Probabilidades y Estadística (C)

Transcripción

1 Probabilidades y Estadística C Fraco Frizzo Basado e el apute de Aa M. Biaco y Elea J. Martíez Ídice 1. Coceptos básicos de probabilidad Probabilidad codicioal Idepedecia de evetos Variables aleatorias Variables aleatorias discretas Esperaza de ua v.a. discreta Variaza de ua v.a. discreta Variables aleatorias cotiuas Esperaza de ua v.a. cotiua Variaza de ua v.a. cotiua Distribucioes de variables aleatorias Distribucioes de variables aleatorias discretas Distribució biomial Distribució geométrica Distribució biomial egativa Distribució hipergeométrica Distribució Poisso Distribucioes de variables aleatorias cotiuas Distribució uiforme Distribució ormal Distribució gamma Distribució expoecial Fucioes geeradoras de mometos Fucioes geeradoras de mometos de alguas distribucioes Geeració de úmeros aleatorios Vectores aleatorios Vectores aleatorios e dos dimesioes Idepedecia de variables aleatorias Esperaza de ua fució de dos variables aleatorias Covariaza y correlació Extesió a más de dos dimesioes Vectores aleatorios discretos Vectores aleatorios cotiuos Idepedecia de variables aleatorias Distribució de la suma de variables aleatorias idepedietes

2 Sumas y promedios de variables aleatorias Desigualdad de Chebyshev Ley de los Grades Números Teorema Cetral del Límite Aplicacioes del Teorema Cetral del Límite Iferecia estadística Coceptos básicos de ua ivestigació estadística Medidas de resume Estimació putual Método de estimació por mometos Método de estimació de máxima verosimilitud Propiedades de los estimadores Itervalos de cofiaza Itervalos de cofiaza para los parámetros de ua distribució ormal Método geeral para obteer itervalos de cofiaza Itervalos de cofiaza de ivel asitótico Tests de hipótesis Test de hipótesis para los parámetros de ua distribució ormal Tests de hipótesis de ivel aproximado Relació etre tests de hipótesis bilaterales e itervalos de cofiaza Cadeas de Márkov 42 2

3 1. Coceptos básicos de probabilidad Defiició. Dado u experimeto aleatorio cualquier proceso o acció que geera observacioes y que puede ser repetible, su espacio muestral asociado es el cojuto de todos sus resultados posibles. Lo otaremos S. Defiició. Se deomia suceso o eveto a cualquier subcojuto del espacio muestral. Si S es fiito o ifiito umerable, cualquier subcojuto es u eveto. Si S es ifiito, casi todo subcojuto de S es u eveto. U eveto es elemetal o simple si cosiste de u úico resultado idividual y compuesto si cosiste de más de u eveto elemetal. Defiició. Dado u experimeto aleatorio y u espacio muestral asociado S, a cada eveto A se le asociará u úmero que otaremos PA y que llamaremos probabilidad del eveto A. Esta asigació debe satisfacer los siguietes axiomas: A1. PA 0 para todo eveto A. A2. PS = 1. A3. a Si A 1, A 2,..., A es ua colecció fiita de sucesos mutuamete excluyetes, es decir que A i A j = i j, etoces: Propiedades. P A i = PA i b Si A 1, A 2,... es ua colecció ifiita umerable de sucesos mutuamete excluyetes, es decir que A i A j = i j, etoces: 1. PA C = 1 PA, para cualquier eveto A. 2. P = 0. P A i = PA i 3. Si A B PA PB y PB A = PB PA. 4. Dados dos sucesos cualesquiera A y B, PA B = PA + PB PA B. 5. Dados dos sucesos cualesquiera A y B, PA B PA + PB. Demostració = A2 PS = PA A C = A3a PA + PA C PA C = 1 PA. 2. P = 1 P C = 1 PS = 1 1 = Si A B B = A B A y estos dos evetos so excluyetes. Por el axioma A3a, PB = PA+PB A. Dado que, por el axioma A1, PB A 0, resulta PB PA, y despejado, se obtiee la seguda afirmació. 3

4 4. A B = A B A = A B A C, y estos dos evetos so excluyetes. Etoces, por el axioma A3a, PA B = PA B A C = PA + PB A C 1 Por otra parte, B = B A B A C, y estos dos evetos so disjutos, etoces PB = PB A + PB A C PB A C = PB PB A 2 De 1 y 2 resulta que PA B = PA + PB PA B, como queríamos demostrar. 5. Se deduce imediatamete de la propiedad aterior y del axioma A1. Defiició. Sea u experimeto aleatorio cuyo espacio muestral asociado S es fiito y sea = #S, el cardial del cojuto. Diremos que el espacio es de equiprobabilidad si los sucesos elemetales tiee igual probabilidad, es decir si PE i = p i Como 1 = PS = PE i = p = p p = 1 = 1 #S. Dado cualquier suceso A, PA = E A PE = E A 1 = #A #S Probabilidad codicioal Defiició. Sea A y B evetos tales que PB > 0. La probabilidad del eveto A codicioal a la ocurrecia del eveto B es PA B PA B = PB Propiedades. 1. PA B 0 para todo suceso A. 2. PS B = 1. Demostració. PS B = PB S PB = PB PB = 1 3. Regla del producto: PA B = PA B PB. Si además PA 0, etoces PA B = PB A PA. Defiició. Ua colecció de evetos A 1, A 2,..., A k muestral S si costituye ua partició del espacio 1. A i A j = i j. 2. PA i 0 i. 3. k A i = S. Teorema Probabilidad Total. Sea A 1, A 2,..., A k ua partició del espacio muestral S y sea B u suceso cualquiera, etoces k PB = PB A i PA i 4

5 Demostració. k k B = B S = B A i = B A i Como B A i B A j = i j, etoces: k k k PB = P B A i = PB A i = PB A i PA i Teorema Bayes. Sea A 1, A 2,..., A k ua partició del espacio muestral S y sea B u suceso cualquiera tal que PB > 0, etoces Demostració. PA j B = PB A j PA j k PB A i PA i PA j B = PA j B PB = PB A j PA j k PB A i PA i E el umerador se aplicó la regla del producto, y e el deomiador el Teorema de la Probabilidad Total Idepedecia de evetos Defiició. Los evetos A y B so idepedietes si PA B = PA PB. Si la igualdad o se cumple, decimos que los evetos so depedietes. Proposició. Supogamos PB > 0, A y B so idepedietes si y sólo si PA B = PA. Demostració. Si PB > 0 PA B = PA B PB PA B = PA PB, etoces está bie defiida. Por ser A y B idepedietes, PA B = PA PB PB = PA Aplicado la regla del producto, si PB > 0, PA B = PA B PB = PA PB. Observació. Si PB = 0, como A B B, PA B = 0, y por lo tato la igualdad PA B = PA PB siempre se satisface. Propiedades. 1. Si los sucesos A y B so excluyetes, es decir si A B = y si PA > 0, PB > 0, etoces A y B o so idepedietes. Demostració. 0 = PA B PA PB. 2. Si PB = 0, etoces B es idepediete de cualquier suceso A tal que PA > 0. Demostració. Como A B B, PA B = 0, y por lo tato PA B = PA PB, es decir, A y B so idepedietes. 5

6 3. Si A B, PA > 0 y PB < 1, A y B o so idepedietes. Demostració. Como A B A B = A PA B = PA PA PB. Luego, A y B o so idepedietes. 4. Si A y B so sucesos idepedietes, A y B C tambié lo so. Demostració. PA = PA B + PA B C PA B C = PA PA B = PA PA PB = PA1 PB = PA PB C. Defiició. Los evetos A 1, A 2,..., A so idepedietes si para todo k = 2,..., y para todo cojuto de ídices {i 1, i 2,..., i k } tales que 1 i 1 < i 2 <... < i k, se verifica k k P A ij = PA ij j=1 j=1 Es decir, es ecesario verificar i=2 i = 2 1 codicioes. Observació. Si los sucesos A 1, A 2,..., A so idepedietes etoces so idepedietes de a pares, pero la recíproca o es cierta. 2. Variables aleatorias Defiició. Sea S u espacio muestral asociado co u experimeto aleatorio. Ua variable aleatoria X es ua fució que asocia a cada elemeto w S u úmero real Xw = x, es decir X : S R Como se observa, e geeral represetaremos a las v.a. co letras mayúsculas X, Y, Z, etc., y a sus valores co letras miúsculas, es decir, Xw = x sigifica que x es el úmero real asociado al resultado w S a través de X. Idicaremos co R X el rago de la v.a. X, es decir, el cojuto de sus valores posibles Variables aleatorias discretas Defiició. Ua variable aleatoria es discreta si toma u úmero fiito o ifiito umerable de valores. Defiició. La fució de probabilidad putual o de masa de ua v.a. discreta X se defie para todo x R como Propiedades. 1. p x x 0 x. 2. x R X p x x = 1. p X x = PX = x = P{w S/Xw = x} Defiició. La fució de distribució acumulada de ua v.a. discreta X, co fució de probabilidad putual p X x, se defie para todo x R como F X x = PX x = p X y y x, y R X 6

7 Propiedades. 1. x R, F X x [0, 1]. Demostració. F X X = PX x, es decir, F X x es ua probabilidad, y toda probabilidad toma valores etre 0 y F X x es moótoa o decreciete, es decir, si x 1 < x 2 F X x 1 F X x 2. Demostració. Cosideremos el suceso A = {w/xw x 2 } = {w/xw x 1 } {w/x 1 < Xw x 2 } = A 1 A 2 Como A 1 A 2 =, PA = PA 1 + PA 2, es decir PX x 2 = PX x 1 + Px 1 < X x 2 PX x 1 y, por lo tato, F X x 2 F X x 1 3. F X x es cotiua a derecha, es decir, lím h 0 + F X x + h = F X x. 4. lím x + F X x = 1 y lím x F X x = 0. Demostració. lím x + F X x = lím x + PX x = lím x + Pw/Xw x = PS = 1. lím x F X x = lím x PX x = lím x Pw/Xw x = P = E cada puto x, el valor del salto es la probabilidad putual, es decir p X x = F X x F X x dode x = lím h 0 +x h. Demostració. p X x = PX = x = PX x PX < x = F X x F X x. Proposició. Sea a y b tales que a b. Etoces 1. Pa < X b = F X b F X a 2. Pa X b = F X b F X a 3. Pa < X < b = F X b F X a 4. Pa X < b = F X b F X a 7

8 Esperaza de ua v.a. discreta Defiició. Sea X ua v.a. discreta que toma valores e R X, co fució de probabilidad putual p X x. La esperaza o valor esperado de X se defie como EX = µ X = x R X x p X x siempre que x R X x p X x <. Si la serie de los valores absolutos diverge, la esperaza o puede defiirse y decimos que o existe. Proposició. Si X es discreta y toma valores x 1, x 2,..., etoces hx es discreta co valores y 1, y 2,..., siedo y j = hx i para al meos u valor de i. Proposició. Si la v.a. X tiee fució de probabilidad putual p X x para todo x R X, etoces la esperaza de cualquier fució real hx está dada por EhX = x R X hx p X x si la serie es absolutamete covergete, es decir, si x R X hx p X x <. Demostració. Sea Y = hx. Etoces EY = y j p Y y j = j j y j p X x i = i hx i =y j j y j p X x i = hx i p X x i i hx i =y j i Propiedades. 1. Liealidad Si a y b so costates reales, EaX + b = a EX + b. Demostració. Sea hx = ax + b. Etoces, EhX = EaX + b = ax + bp X x = a xp X x + b p X x = a EX + b x R X x R X x R X 2. Si X es ua v.a. tal que PX = c = 1, etoces EX = c. Demostració. EX = cp X c = c Variaza de ua v.a. discreta Defiició. Sea X ua v.a. discreta co fució de probabilidad putual p X x. La variaza de X, que se deotará VX, σx 2 o σ2, es VX = σx 2 = x EX 2 p X x = E [X EX 2] x R X y el desvío estádar de X es Proposició. σ X = VX VX = EX 2 EX 2 8

9 Demostració. VX = E [X EX 2] = x EX 2 p X x = x 2 2 EXx + EX 2 p X x = x R X x R X = x 2 p X x 2 EX xp X x + EX 2 p X x = x R X x R X x R X = EX 2 2 EX EX + EX 2 = EX 2 EX 2 Propiedades. 1. VaX + b = a 2 VX y σ ax+b = a σ X. Demostració. E geeral, VhX = x R X hx EhX 2 p X x. Etoces, VaX + b = ax + b EaX + b 2 p X x = ax + b a EX b 2 p X x x R X x R X = ax a EX 2 p X x = a 2 x EX 2 p X x = a 2 VX x R X x R X y por lo tato, σ ax+b = a σ X. E particular, observemos que σax 2 = a2 σx 2 y σ2 X+b = σ2 X, es decir, u cambio de escala afecta a la variaza, pero ua traslació o la afecta. 2. Si X es ua v.a. tal que PX = c = 1, etoces VX = 0. Demostració. VX = EX 2 EX 2 = c 2 p X c cp X c 2 = c 2 c 2 = Variables aleatorias cotiuas Defiició. Ua variable aleatoria X es cotiua si existe ua fució f X : R R +, llamada fució de desidad de la v.a. X, tal que PX A = f X x dx A R E particular, si A = [a, b], etoces A Pa X b = y PX = a = Pa X a = 0 a R. b a f X x dx Propiedad. Para que ua fució fx sea ua fució de desidad, debe satisfacer fx 0 x R. fx dx = 1. Defiició. La fució de distribució acumulada de ua v.a. cotiua X co fució de desidad f X x se defie, para todo x R, como Propiedades. Sea X ua v.a. cotiua. F X X = PX x = x f X t dt 9

10 1. x R, F X x [0, 1]. 2. F X x es moótoa o decreciete, es decir, si x 1 < x 2 F X x 1 F X x F X x es cotiua e todo puto. 4. lím x + F X x = 1 y lím x F X x = 0. Proposició. Sea a y b tales que a b, etoces Pa X b = Pa < X b = Pa X < b = Pa < X < b = F X b F X a Demostració. Se deduce imediatamete del hecho de que, si X es cotiua, PX = x = 0 Proposició. Si X es ua v.a. cotiua co fució de desidad f X x y fució de distribució acumulada F X x, etoces, e todo puto dode F X x es derivable F x = F Xx x = f X x Demostració. Resulta del Teorema Fudametal del Cálculo Itegral y de la defiició de F X X. Defiició. Sea X ua v.a. cotiua co fució de desidad f X x y fució de distribució acumulada F X x, y sea 0 < p < 1. El percetil 100p-ésimo de la distribució de X es el valor x p, tal que F X x p = PX x p = xp ft dt = p El 50-percetil de ua distribució se deomia mediaa de la distribució Esperaza de ua v.a. cotiua Defiició. Sea X ua v.a. cotiua co fució de desidad f X x. La esperaza o valor esperado de X se defie como EX = µ X = x f X x dx siempre que x f Xx dx <. Si esta itegral o coverge, la esperaza o puede defiirse y decimos que o existe. Proposició. Si la v.a. cotiua X tiee fució de desidad f X x, etoces la esperaza de cualquier fució real hx está dada por si hx f Xx dx <. EhX = hx f X x dx Propiedad Liealidad. Si a y b so costates reales, EaX + b = a EX + b. Demostració. Sea hx = ax + b, etoces EhX = = a hxf X x dx = xf X x dx + b ax + bf X x dx = f X x dx = a EX + b 10

11 Variaza de ua v.a. cotiua Defiició. Sea X ua v.a. cotiua co desidad f X x. La variaza de X, que se deotará VX, σx 2 o σ2, es [ VX = σx 2 = E X EX 2] = x EX 2 f X x dx y el desvío estádar de X es σ X = VX. Proposició. Demostració. VX = E = VX = EX 2 EX 2 [ X EX 2] = x EX 2 f X x dx = x 2 2x EX + EX 2 f X x dx = = x 2 f X x dx 2 EX = EX 2 2 EX EX + EX 2 = EX 2 EX 2 xf X xdx + EX 2 f X x dx = Propiedad. Sea X ua v.a. cotiua co desidad f X x, etoces VaX + b = a 2 VX y σ ax+b = a σ X Demostració. E geeral, VhX = hx EhX2 f X x dx. Etoces, VaX + b = = y por lo tato, σ ax+b = a σ X. ax + b EaX + b 2 f X x dx = ax + b a EX b 2 f X x dx ax a EX 2 f X x dx = a 2 x EX 2 f X x dx = a 2 VX 3. Distribucioes de variables aleatorias 3.1. Distribucioes de variables aleatorias discretas Distribució biomial U experimeto biomial es u experimeto aleatorio que satisface las siguietes codicioes Costa de repeticioes, siedo fijo. Las repeticioes so idéticas, y e cada ua de ellas hay solo dos resultados posibles, que deomiaremos éxito E y fracaso F a u experimeto de este tipo se lo deomia esayo de Beroulli. Las repeticioes so idepedietes, es decir, el resultado de ua o ifluye sobre el de las demás. La probabilidad de éxito p = PE se matiee costate durate las repeticioes. Defiició. Dado u experimeto biomial que coste de repeticioes, co PE = p, cosideramos la v.a. X : úmero de éxitos e las repeticioes Decimos que X tiee distribució biomial co parámetros y p, y lo otamos X Bi, p. 11

12 Fució de probabilidad putual. Si X Bi, p, etoces p X x = p x 1 p x x 0, 1,..., x Fució de distribució acumulada. Si X Bi, p, etoces 0 si x < 0 x F X x = p k 1 p k si 0 x k k=0 1 si x > dode x deota la parte etera de x. Esperaza y variaza. Sea X Bi, p Distribució geométrica EX = p y VX = p1 p Defiició. Supogamos que se realiza repeticioes idepedietes de u esayo de Beroulli co probabilidad de éxito PE = p costate. Defiimos la v.a. X : úmero de repeticioes hasta obteer el primer éxito Decimos que X tiee distribució geométrica co parámetro p, y lo otamos X Gp. Fució de probabilidad putual. Si X Gp, etoces p X x = 1 p x 1 x N Fució de distribució acumulada. Si X Gp, etoces F X x = dode x deota la parte etera de x. Esperaza y variaza. Sea X Gp. EX = 1 p { 0 si x < p x si x 1 y VX = 1 p p 2 Proposició Propiedad de falta de memoria. Sea X Gp, y sea y m úmeros aturales cualesquiera. PX > + m X > = PX > m Distribució biomial egativa Defiició. Supogamos que se realiza repeticioes idepedietes de u esayo de Beroulli co probabilidad de éxito PE = p costate. Sea r 1. Defiimos la v.a. X : úmero de repeticioes hasta obteer el r-ésimo éxito Decimos que X tiee distribució biomial egativa co parámetros r y p, y lo otamos X BNr, p. 12

13 Fució de probabilidad putual. p X x = Fució de distribució acumulada. Si X BNr, p, etoces x 1 p r 1 p x r x {r, r + 1, r + 2,... } r 1 Si X BNr, p, etoces 0 si x < r x F X x = k 1 p r 1 p k r si x r r 1 k=r dode x deota la parte etera de x. Esperaza y variaza. Sea X BNr, p. EX = r p Distribució hipergeométrica y VX = r1 p p 2 Defiició. Cosideremos ua població de N elemetos, e la que cada elemeto puede ser clasificado como éxito o fracaso, y etre los cuales hay D éxitos. Supogamos que se extrae ua muestra de elemetos de la població, de forma tal que cualquier subcojuto de elemetos tiee igual probabilidad de ser elegido. Defiimos la v.a. X : úmero de éxitos e la muestra de tamaño Decimos que X tiee distribució hipergeométrica co parámetros, N y D, y lo otamos X H, N, D. Fució de probabilidad putual. Si X H, N, D, etoces D N D p X x = x x N máx0, N D x mí, D Esperaza y variaza. EX = D N Sea X H, N, D. y VX = N D 1 D N 1 N N Observació. Si es pequeño e relació a N, la distribució hipergeométrica puede ser aproximada por ua distribució biomial de parámetros y p = D N. Observemos que, e este caso, el factor N N 1 que aparece e la variaza deomiado factor de correcció por població fiita es aproximadamete Distribució Poisso Defiició. Decimos que la variable aleatoria X tiee distribució de Poisso co parámetro λ > 0, y lo otamos X Pλ, si su fució de probabilidad putual está dada por p X x = e λ λ x x! x N {0} 13

14 Esperaza y variaza. Sea X Pλ. EX = VX = λ Proposició Aproximació de la distribució biomial por la distribució Poisso. Sea X Bi, p, y supogamos que y p 0 de forma tal que el producto p = λ se matega costate. Etoces p X x = p x 1 p k e λ λ x x x! x N {0} Esto quiere decir que, para valores de grades y de p pequeños, la distribució biomial es bie aproximada por ua distribució Poisso de parámetro λ = p. Alguos autores sugiere que la aproximació es buea para 100, p 0, 01 y λ 20. Demostració. p X x = p x 1 p x = x 1... x + 1 = = Observemos que: lím x + 1 = 1 lím 1 λ = e λ lím 1 λ x = 1 x [ 1... x + 1! λ x! x! 1 λ x 1 λ x = 1 λ ] 1 λ 1 λ Etoces, p X x e λ λ x x!, como queríamos demostrar. Procesos de Poisso. x λ x x! = x λ x Defiició. Supogamos que observamos la ocurrecia de u eveto que se repite a lo largo del tiempo, y que existe ua catidad θ > 0, tal que: 1. Dado u itervalo pequeño de logitud t, la probabilidad de que ocurra exactamete u eveto es aproximadamete igual a θ t, es decir, Pocurra u eveto e t = θ t + o t dode oh es ua fució gh tal que lím h 0 gh h = La probabilidad de que ocurra más de u eveto e u itervalo pequeño de logitud t es pequeña e comparació co la probabilidad de que ocurra u eveto, es decir, Pocurra más de u eveto e t = o t 3. El úmero de evetos que ocurre e u itervalo es idepediete del úmero de evetos que ocurre e otro itervalo disjuto. U experimeto que cumple co estas características se cooce como proceso de Poisso, co tasa media de ocurrecia o itesidad θ. Se cumple que el úmero de ocurrecias del eveto e u período de logitud t tiee distribució de Poisso de parámetro θt, es decir, la v.a. satisface X Pθt. X t : úmero de ocurrecias del eveto e el itervalo de logitud t x! 14

15 3.2. Distribucioes de variables aleatorias cotiuas Distribució uiforme Defiició. Sea X ua v.a. cotiua. Decimos que X tiee distribució uiforme co parámetros A y B, y lo otamos X UA, B, si su fució de desidad es f X x = 1 B A 1 [A,B]x es decir, si su desidad es costate detro del itervalo [A, B] y 0 fuera de él. Fució de distribució acumulada. Sea X UA, B, etoces 0 si x < A x A F X x = B A si A x B 1 si x > B Esperaza y variaza. Sea X UA, B, etoces Distribució ormal EX = A + B 2 y VX = B A2 12 Defiició. Sea X ua v.a. cotiua. Decimos que X tiee distribució ormal co parámetros µ y σ 2 µ R, σ > 0, y lo otamos X Nµ, σ 2, si su fució de desidad es f X x = 1 2πσ e 1 2σ 2 x µ2 El gráfico de la fució de desidad ormal tiee forma de campaa, co eje de simetría e x = µ y putos de iflexió e x = µ ± σ. La importacia de la distribució ormal radica o sólo e que frecuetemete e la práctica se halla variables que tiee esta distribució por ejemplo, los errores de medició sio porque, bajo ciertas codicioes, suele ser ua buea aproximació a la distribució de otras variables aleatorias. Esperaza y variaza. Sea X Nµ, σ 2, etoces Distribució ormal estádar. EX = µ y VX = σ 2 Defiició. Sea Z ua v.a. cotiua co distribució ormal. Decimos que Z tiee distribució ormal estádar si sus parámetros so µ = 0 y σ 2 = 1, es decir, Z N0, 1. Su fució de desidad es f Z z = 1 e z2 2 2π 15

16 Dada Z N0, 1, su fució de distribució acu- Fució de distribució acumulada. mulada se deota Φz, y está dada por Φz = z 1 2π e t2 2 Esta fució o tiee ua expresió aalítica coocida, por lo que está tabulada. Propiedades. 1. Si X Nµ, σ 2 Z = X µ σ N0, Si Z N0, 1 y σ > 0 X = σz + µ Nµ, σ Sea X Nµ, σ 2 y Z N0, 1. Si deotamos x p y z p a los 100p-ésimos percetiles de X y Z respectivamete, etoces x p = σz p + µ Distribució gamma Defiició. Dado α > 0, defiimos la fució gamma o fució factorial como dt Propiedades. Γα = 0 x α 1 e x dx 1. Si α > 1, Γα = α 1Γα Si α N, Γα = α 1!. 3. Γ 1 2 = π. Defiició. Sea X ua v.a. cotiua. Decimos que X tiee distribució gamma co parámetros α y λ, y lo otamos X Γα, λ, si su fució de desidad es f X x = e λx x α 1 λ α Γα 1 0,+ x Esperaza y variaza. Sea X Γα, λ, etoces EX = α λ y VX = α λ 2 Defiició. Sea X ua v.a. cotiua co distribució gamma. Decimos que X tiee distribució gamma estádar co parámetro α si su parámetro λ = 1, es decir, X Γα, 1. Su fució de desidad está dada por f X x = e x x α 1 Γα 1 0,+ x Esta fució de desidad es estrictamete decreciete si α 1, y si α > 1 alcaza u máximo y después decrece. La distribució gamma estádar está tabulada para diferetes valores de α. Propiedad. Si X Γα, λ y a > 0, ax Γα, λ a. Esta propiedad permite obteer probabilidades para ua v. a. co distribució gamma a partir de ua distribució gamma estádar. Supogamos que X Γα, λ, etoces λx Γα, 1 y, por ejemplo, PX x = PλX λx = F λx λx 16

17 Distribució expoecial Defiició. Sea X ua v.a. cotiua. Decimos que X tiee distribució expoecial co parámetro λ, y lo otamos X Eλ, si su fució de desidad es f X x = λe λx 1 0,+ x Observació. Notemos que ua distribució expoecial es u caso particular de la distribució gamma co parámetro α = 1. Fució de distribució acumulada. Sea X Eλ, etoces F X x = { 0 si x 0 1 e λx si x > 0 Esperaza y variaza. Sea X Eλ, etoces EX = 1 λ y VX = 1 λ 2 Proposició Propiedad de falta de memoria. Sea X Eλ, y sea s y t úmeros reales positivos cualesquiera. PX > s + t X > s = PX > t Proposició Relació de la distribució expoecial co los procesos de Poisso. Dado u proceso de Poisso de itesidad v, si se defie la v.a. etoces T Ev. Demostració. Si t 0, F T t = 0. Sea t > 0: T : tiempo hasta la ocurrecia del primer eveto F T t = PT t = 1 PT > t = 1 PX t = 0 dado que el tiempo hasta la primera ocurrecia es mayor que t si y solo si o ha ocurrido igú eveto e el itervalo 0, t. Etoces, y, por lo tato, es decir, T Ev. F T t = 1 PX t = 0 = 1 e vt vt 0 F T x = 0! { 0 si x 0 1 e vx si x > 0 = 1 e vt 3.3. Fucioes geeradoras de mometos Defiició. Sea X ua variable aleatoria. El mometo de orde k de X se defie como E X k, siempre que la esperaza exista. Defiició. La fució geeradora de mometos de ua variable aleatoria X es ua fució a valores reales M X t, defiida como e tx p X x si X es discreta M X t = E e tx x R = X + e tx f X x dx si X es cotiua siempre que la esperaza exista para todo t h, h, h > 0. Esta última es ua codició técica ecesaria para que M X t sea difereciable e t = 0. 17

18 Euciaremos, si demostració, el siguiete lema de cálculo avazado, a partir del cual puede demostrarse u importate teorema acerca de la fució geeradora de mometos de ua variable aleatoria. Lema. Si la fució gt, defiida por gt = x e tx px o gt = e tx fxdx coverge para todo t h, h para algú h > 0, etoces existe las derivadas de orde de gt para todo t h, h y para todo N, y se obtiee como gt t = x e tx t px o gt + t = e tx t fx dx Teorema. Sea X ua v.a. para la cual existe la fució geeradora de mometos M X t. Etoces E X = M X t t Demostració. Si la fució geeradora de mometos existe para todo t h, h para algú h > 0, aplicado el lema aterior t=0 M X t t = x e tx t px o M X t + t = e tx t fx dx M X t t = x x e tx px Evaluado estas derivadas e 0, M X t t = t=0 x x px = E X o o M X t + t = x e tx fx dx M X t t = x fx dx = E X t=0 Propiedad. Sea X ua v.a. co fució geeradora de mometos M X t. Etoces, si Y = ax + b, M Y t = e bt M X at. Teorema Uicidad de la fució geeradora de mometos. Si existe la fució geeradora de mometos de ua variable aleatoria, es úica. Además, la fució geeradora de mometos determia a la fució de probabilidad putual o desidad de la v.a., salvo a lo sumo e u cojuto de probabilidad 0. 18

19 Fucioes geeradoras de mometos de alguas distribucioes Distribució Bi, p Gp BNr, p M X t e t p + 1 p pe t 1 1 pe t pe t 1 1 pe t r Pλ eλe t 1 UA, B e tb e ta tb a Nµ, σ 2 e σ2 t 2 2 +σt Γα, λ Eλ 3.4. Geeració de úmeros aleatorios λ λ t α λ λ t E diversas aplicacioes, es útil dispoer de úmeros elegidos al azar. Existe algoritmos que permite geerar úmeros aleatorios que se comporta como si proviiese de ua distribució U0, 1. El siguiete teorema os permite afirmar que esto es suficiete para obteer úmeros aleatorios que respete algua otra distribució determiada. Teorema. Sea U ua variable aleatoria tal que U U0, 1, y G ua fució de distribució acumulada cotiua y estrictamete creciete. Si X = G 1 U, etoces la fució de distribució acumulada de X es G, es decir F X = G. Demostració. Recordemos que si U U0, 1, etoces su fució de distribució es de la forma 0 si u < 0 F U u = u si 0 u 1 1 si u > 1 Por lo tato, como G es ua fució estrictamete creciete y su image perteece al itervalo 0, 1, etoces F X x = PX x = PG 1 U x = PU Gx = F U GX = GX Si la distribució G tiee saltos o es costate de a trozos, o existirá su iversa. Si embargo, se puede demostrar que existe ua fució H co las propiedades requeridas e el teorema aterior, lo que permite euciar siguiete resultado. Teorema. Sea U ua variable aleatoria tal que U U0, 1, y G ua fució de distribució acumulada. Existe ua fució H tal que HU tiee distribució acumulada G. 19

20 4. Vectores aleatorios 4.1. Vectores aleatorios e dos dimesioes Defiició. Sea X e Y v.a. discretas defiidas sobre u espacio muestral S. La fució de probabilidad cojuta del par X, Y se defie como p XY x, y = PX = x, Y = y El cojuto R XY = {x, y/x R X, y R Y } es el rago o recorrido del vector aleatorio X, Y. Dado cualquier cojuto A R 2, PX, Y A = p XY x, y Ua fució de probabilidad cojuta satisface p XY x, y 0 x, y R 2 x y p XY x, y = 1 x,y A Defiició. Sea X, Y u vector aleatorio discreto co fució de probabilidad cojuta p XY x, y. Las fucioes de probabilidad margial de X e Y está dadas por p X x = y p XY x, y p Y x = x p XY x, y Defiició. Sea X, Y u vector aleatorio discreto co fució de probabilidad cojuta p XY x, y. La fució de distribució acumulada cojuta de X, Y está dada por F XY x, y = p XY s, t x, y R 2 s x t y Defiició. Sea X, Y u vector aleatorio discreto co fució de probabilidad cojuta p XY x, y y margiales p X x y p Y y, y sea x tal que p X x > 0. La fució de probabilidad codicioal de Y dado X = x está dada por p Y X=x y = p XY x, y p X x Aálogamete, si y es tal que p Y y > 0, la fució de probabilidad codicioal de X dado Y = y está dada por p X Y =y x = p XY x, y p Y y Defiició. Sea X e Y variables aleatorias cotiuas defiidas sobre u espacio muestral S. El vector aleatorio X, Y es cotiuo si existe ua fució, deomiada fució de desidad cojuta, f XY : R 2 R 0, tal que PX, Y A = A f XY x, y dx dy A R 2 20

21 E particular, si A = [a, b] [c, d], PX, Y A = Ua fució de desidad cojuta satisface f XY x, y 0 x, y R 2. f XY x, y dx dy = 1. b d a c f XY x, y dy dx Defiició. Sea X, Y u vector aleatorio cotiuo co fució de desidad cojuta f XY x, y. La fució de distribució acumulada cojuta de X, Y está dada por F XY x, y = x y f XY s, t dt ds x, y R 2 Defiició. Sea X, Y u vector aleatorio cotiuo co fució de desidad cojuta f XY x, y. Las fucioes de desidad margial de X e Y está dadas por f X x = f Y x = f XY x, y dy f XY x, y dx Defiició. Sea X, Y u vector aleatorio cotiuo co fució de desidad cojuta f XY x, y y margiales f X x y f Y y, y sea x tal que f X x > 0. La fució de desidad codicioal de Y dado X = x está dada por f Y X=x y = f XY x, y f X x Aálogamete, si y es tal que f Y y > 0, la fució de desidad codicioal de X dado Y = y está dada por f X Y =y x = f XY x, y f Y y Idepedecia de variables aleatorias Defiició. Las variables aleatorias X e Y so idepedietes si y solo si para todo a < b y c < d se satisface P{a < X < b} {c < Y < d} = Pa < X < b Pc < Y < d Si esta codició o se satisface, diremos que X e Y so depedietes. E el caso de u vector X, Y discreto, la codició de idepedecia equivale a la siguiete: p XY x, y = p X xp Y y x, y R 2. E el caso cotiuo, X e Y so idepedietes si y solo si f XY x, y = f X xf Y y x, y R Esperaza de ua fució de dos variables aleatorias Proposició. Sea X e Y dos variables aleatorias discretas co fució de probabilidad cojuta p XY y sea hx, y : R 2 R. Etoces hx, Y es ua variable aleatoria, y EhX, Y = hx, yp XY x, y x y siempre que esta esperaza exista. 21

22 Proposició. Sea X e Y dos variables aleatorias cotiuas co fució de desidad cojuta y sea hx, y : R 2 R. Etoces hx, Y es ua variable aleatoria, y f XY EhX, Y = siempre que esta esperaza exista. hx, yf XY x, y dx dy Proposició. Sea X e Y dos variables aleatorias discretas o cotiuas, y sea a y b úmeros reales. Etoces EaX + by = a EX + b EY Demostració. Haremos la demostració para el caso cotiuo el caso discreto es similar. Sea hx, Y = ax + by. Etoces EhX, Y = = a = a = a x hx, yf XY x, y dx dy = xf XY x, y dx dy + b xf X x dx + b f XY x, y dy dx + b y ax + byf XY x, y dx dy = yf XY x, y dx dy = yf Y y dy = a EX + b EY f XY x, y dx dy = Proposició. Si X e Y so dos variables aleatorias idepedietes, etoces EXY = EX EY Covariaza y correlació Defiició. Sea X e Y dos variables aleatorias. La covariaza etre X e Y se defie como x EXy EY p XY x, y x y CovX, Y = E [X EXY EY ] = x EXy EY f XY dx dy segú sea X e Y discretas o cotiuas, respectivamete. Observació. CovX, X = VX. Proposició. CovX, Y = EXY EX EY. Demostració. CovX, Y = E [X EXY EY ] = x EXy EY p XY x, y = x y = xy x EX y EX EX EY p XY x, y = x y = xyp XY x, y EX xp XY x, y x y x y EX yp XY x, y EX EY p XY x, y = x y x y = EXY EY x p XY x, y EX y p XY x, y + EX EY = x y y x = EXY EY x xp X x EX y yp Y y + EX EY = = EXY EX EY EX EY + EX EY = EXY EX EY 22

23 Propiedad. Si X e Y so variables aleatorias idepedietes, CovX, Y = 0. La recíproca o es cierta e geeral. Demostració. Es imediato a partir del hecho de que si X e Y so idepedietes, EXY = EX EY. Proposició. Sea X e Y dos variables aleatorias discretas o cotiuas, y sea a y b úmeros reales. Etoces VaX + by = a 2 VX + b 2 VY + 2ab CovX, Y Demostració. VaX + by = E [ax + by EaX + by ] 2 = = E [ax + by a EX + b EY ] 2 = = E [ax a EX + by b EY ] 2 = = E [ax EX] 2 + E [by EY ] E[abX EXY EY ] = = a 2 VX + b 2 V Y + 2ab CovX, Y Defiició. Sea X e Y dos v.a. co variaza positiva. El coeficiete de correlació etre X e Y se defie como ρx, Y = CovX, Y σ X σ Y siedo σ X y σ Y los desvíos estádar de X e Y, respectivamete. Proposició. 1. Sea a, b, c y d úmeros reales, a 0, c 0, y X e Y dos v.a. cualesquiera co variaza positiva. Etoces ρax + b, cy + d = sgacρx, Y dode sg deota la fució sigo ρx, Y ρx, Y = 1 Y = ax + b co probabilidad 1, para ciertos valores reales a 0 y b. Observemos que el coeficiete de correlació mide relació lieal etre las variables aleatorias. Demostració. 1. Por u lado, CovaX + b, cy + d = E[aX + bcy + d] EaX + b EcY + d = = E[acXY + adx + bcy + bd] a EX + bc EY + d = = ac EXY + ad EX + bc EY + bd [ac EX EY + ad EX + bc EY + bd] = = ac[exy EX EY ] = ac CovX, Y Por otra parte, σ ax+b = a σ X y σ cx+d = c σ X, y por lo tato ρax + b, cy + d = CovaX + b, cy + d ac CovX, Y = = sgacρx, Y σ ax+b σ cy +d a c σ X σ Y 23

24 2. Cosideremos la fució real qt = E[Y EY tx EX] 2 = E[V tw ] 2 siedo V = Y EY, W = X EX. Como qt = E[V tw ] 2 = EV 2 2t EV W + t 2 EW 2 es ua fució cuadrática e t que toma valores mayores o iguales que 0, o su gráfico o corta al eje t o lo hace e u solo puto. Es decir que la ecuació qt = 0 tiee a lo sumo ua raíz, y por lo tato su discrimiate es meor o igual que 0. E uestro caso, el discrimiate es 4[EV W ] 2 4 EV 2 EW 2 y, por lo tato, 4[EV W ] 2 4 EV 2 EW 2 0 [EV W ]2 EV 2 EW 2 1 [EX EXY EY ] 2 E[Y EY 2 ] E[X EX 2 ] 1 [ρx, Y ]2 1 1 ρx, Y 1 3. Si ρ 2 X, Y = 1, volviedo a la demostració de la propiedad aterior, existe q 0 tal que qt 0 = 0, es decir, que E[V t 0 W ] 2 = 0. Pero además, EV t 0 W = 0, pues V y W tiee esperaza igual a 0. Etoces, la v.a. V t 0 W tiee variaza cero y por lo tato es costate co probabilidad 1, es decir o sea PV t 0 W = EV t 0 W = PV t 0 W = 0 = 1 PY EY tx EX = 0 = 1 PY = t 0 X + EY t 0 EX = 1 Etoces, Y = ax + b co probabilidad 1, siedo a = t 0 y b = EY t 0 EX. Falta verificar que a = t 0 0. E efecto, si t 0 fuese igual a 0, esto implicaría que EV 2 = VY = 0. Sea Y = ax + b para ciertos valores a 0 y b. Etoces ρx, Y = ρx, ax + b = CovX, ax + b EXaX + b EX EaX + b = = σ X σ ax+b σ X a σ X = a EX2 + b EX a[ex] 2 b EX a σ 2 X = aex2 [EX] 2 a σ 2 X = aσ2 X a σ 2 X 4.2. Extesió a más de dos dimesioes Vectores aleatorios discretos = ±1 Defiició. Sea X 1,..., X k variables aleatorias discretas. La fució de probabilidad cojuta del vector aleatorio X 1,..., X k se defie como y, dado cualquier cojuto A R k, p X1,...,X k x 1,..., x k = PX 1 = x 1,..., X k = x k PX 1,..., X k A = p X1,...,X k x 1,..., x k x 1,...,x k A = 24

25 Esta fució satisface las siguietes propiedades p X1,...,X k x 1,..., x k 0 x 1,..., x k. x 1 x k p X1,...,X k x 1,..., x k = 1. E forma similar al caso bidimesioal, puede defiirse las fucioes de probabilidad margial. Por ejemplo, la fució de probabilidad margial de X 1 está dada por p X1 x 1 = p X1,...,X k x 1,..., x k x 2 x k y la fució de probabilidad margial de X 1, X 2 está dada por p X1,X 2 x 1, x 2 = p X1,...,X k x 1,..., x k x 3 x k Distribució multiomial. Defiició. U experimeto multiomial es aquel e el que se repite veces ua experiecia, de forma tal que e cada repetició hay k 2 resultados posibles, cada uo de los cuales ocurre co probabilidad p i 1 i k costate a lo largo de todas las repeticioes. Si defiimos las variables aleatorias X i : úmero de veces que ocurre el resultado i para 1 i k, decimos que el vector aleatorio X 1,..., X k tiee distribució cojuta multiomial co parámetros, p 1,..., p k, y lo otamos X 1,..., X M, p 1,..., p k. Su fució de probabilidad cojuta está dada por! k p X1,...,X k x 1,..., x k = k p x i i si 0 x i i, k x i = x i! 0 e otro caso Observació. La distribució margial de X i es biomial de parámetros y p i para todo 1 i k. E geeral, las margiales de ua distribució multiomial so biomiales o multiomiales Vectores aleatorios cotiuos Defiició. El vector aleatorio X 1,..., X k es cotiuo si existe ua fució f X1,...,X k : R k R 0, deomiada fució de desidad cojuta, tal que PX 1,..., X k A =... f X1,...,X k x 1,..., x k dx 1... dx k A R k Esta fució satisface las siguietes propiedades f X1,...,X k x 1,..., x k 0 x 1,..., x k.... f X 1,...,X k x 1,..., x k dx 1... dx k = 1. A E forma similar al caso bidimesioal, puede defiirse las fucioes de desidad margial. Por ejemplo, la fució de desidad margial de X 1 está dada por f X1 x 1 =... f X1,...,X k x 1,..., x k dx 2... dx k y la fució de probabilidad margial de X 1, X 2 está dada por f X1,X 2 x 1, x 2 =... f X1,...,X k x 1,..., x k dx 3... dx k 25

26 Idepedecia de variables aleatorias Defiició. X 1,..., X k so variables aleatorias idepedietes si y solo si p X1,...,X k x 1,..., x k = k p Xi x i x 1,..., x k e el caso discreto. f X1,...,X k x 1,..., x k = k f Xi x i x 1,..., x k, salvo a lo sumo e u cojuto de probabilidad cero, e el caso cotiuo Distribució de la suma de variables aleatorias idepedietes Proposició. Sea X e Y dos v.a. idepedietes. Etoces, la fució geeradora de mometos de la suma X + Y es el producto de las fucioes geeradoras de mometos de X e Y, es decir M X+Y t = M X tm Y t Demostració. E el caso cotiuo, teemos que, si X e Y so v.a. idepedietes M X+Y t = E e tx+y = = = E e tx e ty f X xf Y y dx dy = e tx E e ty = M X tm Y t La demostració e el caso discreto es similar. e tx+y f XY x, y dx dy = e tx f X x dx e ty f Y y dy = Observació. Es imediato verificar que, si X 1,..., X so v.a. idepedietes, M X1 + +X t = M xi t A partir del resultado aterior, puede coocerse la distribució de la suma o de combiacioes lieales de ciertas variables aleatorias idepedietes, dado que la fució geeradora de mometos determia la distribució de la v.a. 1. Si X 1,..., X so v.a. idepedietes tales que X i Bi i, p, etoces X i Bi i, p E particular, si X i Bi1, p i, etoces X i Bi, p. 2. Si X 1,..., X so v.a. idepedietes tales que X i Pλ i, etoces X i P λ i 3. Si X 1,..., X so v.a. idepedietes tales que X i Gp, etoces X i BN, p 4. Si X 1,..., X so v.a. idepedietes tales que X i Eλ, etoces X i Γ, λ 26

27 5. Si X 1,..., X so v.a. idepedietes tales que X i Γ i, λ, etoces X i Γ i, λ 6. Si X 1,..., X so v.a. idepedietes tales que X i Nµ i, σi 2, y a 1,..., a so úmeros reales, etoces a i X i N a i µ i, a 2 i σi 2 E particular, si X 1,..., X so v.a. idepedietes e idéticamete distribuidas tales que X i Nµ, σ 2 i, etoces X i X = N µ, σ Sumas y promedios de variables aleatorias y T = X i Nµ, σ 2 Proposició. Sea X 1,..., X variables aleatorias cualesquiera, y a 1,..., a úmeros reales. Etoces E a i X i = a i EX i V a i X i = a 2 i VX i + 2 a i a j CovX i, X j i<j Demostració. La expresió para la esperaza puede ser probada mediate iducció e. El caso = 2 ya fue demostrado ateriormete. Supogamos ahora que la expresió es cierta para = k y probémosla para = k + 1. k+1 k E a i X i = E a i X i + a k+1 X k+1 = EY + a k+1 X k+1 siedo Y = k a i X i. Como para = 2 la igualdad se cumple, se obtiee k+1 k E a i X i = EY + a k+1 X k+1 = EY + a k+1 EX k+1 = E a i X i + a k+1 EX k+1 y, utilizado la hipótesis iductiva, E como queríamos demostrar. k+1 k a i X i = k+1 a i EX i + a k+1 EX k+1 = a i EX i 27

28 Probemos ahora la expresió correspodiete a la variaza. V a i X i = Cov a i X i, a i X i = = E a i X i a j X j E a i X i E a j X j = j=1 j=1 = E a i a j X i X j a i EX i a j EX j = j=1 j=1 = a i a j EX i X j a i a j EX i EX j = j=1 j=1 = a i a j EX i X j EX i EX j = a i a j CovX i, X j j=1 j=1 Teiedo e cueta que si i = j, CovX i, X i = VX i y que CovX i, X j = CovX j, X i, obteemos el resultado que queríamos demostrar. Corolario. Sea X 1,..., X variables aleatorias idepedietes, y a 1,..., a úmeros reales. Etoces E a i X i = a i Ex i y V a i X i = a 2 i VX i 2 Corolario. Sea X 1,..., X variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, co EX i = µ y VX i = σ 2 i = 1,...,, y a 1,..., a úmeros reales. Etoces E a i X i = µ a i y V a i X i = σ 2 a 2 i Propiedad. Sea X 1,..., X variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas, co EX i = µ y VX i = σ 2 i = 1,...,. Etoces E X i = µ y V X i = σ 2 X i E X = E 4.3. Desigualdad de Chebyshev = µ y V X = V X i = σ2 Proposició Desigualdad de Márkov. Sea X ua v.a. cualquiera que solo toma valores o egativos. Etoces, ε > 0, PX ε EX ε Demostració. Dado ε > 0, sea la v.a. Notemos que, dado que X 0, I = { 1 si X ε 0 e otro caso I X ε 28

29 Tomado esperazas e la desigualdad aterior, resulta EI EX ε Teiedo e cueta que EI = PX a, se obtiee el resultado que queríamos probar. Proposició Desigualdad de Chebyshev. Sea X ua v.a. co EX = µ y VX = σ 2 <. Etoces ε > 0, P X µ ε σ2 ε 2 Demostració. Dado que X µ 2 es ua v.a. o egativa, podemos aplicar la desigualdad de Márkov, obteiedo PX µ 2 ε 2 E X µ 2 ε 2 lo cual, teiedo e cueta que X µ 2 ε 2 X µ ε, equivale a Demostració alterativa. E el caso cotiuo, P X µ ε σ2 ε 2 σ 2 = E X µ 2 = x µ 2 f X x dx = = x µ 2 f X x dx + Etoces σ2 ε 2 {X/ X µ ε} {X/ X µ ε} x µ 2 f X x dx {X/ X µ <ε} {X/ X µ ε} P X µ ε, como queríamos demostrar. x µ 2 f X x dx ε 2 f X x dx = ε 2 P X µ ε Observació. La desigualdad de Chebyshev provee ua cota para la probabilidad de u eveto descripto e térmios de ua variable aleatoria que o depede de la distribució, sio solo de la esperaza y la variaza de la v.a. Si embargo, esta cota puede ser grosera, o icluso o iformativa si, por ejemplo, ε 2 σ 2. Formas equivaletes de la desigualdad de Chebyshev. ε > 0, P X µ ε 1 σ2 ε 2. k > 1, P X µ > kσ 1 k 2. k > 1, P X µ kσ 1 1 k 2. Las últimas dos formas muestra cómo el desvío estádar mide el grado de cocetració de la distribució alrededor de µ = EX Ley de los Grades Números Defiició. Sea X, 1, ua sucesió de variables aleatorias. Diremos que X coverge p e probabilidad a la variable aleatoria X, y lo otaremos X X, si lím P X X > ε = 0 ε > 0 29

30 Ley de los Grades Números. Sea X 1, X 2,... variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas muestra aleatoria, co EX = µ y VX = σ 2 <. Etoces siedo X = X i el promedio muestral. X p µ Demostració. Sabemos que EX = µ y VX = σ2. Aplicado la desigualdad de Chebyshev y, por lo tato Luego, X P X µ ε VX ε 2 lím P X µ ε lím p µ, como queríamos demostrar. = σ2 ε 2 ε > 0 σ 2 ε 2 = 0 ε > 0 Proposició Versió Beroulli de la Ley de los Grades Números. Cosideremos repeticioes idepedietes de u experimeto aleatorio, y u suceso A co probabilidad p costate a lo largo de las repeticioes. Si llamamos A al total de veces que ocurre A e las repeticioes, y f A = A a la frecuecia relativa de A, teemos que es decir f A p p lím P f A p > ε = 0 ε > 0 Demostració. Como A Bi, p co p = PA, etoces E A = p y V A = p1 p. Luego A A p1 p Ef A = E = p y Vf A = V = Aplicado la desigualdad de Chebyshev Luego P f A p ε Vf A p1 p ε 2 = ε 2 ɛ > 0 lím P f A p ε lím como queríamos demostrar Teorema Cetral del Límite p1 p ε 2 = 0 ε > 0 Teorema Cetral del Límite. Sea X 1, X 2,... v.a. idepedietes e idéticamete distribuidas, co EX i = µ y VX i = σ 2 < i. Etoces, si es suficietemete grade T µ a X µ a N0, 1 N0, 1 σ σ o, dicho de otro modo T µ σ d Z N0, 1 X µ σ d Z N0, 1 dode la covergecia e distribució d se iterpreta e el siguiete setido T µ X µ P a = Φa P a = Φa σ σ es decir, que las fucioes de distribució coverge a la fució de distribució ormal estádar. 30

31 Demostració. Lo demostraremos bajo la hipótesis de que la fució geeradora de mometos de X i, M Xi t, existe y es fiita. Supogamos iicialmete que µ = 0 y σ 2 = 1. E este caso, la fució geeradora de mometos de T está dada por t M T t = M T = M t X = i por ser las X i idepedietes. Sea Lu = lm Xi u, etoces t t M Xi = M Xi L0 = lm Xi 0 = l1 = 0 L 0 = lm X I u u = M X i u = M X i 0 u=0 M Xi u u=0 M Xi 0 = µ 1 = µ = 0 L 0 = 2 lm Xi u u 2 = M X i um Xi u [M X i u] 2 u=0 [M Xi u] 2 = u=0 = M X i 0M Xi 0 [M X i 0] 2 [M Xi 0] 2 = EX 2 i = 1 Ahora, para poder probar el teorema, demostraremos que M T que L t t2 2. Aplicado la regla de L Hospital dos veces lím L t 1 L t t 3 2 = lím 2 2 L t t = lím L t t = lím = L t t 2 = lím 2 e t2 2, o, equivaletemete, por lo tato, hemos probado el Teorema Cetral del Límite para µ = 0 y σ 2 = 1. El caso geeral resulta cosiderado las v.a. estadarizadas, X i µ σ = X i Aplicacioes del Teorema Cetral del Límite Aproximació de la distribució biomial por la ormal. Sea X Bi, p, etoces X es el úmero de éxitos e repeticioes de u experimeto biomial co probabilidad de éxito igual a p, y X es la proporció muestral de éxitos. Si defiimos las variables aleatorias { 1 si se obtuvo éxito e la i-ésima repetició X i = 0 si se obtuvo fracaso e la i-ésima repetició = t2 2 para i = 1,...,, estas v.a. so idepedietes, co X i Bi1, p i y X i = X. Aplicado el Teorema Cetral del Límite, si es suficietemete grade, X a a Np, p1 p N p, X p1 p Se cosidera que la aproximació es buea si p 5 y 1 p 5. Correcció por cotiuidad. Cuado se aproxima ua distribució discreta por ua cotiua, como es el caso de la aproximació de la distribució biomial por la ormal, es ecesario efectuar ua correcció. E geeral, cuado la v.a. es discreta y x i x i 1 = 1, la correcció se realiza e la forma: PX a = PX a + 0, 5 PX a = PX a 0, 5 31

32 Aproximació de la distribució de Poisso por la ormal. Sea X 1,..., X v.a. idepedietes e idéticamete distribuidas, co distribució de Poisso de parámetro λ. Etoces X i Pλ Por lo tato, cualquier v.a. co distribució de Poisso co parámetro suficietemete grade puede ser aproximada por la distribució ormal. Aproximació de la distribució gamma por la ormal. Sea X 1,..., X v.a. idepedietes e idéticamete distribuidas, tales que X i Γ i, λ. Etoces X i Γ i, λ Por lo tato, cualquier v.a. co distribució Γα, λ co parámetro αsuficietemete grade puede ser aproximada por la distribució ormal. 5. Iferecia estadística 5.1. Coceptos básicos de ua ivestigació estadística Població: Cojuto total de los sujetos o uidades de aálisis de iterés e el estudio Muestra: Cualquier subcojuto de sujetos o uidades de aálisis de la població e estudio. Uidad de aálisis o de observació: Objeto bajo estudio. Puede ser ua persoa, ua familia, u país, ua istitució o, e geeral, cualquier objeto. Variable: Cualquier característica de la uidad de observació que iterese registrar y que e el mometo de ser registrada puede ser trasformada e u úmero. Valor de ua variable, dato, observació o medició: Número que describe a la característica de iterés e ua uidad de observació particular. Caso o registro: Cojuto de medicioes realizadas sobre ua uidad de observació Medidas de resume So medidas de fácil iterpretació que refleja las características más relevates de los datos proveietes de variables uméricas. Medidas de posició o cetrado. Cuál es el valor cetral o que mejor represeta a los datos? Supogamos que dispoemos de u cojuto de datos, que represetaremos por x 1,..., x. Promedio o media muestral. x = x i. Mediaa muestral. Sea los estadísticos de orde muestrales x 1 x 2 x. x k+1 si = 2k + 1 Defiimos como mediaa x = x k + x k+1. si = 2k 2 32

33 Media α-podada. x α = x α x α. 2 α Medidas de dispersió o variabilidad. so los datos al valor típico? Cuá dispersos está los datos? Cuá cercaos Rago muestral. Rx = máxx i míx i. Variaza muestral. S 2 = x i x 2. 1 Desvío estádar muestral. S = S 2. Distacia itercuartil. d I = cuartil superior cuartil iferior = x 0,75 x 0,25, dode x α, 0 α 1, es el 100α-ésimo percetil del la muestra, es decir, el valor por debajo del cual se ecuetra el 100α % de la muestra ordeada. Distacia etre cuartos. d C = cuarto superior cuarto iferior, dode los cuartos iferior y superior so la mediaa de la primera y la seguda mitad de la muestra ordeada, respectivamete e caso de que el tamaño de la muestra sea impar, se extiede ambas mitades co la mediaa de la muestra completa. Desvío absoluto mediao. MAD = mediaa x i x Estimació putual La mayoría de las distribucioes de probabilidad depede de cierto úmero de parámetros. El objetivo de la estimació putual es usar ua muestra para obteer úmeros que represete lo mejor posible a los verdaderos valores de los parámetros de iterés. Supogamos que se seleccioa ua muestra de tamaño de ua població. Ates de obteer la muestra, la primera observació puede ser cosiderada ua v.a. X 1, la seguda ua v.a. X 2, etc. Por lo tato, ates de obteer la muestra deotaremos X 1, X 2,..., X a las observacioes y, ua vez obteida la muestra, deotaremos x 1, x 2,..., x a los valores observados. Defiició. Dado u parámetro θ, u estimador putal del parámetro es u valor que se obtiee a partir de algua fució de la muestra y que puede cosiderarse represetativo del parámetro. Lo deotaremos ˆθ Método de estimació por mometos Defiició. Dada ua muestra aleatoria X 1,..., X, se deomia mometo muestral de orde k a X k i Defiició. Sea X 1,..., X ua muestra aleatoria de ua distribució cuya fució de probabilidad putual o fució de desidad depede de m parámetros θ 1,..., θ m. Los estimadores de mometos de estos parámetros so los valores ˆθ 1,..., ˆθ m que se obtiee igualado m mometos poblacioales los correspodietes la distribució cuyos parámetros se busca estimar co los correspodietes mometos muestrales. Se obtiee, e geeral, resolviedo el sistema de ecuacioes Xi k = EX k k = 1,..., m 33

34 Método de estimació de máxima verosimilitud Defiició. Sea X 1,..., X v.a. co fució de probabilidad cojuta p X x 1,..., x o fució de desidad cojuta f X x 1,..., x que depede de m parámetros θ 1,..., θ m. Si x 1,..., x so los valores observados, la fució de verosimilitud de la muestra es la fució L : R m R 0 que se obtiee al cosiderar a la fució de probabilidad o de desidad cojuta como fució de los parámetros θ 1,..., θ m, y se deota Lθ 1,..., θ m. Defiició. Los estimadores de máxima verosimilitud EMV de θ 1,..., θ m so los valores ˆθ 1,..., ˆθ m que maximiza la fució de verosimilitud, es decir Lˆθ 1,..., ˆθ m L θ 1,..., θ m θ 1,..., θ m La forma geeral de los EMV se obtiee reemplazado los valores observados x i por las variables aleatorias X i. Propiedad Ivariaza de los EMV. Si ˆθ es el EMV de u parámetro θ y h es ua fució iyectiva co domiio e el rago de valores posibles de θ, etoces el EMV de hθ es hˆθ Propiedades de los estimadores Defiició. U estimador putual ˆθ del parámetro θ, es isesgado si E θ ˆθ = θ θ Si ˆθ o es isesgado, se deomia sesgo de ˆθ a bˆθ = E θ ˆθ θ. Defiició. U estimador putual ˆθ del parámetro θ, basado e ua muestra X 1,..., X es asitóticamete isesgado si lím E θˆθ = θ θ Pricipio de estimació isesgada de míima variaza. Etre todos los estimadores isesgados de θ, coviee elegir el de meor variaza. Este estimador se deomia IMVU isesgado de míima variaza uiformemete. Teorema. Sea X 1,..., X ua muestra aleatoria de ua distribució Nµ, σ 2. Etoces X es estimador IMVU de µ. Defiició. El error estádar de u estimador ˆθ es su desvío estádar, es decir σˆθ = V θ ˆθ E caso de depeder de parámetros descoocidos, estos se reemplaza por u estimador y se obtiee el error estádar estimado. Defiició. Sea ˆθ u estimador de θ. Su error cuadrático medio es [ ECM θ ˆθ = E θ ˆθ θ 2] Si el estimador ˆθ es isesgado, el error cuadrático medio es igual a la variaza del estimador. Proposició. ECM θ ˆθ = V θ ˆθ + [bˆθ 2] siedo bˆθ = E θ ˆθ θ el sesgo del estimador. 34