4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 4.. Noción intuitiva de continuidad de una unción en un punto. La mayor parte de las unciones que manejamos a nivel elemental, presentan en sus gráicas una propiedad característica que es la continuidad. Esto signiica que pequeñas variaciones en el valor original de la variable independiente, ocasionan pequeñas variaciones también en la imagen, pero no un salto brusco en su valor. Intuitivamente esto se traduce en que la gráica de la unción no se rompe. Observemos los siguientes ejemplos: Aunque son muy parecidas, de inmediato se observa que en las gráicas presentan un comportamiento muy distinto. Mientras que la (a) puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel, no ocurre así en las demás, puesto que al llegar a la gráica se interrumpe. Analicemos la causa: b) ( ) pero lim c) ( ) pero lim d) lim ( ) pero lim ( ) + Por tanto, si queremos establecer un concepto de continuidad que responda a la idea de trazado sin levantar el lápiz del papel, debemos evitar en la deinición los tres casos anteriores. 4.. Continuidad de una unción en un punto. (A) Una unción es continua en un punto a, cuando se cumplen las siguientes condiciones: ) ( a) a ) ( ) ( ) ( ) ª, o lo que es lo mismo, Dom ª lim, es decir, lim y lim y son iguales ) ( ) ( a) ª lim a + a a a La última condición lo resume todo, suponiendo la eistencia de todos los elementos que aparecen en ella. También podemos escribir esa deinición en términos de la de límite: ε > δ > / < a < δ a < ε
Si nos restringimos a los valores que la unción toma a la derecha o izquierda del punto, se habla de continuidad lateral y podemos hacer las siguientes dos deiniciones: (B) es continua a la derecha en a lim ( ) ( a) + a es continua a la izquierda en a lim ( ) ( a) Es evidente que si una unción es continua por la derecha y por la izquierda en un punto, entonces es continua en dicho punto. 4.. Tipos de discontinuidades. Si alguna de las condiciones que se deben dar para que eista continuidad en un punto alla, diremos que la unción es discontinua en dicho punto. En unción de cual sea la condición que no se cumple, tendremos distintos tipos de discontinuidad pero, en todos ellos, la clave para reconocerlos estará siempre en el cálculo del límite. Analicemos las distintas posibilidades: CONDICIONES DISCONTINUIDAD EJEMPLO a ( a) lim ( ) a EVITABLE pero lim a a a si ( ) si lim ( ) a lim ( ) L a pero L L lim ( ) L + a lim ( ) ± y lim ( ) + a a o lim ( ) y lim ( ) ± + a a o lim ( ) ± y lim ( ) ± + a a SALTO FINITO L L ASINTÓTICA (DE SALTO INFINITO salvo cuando ambos límites laterales son iguales e ininitos) I N E V I T A B L E si < ( ) si ( ) Cuando una unción tiene una discontinuidad evitable (se puede evitar), el valor que deberíamos de darle en dicho punto para que uera continua (que es el resultado del límite) se llama verdadero valor de la unción en ese punto.
4.4. Continuidad de las unciones principales. TIPO CONTINUIDAD (Toda unción deinida por una única órmula, es continua en su dominio de deinición) Polinomios todo Ejemplos Racionales { polos} * En los polos: -Discontinuidad evitable (si eiste el límite). Continua en ( ) + Discontinua asintótica de salto ininito en g Continua en + Continua en { ; } + h Discontinua asintótica de salto ininito en 6 Discontinua evitable en Irracionales Índice par Índice impar / radicando > { } (dominio menos ceros) -Discontinuidad evitable (si eiste límite). la izquierda (etremo), si están cerrados. { ptos problemáticos radicando} -Discontinuidad evitable (si eiste límite). la izquierda (etremo), si están cerrados. ] [ Continua en, ( ) 6 Continua por la izquierda en Continua en ], [ ], [ g 4 4 Continua por la izquierda en 6 4 h + Continua en todo Continua en {} j Discontinua evitable en ] [ { } Continua en, ( ) Discontinua asintótica de salto ininito en Discontinua evitable en 7 4 g + Continua en h L Continua en, Eponenciales { ptos problemáticos eponente} -Discontinuidad evitable (si eiste límite). la izquierda (etremo), si están cerrados. + ( ) e Continua en {} Continua en g Discontinua asintótica de salto ininito en Continua en, + h 7 Continua por la izquierda en
TIPO CONTINUIDAD Ejemplos Logarítmicas { / argumento>} -Discontinuidad evitable (si eiste límite). -Discontinuidad asintótica (si alguno de los ] [ ( ). ( ) ] [ { } Continua en () L( + ) Discontinua asintótica de salto ininito en g () log Continua en, h log Continua en j () log Continua en, + k () L {} Cont inua en Discontinua evitable en Trigonométricas Dado que la composición de una unción trigonométrica y otra cualquiera, da lugar a una epresión compleja, recordemos al menos la continuidad de dichas unciones puras sen continua en g cos continua en π h continua en + k π / k h( ) tg π h discontinua asintótica de salto ininito en + k i cosec { π } i continua en k / k i discontinua asintótica de salto ininito en k π j continua en + k π / k j( ) sec π j discontinua asintótica de salto ininito en + k k cotg { π } k continua en k / k k discontinua asintótica de salto ininito en k Deinidas a trozos valores que no toma la variable y puntos problemáticos de cada órmula incluidos en su rango -Discontinuidad evitable (si eiste límite). -Discontinuidad de salto inito (si los dos límites laterales son números distintos). El salto es la dierencia, en valor absoluto, de los límites laterales. -Discontinuidad asintótica (si alguno o ambos Será de salto ininito salvo cuando ambos límites laterales sean iguales e ininitos. la izquierda (etremo), si están cerrados. Dom ( ) Continua en {} L > Discontinua asintótica de salto ininito en { ; } { } Dom g + < Continua en ; g () > Discontinua asintótica de salto ininito en Discontinua de salto inito en {} { } Dom h + Continua en ; h () > Discontinua de salto inito en Discontinua asintótica de salto ininito en Dom j ], ] [, [ Continua en ], [ ], [ { } j () + < Continua por la izquierda en Continua por la derecha en < Discontinua asintótica de salto inito en si, Domk si Continua en { ; ; } k( ) Discontinua evitable en si < < Discontinua asintótica de salto ininito en si Discontinua de salto inito en 4
Ejercicio. Estudia la continuidad de las unciones siguientes: p( ) + ; q( ) 4 + 7 ; r( ) ; s( ) 4 + + ( ) ; g( ) ; h( ) ; j( ) + 4 + 4 k e ; l ; m ; n e + a L( + ) ; b log ; c ln ; d log 4 + 4 FUNCIÓN CONTINUIDAD FUNCIÓN CONTINUIDAD p( ) q 7 r ], [ Continuidad por la izquierda { } Discontinuidad asintótica salto ininito h { } Discontinuidad asintótica salto ininito 4 s 6 8 j( ) 9 k m n a ], [ c ], [ 4 g { } Discontinuidad asintótica salto ininito { ; } Discontinuidad evitable Discontinuidad asintótica salto ininito l { } Discontinuidad asintótica salto ininito { ; } Discontinuidad asintótica salto ininito Discontinuidad asintótica salto ininito b { } Discontinuidad asintótica salto ininito 6 d( ), Ejercicio. Estudiar analíticamente la continuidad de las siguientes unciones, representándolas gráicamente con posterioridad. ( ) si < + si + si < h( ) si < 4 si 4 h + si si < g si 6 si > si p( ) si < si > t si < + si
Ejercicio. Calcula el verdadero valor de las unciones en los puntos que se indican: ( ) g( ) h( ) 7 i( ) FUNCIÓN 7 9 4+ 9 j( ) + 6 + + 7 + PUNTO VERDADERO VALOR a( ) FUNCIÓN + + 4 b( ) 6 c( ) 8 d( ) p( ) + + 9 + 6 4 + + 4 PUNTO VERDADERO VALOR 4 k( ) q( ) Ejercicio 4. Estudiar los puntos y los tipos de discontinuidad de las siguientes unciones: ( ) si < si + si h( ) si < si < g p si si si < si > h + si < si > t si < + si Ejercicio. Calcula el valor de k para que las siguientes unciones sean continuas: ( ) h + si k si > 4 k si 7 + si h k e si + k si > g p t + k si k si < k si < L( + ) si + + + k si 6 si 6
4.. Principales teoremas de continuidad en intervalos cerrados y acotados. Teorema de los ceros de BOLZANO Toda unción continua en un intervalo cerrado y acotado que toma valores de signo opuesto en los etremos, tiene al menos un cero en dicho intervalo. [ a b] continua en, c ] a, b[ / ( c) ( a) ( b) < Teorema del valor intermedio Toda unción continua en un intervalo cerrado y acotado, toma cualquier valor comprendido entre las imágenes de los etremos de dicho intervalo. Demostración [ a b] continua en, y k comprendido entre a b c ] a, b[ / ( c) k Aplicar el T ma de Bolzano a la unción g( ) ( ) k. Teorema Toda unción continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada en dicho intervalo. Teorema de Weierstrass Toda unción continua en un intervalo cerrado y acotado, alcanza en éste un máimo y un mínimo absolutos. [ ] [ ] [ ] continua en a, b c, d a, b / m c d M a, b 4.6. BIBLIOGRAFÍA. Para la elaboración de estos apuntes, se ha utilizado como material: º Mayoritariamente, las eplicaciones y ejercicios propuestos en clase por los proesores del Departamento de Matemáticas del Colegio Virgen de Gracia (Granada). º Como ayuda para desarrollar y completar algunos apartados: -Apuntes del proesor Jesús Escudero Martín del I.E.S. Fray Luis de León (Salamanca). http://platea.pntic.mec.es/jescuder/ 7