CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO

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1 CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO ASIGNATURA: AREA / COMPONENTE: FORMACIÓN BÁSICA CICLO DE FORMACIÓN: TECNICA TIPO DE ASIGNATURA: TEORICA PRACTICA - DOCENTE: ING. LUZ STELLA GIL OSPINA E-mil: Luz_Gil@cu.edu.co NÚMERO DE CRÉDITOS: TRES () INTEN. HORARIA TOTAL 44 HORAS T. DIRIGIDO: : HORAS T. PRESENCIAL : 48 HORAS T. INDEPENDIENTE : 64 HORAS COMPETENCIA Estblecer relcioes y diferecis etre diferetes otcioes de úmeros reles pr decidir sobre su uso.. SISTEMAS NUMERICOS.. Sistems Numéricos.. Opercioes y Propieddes de los Números Reles... Números Rcioles.4. Potecició y propieddes... Rdicció y propieddes..6. Regls de tres simple y compuest.7. Coversioes.. SISTEMAS NUMÉRICOS FAMILIA DE LOS NÚMEROS E l Prehistori, ls tribus más primitivs, pes si sbí distiguir etre uo y muchos. Más delte, utilizro u leguje corporl (dedos, mo, codo, pie...) y co yud de rms, piedrs, etc. cosiguiero cotr úmeros cd vez myores. Mrti A. Cglii dice.l oció de úmero y de cotr, sí como los ombres de los úmeros ms pequeños y más comúmete empledos, se remot épocs prehistórics. Co l iveció de l escritur, se tubo que dr el pso siguiete, que fue el de escribir los úmeros. Los primeros úmeros escritos, er simplemete sigos igules que se limitb cotr hst llegr l umero desedo. Por ejemplo uo er ', dos '', cico ''''', ocho '''''''', y sí sucesivmete hst llegr l umero desedo. Como se hce difícil leer muchos sigos de este estilo, por ejemplo 7 seri muy molesto teer que leer ''''''''''''''', sí que se los empezó seprr e grupos, preferetemete de diez (es el que se utilizo ms e l tigüedd). Luego se iveto u símbolo pr lo diez grupos de diez, o se cie, y sí sucesivmete. Este sistem lo utilizb los bbiloios, pero co u sistem cueiforme, que er forms de cuy mrcds e rcill. E ls primers etps de su desrrollo, los griegos usro u sistem semejte l de los bbiloios, pero e épocs posteriores se geerlizó u método ltertivo. Recurriero l empleo de otro sistem ordedo: el de ls letrs del lfbeto. Los griegos seri los que ivetrí los úmeros irrcioles, más precismete Pitágors. El cero lo ivetro los hidúes por el ño 00, los hidúes deomiro este símbolo suy, que quiere decir "vcío". Este fue u gr vce porque y o se cofudirí los úmeros como el 07 co el 7, est er l form utilizd teriormete, dejdo u espcio. Este símbolo de l d fue recogido por los árbes hci el s. VIII, quiees lo deomiro céfer, que e su idiom querí decir "vcío". Est plbr dio orige ls plbrs cstells cero y cifr. Co much letitud llegro los úmeros rábigos occidete y reemplzro los úmeros romos, que estos hbí esprcido por todo su imperio. Fue u mtemático itlio, Leordo Fibocci (70-40), el primero e escribir sobre los úmeros rábigos e occidete. Tuvo l ocsió de vijr mplimete por el orte de Áfric. Allí predió l umerció árbe y l otció posiciol (el cero). Fibocci escribió u libro sobre el tem e 0, Liber Abci (o libro del ábco), que sirvió pr itroducir los úmeros rábigos e Europ, pero los romos ú se mtuviero e vigor durte tres siglos más. El mtemático itlio Geroimo Crdo (0-7), fue el que demostró, e 4, que ls deuds y los feómeos similres se podí trtr co úmeros egtivos. Hst ese mometo, los mtemáticos hbí creído que todos los úmeros teí que ser myores que cero.

2 E l tigüedd o se cotb ms de vrios miles, si sí er se limitb exgerr diciedo cietos de miles o ms que ls estrells. El umero milló y l plbr, (que viee del ltí que sigific "gr millr"), que so mil millres, dt de l lt Edd Medi, époc e que el comercio hbí revivido, hst lczr u puto de ecesitr u plbr especil. Los billoes y los trilloes viiero ms trde. E 64 Joh Npie, llmdo Neper o Neperius, iveto los logritmos, del griego logos, rzó, y rithmos, úmero. U logritmo es u úmero que idic l poteci l que hy que elevr otro ddo pr que resulte u tercero tmbié coocido. El mtemático igles Joh Wllis (66-70) fue el que cosiguió dr setido los úmeros imgirios (umero que se ivet y se le sig u símbolo como i) e 68, sí como los úmeros complejos. E 744 el mtemático suizo Leohrd Euler (707-78) descubrió los úmeros trscedetles, que so los que jmás costituirá u solució culquier ecució lgebric que pued escribirse. E 84 el mtemático irldés Willim Row Hmilto (8-86) comezó trbjr co úmeros hipercomplejos, o como el los llmo cuterios... Al iicir l vid escolr u de ls primers coss que predimos fue costruir círculos y líes y co el psr de los dís ests se covirtiero e plbrs y úmeros; co lo que más trde expresmos ides y ctiddes, socido esto gr ctidd de situcioes propis de uestr cotidiidd. Al trsceder los primeros ños de l etp escolr, empezmos estblecer relcioes etre los úmeros, prehedimos ls opercioes que se podí relizr prtir ellos y ños más trde vimos como muchs de uestros problems se podí expresr prtir de relcioes etre ellos. Se est l oportuidd pr relizr u recorrido por todos estos coocimietos dquiridos y de u mer migble trerlos uevmete devuelt. E ls mtemátics pr expresr ls relcioes que existe etre los úmeros se utiliz símbolos, los más utilizdos so: NOMBRE DEL NOMBRE DEL OPERACION SÍMBOLO PARTES SÍMBOLO RESULTADO ADICIÓN + MAS TOTAL SUMANDOS Y TOTAL SUSTRACCIÓN - MENOS DIFERENCIA MULTIPLIACIÓN ( ),, MINUENDO, SUSTRAENDO Y DIFERENCIA, POR PRODUCTO FACTORES Y PRODUCTO DIVISIÓN, /, - VÍNCULO COCIENTE POTENCIACIÓN DIVIDENDO, DIVISOR, COCIENTE Y RESIDUO Y X POTENCIA POTENCIA BASE, EXPONENTE Y POTENCIA RADICACIÓN RADICAL RAÍZ INDICE, CANTIDAD SUBRADICAL Y RAÍZ LOGARITMACIÓN Log LOGARITMO LOGARITMO BASE, POTENCIA Y LOGARITMO SISTEMAS NUMÉRICOS NÚMEROS REALES REALES IRRACIONALES (Q`) RACIONALES (Q) NEGATIVOS (Z- ) ENTEROS (Z) 0 POSITIVOS (Z+ ) NATURALES

3 NÚMEROS NATURALES El cojuto de los úmeros turles, surge de l ecesidd de cotr se represet co.,,,,4,,6,... NÚMEROS ENTEROS Si prtimos del cojuto de los úmeros turles y formmos u uevo cojuto icluyedo el cero, se obtedrá el cojuto de los eteros o egtivos o positivos, el cul se deotr como 0,,,,4,,6,.... Ahor cd umero etero o egtivo correspode u úico umero llmdo el egtivo de que se deot como. el cojuto que cost de todos los úmeros eteros o egtivos y sus egtivos se llm cojuto de los eteros....,...,0,,,,4,,6,... NÚMEROS RACIONALES U umero rciol es u umero de l form /b, dode y b so eteros y b o es cero. E el cojuto de los úmeros eteros, ls ecucioes de l form x b solo tiee solució cudo b es múltiplo de. Co el fi de que ests ecucioes teg solució siempre se hce ecesrio itroducir el cojuto Q de los úmeros rcioles. Q /, b,, b 0 b NÚMEROS IRRACIONALES El cojuto I, de los úmeros irrcioles est formdo por quellos úmeros que o se puede expresr como cociete de eteros... OPERACIONES Y PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES. LEY DE LOS SIGNOS Ls opercioes etre NÚMEROS REALES, se bs e ls combicioes de los sigos que se ecuetr etre ells, los cules se defie medite ls siguietes leyes, y e cd u se defie cutro situcioes sber: LEY DE LOS SIGNOS PARA LA ADICIÓN A. U úmero positivo sumdo co otro úmero positivo produce como resultdo otro úmero positivo 8 4 B. U úmero egtivo sumdo co otro úmero egtivo produce como resultdo otro úmero egtivo 8 4 C. U úmero positivo sumdo co u úmero egtivo produce como resultdo otro úmero, cuyo sigo, depede del sigo del úmero myor Ejemplos: o D. U úmero egtivo sumdo co u úmero positivo produce como resultdo otro úmero, cuyo sigo, depede del sigo del úmero myor 8 4 Ejemplos: o

4 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN E el cojuto de los reles, l Adició stisfce ls siguietes propieddes: OPERACIÓN PROPIEDAD SÍMBOLO EJEMPLO CLAUSURATIVA b c 8 CONMUTATIVA b b ASOCIATIVA b c b c 4 4 El cero es el eutro de l sum. MODULATIVA Pr todo, ANULATIVA Pr todo, existe, tl que ADICIÓN LEY DE LOS SIGNOS PARA LA SUSTRACCIÓN (RESTA) 0 A. U úmero positivo restdo co otro úmero positivo geer como resultdo otro úmero, cuyo sigo, depede del sigo del úmero myor Ejemplos: B. U úmero egtivo restdo co otro úmero egtivo geer como resultdo otro úmero, cuyo sigo, depede del sigo del úmero myor Ejemplos: C. U úmero positivo restdo co u úmero egtivo geer como resultdo otro úmero positivo Ejemplos: D. U úmero egtivo restdo co u úmero positivo geer como resultdo otro úmero egtivo Ejemplos: LEY DE LOS SIGNOS PARA LA MULTIPLICACIÓN A. U úmero positivo multiplicdo co otro úmero positivo d como resultdo otro úmero positivo 8 4

5 B. U úmero egtivo multiplicdo co otro úmero egtivo preset como resultdo otro úmero positivo 8 4 C. U úmero positivo multiplicdo co u úmero egtivo preset como resultdo otro úmero egtivo Ejemplos: D. U úmero egtivo multiplicdo co u úmero positivo preset como resultdo otro úmero egtivo Ejemplos: PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN E el cojuto de los reles, l Multiplicció stisfce ls siguietes propieddes: OPERACIÓN PROPIEDAD MULTIPLICACIÓN EJEMPLO CLAUSURATIVA b c CONMUTATIVA b b ASOCIATIVA b c b c 4 4 MODULATIVA El uo es el eutro del producto. Pr todo, ANULATIVA MULTIPLICACIÓN 60 Existe u propiedd que ivolucr l operció de Adició juto l operció de Multiplicció y se deomi l PROPIEDAD DISTRIBUTIVA PROPIEDAD ADICIÓN MULTIPLICACIÓN EJEMPLO 4 4 DISTRIBUTIVA b c b c Est propiedd se utiliz costtemete e los procesos de multiplicció etre expresioes lgebrics. Not: Ls opercioes de Sustrcció (Rest) y Divisió o cumple l myorí de propieddes eucids pr l Adició y l Multiplicció. LEY DE LOS SIGNOS PARA LA DIVISIÓN A. U úmero positivo dividido co otro úmero positivo geer como resultdo otro úmero positivo 8 4 B. U úmero egtivo dividido co otro úmero egtivo geer como resultdo otro úmero positivo 8 4

6 C. U úmero positivo dividido co u úmero egtivo geer como resultdo otro úmero egtivo Ejemplos: , D. U úmero egtivo dividido co u úmero positivo geer como resultdo otro úmero egtivo Ejemplos: ,.. NÚMEROS RACIONALES Los úmeros Frcciorios se simboliz co l letr Q. Se clsific e Números Rcioles Q Irrcioles Q. Se puede represetr e l rect uméric l igul que otros úmeros reles. y Números Los úmeros frcciorios tiee tres prtes sber: umerdor vículo deomi dor b U frcciorio puede ser egtivo o positivo, lo que idic el sigo es que operció est relizdo frete otrs frccioes y si se ubic e l rect uméric el setido e el cul se locliz. CLASIFICACION DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Los úmeros frcciorios se clsific de l siguiete mer: FRACCIONARIOS HOMOGENEOS So quells frccioes que tiee el mismo deomidor, pero diferete umerdor. E símbolos: 4 7,,,..., etc c d,,,..., etc b b b FRACCIONARIOS HETEREOGENEOS So quells frccioes que tiee diferete deomidor. E símbolos:, e c f d,,..., etc g, 4 7,,..., etc 6 FRACCIONARIOS PROPIOS So quells frccioes que tiee el umerdor meor que el deomidor. E símbolos: e 4 7,,,..., etc 6 FRACCIONARIOS IMPROPIOS So quells frccioes que tiee el umerdor myor que el deomidor. E símbolos: e 9 4 7,,,..., etc 6 dode dode e e

7 FRACCIONARIOS MIXTOS So quells frccioes que tiee u prte eter y u prte frcciori propi. E símbolos: 7 4 8,, 0,,etc. C e dode e. U frcció mixt se puede trsformr e u frcció impropi y vicevers, este proceso se reliz de l siguiete mer: A. Pr trsformr de u frcció impropi u mixt, bst co relizr el cociete etre el umerdor y el deomidor y orgizr l presetció e frcció mixt. El resultdo de est divisió se trsform colocdo e posició de: El cociete será l prte eter y l prte frcciori estrá compuest por el divisor como deomidor y el residuo como umerdor. 9 Trsformr l frcció impropi e u frcció mixt y co residuo ; Por tl motivo, será e frcció mixt escrit sí; el úmero seis (Cociete) como prte eter, el úmero tres (divisor) será el deomidor y el úmero uo(residuo) será el umerdor de l prte frcciori. Todo est se preset 9 6 sí:. B. Pr trsformr u frcció mixt u frcció impropi, se reliz l multiplicció etre l prte eter y el deomidor de l prte frcciori, h este resultdo se le sum el umerdor del frcciorio propio, produciedo sí u uev form de presetr l frcció mixt. Trsformr l frcció mixt e u frcció impropi. OPERACIONES ENTRE NÚMEROS FRACCIONARIOS Los úmeros frcciorios se operr de l siguiete mer: ADICION DE FRACCIONARIOS Pr dicior frcciorios existe dos mers, u es obteiedo el míimo comú múltiplo etre los deomidores y l otr form es relizdo u serie de productos etre los térmios de ls frccioes, cbe clrr que este ultimo método se utiliz bstte e l form de resolver opercioes lgebrics, por tl motivo es e est mer que se reliz l siguiete explicció: b c d d bc bd

8 Ejemplo : Hllr el resultdo de sumr Ejemplo : Hllr el resultdo de sumr Pr solucior este sistem de frcciorios se utiliz l propiedd socitiv SUSTRACCIÓN DE FRACCIONARIOS Pr resolver l sustrcció etre frcciorios se utiliz el mismo proceso empledo e l dició de frccioes, co l vrició e l operció. Es decir, c d bc b d bd 6 7 Ejemplo : Hllr el resultdo de restr Ejemplo : Hllr el resultdo de l sustrcció Pr solucior este sistem de frcciorios se utiliz l propiedd socitiv MULTIPLIACIÓN DE FRACCIONARIOS Pr resolver l multiplicció etre frcciorios, se reliz el producto etre los umerdores sobre el producto de los deomidores. E est operció l igul que ls teriores se debe teer e cuet ls leyes de los sigos e opercioes co úmeros reles. Es decir, 6 7 Ejemplo : Hllr el producto etre Ejemplo : Hllr el producto de 8 c b d b Pr solucior este sistem de frcciorios se reliz el producto de los umerdores etre si y se ubic sobre el producto etre los deomidores: c d c bd

9 DIVISION DE FRACCIONARIOS L solució del cociete etre úmeros frcciorios depede de l presetció e l cul se ubique los úmeros, sí; Si se preset l divisió e form horizotl, se reliz el producto e form digol, y e l respuest se ubic el producto de l digol pricipl como umerdor y el producto de l digol secudri como deomidor, es decir; c d d b d b c bc 4 7 Ejemplo : Resolver el siguiete cociete E este cso se reliz 7 7 E el cso e que se presete l divisió e form verticl, es decir, u frcció sobre otr e form de cociete, bst co relizr, el producto de extremos y se ubic sobre el producto de medio. Así: b d c bc d Ejemplo : Resolver el siguiete cociete E est cso.4. POTENCIACIÓN Y PROPIEDADES L Potecició es u operció biri que est coformd por tres prtes, sber: BASE (), EXPONENTE () y POTENCIA (p). p BASE (): Es el úmero que se multiplic tts veces por sí mismo, tts veces co los idique el expoete. EXPONENTE (): Es el úmero de veces e que se multiplic l bse por sí mism, pr obteer l poteci. POTENCIA (p): Es el resultdo de multiplicr l bse por sí mism tts veces como lo idic el expoete. 4 6 Por que Por que 64 L potecició stisfce cutro codicioes, que so: CONDICIÓN SIMBOLOGÍA EJEMPLO Si l bse es u úmero etero positivo, y el expoete es u úmero pr positivo, l poteci es u úmero Si,,, etero positivo, p 0 es pr, 4 8 Si l bse es u úmero etero positivo, y el expoete es u úmero impr positivo, l poteci es u úmero Si,,, etero positivo, p 0 es impr, Si l bse es u úmero etero egtivo, y el expoete es u úmero pr positivo, l poteci es u úmero Si,,, etero positivo, p 0 es pr, Si l bse es u úmero etero egtivo, y el expoete es u úmero impr positivo, l poteci es u úmero Si,,, es impr, etero egtivo, p

10 PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN L operció de Potecició stisfce ls siguietes propieddes: PROPIEDAD OPERACIÓN EJEMPLO m m POTENCIA DE IGUAL BASE POTENCIA DE UNA POTENCIA m m POTENCIA DE UN PRODUCTO b b 4 4 POTENCIA DE UN COCIENTE POTENCIA DE UN COCIENTE BASE POTENCIA DE UN COCIENTE BASE DE IGUAL DE IGUAL.. RADICACIÓN Y PROPIEDADES. b b m, m m m m, m L Rdicció es u operció biri que est coformd por tres prtes, sber: INDICE (), CANTIDAD SUBRADICAL (p) y RAÍZ (). p INDICE (): Es el úmero de veces e que se multiplic l ríz por sí mismo, pr obteer l ctidd subrdicl CANTIDAD SUBRADICAL (p): Es el úmero que se busc, multiplicdo l ríz por sí mism tts veces como lo idique el ídice. RAÍZ (): Es el úmero que multiplicdo por sí mismo tts veces como lo idic el ídice d como resultdo l ctidd subrdicl. 4 6 Por que Por que L Rdicció stisfce cutro codicioes, que so: ó CONDICIÓN SIMBOLOGÍA EJEMPLO Si l ctidd subrdicl es u úmero etero positivo, y el ídice es u úmero pr positivo, l ríz Si p,,, puede ser u úmero etero positivo o u úmero, 0,, 0 etero egtivo es pr, 4 6 Si l ctidd subrdicl es u úmero etero positivo, y el ídice es u úmero impr positivo, l Si p,,, ríz es u úmero etero positivo, 0 es impr, Si l ctidd subrdicl es u úmero etero egtivo, y el ídice es u úmero pr positivo, l ríz Si p,,, o existe e los úmeros reles, es pr, 64 Si l ctidd subrdicl es u úmero etero egtivo, y el ídice es u úmero impr positivo, l Si p,,, ríz es u úmero etero egtivo, 0 es impr, 64 4

11 PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN L operció de Rdicció stisfce ls siguietes propieddes: PROPIEDAD OPERACIÓN EJEMPLO RAIZ DE UN PRODUCTO b b RAIZ DE UN COCIENTE RAÍZ DE UNA RAÍZ RAIZ DE UNA POTENCIA.6. REGLA DE TRES b 7 m m b 7 m m L regl de tres es u form de resolució de problems de proporciolidd etre tres o más vlores coocidos y u icógit. E ell se estblece u relció de lielidd (proporciolidd) etre los vlores ivolucrdos. L regl de tres más coocid es l regl de tres simple direct, si bie result muy práctico coocer l regl de tres simple ivers y l regl de tres compuest, pues so de secillo mejo y puede utilizrse pr l resolució de problems cotidios. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Imgiemos que se os plte lo siguiete: Si ecesito litros de pitur pr pitr hbitcioes, cuátos litros ecesito pr pitr 7 hbitcioes? Este problem suele iterpretrse de l siguiete mer: hbitcioes so litros como 7 hbitcioes so Y litros. L solució es u "regl de tres simple direct": bst co multiplicr 7 por y el resultdo dividirlo etre. Necesitré, por tto, 7 litros de pitur. 7 De mer forml, l regl de tres simple direct euci el problem de l siguiete mer: A es B como X es Y Lo que suele represetrse sí: 7 0 Dode A es, B es, X es 7 e Y es el térmio descoocido. Pr resolver tods ls regls de tres simples directs bst co recordr l siguiete fórmul:

12 REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA E l regl de tres simple direct, cudo el tercer térmio (X) crece, tmbié crece el térmio que itetmos verigur (Y), y vicevers. E el ejemplo terior, cudo el úmero de hbitcioes umet, es obvio que ecesitremos más pitur, y cudo el úmero de hbitcioes es meor, ecesitremos meos pitur. Es lo que se llm u relció directmete proporciol. Si embrgo l vid cotidi puede ofrecer situcioes e ls cules l relció se iversmete proporciol, es decir, si umet X, etoces Y dismiuye, y vicevers. Si 8 trbjdores costruye u muro e 0 hors, cuáto trdrá obreros e levtr el mismo muro? Si se observ co teció el setido del eucido, result evidete que cutos meos obreros trbje, más hors ecesitrá pr levtr el mismo muro (supoiedo que todos trbj l mism velocidd). Teemos por tto u relció de proporciolidd ivers, y deberemos plicr u regl de tres simple ivers. Su resolució e este cso se plte iicilmete de l mism form, pero se resuelve de mer distit. Al igul que tes, teemos: 8 trbjdores so 0 hors, como trbjdores so Y hors L solució ps por multiplicr 8 por 0, y el resultdo dividirlo por. Necesitrá, por tto, 6 hors (ótese que si fuer u regl de tres direct hubiérmos operdo multiplicdo por 0 y dividiedo el resultdo por 8, lo que os drí u resultdo equivocdo). Formlizdo, como tes: Lo que se represet como: A es B como X es Y Siedo l solució formlizd l siguiete (ótese el cmbio de orde de los vlores): Es importte exmir co teció el eucido pr descubrir si se trt de u proporció direct o ivers. REGLA DE TRES COMPUESTA E ocsioes el problem pltedo ivolucr más de tres ctiddes coocids, demás de l descoocid. Observemos el siguiete ejemplo: Si trbjdores costruye u muro de 00 metros e hors, cuátos trbjdores se ecesitrá pr levtr u muro de 7 metros e 6 hors? E el ejemplo pltedo prece dos relcioes de proporciolidd l mismo tiempo. Además, pr completr el ejemplo, se h icluido u relció ivers y otr direct. E efecto, si u muro de 00 metros lo costruye trbjdores, es evidete que pr costruir u muro de 7 metros se ecesitrá meos trbjdores. Cuto más pequeño es el muro, meos úmero de obreros precismos: se trt de u relció de proporciolidd direct. Por otro ldo, si dispoemos de hors pr que trbje obreros, es evidete que dispoiedo de 6 hors ecesitremos meos obreros. Al umetr u ctidd, dismiuye l otr: se trt de u relció de proporciolidd ivers.

13 El problem se eucirí sí: 00 metros so hors y trbjdores como 7 metros so 6 hors e Y trbjdores. L solució l problem es multiplicr por 7 y por, y el resultdo dividirlo etre el producto de 00 por 6. Por tto, 00 etre 600 result,9 (lo que por redodeo result ser trbjdores). Formlmete el problem se plte sí: L resolució implic plter cd regl de tres simple por seprdo. Por u ldo, l primer, que, recordemos, es direct, y se resuelve sí: A cotiució pltemos l segud, que, recordemos, es ivers, y se resuelve sí: A cotiució uimos mbs opercioes e u sol, teiedo cuiddo de o repetir igú térmio (es decir, ñdiedo el térmio C u sol vez): Lo que os d l solució buscd. El problem se puede plter co todos los térmios que se quier, se tods ls relcioes directs, tods iverss o mezclds, como e el cso terior. Cd regl h de plterse co sumo cuiddo, teiedo e cuet si es ivers o direct, y teiedo e cuet (esto es muy importte) o repetir igú térmio l uir cd u de ls relcioes simples. Ejemplos. Pr psr 60 grdos rdies podrímos estblecer l siguiete regl de tres: Ubicmos l icógit e l primer posició: Esto formliz l pregut " Cuátos rdies hy e 60 grdos, ddo que π rdies so 80 grdos?". Así teemos que: b. Clculr cuátos miutos hy e 7 hors. Sbemos que hy 60 miutos e hor, por lo que escribimos: El resultdo es:

14 ENTREGAS EN CARPETA RESUMEN DE LAS LEYES DE LOS SIGNOS: ADICIÓN DIVISIÓN SUSTRACCÍÓN MULTIPLICACIÓN ACTIVIDAD PROPUESTA TRES A. Hllr el resultdo e cd cso: 8 4 * * * 9. 4* * 6* 6. * 6 7 B. E los ejercicios siguietes, simplifique. Recuerde el orde de opercioes (prétesis y corchetes - multiplicció y divisió (:) - sum y rest.) ( 8) : ( ) ( 8) 4 4 : 6 : 80 (0 0) 4 ( ) : ( ) ( 7) ( ) ( ) ( ) ( 7) 8 6) ( 4) ( ) 8 ( 4) ( 0) ACTIVIDAD PROPUESTA CUATRO A. Covierte frcció ls siguietes frccioes impropis Mixts o vicevers: 08.. B. Sum ls siguietes frccioes: C. Rest ls siguietes frccioes:

15 D. Reliz los siguietes ejercicios combidos: F. Clcul los siguietes productos: G. Clcul los siguietes ejercicios combidos: ACTIVIDAD PROPUESTA CINCO A. Hllr el resultdo, teiedo e cuet ls codicioes eucids:... B. Resolver plicdo ls propieddes: C. Hllr el resultdo, teiedo e cuet ls codicioes eucids: D. Desrrollr ls siguietes coversioes simples:. hors miutos. 6 hors miutos. miutos hors miutos hors