ÍNDICE CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

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1 ÍNDICE CONSRUCCIONES GEOMÉRICAS FUNDAMENALES Elementos primrios: PUNO. LÍNEA. PLANO Perpendiulridd. Prlelismo. Ángulos RAZADOS GEOMÉRICOS BÁSICOS Pg. 1- Forms plns elementles: CIRCUNFERENCIA. Ángulos. Aro pz RIÁNGULOS. CUADRILÁEROS Pg. 3-6 POLÍGONOS REGULARES. Construión Pg. 7 Geometrí métri: PROPORCIONALIDAD. Segmentión Aure SEMEJANZA. ESCALAS. HOMOECIA Pg POENCIA. Eje rdil. Centro rdil INVERSIÓN Pg rnsformiones geométris: RANSLACIONES. GIROS. SIMERÍAS HOMOGRAFÍA y HOMOLOGÍA. Afinidd Pg. 13 rzdo de urvs plns: ÓVALO Y OVOIDE. CÓNICAS Pg. 14 Fundmentos sore ANGENCIAS Pg Alguns CURVAS de espeil interés: Cílis. Espirles. Hélies Pg. 18

2 ELEMENOS PRIMARIOS EL PUNO - elemento ásio. - ree de dimensión (sólo tiene posiión) - representión: -- Propio: onoemos posiión -- Impropio: en el infinito LA LÍNEA - suesión de puntos (movimiento de un punto) -- Ret: el punto se mueve en un sol direión extremos impropios. - semiret: un extremo propio y otro impropio. - segmento: extremos propios. -- Curv: el punto mi onstntemente de direión. - semiurv: un extremo propio y otro impropio. - segmento urvo: ARCO : extremos propios. EL PLANO - superfiie idimensionl. formn un plno: - dos rets que se ortn - dos rets prlels - un ret y un punto - tres puntos * Un ret pertenee un plno undo todos sus puntos están en el plno. * Dos rets que se ortn y perteneen un mismo plno formn lo que denominmos: ÁNGULOS 180º -Adyentes: sumn siempre 180º -Opuestos: son siempre igules sum totl: 360º β β Clsifiión: Llno: 180º onvexo: 0º 180º ónvo: 180º 360º reto (90º) gudo (0º 90º) otuso (90º 180º) -- Dos rets que se ortn formndo ángulos de 90º : PERPENDICULARES -- Dos rets que se ortn en un punto impropio: PARALELAS 1

3 FORMAS PLANAS ELEMENALES LA CIRCUNFERENCIA. Curv pln y errd en l que todos sus puntos equidistn de un entro. r f D Segmentos notles: - Rdio:distni del entro un punto. - Diámetro: máxim distni entre dos puntos. D = r - Cuerd: distni entre dos puntos. - Fleh: porión de rdio perpendiulr un uerd. Posiiones reltivs: - Entre irunferenis: INERIOR. EXERIOR. CONCÉNRICA ANGENE ( Inter.-exter.). SECANE - Ret - irunfereni: ANGENE. SECANE ÁNGULOS en l Cirunfereni: : entrl (v en o) : interno (v dentro) : externo (v fuer) d: insrito e: semiinsrito f: irunsrito γ β β γ d f = β γ Exterior = β + γ Interior e superfiie interior: Círulo PARES DEL CÍRCULO Círulo Semiírulo Segmento irulr Cudrnte 3 Setor irulr Coron irulr Lúnul rpeio irulr

4 EL CUADRILÁERO. Polígono de 4 ldos Clsifiión: * PARALELOGRAMOS (ldos prlelos ) - Cudrdo: ldos y ángulos igules (90º) - Retángulo: ángulos igules (90º) ldos igules. - Romo: ldos igules. ángulos igules. digonles perpendiulres - Romoide: ldos y ángulos igules (opuestos) L d1 d * RAPECIOS (dos ldos prlelos: se myor-se menor) - rpeio retángulo: dos ángulos de 90º - rpeio isóseles: ldos no prlelos igules - rpeio esleno: todos los ldos y ángulos desigules * RAPEZOIDES (ningún ldo prlelo otro) segmento notle: digonl (distni entre vérties opuestos) Cudrdo Retángulo retángulo L1 homotómio L = Romo rpeio retángulo rpeio Isóseles rpeio esleno Romoide trpezoide isóseles ( tring. isóseles) udrilátero ónvo (un ángulo ónvo) Cudrilátero insriptile Vérties sore l irunfereni Ángulos opuestos suplementrios (sumn 180º) γ δ β +γ = β+δ = 180 γ d Cudrilátero irunsriptile + = +d 6

5 PROPORCIONALIDAD GEOMERÍA MÉRICA * Conepto de proporión: EOREMA DE HALES: Un sistem de rets prlels, determinn sore dos onurrentes, segmentos proporionles. - Apliión diret: -- IGUALES DIVISIÓN DE UN SEGMENO EN PARES -- PROPORCIONALES d ' ' ' d' CUARO PROPORCIONAL X MEDIA PROPORCIONAL X X ERCERO PROPORCIONAL X X X EOREMA DE LA ALURA EOREMA DEL CAEO X X SEGMENACIÓN AUREA 7 (+) = = Φ 8

6 SEMEJANZA (figurs plns) *Dos triángulos son semejntes undo se umple: - ángulos igules. - ldos proporionles y ángulo que formn igul. *Dos polígonos son semejntes undo se omponen del mismo número de triángulos semejntes. ESCALAS : RELACCIÓN ENRE FIGURAS SEMEJANES ESCALA = DIBUJO REALIDAD E = D:R Ampliión: :1 3:1 7:5 Iguldd: 1:1 Reduión: 1: 1:4 4:6 1:50 1:100 1:50 Piezs industriles Arquitetur Plnimetrí Esl 1:10 E :10 = Esl 1:5 E 3:10 RIÁNGULO UNIVERSAL DE ESCALAS E 4:10 = :5 = Esl 1:,5 E 5:10 = Esl 1: ,78m 0 1m ESCALA RANSVERSAL 1:50 m 3 m 4 m,56m 6 E 6:10 = 3: ,83m 7 E 7:10 1 3,51m 8 E 8:10 = 4: E 9:10 CONSRUCCIÓN DE ESCALAS VOLANES 10 E 1: E 11:10 E 7:5 1 9 E 1:10 = 6:5 Prolems / ejeriios: - Construión de figurs un esl dd. - Determinión de l esl de un diujo. 10

7 HOMOECIA Dos figurs son homotétis undo se orresponden punto punto y ret ret, de form que prejs de puntos homólogos estén linedos on uno llmdo entro de homotei y rets homólogs son prlels. ' O O d d' ' ' K = 1 = identidd K = -1 = simetrí entrl OA' OB' OA = OB =... = K K positiv = diret K negtiv = invers Segmentos homólogos son proporionles y prlelos Ángulos homólogos son igules O Eje rdil Lugr geométrio de los puntos que tienen igul poteni on respeto dos irunferenis del mismo plno. Centro rdil Punto que tiene igul poteni respeto tres irunferenis. POENCIA de un punto respeto un irunfereni d r P INVERSIÓN Correspondeni puntul de form que tomndo un punto fijo, llmdo entro de inversión y otros dos linedos on el, genern segmentos uyo produto determin un onstnte llmd poteni de inversión. ' o ' Negtiv x ' = x ' = K semejnte '' ' Positiv o ' Dd un irunfereni y un punto exterior o interior ell, se llm poteni l produto onstnte de ls distnis de P los dos puntos de interseión de un sente ( ) 11 Poteni= P x P = P x P = P = d x r Cirunfereni de puntos doles ' -' CBxCB' = K PB = K PB = K 1

8 RANSFORMACIONES GEOMERICAS Vriiones o desplzmientos plidos los puntos del plno estleiéndose un relión entre ls forms reles y ls trnsformds. RANSLACIONES SIMERIAS GIROS - mplitud - direión - sentido siempre: - L ret trnsformd es un ret prlel. - El ángulo trnsformdo es otro ángulo igul. - L figur poligonl se trnsform en otr igul. - Un írulo trnsformdo es otro írulo igul (entro trnsformdo). - Ret prlel l vetor de trnslión, se trnsform en sí mism. o x ' ' x vetor de trnslión - L figur trnsformd de un ret es otr ret. - L figur trnsformd de un irunfereni es otr irunfereni on entro girdo. rslión por l que los elementos homólogos se orresponden dolemente. Al girrlos sore su eje o entro llegn oinidir perfetmente. eje en un plno. o = entro de giro o rotión. C simetrí xil simetrí entrl HOMOGRAFÍA y HOMOLOGÍA (PROYECIVIDAD ENRE FIGURAS PLANAS) * Dos figurs plns son homográfis undo se orresponden punto punto y ret ret. * Dos seiones de un mism rdiión son 13 eje 1 HOMOLOGÍA AFÍN o AFINIDAD Correspondeni homográfi por prlels. Elementos: - EJE - Direión de Afinidd (une puntos fines) ' 0 ' RL ' homológis si: - los puntos homólogos están linedos on uno llmdo: CENRO DE HOMOLOGÍA - rets homólogs se ortn en puntos de un ret llmd: EJE DE HOMOLOGÍA Ret límite: lugr geométrio de los puntos uyos homólogos están en el infinito. ( prlel l eje de homologí ) eje ' ' ' 14

9 R+r ' ' R-r O1 M O Rets tngentes exteriores e interiores omunes dos irunferenis 15 16

10 Rets tngentes un irunfereni desde un punto exterior t1 CURVAS DE ESPECIAL INERÉS CURVAS CÍCLICAS O DE RODADURA ESPIRALES Y ENVOLVENE CÍRCULO HÉLICES Ciloide Epiiloide Hipoiloide Crdioides P m o t RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE ANGENCIAS ENRE RECAS Y CIRCUNFERENCIAS - Conoidos RADIOS: Proedimiento norml - Conoido PUNO de ANGENCIA Poteni. Inversión - Que pse por un PUNO EXERIOR Diltión Posiles prolems: Entre irunferenis: - Cirunfereni tngente otr. - Cirunfereni tngente otrs. - Cirunfereni tngente otrs 3 (entro rdil) Rets - irunferenis: - Rets tngentes un irunfereni - Rets tngentes dos irunferenis - Cirunferenis tngentes dos rets - Cirunferenis tngentes tres rets (isetries triángulos) - Cirunferenis tngentes un ret y otr irunfereni