Controlador MIMO Basado en Identificación Neuro-Difusa

Transcripción

1 Unversdad de Concecón Facultad de Ingenería Deartamento de Ingenería Eléctrca Profesor Patrocnante: Sr. Juan Pablo Segova V. Controlador MIMO Basado en Identfcacón Neuro-Dfusa Carlos Roberto Bahamonde Rees Informe de Memora de Título Para otar al título de Ingenero Cvl Electrónco Concecón, Setembre del 006

2 A m famla

3 Agradecmentos En rmer lugar quero dar gracas a Dos or haberme ermtdo llegar a esta nstanca de m carrera, or darme la salud fuerza necesara ara salr adelante en los momentos dfícles. Tambén quero agradecer a todas las ersonas que fueron artces de este roceso en dversas formas, a sea en el aoo moral, económco o humano, todos ellos aortaron con su grano de arena, Padre, tíos, amgos, famla en general. Gracas al rofesor Juan Pablo Segova or creer en m, or su acenca buena voluntad ara audarme a resolver los obstáculos que se resentaron en este trabajo. Quero destacar además la buena dsoscón ara martr conocmentos or arte de rofesores como Danel Sbárbaro, José Esnoza, Hans Rautenberg, entre otros. Tambén quero dar gracas a don Patrco Orellana or su nmensa buena voluntad su gran dsoscón ara audar. A los grandes amgos que hce en m vda unverstara que semre me audaron en los estudos desnteresadamente, brndándome su honesta amstad, ellos saben quenes son. Fnalmente quero agradecer a las tres ersonas que fueron fundamentales en m carrera, m madre Glads, ms abuelos adres Hernán Nlda, sn ellos nada de esto hubera sdo osble, gracas or el enorme amor que me han entregado.

4 Resumen En esta memora se roone el estudo de técncas de modelacón control basadas en lógca dfusa del to Taag-Sugeno, ara sstemas no lneales multvarables en artcular la dentfcacón de un sstema TITO Two nut-two outut no-lneal. La modelacón del sstema es llevada a cabo en tres etaas. En la rmera de ellas, se utlza una entrada aleatora ara la dentfcacón del sstema la modelacón es realzada en su fase ncal con arendzaje no suervsado off-lne. En la segunda fase se excta la lanta con una entrada snusodal tambén con arendzaje off-lne. Fnalmente se alca la msma entrada snusodal ero se realza la adatacón on-lne de los arámetros se evalúa el desemeño de estas tres etaas. De las smulacones realzadas se uede arecar que la dentfcacón del modelo arroja mu buenos resultados que la modelacón en la etaa de valdacón mejora notablemente con el uso de un algortmo de dentfcacón con adatacón de los arámetros. El control neuro-dfuso es dseñado en base a controladores lneales locales, los que actúan deendendo de la zona del esaco de entrada en que se esté oerando. Estos controladores locales están basados en el modelo dfuso nverso del roceso, los arámetros tanto del antecedente como del consecuente son adatados con arendzaje suervsado, o sea onlne con el roceso. Por últmo se evalúa el desemeño del controlador neuro-dfuso en el msmo sstema rouesto ara modelacón además en una alcacón de una Planta de Searacón Gas-Líqudo. Se uede observar de las smulacones que el controlador osee una gran robustez adatacón a los cambos del sstema, además uede ldar de gran forma con el acolamento exstente entre las saldas con el alto grado de no-lnealdad que oseen estos sstemas MIMO. Esto es debdo a que el modelo tene característcas adatables a través de sus arámetros los que ermten comensar los cambos en los arámetros del sstema el efecto de las erturbacones, lo que no es osble alcanzar con técncas de control convenconales a que están ensadas ara sstemas lneales con comortamento nvarante en el temo.

5 3 Índce General Agradecmentos... Resumen... Introduccón Sstemas Neuro-Dfusos Sstemas Neuro Dfusos Ventajas de los Sstemas Neuro-Dfusos Lmtacones de los Sstemas Neuro-Dfusos Arqutectura del modelo ANFIS Sstemas de arendzaje.... Modelacón Neuro-Dfusa Introduccón a los Modelos Neuro-Dfusos Modelacón Identfcacón Dfusa Identfcacón Off-Lne del Modelo Dfuso Adatacón On-Lne del Modelo Dfuso Ejemlo de Smulacón Control Neuro Dfuso Introduccón al Control Neuro Dfuso Descrcón Matemátca del Modelo Dfuso Identfcacón Modelo Inverso del Proceso Controlador Dfuso Basado en el Modelo Inverso del Proceso Control Basado en Modelos Neuro Dfusos Locales Lneales Esquemas de Control Neuro Dfuso Basados en Modelacón Control Híbrdo Control con Modelo de Referenca... 44

6 Control Lneal o No lneal Adatvo Control Predctvo Control de Modelo Interno IMC Desarrollo Teórco del Método de Control a Imlementar Resultados Smulacón Control Planta Searacón Gas-Líqudo Descrcón del Sstema a Controlar Modelacón del Sstema Resultados Smulacón Conclusones Conclusones Comentaros de los Resultados Trabajos Futuros Bblografía A. Lógca Dfusa Redes Neuronales A.. Introduccón a los Sstemas Dfusos A.. Elementos Báscos de Sstemas Dfusos Lógca Dfusa... 7 A... Varable Lngüístca... 7 A... Conjunto Dfuso... 7 A..3. Funcones de Pertenenca FP... 7 A..4. Regla o Imlcacón Dfusa A..5. Sstemas de Inferenca Dfusa A..6. Fuzzfcacón A..7. Conocmento Base A..8. Defuzzfcacón A.3. Introduccón a las Redes Neuronales A.3.. Descrcón de las Redes Adatvas... 8 A.3.. Reglas de Arendzaje... 8 A.3.3. Comaracón de las Teorías A.3.4. Integracón de las Teorías... 84

7 5 Introduccón El desarrollo de modelos matemátcos [3], [5], [0], [4] de sstemas reales es un tóco de gran mortanca en muchas dsclnas de cencas e ngenería. Estos modelos ueden ser usados ara redccón, smulacones, análss del comortamento del sstema, mejor entendmento de los mecansmos fundamentales de un sstema, dseño de nuevos rocesos o dseño de controladores basados en modelos. Para sstemas no lneales dnámcos las técncas convenconales de modelacón, dentfcacón control son dfícles de mlementar algunas veces mractcables, esto es debdo a que están ensadas ara sstemas lneales con comortamento nvarante en el temo, los cuales se asumen comletamente conocdos cua comrensón es relatvamente senclla. No obstante, en la maoría de las nstancas ráctcas, los sstemas ha ser controlados son no lneales las lees físcas que rgen su comortamento no son de fácl comrensón, además no se osee un conocmento revo de éstos. Estos tos de ncertdumbres en los modelos son extremadamente dfícles de manejar con métodos convenconales. Sn embargo, otras técncas basadas en lógca dfusa [], [] han sdo usadas recentemente con maor frecuenca ara la modelacón de este to de rocesos comlejos. Entre los dferentes tos de métodos dfusos ara modelacón control se destaca el método de Taag-Sugeno [], [], [4], [] el cual consste en reglas del to f-then con antecedentes dfusos funcones matemátcas en la arte consecuente. El objetvo del sstema de dentfcacón es determnar tanto los arámetros no lneales de los antecedentes, como los arámetros lneales del consecuente de las reglas dfusas. Estas reglas ntentan emular las accones de control de un oerador humano frente a una determnada stuacón del roceso. La modelacón dfusa descrbe los sstemas establecendo relacones entre las varables relevantes del sstema or medo de reglas del to f-then tales como: S la válvula está aberta

8 6 entonces la resón decrecerá rádamente. A dferenca de los modelos de caja negra como redes neuronales los modelos dfusos son transarentes en su estructura ara la nterretacón análss, cuas solucones ueden ser fáclmente exlcadas a los usuaros. El uso de un controlador dfuso basado en el modelo nverso del roceso es ventajoso uesto que es mucho más fácl obtener nformacón sobre como el roceso resonde a una entrada en artcular, a que es caaz de recordar como or qué el oerador resonde a estas stuacones artculares. Es decr, recuerda los resultados obtendos en estados anterores, o en la observacón de stuacones asadas, ara que cuando se vuelva a encontrar en la msma stuacón, resonda mejor más rádamente. Esta caacdad de arendzaje es uno de los rncales atrbutos de un controlador ntelgente, lo que sgnfca que éste uede mejorar su ejecucón futura debdo a que tene nformacón que ha ganado exermentalmente en el asado. En este trabajo se roone el uso de sstemas Neuro-Dfusos ara observar su desemeño en la modelacón control de sstemas MIMO altamente no-lneales, debdo a su gran caacdad de manejar este to de sstemas con gran exacttud, efcenca relatvamente senclla comrensón. Sn embargo se debe tener en cuenta que los sstemas Neuro-Dfusos tenen algunas lmtacones dentro de las cuales se ueden menconar: Curso de dmensonaldad, a que resentan el roblema de crecmento exonencal del tamaño del modelo con resecto al número de varables que oseen, hacendo mráctco su uso ara sstemas de más de cuatro dmensones. Caldad de los datos, debdo a que ueden surgr roblemas asocados con la cantdad, dstrbucón, rudo en los datos. Conocmento revo, a que en estos sstemas es deseable tener el conocmento revo confable de un exerto en el sstema, ues de otro modo ueden exstr roblemas al no haber descrcón cualtatva del sstema. Fnalmente los algortmos de modelacón control rouestos fueron evaluados medante la smulacón de los sstemas mostrados en los caítulos 3 medante el uso del software Matlab 6.5.

9 7 Caítulo. Sstemas Neuro-Dfusos En este caítulo se destacan las ventajas de la ntegracón de la lógca Dfusa con Redes Neuronales, otencando su comlementacón dando como resultado la teoría Neuro-Dfusa, que rescata los asectos ostvos de una mejora las falencas de otra. Se menconan además las ventajas que ueden obtenerse roducto de la fusón de ambas teorías, además de sus lmtacones en artcular, se descrbe la arqutectura ANFIS. Fnalmente se menconan algunos sstemas de arendzaje con su resectva clasfcacón se abordan en detalle dos de ellos... Sstemas Neuro Dfusos Báscamente un sstema Neuro-Dfuso resulta de la ntegracón de los sstemas de Lógca Dfusa con la teoría de redes adatvas RNA. El objetvo de combnar estas teorías es oder comensar las debldades de una, con los benefco de la otra. Estos sstemas se entrenan or medo de un algortmo de arendzaje dervado de la teoría de las redes neuronales. El roceso de arendzaje no se basa en conocmento, sno en un conjunto de datos de entrenamento. Los sstemas neuro-dfusos son reresentados báscamente como una red de nferenca smlar a una red neuronal. Sn embargo los nodos en estas redes dferen de los utlzados en las redes neuronales en cuanto al to de funcón que realzan la nterretacón que se les da. Es decr, un sstema Neuro-Dfuso uede verse como una red neuronal multcaa de avance. La rmera caa reresenta las varables de entrada las funcones de ertenenca, las reglas dfusas se reresentan medante enlaces caas ocultas, la últma caa, reresenta la varable de salda. Se uede decr entonces que un sstema Neuro-Dfuso se consdera como la técnca ara ajustar a un sstema dfuso a artr de datos de entrenamento ara mejorarlo medante arendzaje a artr de ejemlos.

10 8... Ventajas de los Sstemas Neuro-Dfusos -La estructura neuro-dfusa ermte el uso de métodos cualtatvos cuanttatvos en la construccón de modelos, en la etaa de arendzaje, en la de funconamento, en la realmentacón de conocmento al usuaro, ermtendo así utlzar todo el conocmento dsonble. - Los métodos cuanttatvos se ueden observar en el arendzaje que los sstemas neuro-dfusos ueden realzar, a artr de datos del ambente, en su forma matemátca de funconamento, mentras que los métodos cualtatvos se reflejan en el sentdo lngüístco que tene la base de conocmento de los sstemas dfusos que genera una nteraccón blateral sstema-hombre, ermtendo la ntroduccón de conocmento revo al sstema la realmentacón del estado fnal del modelo en forma de reglas exresadas lngüístcamente desde el sstema al hombre. - Las otras ventajas, son las conocdas a amlamente que venen heredadas de los sstemas dfusos de las RNA, tales como nterretacón lngüístca, ntroduccón de conocmento revo, autoarendzaje, generalzacón, nterolacón, etc.... Lmtacones de los Sstemas Neuro-Dfusos -Curso de la dmensonaldad: Los sstemas dfusos resentan el roblema del crecmento exonencal del tamaño del modelo resecto al número de varables que oseen, hacendo mráctco su uso ara sstemas de más de cuatro dmensones -Caldad de los datos: Exsten roblemas asocados con la cantdad, dstrbucón rudo en los datos. S los datos están mal dstrbudos, el arendzaje uede no ser mu bueno, resentando esecalmente roblemas de generalzacón de nterolacón s faltan muchos datos en certa regón. Este nconvenente es herenca de los sstemas neuronales uede ser suerado nterolando los datos, hacendo un tratamento revo o buscando una reresentacón adecuada de los msmos. -Conocmento revo: En los sstemas neuro-dfusos es deseable tener el conocmento revo confable de un exerto en el sstema, ues de otro modo, se debe realzar un modelamento or "Fuerza Bruta" exclusvamente a través de los datos numércos emírcos exstrán roblemas al no haber descrcón cualtatva del sstema, a menos que se alquen técncas de mnería de datos descubrmento de conocmento a la base de conocmento del sstema neuro-dfuso.

11 9..3. Arqutectura del modelo ANFIS Esta arqutectura consste de un sstema híbrdo Neuro-Dfuso, el msmo que es funconalmente equvalente a mecansmo de nferenca Taag-Sugeno T-S [4]. Para un sstema de nferenca T-S de rmer orden, un conjunto de reglas dfusas SI-ENTONCES es el sguente: Regla : S x es A e es B, entonces z x q r. Regla : S x es A e es B, entonces z x q r. Donde A B son conjuntos fuzz. La fgura. resenta este mecansmo de nferenca. Los nveles de actvacón de las reglas se calculan como w A x B x, donde el oerador lógco and uede ser modelado or una T-norma contnua roducto. Las saldas ndvduales de cada regla son obtendas como una combnacón lneal entre los arámetros del antecedente de cada regla: z x q r. La salda de control del modelo z 0 se obtene or la normalzacón de los grados de actvacón de las reglas or la salda ndvdual de cada regla: z w z w z.3 0 w z w z w w Donde w w son los valores normalzados de w w con resecto a la suma w w. La red neuronal híbrda que reresenta este to de nferenca es una red adatable con 5 caas, donde cada caa reresenta una oeracón del mecansmo de nferenca dfusa. Esta red se muestra en la fgura.. En esta arqutectura, todos los nodos de una msma caa tenen la msma funcón los nodos reresentados con cuadros son nodos adatables, es decr, sus arámetros son ajustables. La estructura de la red ANFIS consste de cnco caas:

12 0 Fgura.: Sstema de nferenca Taag-Sugeno de rmer orden. Caa : Las entradas en esta caa corresonden a las entradas x e, la salda del nodo es el grado de ertenenca ara el cual la varable de entrada satsface el térmno lngüístco asocado a este nodo. O A x.4 Caa : Cada nodo calcula el grado de actvacón de la regla asocada a dcho nodo. Ambos nodos están reresentados con una T en fgura., or el hecho de que ellos ueden reresentar cualquer T-norma ara modelar la oeracón lógca and. Los nodos de esta caa son conocdos como nodos de reglas. O w A x B x.5 Caa 3: Cada nodo en esta caa está reresentado or una N en la fgura., ara ndcar la normalzacón de los grados de actvacón. La salda del nodo es el grado de actvacón normalzado con resecto a la suma de los grados de actvacón de la regla. O 3 w w.6 w w

13 Caa 4: La salda de los nodos corresonde al roducto entre el grado de actvacón normalzado or la salda ndvdual de cada regla. 4 O w z w x q r.7 Caa 5: El únco nodo de esta caa calcula la salda total del sstema agregacón como la suma de todas las entradas ndvduales de este nodo. 5 O z0 w z w z.8 Fgura.: Arqutectura ANFIS equvalente ara nferenca Taag-Sugeno de rmer orden...4. Sstemas de arendzaje El arendzaje en los sstemas neuro-dfusos se basa generalmente en el ajuste de los arámetros de los antecedentes o del consecuente de las reglas dfusas. Las funcones de ertenenca de los conjuntos dfusos son sntetzadas automátcamente or un lazo de adatacón. El ajuste uede alcarse sobre cualquer varable del sstema dfuso como lo son or ejemlo: -Conjuntos de entrada salda: Se uede modfcar su número, anchura, forma, o ajustar sus oscones ara que el sstema consga el objetvo. -Inferenca: Cambar reglas o realzar una onderacón de mortanca de las msmas.

14 Reducr la anchura en los conjuntos, se asemeja a aumentar la gananca en un controlador roorconal. El arendzaje en estos sstemas uede ser clasfcado en dos grandes gruos [7]: Identfcacón de la estructura e dentfcacón aramétrca. a Identfcacón de la estructura Este gruo de algortmos dentfca la estructura neuro-dfusa, es decr, las reglas dfusas su corresondente artcón en el esaco de entrada salda. Además exsten métodos más sofstcados ara este gruo de algortmos, sn embargo, no serán dscutdos en este trabajo. En este to de arendzaje se destacan algortmos más drectos smles como los de agruamento de datos que se han dfunddo de manera extosa en los últmos años. - Algortmos de agruacón de datos Entre las técncas más comunes ara el agruamento de datos se encuentran: método de artconamento del árbol, fuzz clusterng, enfoques de otmzacón de arámetros no lneales. En este caso se menconarán las técncas de fuzz clusterng, a que son las técncas de agruamento offlne más frecuentemente usadas en modelacón dfusa, etaa que se consdera como una herramenta reva a la sntonzacón. El agruamento artcona el conjunto de datos de entrada en un número determnado de gruos que resentan característcas artculares. Esta característca es determnada or la medda de smltud [9], la cual es deendente de los rangos de los vectores de entrada. Esta smltud uede ser entendda como una smltud matemátca, defnda en algún sentdo. Generalmente esta smltud es dada or medo de una norma dstanca. Se uede defnr un cluster entonces, como un gruo o clase de objetos que son más smlares a los de su msma clase que a los objetos de otra. Dentro de esta clasfcacón, algunos de los algortmos más destacados son: agruamento K- means K-medod, algortmo Fuzz C-means, algortmo de Gath-Geva, el algortmo de Gustafson- Kessel G-K. Frecuentemente, los métodos anterormente menconados ara la obtencón de los arámetros de las remsas dfusas fuzz clusterng, son usados solamente ara la ncalzacón del método del descenso de gradente. En esta memora se descrbrá en detalle solamente el algortmo de Gustafson-Kessel, dado a que se consderó este últmo ara la modelacón del sstema smulado en el caítulo sguente.

15 3 a b Fgura.3: Ejemlo de agruacón or fuzz clusterng. a Reglas basadas en la nterretacón de fuzz cluterng. b Cluster her-elsodal. Método Gustafson-Kessel: Dado un gruo de observacones, donde cada observacón consste en n varables meddas, T x, x,, xn, x x K R. Un conjunto de N agruadas en un vector columna n-dmensonal [ ] n observacones denotadas or X { x,, K, N} N n :, que es reresentado como una matrz de x x L x n x x L xn X.9 M M O M xn xn L xnn El objetvo del agruamento es artconar el conjunto de datos X en c clusters como se muestra en la fgura clases o gruos. Este roceso de agruamento ermte que los objetos ertenezcan a varos clusters smultáneamente, con dferente grado de ertenenca, cuos valores van entre 0. Estos grados de ertenenca son agruados en una matrz de artcón que tene la sguente estructura:

16 4 µ µ U M µ N µ µ µ M N L L O L µ µ µ c c M N c.0 Cuos elementos µ reresentan el grado de ertenenca de la observacón en el cluster. En un comenzo c se asume conocdo, basándose en conocmento revo, ero uede obtenerse tambén or rueba error. La dea central de este algortmo consste en asgnar cada uno de los objetos de entrada, a uno de los c clusters de tal forma de mnmzar un determnado índce, deendendo del algortmo utlzado. En el caso de este algortmo se emlea como índce una norma dstanca adatva, a que cada cluster tene su roa matrz norma nducda A, la cual conlleva a la sguente exresón: D A T x v A x v, c, N. de la artcón. Donde v es llamado el rototo del cluster, que habtualmente es reresentado or los centros Las matrces A son usadas como varables de otmzacón, ermtendo así que cada cluster adate la norma dstanca a la estructura toológca local de los datos. S se defne AA, A,, A c, la funcón objetvo del algortmo GK queda exresada como: c N m J X; U,V, A µ D. A Sn embargo la funcón objetvo no uede ser drectamente mnmzada con resecto a A, ues es lneal en A. Esto sgnfca que J uede ser hecho tan equeño como se desee, smlemente forzando a A ser defnda ostva. Para obtener una solucón factble, A debe ser forzada en algún otro sentdo. La forma usual de que se cumla esta condcón, es forzar el determnante de A, ermtendo de esta forma que la matrz A varíe con su determnante fjo, lo que corresonde a la otmzacón de la fgura o forma del cluster, mentras su volumen ermanece constante. Lo anteror se uede vsualzar a contnuacón: ρ A, ρ > 0.3

17 5 Donde ρ es fjado ara cada cluster. Utlzando el método de los multlcadores de Langrange se llega a la sguente exresón: / n [ det F ] F A ρ.4 Donde F es la matrz de covaranza dfusa del -ésmo cluster defnda or: F N m µ x N v x µ m v T.5 Algortmo: Incalzacón: Elegr el número de clusters <c< N, el exonente de eso m>, la toleranca de termno ε>0 la matrz de norma nducda A. Se ncalza la matrz de artcón aleatoreamente tal como U 0 [0, ]. Reetr ara l,, Paso Cálculo de los centros de los clusters v l N N µ l µ l m x m, c.6 Paso Cálculo de las matrces de covaranza de los clusters F N l m µ N x µ v l l x m v l T.7 Paso 3 Cálculo de las dstancas D / n [ det F F ]x v l T l A x, v x v ρ.8

18 6 Paso 4 Actualzacón de la matrz de artcón l µ, c, N.9 c / m D x, v / D x, v j A ja j hasta U U l l < ε b Estmacón aramétrca Este gruo de algortmos estman adatan el sstema de arámetros, tales como los ncludos en las funcones de ertenenca, coefcentes olnomales en el consecuente otros osbles arámetros. Entre los más destacados se encuentran: entrenamento or retro-roagacón, que consste en adatar los arámetros de las remsas consecuente encontrando la dreccón magntud aramétrca que mnmce el error cuadrátco medo de la salda o índce J d. Uno de los métodos más utlzados en esta clasfcacón es el método del descenso de gradente. Otros algortmos de estmacón aramétrca son or ejemlo el método de mínmos cuadrados ortogonales, los métodos de entrenamento híbrdo [9]. Estos últmos llevan este nombre debdo a que el roósto de esta estratega es combnar el desemeño de algortmos de entrenamento en dos fases. Esencalmente ara los sstemas de nferenca dfusa, lo anteror se consttue en searar la adatacón de los arámetros de las funcones de ertenenca dado su arametrzacón no lneal resecto del índce, con la emleada ara los arámetros en el consecuente, que es lneal resecto al índce. Entre estos últmos, se destaca el método del descenso de gradente entrenamento or retroagacón, combnado con un algortmo de mínmos cuadrados recursvo. A contnuacón se descrbrá el algortmo del descenso de gradente uesto que será utlzado en el sstema de control smulado en el caítulo sub-sguente. Método del Descenso de Gradente. Este método consste en mnmzar la funcón objetvo ε: r ε z.0

19 7 Con f u u. M M M M M M x x x u x x x u x x x u µ µ µ µ µ µ µ µ µ K M M M M K K. Donde r es el número de dscretzacones, el número de reglas, M el número de varables de entrada, la salda del modelo o del controlador, e z es la salda deseada. Las funcones del los consecuentes de las reglas dfusas tenen la forma: j j j c x f.3 M M M M M M c x x x f c x x x f c x x x f K M M M M K K.4 Las funcones µ M son funcones gaussanas como las mostradas en la ecuacón A.4, que consta de los arámetros c σ, de tal forma que el algortmo busca sntonzar estos arámetros del modelo dfuso en orden a mnmzar el error entre la varable deseada el modelo. Para realzar la actualzacón de las remsas de las reglas se tene la sguente exresón: j c j j j j j c l c l c l l ε η σ ε η σ σ σ.5 Donde η c η σ son las tasas de arendzaje de los arámetros centro desvacón standard resectvamente. Desarrollando las dervadas arcales se llega la sguente exresón:

20 8 r σ j l σ j l ησ.6 σ z j Donde σ j u u f σ j u σ j.7 Fnalmente: f x c j j σ j l σ j l ησ z u.8 3 σ j l u Para los centros: r cj l cj l η.9 c c z j Donde: c j u u f cj u c j.30 Fnalmente: c l c j j f x c j j l η c z u.3 σ j l u Los arámetros de las funcones f son determnados or el algortmo de mínmos cuadrados recursvos. Luego el objetvo del arendzaje es que la reuesta real sea gual a la deseada. Usualmente se utlzan algunas combnacones de los métodos ara determnacón de los arámetros del antecedente con métodos ara determnacón de los arámetros del consecuente, dentro de las cuales se menconan las sguentes: - Los arámetros de las remsas los consecuentes de las reglas dfusas son ajustados searadamente. Prmero, los arámetros de las remsas son ajustados usando arendzaje no-suervzado, con algún

21 9 método de clusterng como or ejemlo el método c-means. Segundo, los arámetros del consecuente son ajustados or medo del método del gradente descendente o descenso de gradente o el método de mínmos cuadrados. -Los arámetros son ajustados en dos fases de arendzaje. Prmero, tal como en el esquema anteror, los arámetros de las remsas son ajustados usando arendzaje no-suervsado. Segundo, todos los arámetros remsas consecuentes son ajustados or medo del método del descenso de gradente. -Otra confguracón consste en que rmero los arámetros de las remsas son ajustados usando arendzaje no-suervsado. Fnalmente, en cada teracón los arámetros del consecuente son estmados en base al método de mínmos cuadrados los arámetros del antecedente or medo del método del descenso de gradente.

22 0 Caítulo. Modelacón Neuro-Dfusa En este caítulo se evalúa el desemeño de los sstemas de nferenca dfusa en la modelacón de sstemas no lneales MIMO con saldas acoladas. En rmer lugar se descrbe la modelacón de este sstema aroxmado or un sstema MISO. Posterormente se lleva a cabo la dentfcacón del sstema, lo que es efectuado con un método de agruacón de datos del to fuzz clusterng. Esta dentfcacón es realzada con adatacón off-lne on-lne ara la adatacón de los arámetros de los consecuentes. Fnalmente se dscuten los resultados exermentales obtendos con un sstema no lneal MIMO... Introduccón a los Modelos Neuro-Dfusos La modelacón Neuro Dfusa ha tendo un relevante crecmento en las últmas décadas esto es debdo a la gran cantdad de roedades ventajas que surgen de la ntegracón de dos teorías como son Lógca Dfusa Redes Neuronales. Uno de los rncales enfoques de este to de modelacón se refere a los modelos de Taag-Sugeno T-S [], []. Estos modelos son amlamente usados debdo a su gran caacdad de manejar sstemas altamente no-lneales, con gran exacttud relatvamente senclla comrensón. Con el uso de técncas convenconales de modelacón, la dentfcacón de sstemas comlejos se hace algunas veces mu engorrosa e mractcable, debdo su alta no-lnealdad comortamento varante en el temo. Estos tos de ncertdumbres en los modelos son extremadamente dfícles de manejar con estos métodos. El uso de estas estrategas uede lantear grandes desventajas, tales como: -Dfcultad de smulacón. -La exstenca de alguna solucón al roblema del control no asegura que ésta ueda ser fáclmente obtenda.

23 -La mlementacón del controlador uede resultar de gran comlejdad, suoner un costo comutaconal excesvo. -Los arámetros del controlador ueden ser de dfícl reajuste, en el caso de varacones aramétrcas de la lanta, a que no se dsone de un conocmento cualtatvo cuanttatvo, sobre el efecto que la modfcacón de éstos uede rovocar sobre el roceso. La estratega que se roone ara resolver estos roblemas es el modelado basado en modelos locales [5], que consste en dvdr un sstema comlejo en subsstemas más sencllos que uedan ser analzados de forma ndvdual. S estos subsstemas se elgen además de to lneal, resultarán de gran sencllez de smulacón el roblema del control odrá ser más fáclmente analzado ara cada uno de ellos, según técncas amlamente contrastadas, obtenéndose fnalmente una le conjunta estable de control con relatva facldad. Otra de las grandes ventajas del uso del razonamento dfuso ntegrado con la alcacón de modelos locales or tramos [], [5] es que éstos oseen una gran transarenca en su base de reglas en su estructura msma lo que hace osble la ncororacón de conocmento revo, además del bajo costo comutaconal que demandan debdo a su ntrínseca naturaleza lneal. Tradconalmente los sstemas dfusos fueron construdos solamente basados en conocmento exerto en una forma lngüístca. Recentemente ha habdo un gran ncremento en el uso de nformacón roducto de medcones, a sea ara comlementar el conocmento exerto o como la rmara fuente de nformacón... Modelacón La modelacón e dentfcacón son asos sumamente mortantes en el dseño de un sstema de control [4]. Las alcacones tícas de estos modelos son or ejemlo: la smulacón, la redccón o el dseño de sstemas de control. Generalmente el roceso de modelacón consste en obtener un modelo aramétrco con el msmo comortamento del roceso real. Sn embargo, cuando este roceso es comlejo, es mu dfícl defnr las lees físcas matemátcas que rgen su comortamento. En este trabajo se abordará el roblema de dentfcacón de un sstema MIMO [3] Mult Inut-Mult Outut con n entradas con n o saldas. Este sstema uede ser aroxmado or un conjunto de modelos dfusos dscretos MISO Mult Inut-Sngle Outut. S se consdera:

24 Dos olnomos A B defndos or: A a a q a q La n n q A 0. A B b b q b q Lb n n q B 0. B Donde n A n B es el orden de los olnomos A B resectvamente, q es el oerador de retardo q n. Dos enteros m n, con n m los cuales defnen una muestra retardada de una señal dscreta en el temo como sgue: n { } [ m, m,, n ] m L.3 Los modelos MISO son un to de modelo entrada-salda NARX Non lnear Auto Regresve wth exogenous nut defndo or: f x, l,, K, n..4 l l l o Donde el vector de regresón vene dado or: x l n n l l l n0 { } { } { } { } { } { } 0, 0, K, n0, 0 nul nul nul n u n, u,, un dl n K dl n dl n n.5 Además n n u defne el número de saldas entradas retardadas resectvamente, n d es el número de retardo uro, n es una matrz de n o no n, n son matrces de u d n o n, f l son funcones no-lneales desconocdas. Los modelos MISO son estmados ndeendentemente, luego ara smlfcar la notacón se omte el índce l se abordará sólo el caso MISO. En este enfoque, la salda del roceso uede ser escrta como: A Bu α.6

25 3 Sendoα el coefcente de off-set. Los modelos de TS reresentan una efcente herramenta ara la modelacón de un sstema no-lneal MIMO..3. Identfcacón Dfusa El modelo de T-S ha atraído la atencón de muchos nvestgadores. En efecto, este modelo consste en reglas f-then con antecedentes dfusos funcones matemátcas en la arte consecuente []. Los conjuntos dfusos del antecedente dvden el esaco de entrada en un número de regones dfusas en donde los dstntos modelos locales tenen maor o menor valdez deendendo de su grado de ertenenca a cada zona dfusa., mentras que las funcones del consecuente descrben el comortamento del sstema en esas regones [5]. Desués el modelo fnal es calculado como la suma onderada de cada uno de los modelos locales lneales or su resectva funcón de valdacón, la que está relaconada con el grado de ertenenca de cada modelo a las dstntas zonas dfusas. Las reglas dfusas son defndas como: R : If x s Ω then Aquí [, ] A B u α,,, K, K..7 Ω es el conjunto del antecedente dfuso de la -ésma regla. A [,, ] A K A, no B B K, B n son vectores de olnomos K es el número de reglas. El antecedente de.7 uede ser escrto como: R : If x s Ω and... and x s Ω, then A B u α,,, K, K.8 Donde no j n n j n j uj.9 Luego la salda global del modelo se calcula como la nterolacón de los submodelos actvos localmente tal como sgue:

26 4 o: K K K µ x µ x.0 Φ x, c, σ. Donde Φ x,, σ es la funcón de valdacón ara las funcones membros gaussanas con c centros c desvacón standard σ defnda como: µ j x Φ j x, c, σ. K µ x Además es el -ésmo modelo local ertenecente al conjunto dfuso corresondente. Estas funcones de ertenenca determnan la transcón entre submodelos colndantes. Aquí cada sub-modelo es váldo en una regón esecfcada or su corresondente funcón de valdacón Φ. µ x c j x c j x c j j x ex ex ex σ j σ L j σ.3 j µ x es el grado de cumlmento de la regla j. Puesto que la maoría de los actuales j algortmos de dentfcacón-manejo de datos, asume que la estructura del modelo es conocda, la estructura el orden del modelo han sdo elegdos antes de la dentfcacón. Es or esto que las matrces n, nu, nd son determnadas or el usuaro en base a conocmento revo /o or comaracón de dferentes confguracones basadas en un crtero de rueba error. Una vez que la estructura es fjada, los arámetros del antecedente son estmados or fuzz clusterg [9]. Desafortunadamente este método no uede ser alcado drectamente ara la dentfcacón de rocesos multvarable, sólo un conjunto de sstemas MISO uede ser dentfcado or fuzz clusterng, es or eso que en esta memora se realza la dentfcacón or searado ara cada salda.

27 5 El rocedmento del método rouesto esta basado en dos etaas. En la rmera etaa, llamada dentfcacón off-lne del modelo fuzz dfuso, ambos arámetros no-lneales de las funcones membros c σ, son determnados or el método fuzz clusterng, los arámetros de los modelos locales son determnados or un algortmo de mínmos cuadrados onderados []. En la segunda fase, llamada adatacón on-lne del modelo fuzz, los arámetros del consecuente de las reglas dfusas son adatados or una versón recursva del método de mínmos cuadrados onderados []..3.. Identfcacón Off-Lne del Modelo Dfuso Este rocedmento es llevado a cabo en cuatro asos: Construccón de la data de regresón. Determnacón de los clusters corresondente a los conjuntos de los submodelos. Determnacón de las funcones membros del antecedente a artr de los arámetros del cluster. Estmacón de los arámetros del consecuente. -Datos de regresón: Los datos de las muestras dsonbles son recolectados en la matrz Z comuesta or la concatenacón de la matrz de regresón X el vector de salda Y: X x, Y M M, Z T [ X Y]..4 x N N Donde N es el número de datos muestreados. - Construccón de los clusters fuzz: Exsten varos algortmos ara la construccón de los clusters fuzz tales como: el algortmo C- means [9], el algortmo Gath-Geva el algortmo Gustafson-Kessel G-K, los cuales fueron menconados en el caítulo anteror. En este trabajo se utlzó el algortmo G- K. La dea central de este método es artconar el conjunto de datos Z en Nc clusters, este valor fue escogdo en base a un crtero de rueba error. Este algortmo entrega como resultado una matrz de artcón dfusa [ µ ], cuos elementos [ 0,] NcN U µ reresentan el grado de la funcón de ertenenca de la observacón medcón en el cluster, una matrz rototo V [ vk,, ] cuos elementos corresonden a los centros de la artcón, un conjunto de matrces de covaranza v Nc

28 [ F, ] F,. Una vez que estas matrces son determnadas, se calculan los arámetros del K consecuente F Nc A,, α. B 6 -Determnacón de las Funcones Membros a artr de los Parámetros del Cluster: En este trabajo se usaron funcones de membresía Gaussanas ara reresentar los conjuntos dfusos Ω j : Ω j x j ex x j c σ j j.5 Esta eleccón lleva a la sguente formula comacta: Ω x Con c [ c,, c ] j K varanzas en su dagonal: x T xx x x j ex x c F j x c.6 el vector de centros xx F es la nversa de la matrz contenendo las j xx F j σ j 0 M 0 σ 0 j M 0 L L O L 0 0 M σ j.7 - Estmacón de los Parámetros del Consecuente: Estos arámetros en cada regla son estmados searadamente or método de mínmos cuadrados onderados or la mnmzacón del sguente crtero: T mn Y X eθ Q Y X eθ θ N.8 Donde [ X ] X e es la matrz de regresón extendda or una columna untara, Q es una matrz que contene los valores de la funcón de valdacón muestra: Φ del -ésmo modelo local ara cada

29 7 Φ Φ Φ,, 0 0 0,, 0 0 0,, c N x c x c x Q σ σ σ L M O M M L L.9 Fnalmente la estmacón de los arámetros es llevada a cabo or la sguente exresón: [ ] Y Q X Q X X T e e T e θ Adatacón On-Lne del Modelo Dfuso Es necesaro una adatacón on-lne, ara obtener un buen modelo caaz de descrbr el roceso en una gran cantdad de untos de oeracón, ara ser usado en un esquema de control adatvo [4]. Generalmente, los modelos dfusos de TS obtendos or clusterng, tenen arámetros consecuentes constantes, como lo ndca la exresón.0, ero en este caso los arámetros son actualzados, lo que sgnfca que en cada nstante se uede obtener un modelo TS: u B A α. En esta fase, las remsas de las reglas son mantendas fjas, solamente los consecuentes de las reglas son adatadas ara cada modelo local, or una versón recursva del algortmo de mínmos cuadrados onderados con factor de olvdo λ: x j T j j j θ δ θ θ.,, / j j j j T j j c x x P x x P σ λ δ Φ.3 [ ] P x I P j T j δ j λ.4 En la exresón., el vector de arámetros θ j es el msmo que ara la dentfcacón offlne en.0, ero en este caso es actualzado or la suma del vector de correccón de las estmacones antguas θ j -. En.3.4, λ es el factor de olvdo de las medcones vejas, Ф j es el eso del dato actual, δ j la gananca de correccón P j es la matrz de gananca de adatacón.

30 8.4. Ejemlo de Smulacón En esta memora se consderará un sstema MIMO descrto or las sguentes ecuacones: u.5 u.6 Las entradas son u u, las saldas son e, El roceso de dentfcacón es llevado a cabo con entradas aleatoras ara u u unformemente dstrbudas en el ntervalo [- ], se usaron tres clusters o número de reglas ara cada salda. Las señales de entrada se muestran en la fgura.. A artr de los datos de entrada se ueden obtener los datos de las saldas de acuerdo a las ecuacones.5.6. Una vez que los datos entrada-salda están dsonbles, se calculan las matrces U, V F de acuerdo a las ecuacones.6.7, medante el algortmo de Gustafson-Kessel. Luego se determnan los arámetros del consecuente de cada regla or medo del algortmo de mínmos cuadrados onderados de acuerdo a.0. Las resuestas de la lanta la dentfcacón del modelo son mostradas en la fgura.. Para valdar el modelo establecdo se alcó el sguente vector de entrada: [ sn / 5, cosπ / 5, ] T π.7 Las resuestas de la lanta de la dentfcacón del modelo ara estas entradas se muestran en la fgura.3. Estas resuestas son obtendas de los modelos locales calculados or fuzz clusterng sn adatacón de los arámetros del consecuente. Se uede observar de la fgura.3, que las saldas estmadas no ueden segur a las saldas del roceso el error resultante es bastante grande. Para mejorar la caldad del modelo fuzz establecdo, los arámetros de los consecuentes de las reglas son adatados or un algortmo de mínmos cuadrados recursvos con un factor de olvdo λ0.99 de acuerdo a.. La fgura.4 muestra las resuestas de la lanta la dentfcacón del modelo ara el vector de entradas snusodales ero con adatacón. Para establecer un índce de exacttud del modelo se defne una funcón VAF la cual calcula el la Varanza Estmada entre dos señales Varance Accounted for between two sgnals VAF, como sgue a contnuacón:

31 9 VAF T var 00 %.8 var Donde es la salda del roceso e es la salda del modelo. El VAF de dos señales guales es 00%. S las señales dferen, el VAF es más bajo. La tabla. muestra los índces de desemeño del modelo en las fases de dentfcacón, valdacón sn adatacón valdacón con adatacón. De esta tabla se uede observar que el modelo fuzz TS adatado es más recso que el modelo no adatado. Identfcacón Valdacón sn adatacón Valdacón con adatacón VAF-% VAF-% Tabla.: Comaracón de la exacttud de redccón del modelo dfuso TS en las tres fases. Para verfcar la alcabldad de este método a rocesos reales, se debe mostrar la evolucón de los arámetros de los olnomos A, α durante la adatacón. En efecto los arámetros del B olnomo B corresonden a la gananca de los controles u u, los cuales no deben cambar sus valores en grandes roorcones. Las reglas son conclusones lneales de las entradas del sstema, or ejemlo ara la regla : a a a a b b u α u α.9 De la fgura.6 a la fgura.8 se muestra la evolucón de los arámetros a α, de la salda ara las tres reglas clusters. De la fgura.9 a la fgura., a, b, se muestra la evolucón de los arámetros a, a, b, α, de la salda tambén ara las tres reglas.

32 30 Fgura.: Entradas aleatoras u u ara la dentfcacón. Fgura.: Comaracón de las saldas del roceso línea azul, con las saldas del modelo línea roja ara la dentfcacón.

33 3 Fgura.3: Comaracón de las saldas del roceso línea azul, con las saldas del modelo línea roja ara la valdacón Fgura.4: Comaracón de las saldas del roceso línea azul, con las saldas del modelo línea roja ara la valdacón con adatacón de los arámetros.

34 3 Fgura.5: Funcones de ertenenca de las dos saldas ara las tres reglas. Fgura.6: Evolucón de los arámetros de la salda regla

35 33 Fgura.7: Evaluacón de los arámetros de la salda regla Fgura.8: Evaluacón de los arámetros de la salda regla 3

36 34 Fgura.9: Evaluacón de los arámetros de la salda regla Fgura.0: Evaluacón de los arámetros de la salda regla

37 35 Fgura.: Evaluacón de los arámetros de la salda regla 3 En estas últmas fguras se uede notar que los arámetros lneales varían hasta la muestra 30 aroxmadamente. Desués de este valor su varacón es débl ráctcamente constante.

38 36 Caítulo 3 3. Control Neuro Dfuso En este caítulo se resentan técncas de control neuro dfuso ara sstemas no lneales MIMO con saldas acoladas. En una rmera fase, se descrbe la dentfcacón del modelo nverso del roceso, que luego es utlzado drectamente como controlador. En segundo lugar se estuda el control neuro dfuso basado en modelos locales lneales descrbendo dos arqutecturas osbles ara este to de control. Luego se menconan algunos esquemas de control emergentes roducto de la combnacón de técncas de control basadas en modelacón no lneal convenconal, las cuales han sdo adatadas ara el uso de redes neuronales o sstemas dfusos. Fnalmente se roone una de estas estrategas esecífcas se evalúa su desemeño a través de algunos resultados exermentales con sstemas MIMO no lneales. 3.. Introduccón al Control Neuro Dfuso En los recentes años, han aarecdo romsoros enfoques esecalmente en el camo de redes neuronales lógca dfusa, los cuales han sdo alcado extosamente. Cuando el bloque de control de un lazo de realmentacón está comuesto or una red neuronal o un sstema de nferenca dfusa, entonces se habla de un sstema de control neuronal o dfuso resectvamente. El control neuro-dfuso se refere al dseño de controladores basados en lógca dfusa que emlean técncas de redes neuronales ara adatarse ara establecer objetvos de control. Como resultado de la combnacón de ambos sstemas, se ueden destacar algunas característcas exclusvas de controladores neuro-dfusos:. Caacdad de arendzaje.. Oeracón aralela. 3. Poseen una forma estructurada del conocmento lo que ermte ncororar nformacón reva. 4. Buena ntegracón con otros métodos de control.

39 37 Se debe consderar además que un controlador neuro-dfuso generalmente contene un gran número de arámetros, lo que mlca una maor versatldad frente a característcas no-lneales de una lanta, que un controlador lneal, or lo que son consderados suerores a estos últmos. Los esquemas de control no lneal avanzados control neuro-dfuso, están generalmente basados en modelos no lneales. Para la alcacón de esta estratega de control se debe elegr un adecuado modelo de la dnámca del roceso. El uso de modelos no lneales en el dseño de control mone demandas de certeza sobre la estructura del modelo msmo. Para un modelo de un roceso dado exsten varas arqutecturas de control no lneal técncas de dseño. Para los esquemas basados en modelos no-lneales, se ueden dstngur dos enfoques: el de modelo drecto el de modelo nverso [7] [8]. El esquema basado en el modelo nverso utlza este últmo drectamente como controlador []. El esquema de control basado en el modelo drecto utlza el modelo de la lanta luego sntetza la le de control usando un cálculo otmzacón/nversón redefndo. De los dos esquemas anterores se abordará solamente el control basado en el modelo nverso. Deendendo de las alcacones, se ueden dstngur dos tos de arendzaje []: En el arendzaje off-lne o arendzaje or lotes, la actualzacón de los arámetros toma lugar solo desués de que todos los datos de entrenamento han sdo resentados éoca o barrdo. S el roceso es varante en el temo, o s no se tene sufcente nformacón ara construr un buen modelo del roceso antes de la alcacón, entonces se deberían usar algortmos de control adatvo on-lne. En este arendzaje los arámetros son actualzados nmedatamente desués de que un ar de datos entrada-salda ha sdo resentado. Generalmente rmero se suele alcar el arendzaje off-lne basado en estos resultados se desarrolla un algortmo de dentfcacón on-lne ara sstemas con característcas cambantes. Entre los métodos que se han alcado ara determnar los arámetros de las funcones del antecedente, el método del gradente descendente o descenso de gradente [] [0] ermte una gran exacttud en la dentfcacón. El método del gradente robablemente es el mejor algortmo de arendzaje a que es una técnca dealmente adecuada ara arendzaje on-lne nstantáneo. Esto de debe a que es smle, tene bajos requermentos de memora, bajo costo comutaconal. Para rocesos varantes en el temo, el arendzaje off-lne uede ser usado solamente ara la ncalzacón del modelo dfuso [], luego es necesaro una adatacón on-lne ara las reglas.

40 Descrcón Matemátca del Modelo Dfuso El modelo a utlzar ara realzar el control, es del to Taag-Sugeno, este uede ser vsto como un maeo no lneal entre el modelo de entrada el esaco de salda: fφ, donde, denota la salda del modelo φ el vector de regresón contenendo las entradas del modelo dfuso. Este modelo dfuso uede ser formulado con un conjunto de reglas como sgue: x R : If x s µ and... and x s x µ, then f ϕ j j 3. Donde µ x es el -ésmo antecedente dfuso referdo a la j-ésma varable de entrada, cua j j funcón de ertenenca es resentada en la ecuacón A.4, que consta de los arámetros [ x,, ] K x j c σ, ϕ es el vector de regresón Además cuando f es de rmer orden se uede exresar como: f ϕ x K x, con,,..., c 3. n n 0 Aquí el modelo fuzz es lneal en los arámetros j, con j,,,n. no lneal con resecto a los arámetros aj c j, σ j. Los arámetros j ueden ser defndos or algortmos de otmzacón lneal, mentras que los arámetros del antecedente deberían ser otmzados en alguna forma no-lneal Identfcacón Modelo Inverso del Proceso Por smlcdad, el algortmo será descrto analzado ara el caso de un sstema SISO sngle nut-sngle outut, sn embargo la estratega uede ser extendda al caso de un sstema MIMO. El sstema uede ser descrto or la sguente reresentacón dscreta:,, n, u,, u n F K δ K u 3.3

41 39 Donde, es la salda de la lanta, u es la señal de control dscreta ara el nstante, F. es una funcón no lneal desconocda las constantes n, n u defnen el orden del roceso. Asumendo que: u δ Mentras / u 0, ara <δ, el grado relatvo del sstema será δ. Por sucesvas teracones de la ecuacón 3.3 es osble encontrar un maeo de entrada salda como el que sgue:, K, n, u,, u n ~ δ F K 3.5 u Para este to de rocesos, el nverso de la lanta uede ser formulado como: o: ~ u δ F,, K, n, u,, u ~ u F δ K 3.6 n u, δ,, n δ, u δ, K, u δ K 3.7 n u En la arqutectura de control adatva rouesta, el método de dentfcacón/adatacón se utlza ara arender el modelo nverso de la lanta u δ f ϕ, Θ de datos { u δ, ϕ } m con la mnmzacón del error de control de salda: m m, or ajuste de los ares ~ F ϕ f ϕ, Θ u δ u E eu m m m δ 3.8 Donde el vector de entrada del modelo dfuso es: m [, δ,, n δ, u δ,, u n ] T ϕ K K δ 3.9 { a, } Θ reresenta el vector de arámetros. j j u

42 Controlador Dfuso Basado en el Modelo Inverso del Proceso Este algortmo de control asume que ara un roceso nverso estable exste una únca le de control que ermte un segumento cuas erfecto: r,, K, n, u,, u ~ u F δ K 3.0 n u Donde rδ es el set-ont del controlador. En control drecto, el modelo dentfcado del roceso nverso es usado como controlador drectamente, orque la accón de control es exlíctamente calculada como la salda del modelo, que fue entrenada ara reresentar la dnámca nversa de la lanta. Sn embargo el modelo dfuso nverso de la lanta el controlador dfuso drecto ϕ u f,θ, son déntcos en su estructura arámetros. La únca dferenca que ha es en el c vector de entradas. Consderando que 3.9 es el vector de entrada ara el modelo nverso del roceso, entonces: c [ r δ,, K, n, u,, u n ] T ϕ K 3. u Es el vector de entrada del controlador dfuso. En la fgura 3. se muestra un dagrama esquemátco del sstema de control lanteado, donde se uede observar que el controlador fuzz maea su vector de entrada φ c en u, con ufφ c,θ el modelo nverso de la lanta maea φ m en u m -δ, con u m -δfφ m,θ. En general, la nversón del modelo no-lneal del roceso no tene solucón analítca deben ser alcados métodos numércos. Aquí, modelos locales lneales ueden de nuevo ser ventajosos uesto que los submodelos locales ueden ser nvertdos sencllamente Control Basado en Modelos Neuro Dfusos Locales Lneales Ha báscamente dos formas ara dseñar controladores ara estructura de modelos locales, la estructura basada en lnealzacón, el enfoque basado en modelos locales. Ambos enfoques se ueden vsualzar en la fgura 3.. Para el enfoque basado en lnealzacón, el modelo no lneal global es lnealzado en cada nstante de muestreo, en el unto de oeracón dnámco actual, subsecuentemente se dseña un controlador lneal. Este enfoque uede ser alcado a cualquer to de modelo no lneal. Sn embargo, la lnealzacón de las estructuras de los modelos locales es comutaconalmente mu smle debdo a su lnealdad ntrínseca. El segundo enfoque consste en el

43 4 uso de estructuras con modelos locales. Aquí los controladores locales son dseñados ara los submodelos ndvduales, la salda de control es luego calculada como una nterolacón de los controladores localmente váldos de acuerdo al unto de oeracón actual. Ambos enfoques roducen un controlador no lneal globalmente, resultando en un enfoque adatvo de arámetros. Consderando que el método basado en lnealzacón generalmente roduce resultados lgeramente mejores, el controlador local uede ser dseñado off-lne. Consecuentemente el enfoque basado en el dseño de modelos locales tene menos demanda comutaconal sobre el hardware en oeracón en temo real. La estratega que roone el modelado control basados en modelos locales [] [4] consste en dvdr un sstema comlejo en subsstemas más sencllos que uedan ser analzados de forma ndvdual. La clave, or tanto, consste en la eleccón de aquellos arámetros adecuados que ermtan realzar dcha artcón. Estos subsstemas tenen un rango de valdez lmtado utlzando una base de reglas borrosa que ermte la seleccón de los modelos adecuados a la stuacón en que se encuentra el sstema, es decr, cada regla corresonde a un estado o unto de trabajo del sstema. Uno de los roblemas que surgen a la hora de utlzar esta técnca es la seleccón del número de modelos locales que se deben emlear la dentfcacón de los dstntos modelos locales utlzados. Una de las alternatvas es construr el sstema dfuso a artr de la exerenca del conocmento a ror que se tene del comortamento del roceso. Otra ocón es la utlzacón de datos exermentales extraer a artr de éstos la estructura del sstema de reglas dfusas extraccón de reglas los arámetros de los modelos locales dentfcacón aramétrca. Este subsstema seleccona la combnacón más adecuada de entre los dstntos controladores dseñados ara varos untos de trabajo. Dcho de otra forma, se trata de un sstema dfuso del to Taag-Sugeno, donde los consecuentes de las reglas son los dstntos controladores dseñados ara cada unto de trabajo. Los antecedentes, or su arte, son un conjunto de varables observadas que roorconan la nformacón necesara ara determnar de forma dfusa el régmen de trabajo del roceso. Por otra arte, se hace necesaro un elemento suervsor que sea de algún modo caaz de ntegrar de nuevo todos estos subsstemas en el sstema orgnal. Cuanto maor sea el número de modelos locales elegdos, más sencllo será encontrar un controlador que funcone adecuadamente ara cada uno de los regímenes. Sn embargo, esta roedad se enfrenta a la denomnada maldcón de la dmensonaldad: una artcón unforme lleva a que el número de artcones crezca de forma exonencal con el número de varables.