BREVE APUNTE SOBRE LA ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS Y MÁXIMA VEROSIMILITUD

BREVE APUNTE SOBRE LA ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS Y MÁXIMA VEROSIMILITUD ÍNDICE DE CONTENIDO I.- Plateameto Ramó Mahía Rafael de Arce Octubre 0 II.- Epresó del estmador de Mímos Cuadrados Ordaros III.- Epresó del Estmador Mámo Verosíml IV.- Iterpretacó coceptual de los estmadores MCO e la regresó múltple VI.- Iterpretacó de los parámetros cuado e el modelo tervee varables e logartmos VII.- Iterpretacó del térmo costate VIII.- Iterpretacó de los parámetros cuado e el modelo sólo tervee varables dcotómcas e teraccoes Apédce : Iterpretacó tutva de la epresó de cálculo de los estmadores MCO Apédce : La matrz de Iformacó Pg./9

I.- Plateameto Sea el Modelo Básco de Regresó Leal (MBRL defdo como:.. U dode los parámetros β cuatfca la relacó parcal de cada varable eógea X co la edógea Y. Partmos de que se ha completado la etapa de especfcacó del modelo ecoométrco so coocdos por tato los valores de la Y las X para la muestra temporal o trasversal seleccoada. Se platea ahora la sguete preguta cómo obteer ua buea estmacó de esos parámetros β a partr de los datos dspobles para Y para cada ua de las X? II.- Epresó del estmador de Mímos Cuadrados Ordaros Uo de los procedmetos más coocdos es el deomado Estmador de Mímos Cuadrados Ordaros (MCO. Este procedmeto platea utlzar, como estmacó de los parámetros, aquella combacó de β, β, β que mmce los errores que el modelo cometerá. Qué sgfca esto?. Está claro que, s dspuséramos a pror de los parámetros estmados podríamos escrbr el MBRL NO como:.. U so como:.., por tato, podríamos computar el error o resduo que el modelo comete e la estmacó de cada valor de la edógea comparado, de forma medata, el valor real de la edógea e cada observacó co el valor estmado: e (.. Este error depedería, evdetemete, del valor asgado a las estmacoes de los parámetros β; pues be, el método de MCO sugere utlzar aquella combacó de parámetros estmados que mmce la suma al cuadrado de todos los errores cometdos para las observacoes dspobles: m( S m MCO e Para obteer algebracamete ua epresó de cálculo operatva para los estmadores MCO, procedemos de la sguete forma: Pg./9

Pg./9 Desarrollo : Dervacó NO MATRICIAL de la epresó de los estmadores MCO La epresó a mmzar es: e S.. ( Para obteer los valores de cada uo de los parámetros j que mmza esta epresó dervamos co respecto a cada uo de ellos e gualamos a cero, obteedo epresoes del tpo: j j S 0.. ( Estas epresoes, se deoma ecuacoes ormales. E este sstema de las ecuacoes ormales las cógtas so los parámetros j a estmar los valores coocdos so los datos muestrales recogdos de la de las. Observadas ua a ua, para cada parámetro, las epresoes de las ecuacoes ormales so:.................. Lo que, teedo e cueta las epresoes matrcales del vector edógeo Y de la matrz de varables eógeas X, puede epresarse matrcalmete como: ' ' X X Y X

De dode se obtee fáclmete ( despejado la epresó fal matrcal del vector de parámetros estmados : X ' Y X ' X X ' X X ' X X ' Y X ' X X ' X X ' Y Desarrollo : Dervacó MATRICIAL de la epresó de los estmadores MCO Puede comprobarse cómo podríamos haber plateado el desarrollo de la epresó de los estmadores la estmacó utlzado eclusvamete álgebra matrcal. Efectvamete, la mmzacó de resduos puede platearse a partr del vector de resduos e como: m( e' e m m( e' e m m Y' Y Y X ' Y X m Y ' Y Y' X ' X ' Y ' X ' X Y X ' Y X m Y ' Y Y' X ' X ' Y ' X ' X ' X ' Y ' X ' X Obsérvese cómo los productos matrcales Y ' X ' X ' Y so e realdad el msmo e guales a u escalar: efectvamete, la prmera epresó es la traspuesta de la seguda dado que el orde de cada ua de ellas es (, es decr, u escalar, estamos vedo e realdad dos epresoes equvaletes del msmo úmero (escalar. Así pues, podemos escrbr Y ' X + ' X ' Y como Y ' X ó be cómo ' X ' Y de modo que teemos: m( e' e m Y' Y ' X ' Y ' X ' X Ara resolver ahora la mmzacó, recurrmos de uevo al cocepto de dervada (ecesaramete parcal para lo que, e el caso de las matrces, debemos recordar ua propedad de utldad: para cualquer par de matrces A B se cumple que: A' BA A BA A' B Pg.4/9

E uestro caso, debemos dervar respecto a (ó ' tres sumados, es para el tercero de ellos ( ' X ' X para dóde debemos recordar la propedad matrcal ateror (e uestro caso, A es la matrz B es la matrz X X. ( e' e m( e' e 0 de dode uevamete obteemos: III.- Estmador Mámo Verosíml Y ' Y ' X ' Y ' X ' X 0 0 X ' Y X ' X 0 X ' X X ' Y Ua seguda apromacó cosste e utlzar lo que se cooce como plateameto de estmacó mámo verosíml. La dea del estmador mámo verosíml es seclla de tur. U estmador MV de u parámetro descoocdo es aquel valor que mamzaría la probabldad de observar ua determada muestra obteda supoedo ua sere de hpótess de partda. Así, por ejemplo:.- S obteemos ua muestra de la altura de 50 persoas supoemos (esto es mportate que la altura se dstrbue coforme a ua dstrbucó ormal, la meda muestral es u estmador mámo verosíml del verdadero valor de la meda poblacoal de la altura: s se etrae 50 datos de ua poblacó ormal, el valor más probable de la meda muestral es el valor de la meda poblacoal..- Cómo se determa (aproma el úmero de peces que puebla u lago?. Supoedo que la dstrbucó de los peces es uforme a lo largo del lago ( que los peces o tee memora por tato puede pcar ua otra vez Se pesca 00 peces del lago Se marca suelta Se vuelve a pescar otros 00 peces medatamete Tomado etoces la frecueca muestral de peces marcados e la seguda pesca, el úmero de peces (más verosíml e el estaque es PecesTotal es 00 PecesMarcados 00 Para determar u estmador MV debemos ser capaces de: Pg.5/9

. Determar co clardad las hpótess relatvas a la dstrbucó teórca del parámetro e la poblacó. Epresar matemátcamete la probabldad de obteer ua determada muestra, e fucó de las hpótess asumdas, de modo que esa epresó sea matemátcamete mamzable e fucó del parámetro muestral de terés. E uestro caso, este plateameto propoe utlzar como estmadores de los parámetros aquel cojuto de parámetros poblacoales β que haría más probable observar ua muestra de errores como los que os hemos propuesto: ormales, co meda ula varaza costate. Es decr, u cojuto de errores que va a dstrburse coforme a ua determada fucó de desdad cojuta co ua determada meda desvacó típca. Etre las hpótess báscas formuladas para el MBRL establecmos que uestros errores U seguría ua dstrbucó ormal co meda ula varaza costate, es decr: u N o, o be para todo el vector de perturbacoes aleatoras: U N o, I Así pues, la fucó de desdad de cada uo de los errores será: f u ep Por lo que, tomado la fucó de desdad cojuta para cualquer ormal multvarate teemos que : u E realdad, la epresó geérca correcta para esta fucó es: L f u f ( u / / ep u dode Σ es la matrz de varazas covarazas de las varables aleatoras ormales multvarates. No obstate, a pesar de la pérdda de precsó de la otacó, se matee la refereca a σ por secllez epostva porque, evdetemete, o afecta al resultado fal que se pretede lustrar. Pg.6/9

Pg.7/9 / / ep ( u u f u f L Se trata, por tato, de obteer el cojuto de parámetros que hace máma la fucó (probabldad de desdad cojuta: / / ep ( ma ma( u u f L Co el f de computar la dervada parcal de esa epresó L co respecto a los parámetros estmados, lealzamos la epresó obteedo: U U L L ' l l ( o lo que es gual, cosderado ahora errores muestrales o las perturbacoes aleatoras poblacoales: e e L L ' l l ( ' l l ( X X L L Es evdete que mamzar esta probabldad co respecto a mplca mmzar el últmo de los sumados, esto es: ' m ( ma X X L L Que como se ve, es lo msmo que platear el estmador de Mímos Cuadrados Ordaros revsado aterormete. Es decr, el estmador Mámo Verosíml va a cocdr para el Modelo Básco de Regresó Leal co el estmador de Mímos Cuadrados Ordaros. IV.- Iterpretacó coceptual de los estmadores MCO e la regresó múltple La terpretacó del sgfcado de los estmadores MCO es mucho más teresate que los detalles téccos sobre su dervacó. Qué represeta u parámetro estmado j?

S magamos ua ecuacó estmada co dos varables eógeas más u térmo depedete, el modelo estmado sería: Imagemos ua muestra temporal dode represeta el paso del tempo. S epresamos ahora el modelo e dferecas, es decr, s al valor estmado de e el período ( ŷ le restamos el valor estmado de e el período - ( teemos que: Qué represeta por tato?. Ua forma smple de epresar es: 0 Es decr, permte computar el cambo obtedo e producdo por u cambo e mateédose costate. Es decr: los coefcetes de la regresó múltple so coefcetes ceters parbus o, más propamete dcho, coefcetes de correlacó parcal. El puto clave, como señala Wooldrdge, es que la estmacó de estos coefcetes parcales (o céters parbus se obtee aú cudo los datos o se haa observado o recogdo e esas codcoes. Es decr, la regresó múltple os permte mtar ( lo que los cetífcos hace e los etoros (epermetales cotrolados de laboratoro: coservar fjos otros factores. Imagemos, por ejemplo, el resultado obtedo e la estmacó de ua regresó que relacoa las vetas mesuales de uestra empresa co los cambos e los precos e la publcdad: V 0,5Pr, Pub S las vetas la publcdad está meddas e mlloes de euros los precos e euros por udad: El parámetro -0.5 de los precos dcaría que por cada cremeto de u euro e el preco utaro, uestras vetas se reducría e medo mlló de euros sempre cuado se matuvese costate el presupuesto e publcdad. Itroduccó a la ecoometría. U efoque modero. Ed. Thomso. Pg.8/9

El coefcete de., postvo, dca que, s o varamos el preco de veta, u cremeto de mlló de euros e publcdad geera u cremeto de vetas de. mlloes. Evdetemete, la empresa uca movó sólo los precos o sólo la publcdad, so que todos los años hzo, probablemete, ambas cosas: s embargo, la regresó múltple permte aslar ambos efectos. Ua observacó de terés es: qué sucede s sólo utlzamos ua de las dos varables e la regresó?. E ese caso, puede observarse que los resultados de las dos regresoes dvduales so: V,9 0,8Pr V,6, 9Pub Los resultados de la regresó sobre el preco so smlares a los obtedos e la regresó múltple pero qué ha suceddo co los resultados de la regresó sobre la publcdad?. Utlzado los msmos datos, el sgo de la Publcdad e su relacó co las vetas es ahora egatvo cómo podemos eplcar esto?. Observemos la evolucó de las vetas, los precos la publcdad e los años utlzados para la estmacó. 9 8 7 6 5 4 0 - - 4 5 6 7 8 9 0 4 5 vetas preco publcdad Cuado tomamos sólo los datos de la publcdad las vetas, observamos que, efectvamete, a lo largo de los últmos 5 años la publcdad se ha cremetado otablemete pero, s embargo, las vetas ha dsmudo; s embargo, durate este msmo período, los precos ha crecdo també de forma mu sgfcatva, de modo que el efecto teórcamete postvo de la publcdad se ha vsto aulado por u cremeto descotrolado de los precos. S sólo observamos la relacó etre vetas publcdad, subestmamos clamorosamete el efecto de la publcdad; del msmo modo, s sólo observamos la relacó etre vetas precos, subestmamos també el efecto egatvo de u alza e los precos (la realdad es que, s o hubésemos elevado la publcdad a lo largo de estos 5 años, la caída de las vetas ate tal cremeto de los precos hubera sdo algo maor. Pg.9/9

La ateror eposcó os oblga a platearos alguas pregutas: - S sólo estamos teresados e el efecto de ua varable eplcatva e su relacó co la edógea ( Es ecesaro clur e la regresó múltple otras varables que so potecalmete relevates para observar adecuadamete ese úco parámetro de terés? Así es, el ejemplo ateror demuestra que, auque uestro terés se cetre e ua varable eógea, debemos recoger formacó de las demás varables que ha poddo varar durate el período muestral, de otro modo, o podemos aslar, dstgur del resto, los efectos de la varable que os teresa. Este es, s duda, el preco a pagar e la regresó a cambo de evtar dseños epermetales ceters parbus. Téccamete esto resultaba prevsble s recordamos las codcoes deales supuestas e el Modelo Básco de Regresó Leal para dervar la sesgadez del estmador MCO. Esas dos codcoes era, la uldad e meda de la perturbacó aleatora U la auseca de relacó etre los regresores X las perturbacoes aleatoras U. De hecho, partedo de esta seguda codcó (formulada a partr de la covaraza, teemos: Cov(u, 0 Cov(, 0 Cov(, cov a(, cov a(, 0 Cov(, V ( 0 Cov(, V ( Es decr, el parámetro de ua regresó smple puede obteerse a partr de la covaraza (, sólo sí asummos Cov ( u, 0. E caso de que la Cov( u, 0 ocurre que el parámetro a o puede apromarse sólo por la covaraza (, dado que e realdad es: Cov p ( u, Cov(, Cov(, Cov(, V ( V ( V ( - Este algua ecepcó a lo ateror? Es decr, es posble obteer resultados correctos (o subestmados sobreestmados e las regresoes dvduales? S. El problema resde, e realdad, e la esteca de correlacó etre las varables eplcatvas utlzadas e el ejemplo. Por qué?. El problema de ua Pg.0/9

muestra e la que este correlacó alta etre las eplcatvas (postva o egatva es que la muestra o permte aslar el efecto de cada ua sobre la edógea, porque, magado que la correlacó fuera postva, cada vez que ua crecó (respecto a su meda, la otra també lo hzo. Dgamos que la muestra es lo cotraro al tpo ceters parbus que ecestaríamos para observar el efecto dvdual de las eógeas. Ahora be, s e uestra muestra podemos ecotrar crecmetos de ua eógea que se haa combado co cremetos dsmucoes de la otra de modo que etre ambas o esta ua correlacó sstemátca, la muestra es deal para observar los efectos de forma dvdual (s recurrr a la regresó múltple porque los efectos de subestmacó sobreestmacó e esas estmacoes dvduales aparecerá compesados, resultado ulos o poco sgfcatvos. E térmos téccos, lo que sucede cuado o este relacó étrela varable cluda la omtda, es que o este tampoco relacó etre esa varable cluda la perturbacó aleatora (u que agluta las varables omtdas, de modo que vuelve a verfcarse Cov p ( u, 0 - S la regresó múltple permte separar s sesgos los efectos de las dsttas varables aú cuado las muestras o sea ceters parbus. Por qué es mportate que o esta correlacó muestral etre las eógeas? Por qué se formula la hpótess de auseca de multcolealdad? Efectvamete, la regresó múltple permte separar los efectos de cada eógea s cometer sesgos de sobre o subestmacó aú cuado las muestras sea desfavorables e ese setdo (es decr, aú cuado las eógeas esté mu relacoadas. S embargo, la esteca de multcolealdad mplca u preco a pagar evtable: ua meor precsó e la estmacó de los parámetros (ua maor varaza e la estmacó. Esto puede etederse tutvamete: s las varacoes de ua varable X se ve sstemátcamete acompañadas de la varacó de otra varable X resulta dfícl separar co precsó qué parte de los efectos sobre Y se debe a los movmetos de X que parte a los de X. Además de la eplcacó tutva veremos e el tema de la Multcolealdad como téccamete, la varaza de u parámetro depede de tres factores uo de ellos es, precsamete, el grado de correlacó que este etre cada varable eógea el resto: a maor relacó, meor precsó e la estmacó. VI.- Iterpretacó de los parámetros cuado e el modelo tervee varables e logartmos E muchas ocasoes, las varables mplcadas e el modelo (eógeas, edógea o ambas vee epresadas e logartmos, lo que puede ser debdo, etre otras, a las sguetes causas: Pg./9

a Alguas veces, el modelo teórco orgal es ua forma o leal, que se coverte fáclmete e leal escrbedo la epresó e logartmos. Es el clásco ejemplo de ua fucó de produccó, e la que la epresó lógca (debdo a la le de redmetos decrecetes es ua fucó potecal: P L * K * u l( P L( L L( K L( u Otro ejemplo habtual de este caso sería el de los llamados modelos de gravtacó basados e la epresó de Newto de la Gravedad: la fuerza que atrae dos cuerpos es drectamete proporcoal a la dfereca de sus masas e versamete proporcoal a la dstaca al cuadrado que los separa. Esta epresó se traslada e ecoomía para represetar, por ejemplo, flujos comercales etre dos putos geográfcos, mdedo la masa de los cuerpos como la reta de cada uo de los lugares la dstaca etre ellos, be e térmos físcos (m o e fucó de otras varables que represete dstaca ecoómca (mpedmetos a los flujos, como por ejemplo lo sería la preseca de araceles, o la esteca o o de u bue modo de trasporte. E este modelo, tedríamos: Flujo j Re ta Re ta j U l( l(re l(re ( Flujo j ta ta j L dj W d j b E otras ocasoes, la fuerte volatldad de algua de las varables (eplcatvas o eplcada hace recomedable escrbr ésta e logartmos para observar mejor su relacó e el modelo (como es be sabdo, la trasformacó logarítmca alsa el comportameto de ua varable, reducedo su varaza. Valga como ejemplo u modelo de prevsó de vetas e u egoco e el que se utlzara como varable eplcatva la evolucó del IBEX-5, etededo que este podría marcar las epectatvas e los prómos meses. La ecuacó podría escrbrse del sguete modo: Vetas t L u ( IBEX 5 t t La forma e la que se troduce las varables e el modelo modfca el modo e el que se terpreta sus parámetros asocados debdo al cambo de udades que se está producedo. Matemátcamete, la dfereca de logartmos es mu smlar, para cambos pequeños, a la tasa de crecmeto etre dos mometos determados. Cuado ambas varables (edógea eógea está escrtas e logartmos, la terpretacó es la clásca e teoría ecoómca: los parámetros represeta la Pg./9

elastcdad etre ambas varables o, dcho de otro modo, el cambo porcetual e cuado se produce u aumeto del % e la varable 4. Elastcda d / * * log( *log( E los casos e los que sólo ua de las partes ha sdo trasformada co logartmos, la terpretacó como cambo porcetual e ésta es smlar. A modo de resume, e la sguete tabla se epresa cómo se haría la terpretacó: Especfcacó Epresó Iterpretacó Nvel-Nvel u Log-vel Nvel-log Log-Log log( Icremeto e cuado aumeta udad X (ambas e sus udades de medda orgales u * 00 log( u / 00, cremeto porcetual de cuado aumeta ua udad X Icremeto e udades de cuado aumeta u % X log( u Icremeto porcetual de log( cuado aumeta u % X VII.- Iterpretacó del térmo costate E u modelo ecoométrco es sempre recomedable clur u térmo costate tato para lograr u mejor ajuste e la curva de regresó estmada como para obteer ua mejor terpretabldad de dcadores de ajuste como, por ejemplo, la R cuadrado. Matemátcamete, la clusó del térmo costate os permte que el orge de la curva de ajuste o parta ecesaramete del puto (0,0 e los ejes de coordeadas, lo que cas sempre dará lugar a u mejor ajuste. 4 Ver Wooldrgge, 009: Itroduccó a la Ecoometría: u efoque modero. Ed. Parafo Pg. 765-770 co maor detalle sobre el efecto de las trasformacoes logarítmcas. Pg./9

E el gráfco se puede observar ua sere (roja a estmar. La estmacó de la líea egra cotua es ua regresó de ua recta co costate la dscotua azul es ua estmacó s costate (oblgada a partr del puto 0,0. El ajuste de la seguda es claramete peor que el de la prmera, a que la sere de terés (la roja claramete o parte de este puto (0,0. E deftva, la clusó de la costate e muchas ocasoes sólo es u artfco matemátco para lograr u mejor ajuste, s que sea posble darle ua terpretacó ecoómca. Sólo e el caso e el que todas las varables eplcatvas pudera tomar el valor cero ( e la muestra elegda para realzar la estmacó de hecho tomara este valor al msmo tempo e algua ocasó tedría setdo terpretar el parámetro que acompaña a la costate como el valor de la edógea cuado o toma valor el resto de las eógeas. Por ejemplo, e el clásco modelo de cosumo teórco de Kees, este autor deoma al térmo costate cosumo autóomo o de subssteca o aquel que se producría cuado la reta del dvduo los precos so cero; etededo que, e teoría, esta crcustaca podría darse. E la práctca, cuado se estma este modelo, e la muestra de datos utlzada o fgurará gú caso e el que los precos ( seguramete tampoco la reta valga cero, por lo que el resultado del térmo costate o será terpretable (pudedo teer, por ejemplo, u sgo egatvo, lo que e prcpo sería compatble co la lógca s es que fuera terpretable. VIII.- Iterpretacó de los parámetros cuado e el modelo sólo tervee varables dcotómcas e teraccoes E cecas de la salud, dode se puede cotrolar de forma cuas-eacta el valor de varables relevates o cludas e el modelo modfcado la muestra a utlzar, es frecuete utlzar alguos modelos e los que sólo tervee varables dcotómcas. E estos, todos los parámetros tee ua terpretacó mu cocreta (cludo el de la costate 5. E ADE Ecoomía so meos frecuetes, pero, para muestras mu cocretas e las que se agrupa observacoes co guales característcas para el resto 5 Recuérdese lo vsto respecto a la terpretacó de los parámetros cuado se omte varables relevates e el modelo e el puto I de este documeto. Pg.4/9

de las característcas relevates, se podría platear, por ejemplo, u modelo del sguete tpo: salaro seo jorada u Dode seo es ua varable dcotómca co valor cero para los hombres uo para las mujeres, jorada, es també ua varable co dos valores: cero para jorada a tempo parcal uo para jorada a tempo completo. Supogamos que los datos para los que se realza el modelo correspode todos a la msma empresa, sólo para trabajadores co cotrato defdo, co edades atgüedad smlares todos lcecados 6. E este modelo, todas las varables puede tomar valor cero todos los parámetros tee u sgfcado eacto fáclmete terpretable: Seo \ Tpo jorada Tempo parcal Tempo completo Hombre salaro salaro Mujer salaro salaro E deftva, el salaro del hombre co cotrato a tempo parcal se puede asocar drectamete co el valor del parámetro costate, además, se coverte e el valor de refereca sobre el que se puede comparar co el resto de los casos. Beta es la dfereca e el salaro etre la mujer co cotrato parcal el hombre co cotrato del msmo tpo, etc. Tal como se ha plateado este modelo, se está supoedo que las dferecas etre hombres a tempo parcal completo so las msmas que etre las mujeres a tempo parcal completo. E este tpo de modelos, para cotrastar s estas dferecas o so las msmas, se suele clur ua varable eplcatva más que recbe el ombre de teraccó que se especfcaría del sguete modo: salaro seo jorada 4 seo jorada u El parámetro beta cuatro, e caso de resultar sgfcatvamete dstto de cero cuado se realce la estmacó, os permtría cotrastar la dfereca adcoal e el salaro e el caso de ua mujer a tempo completo. Ahora, la tabla para la terpretacó de los parámetros quedaría del sguete modo: Seo \ Tpo jorada Tempo parcal Tempo completo Hombre salaro salaro Mujer salaro salaro 4 6 Al tomar esta muestra ta cocreta, todas esas varables lógcamete relevates para determar el salaro sería guales para todos los sujetos; luego o deberá clurse e el modelo porque o varía, o marca dferecas etre las observacoes (empleados. Pg.5/9

Es frecuete que e modelos ecoométrcos de cecas socales aparezca varables dcotómcas mezcladas co varables cotuas. E este caso, o podremos terpretar el valor del térmo costate e la maoría de los casos, pero los parámetros de las varables dcotómcas (valedo éstas 0 sí será terpretables cómo e cuátas udades se cremeta la edógea cuado se da el caso e el que toma valor. Pg.6/9

Apédce : Iterpretacó tutva de la epresó de cálculo de los estmadores MCO Vsto todo lo ateror, ua preguta razoable es: cómo se las gea el método de estmacó MCO para separar los efectos parcales de dos o más eplcatvas?. Imagemos el caso de dos eplcatvas (más u térmo depedete: El parámetro para la varable deberá medr los cambos e Y ate varacoes e X mateédose X costate. S sólo coocésemos la regresó smple (o múltple cómo podríamos estmar este parámetro? U puto de partda razoable será estmar cuál es el grado de relacó etre X X dado que al f al cabo, sólo s este u alto grado de relacó teemos ecesdad de estmacoes parcales. Ua forma de calcular el grado de relacó es, precsamete, realzar u aálss de regresó etre X X : w El resduo de esta regresó (w cotedría, precsamete, aquella parte de X que o puede eplcarse observado X ; w de hecho, s X X o tuvese gú tpo de correlacó, el coefcete estmado para α sería ulo el resduo de la regresó cotedría aú toda la formacó de X. Por tato, s ŵ cotee toda la formacó de X que o covaría co X teemos ahora e ŵ ua muestra depurada (céters parbus de X. S hacemos etoces ahora la regresó orgal sobre Y usado sólo como eplcatva esa ueva versó ( ŵ de X, tedremos etoces el coefcete de correlacó parcal etre Y X. w u Este es, efectvamete, el mecasmo técco que se escode e la epresó matrcal del estmador de MCO: La matrz X ' X X ' Y X ' X permte teer e cueta o sólo la cuatía de la varaza de cada ua de las varables eplcatvas X (e la dagoal prcpal so la tesdad de la Pg.7/9

relacó etre cada par de eplcatvas X (fuera de la dagoal prcpal. De ese modo, cada uo de los coefcetes j estmados, o se calcula sólo como e el caso de la regresó uvarate: u dode: Cov, Var So que e el cálculo se mplca també la covaraza etre las propas varables eplcatvas. Apédce : La matrz de Iformacó Partedo de las ecuacoes ormales del modelo (= u S sumamos las epresoes de este tpo, obtedríamos ua epresó del modelo matemátcamete equvalete que sería: u Sabedo que la suma de las U es es cero (por hpótess básca se sabe que la meda de U es cero dvdedo ambos lados de la gualdad por, obtedríamos: Y, restado a la prmera ecuacó esta últma (llamada el modelo para la meda: ( ( ( ( u E deftva, llegamos a ua epresó equvalete del modelo e la que, e vez de utlzar las varables orgales, se utlza las varables e desvacoes a la meda, s que el valor de los parámetros cambe. Matemátcamete, es fácl que comprobar que, dchas varables e desvacoes a la meda, tee meda cero, la varaza, es la msma que las de las orgales, pues sólo se ha realzado u cambo de orge de dchas varables. Volvedo ahora a la epresó matrcal de cálculo de los parámetros estmados para este modelo e desvacoes a la meda, tervee la matrz X X, també llamada matrz de formacó. Sabedo que, e su forma matrcal, el modelo asga a la Pg.8/9

matrz X las varables eplcatvas e columas para cada ua de las observacoes e flas, el resultado del producto X X sería: X ' X........ X ' X Observado la epresó de X X, es fácl deducr que, smplemete dvdedo todos los valores por el úmero de datos, tedríamos: - E la dagoal prcpal, las varazas de cada ua de las varables mplcadas e el modelo (recuérdese que, al estar e desvacoes a la meda, su meda es cero, luego su suma al cuadrado es drectamete la varaza. - E la prmera fla e la prmera columa, estaría las medas de cada varable. - E el resto de celdas de la matrz, estaría las covarazas etre cada par de varables del modelo (uevamete recuérdese que las medas so cero. E coclusó, cuado se emplea la fórmula de estmacó de los parámetros MCO: X ' X X ' Y Es fácl observar que, para cada parámetro, se está dvdedo la covaraza etre dcha varable eplcatva la edógea etre su varaza las covarazas co el resto de las varables X s que tervee e el modelo, elmado o cotrolado así su efecto. Pg.9/9