ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL

Transcripción

1 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn ESPACIO AFÍN REAL TRIDIENSIONAL VECTORES FIJOS EN EL ESPACIO. Definimos n VECTOR ORIENTADO FIJO el espcio como n prej oren e pntos AB lo representremos por AB. A recibe el nombre e ORIGEN el vector. B recibe el nombre e EXTREO el vector A B Si los os etremos coincien se ice qe el vector fijo es nlo: AA BB CC... El conjnto e vectores fijos lo representremos por F. Too vector fijo qe etermino por: ÓDULO: es l longit el segmento etermino por los os pntos. Lo representremos por. DIRECCION: es l líne qe ps por los os pntos. Dos vectores tienen igl irección si ls rects qe los contienen son prlels. SENTIDO: es el recorrio e l rect cno nos trslmos el origen l etremo el vector. Dos vectores tienen el mismo sentio cno tienen l mism irección l nir los orígenes los vectores qen en el mismo semiplno. Los vectores nlos tienen toos mólo cero mitiremos qe tienen l mism irección sentio. VECTORES EQUIVALENTES O EQUIPOLENTES. Dos vectores fijos se ice qe son eqivlentes o eqipolentes cno tienen el mismo mólo l mism irección el mismo sentio. Si AB CD son eqivlentes se escribe AB CD Geométricmente si AB CD l nir los orígenes los etremos entre sí se form n prlelogrmo: C D A B 66

2 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Est relción e eqivlenci permite clsificr el conjnto e vectores fijos en clses e eqivlenci qe contienen toos los vectores eqivlentes entre sí. C n e ests clses en qe está clsifico el conjnto F recibe el nombre e VECTOR LIBRE. En consecenci n vector libre es n conjnto e vectores fijos toos ellos eqivlentes entre sí se represent por [ AB] inicno qe AB es n representnte e toos los vectores orientos e l clse. Toos los vectores fijos nlos formn el vector libre cero nlo. Un representnte es AA se esign por El conjnto e vectores libres lo representmos por V. ÓDULO DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR LIBRE. Toos los vectores fijos qe pertenecen n mism clse son eqivlentes entre sí es ecir qe toos tienen el mismo mólo l mism irección el mismo sentio. Tenieno en cent esto se llm mólo irección sentio e n vector libre no nlo l mólo irección sentio e no clqier e los vectores e l clse. El vector libre tiene por mólo crece e irección sentio. Los vectores AB BA tienen el mismo mólo l mism irección pero los sentios son opestos. PROPIEDAD FUNDAENTAL DE LOS VECTORES LIBRES. Los vectores fijos el espcio tienen s origen etremo en pntos fijos el espcio. A iferenci e éstos los vectores libres se peen plicr en clqier pnto qe se esee simplemente con elegir el representnte e l clse eco. Est propie poemos enncirl e l sigiente form: Si [ AB] es n vector libre el espcio O n pnto clqier el espcio eiste n único representnte e este vector qe tiene s origen en el pnto O. B O A O O' 67

3 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn ESTRUCTURA DE V. En el conjnto e vectores libres se efinen ls sigientes operciones:. SUA DE VECTORES LIBRES. Dos os vectores libres v el espcio se llm SUA e v l vector libre qe se obtiene e l sigiente form: Se consier n pnto rbitrrio O el espcio se tom n representnte e con origen en O OA. A continción se tom AB como representnte e v ; el vector sm es el qe tiene por representnte el vector OB qe reslt e nir el origen el primer vector con el etremo el último vector smno. v OA AB OB [ ] [ ] [ ] v v B v O A El vector sm e v se represent por v. Est sm sí efini verific ls sigientes propiees:. Asocitiv: v w v w b. Conmttiv: v v c. Elemento netro: AB. Elemento simétrico: si [ ] [ BA] Con too esto el conjnto e vectores libres respecto e l operción SUA tiene estrctr e GRUPO CONUTATIVO.. PRODUCTO DE UN NÚERO REAL POR UN VECTOR LIBRE Se n vector libre no nlo k n número rel no nlo. Se llm procto e n número rel por n vector se represent por qe tiene ls sigientes crcterístics: ólo: k k Dirección: l mism qe Sentio: el mismo qe si es positivo k el opesto e si k es negtivo Si o k el procto k es el vector. k l vector 68

4 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Est operción verific ls sigientes propiees:. Distribtiv respecto e l sm e vectores: k v k k v b. Distribtiv respecto e l sm e números reles: k k' k k' c. Pseosocitiv o socitiv mit: k k' k k'. El elemento ni e R tmbién es elemento ni pr est operción:. El conjnto e vectores libres V con ls os operciones efinis nteriormente verificno ls propiees enncis tiene estrctr e ESPACIO VECTORIAL Pesto qe V tiene estrctr e espcio vectoril poemos hblr en él e conceptos como l epenenci e inepenenci linel e vectores sistem e generores bse imensión etc. BASE DE V. "Tres vectores libres no nlos qe no estén en el mismo plno no sen coplnrios formn n bse e V ". En efecto: Son linelmente inepenientes qe si fern l.. no se porí epresr como combinción linel e los otros os en consecenci serí coplnrio con ellos en contr e l hipótesis. Formn n sistem generor e V Hemos e ver qe clqier vector e V lo poemos epresr como combinción linel e ellos. Tomemos representntes e c no e los vectores con origen en n pnto clqier O: OU OU OU respectivmente. Z U ' U O U ' Y U ' U ' X 69

5 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn ' ' ' Si proectmos el vector sobre los ejes obtenemos los pntos U U U ; los ' ' ' vectores OU OU OU son proporcionles los vectores por tener l mism irección qe ellos se porán epresr e l form: ' ' ' OU OU OU Por otr prte tenemos: [ ] ' ' ' ' ' ' ' OU OU U U OU OU OU OU OU En consecenci los vectores genern el espcio vectoril V formn n bse el mismo. L imensión e V será tres pesto qe clqier bse el mismo está form por tres vectores. Los números reles qe nos permiten epresr el vector como c.l. e los vectores e l bse reciben el nombre e coorens el vector respecto e l bse B { } ésts son únics. Esto nos permite estblecer n plicción linel entre los espcios vectoriles V R ientificno n vector libre con n tern e números reles ss coorens trnsformno to relción geométric e V en n relción lgebric en R. V R V R v V R V R En físic con frecenci en mtemátics se ientificn los vectores nméricos con los vectores libres i j k respectivmente. Los primeros constiten l BASE CANÓNICA en R los segnos l BASE CANÓNICA en V. ESPACIO AFÍN. L propie fnmentl e los vectores libres nos permite efinir n plicción biectiv entre los pntos el espcio orinrio E los vectores e V e l sigiente form: Fijo n pnto O rbitrrio e E qe llmremos ORIGEN efinimos n plicción e E en V biectiv one c pnto P E le hcemos corresponer el p OP qe llmremos VECTOR DE POSICIÓN el pnto P. vector libre [ ] E P E O fijo biectiv O fijo V p [ OP] V 7

6 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Llmmos ESPACIO AFÍN l tern E V f one: E es el conjnto e pntos el espcio orinrio. V es el espcio vectoril e los vectores libres. f es l plicción qe soci c pr e pntos PQ el espcio el vector libre qe tiene por representnte el vector fijo PQ. f E E V P Q [ PQ] Est plicción f verific ls sigientes propiees:. f P Q f Q P [ PQ] [ QP]. Propie tringlr: PQR E se verific qe [ PQ] [ QR] [ ] f P Q f Q R f R P RP Est relción recibe el nombre e RELACIÓN DE CHARLES.. Clqier qe se el pnto P E clqier qe se el vector V eiste n único pnto Q E tl qe f P; Q [ PQ]. El espcio V recibe el nombre e espcio vectoril socio l espcio fín. L imensión el espcio fín es l mism qe l imensión el espcio vectoril socio. En nestro cso l imensión el espcio fín E es. COORDENADAS DE UN PUNTO EN EL PLANO AFIN. Fijo n pnto O rbitrrimente qe llmmos ORIGEN tenemos efini n plicción biectiv entre E V e l form: O fijo biectiv V O fijobiectiv E P E p [ OP] V Este vector p [ OP] qe le hcemos corresponer l pnto P recibe el nombre e VECTOR DE POSICIÓN el pnto. Fij l bse e V tenemos otr plicción biectiv entre los vectores ss coorens: V { B fij} R { B fij} p V R Componieno ests os plicciones biectivs obtenemos otr plicción biectiv e E en R e l form: 7

7 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn E O fijo biectiv V O fijobiectiv P E p [ OP] V R R En consecenci too pnto P E le poremos socir ns coorens R tles qe p. Por tnto n pnto s vector e posición tienen ls misms coorens. El pnto O l bse B fijos en ls os plicciones efinis nteriormente eterminn ls coorens e los pntos los vectores es ecir nos sirven e referenci pr fijr coorens en el espcio fín. Se llm SISTEA DE REFERENCIA AFÍN el espcio E l pr ROB one O es n pnto rbitrrio qe se elige como origen B es n bse el espcio vectoril socio V. R { O; } Ls coorens e n pnto P clqier respecto el sistem e referenci consiero en E son ls misms qe ls e s vector e posición p respecto e l bse e icho sistem e referenci: p P De hor en elnte en el espcio fín E sponremos conoci l referenci R{O ; i j k } slvo qe se ig lgo en contr. COORDENADAS DE UN VECTOR DEFINIDO POR DOS PUNTOS. Sen A B os pntos el espcio fín E referios l sistem e referenci R. Estos os pntos jnto con el origen O formn n tern e pntos el espcio fín plicno l propie e Chrles tenemos: o bien OA AB OB AB OB OA en fnción e los vectores e posición e los pntos b AB A O b B Si tenemos en cent qe n pnto s vector e posición tienen ls misms coorens ls coorens el vector AB nos venrán s por: 7

8 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Ejemplos: AB Hllr ls coorens el vector etermino por los pntos A B4 AB 4 4 Dos los pntos A B5 C hllr ls coorens el pnto D pr qe los vectores AB CD sen eqivlentes. Sponieno qe ls coorens el pnto D son clclmos ls coorens e los vectores AB CD : AB 5 4 CD Pr qe sen eqivlentes ss coorens tienen qe ser igles. Lego: 4 4 D 4 COORDENADAS DEL PUNTO EDIO DE UN SEGENTO. El problem plnteo es obtener ls coorens el pnto meio e n segmento prtir e ls coorens e los etremos. Sen A B los etremos e n segmento s pnto meio. Entonces se verific qe: A AB Si representmos por b m los vectores e posición e los pntos A B respectivmente tenemos: m b m b m b A m b B O Si ls coorens e los pntos son A B m m m respectivmente sstiteno en l epresión vectoril nterior tenemos: m m m [ ] m m m 7

9 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn EJEPLOS: Por el mismo proceimiento porímos iviir n segmento en n prtes igles. Clclr el pnto meio el segmento etermino por los pntos A B5. m [ 5 ] 48 4 Sbieno qe ls coorens el pnto meio el segmento son qe ls coorens B son hllr ls coorens e A. Sponieno qe ls coorens el pnto A son tenremos: [ ] e one: 4 Por tnto ls coorens el pnto A son 4. LA RECTA: ECUACIONES DE LA RECTA. Un rect en el espcio fín E nos viene etermin por: A Un pnto A n vector vector irector no nlo. Dos pntos A B e l mism. X Se llm rect etermin por el pnto A el vector libre no nlo l conjnto e pntos X E B tles qe AX R b { X E / AX R} r A O Tenieno en cent qe AX l conición nterior nos qe e l sigiente form: R qe recibe el nombre e ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA. 74

10 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Si AB es n representnte el vector libre l ección nterior nos qe e l sigiente mner: R sieno b qe tmbién es l ección vectoril e l rect rect qe ps por los pntos A B. El pnto A recibe el nombre e PUNTO BASE e l rect el vector VECTOR DIRECCIÓN VECTOR DIRECTOR e l rect. Si ls coorens e los pntos A B son respectivmente ls el vector irector sstiteno en l ección vectoril operno obtenemos: Por n prte: R qe reciben el nombre e ECUACIONES PARAÉTRICAS e l rect etermin por el pnto A el vector. Por otr: R qe son ls ECUACIONES PARAÉTRICAS e l rect qe ps por os pntos: A B. Si en ls ecciones prmétrics espejmos el prámetro nos qe: qe recibe el nombre e ección e l rect en FORA CONTINUA. Operno e l mism form en ls ecciones prmétrics obtenemos: 75

11 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn qe recibe el nombre e ección e l rect qe ps por os pntos en FORA CONTINUA. Ests epresiones e l ección e l rect en form contin tienen sentio ún cno no o os enominores sen nlos. Si en l ección contin e l rect consiermos el vector irección vrible obtenremos el conjnto e rects e E qe psn por el pnto A. Este conjnto e rects e E qe psn por n pnto A o recibe el nombre e RADIACION DE RECTAS DE BASE EL PUNTO A. Un pnto es inciente con n rect o n rect ps por n pnto cno el pnto pertenece l rect. L conición necesri sficiente pr qe n pnto pertenec n rect es qe ls coorens el pnto verifiqen l ección e l rect. Alineción e pntos. Tres o más pntos están lineos cno pertenecen l mism rect. "Si los pntos A A A A n están lineos los vectores l mism irección es ecir son proporcionles". EJEPLOS: A A A A A An Encontrr ls ecciones e los ejes coorenos. tienen Z EJE OX: X i k O j Y Rect qe ps por O tiene por vector irección i : Form vectoril: F. Prmétric: F. contin: 76

12 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn EJE OY: Rect qe ps por O tiene por vector irección j : Form vectoril: F. Prmétric: F. contin: EJE OZ: Rect qe ps por O tiene por vector irección k : Form vectoril: F. Prmétric: F. contin: Hllr l ección e l rect qe ps por A tiene por irección el vector. Form vectoril: Form prmétric: R Form contin: Hllr ls ecciones e l rect qe ps por los pntos A B. El vector irector e l rect nos viene etermino por los pntos A B. Entonces: AB Ls ecciones e l rect serán: F. vectoril: Form prmétric: R Form contin: 77

13 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn EL PLANO: ECUACIONES. Consieremos n pnto A os vectores libres v linelmente inepenientes. A v C b B X Sen AB AC os representntes e v. Se llm PLANO AFÍN etermino por el pnto A los vectores v l conjnto e pntos e E tles qe el vector AX se pe epresr como combinción linel e los vectores v { X E / AX μ v R} A; v μ O Tenieno en cent los representntes e los vectores v el plno fín es el conjnto e pntos X E tles qe el vector AX se pee epresr como combinción linel e los vectores C. AB AC plno etermino por tres pntos no lineos A B { X E / AX AB AC} A B C μ Si consiermos los vectores e posición e los pntos tenremos: AX AB b AC c sstiteno en ls coniciones nteriores nos qe: o bien : μ v μ v one μ R b μ c b μ c μ R Clqier e ests ecciones recibe el nombre e ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO. Si ls coorens e los pntos son X A B C ls e los vectores v v v v respectivmente entonces: AX AB b 78

14 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn c AC Sstiteno en ls ecciones vectoriles nos qe: v v v μ μ μ R μ μ μ μ qe son ls ECUACIONES PARAÉTRICAS el plno etermino por n pnto A los vectores o por los pntos A B C no lineos. v Pr obtener l ección generl o implícit el plno eliminremos los prámetros μ en ls ecciones prmétrics; esto eqivle epresr qe si el pnto X pertenece l plno el sistem en μ formo por ls ecciones prmétrics posee solción v v v r v v v r el rngo no pee ser qe los vectores v son linelmente inepenientes. Por tnto: v v v esrrollno el eterminnte obtenemos: D C B A qe es l ECUACIÓN GENERAL o IPLÍCITA el plno. Si A B C l ección el plno crece e sentio. Un pnto se ice qe es INCIDENTE con n plno cno pertenece icho plno. Ls ecciones el plno epresn l conición necesri sficiente pr qe n pnto se inciente con n plno. Do n plno e E : D C B A pr qe n pnto pertenec l plno tenrá qe verificr qe P D C B A Restno mbs epresiones obtenemos: C B A 79

15 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn qe pr A B C vribles representrá el conjnto e plnos e E qe son incientes con el pnto P. Este conjnto e plnos incientes con el pnto P recibe el nombre e RADIACIÓN DE PLANOS DE BASE EL PUNTO P. Pntos coplnrios. plno. Ctro o más pntos el espcio E son coplnrios cno pertenecen l mismo Sen A A A es qe e los vectores A n n pntos no lineos: l conición pr qe sen coplnrios A A A A A A n sólo h os linelmente inepenientes. r A A A A A A n A A A 4 A A 5 ECUACION SEGENTARIA DEL PLANO. Clqier plno no prlelo ningno e los tres ejes qe no pse por el origen cort los ejes en tres pntos e l form A B b C c. C c b B Estos tres pntos eterminn os vectores: AB b AC c L ección el plno etermino por estos tres pntos nos venrá por A A AB AC b c bc. c. b. bc. c. b. bc 8

16 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Diviieno por.b.c obtenemos: b c SEGENTARIA el plno. qe recibe el nombre e ección Los vlores b c reciben el nombre e ABSCISA ORDENADA COTA en el origen respectivmente. EJEPLOS:. Hllr l ección el plno qe ps por el pnto A tiene por vectores irectores v.. Encontrr ls ecciones el plno qe ps por los pntos A B C.. Hllr ls ecciones e los plnos crtesinos. 4. Hllr l ección segmentri el plno qe ps por los pntos A B5 C. 5. Hllr l ección el plno qe cort los ejes e coorens en pntos sitos istnci "" el origen. Hllr el vlor e pr qe el plno se Comprobr si los pntos A B478 C55 D E son coplnrios. 7. Qé relción eben verificr los prámetros b c pr qe los pntos A B C Dbc sen coplnrios? PLANO DETERINADO POR UNA RECTA Y UN PUNTO EXTERIOR A ELLA. Un rect r el espcio fín n pnto P eterior ell eterminn n único plno. A P X Se r A; l eterminción linel e n rect en el espcio fín P n pnto qe no pertenece ich rect. Pr eterminr n plno necesitmos n pnto os vectores linelmente inepenientes: el pnto pee ser el pnto bse e l rect A los os vectores el irector e e l rect el formo por los pntos A P AP. En consecenci l eterminción linel el plno bsco será: A; AP Si A P entonces los vectores: AX AP serán linelmente epenientes por tnto: 8

17 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Desrrollno este eterminnte obtenemos l ección generl o implícit el plno peio. EJEPLOS:. Hllr l ección el plno qe ps por el pnto P contiene l rect por l ección: L rect tiene como pnto bse A por vector irección El vector AP tenrá por coorens AP 4 El plno peio nos venrá etermino por el pnto A los vectores A; AP s ección será: 4 Desrrollno el eterminnte obtenemos: AP : qe es l ección el plno peio..-hllr l ección el plno qe ps por el origen por l rect r L rect tiene como pnto bse A por vector irección El pnto P en este cso es el origen qe tiene por coorens O. Por tnto el vector AO tenrá por coorens AO El plno peio nos venrá etermino por el pnto O los vectores AO : O; AO s ección será: Desrrollno el eterminnte obtenemos: 4 4 qe es l ección el plno peio. 8

18 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn.-Hllr l ección el plno qe ps por l rect POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS. r por el pnto P. Ls posiciones reltivs e os plnos en el espcio son tres: SECANTES: tienen en común los pntos e n rect. PARALELOS: no tienen ningún pnto en común. COINCIDENTES: tienen toos ss pntos en común. Vmos bscr ls coniciones qe nos en istingir c no e estos csos hcieno n estio e los pntos comnes ichos plnos. Consieremos os plnos e E e ecciones: A B C D A' B' C' D' Pr estir los pntos P bstr estir el sistem formo por ls ecciones e ichos plnos. Pr este estio vmos consierr ls mtrices el sistem: A B C * A B C D A' B' C' A' B' C' D' Según sen los rngos e ests mtrices poemos istingir los sigientes csos:. Si rngo rngo * El sistem formo por ls ecciones e los plnos es comptible e inetermino ls solciones epenen e n prámetro. En consecenci los os plnos son secntes se cortn según n rect. r Esto nos permite epresr n rect como intersección e os plnos: ls ecciones e estos plnos reciben el nombre e ECUACIONES IPLÍCITAS e l rect. Pr obtener prtir e ells ls ecciones prmétrics e l rect sólo tenremos qe resolver el sistem.. Si rngo rngo * El sistem formo por ls ecciones e los plnos es incomptible no tiene solción: los os plnos no tienen ningún pnto en común 8 es ecir qe son prlelos.

19 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn De rngo se ece qe: A B C k A' B' C' A B C A' B' C' lo qe nos inic qe los coeficientes e son proporcionles. De rngo * se ece qe eiste n menor e oren istinto e cero por lo qe los plnos serán istintos emás si A D A D A D' A' D A' D' A' D' enlno con l conición nterior nos qe: A B C A' B' C' qe es l conición e prlelismo entre plnos. D D' Esto nos llev l sigiente conclsión: Ls ecciones implícits e os plnos prlelos se iferencin en el término inepeniente es ecir si l ección e n plno nos viene por A B C D l ección e clqier plno prlelo él será e l form A B C K K R one K epene el pnto por one pse el plno. Pr hllr el vlor e K se sstiten ls coorens el pnto por one ps en l ección el plno se espej el vlor e K.. Si rngo rngo * El sistem es comptible inetermino ls solciones epenen e os pr metros. Ls ecciones e los os plnos son proporcionles tienen toos ss pntos en común es ecir los os plnos son COINCIDENTES. En resmen: L conición e coincienci entre plnos nos venrá por: A B C D A' B' C' D' es ecir toos los coeficientes e ls ecciones e los plnos son proporcionles. Si los coeficientes e ls incógnits en ls ecciones e los plnos no son proporcionles los plnos se cortn según n rect e l qe serín ss ecciones implícits.. Si los coeficientes e ls incógnits en ls ecciones e los plnos son proporcionles los plnos son prlelos: 84

20 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn. Si l proporcionli no se trnsmite los términos inepenientes los plnos son prlelos istintos. b. Si l proporcionli se trnsmite los términos inepenientes los plnos son coincientes. POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS. Estiemos el sistem formo por ls ecciones e los tres plnos: A B C D A' B' C' D' A'' B'' C'' D'' Ls mtrices e coeficientes mpli * son: A B C A * A' B' C' A' A'' B'' C'' A'' Peen presentrse los sigientes csos: B B' B'' C C' C'' D D' D' '. Si rngo rngo * El sistem es comptible etermino: tiene solción únic. Los tres plnos se cortn en n pnto qe se obtiene resolvieno el sistem. P. Si rngo rngo * el sistem es incomptible los tres plnos no tienen ningún pnto en común. Por ser rngo * los tres plnos son istintos. Estino l posición reltiv e los plnos os os ls sitciones qe nos poemos encontrr son: Los plnos se cortn os os formno n sperficie prismátic. b Dos e los plnos son prlelos el tercero los cort. r r s t s 85

21 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn. Si rngo rngo *. El sistem es comptible e inetermino: Ls infinits solciones el sistem epenen e n prámetro representn los pntos e n rect los plnos se cortn en n rect. Ls sitciones posibles son: Los tres plnos son istintos se cortn en n rect. b H os plnos coincientes el tercero los cort. r r Por ser el rngo e ls mtrices igl os tenemos os plnos inepenientes otro qe será combinción linel e ellos: A' ' B'' C'' D'' A B C D μ A' B' C' D' Si consiermos μ vribles tenremos el conjnto e plnos qe psn por n rect l rect intersección e. El conjnto e plnos e E qe psn por n rect recibe el nombre e HAZ DE PLANOS SECANTES c bse es l rect qe llmremos ARISTA el h. L epresión el h e plnos nos permite hllr l ección e clqier plno qe pse por n pnto o por l intersección e otros os plnos: Prtieno e éstos escribimos l ección el h one sstitimos ls coorens el pnto obtenieno s n relción entre los prámetros μ. Sstiteno l relción obteni en l ección el h iviieno entre el pr metro qe nos qe obtenremos l ección el plno peio. Sponieno qe no e los os prámetros es istinto e cero porímos iviir l ección el h por icho prámetro nos qerí en fnción e no sólo e l sigiente form: A B C D α A' B' C' D'. Si rngo rngo * El sistem es incomptible no eiste ningún pnto común los tres plnos. Por ser rngo los tres plnos son prlelos pero no son coincientes qe rngo *. Ls os posiciones posibles entre ellos son: 86

22 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Los tres plnos son prlelos istintos. b Dos e los plnos son coincientes el tercero prlelo ellos istinto. 5. Si rngo rngo * El sistem es comptible e inetermino. El sistem qe recio n sol ección: los tres plnos son coincientes. POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTA Y PLANO. Ls posiciones reltivs qe peen tener n rect n plno en el espcio son ls sigientes: Rect plno se cortn: tienen n pnto en común. b Rect plno son prlelos: no tienen ningún pnto en común. c Rect conteni en el plno: toos los pntos e l rect pertenecen l plno. Vmos trtr e obtener ls coniciones necesris sficientes pr istingir c no e estos csos según ls istints forms e epresr l rect el plno. Se.. r.. A B C D Si X r es tl qe X qe stisfce l ección el plno: 87

23 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn A.. B.. C.. D A B C D. A. B. C. e one: Si A. B. C. poemos espejr : A B C D A. B. C. conocieno tenremos ls coorens el pnto X tl qe X r lo cl implic qe l rect el plno son secntes rect plno se cortn en n pnto. b Si A. B. C. A B C D no poemos espejr qe tenrímos qe iviir por cero lo cl no es posible por tnto no eiste ningún vlor pr. Esto implic qe no h ningún pnto en común entre l rect el plno. En consecenci l rect el plno son prlelos: r. c Si A. B. C. A B C D L igl se verificrí pr clqier vlor e el sistem tiene infinits solciones. Por tnto too pnto e l rect es inciente con el plno l rect r está conteni en el plno. Consieremos qe l rect el plno nos vienen os por ss ecciones crtesins: A B C D r A' B' C' D' A'' B'' C'' D'' Estir ls posiciones reltivs entre l rect el plno eqivle isctir el sistem formo por ss ecciones crtesins. Pr ello formmos ls mtrices e coeficientes mpli * : A A' A'' B B' B'' C C' C'' * A A' A'' B B' B'' C C' C'' D D' D' ' El rngo mínimo e l mtri es pesto qe los plnos qe eterminn l rect son secntes. En consecenci tenemos los sigientes csos:. Rngo Rngo * El sistem es comptible etermino: tenrá solción únic los tres plnos se cortn en n pnto. Por tnto l rect el plno tienen n pnto en común cs coorens se obtienen resolvieno el sistem. En consecenci l rect el plno son SECANTES. 88

24 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn. Rngo Rngo * El sistem es incomptible. Los tres plnos no tienen ningún pnto en común. Por tnto l rect el plno son PARALELOS.. Rngo Rngo * El sistem es comptible e inetermino: tiene infinits solciones epenieno e n prámetro. Los tres plnos tienen n rect en común: l rect está conteni en el plno. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS. Dos rects en el espcio peen tener ls sigientes posiciones entre sí: RECTAS QUE SE CRUZAN: no tienen ningún pnto en común no est n sits en el mismo plno. b RECTAS SECANTES: tienen n pnto común obligtorimente eben estr en el mismo plno. c RECTAS PARALELAS: no tienen ningún pnto en común est n en el mismo plno. RECTAS COINCIDENTES: tienen toos los pntos en común. Vmos trtr e obtener ls coniciones qe nos permitn istingir c no e los csos. L form más fácil e estir ls posiciones e os rects es epresno ls ecciones e ls rects form contin o prmétric. Sen ls rects r s s por ss ecciones contins: r s ' ' ' Consieremos los sigientes vectores: Dirección e r: ' ' ' Dirección e s: ' AB : vector etermino por n pnto A r otro B s. Si r s se cortn o son prlels o son coincientes entonces tienen qe ser coplnris por tnto los vectores ' AB tienen qe ser linelmente epenientes. Por tnto: D ' ' ' En consecenci si: 89

25 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn D r s se crn en E. D r s son coplnris están en el mismo plno: Si ls rects se cortn en n pnto. '. ' ' ' k k Si ls rects son prlels k. ' Si rd : son prlels istints Si rd : son coincientes. EJERCICIOS RESUELTOS.. Determinr m n pr qe sen prlelos los plnos e ecciones: n n m Pr qe os plnos sen prlelos se tiene qe verificr qe los coeficientes e en ss ecciones crtesins sen proporcionles. Entonces: n n n m m m n m En consecenci ls ecciones e los plnos serán: Estir l posición reltiv e los plnos según los vlores el prámetro : 5 Estir l posición reltiv e los plnos eqivle estir ls solciones el sistem. Pr ello escribimos ls mtrices el sistem: 5 5 * Clclmos el eterminnte e pr ver qe vlores e lo nln:

26 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn ζ Si 5 r r * el sistem es comptible etermino tiene solción únic los plnos se cortn en n pnto. ζ Si 5 * 5 Se verific qe: rngo rngo * qe l tercer fil es iferenci e ls os primers. El sistem es comptible inetermino: tiene infinits solciones epenieno e n prámetro. Por tnto los tres plnos se cortn en n rect. ζ Si * En este cso: rngo rngo * el sistem es incomptible los plnos no tienen ningún pnto en común como no h os plnos qe sen prlelos entonces se cortn os os formno n sperficie prismátic tringlr.. Hllr l ección el plno qe ps por el pnto A es prlelo l plno 4 L ección e clqier plno prlelo l o es e l form: 4 K Como tiene qe psr por el pnto A ls coorens e este pnto eben e verificr l ección el plno:. 4. K K 9 Por tnto l ección el plno peio será: Hllr l ección el plno etermino por ls rects: r s Ls eterminciones lineles e ls rects r s son: A B r s : v Pesto qe el vector irección e ls rects es el mismo ls rects son coplnris. Debemos estir si son prlels istints o son coincientes. Pr ello clclmos el vector etermino por los pntos A B: AB comprobmos si es inepeniente con el vector irección e ls rects r s: 9

27 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn r AB son linelmente inepenientes Por tnto ls rects r s son prlels istints en consecenci eterminn n plno. L eterminción linel e icho plno será A; AB s ección venrá por el eterminnte sigiente: En consecenci l ección el plno etermino por ls rects r s será: Hllr l ección e l rect s qe ps por el pnto A es prlel l rect r intersección e los plnos. Primer métoo: Pesto qe l rect r nos viene como intersección e os plnos ls ecciones e éstos serín ls ecciones crtesins e l rect r. Clclemos ss ecciones prmétrics resolvieno el sistem formo por ls ecciones e los os plnos: Hcemos psno icho prámetro l segno miembro jnto l término inepeniente. Nos qe: Restno mbs ecciones tenemos: Sstiteno en clqier e ls ecciones: 5 4 en consecenci ls ecciones prmétrics e l rect r serán: r 54 9

28 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn El vector irección e ich rect es 4 ést será l irección e clqier rect prlel ell. Por tnto l rect s pei nos venrá etermin por el pnto A el vector 4. S ección en form contin nos venrá por: s 4 Segno métoo: Como l rect r nos viene meinte l intersección e os plnos l rect s poremos clclrl tmbién como intersección e otros os plnos prlelos los os qe psen por el pnto por one tiene qe psr l rect s pei: r Clclmos los plnos prlelos qe psen por el pnto A: L ección e clqier plno prlelo será e l form: K Como A K K Por tnto: L ección e clqier plno prlelo será e l form: ' K' Como A.. K K Por tnto: ' En consecenci ls ecciones crtesins e l rect s nos vienen s por l intersección e los plnos : s ' 6. Hllr l ección el plno qe ps por el pnto A es prlelo ls rects r s sieno 4 r: s: 4 Psmos ls rects s form prmétric: r : Hcieno 4 r : 4 9

29 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn μ 4 s : Hcieno μ s : μ μ Los vectores e irección e ests rects serán r 4 s. El plno prlelo ichs rects contenrá ss vectores e irección pesto qe tiene qe psr por el pnto A tenremos etermino el plno pei meinte os vectores linelmente inepenientes no son proporcionles n pnto: A; o r s S ección nos venrá por: Determinr l posición reltiv el plno l rect r Psmos l ección e l rect s form prmétric: r resolvemos el sistem formo por ls ecciones prmétrics e l rect l ección crtesin el plno: Por tnto l rect el plno se cortn en n pnto e coorens P. 8. Hllr l ección el plno qe ps por el pnto A contiene l rect r 5 Pesto qe el plno peio contiene l rect r pertenecerá l h e plnos etermino por ell: 5 De toos ellos nos interes el qe ps por el pnto A. Por tnto ls coorens e este pnto verificrán l ección el h e plnos:

30 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn Sstiteno este vlor en l ección el h obtenemos: qe es l ección el plno peio. 9. Estir l posición reltiv el plno 5 l rect 5 4 r Pr estir l posición reltiv entre el plno l rect isctiremos el sistem formo por ss ecciones: Pr ello consiermos ls mtrices e coeficientes mpli el sistem: * Si el sistem serí comptible etermino: l rect el plno se cortrín en n pnto cs coorens serín ls resltntes e resolver el sistem. * r r Pr qe r se tenrá qe verificr qe ; clclmos el eterminnte e 5 6 Este eterminnte se nl pr el vlor e. Entonces: Si se verificrá qe el sistem es comptible etermino: l rect el plno se cortn en n pnto. * r r Si ls mtrices el sistem nos qen e l form: * Estimos el rngo e ests mtrices: Pesto qe 5 5 r Comprobmos el rngo e * : 95

31 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn r * Por tnto r r * : los rngos e l mtri e coeficientes e l mtri mpli son istintos el sistem será incomptible no tiene solción. En consecenci l rect el plno no tienen ningún pnto en común: rect plno son prlelos.. Estir l posición reltiv e ls rects: r 4 6 6μ s 4μ 8μ Consieremos ls eterminciones lineles e mbs rects: A B6 r s 4 v6 48 el vector formo por los pntos bse e ls os rects: AB 6 4 A continción formmos l mtri corresponiente con los vectores v 6 4 D Clclno el eterminnte e l mtri D obtenemos qe vle cero pesto qe ls os primers colmns son proporcionles. En consecenci ls rects son coplnris están en el mismo plno. Pesto qe los vectores e irección e mbs rects son proporcionles en principio serán prlels. Pr ver si son istints o coincientes estimos el rngo e l mtri D en l cl encontrmos n menor e oren os istinto e cero: por lo qe ls rects serán prlels istints.. Clclr l ección el plno qe contiene l rect r es prlelo l rect s L rect r nos viene etermin por el pnto A por el vector el vector irección e l rect s tiene por coorens v. El plno qe se nos pie por tener qe contener l rect r contenrá s pnto bse A s vector irección por tener qe ser prlelo s contenrá tmbién s vector irección. Por tnto el plno nos venrá etermino por el pnto A los vectores v. S ección nos venrá por: AB 96

32 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn A; v qe es l ección el plno peio.. Hllr l ección e l rect qe ps por el pnto P cort ls rects: r s L rect qe se nos pie tiene qe ser coplnri con c n e ls rects s pr qe pen cortrse emás e psr por el pnto P. En consecenci ich rect estrá conteni en n plno qe conteng l rect r pse por el pnto P tmbién en el plno qe conteng l rect s pse por el pnto P. L intersección e mbos plnos nos rá l rect pei: ls ecciones e los os plnos serán ls ecciones implícits e l rect. Psemos clclr ls ecciones e ichos plnos: Plno qe contiene l rect r ps por P: el pnto bse e l rect es A s vector irección. El vector formo por los pntos A P será: AP L ección el plno qe vmos bscno será: A; AP 6 Plno qe contiene l rect s ps por P: el pnto bse e l rect es B s vector irección v. El vector formo por los pntos B P será: BP L ección el plno qe vmos bscno será: ' B; v BP Ls ecciones implícits e l rect pei nos venrán s por ls ecciones e los plnos : 4 97

33 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn EJERCICIOS PROPUESTOS.. Determinr pr qe vlores e b los plnos: α : β : b γ : 6 I Tienen n solo pnto en común. II Psn por n rect III Se cortn os os en tres rects prlels istints. Rónense ls respests.. Un plno cort los semiejes positivos e los ejes OX OY OZ el espcio en tres pntos A B C respectivmente. El triánglo ABC es eqilátero emás se sbe qe el plno ps por el pnto P45. Hllr ronmente s ección.. Se n os rects en el espcio meinte ls sigientes ecciones: Rect primer: Rect segn: Hllr l ección el plno qe pse por l primer se prlelo l segn. 4. Sen r r 4 4 Hllr l ección e l rect s qe ps por el origen e coorens se po en r r. b Hllr los pntos e intersección e s con r con r. 5. Do el plno : 4 l rect r: Determinr s posición en el espcio. b Clclr si eiste el pnto P intersección e r. 6. Estir l posición reltiv e los plnos Son coplnrios los pntos A B C D? Jstificr l respest. Encontrr l ección el plno etermino por los tres primeros pntos. Contiene este plno lgn rect qe pse por el origen? 8. Qé posición reltiv tienen ls sigientes rects? t r : s : t t 9. Estir según los vlores el prámetro l posición reltiv e ls rects: 98

34 Jn Antonio Gonále ot Profesor e temátics el Colegio Jn XIII Ziín e Grn t r : t t. Posición reltiv e ls rects: 9 r : Hllr el plno qe contiene r prlelo s. t s : t t s : 5. Determinr l intersección P el plno β : con l rect r : Clclr el plno qe ps por P prlelo l α : Se s l rect en qe se cortn β. Dr l ección generl implícit el plno etermino por ls rects r s.. Ds ls rects r s e ecciones r : s : i Estir s posición. ii Hllr l rect qe cort r s es prlel l rect t :. Hllr l ección contin e l rect qe es prlel los plnos 5 ps por el pnto P5. 4. Disctir según los vlores el prámetro l posición reltiv e el plno l rect sigientes: α : 4 r : Dos el plno : m n l rect r : Clclr m n pr qe r sen secntes. b Clclr m n pr qe r sen prlelos. c Clclr m n pr qe conteng r. 6. Hllr l ección e l rect qe ps por el pnto P es prlel l plno α e ección está en el mismo plno qe l rect s : 99