1.-SUAVIZADORES DE RANGO DE ORDEN INTRODUCCIÓN

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Juan Figueroa Quintana
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1 1.-SUAVIZADORES DE RANGO DE ORDEN INTRODUCCIÓN Cosiderado que el "filtro mediaa" es o-lieal, el térmio "filtro, que ha sido implícitamete asociado co el cocepto de liealidad, es iapropiado. Quedaría mejor defiido como "suavizador". E el suavizador de mediaa, sabemos que sus propiedades más otorias so su habilidad a suavizar mietras se preserva los bordes y su habilidad a pasar etradas moótoas si cambios. A cotiuació, os cetraremos e uo de ellos, que es el suavizador de rago de orde y cuyas pricipales características so: Primero, está defiida vía miimizació de algua fució objetiva. Segudo, ofrece mejoras de ruido e caales vacíos y e las características e respuesta al impulso e comparació a los suavizadores mediaa de propiedades comparables al pulso rectagular. Tercera, esta clase, e ua versió, ofrece operació recursiva. Esto tiee importates implicacioes e la cofiguració de hardware de cualquier aplicació dedicada al algoritmo de suavizado e cuestió. E particular, impacta e el susurro del rasgo sistólico para implemetacioes VLSI. Cuarta, y quizás la más importate, la presete clase hace estimacioes basadas eteramete e el rago y e determiacioes de ordees temporales. No se requiere multiplicacioes y salvo casos muy excepcioales, tampoco requiere sumas. Los precedetes más otable puede ser expresados, alterativamete, diciedo que cada valor de salida es uo de los valores de etrada, elegidas mediate algua determiació de rago de orde. Ua característica de muchos suavizadores es que existe e pricipio, implemetacioes que requiere u míimo úmero de operadores aritmético FUNCIÓN OBJETIVA Si cosideramos a la salida e u tiempo de la mediaa como = N N y med ( x, x,, x, x ) 1

2 La media será el valor máximo y de v que miimiza N k = 0 v x k Como geeralizació de esta fució objeto se propoe: F ( v, x ) = 1 k = 0 k = 1 [ f [ v k x k ] + g [ v k ] + h[ v k v k ] dode v = {v 0,v 1,,v ) E +1, v = {x 0,x 1,,x ) E +1, y E +1 es u espacio euclideo de dimesió +1. Las fucioes f, g, h so lieales a tramos y covexas (PLC). A cotiuació, se relata las observacioes que debe cumplir f para que sea ua fució PLC e los putos Ω = {ω y }: OBSERVACIÓN 1: f[x] > - x E 1. Esto es, f: E 1 E 1 U { } 2

3 OBSERVACIÓN 2: Si ω o > - etoces f es moótoa y que o icremeta e (-,ω 0 ). Si ω -1 < etoces f es moótoa y o decreciete e (ω -1, ). ω OBSERVACIÓN 3: Sea U = [ 1 ω 0 ], (, ). Si U o está totalmete vacía etoces f cotiee u valor míimo e U y sólo e U (posiblemete ifiito). Si U está vació, etoces f o tiee míimo. OBSERVACIÓN 4: El cojuto e los cuales f es fiita está eglobados e E 1. OBSERVACIÓN 5: f es evaluada fiita Y(Ω) = - y σ(ω) = f es moótoa decreciete e (,ω -1 ), si el cojuto o está vacío, y si f es moótoa creciete e (ω 0, ), si ese cojuto o está vacío. OBSERVACIÓN 6: Si f es PLC y f '' = f + f ' etoces f es PLC. f es u valor fiito si tato f como f so valores fiitos. TEOREMA 1: E el cotexto de las defiicioes de x, v, f, g, h, F, y V x e la ec 2., tedremos que f, g y h estará cetradas e toro a fucioes PLC. f y g será valores fiitos co raíces e Ω y θ, respectivamete, y co ω -1 = ω 0 = 0. {,,,, } x max x x x max = θ {,,,, } x m i = m i θ 0 x 0 x 1 x {,,,,, } X = u u E+ 1 xmi ui xmax i = 0 1 Etoces V x o está vacío, F(V x,x) es fiito y V x X. 3

4 1.3.- ÁLGEBRA DE LAS RAÍCES. El álgebra de la celosía provee u álgebra de las raíces útil. Si ω, ψ E 1 {-, } mi etoces aquí su meet es ω ψ = ( ω, ψ ) E {, } max expresió ω ψ = ( ω, ψ ) E {, } asociativas y la idetidad absorció, establece que 1 y su joi vedrá dado por la 1. Meet y joi so comutativas y ( ) ( ) w w ψ = w w ψ = ω OBSERVACIÓN 7: Ω es u cojuto de raíces y k k. Etoces ω k ω k = ω k y ω k ω k = ω k. TEOREMA 2: f y f so fucioes PLC e las putos Ω y Ω, respectivamete f '' = f + f '. Etoces, f es ua fució e los putos ψ = Ω Ω. Si f y f tiee míimos, etoces f tiee u míimo; si, por el cotrario, uo de los míimos de f y f so fiitos, etoces el míimo de f es fiito. TEOREMA 3: f y h so fucioes PLC e los putos Ω y ψ, respectivamete. f y h tiee míimos fiitos (ω 0 y ψ 0 so valores fiitos). Cosiderado x E 1, el míimo de la fució PLC, cuyo valor estará e y E 1 es f[y]+h[y-x], es ua fució evaluada fiita y cotiúa defiida por y * [ x] [ ω ( ψ + x) ] j = j j Si f ' x [ ] = f [ y *[ x ] + h[ y *[ x] x] ' etoces f es ua fució PLC e los putos Ω, dode w = ω ψ 1 i. f tiee u míimo y si ψ 1 > etoces el míimo es fiito. i i i 4

5 OBSERVACIÓN 8: Si Ω y Ω so u cojuto de valores co ω i =, para ' ' i < K, w i = para i K 0, ω i = para i < K', ω i = para i K' 0, y si ψ = Ω Ω' etoces ψ i = para i < ( K + K') y ψ i = para i ( K + K'). OBSERVACIÓN 9: Ω y Ω so u cojuto de putos co para i K' 0 ' ω i = x para K' i K' para i < K' y Ψ = Ω Ω. Etoces ( ) ψ = ω x ω = m ed ( ω, x, ω ) i K ' + i K ' + 1 K ' + i K ' + 1 OBSERVACIÓN 10: Defiiedo f, Ω, ψ, f, Ω como e el teorema 3, co para M i ψ i = para M i < M 0 para i < M 0 Etoces ω = para i M i < para i M OBSERVACIÓN 11: Si es u cojuto de putos, etoces la covolució e celosía co los putos ulos φ es ua operació idetidad: Ω φ = φ Ω = Ω. OBSERVACIÓN 12: f es ua fució PLC e los putos ulos φ si f es evaluada costate. 5

6 1.4.- RESULTADOS EXPERIMENTALES 1) El suavizador de clase estádar recursiva (SCR) ha sido aplicado al caso de u caal iactivo, por ejemplo la secuecia de etrada {x i } es puro ruido de expectativa cero. E cuato la g del suavizador SCR sea cambiada de situació, tomado expectativa cero por las etradas perdidas o geeralmete y los problemas de suavizado so etoces equivaletes al problema de determiar u parámetro localizació. La tabla I muestra resultados experimetales usado el suavizador SCR, co K = 1 y {x i } ua secuecia de valores aleatorios gaussiaos pseudoidepedietes de variaza uitaria. La tabla II muestra los resultados de los mismos datos co u traslado de mediaa de logitud N + 1. La tabla III y IV da la misma iformació que la tabla I y II, respectivamete, co variaza uitaria co ruido expoecialmete distribuido sustituyedo el ruido gaussiao. El suavizador SCR y el suavizador de mediaa ha sido preferido por diferetes razoes. Cosecuetemete, o es obvio que co valores de N + 1 e la tabla II ( o la tabla IV), asociadas co u suavizador de mediaa, se podría elegir para comparació la ejecució de cualquier suavizador SCR co parámetros específicos M, a, b e la tabla I ( o tabla III, respectivamete). El siguiete acuerdo ha sido tomado: Si u pulso rectagular de logitud L p aparece e u caal iactivo sujeto a u suavizador de mediaa, etoces la logitud máxima permitida al suavizador, si se detecta el pulso, será N + 1 =2L p - 1. Si el suavizador SCR es aplicado a la misma secuecia y L p es impar, etoces el valor máximo de M permitido es (L p - 1)/2. Por tato, el uso de algua M especifica e el suavizador SCR, podría ser comparado al uso de N = 4M e el filtro mediaa, desde el puto de vista de la detecció de u pulso rectagular. Por tato, e los casos dode M = 4 e las tablas I y III puede ser comparado a los casos N + 1 = 17 e las tablas II y IV. Es por ello, que u caal iactivo ejecutado e suavizadores SCR so claramete superior. 2) Los suavizadores SCR co M = 4 fuero comparados a los suavizadores mediaa de logitud N + 1 = 17 e el problema de suavizado y detecció referidos ateriormete. El suavizador SCR usado ha sido a = 48 y b = 16. Los pulsos rectagulares de área uidad y 6

7 logitud L p = 9 fuero superpuestos e u caal iactivo co ruido gaussiao o expoecial. Idealmete, etoces las salidas de los suavizadores reproduciría los pulsos rectagulares. 3) El suavizador SCR ejecutado es bastate mucho mejor que el suavizador de mediaa e térmios de respuesta al impuso y que el ruido o era excesivo 4) Los datos que cociere a la comparació experimetal (desde el puto de vista de detecció de pulso) SCR y suavizadores mediaa parece dar ua preferecia al aterior, e térmios de ejecució de caales iactivos de respuesta al impulso. TABLA 1 SUAVIZADOR STANDARD CLASE RECURSIVA. DATOS GAUSSIANOS. M a =20 b =15 a =20 b =5 desv. stad. desv. absol. desv. stad. desv. absol

8 TABLA 2 SUAVIZADOR MEDIANA TRASLADADA. DATOS GAUSSIANOS. N+1 SUAVIZADOR MEDIANA abs desv ASINTÓTICA TEÓRICA MEDIA TEÓRICA TRASLACIÓN abs desv TABLA 3 SUAVIZADOR STANDARD CLASE RECURSIVA. DATOS EXPONENCIALMENTE DISTRIBUIDOS. M a =20 b =15 a =20 b =5 desv. stad. desv. absol. desv. stad. desv. absol

9 TABLA 4 SUAVIZADOR MEDIANA TRASLADADA. DATOS EXPONENCIALMENTE DISTRIBUIDOS. N+1 SUAVIZADOR MEDIANA abs desv ASINTÓTICA TEÓRICA MEDIA TEÓRICA TRASLACIÓN

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