Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez EJEMPLO DE CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ Con el fin de resumir en un ejemplo el proeso seguir vmos resolver el pórtio de l figur. Ls iones que tiene que soportr se deen evlur según l normtiv de iones en l edifiión y resolver d hipótesis de rg; sorergs de uso, peso propio, viento, nieve, seísmo, otrs..., por seprdo. Pr después ominrls plindo los respetivos oefiientes de myorión según tmién l normtiv l so. Evluremos tn solo un hipótesis de rg, suponiendo pr tl so un rg uniforme de 100 kp/m. en proyeión horizontl en uiert. Fig. 1 Punto 1. Anlizr ien l estrutur. Predimensionr. Fijr modo físio de trjo (rtiuldo, empotrdo, torsión, pln o espil, et.). Anlizremos l estrutur en el plno, on rrs extensiles, suponiendo los nudos lires rígidos (giros de extremos de rr solidrios) y los poyos en el terreno perfetmente empotrdos (desplzmientos y giros impedidos). Ls rrs serán de ero A-42., de Módulo de Elstiidd; E = 2,110 6 kp/m 2 de ls siguientes rterístis meánis. Momentos de Ineri; I = I = I = 2000 m 4. Seiones; A =A =A =20 m 2.
Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez Punto 2.- Ordenr nudos y rrs, fijr oordends loles y gloles. Fig. 2 Punto 3.- Clulr rgs y reiones en nudos extremos de d rr. Psr rgs nudos y notr pr su utilizión posterior ls reiones hiperestátis. Vetor de rgs. P nudos = - P hiperestátis. En este so solo est rgd l rr (), lulndo por ls fórmuls lásis de vig empotrd en mos extremos ls reiones hiperestátis. Brr (): = +
Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez Ls mtries de iones hiperetátis (vetores de rg), en loles de l rr () serán: -129-129 P 2-483 P 3 = -483-83333 83333 Punto 4.- Pso de loles gloles de los vetores de rg, previo álulo de ls mtries de trnsformión y su trspuest de d rr. Ls mtries de trnsformión y trspuest de d rr serán, tendiendo l ángulo girdo del sistem de refeni lol respeto l glol, en sentido ontrrio ls gujs del reloj, o, tmien, en el sentido de tuión del momento positivo de refereni, siendo: = 90º, = 15º, = 270º = -90º. 0,966-0,259 0 0,966 0,259 0 L = 0,259 0,966 0 L T = -0,259 0,966 0 0 0 1 0 0 1 0-1 0 0 1 0 T L = L = 1 0 0 T L = L = -1 0 0 0 0 1 0 0 1 Pso de loles gloles de ls iones hiperestátis. P nudos = L P nudos 0,966-0,259 0-129 0 P 2 = 0,259 0,966 0-483 = -500 0 0 1-83333 -83333 0,966-0,259 0-129 0 P 3 = 0,259 0,966 0-483 = -500 0 0 1 83333 83333
Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez Punto 5.- Pso de loles gloles de d mtriz de rigidez de ls rrs, previo lulo en loles de ls misms. k rrs k rrs = L k rrs L T Brr A I L E AE/L 12EI/L 3 6EI/L 2 4EI/L 2EI/L 20 2000 500 2100000 84000 403 100600 33600000 16800000 20 2000 1035 2100000 40589 45 23512 16227554 8113777 20 2000 768 2100000 54691 111 42730 21876447 10938224 Solo psremos gloles ls neesris. Brr. 84000 0 0 k = 11 0 403 100800 0 100800 33600000-84000 0 0 k = 12 0-403 100800 0-100800 16800000-84000 0 0 k = 21 0-403 -100800 0 100800 16800000 84000 0 0 403 0 100800 k 22 = 0 403-100800 k 22 = 0 84000 0 Brr. 0-100800 33600000 100800 0 33600000 40569 0 0 37860 10139-6090 k 22 = 0 45 23512 k 22 = 10139 2764 22713 0 23512 16227554-6090 22713 16227554-40569 0 0-37860 -10139-6090 k 23 = 0-45 23512 k 23 = -10139-2764 22713 0-23512 8113777 6090-22713 8113777-40569 0 0-37860 -10139 6090 k 32 = 0-45 -23512 k 32 = -10139-2764 -22713 0 23512 8113777-6090 22713 8113777 40569 0 0 37860 10139 6090 k 33 = 0 45-23512 k 33 = 10139 2764-22713 Brr. 0-23512 16227554 6090-22713 16227554 54691 0 0 111 0 42730 k 33 = 0 111 42730 k 33 = 0 54691 0 0 42730 21876447 42730 0 21876447-54691 0 0 k 34 = 0-111 42730 0-42730 10938224-54691 0 0 k 43 = 0-111 -42730 0 42730 10938224 54691 0 0 k 44 = 0 111-42730 0-42730 21876447
Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez Punto 6.- Euión mtriil glol. P = K Es interesnte esriir primero l euión y lulr los términos posteriormente, undo se hlln tenido en uent ls ondiiones de ontorno, punto 7. R 1 K 11 K 12 0 0 1 u 1 = 0 v 1 = 0 1 = 0 P 2 K 21 K 22 +K 22 K 23 0 2 P 3 = 0 K 32 K 33 +K 33 K 34 3 R 4 0 0 K 43 K 44 4 u 4 = 0 v 4 = 0 4 = 0 Punto 7.- Seprr iones on restriiones (fils y olumns). Como se puede oservr en l euión generl esrit en el punto 6, se hn somredo ls fils y olumns que se ven fetds por ls restriiones que imponen los empotrmientos en l se, nulndose por tnto, permitiendonos esriir l euión generl, tn solo, on ls euiones implids en los movimientos de los nudos lires. P 2 K 22 +K 22 K 23 2 P 3 = K 32 K 33 +K 33 3 L euión generl resumid será: 0 38263 10139 94710-37860 -10139-6090 u 2-500 10139 86764 22713-10139 -2764 22713 v 2-83333 94710 22713 49827554 6090-22713 8115777 2 0 = -37860-10139 6090 37971 10139 48820 u 3-500 -10139-2764 -22713 10139 57455-22713 v 3 83333-6090 22713 8115777 48820-22713 38104001 3 Punto 8.- Resoluión del sistem, lulndo los movimientos inógnit en gloles. Multiplindo mos terminos por l invers de l mtriz rigidez, se deduen los movimientos: = K -1 P u 2 0,341349 v 2-0,006295 2 = -0,002753 u 3 0,338333 v 3-0,008616 3 0,002393
Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez Psmos los movimientos loles. = L T Nudos Brr. Nudos Brr. Nudos Brr. u 1 0 u 2 0,328112 u 3 0,008616 v 1 = 0 v 2 = -0,094491 v 3 = 0,338333 1 0 2-0,002753 3 0,002393 u 2-0,006295 u 3 0,324598 u 4 0 v 2 = -0,341349 v 3 = -0,095951 v 4 = 0 2-0,002753 3 0,002393 4 0 Punto 9.- Cálulo de esfuerzos en d rr en loles y omproión de l soluión estudid. P = K + Brr. P hiperestátis N 1 84000 0 0-84000 0 0 0 0 529 V 1 0 403 100800 0-403 100800 0 0-140 M 1 0 100800 33600000 0-100800 16800000 0 0-11848 N 2 = -84000 0 0 84000 0 0-0,006295 + 0 = -529 V 2 0-403 100800 0 403-100800 -0,341349 0 140 M 2 0 100800 16800000 0-100800 33600000-0,002753 0-58104 Brr. N 2 40569 0 0-40569 0 0 0,328112 129 272 V 2 0 45 23512 0-45 23521-0,094491 483 475 M 2 0 23512 16227554 0-23512 8113777-0,002753 83333 58104 N 3 = -40569 0 0 40569 0 0 0,324598 + 129 = -14 V 3 0-45 -23512 0 45-23512 -0,095951 483 491 M 3 0 23512 8113777 0-23512 16227554 0,002393-83333 -68807 Brr. N 3 54691 0 0-54691 0 0 0,008616 0 471 V 3 0 111 42730 0-111 42730 0,338333 0 140 M 3 0 42730 21876447 0-42730 10938224 0,332393 0 68807 N 4 = -54691 0 0 54691 0 0 0 + 0 = 471 V 4 0-111 -42730 0 111-42730 0 0-140 M 4 0 42730 10938224 0-42730 21876447 0 0 40632 Punto 10.- Cálulo de reiones, ien trvés de los esfuerzos luldos en rrs o ien en l form. F R = K RL L Se deduen fáilmente de los vlores y áluldos pr los extremos 1 y 4 de ls rrs () y (), lógimente.
Ejemplo de álulo de un portio por el método mtriil de l rigidez Pr ompletr el ejemplo diujmos ls gráfis de esfuerzos tl omo suele representrse en l tulidd. Fig. 6 A efetos de representión. - Los momentos min de signo l izquierd de l rr. Reordndo que pr onoer su vlor en d seión tendremos que sumrle l gráfi de momentos isostátios, pues solo se hn deduido los vlores extremos. - Los ortntes min de signo l dereh. - Los xiles (ompresión on signo negtivo) min de signo l izquierd. Fig. 8 Fig. 7 Gráfio de Axiles Gráfio de Cortntes Fig. 9 Gráfio de Momentos Fletores y Deformd