CONDICIONAMIENTO DE LA REFERENCIA EN CONTROLADORES PID VÍA MODOS DESLIZANTES DE ORDEN SUPEIOR

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1 Memoras del XVI Congreso Latnoamercano de Control Automátco, CLCA 1 Octubre 1-17, 1. Cancún, Quntana Roo, Méxco CONDICIONAMIENTO DE LA REFERENCIA EN CONTROLADORES PID VÍA MODOS DESLIZANTES DE ORDEN SUPEIOR Rcardo J. Mantz* 1, Pablo E. Troncoso* *LEICI, FI, Unversdad Naconal de La Plata, CC91, 19 La Plata, Argentna. Phone UNLP. Comsón de Investgacones Centífcas (CICBA). mantz@ng.unl.edu.ar. - UNLP. CONICET. troncosoablo8@yahoo.com.ar Resumen: El trabajo trata sobre la onderacón de la referenca en controladores PID de dos grados de lbertad (dof/pi_d). Se roone un método de onderacón dnámco ara sobrellevar las lmtacones que suelen resentar dchos controladores en rocesos comlejos y/o no-lneales. La rouesta se sustenta en el contexto de los algortmos de modos deslzantes de orden sueror (MDOS), en artcular a artr de concetos de algortmos suer-twstng de robada efcenca y fácl mlementacón. La sntonía rouesta ermte asgnar una dnámca lneal al segumento mas allá de las característcas no-lneales del roceso y de la amltud de los set onts. La sntonía rouesta, otencalmente, ermte reservar roedades que estos controladores resentan en los sstemas lneales. Keywords: PID, Controladores de dos grados de lbertad, modos deslzantes de orden sueror. 1. INTRODUCCIÓN Mas allá de la madurez teórca que se observa en el área del control de sstemas, los controladores PID sguen sendo referdos en el ámbto ndustral en un orcentaje sueror al 9% (Vlanova y Vsol, 1). Sn embargo, más allá de su oulardad, los ocos arámetros de ajuste del controlador PID restrngen su desemeño cuando es necesaro cumlr con más de una esecfcacón en forma smultánea. En muchos roblemas, esta lmtacón se uede sobrellevar comlementando estrategas de control PID con accones de control feedforward. Esta combnacón ha dado lugar a los denomnados controladores con dos grados de lbertad que ueden resentar dstntas arqutecturas (Arak y Taguch, 3). Un caso artcular es el controlador PID con referenca onderada (Arak, 1988). Este controlador, que reseta la sencllez de la estructura de los controladores PID tradconales, ncorora grados de lbertad ara cumlr smultáneamente esecfcacones de segumento y regulacón. Para su sntonía se emlean, cas en forma excluyente, los métodos conocdos como de dos asos : en el rmero se sntonzan las ganancas del controlador PID convenconal ara cumlr las esecfcacones de regulacón y en el segundo se ajustan los esos de la referenca ara obtener una resuesta de segumento adecuada (Astrom y Hagglund, 6). A dferenca del rmer aso, ara el cual se han desarrollado numerosos métodos de sntonía, ara el segundo aso los ajustes de los esos suelen basarse en consderacones emírcas. En este contexto, es una ráctca acetada forzar el eso corresondente a la accón ntegral a 1 (en base a consderacones de error estaconaro) mentras que el eso de la arte dervatva se suele fjar en cero ara evtar los efectos de la denomnada atada dervatva. En este caso, el controlador resultante con un sólo eso de la referenca (corresondente a la accón de control roorconal), es conocda como dof/pi_d. En general, y dado que la sntonía suele tener un alto comonente emírco, se emlean esos constantes ara la onderacón de la referenca. Sn embargo, deendendo de la comlejdad del roceso, el emleo de valores constantes uede resentar fuertes lmtacones (Vsol, 6). Esto ha motvado a algunos autores a rooner esos dnámcos que, a costa de 53

2 CLCA 1 Octubre 1-17, 1. Cancún, Quntana Roo, Méxco una comlejdad adconal, demuestran un desemeño sueror (Hung y Cao, 1996; Mud and Dey, 13). Son muestras de esto, entre otros, los métodos de ajuste dnámcos de Dey et al. (6), y Vsol (1999) que emlean concetos de lógca dfusa ara sstemas SISO y de Banch et al. (8) que emlea concetos de LPV ara sstemas MIMO. En esta línea, el resente trabajo resenta y evalúa un método de onderacón dnámca de la referenca de controladores dof/pi_d ara rocesos nolneales basado en concetos de regímenes deslzantes de orden sueror (MDOS) que garantza una dnámca lneal de orden reducdo en la resuesta del segumento. El msmo reduce la comlejdad en el análss roa de los sstemas no lneales, ermtendo smlfcar tanto el dseño como la mlementacón de los esos del dof/pi_d. Por otra arte, el ajuste dnámco de los esos aorta flexbldad ara el arovechamento de la accón de control, hecho que otencalmente reserva las roedades ARW que resentan estos controladores en rocesos smles (Puleston y Mantz, 1993). El trabajo se estructura de la sguente forma. En la seccón se ntroduce el roblema, se mencona una rmer aroxmacón basada de MD de rmer orden, se resenta la estructura rouesta ara el dof/pi_d con esos dnámcos y se alcan concetos de MDOS ara la sntonía de dchos esos, garantzando así smlcdad, elmnacón de chatterng sobre el actuador y temo fnto ara la nmersón de la dnámca de segumento en la revamente esecfcada. En la seccón 3 se evalúan las roedades de la rouesta sobre un ejemlo no lneal y fnalmente se resentan las conclusones.. PONDERACIÓN DINÁMICA DE LA REFERENCIA EN CONTROLADORES DOF/PI_D..1 Concetos generales de la rouesta Consdérese el sstema no lneal, x f ( x, u ) y h( x ), (1) n sendo x R sus varables de estado y u la accón de control que rovene de un controlador dof/pi_d k k dy d u k ( ) ( ) r y r y dt () k k dt donde r =r.b (t) y r =r.b (t) son las referencas onderadas ara el error roorconal e ntegral con sus resectvos esos b (t) y b (t). A su vez, k, k y k d, son las ganancas roorconal, ntegral y dervatva resectvamente, las cuales se sntonzan ara el adecuado rechazo de erturbacones en la vecndad de y=r. Es mortante notar que a dferenca del roceder convenconal en que se fja el eso b constante e gual a 1, aquí se lo ha dejado exlíctamente como varable de ajuste. S ben los coefcentes de eso ueden ser mlementados a través de ganancas varables, en este trabajo se roone hacerlo a artr de la adcón de señales w (t) y w (t) sobre la referenca a onderar, k k dy d u k ( ) ( ) r w y r w y dt k k dt donde or comaracón de las ecuacones () y (3) resulta la sguente equvalenca entre los esos de la referenca y las señales adconadas w (t) y w (t) r w () t r w () t b () t b () t. () r r La mlementacón de los esos b(t) acorde a las ecuacones (5) guarda smltud con las técncas de condconamento de la referenca que han sdo utlzadas ara resolver roblemas de wndu, acolamento de varables, bum, transtoros en control gan schedullng, etc. (Hanus y Knnaert, 1989). En artcular, la mlementacón de estas técncas a través de regímenes deslzantes ha mostrado roedades de erformance robusta atas ara numerosas alcacones de control con restrccones (Garel et al., 11). Como fue comentado, el objetvo del resente trabajo es obtener una sntonía dnámca de los esos b, (t), que ermta alcanzar una resuesta de segumento ndeendente tanto de las característcas no lneales del sstema como de la sntonía de las ganancas k, k y k d que se calculan ara garantzar el adecuado rechazo de las erturbacones 1. Con este fn se consdera 1) una dnámca deseada ara el segumento, or ractcdad, lneal y de orden reducdo ( m) ( m1) (1) h ( x) a h ( x)... a h ( x ) a h ( x ) a r (5) m 1 1 ( ) donde d h( x) h ( x) grad ( h( x)). f reresenta la dervada lc dt _ésma de la varable controlada en la dreccón del camo vectoral de lazo cerrado f cl y a son los coefcentes que defnen la dnámca lneal buscada; ) una funcón ( x) que refleje de algún modo un aartamento entre la dnámca real del sstema y la dnámca deseada ara el segumento. S ben ( x) uede defnrse de dferentes formas (de hecho uede consderarse como un grado de lbertad adconal en el dseño rouesto), sn érdda de generaldad, será elegda como 1 Es mortante resaltar que no es objetvo de este trabajo el ajuste de las ganancas del PID (tema extensamente tratado en la lteratura). (3) 535

3 CLCA 1 Octubre 1-17, 1. Cancún, Quntana Roo, Méxco ( m) ( m1) (1) ( x) h ( x) a h ( x)... a h ( x) a h( x) a r (6) m 1 1 Luego el roblema consste en ajustar los coefcentes de eso del dof/pi_d ara garantzar una ráda convergenca de ( x) a cero y así obtener la dnámca de segumento deseada ( m) ( m1) (1) h ( x) a h ( x)... a h ( x) a h( x) a r (7) m 1 1 es decr a la dnámca esecfcada en (5).. Prmer aroxmacón. Ajuste basado en modos deslzantes de rmer orden. En el marco revo, uede forzarse la convergenca de ξ y sus -1 dervadas a cero con velocdad restablecda a artr de un régmen deslzante sobre la suerfce.3 Prouesta de ajuste basado en modos deslzantes de orden sueror. A contnuacón se dscute una smle modfcacón del controlador dof/pi_d con esos dnámcos que ncluye en forma natural el fltrado de la accón dscontnua evtando el chatterng en el actuador sn necesdad de nclur un fltro ad hoc en la referenca esada y que a su vez garantza un temo fnto de convergenca a la dnámca esecfcada ara el segumento. La Fg. 1 muestra la arqutectura rouesta ara el dof/pi_d. Como fuera comentado, a dferenca de los controladores dof/pid convenconales, se ha ncludo una accón w que, de acuerdo a las ecuacones ()-(), ermte onderar la referenca en la accón ntegral. S ben b (t) resulta dscontnua, su efecto sobre el control u (tenendo en cuenta la accón ntegral) odría asmlarse al de una b -eq (t) contnua ( ) k k k... k (8) y una accón dscontnua ara la onderacón de la referenca w w s ( ),, w w s ( ),, (9) donde los coefcentes k defnen la velocdad de convergenca (Shtessel et al., 1), es el grado relatvo de ξ con resecto a la accón dscontnua, el cual queda defndo una vez elegda la dnámca deseada ara el segumento. Así, la dervada de (ξ) deende de la accón dscontnua cumlendo la condcón necesara ara que ueda establecerse un régmen deslzante sobre (ξ)=. Una nterretacón, concetualmente útl del roceder revo uede realzarse en el marco teórco conocdo como I&I, e.d. una flexblzacón de los concetos tradconales de nmersón de sstemas e nvaranca de varedades, rouesta or Astolf y Ortega (3). Según ésta, el régmen deslzante de rmer orden sobre (ξ) fuerza la nmersón asntótca de la dnámca del sstema real en la de un sstema de orden nferor (la corresondente a la deseada ara el segumento) la cual es consderada nvarante en el sentdo de la teoría de I&I. (Mantz, 1) En el roceder revo (e.d. forzando un régmen deslzante de rmer orden sobre ()) es osble alcanzar la dnámca deseada sn mayores restrccones y sn chatterng sobre la varable controlada h(t). Sn embargo, en controladores PID, la accón dscontnua sobre la referenca (o un fltro de la referenca) odría roagarse como chatterng a través de la gananca roorconal haca el actuador de otenca. Esto odría ser un lmtante en algunas alcacones con actuadores mecáncos o hdráulcos. Fg.1. Controlador dof/pi_d y ajuste rouesto. Las accones de condconamento rouestas ara (3) son w s sgn( ) s s sgn( ) s s (1) w s sgn( ) sendo en esta rouesta, y, y s arámetros de dseño. Note que oeracones algebracas smles ermten lantear la arqutectura reva en el contexto de un algortmo de modo deslzante de orden sueror conocdo como suer twstng ST (Frdman and Levant, ) sobre la referenca r, hecho que odría nterretarse como un condconamento de la referenca a artr de un MDOS. Sn embargo, la mlementacón a través de la arqutectura de la Fg. 1, a mas de resentar algunas ventajas desde el unto de vsta de la mlementacón (como evtar dulcacón de comonentes), es concetualmente nteresante en el sentdo que rome con la convencón tácta de que el eso del setont ntegral debe ser 1. Por consguente abre la osbldad a lantear otros algortmos, que excedendo la rouesta actual, ermtan 536

4 CLCA 1 Octubre 1-17, 1. Cancún, Quntana Roo, Méxco arovechar con mayor otencaldad los grados de lbertad de los controladores dof/pid ara cumlr con más de una esecfcacón. De acuerdo a la equvalenca comentada con resecto a algortmos ST, uede elegrse en el ntervalo (;.5] con el fn de que las trayectoras del sstema controlado converjan al orgen del lano (, ) en temo fnto. Sn embargo, el valor =,5 ha demostrado ser la mejor ocón ara el caso no deal (Frdman y Levant, ). Luego, las condcones sufcentes de convergenca en temo fnto y oeracón en MDOS son C m ( C ) M m (11) donde C, m y M son cotas que verfcan la nclusón dferencal C, C, u (1) m M Arovechando las característcas de los MDOS, en artcular del ST, uede garantzarse la nmersón de la dnámca real del sstema en la deseada en temo fnto s ésta es elegda de grado relatvo 1. Esto hablta a consderar como funcón restrccón drectamente a ξ, es decr ( m) ( m1) (1) ( x) h ( x) a h ( x)... a h ( x) a h( x) a r (13) m 1 1 donde m es elegda ara que ξ sea de grado relatvo 1 con resecto a la señal condconante w (t). Así al lantear un MDOS se asegura la convergenca de ξ y su dervada a cero en temo fnto, e.d. a la dnámca deseada sn chatterng sobre el actuador. Como en todo régmen MDOS, las ncertdumbres ueden afetar las ganancas y (a través de la nclusón dferencal (1)), y or consguente el temo en de establecmento. En este sentdo la dnámca elegda debería ser domnante frente a la del modo alcance, garantzando así que el temo de establecmento sea chco frente al transtoro. 3. EJEMPLO Consdere el modelo smlfcado de un control de temeratura de un sstema de laboratoro ara testear roedades térmcas de materales,1 x x x u y 1 x 1 x, (1) donde x 1 es la temeratura de la muestra, x > es la tensón alcada al calefactor eléctrco y u> la accón de control alcada sobre la fuente de otenca con salda x. Consdere tambén un controlador dof/pi_d, donde las ganancas k =1.31, k =17.76 y k d =.89 han sdo sntonzadas ara regulacón con un modelo lnealzado en la vecndad del estado de equlbro corresondente a r=,75. Para las ganancas ctadas, la resuesta a erturbacones resenta una característca róxma a la conocda como quarter decay, la cual es consderada adecuada ara muchos rocesos convenconales (de todas maneras, es mortante tener resente que la rouesta del resente trabajo es ndeendente de la sntonía de las ganancas k, k y k d del PI_D ara regulacón). En la Fg. se muestra el desemeño del sstema frente a dstntas exctacones (dos cambos del setont (,6 y,75) y una erturbacón constante) cuando se emlean valores constantes ara los esos del dof/pi_d. Concretamente se muestran las resuestas ara coefcentes constantes b =1 (caso convenconal) y b =1,,75 y,5. La dferenca que se observa en las resuestas ara los dstntos valores del setont (a artr de t= y t=55s), no solo es debda a las característcas nolneales del roceso sno tambén a que en el rmer cambo de setont ntervene la restrccón en el control (u ) dando lugar a un mortante wndu. La arte b de la fgura, muestra la corresondente accón de control. Las curvas onen en evdenca las restrccones del controlador dof/pi_d con coefcentes de onderacón constante en sstemas nolneales como el del resente ejemlo ara sobrellevar el comromso entre las resuestas de regulacón y segumento, efectvamente la reduccón de b ara ateunar el sobreaso de la varable controlada conlleva una notora degradacón del temo de establecmento. Las curvas tambén muestran que no semre es osble reservar las habldades que resentan los controladores de dos grados de lbertad en sstemas lneales ara sobrellevar roblemas como wndu sn emlear accones adconales de correccón. (Puleston y Mantz, 1993) Consdérese ahora la rouesta de onderacón varable enuncada en la seccón reva. A artr de las ec. (13) y de la restrccón que mone la analogía con el algortmo ST (e.d. que la señal ξ sea de grado relatvo uno con resecto a w y dos con resecto a w ) surge que debe selecconarse una dnámca de rmer orden ara el segumento, e.d. m=1. Luego, se elge ( x) h( x) a h( x) a r (15) donde 1/a es la constante de temo de la dnámca deseada, que se elje en 5seg. La Fg. 3a muestra la resuesta de segumento acorde a la mlementacón de la Fg. 1 a las msmas exctacones que en la Fg., verfcándose desde el unto de vsta ráctco, la esecfcacón muesta ndeendentemente del setont y de las nolnealdades del roceso. En artcular se observa que el ajuste dnámco ermte obtener menor temo de establecmento que los que se obtendrían con valores constantes. Tambén, en la Fg. 3, se observa que el 537

5 CLCA 1 Octubre 1-17, 1. Cancún, Quntana Roo, Méxco acondconamento dnámco de la referenca ermte arovechar mejor los grados de lbertad del dof/pi_d ara evtar el wndu sn agregar correccones adconales (notar que, a los efectos de la comaracón, las curvas tanto con esos constantes como dnámcos han sdo obtendas sn ncororar algortmos ARW adconales). Esto es osble orque a través de la eleccón de la dínamca de segumento uede lmtarse su dervada cuando se roduce el cambo del set ont. Así, la varable de ajuste aquí está en relacón con la dnámca selecconada ara el segumento. Efectvamente, en la arte b de esta fgura se areca que la accón de control es sustancalmente menor sn ncursonar en las restrccones del actuador. Además se areca que el chatterng en u es desrecable. Las Fg. a y b muestran la evolucón dnámca de los esos de onderacón del setont ara los errores roorconal e ntegral que aseguran la dnámca deseada, verfcándose que el valor de estado estaconaro de b (t) es b _ss =1, condcón necesara ara evtar el error de estado estaconaro. La Fg. c muestra la extncón de la funcón elegda ara defnr la dscreanca entre la dnámca del sstema y la dnámca de segumento deseada, verfcándose que ésta queda nmersa en la de un sstema de orden nferor al sstema orgnal. Esto sucede en un temo fnto t=,9seg. Efectvamente a artr de este temo la resuesta del sstema orgnal es efectvamente la deseada. En el caso de sufrr varacones en los arámetros del sstema, la nclusón dferencal se vería modfcada en las cotas. Por ejemlo, consderando varacones en el rango [.1;.6] el arámetro que acomaña a x, la equacón (1) se modfca de 5; 5.1;.7 a.5;.5.1;.. De este modo, las constantes y se ven afectadas. Así elgendo la nclusón más conservadora que, en este caso, corresonde al límte nferor de la varacón en el arámetro, las constantes se elgeron son: 36k y 1.6 k. En la arte d de la fgura se observa en el lano (, ) que smultáneamente con ξ se anula su dervada en el temo fnto t=.9seg, lo cual garantza tanto que dnámca de segumento converge a la deseada como que el chatterng sobre u sea desrecable.. CONCLUSIONES Pese a la gran acetacón de los controladores dof/pi_d, es relatvamente escasa la nformacón referda al ajuste de sus esos ara el control de rocesos no-lneales. En térmnos generales, el uso de coefcentes de onderacón constantes ara estos rocesos suelen evdencar restrccones ara resolver comromsos entre el rechazo a erturbacones y resuestas de segumento con bajos sobreasos y/o temos de establecmentos reducdos. Tambén en el control de rocesos comlejos, los controladores dof/pi_d con esos fjos erden algunas de las roedades que le han ermtdo ganar oulardad en el ambente ndustral como es la relacón revsble de los esos sobre la resuesta transtora y or consguente la osbldad de emlear métodos emírcos ara la sntonía, la erdda de roedades ant-wndu, etc.. El emleo de esos varables otencalmente ermte extender las bondades de u(t) y(t) b [,5 ;,75 ; 1] b [,5 ;,75 ; 1] Fg.. Varables controlada y de control ara dstntos esos constantes del dof/pi_d. b =(,5;,75;1) y b =1 de acuerdo al caso convenconal u(t) y(t) ara esos b y b varables Fg. 3. Varables controlada y de control ara ajuste dnámco de los esos b y b del dof/pi_d b(t) b(t) romedada der d) c) 1 der Fg.. a) ajuste dnámco de b (t); b) ajuste dnámco de b (t); c) evolucón de la funcón ; d) dervada de y d) trayectora en el esaco (, ). a) b) e) 538

6 CLCA 1 Octubre 1-17, 1. Cancún, Quntana Roo, Méxco estos controladores a rocesos más comlejos. En este marco, el trabajo ha resentado una técnca ara la auto sntonía de los esos varables que resenta una mlementacón smle, comatble con la arqutectura del dof/pi_d, y teórcamente sustentada a artr de algortmos MDOS amlamente estudados y acetados. La rouesta, evta exlíctamente la convencón de consderar el eso ara el set-ont de la referenca ntegral gual a uno, trasladando esta restrccón sólo a su valor en estado estaconaro. La sntonía rouesta ermte asgnar una dnámca de orden reducdo ara el segumento, mas allá de las no-lnealdades que resenta el roceso a controlar. Esto es osble con accones de control más acotadas que las corresondentes al caso de eso constante utlzando esecfcacones de dseño smlares. Adconalmente, la rouesta garantza reducdo chatterng sobre al actuador debdo a las característcas del algortmo de MDOS usado en la mlementacón. Las roedades son evaluadas con un ejemlo que tambén muestra la caacdad del algortmo ara reducr (o evtar) los resgos de wndu. Agradecmentos. Este trabajo fue subsdado or CICBA, ANPCyT, CONICET y UNLP. REFERENCIAS Arak M. (1988), Two degree-of-freedom PID controller. Syst., Cont. and Informaton Arak M., Taguch H. (3). Two-Degree-of-Freedom PID Controllers. Int. J. of Control, Automaton, and Systems., Astolf A., Ortega R. (3). Immerson and nvarance: a new tool for stablzaton and adatve control of nonlnear systems. IEEE Trans. on Automatc Control., Åström, K., Hagglund, T. (6). Advanced PID control. ISA. Research Trangle Park, USA. Banch, F., Mantz, R. and Chrstansen, C. (8). Multvarable PID control wth set-ont weghtng va BMI otmsaton. Automatca., Dey, C., Mud, R., Lee, T. (6). A PID controller wth dynamc set-ont weghtng. In Proc. of IEEE Int. Conf. on Ind. Tech., Frdman, L., A. Levant (). Hgher Order Sldng Modes. Chater 3 n Sldng Mode Control n Engneerng, Marcel Dekker. Garell F., Mantz R.J., De Battsta H. (11). Advanced Control for Constraned Processes and Systems. A unfed and ractcal aroach. IET, Control Engneerng Seres. London, UK. Hang, C., Cao, L. (1996). Imrovement of transent resonse by means of varable set ont weghtng. IEEE Trans. on Ind. Elect., Hanus R.; Knnaert M. (1989). Control of constraned multvarable systems usng the condtonng technque, n: Proc. of the Amercan Control Conference, Pttsburgh, Mantz R. (1). A PI Controller wth Dynamc Set-Pont Weghtng for Nonlnear Processes. IFAC Conference on Advances n PID Control. PID'1. Bresca. Mud R., Dey Ch. (11). Performance Imrovement of PI Controllers through Dynamc Setont Weghtng. ISA Trans.. 5, -3. O Dwyer, A. (6). Handbook of PI and PID controller tunng rules. Imeral College Press. London, UK. Puleston P. F., Mantz R.J. (1993). Proortonal lus Integral MIMO Controller for Regulaton and Trackng wth Ant- Wnd-U Features. Ind. Eng. Chem. Res. 1993,3, Vlanova R., Vsol A. (1). PID Control n the Thrd Mllennum. Lessons Learned and New Aroaches. Srnger-Verlag London Lmted 1. Vsol A. (1999). Fuzzy logc based set-ont weght tunng of PID controllers. IEEE Trans. On System, Man and Cybernetcs. 9, Vsol A., Practcal PID Control. Srnger Verlag. London 6. Shtessel Y. Edwards, Ch., Frdman L., Levant A. (1). Sldng Mode Control and Observaton. Srnger. New York. 539