ESTADÍSTICA I. TEMA II: Error! Marcador no definido.descripción UNIVARIANTE

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1 ESTADÍSTICA I TEMA II: Error! Marcador o dedo.descripció UIVARIATE II..- otacó y tabulacó. II..- Descrpcó gráca. II.3.- Descrpcó umérca. II.3..- Mometos estadístcos. II.3... Mometos co respecto al orge. II Mometos co respecto a la meda II.3..- Meddas de poscó. II Meddas de poscó cetral. Meda artmétca, geométrca, armóca y medaa. II Meddas de poscó o cetral. Moda y cuatles. II Meddas de dspersó. Recorrdo, varaza, desvacó típca y coecete de varacó. II Varable tpcada. II Meddas de orma. II Coecete de asmetría de Fsher. II Coecete de curtoss. II Meddas de cocetracó. II Ídce de G II Curva de Lorez. 5

2 Descrpcó Uvarate II..- otacó y tabulacó La ormacó es el puto de partda para el aálss estadístco, y el prmer paso que hay que realzar co esta ormacó es su tabulacó, etededo como tal el ordeameto de la ormacó de tal orma que se smplque la aplcacó de las téccas estadístcas. S embargo, uestro objetvo o es tabular ua ormacó cocreta o especíca, so que lo que se pretede es establecer el marco geeral co el que poder tabular cualquer tpo de ormacó y, e cosecueca, teemos que jar ua otacó que os permta epresaros e térmos geerales. Co este objetvo estableceremos la sguete otacó. Deotaremos por X, Y, Z (co letras mayúsculas) a los caracteres que queremos estudar. Así, por ejemplo, cuado hablamos del carácter X podemos estar hablado del vel de reta de los dvduos de Las Palmas de Gra Caara, o los beecos de las empresas españolas, etc Deotaremos por, y, z a cada ua de las modaldades de X, Y o Z respectvamete, e dode toma los valores,,3,...,, e dode es el úmero mámo de modaldades del carácter X. De esta maera, s la varable que estamos estudado, que podemos deotar por X, es el úmero de hjos de las amlas de Las Palmas, puede tomar los valores 0,,,3,, lo que dca que 0,, 3, etc U caso partcular lo orma las varables cotuas. E este caso, el úmero de modaldades es to, es decr es to. Para este tpo de modaldades, la tabulacó se suele realzar medate la decó de clases. Ua clase o es más que u tervalo que cotee u úmero to de posbles valores de la varable. Estas clases debe de ser de tal maera que, por ua parte, etre sí sea ecluyetes y, por otra parte, cotega a todos los posbles valores de la varable. Es decr, cada dvduo debe de perteecer a ua úca clase y 6

3 ESTADÍSTICA I o debe estr gú dvduo que o este e algua clase. Como ejemplo podemos usar la ormacó procedete de las medcoes de las temperaturas. Esta varable puede tomar tos valores, pero sabemos que las msmas se ecuetra sempre etre los 00 grados cetígrados y los 00 grados cetígrados. Esta es ua varable cotua, y su ormacó la podemos agrupar e dsttas clases. Así, para su tratameto estadístco los valores de la msma los podemos agrupar e, por ejemplo, 6 clases, dedas como: Clase : temperaturas etre los 00º y los 0º(s clur el 0) Clase : Temperaturas etre los 0º y los 0º (s clur los 0º) Clase 3: Temperaturas etre los 0º y los 0º (s clur los 0º) Clase 4: Temperaturas etre los 0º y los 0º (s clur los 0º) Clase 5: Temperaturas etre los 0º y los 30º (s clur los 30º) Clase 6: Temperaturas etre los 30º y los 60º. E este caso, e térmos geércos hablamos de clase, clase, etc Además, cada ua de las clases tee uos etremos de clase, que so el valor eror y el valor superor de cada ua de las clases, uas marcas de clase, que so los putos termedos de cada clase y uas ampltudes de clase, que so los tamaños de cada ua de las clases. Para las varables cotuas la otacó que seguremos es la sguete: La letra represeta a la clase -ésma. Esta clase tee uos etremos de clase que represetaremos por e de tal orma que la clase -ésma vedrá represetada geércamete de la orma [e -, e ] La ampltud de clase la represetaremos por la letra a, y a se correspoderá co la ampltud de la clase. Es evdete que la ampltud de la clase la podemos obteer medate los valores de los etremos de esa clase. Es medato deducr que la ampltud de la clase se puede calcular como 7

4 Descrpcó Uvarate a e e - La marca de clase la deotaremos por c, y como hemos dcho o es más que el puto termedo de la clase. Su cálculo també se obtee a partr del coocmeto de los etremos de clase c (e - + e )/ Ua vez que hemos establecdo la orma de represetar a las varables estadístcas y a los atrbutos, el prmer cocepto que debemos aalzar es el cocepto de recueca. Este es u térmo estadístco amplamete usado e la vda real. Desde el puto de vsta estadístco os podemos ecotrar co varas ormas de medr la recueca: La recueca absoluta. Es el úmero de veces que aparece ua determado valor o clase de u carácter. La deotaremos por, sedo el úmero de veces que aparece la modaldad de la varable X, o la clase de dcha varable. Deotaremos por al úmero total de dvduos estudados. Es evdete que la podemos calcular como suma de las dsttas recuecas absolutas E dode es el úmero de modaldades de X o el úmero de clases de la msma. La recueca relatva. Es la proporcó de dvduos que preseta ua determada modaldad. La deotaremos por y su orma de cálculo vee dada por / E muchos casos se usa la recueca relatva multplcada por 00, dcado e este caso el porcetaje de dvduos que preseta ua determada modaldad. 8

5 ESTADÍSTICA I Es medato demostrar que la suma de las recuecas relatvas es gual a. Frecueca Absoluta Acumulada. os orma del úmero de dvduos que preseta ua modaldad gual o eror a la cosderada. Lo deotaremos por y se calcula como: r r Frecueca Relatva Acumulada. os orma de la proporcó de dvduos que preseta ua modaldad gual o eror a la cosderada. La vamos a deotar por F y es el resultado de dvdr cada recueca absoluta acumulada por el úmero total de datos. Es decr, F Alguos resultados medatos so los sguetes. () La suma de todas las recuecas relatvas debe ser gual a la udad: () La últma recueca relatva acumulada es la udad. Es decr, 9

6 Descrpcó Uvarate F Llamaremos dstrbucó de recuecas a los pares (, ) ó (,F ) ó (, ) ó (, ). Observe que e ucó del tpo de dato co el que estemos trabajado algua de las meddas dedas hasta ahora ya o tee setdo. Por ejemplo, supógase que estamos teresados e estudar la proesó de los resdetes e ua determada zoa geográca. Los resultados que obteemos so: Error! Marcador o dedo.pr OFESIO FRECUECIA ABSOLUTA FRECUECIA RELATIVA FRECUECIA RELATIVA % FRECUEC. ABSOLUTA ACUMULADA Agrcultor % 000 Peó Idustral % 500 Gaadero % 400 Empresaro dustral % 450 Comercate % 4500 Como se puede deducr áclmete o tee setdo e este caso calcular la recueca acumulada. Es decr, o tee setdo decr que esta 400 persoas que tee ua modaldad gual o eror a gaadero puesto que el orde e el que se ha colocado las proesoes es arbtraro. S tee pleo setdo el aálss de las recuecas o acumuladas. Esto es, estamos e ua zoa geográca udametalmete dedcada a la agrcultura y gaadería, u 8% de la poblacó, quedado el resto dedcado a la dustra y comerco. E coclusó, la recueca acumulada o tee setdo para 0

7 ESTADÍSTICA I datos que provega de ua medcó omal. El proceso de tabulacó o es más que la colocacó e ua tabla de los datos que dee la dstrbucó de recuecas. E térmos geércos la tabulacó e el caso udmesoal vee dada por (ejemplo aplcable a u atrbuto o a ua varable dscreta X F F F F II..- Descrpcó gráca A la hora de troducros e el estudo de las represetacoes grácas, debemos dstgur etre los dos tpos de caracteres estetes: Cuattatvos y Cualtatvos. Represetacoes grácas de los caracteres cualtatvos (atrbutos): Etre las deretes ormas posbles de represetar u carácter cualtatvo dstgumos los sguetes: -Dagrama de sectores. -Dagrama de barras. -Pctograma. *DIAGRAMA DE SECTORES: Cosste e repartr los 360 o de ua crcuereca de orma proporcoal a las recuecas absolutas.

8 Descrpcó Uvarate Ejemplo: Calcacoes Suspeso 30 Aprobado 40 otable 0 Sobresalete 0 00 Y hacedo u reparto proporcoal de los 360 o grados etre las : o X X Suspesos 08 o o Y Y Aprobados 44 o o Z Z otables 7 o o W W Sobresaletes 36 o

9 ESTADÍSTICA I * DIAGRAMA DE BARRAS: Represetacó gráca que cosste e colocar e uos ejes cartesaos, las modaldades e el eje de abcsas, el valor de la recueca absoluta e el eje de ordeadas y levatar barras de gual base cuya altura sea la de dcha recueca. Vamos a realzar u dagrama de barras co el msmo ejemplo que utlzamos para el caso del dagrama de sectores: CALIFICACIO Suspeso 30 Aprobado 40 otable 0 Sobresalete

10 Descrpcó Uvarate * PICTOGRAMA: Represetacó gráca cosstete e asgar u valor a ua determada gura, represetado la dstrbucó de recuecas e ucó de esta asgacó. Ejemplo: CALIFICACIO Suspeso 30 Aprobado 40 otable 0 Sobresalete 0 00 Asgamos el valor de 0 alumos a la sguete gura Por tato, 0 alumos. SUSPESO 4

11 ESTADÍSTICA I APROBADO OTABLE 4 SOBRESALIETE Represetacoes grácas de los caracteres cuattatvos: Hemos vsto que este dos tpos de caracteres cuattatvos: Dscretos y Cotuos. Teedo e cueta este hecho, dstguremos etre las represetacoes grácas de los caracteres cuattatvos dscretos y las respectvas represetacoes de los cotuos. Caracteres Cuattatvos Dscretos: Etre los deretes tpos de represetacoes dstgumos: -Dagrama de barras. -Dagrama de escalera o curva de acumulacó. *DIAGRAMA DE BARRAS. Cosderemos la dstrbucó de recuecas dada de la orma (, ) ó (, ), dode (,..., ); (,..., ); (,..., ). LLamaremos "Dagrama de Barras" de u carácter dscreto a la parte vertcal de la represetacó cartesaa de los putos (, ) ó (, ). 5

12 Descrpcó Uvarate Aalítcamete, la ucó cuya represetacó gráca es el dagrama de barras vee dada por: : R R R () 0 ; ; s s a () la deomaremos ucó cuatía. * DIAGRAMA DE ESCALERA O CURVA DE ACUMULACIO. Es la gráca que se obtee al gracar la ucó F() deda de la sguete maera: F : R R [, + ) _ F() F F() 6

13 ESTADÍSTICA I La ucó F() se deoma ucó de dstrbucó, cuya gráca será la curva de acumulacó o dagrama de escalera. Esta seguda deomacó es evdete después del aálss de esta ucó. Por tato, S [-, ) F() 0 S [, ) F() S [, 3) F()... S [ -, ] F() Obsérvese que tato el dagrama de barras como la curva de acumulacó se ha dedo e ucó de la recueca absoluta ( el dagrama de barras, la curva de acumulacó) y e ucó de la recueca relatva ( el dagrama de barras, F la curva de acumulacó). Es recomedable, sobre todo s se desea utlzar la represetacó gráca para comparar varas stuacoes utlzar, tato para el dagrama de barras como para la curva de acumulacó, las recuecas 7

14 Descrpcó Uvarate relatvas. Pogamos u ejemplo, supogamos que estamos estudado como está ormadas las amlas, e cuato al úmero de membros de las msmas, e la Comudad de Madrd y de Caaras. La dereca e poblacó de estas dos comudades es muy grade. Supogamos e cosecueca que e Caaras hay amlas y e Madrd co la sguete dstrbucó. Error! Marcador o dedo. CAARIAS MADRID MIEMBROS FRECUECIA MIEMBROS FRECUECIA S queremos comparar Caaras co Madrd e cuato a tamaño del úmero de amlas, es evdete que lo podemos hacer usado úcamete los valores totales, esto es, amlas e Caaras y amlas e Madrd. S queremos estudar grácamete estas dos dstrbucoes la orma correcta cosstría e realzar la represetacó sobre el msmo gráco. S para ello usamos la recueca absoluta el gráco que obtedríamos sería de la orma: 8

15 ESTADÍSTICA I Como se puede observar, la dereca de escala etre ua y otra comudad dculta claramete el estudo de la varable de terés. S embargo, s e vez de utlzar la recueca absoluta utlzamos la recueca relatva la coclusó sería mucho más evdete. Esto es, la dstrbucó relatva del tamaño de las amlas es la msma e las dos comudades como aparece e el sguete gráco: Por últmo, podemos decr que la ucó de dstrbucó de u carácter cuattatvo dscreto o es más que la epresó aalítca de la curva de acumulacó de dcho carácter. * Caracteres Cuattatvos Cotuos: Ates de troducros e el estudo de las represetacoes grácas de los caracteres cotuos recordemos que este tpo de varables tee alguos elemetos que le so propos. - Clase: Llamamos clase a cada uo de los tervalos e que se ha dvddo el rago posble de valores de la varable. Hablaremos, por tato, de clase,, 3,...,. - Etremo de clase: Llamaremos etremo de clase y lo deotamos por e a los etremos de las clases. Por otacó dremos que la clase vee dada como [e -, e ). Esto es el úmero de la 9

16 Descrpcó Uvarate clase lo dee el subídce superor, sedo la clase cerrada por la zquerda y aberta por la derecha. - Marca de clase: Se dee como el puto medo de ua clase. Por ejemplo, la marca de la clase será: e +e c - Ampltud de clase: o es más que el tamaño de la clase. Lo deotamos por a : - e - e a -, ampltud de la clase. - Recorrdo: Es la dereca etre el mayor y meor valor de la varable y lo vamos a deotar por Re. Es decr, Re Ma () - M () e - e 0 - Frecueca relatva absoluta por udad de clase: es el resultado que se obtee al dvdr la recueca relatva o absoluta por el tamaño de cada clase (a ). Es decr, es ua medda, e térmos relatvos o absolutos, de la desdad de dvduos e cada ua de las clases. Ua vez vstos estos coceptos báscos pasamos al estudo de las represetacoes grácas cotuas, etre las cuales destacamos: - Hstograma de recuecas. - Curva de acumulacó o Polígoo acumulatvo de recuecas. * HISTOGRAMA DE FRECUECIAS: Represetacó gráca que se costruye levatado sobre cada clase u rectágulo de área proporcoal a la recueca relatva (o recueca absoluta) por udad de clase correspodete a dcha modaldad. 30

17 ESTADÍSTICA I Supogamos que teemos ua dstrbucó de recuecas (, ): a /a e0 a /a e a /a e 3 3 a3 3/a3 e /a os da el úmero de dvduos por udad de tamaño de cada clase metras que /a os da la proporcó de dvduos por udad de tamaño de cada clase. Llamaremos "Hstograma de Frecuecas" a la sguete represetacó gráca: 3

18 Descrpcó Uvarate La represetacó que resulta de ur medate rectas los putos medos de las bases superores de los rectágulos del hstograma de recuecas se cooce como polígoo de recuecas. E la represetacó gráca del hstograma de recuecas debemos de teer e cueta: - S los tervalos so de ampltud costate, las alturas de los rectágulos será proporcoales a las recuecas relatvas (o absolutas) respectvamete. - S los tervalos so de ampltud varables, las alturas de los rectágulos se calcula como /a ó /a. Auque a la hora de costrur el hstograma de recuecas se puede utlzar tato (, /a ) como (, /a ), es mejor utlzar el prmer tpo de dstrbucó ya que s teemos clases y sumamos las áreas debajo del hstograma: - Co (, /a ): - Co (, /a ): a +a +...+a a a a a a a +a +...+a a a a a a Por tato, la vetaja de utlzar la represetacó co (, /a ) estrba e el hecho de que sea cual sea el úmero de dvduos, el área debajo del hstograma es sempre gual a la udad y por ello, os servrá para realzar comparacoes etre dos dstrbucoes de recuecas. La represetacó co (, /a ) o permte comparar dos dstrbucoes que o tega 3

19 ESTADÍSTICA I el msmo úmero de dvduos o de datos (). Deomaremos ucó de desdad a la epresó aalítca cuya represetacó gráca es el hstograma de recuecas. Esta ucó vee dada por: : R R S [e -, ),() e a ó () a segú se cosdere relatvas o absolutas. * POLIGOO ACUMULATIVO DE FRECUECIAS: Llamaremos "Polígoo Acumulatvo de Frecuecas" o "Curva de Acumulacó" a la ucó polgoal que se obtee uedo, medate rectas, cada par cosecutvo de los sguetes valores: ( e0,0)( e, )( e, )...( e, )...( e, ) be( e0,0)( e,f )( e,f )... Es decr, 33

20 Descrpcó Uvarate Para coocer la epresó aalítca de la curva de acumulacó, es decr, la ucó cuya represetacó gráca es la curva de acumulacó, tomamos sólo el segmeto (e -,e ): La epresó aalítca de la recta que cotee al segmeto vee dada por: - e e - e - - F() - F( e F( e )- F( e - - ) ) (I) dode, 34

21 ESTADÍSTICA I a e - e - F( e ) F( e - ) F( e ) - F( e - ) Susttuyedo e (I): - e a - F() - F(e - ) F() ( - e a - ) + F(e - )_ Epresó aalítca de la curva de acumulacó. Por tato, F : R R [e -,e ]_F() ( - e a - )+F( e - ) Y podremos decr que la curva de acumulacó vee dada como la represetacó gráca de dcha ucó, que deomaremos ucó de dstrbucó. Propedades de la ucó de dstrbucó: 35

22 Descrpcó Uvarate ()F es ua uc crecete () lm F() (3) lm F() 0 como cosecueca de lo ateror, 0 F() Como se puede ver de lo dcho hasta ahora hemos aprovechado el estudo de las represetacoes grácas para troducr el cocepto de ucó de cuatía, de desdad y de dstrbucó. Estos coceptos se estudará co detalle e la parte correspodete a la teoría de la probabldad y más especícamete al abordar el estudo de las varables aleatoras. Su troduccó e esta parte del temaro permtrá al alumo teer ua dea más clara sobre el cotedo y la aplcacó de estas ucoes puesto que e este tema se dee e térmos de recuecas cuya compresó o supoe gua dcultad para el alumo, metras que el vel de abstraccó e el que se desarrollará este cocepto e el ámbto de la probabldad es cosderable. II.3.- Descrpcó umérca. II.3..- Mometos estadístcos Los mometos estadístcos so el resultado de llevar a cabo uas determadas operacoes co la ormacó sumstrada por la dstrbucó de recueca. Su mportaca radca e que la mayoría de meddas que usaremos para descrbr y stetzar la ormacó se puede epresar e térmos de mometos. Sea (, ) la dstrbucó de recuecas de ua varable dscreta o atrbuto X, que preseta modaldades. Sea b u úmero perteecete al cojuto de os úmeros reales, y sea r u úmero perteecete al cojuto de los úmeros aturales. Llamaremos mometo de orde r co respecto al puto b, y lo 36

23 ESTADÍSTICA I deotaremos por : r,b, al resultado de realzar la operacó µ r r, b * ( b) Como se puede observar, segú le vamos dado valores a r y b vamos obteedo dsttos mometos. Así, por ejemplo, el mometo de orde co respecto al puto 4 se calcularía medate la epresó µ,4 * ( 4) aplcada a cualquer dstrbucó de recuecas. S e vez de trabajar co ua atrbuto o ua varable dscreta, trabajamos co ua varable X que es cotua, la epresó de los mometos solo dere e que e vez de aparecer se utlza c, la marca de clase. Su epresó, por tato, sería µ r r, b * (c b) II Mometos co respecto al orge. Llamaremos mometo de orde r co respecto al orge o mometo o cetrado, y lo deotaremos por " r, al mometo de orde r co respecto al puto cero. α r µ r,0 * ( 0) r Por ejemplo, el mometo o cetrado de orde cero es sea cual sea la dstrbucó de recuecas de X. * II Mometos co respecto a la meda. Llamaremos mometo de orde r co respecto a la meda o mometo cetrado de orde r, y lo deotaremos por : r, al mometo de 37

24 Descrpcó Uvarate orde r co respecto al mometo o cetrado de orde. r r µ r, α *( α) µ Por ejemplo, el mometo cetrado de orde cero es sea cual sea la dstrbucó de recuecas de X. II.3..- Meddas de poscó. Las meddas de poscó o so más que promedos cuyo objetvo es obteer ua medda que os orme de cómo se stúa los dvduos detro de la dstrbucó. Detro de ellos, ecotramos dos grades grupos: Meddas de Poscó Cetral, os sumstra u valor cetral de la dstrbucó (meda artmétca, meda geométrca, meda armóca, medaa); Meddas de Poscó o Cetral: la moda y los cuatles. II.3...-Meddas de Poscó Cetral. Meda artmétca, geométrca, armóca y medaa. Detro de las meddas de poscó cetral vamos a dstgur las sguetes: - Meda Artmétca. - Meda Geométrca. - Meda Armóca. - Medaa. **MEDIA ARITMETICA: S teemos ua dstrbucó de recuecas dada por (, ), llamamos Meda Artmétca de la varable X a la suma de todos los valores de la dstrbucó dvdda por el úmero total de datos. La represetamos por: 38

25 ESTADÍSTICA I X Meda de X. A la hora de estudar la meda artmétca debemos detcar el tpo de varable co el que trabajamos: varable estadístca dscreta o varable estadístca cotua. - Varables estadístcas dscretas: La epresó de la meda artmétca derrá depededo del tpo de datos co los que trabajemos: agrupados o o agrupados. DATOS AGRUPADOS : X DATOS O AGRUPADOS : X Lo que os va a proporcoar la meda artmétca es el valor cetral de la dstrbucó que cocde co su cetro de gravedad. - Varables estadístcas cotuas: Al trabajar co varables cotuas, o teemos valores de X so etremos de clase, e, y por tato, utlzaremos las marcas de clase C. Obsérvese que ahora el caso de datos o agrupados o tedría setdo. Se tee: DATOS AGRUPADOS : X C C *Propedades de la meda artmétca: ) La suma algebraca de las desvacoes de los valores de la 39

26 Descrpcó Uvarate varable co respecto a la meda artmétca poderada por su recueca relatva o absoluta es gual a cero. Demostracó: ( - X ) - X X - X X - X 0 ) La meda de los cuadrados de las desvacoes de los valores observados respecto a cualquer úmero Q resulta míma cuado ese úmero K es gual a la meda artmétca. Esto se epresa dcedo que: S ( - Q ) se hace míma s, y solamete s: Q X Demostracó: S [ ( ( - X ) -Q + ) ( X -Q) [( - X )+( X -Q)] +( - X )( X -Q)] De dode, 40

27 ESTADÍSTICA I S I ( - X ) + ( X -Q) +( X - Q) I ( - X ) ( - X ) +( X - Q) ( - X ) +( X -Q) E dode el valor de Q que hace mímo S es la meda artmétca, es decr: ya que m (Q - X ) Q m S m Q ( -Q) + (Q - X ) Q ( -Q) ( - X ) toma su meor valor cuado QX 3) S teemos ua varable estadístca X y le sumamos u valor costate è a todos los valores de la varable, la meda se ve cremetada e esa costate. Es decr, S Z X + θ Z X + θ Z X + θ Demostracó: Z z ( Z + θ ) + θ X + θ + θ 4) S todos los valores de ua varable estadístca los multplcamos por ua costate, su meda artmétca també queda multplcada por la msma costate. Es decr, 4

28 Descrpcó Uvarate S Z X * θ Z X * θ Z X * θ Demostracó: Z z X Z θ* ( * θ ) θ* X * θ * Vetajas e Icoveetes de la meda artmétca: Vetajas: - Utlza todos los valores de la dstrbucó. - Es ácl de calcular. - Es úca y este sempre. - Es el cetro de gravedad de la dstrbucó. Icoveetes: - Perde represetatvdad cuado la varable toma valores muy etremos. Este coveete o lo preseta la medaa. **MEDIA GEOMETRICA: Sea ua dstrbucó de recuecas (, ). La meda geométrca, que represetaremos por G, se dee como la raíz -ésma del producto de los valores de la dstrbucó elevados a su correspodete recueca absoluta. Es decr, 4

29 ESTADÍSTICA I G G c c......c ( ( c ) ) para varables dscretas. para varaablescotuas. Para el cálculo práctco de la meda geométrca se suele aplcar logartmos eperaos o logartmos e base dez. Aplcado logartmos eperaos la epresó de la meda geométrca quedará como sgue: l G l( l G ( l + l l ) De dode, G e ) l l ( l... l ) * Vetajas e Icoveetes de la meda geométrca: Vetajas: - Utlza todos los valores de la dstrbucó. - Es meos sesble que la meda artmétca a los valores etremos, por su carácter de producto. Icoveetes: - Es de sgcado estadístco meos tutvo que la meda artmétca. - Su cómputo es más dícl. - E ocasoes o queda determada. Cuado la varable toma al meos u 0, etoces G se aula y además, s la varable toma valores egatvos, se puede presetar ua gama de casos e los que tampoco la G queda determada. 43

30 Descrpcó Uvarate Ejemplo: Sea la dstrbucó de salaros de los empleados de la empresa de autobuses "Suárez S.A" que vee dada por la sguete tabla: Error! Marcador o dedo Calcúlese la meda geométrca de dcha dstrbucó. Solucó: Error! Marcador o dedo. l( ) *l( ) 44

31 ESTADÍSTICA I ,496 58, , , , , , , , , , , ,440 Por tato, e 457 (3667,440, G ) e ,693 La meda geométrca es utlzada prcpalmete para promedar porcetajes, tasas, ídces,... es decr, aquellos casos e los que la varable represeta varacoes acumulatvas. **MEDIA ARMOICA: La meda armóca se dee como: 45

32 Descrpcó Uvarate A o be : A c Se suele utlzar para promedar velocdades, tempos promedos. Es decr, se utlza para promedar datos que vee e térmos relatvos. Ejemplo: Vamos a calcular la produccó meda de 4 cas que ha producdo: 00, 0, 50 y 00 Tms. de plátaos co uos redmetos de 0, 5, 0 y 8 Tms. por hectárea respectvamete. Llamado al redmeto y a la produccó teemos: Error! Marcador o dedo. /

33 ESTADÍSTICA I La meda armóca es: A 570 / Tms./hectárea. La meda artmétca para este caso es : 8590/ Tms./hectárea. * Vetajas e Icoveetes de la meda armóca: Vetajas: - Utlza todos los valores. - S se realza el cambo oportuo, se puede pasar de ua meda armóca a ua meda artmétca. - Hay casos e que es más represetatvo que la meda artmétca. Icoveetes: - Cuado los valores de la varable está muy prómos a cero, la meda armóca perde sgcacó, es poco represetatva. - S este algú valor de la varable gual a cero (algú 0), la meda armóca o se puede determar. **FORMULA DE FOSTER DE LOS PROMEDIOS: La órmula de Foster de los promedos os va a permtr obteer todas las meddas de poscó cetral estudadas hasta ahora. Se dee como: M(m) m m ( m ) m Y dado deretes valores a m, obteemos las deretes meddas de poscó cetral: 47

34 Descrpcó Uvarate S m - M(-) - - A S m 0 M(0) G S m M() X Además es posble demostrar que la relacó etre las tres medas estudadas aterormete es sempre: A G **MEDIAA: La medaa es aquel valor de la dstrbucó que deja a su zquerda y a su derecha el msmo úmero de recuecas, partedo de la base de que la dstrbucó ha sdo ordeada de meor a mayor. De orma aalítca, la medaa vedrá dada por la sguete epresó: Me, tal que F() e dode Me dca la medaa y F() la ucó de dstrbucó de la varable X. Hay que dstgur dos casos a la hora de hablar de la medaa e ucó del tpo de varable co la que trabajamos. Es 48

35 ESTADÍSTICA I decr, Varables Estadístcas Dscretas y Varables Estadístcas Cotuas. A) Varables Estadístcas Dscretas: Detro de este tpo de varables dstgumos dos casos: A - ) Este X A - ) o _ Este X / F( X ) / F( X ) Vamos a ver etoces, la epresó que tedría la medaa e el caso (A-): X / F( X ) e tal caso Me X Grácamete: 49

36 Descrpcó Uvarate Ejemplo caso (A-): Sea la dstrbucó de recuecas dada por la tabla sguete: Error! Marcado r o ded o Calcúlese la medaa. Solucó: 50

37 ESTADÍSTICA I Erro r! Marca dor o de do. F 6 3 0,5 3 0,5 7 0,35 0 0, ,5 5 0, ,5 8 0, ,0 0,00 0,00 Por tato, F( X ) _ F(X ) De dode, Me Y la epresó de la medaa e el caso (A-) será la sguete: o _ Este X / F( X ) Me X _ h >0,h 0; F( X - h) < < F( X + h) 5

38 Descrpcó Uvarate Grácamete: Ejemplo caso (A-): Sea la dstrbucó de recuecas dada por la tabla: Erro r! Marca dor o de do

39 ESTADÍSTICA I Calcúlese la medaa. Solucó: Erro r! Marca dor o de do. F 6 3 0,5 3 0,5 6 0,30 9 0, ,5 4 0, ,0 8 0, ,0 0,00,00 Por tato, o _ Este X / F( X ) Me 8 _ F(8 - h)< < F(8 + h); h >0,h 0 B) Varables Estadístcas Cotuas: Supogamos que coocemos la ucó de dstrbucó de la varable X: F(X) y que sabemos que: 53

40 Descrpcó Uvarate F( e -) y F( e ) por tato, la medaa perteece a la clase [e -, e ). Grácamete: Y aalítcamete, X - X X - X Y -Y Y -Y _ Me-e e -e F(e-) F(e )-F(e - ) Me-e - (e -e-)( - F(e -)) F(e )-F( e-) (I) 54

41 ESTADÍSTICA I Dode : F( e )- F( e - ) a e - e - Me - e - Me a ( - F(e a ( - F(e - - )) )) + e - Por otro lado como, ; F(e - ) - Me a ( - - ) + e - Ejemplo del caso cotuo: Calcular la medaa de la sguete dstrbucó de salaros: Error! Marcado r o ded o. Clase Salaro Aual obreros a a

42 Descrpcó Uvarate a a a Solucó: Error! Marcad or o de do. Clase C F , , , , , Por tato, 56

43 ESTADÍSTICA I Me [40000,45000) _ F ()0,5 a Me e Me [335,5-50] Me 5(85,5) Me 437,5 * Propedades de la Medaa: La medaa hace míma la suma de todas las desvacoes absolutas. Es decr, s represetamos la medaa por Me, teemos que, m Q - Q - Me cuado la costate co respecto a la cual se toma las desvacoes, Q, es gual a la medaa Me. II.3...-Meddas de Poscó o Cetral **MODA: La moda es el valor de la varable que se preseta más recuetemete, y por tato, e la dstrbucó de recuecas será el valor de la varable que tega la máma recueca. Dstgumos dos casos: A) Varables Estadístcas Dscretas. B) Varables Estadístcas Cotuas. A) Varables Estadístcas Dscretas: 57

44 Descrpcó Uvarate La moda, Mo, vee dada por aquel valor que puede tomar la varable que verque que tee la mayor recueca absoluta (o relatva). Grácamete, la moda será el valor mámo que puede tomar el dagrama de barras. De orma aalítca: Mo r / r > r > Ejemplo: Calcular la moda de la sguete dstrbucó de recuecas: Error! Marcado r o ded o Solucó: 58

45 ESTADÍSTICA I Erro r! Marca dor o de do. 0, , , , , , Por lo tato, Mo 0 puesto que la mayor recueca absoluta ó relatva: 4 0 > ó 4 0,9476 > B) Varables Estadístcas Cotuas: La clase modal e las varables estadístcas cotuas será aquella que cotee la mayor desdad de recueca ( /a ). Supogamos que sabemos que la moda perteece a la clase [e -,e ). Detro de ese tervalo modal, la moda se ecuetra e u puto e el que las dstacas a los etremos eror y superor del tervalo so drectamete proporcoales a las derecas etre la desdad de recueca del tervalo modal y la de los tervalos cotguos a dchos etremos. Grácamete: 59

46 Descrpcó Uvarate De orma aalítca, la moda vedrá dada por la sguete ecuacó: Mo e -+m Por semejaza etre los trágulos que queda dedos a zquerda y derecha de Mo (que otaremos por A y B), podemos deducr la epresó de m (recuérdese que dos trágulos semejates verca que el cocete etre altura y base de cada uo es el msmo). Así pues, m vedrá dado por la sguete epresó: a m - a - - a - m - a a + + m ( a a a- - )+( - a- a a + + * a ) Y susttuyedo m e la epresó de la moda, ésta quedará como sgue: 60

47 ESTADÍSTICA I Mo e - Z + a Z +Z sedo : Z a - a - - Z a - a + + Ejemplo: Calcúlese la moda de la sguete dstrbucó de recuecas: Error! Marcador o dedo. [e -,e ) Solucó: Erro r! Marca dor o de /a 6

48 Descrpcó Uvarate do. C 0, 0, ,4 0, ,6 0,3 7 0, 0, 9 6 0,6 0,08 0 0,0 0,05,00 La moda perteece al tervalo [4, 6), el que cotee la mayor desdad de recueca ( /a ), y por tato, vedrá dada por la sguete epresó: Mo e- + m 0,3-0,07 Mo 4 + (0,3-0,07)+(0,3 - * 5,5 0,) **CUATILES Los cuatles so aquellos valores de la dstrbucó que la dvde e partes guales, es decr, e tervalos que cotee la msma proporcó de dvduos. S teemos ua dstrbucó de recuecas (, ) y sea r y dos úmeros aturales, tal que r<, llamaremos "Cuatl", C r/, de orde r/ a la raíz de la ecuacó F(X)r/. Es decr, será aquel valor de la varable X que verque la F(X)r/. Los cuatles tedrá deomacoes especícas segú cual sea el úmero de tervalos e que se dvde la dstrbucó. Etre ellos dstgumos: 6

49 ESTADÍSTICA I *Cuartles: So aquellos valores de la dstrbucó que la dvde e cuatro partes guales, e cada ua de las cuales ha de estar el 5% de los dvduos. Los deotaremos por Q /4, Q /4 y Q 3/4. Se preseta dos casos: A) Dstrbucoes dscretas, B) dstrbucoes cotuas. A) Dstrbucó Dscreta. S estamos estudado ua varable dscreta llamaremos cuartl prmero y lo deotaremos por Q o Q /4 a aquel valor de la varable X que verca: 0.5 F( X -h ) F( X Q ) F( X + h ) 0.50 dode: h > 0 Y h --> 0 De gual orma podríamos der el cuartl segudo (Q o Q /4 ) y el tercero (Q 3 o Q 3/4 ). Esto es j es el cuartl de orde dos s verca: 0.50 F( j-h ) F( j Q ) F( j+ h ) 0.50 Y 3 es el cuartl de orde tres s verca: 0.75 F( s-h ) F( s Q ) F( s+ h ) Vemos u ejemplo. Error! Marcad or o F 63

50 Descrpcó Uvarate de do Q Q 4 Q B) Dstrbucó Cotua: E este caso el prmer paso a dar cosste e determar cual es la clase que cotee al cuartl. Este paso es medato. La clase cotee a Q s verca que: F( e- )<0.5 F( e ) De gual orma dremos que la clase j cotee al segudo cuartl s se verca: F( e -)<0.50 F( e j ) j Y la clase s cotee al tercer cartl s se cumple: 64

51 ESTADÍSTICA I F( es- )<0.75 F( es ) Ua vez determada la clase el cálculo del cuartl es medato medate la epresó: Q r e - + a* r - -,sedo 4 e dode el subídce os dca la clase que cotee a Q r/ y que se ha determado e u paso prevo. Esta epresó se deduce de orma smlar a como se hzo co la órmula de la medaa. Ejemplo: Calcúlese los cuartles de la sguete dstrbucó: [e -,e ) Solucó: 65

52 Descrpcó Uvarate [e -,e ) F , , , , , , Por tato, Q 4 [60, 65) Q 4 * * 4 60, Q [60,65) 4 Q 4 * * 4 64, Q 3 4 [65,70) Q * 3 * *Qutles: Será aquellos valores de la dstrbucó que la dvde e cco partes guales. També dstgumos dos casos: 66

53 ESTADÍSTICA I dstrbucó dscreta y dstrbucó cotua; e ambos casos los plateametos so smlares a los ya desarrollados para los cuartles y por tato se presetará ahora co u ejemplo. A) Dstrbucó Dscreta. Veámoslo co u ejemplo. F () () (3) (4)

54 Descrpcó Uvarate 00 () 0 _ Q () 40 _ Q (3) 3 60 _ Q (4) 4 80 _ Q B) Dstrbucó Cotua. Los qutles se obtee a través de la sguete epresó: Q r e - + r - - * a,sedo 5 Ejemplo: Calcular los qutles de la sguete dstrbucó: [e -,e ) F Solucó: 68

55 ESTADÍSTICA I Q Q Q Q * * 5 6, * 5 66, * 5 7, * Decles: So aquellos valores de la dstrbucó que la dvde e dez tervalos guales. * Percetles: Dvde a la dstrbucó e ce partes guales, cada ua de las cuales cotee al % de la poblacó. II MEDIDAS DE DISPERSIO. Co las meddas de dspersó tratamos de estudar hasta qué puto, para ua determada dstrbucó de recuecas, las meddas de poscó cetral estudadas so represetatvas como sítess de toda la ormacó. Para medr la represetatvdad de estas meddas tedremos que cuatcar la separacó etre los valores de la dstrbucó y estas meddas. A esta cuatcacó, es decr, a la mayor o meor separacó de los valores respecto a otro que se pretede 69

56 Descrpcó Uvarate que sea su sítess, se le llama Dspersó o Varabldad. Podemos dstgur dos tpos de meddas de dspersó: Meddas de Dspersó Absolutas: Aquellas que o permte establecer comparacoes etre dstrbucoes heterogéeas. Meddas de Dspersó Relatvas: Aquellas que sí permte establecer estas comparacoes. Habtualmete so admecoales. MEDIDAS DE DISPERSIO ABSOLUTAS: Etre ellas dstgumos las sguetes: -Recorrdo o Rago. -Recorrdo Itercuartílco. -Meda de las Desvacoes a u Promedo. -Varaza. -Desvacó Típca o Stadard. -Cuasvaraza. Veamos cada ua de ellas: *Recorrdo o Rago: Es la dereca etre el mayor y el meor valor posble de la dstrbucó de ua varable. Dstgumos dos casos: -Varable Dscreta: El recorrdo vedrá dado por la sguete epresó: Re X - X -Varable Cotua: El recorrdo se obtee a través de la sguete epresó: Re e - e0 Esta medda tee el coveete de que vee determada sólo por dos valores de la varable, sedo por ello, muy sesble a la luctuacó de estos valores etremos. 70

57 ESTADÍSTICA I Ejemplo: X Re * Recorrdo Itercuartílco: Se dee como la dereca etre el tercer y el prmer cuartl. Es decr, R Q3/4 - Q/4 Como se puede observar esta medda os dca la dspersó que preseta el 50% de los dvduos cetrales de la dstrbucó. * Meda de las Desvacoes a u Promedo: Aalítcamete, D ( - p),sedo p u promedo cualquera. S aalzamos esta epresó, vemos que al realzar el sumatoro tedremos desvacoes postvas y egatvas que se compesará y ello hará que la medda así deda teda a cero. Por lo tato, o estaríamos cuatcado la dspersó. Para solucoar este problema, podemos cosderar los valores absolutos de las desvacoes o elevarlas al cuadrado. Detro de esta prmera solucó (valores absolutos), teemos: 7

58 Descrpcó Uvarate A) Desvacó meda respecto a la meda artmétca: D X - X Ua desvacó grade dca ua gra dspersó e la dstrbucó. B) Desvacó meda respecto a la medaa: DMe - Me E el caso de obteer u D Me grade, la medaa o será represetatva. * Varaza: Es juto a la desvacó típca la medda de dspersó más utlzada. Es ua medda que etra detro de la seguda solucó (elevarla al cuadrado). Se dee como la meda de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable a la meda artmétca. S m S ( X - X ) E geeral, cuato más dspersas sea las observacoes, mayores será las desvacoes respecto a la meda, y mayor por tato, el valor umérco de la varaza. Propedades de la Varaza:.-La varaza uca puede ser egatva. 7

59 ESTADÍSTICA I S 0.-S sumamos a todos los valores de la varable ua costate è, la varaza o varía. Demostracó: Sabemos que s X X + θ _ X X + θ ( S ) ( -X ) [( + θ ) -( X + θ )] ( - X ) S Por tato, S S 3.-Al multplcar los valores de ua dstrbucó de recuecas por ua costate è, la varaza queda multplcada por el cuadrado de la costate. Demostracó: X ; S ( - X ) Sea ahora X θ* X _ X X * θ ( S ) ( - X ) ( * - X * ) θ θ θ ( - X ) θ * S 73

60 Descrpcó Uvarate * Desvacó Típca o Stadard: Se dee como la raíz cuadrada, co sgo postvo, de la varaza. Es decr, S + S + ( - X ) Al ser la raíz cuadrada de la varaza, vedrá epresada e las msmas udades de medda que la dstrbucó de la varable. Ello os permtrá realzar ua terpretacó más clara de la dspersó. Es ua medda de dspersó absoluta que o os permte comparar dos dstrbucoes salvo e el caso de que las medas de ambas y las udades e que vee epresadas sea guales. * Cuasvaraza: Se dee como: S ( - X ) * * - Es ácl obteer ua relacó etre la cuasvaraza y la varaza. Para ello basta multplcar y dvdr por : 74

61 ESTADÍSTICA I S * ( - X - ) - ( - ) S - Por tato, S * S - Esta medda se terpreta de orma smlar a la varaza. Realmete cuado tede a to la cuasvaraza tede a la varaza. S embargo cuado es pequeña estas dos meddas so dsttas, jugado e este caso la cuasvaraza u papel mportate e la estadístca erecal. MEDIDAS DE DISPERSIO RELATIVAS: El objetvo de este tpo de meddas es permtros comparar la dspersó de dstrbucoes dsttas, posbltado así, resolver el coveete que preseta las meddas de dspersó absoluta. Detro de ellas os vamos a cetrar e el estudo del coecete de varacó de Pearso. * Coecete de Varacó de Pearso: Se dee como la relacó por cocete etre la desvacó típca y la meda artmétca. Es decr, CV S X _ os da la dspers por udad de meda. Vetajas e Icoveetes e el uso del coecete de 75

62 Descrpcó Uvarate 76 varacó de Pearso: Vetajas:.-Es admesoal, o va a estar ludo por la udad de medda..-podemos realzar comparacoes etre dos dstrbucoes auque las medas y las udades sea dsttas. Icoveetes:.-S la meda es gual a cero, perde su setdo estadístco..-o es varate ate cambos de la varable. Es decr, Demostracó: E cuato a la terpretacó, debemos saber que cuato mayor sea el coecete de varacó, mayor será la desvacó CV CV X S CV a X - X X X 0 _ CV - X S a - X a S X S CV a S S a S S ) a - X - a - ( ) X - ( S a - X a - X a ) - ( _

63 ESTADÍSTICA I típca y por tato, mayor será la dspersó. Es decr, la meda stetzará peor la ormacó cuato mayor sea el coecete de varacó. II Varable tpcada Ua varable estadístca se dce está tpcada o estadarzada s su meda artmétca es 0 y su varaza. Sea X ua varable estadístca cuya meda artmétca vee dada por : y su desvacó típca es F. Sea Z la varable deda por µ z σ E este caso, dremos que la varable Z es la varable tpcada de X. Como ejercco, demostrar que la meda de Z vale cero y su varaza. II.3.5.-MEDIDAS DE FORMA: ASIMETRIA Y CURTOSIS. II Meddas de Asmetría Las meddas de asmetría va drgdas a la elaboracó de ua medda que permta establecer el grado de smetría (o asmetría) que preseta la dstrbucó. Vamos a represetar grácamete ua dstrbucó de recuecas. S trazamos ua líea perpedcular al eje de abcsas por la meda artmétca, tomado esta perpedcular como eje de asmetría, se os puede presetar varos casos: A) Dstrbucó smétrca: Dremos que ua dstrbucó es smétrca cuado este el msmo úmero de valores a ambos lados de dcho eje, equdstates de la meda dos a dos y tales que cada par de valores equdstates a la meda tega la msma recueca. 77

64 Descrpcó Uvarate X S I M E T R I C A X S I M E T R I C A Esto es, ua dstrbucó es smétrca co respecto a la meda artmétca s al "doblar" la dstrbucó por la meda, las dos partes de la gráca derecal se superpoe. B) Dstrbucó Asmétrca a Derechas: Ua dstrbucó es asmétrca a derechas cuado tee mayor úmero de valores a la derecha que a la zquerda del eje de asmetría (meda artmétca). X ASIMETRICA A DERECHAS X ASIMETRICA A DERECHAS C) Dstrbucó Asmétrca a Izquerdas: Será aquella dstrbucó que tee u mayor úmero de valores a la zquerda que a la derecha del eje de asmetría. 78

65 ESTADÍSTICA I ASIMETRICA A IZQUIERDAS X ASIMETRICA A IZQUIERDAS X E detva, s ua dstrbucó es smétrca, estrá el msmo úmero de valores a la derecha que a la zquerda de la meda, y por tato, el msmo úmero de desvacoes co sgo postvo que co sgo egatvo, sedo la suma de desvacoes postvas gual a la suma de las egatvas. Ua vez vsto lo que se etede por dstrbucó smétrca, vamos a pasar al estudo de alguas meddas de smetría etre las que destacamos las sguetes: Coecete de Asmetría de R.A.Fsher y Coecete de Asmetría de Pearso. * Coecete de Asmetría de Fsher: Es u ídce que se basa e la dea de meda, realzado ua comparacó etre las dstacas de las observacoes que está a u lado y a otro de la meda artmétca. Se dee de la sguete orma: 79

66 Descrpcó Uvarate γ m S 3 3 [ ( ( - X - X ) ) 3 ] 3/, dode, m 3 mometo cetrado de orde 3. S 3 desvacó típca al cubo. S γ 0 ( m 3 0) _ La dstrbucó es _smétrca. S γ >0 ( m 3 > 0) _ La dstrbucó es asmétrca a la derecha o sesgada haca la derecha. S γ <0 ( m 3 < 0) _ La dstrbucó es asmétrca a la zquerda o sesgada haca la zquerda. * Coecete de Asmetría de Pearso: E dstrbucoes umodales y moderadamete acampaadas se verca que la medaa está etre la moda y la meda artmétca, cocdedo las tres e el caso de que la dstrbucó sea smétrca: X Me Mo 80

67 S la dstrbucó o es smétrca se cumplrá que: ESTADÍSTICA I be Mo Me X be X Me Mo Pearso se basa e esta propedad para der su coecete de asmetría de la sguete orma: X - Mo Ap S E el caso de que la dstrbucó sea asmétrca postva o sesgada haca la derecha, la meda artmétca se desplaza a la derecha de la moda. Es decr, X - Mo >0 S por el cotraro, la dstrbucó es asmétrca egatva o sesgada haca la zquerda, la meda artmétca se desplaza a la zquerda de la moda. Es decr, X - Mo <0 Por lo tato, tedremos que: S Ap 0 _ La dstrbucó es smétrca. S Ap >0 _ La dstrbucó es asmétrca postva. S A p <0 _ La dstrbucó es asmétrca egatva. II Meddas de Aputameto o Curtoss: Estas meddas trata de estudar la mayor o meor cocetracó de recuecas alrededor de la meda artmétca. Esta mayor o meor cocetracó dará lugar a ua dstrbucó más o meos 8

68 Descrpcó Uvarate aputada. Como coecete de Curtoss se utlza la sguete epresó: γ m S dode m 4 mometo cetrado de orde 4. S 4 desvacó típca elevada a la cuarta. Segú el valor que tome este coecete, la dstrbucó puede ser: Mesocúrtca(ormal) S γ 0 Leptocúrtca S γ >0 Platcúrtca S γ <0 Ejemplo: Dada la sguete dstrbucó de sueldos etre los empleados de ua empresa (salaros mesuales e mles de ptas): [e -,e ) Vamos a calcular los coecetes de asmetría y curtoss. Solucó: 8

69 ESTADÍSTICA I C C C C 3 C , , , ,5 6,5 4593, , ,05, , , , U coecete de asmetría que podemos calcular es el coecete de asmetría de Fsher que vee dado por la sguete epresó: m3 γ 3 S El mometo cetrado de orde tres lo podemos calcular a través de los mometos o cetrados, es decr, 3 m3 α3-3αα+ α dode, α 3 3 ; α ; α X m ,5-3(9448,75)(34,75)+(34,75) 3 m 3 78,6 Y la desvac típca elevada al cubo, S 3,toma el valor : S 3 ( 3 9,875 ) 46396,366 83

70 Descrpcó Uvarate Por tato, el coecete de asmetría os quedará como sgue: 78,6 γ, > ,366 _ AsmÇtrca Postva. Para determar el coecete de curtoss ecestamos calcular ates el mometo cetrado de orde cuatro, ya que este coecete vee dado por la sguete epresó: γ m S El mometo cetrado de orde cuatro lo calculamos a través de su relacó co los mometos o cetrados, es decr, m4 α4-4α3α+6αα - 3α 4 dode, α ; α ,5 α 9448,75 ; α X 34,75 m (304506,5)(34,75)+ +6(9448,75)(34,75) - 3(34,75) 4 m ,5 Por tato, el coecete de Curtoss toma el sguete valor: ,5 γ 4-3, >0 _ Leptocœrtca. ( 9,875 ) 84

71 ESTADÍSTICA I II.3.6.-COEFICIETES DE COCETRACIO. Las meddas de cocetracó tee por objeto poer de maesto el mayor o meor grado de gualdad e el reparto del total de los valores de la varable. Por ello se dce que so dcadores del grado de equdstrbucó de la varable. Para estudar la cocetracó vamos a supoer ua dstrbucó de retas co retstas. Podremos ecotraros co dos stuacoes etremas:.-cocetracó máma: cuado sólo u retsta de los retstas percbe el total de la reta y los demás ada. Es decr, para 0.-Cocetracó míma o equdstrbucó: cuado todos los retstas percbe la msma catdad. Es decr,... A la hora de aalzar la cocetracó se dee dos tpos de meddas, ua aalítca, el ídce de G,y otra gráca, que es la curva de Lorez. E ambos casos para llevar a cabo su cálculo es ecesro su ordeacó de meor a mayor. II IDICE DE GII. Sea (, ), ua dstrbucó de recuecas cuya varable hace reereca a ua varable moetara. El ídce de G vedrá dado por la sguete epresó: 85

72 Descrpcó Uvarate I G - ( p - q ) - p dode, p *00 ; µ t t t ; µ q *00 µ Obsérvese que p lo que os da es la proporcó de dvduos que ha recbdo ua catdad gual o eror a. Por otro lado q os da la proporcó de dero total repartdo etre los dvduos. E cosecueca, el umerador de la epresó del ídce de G os da la dereca que este etre lo que se ha repartdo hasta la modaldad -ésma y la proporcó de dvduos etre los que se ha repartdo. Veámos el valor que tomaría este ídce e las dos stuacoes etremas: A)Caso de máma equdad, B)Caso de míma equdad. A) Caso de máma equdad. p/*00 ì qì/ì*00 X /*00 X X X/X*00 X /*00 X X X/X*00 X 3 3/*00 X 3X 3X/X* X /*00 X X X/X*00 Dode, µ t t t ; p * 00 ; µ q *00 µ Y el ídce de G tomará el sguete valor: 86

73 ESTADÍSTICA I I G - ( p - q ) - p *00 Por lo tato,e el caso de máma equdad, míma cocetracó,el Ídce de G es ulo. B) Caso de míma equdad. p ì q 0 /* /* /* X /*00 X X X/X*00 Es decr, os quedaría la sguete tabla: p ì q /* X /*00 X X 00 Y e este caso, el ídce de G quedaría como sgue: 87

74 Descrpcó Uvarate I G - ( p - q ) - p p - p q p p Por lo tato, podemos decr que el ídce de G sólo tomará valores e el tervalo [0,]: I G [0,] II CURVA DE LOREZ. La curva de Lorez o es más que ua represetacó gráca e la cual, e uo de los ejes teemos los valores de p y e el otro eje los valores de q. Cosste, por tato, e r represetado los putos (p,q ), ordeados segú el orde crecete de, que al urlos etre sí, os determa ua curva polgoal llamada Curva de Lorez. La curva que os dcará la máma equdad, míma cocetracó, cocdrá co la dagoal OB ya que e ella p q. E este caso, todos los retstas percbrá la msma 88

75 ESTADÍSTICA I catdad. El caso más desavorable, máma cocetracó, estaría ormado por los lados OA y AB del cuadrado. 89

76 Descrpcó Uvarate Ejemplo: Calcúlese el ídce de G de la sguete dstrbucó: [e -,e ) 0 a a a 8 8 a a 4 4 a a a a a 40 0 Solucó: C C p ì q (p -q )

77 Por tato, el ídce de G tomará el sguete valor: I G - ( p - q ) - p ESTADÍSTICA I 9

78 Descrpcó Uvarate PROBLEMAS RESUELTOS (()) A 50 asprates a ua plaza de admstratvo e la Uversdad de Las Palmas se les sometó a u test. Las putuacoes obtedas por los asprates uero las sguetes: 8, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 7, 8, 9, 8, 8, 7, 7, 6, 6, 4, 4,, 0,, 9, 5, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 6, 8, 7, 6, 5, 4, 4, 4,, 3, 4, 6, 5, 7, 6, 6, 5, 7, 6, 6, 5. Se pde: A) Dstrbucó estadístca del eómeo (tabla umérca). B) Represetacó gráca. Solucó: A) Dstrbucó estadístca:

79 ESTADÍSTICA I B) Represetacó gráca: Al tratarse de u caracter cuattatvo dscreto, ua de las posbles represetacoes grácas sería el Dagrama de Barras. (()) Co los msmos datos del ejercco ateror y cosderado cuatro posbles modaldades: -Suspeso ( de a 4 ). -Aprobado ( de 5 a 7 ). -otable ( de 8 a 9 ). -Sobresalete ( 0 ). Se pde: A) Dstrbucó estadístca del atrbuto. B) Represetacó gráca. Solucó: 93

80 Descrpcó Uvarate A) Dstrbucó Estadístca: Suspeso 3 Aprobado 9 otable 7 Sobresalete B) Represetacó gráca: Se trata de u caracter cualtatvo o atrbuto y por tato, será susceptble de ser represetado grácamete a través de u dagrama de sectores, dagrama de barras o pctograma. *Dagrama de sectores: Hacedo el reparto proporcoal de los 360 o de ua crcuereca: o Suspeso Suspeso93,6 o o Aprobado Aprobado08,8 o o otable otable50,4 o o Sobresalete Sobresalete7, o 94

81 ESTADÍSTICA I *Dagrama de barras: 95

82 Descrpcó Uvarate ((3)) El curso de 4 de Ecoometría de la Facultad de C.C.E.E obtee e el parcal de la asgatura las sguetes putuacoes: Se pde: A) Formar ua dstrbucó de recuecas, co 0 tervalos. B) Hacer la represetacó gráca del polígoo acumulatvo de recuecas. C) Hacer la represetacó gráca del hstograma de recuecas. D) Obteer la ucó de desdad y la ucó de dstrbucó. Solucó: A)Dstrbucó de recuecas: [e -,e ) /a F [30,35) 4 4 0,0 0,0 0,0 [35,40) 6 0 0,5 0,03 0,5 [40,45) 5 5 0,5 0,05 0,375 [45,50) 5 0 0,5 0,05 0,50 [50,55) 5 5 0,5 0,05 0,65 [55,60) 7 0,05 0,0 0,675 [60,65) ,075 0,05 0,75 [65,70) ,5 0,05 0,875 [70,75) 37 0,05 0,0 0,95 [75,80] ,075 0,05,00 40 B) Polígoo Acumulatvo de Frecuecas: 96

83 ESTADÍSTICA I C) Hstograma de Frecuecas: D) * Fucó de Desdad: 0 s < 30 0,0 s 30 # < 35 0,03 s 35 # < 40 0,05 s 40 # < 45 0,05 s 45 # < 50 () 0,05 s 50 # < 55 0,0 s 55 # < 60 0,05 s 60 # < 65 0,05 s 65 # < 70 0,0 s 70 # < 75 0,05 s 75 # # 80 0 s > 80 Fucó de Dstrbucó: 97