Integrales. Cálculo diferencial e integral en una variable

Transcripción

1 Integrles Cálculo diferencil e integrl en un vrile. Introducción L teorí de l integrción es un herrmient fundmentl pr clculr ls áres de ls regiones del plno definids prtir de curvs. Sus orígenes se remontn más de 23 ños, cundo los mtemáticos griegos clculn áres por el método de exhución. Este método consistí en proximr ls figurs curvs (tles como los círculos, ls elipses o ls práols) por polígonos pr otener proximciones del áre de dichs figurs. Por ejemplo, l siguiente figur muestr cómo se puede proximr un círculo por pres de polígonos regulres (uno dentro, y otro fuer), pr otener proximciones por defecto y por exceso de su áre: r r n = 4 n = 6 n = 8 n = 2 Los mtemáticos griegos tmién usron el mismo método con éxito pr clculr los volúmenes de sólidos tles como ls esfers, los cilindros o los conos, proximándolos por poliedros. El cálculo integrl moderno preció l finl del siglo XVII, cundo el mtemático y filósofo lemán Gottfried Wilhelm Leiniz (646 76) descurió un vínculo sorprendente entre l integrción y l derivción 2. Sin emrgo, l definición de Leiniz crecí de un fundmentción riguros, pues le flt un definición precis de los números reles. (De hecho, ls nociones fundmentles de ínfimo y de supremo, sí como el xiom de completitud, fueron introducidos recién en l primer mitd del siglo XIX.) L primer formlizción riguros de l teorí de l integrción fue dd por el mtemático lemán Bernhrd Riemnn ( ), y es esencilmente ést l que vmos presentr en este cpítulo 3. El método de exhución fue introducido por Eudoxo de Cnido ( C.) y completdo por Arquímedes de Sircus ( C.), quienes lo usron pr clculr múltiples áres y volúmenes. 2 Este vínculo es el ojeto del teorem fundmentl del cálculo, que veremos más delnte en este curso. En este cpítulo, sólo nos interesremos por el prolem que consiste en definir rigurosmente l noción de áre. 3 Existe otr teorí de l integrción, deid l mtemático frncés Henri Leesgue (875 94), que permite integrr más funciones, y que constituye hoy el mrco de referenci de l teorí de l integrción. En este curso, nos restringiremos l teorí de Riemnn, cuys definiciones son más sencills y que es (más que) suficiente pr ls necesiddes de este curso introductorio.

2 2. Integrl de un función 2.. Ojetivo y método El prolem de l teorí de l integrción es el siguiente: dd un función f : [, ] R definid en un intervlo cerrdo [, ] (con < ), cómo medir el áre lgeric de l región del plno uicd entre el eje x y l gráfic de l función f? + f + x Por áre lgeric, se entiende el número rel (positivo, negtivo o nulo) otenido contndo con un signo positivo ls áres por encim del eje x, y con un signo negtivo ls áres por dejo del eje x, como indicdo en l figur nterior 4. En mtemátic, el áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de f se llm integrl de l función f en el intervlo [, ], y el proceso que permite determinr dich áre se llm integrción. El método Pr determinr l integrl de l función f en el intervlo [, ], el método de Riemnn consiste en proximr (por defecto y por exceso) l región correspondiente por regiones poligonles construids prtir de rectángulos, y cuy áre (lgeric) se clcul fácilmente sumndo ls áres (lgerics) de dichos rectángulos 5 (Sección 2.3): 2 n 2 n Formlmente, cd pr de proximciones (un por defecto y otr por exceso) es construido prtir de un prtición P = {,, 2,..., n, } del intervlo [, ] (Sección 2.2), cuyos puntos definen los límites horizontles de los rectángulos que usremos pr construir dichs proximciones. Considerndo prticiones cd vez más fins del intervlo [, ], se otienen proximciones cd vez más preciss del áre desed, l cul puede ser definid como el límite (Sección 2.4) de ls áres de tods ls proximciones sí definids. 4 El áre lgeric de l región uicd entre entre el eje x y l gráfic de l función f tiene propieddes lgerics mucho mejores que el áre geométric correspondiente (otenid contndo tods ls áres involucrds con un signo positivo), y es l rzón por qué l teorí de l integrción sólo consider és. Por otro ldo, ms nociones de áre (lgeric y geométric) coinciden pr ls funciones positivs o nuls, y cundo se trt de clculr el áre geométric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de un función f con un signo culquier, st con remplzr l función f por l función x f (x) (vése Sección 3.3). 5 El áre lgeric de un rectángulo de ncho l > (positivo) y de ltur L R (lgeric) es el producto l L. Este producto es positivo, negtivo o nulo según si l ltur lgeric L es positiv, negtiv o nul (siendo el ncho positivo, por convención). 2

3 2.2. Prticiones de un intervlo Definición (Prtición de un intervlo). Se un intervlo cerrdo [, ] R, con <. Se llm prtición de [, ] todo suconjunto finito P [, ] tl que P y P. Notción 2. En lo siguiente, escriiremos sistemáticmente ls prticiones P del intervlo [, ] ordenndo sus elementos de modo creciente; es decir: de l form P = {,,..., n }, con = < < < n =. Intuitivmente, un prtición P = {,,..., n } del intervlo [, ] sirve pr descomponer dicho intervlo en un unión finit de suintervlos esencilmente disjuntos 6 : [, ] = [, ] [, 2 ] [ n, n ]. Definición 3 (Orden entre ls prticiones). Ls prticiones de un intervlo [, ] están ordends por el orden de l inclusión. Así, dds dos prticiones P y Q del intervlo [, ] tles que P Q, se dice que Q es más fin que P, o que P es más grues que Q. Oservción 4 (Relción de orden prcil). L relción de inclusión entre ls prticiones del intervlo [, ] es un relción de orden prcil, en el sentido de que es un relción reflexiv: P P trnsitiv: si P Q y Q R, entonces P R ntisimétric: si P Q y Q P, entonces P = Q. (pr tods ls prticiones P, Q, R [, ]). Por otro ldo, est relción no es un relción de orden totl (l contrrio de l relción de orden usul sore los números reles 7 ), pues existen pres de prticiones no comprles, como lo muestr el siguiente ejemplo: Ejemplo 5. Sen ls siguientes cutro prticiones del intervlo [2, 8]: P = {2, 8} P = {2, 3, 7 2, 5, 8} P = {2, 4, 5, 2 8 3, 8} 5 7 P = {2, 3, , 4, 5, 3, 8} Se oserv que P = {2, 8} es l prtición más grues del intervlo [2, 8], pues está incluid en culquier otr prtición de [2, 8]. En prticulr, está incluid en ls prticiones P, P 2 y P 3. Por otro ldo, ls prticiones P y P 2 no son comprles, pues P P 2 y P 2 P (unque tengn tres elementos comunes: 2, 5 y 8). Finlmente, se oserv que l prtición P 3 = P P 2 es más fin que ls prticiones P, P y P 2, pues P P P 3 y P P 2 P 3. 6 Es decir: suintervlos que no se intersectn, slvo quizás en sus puntos extremos. 7 Recordemos que pr todos los números reles x e y, tenemos que x y o y x («o» inclusivo)

4 Oservciones 6. () Ddo un intervlo cerrdo [, ] R (con < ), se oserv más generlmente que el conjunto P = {, } es un prtición del intervlo [, ]: es l prtición más grues de [, ], pues P P pr tod prtición P [, ]. (2) Dds dos prticiones P, P 2 [, ], su unión P P 2 tmién es un prtición de [, ], que es más fin que P y P 2 l vez: P P P 2 y P 2 P P 2. Se dice que l unión P P 2 es el refinmiento común de ls dos prticiones P y P 2. Definición 7 (Norm de un prtición). Dd un prtición P = {,,..., n } del intervlo [, ], se llm norm de P y se escrie P l longitud del suintervlo [ i, i+ ] [, ] más grnde ( i < n) definido por l prtición P: P = Por construcción, tenemos que: < P. máx ( i+ i )..n Oservción 8. Dds dos prticiones P y Q del intervlo [, ], es clro que P Q implic que Q P, pero el recíproco no se cumple en generl (vése el ejercicio más jo). Ejercicio 9 (Orden y norm). () Construir dos prticiones P y Q del intervlo [, ] que no sen comprles (es decir: P Q y Q P) y tles que Q < P. (2) Dd un prtición P de un intervlo [, ], demostrr que pr todo ε >, existe un prtición Q [, ] tl que P Q (es decir: Q es más fin que P) y Q < ε Sums inferiores y superiores En est sección, se consider un función f : [, ] R definid sore un intervlo cerrdo [, ] R (con < ). Además, sumiremos que l función f está cotd 8 en el intervlo [, ], en el sentido de que existen dos números k, k R tles que k f (x) k pr todo x [, ] Notción. Ddo un suintervlo [, ] [, ] (con < ), se oserv que el conjunto { f (x) : x [, ]} R está cotdo inferiormente por k y superiormente por k. Por el xiom de completitud, este conjunto tiene ínfimo y supremo, que escriiremos: ínf( f, [, ]) = ínf{ f (x) : x [, ]} sup( f, [, ]) = sup{ f (x) : x [, ]} Por construcción, tenemos que: k ínf( f, [, ]) sup( f, [, ]) k. Lem. Si [ 2, 2 ] [, ] [, ], entonces: ínf( f, [, ]) ínf( f, [ 2, 2 ]) sup( f, [ 2, 2 ]) sup( f, [, ]). Demostrción. Sen A = { f (x) : x [, ]} y A 2 = { f (x) : x [ 2, 2 ]}. Por construcción, tenemos que A 2 A, pues [ 2, 2 ] [, ]: 8 En lo siguiente, sólo integrremos funciones definids en un intervlo cerrdo [, ], y cuyos vlores están cotdos por dos números k y k fijdos. Ams condiciones sirven pr segurrnos que l región que nos interes está incluid en un rectángulo (quí: el producto crtesino [, ] [k, k ]) y que su áre es finit. 4

5 A inf(a ) sup(a ) inf(a 2 ) sup(a 2 ) A 2 Se trt de demostrr que ínf(a ) ínf(a 2 ) sup(a 2 ) sup(a ). Demostremos l primer desiguldd. Por construcción, el número ínf(a ) es un cot inferior del conjunto A, y como A 2 A, el mismo número tmién es un cot inferior del conjunto A 2. Pero como tods ls cots inferiores de A 2 son menores o igules ínf(a 2 ) (que es l cot inferior más grnde de A 2 ), se deduce que ínf(a ) ínf(a 2 ). L desiguldd sup(a 2 ) sup(a ) se demuestr de modo nálogo, y l desiguldd centrl ínf(a 2 ) sup(a 2 ) es ovi. Ahor, consideremos un prtición P = {,,..., n } del intervlo [, ]. En cd suintervlo [ i, i+ ] (con i =,..., n ), l función f tom vlores entre los dos números ínf( f, [ i, i+ ]) y sup( f, [ i, i+ ]). Así, en dicho suintervlo, se puede proximr el áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de f por ls áres de los siguientes dos rectángulos: un rectángulo de ncho i+ i > y de ltur lgeric ínf( f, [ i, i+ ]) R, cuy áre lgeric 9 es ( i+ i ) ínf( f, [ i, i+ ]) (proximción por defecto); un rectángulo de ncho i+ i > y de ltur lgeric sup( f, [ i, i+ ]) R, cuy áre lgeric es ( i+ i ) sup( f, [ i, i+ ]) (proximción por exceso). ínf( f, [ i, i+ ]) sup( f, [ i, i+ ]) i i+ i i+ Sumndo ests dos fmilis de números pr todo i =,..., n, se otienen ls siguientes dos proximciones del áre lgeric de l región que nos interes: Definición 2 (Sum inferior y sum superior respecto un prtición). Ddo un prtición P = {,,..., n } [, ], se definen l sum inferior S ( f, P) y l sum superior S ( f, P) de l función f respecto l prtición P por: S ( f, P) = S ( f, P) = n ( i+ i ) ínf( f, [ i, i+ ]) n ( i+ i ) sup( f, [ i, i+ ]) (sum inferior de f respecto P) (sum superior de f respecto P) Gráficmente, l sum inferior S ( f, P) y l sum superior S ( f, P) de l función f respecto l prtición P representn ls áres lgerics de l regiones poligonles diujds en l siguiente figur ( l izquierd pr l sum inferior y l derech pr l sum superior): 9 Vése not 5 p. 2. 5

6 k S ( f, P) k S ( f, P) k = 2 n 2 n n = } {{ } P k = 2 n 2 n n = } {{ } P Intuitivmente, l sum inferior S ( f, P) constituye un proximción por defecto del áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de l función f, mientrs l sum superior S ( f, P) constituye un proximción por exceso de dich áre. Se demuestr que: Proposición 3. Pr tod prtición P [, ], tenemos que: S ( f, P) S ( f, P). Demostrción. Escrimos P = {,,..., n }, con = < < < n =. Pr cd i =,..., n, se oserv que ínf( f, [ i, i+ ]) sup( f, [ i, i+ ]). Multiplicndo mos ldos de l desiguldd nterior por el número i+ i >, se otiene l desiguldd ( i+ i ) ínf( f, [ i, i+ ]) ( i+ i ) sup( f, [ i, i+ ]), y sumándol pr todo i =,..., n, se deduce que S ( f, P) S ( f, P). Ejercicio 4. A prtir de lo nterior, demostrr que ( )k S ( f, P) S ( f, P) ( )k pr tod prtición P = {,,..., n } [, ]. Ejercicio 5. Se f : [, 4] R l función definid por f (x) = 4x x 2. () Bosquejr l gráfic de l función f. (2) Demostrr que f es monóton creciente en [, 2] y monóton decreciente en [2, 4]. (Sugerenci: se puede estudir el signo de l derivd de f, o ien demostrr el resultdo directmente, oservndo que f (x) = 4 (x 2) 2.) (3) Rellenr l siguiente tl de vlores: x =,, 5,, 5 2, 2, 5 3, 3, 5 4, f (x) = (4) Clculr ls sums inferiores S ( f, P) y ls sums superiores S ( f, P) pr ls siguientes prticiones del intervlo [, 4], sí como ls norms de dichs prticiones: P = {; 4} P = {; 2; 4} P 2 = {; ; 2; 3; 4} P 3 = {;, 5; ;, 5; 2; 2, 5; 3; 3, 5; 4} Oservción: Pr determinr los ínfimos y supremos de l función f en los suintervlos definidos por ls prticiones P, P, P 2 y P 3, conviene usr ls propieddes de monotoní demostrds en (2). (5) Comprr los pres de proximciones S ( f, P) y S ( f, P) pr P = P, P, P 2, P 3. Cuál es el mejor pr de proximciones? y el peor? 6

7 Más generlmente, se puede demostrr que cundo dos prticiones P y Q del intervlo [, ] son tles que P Q (es decir: Q es más fin que P), ls sums S ( f, Q) y S ( f, Q) inducids por l prtición más fin siempre constituyen un mejor pr de proximciones del áre desed que ls sums S ( f, P) y S ( f, P) inducids por l prtición más grues: S ( f, P) S ( f, Q) re? S ( f, Q) S ( f, P) proximciones inducids por Q proximciones inducids por P Formlmente: Proposición 6. Si dos prticiones P, Q [, ] son tles que P Q, entonces: S ( f, P) S ( f, Q) S ( f, Q) S ( f, P). Demostrción. En primer lugr, se consider el cso prticulr donde ls prticiones P y Q sólo difieren por un punto, es decir: Q = P { }, con P. En este cso, se pueden escriir P = {,..., k, k+,..., n } y Q = {,..., k,, k+,..., n }, suponiendo que el nuevo punto gregdo por l prtición Q se interpone entre los puntos k y k+ de l prtición inicil P (pr lgún k =,..., n ). Así, l sum inferior de l función f respecto l prtición P se puede descomponer del modo siguiente S ( f, P) = n ( i+ i ) ínf( f, [ i, i+ ]) = S i<k + ( k+ k ) ínf( f, [ k, k+ ]) + S i>k grupndo todos los sumndos correspondientes los índices i < k en l sum S i<k, y todos los sumndos correspondientes los índices i > k en l sum S i>k. Así otenemos que S ( f, P) = S i<k + ( k+ k ) ínf( f, [ k, k+ ]) + S i>k = S i<k + ( ( k ) + ( k+ ) ) ínf( f, [ k, k+ ]) + S i>k = S i<k + ( k ) ínf( f, [ k, k+ ]) + ( k+ ) ínf( f, [ k, k+ ]) + S i>k S i<k + ( k ) ínf( f, [ k, ]) + ( k+ ) ínf( f, [, k+ ]) + S i>k = S ( f, P { }) = S ( f, Q) oservndo que ínf( f, [ k, k+ ]) ínf( f, [ k, ]) e ínf( f, [ k, k+ ]) ínf( f, [, k+ ]) por el Lem p. 4. De modo nálogo, se demuestr que S ( f, P) S ( f, P { }) = S ( f, Q), usndo de nuevo el Lem, pero con los supremos. Ahor, consideremos el cso generl, donde P y Q son dos prticiones tles que P Q, pero de tmños culesquier. Como P y Q 7

8 son conjuntos finitos tles que P Q, se puede escriir Q = P {,..., p} pr lgún p N. Usndo de modo repetido el cso prticulr demostrdo nteriormente, otenemos que y S ( f, P) S ( f, P { }) S ( f, P {, 2 }) S ( f, P {,..., p }) S ( f, P {,..., p}) = S ( f, Q) S ( f, P) S ( f, P { }) S ( f, P {, 2 }) S ( f, P {,..., p }) S ( f, P {,..., p}) = S ( f, Q), lo que c demostrr que S ( f, P) S ( f, Q) S ( f, Q) S ( f, P). Un consecuenci importnte de l proposición nterior es que tods ls sums inferiores S ( f, P) (ls proximciones por defecto ) son menores o igules tods l sums superiores S ( f, Q) (ls proximciones por exceso ), independientemente de ls prticiones P y Q: Proposición 7. Pr tods ls prticiones P, Q [, ], tenemos que: S ( f, P) S ( f, Q). Demostrción. Por l proposición nterior, tenemos que S ( f, P) S ( f, P Q) S ( f, P Q) S ( f, Q) Integrl inferior y superior Los lectores hrán oservdo que nunc definimos formlmente lo que es el áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic, y que tmpoco usmos est noción pr demostrr los resultdos nteriores. Hst hor, l noción de áre es un noción purmente intuitiv, sin definición forml, que sólo usmos como un hilo conductor pr definir (formlmente) ls sums inferiores y superiores. Al finl, se otienen dos conjuntos de proximciones : el conjunto A ( f ) = {S ( f, P) : P prtición de [, ]} formdo por tods ls sums inferiores de l función f, que se pueden considerr como proximciones por defecto del áre desed (y todví no definid); el conjunto A ( f ) = {S ( f, Q) : Q prtición de [, ]} formdo por tods ls sums superiores de l función f, que se pueden considerr como proximciones por exceso del áre desed. Además, demostrmos (Prop. 7) que todos los elementos del conjunto A ( f ) son menores o igules todos los elementos del conjunto A ( f ): En prticulr: I ( f ) I ( f ) A ( f ) A ( f ) S ( f,{,}) S ( f,p) S ( f,q) S ( f,q) S ( f,p) S ( f,{,}) el conjunto A ( f ) está cotdo superiormente (por culquier elemento de A ( f )), y Formlmente, l demostrción del cso generl se efectú por inducción sore el número p de elementos gregdos, usndo el cso prticulr pr psr de p p + en el pso inductivo (ejercicio). 8

9 el conjunto A ( f ) está cotdo inferiormente (por culquier elemento de A ( f )). Lo que justific l siguiente definición: Definición 8 (Integrl inferior y superior). Se llmn integrl inferior e integrl superior de l función f los dos números I ( f ) y I ( f ) definidos por: I ( f ) = sup(a ( f )) = sup S ( f, P) P [,] I ( f ) = ínf(a ( f )) = ínf P [,] S ( f, P) (integrl inferior de f ) (integrl superior de f ) Así: L integrl inferior I ( f ) de l función f es definid como el supremo de tods ls sums inferiores de l función f. Intuitivmente, este número constituye l mejor proximción por defecto del áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de f ; L integrl superior I ( f ) de l función f es definid como el ínfimo de tods ls sums superiores de l función f. Intuitivmente, este número constituye l mejor proximción por exceso de l mism áre. En prticulr, se verific fácilmente que: Proposición 9. I ( f ) I ( f ). Demostrción. Se sigue de l Prop. 7 (ejercicio). Oservción 2. Por definición de ls integrles inferior I ( f ) y superior I ( f ), tenemos que S ( f, P) I ( f ) I ( f ) S ( f, P) pr tod prtición P [, ], lo que implic que como se puede oservr en l siguiente figur: I ( f ) I ( f ) S ( f, P) S ( f, P) S ( f, P) S ( f, P) S I ( f ) I ( f, P) ( f ) S ( f, P) I ( f ) I ( f ) Más generlmente, se verific de mismo modo (usndo l Prop. 6) que si P, Q, R, etc. son prticiones del intervlo [, ] tles que P Q R, entonces: I ( f ) I ( f ) S ( f, R) S ( f, R) S ( f, Q) S ( f, Q) S ( f, P) S ( f, P). En lo siguiente, veremos que cundo l función f es suficientemente regulr (lo que será el cso pr l grn myorí de ls funciones que considerremos en este curso), los dos números I ( f ) e I ( f ) son igules. En este cso, podremos considerr que el número I ( f ) = I ( f ) constituye un definición del áre desed. En los otros csos, considerremos que l región uicd entre el eje x y l gráfic de f no tiene áre ien definid. Formlmente: 9

10 Definición 2 (Función integrle). Se dice que un función f : [, ] R (cotd) es integrle cundo sus integrles inferior y superior coinciden: I ( f ) = I ( f ). Cundo es el cso, este número se llm l integrl de l función f en el intervlo [, ], y se escrie f o ien f (x) dx (= I ( f ) = I ( f )) Así, por construcción, l integrl de l función f : [, ] R represent el áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de f : f (x) dx = áre lgeric (Recordemos que, por definición, sólo ls funciones cotds pueden ser integrles.) Oservción 22. Históricmente, l notción nterior fue introducid en 686 por Leiniz, que definí l integrl de un función f como un sum continu de áres de rectángulos infinitmente finos, de ltur f (x) y de ncho infinitesiml dx: f (x) dx = f (x) dx + x [,] En prticulr, el símolo viene de l cligrfí de l letr s 2 en el siglo XVII. En lo que sigue, usremos con frecuenci los siguientes dos criterios pr demostrr que un función cotd es integrle: Proposición 23 (Criterio de integrción menos de ε ). Pr tod función f : [, ] R cotd y pr todo número I R, ls siguientes dos condiciones son equivlentes: () L función f es integrle en [, ] y su integrl vle I. (2) Pr todo ε >, existe un prtición P [, ] tl que I ε < S ( f, P) S ( f, P) < I + ε. Demostrción. () (2). Supongmos que I ( f ) = I ( f ) = I. Ddo ε >, queremos construir un prtición P que cumpl ls desigulddes deseds. Como I = I ( f ) es el supremo de ls sums inferiores de f, existe un prtición P [, ] tl que I ε < S ( f, P ) I. Y como I = I ( f ) es el ínfimo de ls sums superiores de f, existe un prtición P 2 [, ] tl que I S ( f, P 2 ) < I + ε. Tomndo P = P P 2, se deduce de lo nterior (por l Prop. 6) que I ε < S ( f, P ) S ( f, P) S ( f, P) S ( f, P 2 ) < I + ε. (2) (). Como mos números I ( f ) e I ( f ) se intercln entre ls sums inferior S ( f, P) y superior S ( f, P) de l función f pr tod prtición P [, ], l condición (2) implic que I ε < I ( f ) < I + ε e I ε < I ( f ) < I + ε pr todo ε >. Por lo tnto, tenemos que I ( f ) = I ( f ) = I. Aunque l definición de Leiniz y no se considerd como correct según los criterios modernos, ls intuiciones suycentes todví son muy útiles en físic y veces tmién en mtemátic. 2 L s de l plr ltin «summ» (sum), que se escrií «umm» en el tiempo de Leiniz. f +

11 Oservción 24. El criterio nterior es un criterio de integrción, que sirve () pr determinr si l función considerd es integrle y (2) pr determinr el vlor de su integrl. A veces, sólo se necesit determinr si l función considerd es integrle, sin conocer el vlor de su integrl. En este cso, se us el siguiente criterio de integrilidd: Proposición 25 (Criterio de integrilidd menos de ε ). Pr tod función f : [, ] R cotd, ls siguientes dos condiciones son equivlentes: () L función f es integrle en el intervlo [, ]. (2) Pr todo ε >, existe un prtición P [, ] tl que S ( f, P) S ( f, P) < ε. Demostrción. () (2). Supongmos que l función f es integrle en [, ], y llmremos I su integrl. Ddo ε >, existe por l proposición nterior un prtición P [, ] tl que I ε/2 < S ( f, P) S ( f, P) < I + ε/2. Entonces, tenemos que S ( f, P) S ( f, P) < (I + ε/2) (I ε/2) = ε. (2) (). Como I ( f ) I ( f ) S ( f, P) S ( f, P) pr tod prtición P [, ], l condición (2) implic que I ( f ) I ( f ) < ε pr todo ε >. Por lo tnto, I ( f ) = I ( f ) Ejemplos y contrejemplo Ejemplo 26 (Integrción de un función constnte). Ddos un intervlo cerrdo [, ] (con < ) y un número k R, se consider l función constnte f : [, ] R definid por f (x) = k pr todo x R. Pr demostrr que l función f es integrle, se consider un prtición P = {,,..., n } (culquier) del intervlo [, ], y se oserv que en cd suintervlo [ i, i+ ] (i =,..., n ), tenemos que ínf( f, [ i, i+ ]) = sup( f, [ i, i+ ]) = k. Así, l sums inferior S ( f, P) y superior S ( f, P) de l función f respecto l prtición P son igules, y: S ( f, P) = S ( f, P) = n n ( i+ i ) k = k ( i+ i ) = 3 k( n ) = ( )k. Por lo tnto, tenemos que A ( f ) = A ( f ) = {( )k} (tods ls proximciones son igules), de tl modo que I ( f ) = I ( f ) = ( )k. Así, l función f es integrle en [, ], y f (x) dx = k dx = ( )k. Oservción 27. Como er de esperr, l integrl f (x) dx = k dx de l función constnte f (x) = k en el intervlo [, ] es igul l áre lgeric ( ) k de un rectángulo de ncho > y de ltur lgeric k R. 3 Aquí se oserv que n ( i+ i ) = n ( i + i+ ) = n + n = n. En lo siguiente, usremos frecuentemente est regl de simplificción de dos de modo implícito. k

12 En l Sección 4 y en resto del curso, veremos otros muchos ejemplos (menos triviles) de funciones integrles cuys integrles se pueden clculr sencillmente en lgunos csos. Sin emrgo, tmién existen funciones no integrles, sí como lo muestr el siguiente ejemplo: Ejemplo 28 (Función de Dirichlet). Consideremos l función de Dirichlet f : [, ] R, que es definid por si x Q f (x) = (pr todo x [, ]) si x Q Se un prtición P = {,,..., n } culquier del intervlo [, ]. Se oserv que en cd suintervlo [ i, i+ ] (con i =,..., n ), existen l vez números rcionles (pr los cules f (x) = ) y números irrcionles (pr los cules f (x) = ), de tl modo que ínf( f, [ i, i+ ]) = mientrs sup( f, [ i, i+ ]) =. Clculndo ls sums inferior y superior correspondientes, se otiene mientrs S ( f, P) = S ( f, P) = n ( i+ i ) = n ( i+ i ) = n =, y eso pr tods ls prticiones P [, ]. Por lo tnto, tenemos que I ( f ) = e I ( f ) =, lo que demuestr que l función de Dirichlet no es integrle, unque esté cotd. Oservción 29. Intuitivmente, l función de Dirichlet (que ltern entre los vlores y infinits veces en cd suintervlo de [, ]) es tn irregulr que el método de proximción por rectángulos no logr cpturr el áre de l región correspondiente 4. El primer resultdo importnte de l teorí de l integrción es que tods ls funciones monótons (crecientes o decrecientes) son integrles: Teorem 3 (Funciones monótons). Si f : [, ] R es un función monóton creciente o decreciente en el intervlo [, ], entonces f es integrle en dicho intervlo. Demostrción. Sólo considerremos el cso donde f es monóton creciente; el cso donde es monóton decreciente es nálogo (vése Ejercicio 3 más jo). Cómo l función f es monóton creciente en el intervlo [, ], está cotd entre f () y f (). En el cso prticulr donde f () = f (), l función f es constnte, y y vimos que es integrle (Ejemplo 26). A prtir de hor, se supone que f () < f (). Pr demostrr que l función f es integrle, se us el criterio de integrilidd menos de ε (Prop. 25). Ddo ε > fijdo, se puede hllr un entero n suficientemente grnde pr que ε < (por el principio de Arquímedes). n f () f () Luego se consider l prtición P = {,,..., n } del intervlo [, ] definid por i = + i n (pr todo i =,..., n) de tl modo que todos los suintervlos [ i, i+ ] tengn l mism longitud ( )/n. 4 Sin emrgo, l teorí de l integrción de Leesgue (vése not 3 p. ) permite definir y clculr l integrl de l función de Dirichlet, que vle. (Intuitivmente, este resultdo extrño viene de que hy infinitmente más números irrcionles en el intervlo [, ] que números rcionles, unque prezcn uniformemente mezcldos). 2

13 f () f () f () f () n < ε f () f () Ahor, se oserv que en cd suintervlo [ i, i+ ] (i =,..., n ), l función f es monóton creciente, de tl modo que ínf( f, [ i, i+ ]) = f ( i ) mientrs sup( f, [ i, i+ ]) = f ( i+ ). Por lo tnto, tenemos que S ( f, P) S ( f, P) = = n ( i+ i ) f ( i+ ) n ( i+ i ) f ( i ) n ( i+ i )( f ( i+ ) f ( i )) = n = n ( f () f ()) < n ( f ( i+ ) f ( i )) ε ( f () f ()) = ε f () f () (vése figur nterior). Así pr cd ε >, demostrmos que existe un prtición P [, ] tl que S ( f, P) S ( f, P) < ε. Por l Prop. 25, se deduce que l función f es integrle. Ejercicio 3. Usndo como modelo l demostrción del cso donde l función f es monóton creciente, redctr l demostrción del cso donde f es monóton decreciente, modificndo el rzonmiento de modo decudo. Oservción 32. El resultdo nterior expres que el áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de l función f siempre está ien definid cundo dich función es monóton (creciente o decreciente). Sin emrgo, este resultdo no explic como clculr dich áre. En l práctic, el método de integrción depende del ejemplo considerdo. Aquí hy uno: Ejemplo 33 (Integrción de l función f (x) = x 2 ). Ddo un número >, queremos integrr l función f : [, ] R definid por f (x) = x 2, cuy gráfic es un rco de práol: f (x) = x 2 3

14 Como l función f (x) = x 2 es monóton creciente en el intervlo [, ], es integrle por el teorem nterior. Pr determinr el vlor de su integrl, necesitremos el siguiente lem: Lem 34. Pr todos los números reles x e y tles que x y, tenemos que (y x)x 2 y3 x 3 3 (y x)y 2. Demostrción. Se oserv que y 3 x 3 = (y x)(x 2 + xy + y 2 ). Además, tenemos que: 3x 2 = x 2 + x 2 + x 2 x 2 + xy + y 2 y 2 + y 2 + y 2 = 3y 2 (pues x y). Multiplicndo los miemros extremos y el miemro centrl de ls desigulddes nteriores por el número y x, se deduce que: 3(y x)x 2 (x y)(x 2 + xy + y 2 ) } {{ } y 3 x 3 3(y x)y 3, lo que implic inmeditmente ls desigulddes deseds. Ahor, consideremos un prtición culquier P = {,,..., n } del intervlo [, ]. En cd uno de los suintervlos [ i, i+ ] (i =,..., n ), l función f es monóton creciente, de tl modo que ínf( f, [ i, i+ ]) = f ( i ) = 2 i, mientrs sup( f, [ i, i+ ]) = f ( i+ ) = 2 i+. Entonces, tenemos que S ( f, P) = n ( i+ i ) 2 i n ( 3 ) i+ 3 3 i 3 = 3 n = 3 3 (usndo el lem nterior pr estlecer l desiguldd centrl), mientrs S ( f, P) = n n ( 3 ) ( i+ i ) 2 i+ i+ 3 3 i 3 = 3 n = 3 3 (usndo de vuelt el lem nterior pr l desiguldd centrl). Así demostrmos que S ( f, P) 3 3 S ( f, P) pr tods ls prticiones P del intervlo [, ]. Psndo l supremo (en l desiguldd izquierd) y l ínfimo (en l desiguldd derech), se deduce que: I ( f ) 3 3 I ( f ). Como l función f es integrle, tenemos que I ( f ) = I ( f ) = 3 /3. Luego: En prticulr: f (x) dx = x 2 dx = 3 3 4

15 cundo =, dich integrl vle 3 /3 = /3; cundo = 3/2, dich integrl vle (3/2) 3 /3 = 9/8; cundo = 2, dich integrl vle 2 3 /3 = 8/3, etc = = 3/2 = 2 Ejercicio 35. Modificr el rzonmiento del ejemplo nterior pr demostrr más generlmente que pr todos los números y tles que <, tenemos que x 2 dx = Ejercicio 36 (Integrl de l función identidd). En un intervlo cerrdo [, ] (con < ), se consider l función f : [, ] R definid por f (x) = x pr todo x [, ]. () Demostrr que pr todos los números x y, tenemos que (y x)x y2 x 2 (y x)y. 2 (Sugerenci: usr l identidd notle y 2 x 2 = (y x)(x + y).) (2) Se P = {,,..., n } un prtición culquier del intervlo [, ]. Usndo el resultdo demostrdo en (), demostrr que S ( f, P) 2 2 S ( f, P). 2 (Sugerenci: usr l mism técnic que en el ejemplo 33.) (3) Deducir de lo nterior que I ( f ) 2 2 I ( f ). 2 (4) Usndo l monotoní de l función f, concluir que f es integrle y f (x) dx = (5) En el cso donde < <, se oserv que l región uicd entre el eje x y l gráfic de l función f es un trpecio rectángulo. Clculr el áre de dicho trpecio, y verificr que el resultdo otenido es consistente con el resultdo del ítem (4). 3. Propieddes de l integrl 3.. Monotoní Un propiedd fundmentl de l integrl es que respet el orden entre dos funciones: Proposición 37 (Monotoní). Sen dos funciones integrles f, g : [, ] R definids en un mismo intervlo [, ] (con < ). Si f (x) g(x) pr todo x [, ], entonces f g. 5

16 g Demostrción. Se P = {,,..., n } un prtición culquier del intervlo [, ]. En cd suintervlo [ i, i+ ] (i =,..., n ), se oserv que ínf( f, [ i, i+ ]) f (x) g(x) pr todo x [ i, i+ ], de tl modo que ínf( f, [ i, i+ ]) ínf(g, [ i, i+ ]) (psndo l ínfimo). A prtir de l desiguldd nterior, se deduce que S ( f, P) = n ( i+ i ) ínf( f, [ i, i+ ]) f n ( i+ i ) ínf(g, [ i, i+ ]) = S (g, P), y eso pr tod prtición P [, ]. Psndo l supremo entre tods ls prticiones P [, ], otenemos que I ( f ) I (g). Pero como ms funciones f y g son integrles en el intervlo [, ], esto quiere decir que f = I ( f ) I (g) = Oservción 38 (Interpretción geométric). L desiguldd f (x) g(x) pr todo x [, ] (que veces, escriiremos f g) expres que l gráfic de l función f se uic dejo de l gráfic de l función g cundo x recorre el intervlo [, ]. En este cso, es ovio que el áre (geométric) de l región uicd entre ls dos gráfics es dd por l diferenci áre de l región uicd entre f y g = g. g f ( ) En l Sección 3.2 (linelidd de l integrl), veremos que l diferenci entre ms integrles tmién es igul l integrl de l diferenci: g f = (g f ). Un consecuenci ovi de l proposición nterior es que tod función positiv o nul (resp. negtiv o nul) en el intervlo [, ] tiene integrl positiv o nul (resp. negtiv o nul): Corolrio 39. Se f : [, ] R un función integrle: () Si f (x) pr todo x [, ], entonces f. (2) Si f (x) pr todo x [, ], entonces f. Demostrción. Ejercicio. Ejercicio 4. Usndo l Prop. 37 y el resultdo demostrdo en el Ejemplo 26 p., demostrr que si un función integrle f : [, ] R está cotd por dos números k, k R tles que entonces: ( )k Se interpretrá geométricmente el resultdo. k f (x) k (pr todo x [, ]) 6 f ( )k.

17 3.2. Linelidd El ojetivo de est sección es demostrr el siguiente teorem: Teorem 4 (Linelidd). Sen f, g : [, ] R dos funciones integrles. Entonces: () L función f + g es integrle en [, ]; demás: ( f + g) = f + g. (2) Pr todo α R, l función α f es integrle en [, ]; demás: (α f ) = α f Oservciones 42 (Vínculo con el álger linel). Desde el punto de vist del álger linel 5, el teorem nterior expres que: () el conjunto de tods ls funciones integrles es un suespcio vectoril del espcio vectoril 6 formdo por tods ls funciones f : [, ] R; () l operción f f (que cd función integrle f : [, ] R soci su integrl) es un trnsformción linel del espcio de ls funciones integrles hst R. Más precismente, se oserv que el conjunto de ls funciones integrles en el intervlo [, ] es un suespcio vectoril del espcio de ls funciones cotds de [, ] en R, que es su vez un suespcio vectoril del espcio vectoril de ls funciones (no necesrimente cotds) de [, ] en R, como indicdo en el siguiente digrm: espcio vectoril de ls funciones de [, ] en R (sev) suespcio de ls funciones cotds de [, ] en R (sev) suespcio de ls funciones integrles de [, ] en R (_) R (Se puede demostrr que los tres espcios son de dimensión infinit.) Como l demostrción del Teorem 4 (linelidd de l integrl) l lgo lrg, vmos dividirl en múltiples resultdos intermedios. Lem 43. Sen f, g : [, ] R dos funciones cotds culesquier. Entonces, pr todo suintervlo [, ] [, ], tenemos que: () ínf( f + g, [, ]) ínf( f, [, ]) + ínf(g, [, ]) (2) sup( f + g, [, ]) sup( f, [, ]) + sup(g, [, ]) Demostrción. () Tenemos que ínf( f, [, ]) f (x) e ínf(g, [, ]) g(x) pr todo x [, ], de tl modo que ínf( f, [, ]) + ínf(g, [, ]) f (x) + g(x) (pr todo x [, ]) Así, el número ínf( f, [, ]) + ínf(g, [, ]) es un cot inferior de l función f + g en el suintervlo [, ]. Por lo tnto: ínf( f, [, ]) + ínf(g, [, ]) ínf( f + g, [, ]), pues ínf( f + g, [, ]) es l cot inferior más grnde de l función f + g en el suintervlo [, ]. (2) Análogo l ítem (), remplzndo los ínfimos por supremos. 5 Vése el curso Geometrí y Álger Linel (GAL). 6 Recordemos que el conjunto de ls funciones f : [, ] R es un (R-)espcio vectoril, cuy sum es l sum de funciones, y cuyo producto por esclres es el producto α f de un función f por un número α R. (Ejercicio: verificr que est sum y que este producto por esclres cumplen los xioms de los espcios vectoriles.) 7

18 Ejercicio 44. Usndo como modelo l demostrción del ítem () del lem nterior, redctr l demostrción del ítem (2), modificndo el rzonmiento de modo decudo. L siguiente proposición estlece el ítem () del teorem: Proposición 45 (Aditividd). Si f, g : [, ] R son dos funciones integrles, entonces l función f + g tmién es integrle en [, ]; demás: ( f + g) = f + g. Demostrción. L demostrción se efectú en tres etps. Etp : Demostrción de l desiguldd I ( f + g) I ( f ) + I (g). Dd un prtición P = {,,..., n } [, ] culquier, se oserv (por el Lem 43) que: S ( f + g, P) = lo que demuestr que n ( i+ i ) ínf( f + g, [ i, i+ ]) n ( i+ i ) (ínf( f, [ i, i+ ]) + ínf( f + g, [ i, i+ ]) ) n = ( i+ i ) ínf( f, [ i, i+ ]) + = S ( f, P) + S (g, P) n ( i+ i ) ínf(g, [ i, i+ ]) ( ) S ( f, P) + S (g, P) S ( f + g, P) I ( f + g) (pr tod prtición P) Ahor, queremos demostrr que I ( f ) + I (g) I ( f + g). Pr ello, se fij ε >. Como el número I ( f ) es el supremo de tods ls sums inferiores S ( f, P), existe un prtición P del intervlo [, ] tl que I ( f ) ε/2 < S ( f, P ) I ( f ). Y como el número I (g) es el supremo de tods ls sums inferiores S (g, P), existe otr prtición P 2 del intervlo [, ] tl que I (g) ε/2 < S (g, P 2 ) I (g). Tomndo l prtición P = P P 2, se oserv (usndo l Prop. 6) que S ( f, P) S ( f, P ) I ( f ) ε/2 y S (g, P) S (g, P 2 ) I (g) ε/2, y cominndo ms desigulddes nteriores con ( ), se deduce que: I ( f + g) S ( f, P) + S (g, P) > (I ( f ) ε/2) + (I (g) ε/2) = I ( f ) + I (g) ε Así demostrmos que I ( f ) + I (g) < I ( f + g) + ε pr todo ε > (desiguldd menos de ε ), lo que implic l desiguldd I ( f ) + I (g) I ( f + g) desed. Etp 2: Demostrción de l desiguldd I ( f + g) I ( f ) + I (g). Análog l demostrción de l Etp, remplzndo los ínfimos por supremos. Etp 3: Conclusión. Como ls funciones f y g son integrles en el intervlo [, ], tenemos que I ( f ) = I ( f ) e I (g) = I (g). Usndo ls desigulddes otenids en ls etps y 2, se deduce que I ( f ) + I (g) I ( f + g) I ( f + g) I ( f ) + I (g) = I ( f ) + I (g). Por lo tnto, tenemos que I ( f + g) = I ( f + g) = I ( f ) + I (g) = I ( f ) + I (g), lo que demuestr que l función f + g es integrle en el intervlo [, ], y que ( f + g) = f + g. 8

19 Ejercicio 46. Usndo como modelo l demostrción de l etp de l proposición nterior, redctr l demostrción de l etp 2, modificndo el rzonmiento de modo decudo. Ahor, nos qued demostrr el ítem (2) del teorem. Pr ello, se necesit distinguir los csos donde α y α. En primer lugr, se trt el cso donde α. Lem 47. Se f : [, ] R un función cotd. Entonces, pr todo suintervlo [, ] [, ] y pr todo número α, tenemos que: () ínf(α f, [, ]) = α ínf( f, [, ]) (2) sup(α f, [, ]) = α sup( f, [, ]) Demostrción. () En primer lugr, se oserv que l propiedd es ovi cundo α =, pues ínf( f, [, ]) = = ínf( f, [, ]). Ahor, se supone que α >. Pr todo x [, ], tenemos que ínf( f, [, ]) f (x). Multiplicndo l desiguldd nterior por α >, se otiene que y psndo l ínfimo, se deduce que α ínf( f, [, ]) α f (x) (pr todo x [, ]) α ínf( f, [, ]) ínf(α f, [, ]). Pero el mismo rzonmiento tmién se plic l función α f (en lugr de f ) y l fctor α > (en lugr de α), lo que nos d: es decir: α ínf(α f, [, ]) ínf(α (α f ), [, ]), ínf(α f, [, ]) α ínf( f, [, ]), (multiplicndo mos ldos por α >, y oservndo que α (α f ) = f = f ). Por lo tnto: ínf(α f, [, ]) = α ínf( f, [, ]). (2) Análogo l ítem (), remplzndo los ínfimos por supremos. Ejercicio 48. Usndo como modelo l demostrción del ítem () del lem nterior, redctr l demostrción del ítem (2), modificndo el rzonmiento de modo decudo. Proposición 49. Si f : [, ] R es un función integrle, entonces pr todo número α, l función α f es integrle en el intervlo [, ]; demás: (α f ) = α f. Demostrción. Se P = {,,..., n } un prtición culquier del intervlo [, ]. Por el lem nterior, se oserv que: S (α f, P) = n ( i+ i ) ínf(α f, [ i, i+ ]) = n = α ( i+ i ) ínf( f, [ i, i+ ]) = α S ( f, P) 9 n ( i+ i ) (α ínf( f, [ i, i+ ]))

20 y de modo nálogo, se demuestr que S (α f, P) = α S ( f, P). Psndo l supremo (pr ls sums inferiores) y l ínfimo (pr ls sums superiores), se deduce que I (α f ) = α I ( f ) e I (α f ) = α I ( f ). Como f es integrle, tenemos que I ( f ) = I ( f ), de tl modo que I (α f ) = α I ( f ) = α I ( f ) = I (α f ). Por lo tnto, l función α f es integrle, y se cumple que (α f ) = α f. Ahor, nos qued demostrr el ítem (2) del teorem en el cso donde α. Pr ello, se necesit relcionr ls integrles de l función f y de l función opuest f. Lem 5. Se f : [, ] R un función cotd. Entonces pr todo suintervlo [, ] [, ], tenemos que: () ínf( f, [, ]) = sup( f, [, ]) (2) sup( f, [, ]) = ínf( f, [, ]) Demostrción. Ejercicio. Proposición 5. Si f : [, ] R es un función integrle en [, ], entonces l función f es integrle en [, ] tmién; demás: ( f ) = f. Demostrción. Usndo el lem nterior, se verific sin dificultd que S ( f, P) = S ( f, P) y S ( f, P) = S ( f, P) pr tod prtición P del intervlo [, ]. Psndo l supremo (pr l sums inferiores) y l ínfimo (pr ls sums superiores), se deduce que I ( f ) = I ( f ) e I ( f ) = I ( f ). Como l función f es integrle en [, ], tenemos que I ( f ) = I ( f ), de tl modo que I ( f, P) = I ( f ) = I ( f ) = I ( f, P). Por lo tnto, l función f es integrle en [, ], y se cumple que ( f ) = f. Ahor se puede concluir que: Proposición 52 (Homogeneidd). Si f : [, ] R es un función integrle, entonces pr todo número α R, l función α f tmién lo es; demás (α f ) = α f. Demostrción. Y demostrmos l propiedd en el cso donde α (Prop. 49), y l demostrción en el cso α se sigue directmente de ls Prop. 49 y 5 (ejercicio). Esto c l demostrción del teorem. Más en generl, se demuestr que: Corolrio 53 (Cominciones lineles). Si f,..., f n : [, ] R son funciones integrles, entonces pr todos α,..., α n R, l función α f + + α n f n (cominción linel de ls funciones f,..., f n ) tmién lo es. Además, su integrl es dd por: Demostrción. Ejercicio. (α f + + α n f n ) = α f + + α n f n. 2

21 Ejercicio 54. Se consider l función f : [, 4] R del Ejercicio 5 p. 6, l cul está definid por f (x) = 4x x 2 pr todo x [, 4] () Escriir l función f como un cominción linel de ls funciones f (x) = x (Ejercicio 36 p. 5) y f 2 (x) = x 2 (Ejemplo 33 p. 3). (2) Usndo l linelidd de l integrl sí como los resultdos demostrdos en el Ejemplo 33 p. 3 y en el Ejercicio 36 p. 5, clculr l integrl 4 f (x) dx. (3) Comprr el resultdo con ls proximciones construids en el Ejercicio 5 p Integrl y vlor soluto Por construcción, l integrl f de un función integrle f : [, ] R represent el áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de l función f, contndo ls áres rri del eje x con un signo positivo y ls áres jo del eje x con un signo negtivo: + f + x Pr clculr el áre geométric de l mism región (contndo est vez tods ls áres con un signo positivo), un solución sencill consiste en remplzr l función f por su vlor soluto f, es decir: por l función definid por f (x) = f (x) pr todo x [, ]. f En efecto, es clro que ls regiones inducids por ls gráfics de l función f y de su vlor soluto f tienen mism áre geométric (por un rgumento ovio de simetrí, vése figur nterior). Por otro ldo, como l función f es positiv o nul, el áre geométric de l región inducid por su gráfic coincide con el áre lgeric de l mism región, l cul se puede clculr con l integrl f (x) dx. Dicho de otro modo, tenemos que: áre geométric inducid por f = áre geométric/lgeric inducid por f = f (x) dx 2

22 Aunque el rgumento nterior se stnte intuitivo, plnte un prolem forml que es el siguiente: ddo que un función f : [, ] R es integrle, se puede deducir que su vlor soluto f : [, ] R tmién es integrle? Pr resolver este prolem, se necesit introducir l descomposición de un función en sus prtes positiv y negtiv: Definición 55 (Prtes positiv y negtiv de un función). Dd un función f : [, ] R, se llm prte positiv de l función f l función f + : [, ] R definid por f + f (x) si f (x) (x) = máx(, f (x)) = si f (x) < Se llm prte negtiv de l función f l función f : [, ] R definid por f = ( f ) + (es decir: como l prte positiv de l función opuest f ). f + + f + f = ( f ) + Oservción 56. Por construcción, ms funciones f + y f son positivs o nuls, y permiten descomponer ls funciones f y f del modo siguiente: (Ejercicio: demostrr ms igulddes.) f = f + f y f = f + + f. Lem 57. Se f : [, ] R un función cotd. Entonces, l prte positiv f + de l función f tmién está cotd, y pr todo suintervlo [, ] [, ], tenemos que: sup( f +, [, ]) ínf( f +, [, ]) sup( f, [, ]) ínf( f, [, ]) Demostrción. Es clro que l función f + está cotd inferiormente por, y superiormente por el máximo de los dos números y sup( f, [, ]). Ahor, se distinguen los siguientes tres csos, en función de l posición de l gráfic de f respecto l eje x en el suintervlo [, ]: Cso donde f (x) pr todo x [, ]. En este cso, se oserv que f + (x) = f (x) pr todo x [, ]. Por lo tnto, tenemos que: sup( f +, [, ]) ínf( f +, [, ]) = sup( f, [, ]) ínf( f, [, ]). Cso donde f (x) pr todo x [, ]. todo x [, ]. Por lo tnto, tenemos que En este cso, se oserv que f + (x) = pr sup( f +, [, ]) ínf( f +, [, ]) = sup( f, [, ]) ínf( f, [, ]). Cso donde existen x +, x [, ] tles que f (x + ) > y f (x ) <. oserv que: 22 En este cso, se

23 sup( f +, [, ]) = sup( f, [, ]) > (ejercicio) ínf( f +, [, ]) = (y que f + y f + (x ) = ) ínf( f, [, ]) < (y que f (x ) < ) Por lo tnto, tenemos que sup( f +, [, ]) ínf( f +, [, ]) = sup( f, [, ]) < sup( f, [, ]) ínf( f, [, ]). Proposición 58. Si un función f : [, ] R (con < ) es integrle, entonces sus prtes positiv y negtiv f +, f : [, ] R tmién son integrles en [, ]. Demostrción. Pr demostrr que l función f + : [, ] R es integrle, se us el criterio de integrilidd menos de ε (Prop. 25). Ddo ε >, como f es integrle en [, ], existe (por l Prop. 25) un prtición P [, ] tl que S ( f, P) S ( f, P) < ε. Escriiendo P = {,,..., n }, se oserv (por el lem nterior) que: S ( f +, P) S ( f +, P) = n ( i+ i ) (sup( f +, [ i, i+ ]) ínf( f +, [ i, i+ ])) n ( i+ i ) (sup( f, [ i, i+ ]) ínf( f, [ i, i+ ])) = S ( f, P) S ( f, P) < ε Luego se concluye por l Prop. 25 que l función f + es integrle en [, ]. Pr demostrr que f es integrle en [, ] tmién, st con oservr que f = ( f ) +. Ahor se puede demostrr l propiedd que relcion ls integrles de un función (integrle) f : [, ] R y de su vlor soluto f : Proposición 59 (Vlor soluto). Si un función f : [, ] R es integrle, entonces l función x f (x) (vlor soluto de f ) tmién es integrle en el intervlo [, ], y f (x) dx f (x) dx. Demostrción. Por l proposición nterior, semos que ms funciones f +, f : [, ] R son integrles, lo que implic que l función f = f + + f tmién es integrle. Además, como f = f + f y f = f + + f (con f +, f ), otenemos que f = ( f + f ) = f + f f + + f = f + + f = ( f + + f ) = f. Oservción 6. Intuitivmente, l proposición nterior expres que el áre lgeric de l región uicd entre el eje x y l gráfic de l función f siempre es menor o igul l áre geométric de l mism región en vlor soluto. Ejercicio 6 (Máximo y mínimo de dos funciones). Dds dos funciones f, g : [, ] R (con < ), se considern ls funciones h, h 2 : [, ] R definids por h (x) = mín( f (x), g(x)) y h 2 (x) = máx( f (x), g(x)) (x [, ]) () Demostrr que h = f ( f g) + y h 2 = f + (g f ) +. (2) Deducir que si f y g son integrles, entonces ls funciones h y h 2 tmién lo son. 23

24 3.4. Aditividd respecto l intervlo Por construcción, l noción de integrl sólo tiene sentido en un intervlo cerrdo [, ], con <. Sin emrgo, cundo se trj con un función f : I R definid en un intervlo I culquier de R, siempre se puede restringir el estudio un suintervlo cerrdo [, ] I pr determinr si l función f es integrle en dicho suintervlo y, llegdo el cso, clculr el vlor de l integrl f. Por supuesto, l propiedd de integrilidd depende del suintervlo considerdo, y un mism función f : I R puede ser integrle en lgunos suintervlos de I y no ser integrle en otros suintervlos. Ejercicio 62. A prtir de los ejemplos nteriores, construir un función f : [, 2] R que se integrle en el intervlo [, ] y no integrle en el intervlo [, 2]. Sin emrgo, se puede demostrr que tod función integrle en un intervlo [, ] tmién es integrle en culquier suintervlo [, ] [, ]: Proposición 63 (Restricción del intervlo de integrción). Si un función f : [, ] R es integrle en el intervlo [, ] (con < ), entonces tmién es integrle en culquier suintervlo [, ] [, ] (con < ). Demostrción. Se f = f [, ] l restricción 7 de l función f : I R l suintervlo [, ] [, ]. Ddo que l función f : [, ] R es integrle, queremos demostrr que l función f : [, ] R tmién es integrle. Pr ello, se us el criterio de integrilidd menos de ε (Prop. 25), y se fij ε >. Como l función f es integrle en el intervlo [, ], existe (por l Prop. 25) un prtición P [, ] tl que S ( f, P) S ( f, P) < ε. Ahor, se consider l prtición Q [, ] definid por Q = P {, } ( [, ]). Por construcción, l prtición Q es más fin que P, de tl modo que S ( f, Q) S ( f, Q) S ( f, P) S ( f, P) < ε (por l Prop. 6). Escrimos Q = {,,..., n }, con = < < < n =. Como, Q (por construcción), tenemos que = p y = q pr lgunos índices p < q entre y n. Escriiendo Q = Q [, ] = { p, p+,..., q }, se oserv que el suconjunto Q Q es un prtición del suintervlo [, ] [, ]. Respecto dich prtición, tenemos que 8 : S ( f, Q ) S ( f, Q ) = q ( i+ i ) (sup( f, [ i, i+ ]) ínf( f, [ i, i+ ])) i=p n ( i+ i ) (sup( f, [ i, i+ ]) ínf( f, [ i, i+ ])) = S ( f, Q) S ( f, Q) < ε. Se concluye por l Prop. 25 que l función f = f [, ] es integrle. 7 Formlmente, l restricción de l función f l suintervlo [, ] [, ] es l función f [, ] definid por dom( f [, ]) = [, ], cod( f [, ]) = R y f [, ](x) = f (x) pr todo x [, ]. 8 L desiguldd q i=p n viene de que todos los sumndos de ms sumtoris son positivos o nulos, y de que l segund sumtori contiene todos los sumndos de l primer. 24

25 Oservción 64 (Funciones loclmente integrles). En lo siguiente, diremos que un función f : I R (definid en un intervlo I R culquier) es loclmente integrle cundo es integrle en todos los suintervlos [, ] I (con < ). Por l proposición nterior, es clro que cundo el intervlo de definición y es de l form I = [, ] (con < ), un función f : I R es loclmente integrle en I = [, ] si y sólo si es integrle 9 en [, ]. Proposición 65 (Aditividd respecto l intervlo). Sen f : I R un función definid en un intervlo I R, y tres puntos,, c I tles que < < c. Si l función f es integrle en mos intervlos [, ] y [, c], entonces es integrle en el intervlo [, c] = [, ] [, c] tmién, y se cumple que c f = f + c f. = + c c c } {{ }} {{ }} {{ } Demostrción. Sen f = f [,], f 2 = f [,c] y f 3 = f [,c] ls restricciones de l función f los tres intervlos [, ], [, c] y [, c] = [, ] [, c]. Por hipótesis, ls funciones f : [, ] R y f 2 : [, c] R son integrles, lo que nos permite escriir I = f = f e I 2 = c f 2 = c f. Queremos demostrr que l función f 3 : [, c] R es integrle y que su integrl vle I + I 2. Pr ello, se us el criterio de integrción menos de ε (Prop. 23), y se fij un número ε >. Como l función f es integrle en el intervlo [, ], existe (por l Prop. 23) un prtición P [, ] tl que I ε/2 < S ( f, P ) S ( f, P ) < I + ε/2 () Y como l función f 2 es integrle en el intervlo [, c], existe (por l Prop. 23) un prtición P 2 [, c] tl que I 2 ε/2 < S ( f 2, P 2 ) S ( f 2, P 2 ) < I 2 + ε/2 (2) Se P 3 = P P 2. Por construcción, el conjunto (finito) P 3 constituye un prtición del intervlo [, c] = [, ] [, c], otenid pegndo ms prticiones P [, ] y P 2 [, c] en su punto común P P 2. Se verific sin dificultd (ejercicio) que S ( f 3, P 3 ) = S ( f, P ) + S ( f 2, P 2 ) y S ( f 3, P 3 ) = S ( f, P ) + S ( f 2, P 2 ). Sumndo ls desigulddes () y (2), se deduce que: I + I 2 ε < S ( f, P ) + S ( f 2, P 2 ) } {{ } S ( f 3,P 3 ) S ( f, P ) + S ( f 2, P 2 ) } {{ } S ( f 3,P 3 ) < I + I 2 + ε. Así demostrmos que pr todo ε >, existe un prtición P 3 [, ] tl que I + I 2 ε < I ( f, P 3 ) I ( f, P 3 ) < I + I 2 + ε. Por l Prop. 23, l función f 3 = f [,c] es integrle en en intervlo [, c] y su integrl vle I + I 2 = f + c f. 9 Así, l noción de función loclmente integrle sólo tiene interés cundo l función considerd es definid en un intervlo que no es de l form [, ], con <. 25