G cosste etoces e geerar ua sucesó de putos e R por medo de la relacó de recurreca G k, k,, K, a partr de u puto cal. Se pretede que esta sucesó de putos e R coverja para u puto jo s de la ucó G, esto es, tal que s Gs que será por tato solucó del sstema orgal, o sea, tal que Fs. Cálculo Numérco 4

43 El método de Newto Rapso.- El método de Newto para la solucó de sstemas de ecuacoes es també ua geeralzacó del método a estudado para el caso udmesoal. Cosderemos uevamete el sstema de ecuacoes F, dode F,,, co : R R,,, K, t K Demos la matrz Jacobaa de la ucó F como: J F K K K K K K K Sea ua apromacó cal al sstema F. Etoces usado el Teorema de Talor para ucoes de varas varables, podemos escrbr que F F J F Demos aora la sguete apromacó como la solucó de J es decr F F J F F De esta orma cotuamos así la versó para sstemas del Método de Newto dada por: J k k F k F k, k dado La mplemetacó del método de Newto para sstemas de ecuacoes o leales. Istruccoes báscas e Matlab.Fucoes para resolver ecuacoes o leales de ua más varables. E orma smbólca: solve: Solucó Smbólca de las ecuacoes algebracas, su argumeto puede ser ua ecuacó algebraca e cadea o u sstema de ecuacoes algebracas. ezplot :Gracador de ucoes e cadea o e orma smbólca p.e. ezplot'^-^4', puede especcarse el rago de que se desea gracar. eval: La ucó eval'cadea de caracteres' ace que se evalúe como epresó de Matlab el teto cotedo etre las comllas como argumeto de la ucó. Este teto puede ser u comado, ua órmula matemátca o -e geeral- ua epresó válda de Matlab. La ucó eval puede teer los valores de retoro ecesaros para recoger los resultados de la epresó evaluada. E orma umérca Cálculo Numérco 4

44 zero: Ecuetra el cero de ua ucó co ua sola varable, es poco usada e la actualdad p.e. zerodr_u,rago_corcetes eval: srve para evaluar, detro de ua ucó, otra ucó cuo ombre se a recbdo como argumeto. Por ejemplo, s detro de ua ucó se quere evaluar la ucó calculara, b, c, dode el ombre calcular se evía como argumeto e la cadea ombre, etoces evalombre, A, b, c equvale a calculara, b, c. solve: Resuelve ucoes o leales e orma smbólca F Ejm: Se desea resolver: Trasormado el sstema Empezamos co [-5-5]. Prmero, escrbmos e u arcvo m que calcule F e los valores. ucto F mu F [* - - ep-; - * - ep-]; Luego, llamamos a la ruta de optmzacó. >> [-5; -5]; % codco cal >> optosoptmset'dspla','ter'; % Opcoes de salda >>[,val] solve@mu,,optos % Llamada al optmzador Iterato Fuc-cout step optmalt radus e e e e e e-7.5 Optmzato termated successull: Frst-order optmalt s less ta optos.tolfu val.e-6 * Cálculo Numérco 44

45 Grácas co Matlab Grácas D Fucoes de la orma Dbujar la graca de la ucó se >>:p/:*p; >>lspace,*p,; >> s; >>plot, Curvas e Paramétrcas Dbujar la gráca de la sguete curva t t t r t, ; 5 5 t t t >>tlspace-5,5,; >>plott.*t.^-./t.^,*t.^-./t.^ Grácas D Curvas e el espaco Dbujar la élce: r t se t,cos t, t ; t 8 >>tlspace,8*p,; >>plotst,cost,t,grd o π Fucoes de la orma z, Dbujar la gráca de la ucó z e E la regó del plao D {, /, } Geeramos el mallado >>[,]mesgrd-:.5:; Susttumos e la ucó para calcular los valores de z >>zep-.^-.^; Y aora podemos dbujar el gráco co alguo de los sguetes comados que produce los dbujos mostrados e la gura: >>plot,,z >>mes,,z >>sur,,z >>sur,,z Cálculo Numérco 45

46 Curvas de Nvel El sguete gráco muestra las curvas de vel para la sguete superce. [X,Y]mesgrd-7.5:.5:7.5; Z ssqrtx.^y.^./ sqrtx.^y.^; SurX,Y,Z cotourz Cálculo Numérco 46

47 4. Parte Práctca Ejemplo : Bseccó» le'ep--' Ile ucto: ep--» ormat log» zero, Zero oud te terval: [.54745,.]. as % bolzao.m ucto [raz,z,t]bolzao,a,b,tol z[]; or t: ab/; errb-a/; z[z; a b err]; eval,a*eval,< b; else a; ed err<tol break ed ed raz; Por ejemplo se desea allar la raíz compredda etre co ua precsó de e-4. z cotee los resultados parcales: a,, b err.» [raz,z,t]bolzao,,,e-4 raz z Cálculo Numérco 47

48 t 4 Ejemplo Localzacó / e a Localzar las raíces de la ucó se Creamos la sguete ucó: % u.m ucto []u /*ep/-s; e el tervalo [-,] Sea el sguete programa para localzar las raíces grácamete mostrara los tervalos utaros que cotega raíces: % Localza.m clc, clear all, ormat sort -:; u; plot,,grd dsp' vs ' dsp[' '] % Itervalos que cotee races acu[]; or :legt- *<, acu[acu; ]; ed ed dsp'itervalos que cotee races...'; dspacu Corrda del Programa» localza vs Corrda del Programa Cálculo Numérco 48

49 Itervalos que cotee raíces b Revuélvase la ecuacó ateror usado el método de Newto-Rapso co ua Toleraca de e-8: % du.m ucto [d]d u d/6*ep/-cos; Cálculo Numérco 49

50 % rapso.m ucto [acu,raz,t]rapso,d,,tol acu[]; or t: -eval,/evald,; errabs-; acu[acu; err]; ; err<tol break ed ed raz;» [acu,raz,t]rapso, d,.5,e-8 Corrda del Programa acu raz t 6 Se observa ua covergeca bastate rápda. Nota.- S las ucoes so almaceas e arcvo su ombre debe r etre apostroes, s so ucoes le de memora o debe llevar apostroes.» le'/*ep/-s'» dle'/6*ep/-cos';» [acu,raz,t]rapso,d,.5,e-8 c Implemetar ua ruta e Matlab para el método de apromacoes sucesvas. Ejemplo Apromacoes Sucesvas para Sstemas Cosdere el sstema o leal cos 8. s e π.6 Aplque el método del puto jo para apromar la solucó, realce 5 teracoes escoger.,., -. t Cálculo Numérco 5

51 Solucó S de la -ésma ecuacó se despeja, el sstema puede cambarse a u problema de puto jo cos 6 s.6. 9 π e 6 Se obtee la sguete epresó de recurreca k k k cos 6 k k k s.6. 9 k k k π e 6 Partedo de la estmacó cal, sguetes resultados.,.,. se obtee los k k k k Ejemplo 4 Newto Rapso para Sstemas Resolver el sguete sstema usado el método de Newto Rapso:. 5 5 Valor cal:,.5 Solucó F. 5, 5 F' 5 5, X.5 Cálculo Numérco 5

52 Iteracó : F, 5 X Iteracó :.65 F, -.5 X F' F' E dos teracoes preseta ua apromacó de E.. Ejemplo 5 Apromar la solucó al sguete sstema de ecuacoes: s Teemos co F s T, que, J s cos F cos Estas dos epresoes las calculamos e MATLAB medate las sguetes ucoes ucto zucw zzeros,; w; w; z^-*^^; z*s*; ucto zducw zzeros,; w; w; z,*^-^; z,-***^; z,s***cos*; z,^*cos*; ucto [,ter]ewto,p,,tol,terma %NEWTON Método de Newto para sstemas o leales % Los datos de etrada so % : Nombre de la ucó que represeta el sstema. % p: Nombre de la ucó que calcula el Jacobao. % : El puto cal vector columa. % tol: Toleraca para el error relatvo e la solucó calculada Cálculo Numérco 5

53 % terma: Número mámo de teracoes que se repte las teracoes arg<4 tol.e-4; ed arg<5 terma; ed ; orm; ormz; ter; wle ormz>tol*orm&ter<terma eval,; pevalp,; z-p\; ormzormz,; ormorm,; z; terter; ed Esta ucó se debe vocar co al meos tres argumetos. S se omte alguo de los últmos dos argumetos, la ucó tee uos valores que se asga por omsó a estas varables. T Tomado como,, podemos vocar la ucó ewto para resolver el sstema como sgue: [,ter]ewto uc, duc,[,] 5. Ejerccos Propuestos. Crear u arcvo el.m ecuacoes o leales que cotedrá la ucó cuas raíces se quere allar. E partcular, tomaremos Cos-. Para represetar la ucó e el tervalo [-6, 6], se puede utlzar:» zlspace-6,6,5;zelz;» plotz,z;grd o;. Use cuatro teracoes del método del la Bseccó para determar las raíces de e 6 e el tervalo [,.5]. Cuátas teracoes so ecesaras para obteer la apromacó a la raz redodeada a 5 cras decmales? a, b.5 a b -.87 ab< Iterato a b Error No de teracoes para obteer 5 c.d.e... Cálculo Numérco 5

54 . Desarrolle cuatro teracoes usado el método de Newto Rapso para obteer las raíces de e 6. Use.4 como valor cal. Dar u estmado para el error volucrado. Iteracó / 4 4. Sea la ucó o leal cos Es posble ecotrar u algortmo del puto jo e [,]? Justque. S su respuesta es armatva realce teracoes Programar la ucó pjo.m segú el algortmo sguete, usado como ucó de teracó g para ecotrar la apromacó co u error meor que. tomado u valor cal aleatoro e el tervalo [,]. Escrbr los resultados e la tabla, dcado el úmero de teracoes. Etrada: ombre del arcvo que cotee la ucó g, valor cal z, error admsble e de la raíz úmero mámo de teracoes ter. Salda: vector de sucesoes de apromacoes a la solucó. Paso Vercar los argumetos de etrada mímo, tomado por deecto eeps, ter Paso Der ter Paso Hacer z Paso 4 Repetr para k desde asta ter los Pasos 5-6 Paso 5 Hacer kgk-; Paso 6 SI k - k- <e FINALIZAR BUCLE Paso 7 SI k>ter, MENSAJE Fde teracoes s covergeca Paso 8 SINO elmar elemetos k, k,... ter Para la ejecucó del programa es ecesaro geerar prevamete la ucó de puto jo de Newto-Rapso, cuo códgo, aprovecado que es u polomo, se da a cotuacó. ucto g % Decó de g p[,,,-,-]; ppolvalp,; qpolderp;qpolvalq,; Cálculo Numérco 54

55 -p./q; 6. Se desea resolver -se usado Newto-Rapso medate u programa e MATLAB, complete las struccoes que alta: % apromacó cal tol % precsó de 6 cras decmales eactos err wle err>tol errabs-... ed 7. Dado el sguete sstema o leal: Localzar grácamete la solucó del sstema Dado el puto cal,, apromar la solucó del sstema usado teracoes de las apromacoes sucesvas. Use comados del Matlab para obteer la solucó eacta Dado el sguete sstema o leal resuelva utlzado el método de Apromacoes sucesvas o Newto Rapso Codcó cal, Cálculo Numérco 55

56 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Apromacó de Fucoes Practca 6 Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvos Estudar aplcar los dversos métodos de apromacó de ucoes medate terpolacó polómca, ajuste de mímos cuadrados e terpolacó por sples.. Fudameto Teórco Problema básco de Iterpolacó: Dados los datos,,, queremos allar ua ucó g tal que g,. Problema de Iterpolacó Polomal: Dados los datos,,, queremos allar u polomo p de grado a lo más, tal que p,. Esteca costruccó de p Sea el polomo de la orma: a a a a a p L, Por codcó de terpolacó: p. Esto es equvalete al sstema: a a a M M L M M L M M L L e el que la matrz del sstema es coocda como Matrz de Vadermode. La esteca ucdad del polomo terpolate es equvalete a asegurar que el sstema es posble de determar para cualesquera,..., dsttos. Derecas Dvddas Se dee para putos o argumetos desgualmete espacados: Dereca dvdda de Prmer orde: ], [ Cálculo Numérco 56

57 Dereca dvdda de segudo orde: ], [ ], [ ],, [ Dereca dvdda de orde : ],..., [ ],..., [ ],,...,, [ Polomo de terpolacó de Newto basado e derecas Dvddas j j k k k P P ]... [... ]... [... ]... [ ] [ ] [ Polomos de terpolacó de Lagrage Para tervalos guales o o. j j j j L L L L L P... Ajuste por mímos cuadrados leal Sea el cojuto de datos: ;, ;, ;, L Se puede ajustar a ua recta b a e orma óptma, resolvedo la ecuacó ormal: M p M M p M b a T T M M M b a Este procedmeto se puede eteder a polomos de grado maor. Cálculo Numérco 57

58 Factor de regresó data la de ajuste de uco la de R m m m ˆ ˆ Sple cúbco atural Sea el cojuto de datos: ;, ;, ;, ;, L Dode cada segmeto puede ser apromado co u polomo cúbco de la orma:,,, d c b a S L Hacedo: S M " Para el sple atural: M M Debemos prmero resolver el sguete sstema trdagoal: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ ] [,,,,,,,, 6 M M M M M M L O M L L L M O L ] ] Ua vez obtedos, obtedremos los coecetes:, M LM [ ] d M M c M b M M a 6, 6. Istruccoes báscas e MATLAB. Represetar el sguete polomo e MATLAB: P 5» p[ - ] Cálculo Numérco 58

59 . Evalúe el polomo ateror e,, 4» [ 4]» polvalp,. Obteer la dervada del polomo ateror:» dppolderp 4. Elabore ua ucó para obteer la tegral de u polomo e el tervalo [a,b], co la cabecera: ucto I tegp,a,b 5. Obteer las raíces del polomo ateror:» racesrootsp 6. Obteer u polomo cuas raíces so:, -,,» r[ - ]» ppolr 7. Eectuar: q Multplcar -» p[ - ]» p[ ]» prodcovp,p 9. Dvdr 4 etre» p[ 4 ]» p[ ]» [q,r]decovp,p. Escrba ua ucó que permta sumar dos polomos: ucto ssumpolp,p.. Obteer el polomo terpolate que pase por los sguetes putos: X 4 5 Y 66 7» [ 4 5]'» [ 66 7]'» M[.^.^ oes4,]» pm\ % Coecetes del polomo terpolate. Aprome la ucó para, 4.5» [ 4.5]» polvalp,. Gracar el polomo ateror:» :.:5;» polvalp,;» plot,,'o',, Cálculo Numérco 59

60 4. Obtega u polomo terpolate de cuarto grado que aprome a s tomado los putos:,.,.,.5.7. Aprome medate el polomo.,.4.6 muestre el error. Graque vs P 4 5. Medate el comado polt obteer u polomo terpolate que pase por los putos: X 4 6 Y Aprome Y, Y5 Graque el polomo terpolate, paso..» [ 4 6]» [ ]» ppolt,,legt-» [ 5]» polvalp,[ 5]» :.:6;» polvalp,;» plot,,'o',,,'',,» leged'data','estmados','polomo' 6. Obtega u polomo terpolate de cuarto grado que aprome la ucó e - se tomado los putos:,.,.,.5.7. Aprome medate el polomo:.,.4.6 muestre el error. Graque vs P 4 7. Iterpolar se e el tervalo [,p] medate polomos, tomado, 4 5 putos gualmete espacados. Cuál es la apromacó más adecuada? 8. Elabore ua ruta para costrur ua tabla de derecas dvddas permta realzar ua terpolacó medate el polomo de Newto. Cálculo Numérco 6

61 La ucó ddvddas mplemeta el método de terpolacó de Newto usado las Derecas Dvddas. ucto zddvddas, legt; or j: vj,j; ed prt'dereca Dvddas:\\'; or : or j:- vj,vj,--vj,-/j--j; prt' %.4',vj,; ed prt'\\'; ed or : cv,; ed p[]; or j:; qpol[:j-]; p[,p]cj*q ; ed prt'el polomo de Newto es:\'; zp; Ejemplo.- %Iterpolar por Newto co los sguetes putos >> [.5 ] >> [.8.5] >> ddvddas, Dereca Dvddas: El polomo de Newto es: as % Polomo Iterpolate de Grado % e orma descedete Cálculo Numérco 6

62 9. Elabore u programa que realce la terpolacó de Lagrage: La ucó Lagrage mplemeta el Método de Iterpolacó de Lagrage ucto p lagrage, legt; p zeros,; or j: q pol[:j-, j:]; Lq/polvalq,j; p p L*j; ed. Realce ua terpolacó leal para los sguetes putos:» [ ]'» [ ]'» [..4.6]'» terp,,,'lear'» plot,,'o',,,''. Realce ua terpolacó por sples, para: % ejmspl.m [ ]; [ ];.9:.:6; sple,,; plot,,'o',, leged'data','sple'. Costrua ua gura uedo putos medate Sples: % pruespl.m [ ] [ ] p:legt; pp:.:legt; splep,,pp; splep,,pp; plot,,'o',, Cálculo Numérco 6

63 . Ajustar los sguetes datos a ua recta: X Y Se ajusta a ua recta: c c Se platea el sstema: Este sstema: M c Multplcado por M t : c c M t M c M t Dode M t M es ua matrz cuadrada se puede resolver para c :» [ ]'» [ ]'» M[ oes6,]» AM'*M Cálculo Numérco 6

64 A... 6.» bm'* b » ca\b c També se puede obteer drectamete:» cm'*m\m'*» cm\» cpolt,, 4. Gracar los datos vs la recta de ajuste: 5. Repta el procedmeto para realzar u ajuste cuadrátco: c c c 6. Obteer el actor de regresó: R 7. Dada la sguete ucó: Cálculo Numérco 64

65 Tabule para los putos:,, 4, 6, 8, Muestre e u sólo gráco: a U polomo de grado 5 que pase por todos los putos b Ua ajuste leal c U ajuste cuadrátco d Ua ucó sple e La ucó eacta 4. Parte práctca Problema Obteer ua terpolacó por Sple Natural para el polomo 4. p, para,, a Muestre las ucoes Sple S para cada tervalo. p S co / 4. b Dme el mámo error cometdo, para ello tabule c Comete sus resultados. Solucó a F [, ] E este caso: Reemplazado: 4 M 4 M M M [ ] [ ] [ ] [ ] S M.4 M 74.4 M M [, ].4.6 [, ]..8 [, ] Cálculo Numérco 65

66 b Tabulado: P S ErrorP-S Se observa que el mámo error es c El maor error se regstra e el tercer tervalo. Problema U sstema dámco preseta la sguete respuesta e el tempo: tseg m bt a Realce u ajuste por mímos cuadrados usado la ucó: ae. Idque a su crtero que ta buea es la ucó de ajuste obteda? b Determe para que tempo el sstema alcaza el 95 % de su poscó máma. Solucó a Agrupado coveetemete: ae L bt bt L Y BT A Realzado u ajuste leal para la tabla: a Tt YL Se obtee: Cálculo Numérco 66

67 B A -.49 Y T -.49 De dode se obtee: b-b.874 ae A.7.874t Por lo tato la ucó de Ajuste será:.7e Tabulado: t t ˆ.7e Se observa que los resultados so satsactoros, co error mas grade para los prmeros putos de la tabla..98 Tabulados -a*ep-b*t b Teedo e cueta que el ma tede a :.874t.7e.95.7e t.7 seg..874t 5. Ejerccos Propuestos. Escrba ua ucó que resuelva el sple atural a partr de la data,, deberá obteer vectores que cotega a los coecetes a, b, c, d. ucto [a,b,c,d]msple,.... Cálculo Numérco 67

68 Dada la sguete tabla de derecas dvddas: [,] [,,] [,,,] a 5 g c d El producto de c d es:.. E la terpolacó de ua ucó que pasa por los putos,,,. Se sabe que -4, 44 [,4]6. Hallar [,,4] a 6 b -6 c d - e. 4. Sea los datos: a b c Al usar el polomo de Lagrage, cuál será el polomo L e comados de Matlab. a Lpol[ ]/polvalpol[ ], b Lpol[ ]/pol[ ], c Lpolval[ ],/pol[ ], d Lpol [ ]/polvalpol[ ], e N.A. 5. Sea los sguetes putos:,-;,;,9,9; por el cual se puede costrur u polomo terpolate de la orma: p a b c d, etoces abcd será: a 7 b 5 c d 8 e N.A. 6. Determar s la sguete ucó es u Sple cúbco e el tervalo [,] [,] S - [,] Justcar correctamete. Cálculo Numérco 68

69 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Derecacó e Itegracó Numérca Practca 7 Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvos Estudar aplcar los métodos para obteer dervadas e tegrales a partr de ua tabla de valores de la ucó, parecdos a los que se usa e la terpolacó, també dcos métodos so de utldad para estmar el valor de la dervada o la tegral cuado se cooce la ucó.. Fudameto Teórco Fórmulas para la prmera dervada: Haca delate ' Cetral ' Fórmulas para la prmera dervada: Haca delate ' ' Cetral ' ' Itegracó Numérca Mostramos alguas órmulas cerradas de Newto-Cotes más comues para cualquer ucó. Regla de los trapecos [ ] b a b a a b d Regla de Smpso b a b b a a a b d 4 6 Regla de Smpso Smpso tres-octavos b a b b a b a a a b d 8 Cálculo Numérco 69

70 Regla de Mle 4 b a b a a b a b a b d 7 a 7 b Regla de Cuadratura Gaussaa. Istruccoes báscas e Matlab dx: Para u vector X, es [X-X X-X... X-X-]. quad : Evalúa la tegral, por el método de Smpso. quad8 : Evalúa la tegral, por el método de Newto-Cotes. Cálculo de Prmtvas El comado ecargado del cálculo de prmtvas e Matlab es t. Por ejemplo t >> sms t % varable smbólca >> le cos*ep ; >> tt,t >> prettas % reescrbmos la soluco de orma elegate Itegrales Dedas La msma struccó, t, permte realzar la tegracó deda. A modo de Ejemplo: >> tt^4*t/t^4-*t^,t,,5 as /6/4*log 4. Parte práctca. Hallar la dervada de la ucó: ^ e. Usar.5» [.5] % Se crea u arreglo de dos dmesoes».^ %Se crea otro arreglo, utlzado operacoes puto» ddd./d.. Ajustar u polomo P de cuarto grado a cco putos uormemete espacados para seπ etre ; luego, apromar P para.6. Compare los resultados co los valores aalítcos.» [ ];» sp*;» ppolt,,4;» polvalpolderp,.6 %El valor apromado de.6:» ddd./d; Cálculo Numérco 7

71 » dd %dado que.6 está e er tervalo de. %Además el valor aalítco de.6:» cosp*.6*p. Elabore ucoes que mplemete el método del trapeco, el método de Smpso, el método de Smpso /8, el método de Mle. Solucó: La ucó trapeco mplemeta el método del trapeco ucto trapeco,a,b /*b-a*[eval,aeval,b]; La ucó smpso mplemeta el método de Smpso ucto smpso,a,b /6*b-a*[eval,a4*eval,ab/eval,b]; La ucó smpso_8 mplemeta el método de Smpso /8 ucto smpso_8,a,b /8*b-a*[eval,a*eval,*ab/... *eval,a*b/eval,b]; La ucó mle mplemeta el método de Mle ucto mle,a,b /9*b-a*[7*eval,a*eval,*ab/4... *eval,ab/*eval,a*b/47*eval,b]; 4. Calcule la tegral de maera apromada empleado para ello la regla del trapeco compuesta. 5 ta d Solucó: Demos la ucó, los límtes de tegracó el paso : >> le'ta*.^5', a, b, 4 >> b-a/; >> X[a::b]; >> YX >> P/*a*sumY:legtX-b P :.7588 Cálculo Numérco 7

72 5. Calcule la sguete tegral por el método de Smpso compuesto. 4 ed Solucó: Para resolver la tegral por este método, prmeramete troducmos u úmero par m de tervalos demos el paso b-a/m : >>m 4, a, b 4 >>b-a/*m >> le'ep' >>X[a::b] >>YX >>P/*a*sumY::*m-4*sumY*:mb P : Elabore u programa que calcule la tegral de ua ucó utlzado el método del Romberg. Itegracó de Romberg %romb.m %Itregales medate el metodo de Romberg ucto romberg,a,b, ormat log b-a; R,*eval,aeval,b/; or : R,/*R-,*sumeval,a[:^-]-.5*; or j: R,j4^j-*R,j--R-,j-/4^j--; ed /; ed R; 7. Elabore u programa que calcule la tegral de ua ucó utlzado el método de Cuadratura Gaussaa ucto zcuadraturagauss,a,b, % la ucó %a,b tervalos de tegracó % úmero de putos swtc case ; w ; case ; w ; -; w w; Cálculo Numérco 7

73 case ; ; -; w ; w ; w w; case ; ; w ; w ; 4 -; -; w4 w; w w; oterwse errorsprt'el ro de putos debe ser meor que 8'; ed s; or : t ab*b-a/; ss[w*eval,t]*b-a/; ed zs; 5. Ejerccos Propuestos. Calcule umércamete la tegral de la gura adjuta empleado la regla del trapeco la regla de Smpso. Qué método es más eacto e este caso? Por qué?. Apromar la sguete tegral I d utlzado la sguete ormula: [ 5 / / 5 ] d 9. Cuatos tervalos ecestamos para apromar la tegral l d por el método de Smpso co u error ε <. Cálculo Numérco 7

74 4. La rotacó alrededor del eje del perl represetado e la gráca adjuta geera u sóldo de revolucó smlar al mostrado e la gura A. El volume del sóldo de revolucó egedrado por rotacó alrededor del eje del perl represetado e la gráca vee dado por la epresó: V π b a [ ] d A Calcule el volume de dco sóldo empleado la regla del trapeco. 5. Hallar e s d, usado el método Romberg usado los pasos de.5 6. Ecuetra a, b c de tal maera que la sguete órmula de tegracó sea eacta para cualquer polomo de grado o meor. d a b c 4 7. Dada la tegral d, determe el úmero mímo de sub-tervalos ecesaros para que se obtega el valor de la tegral por el método del trapeco co u error eror a. Cálculo Numérco 74

75 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Ecuacoes Derecales Ordaras Practca 8 Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvos Estudar aplcar los dversos métodos teratvos, para la solucó de Ecuacoes Derecales Ordaras co problema de valor cal problema de valor rotera.. Fudameto Teórco Por lo geeral, la solucó eacta de u problema de valor cal para EDO es mposble ó dícl de obteer e orma aalítca. Normalmete o queda otro remedo que la búsqueda de ua solucó umérca. Vamos a presetar métodos deretes para realzar esto, empezado co el método más secllo. Pretedemos resolver ' t t, t, t a < t < b t α Codcó Ical Tomamos el tamaño de paso > b - a/n deedot t,,,, K, N. Método de Euler Progresvo: t,,,, K N Regresvo: u t,,,, K N. Método de Talor de orde j j t j, j ' t, j j. Método de Ruge Kutta De orde k t, k t j j j j j, j [ k k k ] Cálculo Numérco 75

76 De orde 4 [ ] 4 4 6,,,, k k k k k t k k t k k t k t k j j j j j j j j j j Problema del Valor Frotera Sea el problema de valor rotera e ua EDO de segudo orde B b u u t u u u t g u ',, Método del Dsparo s t u u t u u u t g u ',, Ejemplo Resolver: [ ] 5,.5. ' '' t.8 Solucó: Se resuelve el sguete problema co las codcoes cales: s '. ' '' Eljamos u valor cal de s s t Sea. Aplcado RK4 al PVI,.66 '. ' ' ' obteemos Cálculo Numérco 76

77 N N s o Se obtee N N s o comparamos co Se elje u segudo valor para s s B N s s b t.5 Aplcado RK4 al PVI, ' ' '. ' N N s Se obtee u N u N s comparamos co Utlce terpolacó leal a de obteer eleccoes subsecuetes valores para s, esto es:.8 N sk sk sk sk sk k,,,k s s N k N k Co cada S k resolvemos el problema de valor cal comparamos u N s k co.8 Hallado S.8 N s s s s s * s s N N Aplcado RK4 al PVI, ' ' '. ' N N s Cálculo Numérco 77

78 Se detee cuado B s k N sea sucetemete pequeño Crtero de covergeca. E este caso.8 s N Método de las derecas tas. Dado el problema de valor cal de segudo orde co valor rotera α β ' b u a u t r u t q u t p u b t a Ejemplo: Resolver aplcado derecas tas: -/ / sl/. Solucó p qr p q r l s A p B q C p D r N N N N N N N N N N N w A D D D w C D w w w w B C A B C A B C A B Cálculo Numérco 78

79 La solucó co derecas tas tk kx Istruccoes báscas e Matlab Ejemplo: ucto ddt Ejt, ddtept/ept*; E la vetaa de comados >> [t,]ode45@ej,[ 5],; >> plott, dsolve ec,, ec Resuelve el sstema de ecuacoes codcoes Icales {ec,..., ec} La letra D se utlza para represetar la dervacó co respecto a la varable depedete, es decr, u se escrbe Du; las dervadas orde superor u, u,... se escrbe Du, Du,... Ejemplo: Para resolver el problema de valores cales u'.5* u, u.5 Solucó >> u dsolve'du u/','u /4' u /4*ep/*t 4. Parte práctca d Cosdere la ecuacó derecal ' co [, ] d a Calcule las solucoes apromadas usado los métodos de Euler progresvo regresvo co paso. Determe u mámo error de trucacó. b Calcule la solucó apromada usado el método de Talor de segudo orde co paso.. Solucó Cálculo Numérco 79

80 a.-método de Euler progresvo ' Programa e MATLAB ucto [z]eulerp,a,b,, a::b; legt; z[ ]; or :- *eval,,; z[z ; ]; ed Probar: >>le.*.*-,, >>zeulerp,,,,. % tabla >>z:,;z:,; >>plot,;.-método de Euler regresvo, Susttuedo para el presete caso teemos: Como e esta ecuacó podemos despejar Tabla de Euler Progresvo Tabla de Euler Regresvo Cálculo Numérco 8

81 Cálculo del error má. de trucacó e los métodos de Euler progresvo regresvo T sup. [,].5 sup d d [,].5 [. ]. [ ] b Método de Talor de segudo orde el valor de es determado por la epresó:., ', Hacedo la susttucó para este ejemplo teemos: [ ]... Aplcado sucesvamete esta ormula se obtee la sguete tabla de valores: Cálculo Numérco 8

82 Para probar talor.m >>le.*.*-,, >>dle'***-^' >> ztalor,d,,,,. % tabla. Resolver el sguete problema derecal co codcoes cales: t ' t t e t, t [,] Utlzar el método de Euler modcado usado u paso.5. Comparar co el valor eacto 8.68 evaluar el error porcetual. Solucó: ucto [z]talor,d,a,b,, a::b; legt; z[ ]; or :- *eval,,^/*evald,, ; z[z ; ]; ed Paso.5 4 t, t e t [ t, t, e ] e t e.988 t e t e 6. t ε %εr.6 %. Cosdérese el problema derecal de codcoes cales : 8. ' 4e. 5 [,] Resolver por el algortmo de Ruge - Kutta de cuarto orde, tamaño de paso.5. Comparar la solucó obteda co la solucó eacta.677 evaluar el error solucó : 8. ', 4e. 5 [,].5 Cálculo Numérco 8

83 k, k 5.65, k 4.5, k k k k k k k 6.68 k.55 k4 9.7 :.5 [ k k k k4] % ε *.64%.677 ucto []rk4s,a,b,u, ta::b; legtt; [t u]; or :- keval,t,u; keval,t/,u*k/; keval,t/,u*k/; k4eval,t,u*k; uu/6*k*k*kk4; [ ;t u]; ed >> le'4*ep.8*-.5*','',' ' >> []rk4s,,,,.5 4. Cosdere el sguete crcuto eléctrco: La ecuacó derecal para este crcuto eléctrco es el sguete: d L R dt e t dt C Dado que la carga eléctrca está deda como q dt la ecuacó se puede escrbr: d q dq L R q e t dt dt C Determe el valor de la carga q e t [ ] co., para el caso R,L.5, C, et.5 q q q, co q, q Solucó E ua ecuacó derecal de segudo orde el prmer paso es su trasormacó e u sstema de dos ecuacoes de er. Orde. Por tal razó acemos u q Cálculo Numérco 8

84 u u u u ' ' u u u E MATLAB % u.m ucto [u_dot]ut,u uu; uu; u; -*u -*u; u_dot[ ]; a Solucó Medate Euler para sstemas:» []eulerp'u',,,[ ], b Solucó medate Ruge-Kutta 4 para sstemas:» []rk4s'u',,,[ ], c Medate la ucó ode45 del MATLAB: Cálculo Numérco 84

85 % u.m ucto [u_dot]ut,u u_dot[u; -*u-*u]; % prueba ode.m % [T, Y]ode45'u',[To T],[o o] [T, Y]ode45'u',[ ],[ ] plott,y:,,'-',t,y:,,'--' ttle'soluco medate ode45' label't' label'y' leged'',''.5. Soluco medate ode45.5. Y T d Solucó medate matemátcas smbólcas: Ecuacó smple» dsolve'd*t*' C*ept^» dsolve'd*t*','' /ep*ept^ Ecuacó de orde superor» dsolve'd*d*','','d','' Cálculo Numérco 85

86 /-/*ep-*s-/*ep-*cos» :.:;» subs, % Substtue valores» plot, Para u sstema % test.m [,]dsolve'd,d-*-*','','' % % /ep-t*-/*cost-/*st % % ep-t*st tt:.: subs,tt % subs,tt % plottt,,tt, 5. U móvl que está e el puto, se drge al puto, sgue la traectora: ' ".5 a Aprome medate el método del dsparo, co Euler. Use.5 co ua toleraca de -4. Sol.5 " ' C.F. : a a b b z.5 z' " Algortmo de Euler s o s z,, z z s o Cálculo Numérco 86

87 Iterpolado s s s b Cuál es la dstaca d recorrda por el móvl? ' d d d.5 T*.5* 5 *sum : Cosdere el sguete Problema de Valores de Cotoro: u u ;, u u Cosdere ua partcó regular e el tervalo [,] co u espacameto.5. Obteer ua solucó apromada para el problema de valor rotera usado el método de las derecas cetrales. Solucó: u u u u u u u u.5 N-/ N4 N,, - - /-.5 -/ Solucó Cálculo Numérco 87

88 Programa e MATLAB % p.m ucto pt ; % q.m ucto qt ; % r.m ucto rt t*t-; % trss.m ucto X trssa,d,c,b % % Soluco del sstema trdagoal % Etradas % A vector sub dagoal % D vector dagoal % C vector super dagoal % B vector del lado dereco % Salda % X vector soluco % legtb; or k :, mult Ak-/Dk-; Dk Dk - mult*ck-; Bk Bk - mult*bk-; ed X B/D; or k -:-:, Xk Bk - Ck*Xk/Dk; ed % d.m ucto [T,X] dp,q,r,a,b,alpa,beta, % % Soluco del problema de valor de rotera usado % derecas tas % t pt tqttrt % a alpa, b beta % Etradas % p,q,r Nombres de las ucoes % a,b Lmtes del tervalo [a,b] % alpa Valor rotera zquerdo % beta Valor rotera dereco % umero de pasos % Salda Cálculo Numérco 88

89 % T Vector de abscsas % X Vector de ordeadas % T zeros,; X zeros,-; Va zeros,-; Vb zeros,-; Vc zeros,-; Vd zeros,-; b - a/; or j:-, Vtj a *j; ed or j:-, Vbj -^*evalr,vtj; ed Vb Vb /*evalp,vt*alpa; Vb- Vb- - /*evalp,vt-*beta; or j:-, Vdj ^*evalq,vtj; ed or j:-, Vaj - - /*evalp,vtj; ed or j:-, Vcj - /*evalp,vtj; ed X trssva,vd,vc,vb; T [a,vt,b]; X [alpa,x,beta];» [T,X] d'p','q','r',,,,,4 T X Metodo del dsparo El problema de valor rotera se reduce a uo de valor cal, es u metodo de prueba error dode se tateado la pedete e el puto cal. % Dsparo.m % "-'- %. %.5.8 %.,.,b.5,b.8 SB-/b- rk4s'u',,.5,[. S],. S6, plot:,,:,, grd, old o SSB-S/b- rk4s'u',,.5,[. S],. S6, plot:,,:,, grd SSS-S*B-S/S-S Cálculo Numérco 89

90 rk4s'u',,.5,[. S],. S6, plot:,,:,, grd errabss-b old o % %. % b.5 % B.8 % S.66 % %..66 % % % % % % % S.887 % S.547 % % %..547 % % % % % % % S.99 % S.59 % % %..59 %..8.6 % % % % % S.8 % err 5.55e-7 5. Ejerccos Propuestos. Sea el problema de codcó cal ' t Cálculo Numérco 9

91 Use el método de Talor de orde para determar el valor apromado de, co tamaño de paso.5. Justque cada paso. Probar que la ucó t, t es Lpsctzaa, co respecto a la varable, e el cojuto: D { t, R / t ; 4}. Cosdere la ecuacó derecal '' 4t' co codcoes cales, ' co., utlce el método de Euler para apromar. e. 4. Sea la ecuacó de Blasus:, obteer. usado Co las codcoes cales: Euler co d 5 5. Para la EDO : e, 7, ecuetre la costate L de Lpsctz del d teorema de esteca ucdad de la EDO. L.. 6. Cosdere la ecuacó derecal '' 4t' co codcoes cales, ' co., utlce el método de Euler para apromar. e.. 7. Cosdere el problema de valor cal ' a Muestre que ta es solucó eacta del problema dado b Obteer ua apromacó para. usado Ruge Kutta de orde co. Cálculo Numérco 9

92 Curso Cálculo Numérco Códgo : MB55 Tema Dervadas Parcales Practca 9 Proesores Castro Salguero, Robert Garrdo Juárez, Rosa Patoja Caruavlca, Hermes. Objetvos Estudar aplcar los métodos para resolver umércamete ecuacoes e dervadas parcales.. Fudameto Teórco Ua ecuacó derecal parcal EDP puede ser escrta e orma geeral φ φ φ φ φ a b c d e φ g dode a,b,c,d,e, g puede ser ucoes de varables depedetes e, també de varables depedetes φ, e ua regó R del plao cartesao. Las EDPs puede ser clascadas e elíptcas, parabólcas o perbólca, s b 4ac <, la ecuacó es llamada Elíptca. s b 4ac, la ecuacó es llamada Parabólca. s b 4ac >, la ecuacó es llamada Hperbólca. Dscretzacó: EDP EDF Métodos eplíctos o Secllos o Iestables Métodos mplíctos o Más complejos o Estables. EDPs Elíptcas Podemos ctar a la ecuacó de Posso φ φ g, o de Laplace φ φ.. Método Eplcto Para la ecuacó apromaremos la seguda dervada a través de la ormula de dereca ta cetral Cálculo Numérco 9

93 ,,,,,, k u u u u u u u u j j j j j j dode e k so los espacametos e las dreccoes de e, respectvamete. Reemplazado e, obteemos,,,,,,, g k u u u u u u j j j j j j Estas ecuacoes, co las codcoes de rotera da u sstema leal co -m- cógtas. Este sstema podría ser resuelto por elmacó Gaussaa u otros métodos drectos o métodos teratvos como Gauss-Sedel. Las codcoes de borde o de rotera debe estar especcadas para que esta ua solucó úca. Especcar el valor de la ucó e el borde es la orma más smple se la cooce como codcó de rotera de Drclet o codcó orzada.. EDPs Parabólcas Sea la ecuacó udmesoal: t U U.. Método Eplcto Para la seguda dervada respecto de la varable, podemos acerla co ua dereca dvdda cetral co ua apromacó de segudo orde:,,, u u u u j j j ua dereca dvdda ta aca delate para apromar a la dervada e el tempo: k u u t u j j,, Susttuedo estas apromacoes: k u u u u u j j j j j,,,,, Despejado: El cual os da la temperatura U e cada puto j e -ésmo tempo. Note que los putos dscretos so j j t k. EDPs Hperbólcas La ecuacó a tratar e esta oportudad es la ecuacó de la oda udmesoal, cua epresó es:, > < < t L t u c u Cálculo Numérco 9

94 Codcoes Icales u, u t, g Codcoes de Cotoro u,t lt ul,t rt.. Método Eplcto u u u c u u u,,,,, k j j j j j, j Codcoes cales u, u, - u,- kg Paso º u, α - / -α kg Pasos sguetes u,j- α u,j u -,j - α u,j - u,j- Covergeca α <. Istruccoes báscas e Matlab % u, ucto ; % u,b ucto *; % u, ucto ; % ua, 4 ucto 4 *; ucto U drc,,,4,a,b,,tol,ma %DIRICH Drclet soluto to Laplace's equato. % Sample call % U drc'','','','4',a,b,,tol,ma % Iputs % ame o a boudar ucto % ame o a boudar ucto % ame o a boudar ucto % 4 ame o a boudar ucto % a wdt o terval [ a]: <<a % b wdt o terval [ b]: <<b % step sze % tol covergece tolerace % ma mamum umber o teratos % Retur Cálculo Numérco 94

95 % U soluto: matr a/; m b/; ave a*eval,eval,... b*eval,eval4,/*a*b; U ave*oes,m; or j:m, U,j eval,*j-; U,j eval4,*j-; ed or :, U, eval,*-; U,m eval,*-; ed U, U, U,/; U,m U,m- U,m/; U, U-, U,/; U,m U-,m U,m-/; w 4/sqrt4-cosp/-cosp/m-^; err ; ct ; wle err>tol&ct<ma err ; or j:m-, or :-, rel w*u,ju,j-u,j U-,j-4*U,j/4; U,j U,j rel; err<absrel, errabsrel; ed ed ed ct ct; ed >>U drc'','','','4',.5,.5,.5,e-6, U Cálculo Numérco 95

96 4. Parte práctca Ejemplo : Ua placa de cm de lado tee sus borde matedos a las temperaturas mostradas e la gura. Se desea saber la dstrbucó de temperatura e el teror de la placa. Se escogerá u espacameto de 4cm. La ecuacó de trasereca de calor e estado estacoaro se reduce a Laplace u u. Platee el sstema leal e los odos peddos. Solucó Sstema u u u R u P P P P P u u P u P Nodo P P P -4 P Nodo P P P -4 P Nodo P P P -4 P Nodo P P P -4 P P P P P Ejemplo : Resolver el sguete EDP u tt c²u, < < L, t > c, LT4, 4, t 8, u, - u t, u,t ul,t Cálculo Numérco 96