CÁLCULO II CIVIL - MINAS - METALÚRGICA EXTRACTIVA ANÁLISIS MATEMÁTICO II AGRIMENSURA

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1 Itegrles de perficie UNIVERIDAD NACIONAL DE AN JUAN Fcltd de Igeierí Deprtmeto de Mtemátic CÁLCULO II CIVIL - MINA - MEALÚRGICA EXRACIVA ANÁLII MAEMÁICO II AGRIMENURA NOA DE CLAE INEGRALE Itegrles de perficie Dr. Prof. N. s Oá Mg. Prof. Emm E. Morles Ig. Pblo Mrci Mg. Lic. Alejdr Grcés Año 18 1

2 Itegrles de perficie 1. INRODUCCIÓN INEGRALE DE UPERFICIE Ls itegrles de sperficie ss pliccioes so los tems qe se bord cotició. E este tipo de itegrles l regió o domiio de itegrció es sperficie, por lo qe se recerd lgos coceptos sobre ells Prmetrició de sperficies U método pr epresr líticmete sperficie es l represetció implícit. L cl se epres como cojto de ptos (,,) qe stisfce ecció de l form F(,,) =. L qe será m tilid e est gí. Cdo es posible despejr de ls coordeds e fció de ls otrs dos, por ejemplo e fció de e, obteemos represetció eplícit dd por o ris eccioes de l form = f(,). Ejemplo 1.1. U esfer de rdio 1 cetro e el orige de coordeds tiee l represetció implícit =. Al despejr, se obtiee dos eccioes: 1 1 L primer es l represetció eplícit de l semiesfer sperior l segd es l represetció eplícit de l semiesfer iferior. Otro método de represetció de sperficies es l represetció prmétric o ectoril por medio de eccioes qe epres ls ribles e fció de prámetros. Dd = f(, ) s represetció prmétric e fció de dos prámetros, está dd por ls eccioes: = (, ) ; = (, ) ; = (, ). El pto (, ) rí e cojto coeo bidimesiol e el plo, los ptos (,, ) correspodietes costite porció de sperficie e el espcio. Este método es álogo l de l represetció de cr e R, medite tres eccioes co prámetro. i se itrodce el rdio ector r r(, ) qe e el orige pto geérico (,, ) de l sperficie, se pede combir ls tres eccioes prmétrics e ecció ectoril: r (, ) (, ) i (, ) j (, ) k, dode (, ), este ector describe l sperficie. = (, ) = (, ) = (, ) (,,)

3 Itegrles de perficie Ver e ANEXO INEGRALE DE UPERFICIE ejemplos de represetció prmétric de sperficies prmetrició de sperficie de reolció. INEGRALE DE UPERFICIE PARA CAMPO VECORIALE.1. Prodcto ectoril fdmetl. e cosider sperficie represetd por l ecció ectoril: r (, ) (, )i (, ) j (, ) k ; dode (,) i,, so fcioes de, ; co derids prciles cotis e podemos cosiderr los ectores: r r r i j k, r i j k e cosider e segmeto rectilíeo horiotl. imge por r es cr (llmd -cr) sitd e r ( ). i cte c, etoces r (,c ) (,c )i (,c ) j (,c ) k r * ( ) Lego: r r (,c ) es el ector tgete l cr geerd por = cte. i cte c1 r ( c, ) (c, )i ( c, ) j ( c, ) k r * ( ) por lo qe r (c,) es el ector tgete cr geerd por = cte. r 1 U rectáglo e qe teg áre se coierte e porció de r ( ) qe se proim por prlelogrmo determido por los ectores r r. El áre del prlelogrmo determido por r r es el módlo de s prodcto ectoril r r r r

4 Itegrles de perficie e r r(, ) dr r d r d si cte dr r d es prlelo r, si cte d r r d es prlelo r Lego el diferecil de sperficie es: d r d r d r r d d Así, l orm del prodcto ectoril fdmetl de fctor de proporciolidd de ls áres. r r se pede cosiderr como.. Defiició de áre de sperficie lbed e = r ( ) sperficie prmétric represetd por l fció r defiid e regió del plo. U rectáglo e de áres es plicdo por r sobre prlelogrmo crilíeo e co áre proimdmete igl : r r Obserció. i (,) es pto e e el cl r r so cotis el prodcto ectoril fdmetl o es lo, el pto imge r (, ) se llm pto reglr de r. U sperficie r r(, ) se llm reglr si todos ss ptos so reglres. E cd pto reglr los ectores r r determi plo qe tiee el ector r r como orml. El plo determido por r r es el plo tgete l sperficie. Los ptos e los qe o so cotis r ó r, o bie r r, se llm ptos siglres de r. E los ptos e qe este prodcto ectoril es lo el prlelogrmo degeer e cr o pto. 4

5 Itegrles de perficie L cotiidd de r,r, r determi qe o eiste rists o "ptos siglres" e l sperficie, l o lció de r r eit los csos de degeerció tes citdos... Defiició de áre de sperficie prmétric: El áre de sperficie, qe se represet por A(), se defie por l itegrl A () d = r r d d Obsere qe represet sperficie lbed e el espcio regió pl e..4. Áre de sperficies lbeds e coordeds crtesis i está dd e form eplícit por ecció de l form = f(,), se s e como prámetros, o se =, =, = f(,) obteiedo l sigiete ecció ectoril r(, ) i j f (, ) k Est represetció os d siempre sperficie prmétric simple. L regió es l proecció de l sperficie sobre el plo.. (,,) = f(,). (,) Pr clclr el prodcto ectoril fdmetl se clcl: r i f k r j f k i f (,) es diferecible se obtiee: i j k r r 1 f f i f j k 1 f Pesto qe l compoete de r r es 1, el prodcto ectoril fdmetl c es cero. Lego los úicos ptos siglres qe pede presetrse por est represetció so qellos ptos e los qe l meos de ls derids prciles f ó f o se coti. 5

6 Itegrles de perficie r r f i f j k 1 f f E este cso, d r r d d 1 f f d d L itegrl pr clclr el áre de l sperficie tom l form: A () d= 1 f f d d Not. Cdo está e plo prlelo l plo, l fció f(,) es costte, de modo qe f f, lego A( ) qe coicide co l form corriete pr el cálclo de áres de regioes pls. Ejercicio.1. Cdo trbj co d d A () d= 1 f f d d determie grfiqe los domiios de itegrció. Idiqe qé tipo de itegrles se relcio..5. Defiició de diferecil sperficie d e dedce de ls epresioes de d. E cd pto de, defiid por = f(,) se cosider el áglo formdo por el ector orml r r el ector itrio k i f (, ) el ector orml qed: r r e reli el prodcto esclr k def f i k cosγ f j k 6

7 Itegrles de perficie pr los ersores r r k r r el prodcto esclr es ( f i f j k).k.k r r 1 1 cos por lo qe r r r r cos γ como el ersor cos i cos j cos k, etoces Lego: 1 d r r d d = r r d d = d d def cos γ Este d permite clclr el áre de sperficie, o se itegrl de sperficie trsformádol e itegrl doble. A ( ) d = r r d 1 d = d d cos eiedo e cet qe cosγ cos (,) cos (, k ), se epres el diferecil de sperficie como, d d d d d cos (, ) cos (,k ) Y l itegrl qe clcl el áre como, A() 1 cos (,) d d 1 cos (,k) d d Por logí pr: f (, ) el diferecil de sperficie tom l form d d d cos (, ) d d cos (,i ) g(, ) el diferecil de sperficie tom l form d d d d d cos (, ) cos (, j ) Ejercicio.. U itegrl de sperficie es itegrl doble? Jstifiqe s respest. Ver otrs dedccioes de d e ANEXO- INEGRALE DE UPERFICIE. 7

8 Itegrles de perficie Ejemplo.1. Ecetre el áre lterl de l sperficie del prboloide plo = 4. e clclr A () d se tili iterceptdo por el d dd cos, Pr l sperficie dd l orml eterior es i j k cos, Así el áre lterl se plte de l sigiete mer A dd Pr s resolció se tili coordeds polres obteiedo: π 6 e dej l lector idicr los psos pr resoler l itegrl. ( ). INEGRALE DE UPERICIE PARA CAMPO ECALARE Pr clclr itegrl de sperficie es ecesrio qe s domiio de itegrció se fció esclr co codicioes de itegrbilidd. rbjmos co cmpo esclr f f (,, ) defiido cotio e, co derids prciles primers cotis e epresió esclr pr el d: d r r d d Lego f d f [ r(, )] r r d d 4. APKUCACIONE Cdo f f (,, ) = 1, el áre de sperficie lbed se clcl: A ( ) d = r r 1 d d = d d cos Ejemplo 4.1. Clclr el áre lterl de l porció del plo + + = 6, bicd e el primer octte. 8

9 Itegrles de perficie e trbj co l epresió del plo e form eplícit = 1 (6 - ) Pr clclr el d, se ecesit clclr el ersor orml i j k 1 i j k Por lo qe el áre lterl es: A ( ) d 6 d d 9, lego cos(, ) 1 d d d cos(, ) d d por lo qe 4.1. Cetro de gredd. Mometo de ierci i el cmpo esclr f f (,, ) se iterpret como l desidd (ms por idd de áre) de lmi delgd dptd l sperficie, l ms totl m de l sperficie se defie por l forml m f (,, ) cetro de gredd, el pto (,, ) es determido por ls fórmls. d m f (,, ) d, m f (,, ) d, m 9 f (,, ) El mometo de ierci I L de lrededor de eje L clqier iee ddo por: I L (,, ) f (,, ) dode /,, ) represet l distci de pto geérico (,,) de l rect L. d d

10 Itegrles de perficie Ejemplo 4.. Determir el cetro de gredd de l sperficie de semiesfer de rdio. e tili l represetció: r(, ) cos cos i se cos j se k co, / Dode, r r cos E este ejemplo se cosider l desidd f f (,, ) costte, f c. m f d c d π c Debido l simetrí, ls coordeds e del cetro de gredd so. m c d c se cos d d c se cos d d c, lego c m c c 5. INEGRALE DE UPERFICIE. FLUJO Los ectores físicos, mecáicos o geométricos, so ctiddes dirigids, difereciádose los primeros e qe se etiede e regió, dode, psdo de pto l otro, rí e mgitd direcció e form coti, por o estr cofidos e pto de plicció determido. L regió e dode rí el ector es s cmpo. Pr cd pto isldo mbs especies de ectores se idetific e l mism defiició, por cosigiete, ls opercioes básics, sm, prodcto, etc., les so comes se efectú e igl form. L propiedd de etederse e el espcio, implic l defiició de e mgitd crcterístic, qe es el fljo. pogmos sperficie imers e flido qe tiee cmpo de elociddes F se el áre de troo peqeño de sperficie (áre de elemeto ifiitesiml de sperficie) sobre el cl se pede cosiderr F proimdmete costte. L ctidd de flido (olme del flido) qe tries est regió por idd de tiempo está determid proimdmete por el olme de l colm de ltr F. 1

11 Itegrles de perficie comp Por lo tto, el olme del flido qe tries el elemeto ifiitesiml de sperficie por idd de tiempo está determido por: F. Δ El olme totl del flido qe tries l sperficie por idd de tiempo (fljo totl) se defie smdo los i Fi. i Δi correspodietes cd elemeto ifiitesiml de sperficie se sm, esto es Δ F Δ tomdo el límite cdo P tiede cero P i1 i=1 i i1 lim Δ se lleg l defiició de flido Defiició de fljo i Defiició 5.1. El fljo totl de F trés de medite l itegrl de sperficie se clcl Φ F d. i i i i (,,) represet l desidd del flido, etoces Φ ρ F d represet l ms de flido qe em trés de por idd de tiempo. Obsercioes: L trle del cmpo ectoril determi dierss clses de fljo qe se clcl co l itegrl defiid teriormete, por ejemplo fljo eléctrico, fljo mgético, fljo de clor, etc. od sperficie tiee dos ectores ormles: i l sperficie es biert o sperior (co compoete k positi) otro iferior. i l sperficie es cerrd o eterior otro iterior. 11

12 Itegrles de perficie El grdiete proporcio método coeiete pr ecotrr ector orml itrio. Pr sperficie defiid por = g(,), podemos determir, de ser posible, dos fcioes implícits G: - g(,) = ; g(,) =, geerdo esto los ectores itrios respectios G G g, i g, j k 1 g, g, G G g, i g, j k 1 g, g,.. direcció hci rrib direcció hci bjo i se tom de refereci l orml eter, se determi el crácter del fljo emdo. El fljo pede ser positio, egtio o lo. i es positio, predomi el sliete. i es egtio, prelece el fljo etrte. i es lo pede sigific qe el ector detro del recito o eiste, o bie qe los fljos etrtes slietes so igles, e co cso el fljo resltte es pste. Ejemplo 5.1. Clclr el fljo del ector El ersor orml l esfer es F i j k ; trés de esfer de rdio. i j el diferecil de sperficie correspodiete es Lego: F k, por lo qe d dd. cos(,), 1

13 Itegrles de perficie Por lo qe el fljo es: F F d dd. d dd e h trsformdo l itegrl de sperficie e itegrl doble. e tili coordeds polres proectdo sobre el plo. Φ dd ρ cosθ seθ dρdθ 4 ρ cos θ seθdθ 4 π 4 4 π cosθ seθ dθ 4 4 se θ π π, 6. DIVERGENCIA Y ROOR DE UN CAMPO VECORIAL 6.1. Operdor Nbl de Hmilto Hmilto itrodjo el operdor simbólico (bl o delt iertido) defiido por: i j k lo qe determi sedo ector qe solo idic opercioes relir. e cosider cdo,. El operdor bl está plicdo fció esclr U = U(,,) U U U U i j k U i j k e obtiee ector llmdo grdiete de U, U = grd U b. i el operdor bl está mltiplicdo esclrmete por cmpo ectoril F(,,) P (,,)i Q(,,) j R(,,) k cmpo ectoril F i j k (P i + Q j + R k) = P Q e obtiee esclr deomido diergeci de F, F dif R c. i el operdor bl mltiplicdo ectorilmete por cmpo ectoril F(,,) P (,,)i Q(,,) j R(,,) k cmpo ectoril 1

14 Itegrles de perficie i j k R Q P R Q P F i j k P Q R e obtiee ector deomido el rotor de F, F rot F Ejercicio 6.1. Ddo los cmpos F(,,) i j k f = f(,,) = se() +, clclr f grd f ;.F di F F rot F segú correspod. = k f grd f cos() i cos() j P Q R.F di F = i j k R Q P R Q P rot F = F ( )i ( ) j ( ) k P Q R i j k Lego el rotor del cmpo ectoril es: rot F F i j k 6.. igificdo físico de diergeci rotor. 1. Diergeci i V es cmpo de elociddes e el moimieto de flido, l di V represet l rició de fljo por idd de olme (elocidd de epsió por idd de olme) e cd pto. di V dφ dv = Φ s dv Φ e = rició del fljo por idd de olme. E sistem de flidos, l diergeci tmbié se pede iterpretr como medid de l ró de cmbio de l desidd (o olme)del flido e pto, e otrs plbrs l diergeci es medid de l compresibilidd del flido. i es di V, el flido se llm icompresible. di V = d = cte Φ e Φ s dv 14

15 Itegrles de perficie E cmpo electromgético, si di V, se dice qe el cmpo ectoril es soleoidl.. Ejemplo 6.1. e F(,) j. Es fácil comprobr qe circfereci e este gráfico. di F.F. Esto se pede er e gráfico del cmpo ectoril L Figr permite obserr qe los ectores qe "etr" e l circfereci so igl e mgitd qe los ectores qe "sle", esto idic qe l ctidd de flido qe "etr" es l mism ctidd qe "sle". E este cso l diergeci es cero. e dej l lector qe clcle líticmete el lor de l diergeci del cmpo ectoril ddo. i es div (positio), el flido se epde (met s olme). Ejemplo 6.. e F(, ) i j Es fácil comprobr qe circfereci e este gráfico. di F.F. Esto se pede er e gráfico del cmpo ectoril 15

16 Itegrles de perficie Pr este cmpo, l Figr mestr qe los ectores qe "etr" hci l circfereci so más corts qe los qe "sle". Esto idic qe el fljo eto fer de l circfereci es positio (es decir, h más flido sliedo qe etrdo). E este cso l diergeci es positi. e dej l lector qe clcle líticmete el lor de l diergeci del cmpo ectoril ddo. i es div (egtio), el flido se cotre (dismie s olme). Ejemplo 6.. e F(, ) i j. Es fácil comprobr qe er e gráfico del cmpo ectoril circfereci e este gráfico. di F.F. Esto se pede Pr este cmpo, l Figr mestr qe los ectores qe "etr" hci l circfereci so más lrgos qe los qe "sle". Esto idic qe el fljo eto fer de l circfereci es egtio (es decir, h más flido etrdo qe sliedo). E este cso l diergeci es egti. e dej l lector qe clcle líticmete el lor de l diergeci del cmpo ectoril ddo.. Rotor. Cmpos irrotcioles o cosertios. L circlció se iterpret e cmpo de fers como trbjo de prtícl qe se despl. Otr iterpretció de l circlció lo lrgo de cr biert o cerrd se obtiee e cmpo de elociddes V P i Q j R k de flido, pes e tl cso d 16

17 Itegrles de perficie medid de l circlció geerl (positi o egti) del flido lo lrgo de l cr e el setido elegido. i e recito simplemete coeo l cr C es cerrd l circlció por ell o es l, ello idic qe e sperficie limitd por C el moimieto tiee crácter geerl rottorio; por tl ró cdo l circlció es l sobre tod cr cerrd C, el moimieto el cmpo V, se llm irrotciol o cosertio. E el cso geerl, si l cr cerrd C se cotre hci pto M de modo qe tiede cero tto el áre de sperficie qe l teg por borde, como s diámetro, l circlció sobre ell tiede cero, pero o sí e geerl s cociete por el áre. El límite de ese cociete depede de l direcció de l orml. Veremos qe defie ector, llmdo circlció e el pto M, o rotor del cmpo e M, idicdo por compoete segú es: ( rot O se qe: V ) rot 1 V lim V dr rot V ( V ) C rot. C rot rotv, c Obserció. i V es el ector elocidd, se pede demostrr qe:. P rot rot V dode es l elocidd glr ej El cocepto de "Rotciol" fe itrodcido primero por Mwell (físico escocés ) e ss estdios de cmpos electromgéticos, si embrgo este cocepto (el rotciol) se etiede fácilmete e relció co el fljo de flidos. i dispositio de plets, como el qe se mestr e l figr 1 se itrodce e l corriete de flido, etoces el rotor del 17

18 Itegrles de perficie cmpo de elocidd V es medid de l tedeci del flido hcer girr el dispositio e toro s eje erticl. i rotv se epres etoces qe l corriete del flido es irrotciol, lo cl sigific qe está libre de órtices o remolios qe csrí qe ls plets girr. E l figr el eje w de los álbes pt perpediclrmete hci fer de l pági. Fig.1 w A B Fig. A B A B A B A B A B A B B A B A () corriete irrotciol (b) corriete rotciol Ejemplo 6.4. El cmpo ectoril F(,,) i es cmpo ectoril pr el cl rot F F Es cmpo irrotciol qe se represet e l sigiete Figr. Represetció del cmpo ectoril 18

19 Itegrles de perficie e dej l lector qe clcle líticmete el lor del rotor del cmpo ectoril ddo. L Figr sigiete mestr ist de este cmpo ectoril pr lor de costte. Represetció del cmpo ectoril pr = Clrmete se obser, qe si est es corriete de flido los ectores señl l distribció de elociddes lo lrgo de líes de corriete, redit smergid e este flido o girrí, sólo serí rrstrd por l mism. Ejemplo 6.5. Ddo F(,,) i j cmpo ectoril, rot F F,, cmpo ectoril qe gir lrededor del eje e setido horrio. 1. Es e dej l lector qe clcle líticmete el lor del rotor del cmpo ectoril ddo. L Figr mestr represetció de este cmpo ectoril. Represetció del cmpo ectoril i se logr ist de este cmpo ectoril pr lor de costte, como e l Figr qe sige, se e qe si est es corriete de flido los ectores señl l distribció de elociddes lo lrgo de líes de corriete, redit smergid e este flido girrá e setido egtio, es decir for de ls gjs del reloj. 19

20 Itegrles de perficie Represetció del cmpo ectoril pr = Ejemplo 6.6. Ddo F(,,) i j cmpo ectoril, rot F F,,. i se obser ist de este cmpo ectoril pr lor de costte, se e qe si est es corriete de flido los ectores señl l distribció de elociddes lo lrgo de líes de corriete, redit smergid e este flido girrá e setido positio, es decir e cotr de ls gjs del reloj como se e e l Figr qe sige. Represetció del cmpo ectoril pr = e dej l lector qe clcle líticmete el lor del rotor del cmpo ectoril ddo. 7. EOREMA DE GAU Y OKE 7.1. eorem de Gss o de l diergeci e regió sólid limitd por sperficie cerrd co ector orml itrio está dirigido l eterior de. i F es cmpo ectoril cs fcioes compoetes tiee derids prciles cotis e etoces, F d (dif)ddd

21 Itegrles de perficie Demostrció. Ver ANEXO. Obsercioes L sperficie debe ser cerrd e el setido de qe form froter complet del sólido. El teorem de l diergeci estblece qe el fljo de ector F, qe em trés de sperficie qe rode l sólido es igl l diergeci totl del ector F e el sólido ecerrdo por l sperficie. El teorem de l Gss epres relció etre itegrl triple etedid sólido itegrl de sperficie tomd sobre l froter de ese sólido. Ejemplo 7.1. Ddo F i j k clclr el fljo trés de esfer Φ P Φ R ( F) dv Q R 1, 1, 1 4 ddd π R Φ 4 P π Q R d Por qé se pede tilir el eorem de Gss o diergeci? d d Φ i se clcl tilido l defiició: F ( i j k ) i F d dd dd j k F d 1

22 Itegrles de perficie Φ ( dd ) Usdo coordeds polres se lleg Φ π Φ 4 π 7.. eorem de tokes e sperficie co ector orml itrio dirigido l eterior, co cotoro es cr cerrd simple C, se troos. i V es cmpo ectoril cs fcioes compoetes tiee derids prciles cotis e regió biert qe cotiee C, etoces: C V dr ( V ) d Δ C Demostrció. Ver ANEXO. Obsercioes El teorem de tokes es etesió del teorem de Gree l espcio, relcio itegrl de sperficie co itegrl de líe. El teorem de tokes estblece qe l circlció lo lrgo de cr simple cerrd es igl l fljo del rotor trés de sperficie biert clqier qe l teg por borde. e plic solmete sperficies bierts.(e trbj sobre l cr de cotoro C). El teorem de l tokes epres relció etre itegrl de líe defiid sobre l cr de cotoro de sólido bierto itegrl de sperficie tomd sobre l froter del mismo. Ejemplo 7.. Clclr el fljo del rotor de V i 4 j k trés de l sperficie 4 C, de ltr = 4. ( V ) d V dr C - R C

23 Itegrles de perficie pr = 4 sí 4 i V j 4 k i i j 1k ( V ) ( i ) 4 ; cos (, ) ( V ) d ( ) d d (1) Utilido coordeds polres: cos ; J = se 4 cos se d d i se clcl tilido el eorem de tokes, se tiee: C V dr d 4 d d cos t d set dt set d cos t dt 4 d t V dr ( 4cos t set 8 cos t ) dt C C e e l coeieci del so de V dr pr clclr el fljo del rotor, cdo se pede tilir el teorem de tokes.

24 Itegrles de perficie ANEXO- INEGRALE DE UPERFICIE A. REPREENACIÓN PARAMÉRICA DE UPERFICIE Ejemplo 1. Represetció prmétric de esfer de rdio cetro e el orige. cos cos ( 1 ) se cos se Represetció ectoril: r(, ) cos cos i se cos j se k i se ele l cdrdo ls eccioes del sistem ( 1 ) smmos, reslt 1 por lo qe todo pto (,, ) qe stisfce ( 1 ) perteece l esfer. Los prámetros e este ejemplo pede iterpretrse geométricmete como los áglos dibjdos e l figr. i el pto (,) ri e el rectáglo = [, ] [-/,/] los ptos determidos por ( 1 ) describe tod l esfer. Obsere qe el hemisferio speriores es l imge del rectáglo [, ] [,/] Ejemplo. Represetció prmétric de plo e recerd qe plo qed determido por l codició de psr por pto ser prlelo dos ectores o prlelos, o se lielmete idepedietes. Ddos los ectores: i j k, b b i b j b k 1 1 Es P pto del plo sí solo sí so coplres los ectores P P, b, o se si solo si eiste etre ellos relció liel. P o P 4

25 Itegrles de perficie Debe ser o lo el coeficiete de P P, pes de lo cotrrio b serí lielmete depedietes, cotr lo spesto; por lo qe pede despejrse P P OP OP r r ; dode r r b, o se: ( A ) r r b ( b lielmete idepedietes) llmd ecció ectoril prmétric del plo. Pr cd pr de lores de los prámetros, se tiee pto P del plo, ddo por el ector qe lo sitú, desde el orige, recíprocmete. Proectdo ( A ) sobre cd eje de coordeds, o se mltiplicdo esclrmete por i, j, k, se obtiee ls eccioes prmétrics del plo: 1 b1 b b Lego l represetció ectoril de plo es: r(, ) ( b )i ( b ) j ( 1 1 b ) k Not. Los prámetros so coordeds crtesis e el plo. Prmetrició de sperficie de reolció pogmos cr C e el plo, qe gir lrededor del eje. e = f() s ecció e el plo, b,, l sperficie de reolció sí egedrd pede represetrse por l ecció ectoril. r(, ) cos i se j f ( ) k dode (, ) [, b] [, ]. Los prámetros pede iterpretrse como el rdio el áglo polr, como se e e l figr. = f() (,,) b 5

26 Itegrles de perficie b b b Ejemplo.. Prboloide circlr : = +, = 4 eiedo e cet qe l ecció de l circfereci + = 4 e coordeds prmétrics es: cos se rempldo e l ecció del prboloide circlr obteemos: = cos + se = ( cos + se ) = 4 Lego ls eccioes prmétrics del prboloide circlr so: cos se M l ecció ectoril del prboloide ddo es r r(, ) cos i se j k,, b. coo circlr: = +, = eiedo e cet l ecció e coordeds prmétrics de l circfereci + = 9 6

27 Itegrles de perficie cos se reempldo e l ecció del coo circlr ddo obteemos: (cos se ) Lego, l ecció prmétric del coo circlr ddo es: cos se s ecció ectoril es: r r(,) cos i se j k B. ORA OPERACIONE CON EL OPERADOR 1. U, esto defie el ector rot grd U se clcl medite el determite i j k U P Q R. ( f ), esto se iterpret como di rot f, se clcl ( f ) P Q R i f es cmpo grdiete es s fció potecil etoces ( f ) = o se qe f ( ) l diergeci del rotor de f es l. Pr demostrr esto, se e qe 7

28 Itegrles de perficie i j k ( ) ( ) i ( ) j ( ) k El operdor (delt) de Lplce ( U ) El operdor (delt) de Lplce, plicdo cmpo esclr U = U(,,) defie l di grd U : U U ( U ) di grd U U i U U U U j U k Por lo qe : = U + U + U U = U + U + U deomido lplcio de U E mchos plteos mtemáticos pliccioes de Físic de Qímic se preset l "ecció diferecil de Lplce", U =. Ls fcioes U qe stisfce est ecció se llm rmóics C. EOREMA DE GAU O DE LA DIVERGENCIA e regió sólid limitd por sperficie cerrd co ector orml itrio está dirigido l eterior de. i F es cmpo ectoril cs fcioes compoetes tiee derids prciles cotis e etoces: F d (dif)ddd Demostrció. Pr ecotrr l rició totl del fljo (dφ ) trés de olme elemetl, primero ecotrmos l rició del fljo e cd de ls direccioes,,. Cosidermos sólido detro de cmpo ectoril, del cl tommos porció elemetl. e F P i Q j R k 8

29 Itegrles de perficie e erá co detlle l rició de fljo e direcció prlel l eje, ls otrs direccioes se hce por logí. E el olme elemetl d d d, e l direcció del eje, el fljo etrte es : P d d, el sliete e l mism direcció por l cr opest, hbiedo rido l mgitd del ector, debido l desplmieto ifiitesiml, es (P + d P) d d (d es l otció pr idicr el diferecil e l direcció del eje ) el fljo resltte trés de ls dos crs prlels reslt : d Φ = (P + d P) d d - P d d = d P d d Como se cosider prlel l eje teemos = cte, = cte. el diferecil de P = P(,,) es dp P d P d P d P d d P Así el diferecil de fljo e l direcció de P P d Φ d P d d d d d dv (dv = diferecil olme) Hciedo lo mismo e l direcció del eje, = cte, = cte obteemos dr R d R d R d R d d R Es el diferecil de fljo e l direcció de R R d Φ = (R + d R) d d - R d d = d R d d d d d dv Por logí e l direcció de, = cte, = cte se obtiee: Φ d 9 Q dv

30 Itegrles de perficie Lego l rició totl de fljo e diferecil de olme es: d d d d d i j k P Q P i Q R dv j R k dv por l defiició de diergeci dich rició se pede epresr como dφ F dv = di F dv Lego de smr estos difereciles de fljo tomdo límite cdo V tiede cero obteemos Φ Φ Además por defiició igldo [1] [] obteemos: F R d [] F dv [1] ( F ) dv F igldd qe tmbié se pede epresr como R R P Q R d d d d F d c.q.d. D. EOREMA DE OKE e sperficie co ector orml itrio dirigido l eterior, co cotoro es cr cerrd simple C, se troos. i V es cmpo ectoril cs fcioes compoetes tiee derids prciles cotis e regió biert qe cotiee C, etoces: Demostrció: C V dr E cd mll de l sperficie se tom pto P k iterior clqier ( rot V ) Pk lim k Ck V dr k ( V ) d C Δ

31 Itegrles de perficie ( rot ( rot V ) V ) Pk Pk Ck V dr k k Ck V dr k k k C mdo tods ls mlls k1 ( rot V ) Pk k k1 Ck V dr k1 k k R e cosider l orm de l prtició N(P) = má { k } =, siedo k el diámetro de cd k. Psdo l límite cdo N(P) tiede cero, teiedo e cet qe l sm de ls circlcioes sobre los C k es simplemete l circlció lo lrgo de C, pes ls itegrles sobre los rcos comes dos k, se l mtmete l tomrse dos eces e setidos cotrrios, qe k1 k k es ifiitésimo, reslt rot V d V C c.q.d. dr 1