9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio hemos luldo l ltur orrespondiente l vértie en todos los sos. 3 33 El ángulo entre los dos ldos igules de un triángulo isóseles es de 40 y el ldo desigul tiene un longitud de 40 m. uál es l longitud de d uno de los ldos igules del triángulo? Los ángulos igules del triángulo miden 70 d uno. plindo el teorem del o, se otiene lo siguiente: l 40 70 58,48 m 40 El ángulo gudo de un romo mide 5. El ldo mide 13 m. lul el áre del romo. plindo el teorem del oo, D 13 13 os 155 y d 13 13 os 5 siendo D y d ls dos digonles del romo. Sndo ftor omún, se otiene D 131 os155 y d 131s o. 5 ) h h 6,93 Áre 34,65 u Podemos lulr el áre: d D 14,84 m 30 31 ) Primer triángulo: h 6,78 u Áre 33,9 u Segundo triángulo: h 1,88 u Áre 9,4 u ) h 6,89 u Áre 34,45 u d) h 5,4 u Áre 6, u lul el áre de d uno de los triángulos siguientes, siendo: ) 30 m, 50 y 74 ) 41 m, 45, y 75 ) 18 m, 15 m, 19 4 d) 6 m, 1 m, 17 30 e) 33 m, 4 m, 0 m ) 30 56 74 Áre 15 30 56 50 74 97,303 m ) 41 45 60 Áre 4 1 41 45 75 60 66,881m ) Áre 1 8 15 19 4 45,709 m d) Hy dos posiles triángulos: 36 58 15,83, 15 31 44,17, 16,38 m Áre 9,98 m 143 1 44,17, 19 8 15,83, 6,651 m Áre 1 m e) Áre ; os 1s o, por tnto: os 0,79861 y 0,60185 Áre 83,33 m Uno de los ángulos de un romo mide 75, y su digonl myor, 10 m. lul su perímetro. 10 l l l os 105 l 6,3 m perímetro 5, m 34 35 36 37 38 39 Los ldos de un triángulo miden 8 m, 11 m y 13 m, respetivmente. lul el vlor del o del ángulo más pequeño. El ángulo más pequeño es el opuesto l ldo de longitud 8 m. plindo el teorem del oo, se otiene lo siguiente: 8 11 13 11 13 os os 11 13 8 11 13 Teniendo en uent que 1s o, o utilizndo l luldor: 0,61 8 Los tres ldos de un triángulo miden 6 m, 8 m y 9 m. lul sus ángulos y su áre. plindo el teorem del oo se pueden otener los ángulos: 40,80 60,61 78,59 9 8 se n 40,80 3,5 m Un rñ h tejido un tel otogonl de 7 m de rdio. lul el áre que r l tel de rñ. Ldo tel de rñ 5,36 m. Perímetro tel de rñ 4,88 m. potem tel de rñ 6,47 m. Áre tel de rñ 138,7 m. lul el rdio de ls irunferenis insrit y irunsrit de un pentágono regulr de 5 dm de ldo. R 5 R 4,5 dm 54 7 tg 36,5 R R i 3,44 dm i En un triángulo, onoemos los ángulos, 34,5, 78 y l sum de los ldos, 43 m. lul uánto miden los ldos y. 43 7,4 m, 15,76 m se n 34,5 78 En un triángulo, onoemos los ldos 15 m, 11 m y l sum de dos de sus ángulos 104. lul uánto miden los ángulos y. El ángulo mide 76. plindo el teorem del oo podemos hllr 16,315. Luego se lul y : 15 s en 76 63 8 3,36 y 40 51 36,64 4. Trigonometrí II 55
40 En un triángulo ddos 16, 3 m y 19 m. lul los ángulos del triángulo. Semos que 16. Por el teorem del o: 44 De un triángulo se onoen los ldos,5 m y 3,5 m y se se que el ángulo es l mitd del ángulo. lul y los ángulos, y. 3 19 Si, prtir del teorem del o se otiene que (1 6 ) se n os 0,7. Luego: 3 19 ( 16 os os 16 ) (3 19 os 16 ) 19 16 os 45 34,79, 91 8 45,57 y 43 16 51,64 plindo el teorem del o se otiene:,400 m. 19 16 45 En un írulo de 10 m de rdio, diujmos un uerd que tg 47 5 34,69 3 19 os 16 une los etremos de un ro que r un ángulo de 80. Por tnto: 16 63 5 34,69 y verigu l longitud de l uerd que se estudi. 180 68 14 50,6 10 1,86 m se n 50 80 41 Los ángulos de l se de un triángulo vlen 35 y 95, y l 46 Hll el ángulo que formn ls dos tngentes omunes sum de los otros dos ldos es dos irunferenis eteriores uyos rdios miden, respetivmente, 10 m y 18 m. 38 m. lul el perímetro y el áre del triángulo. 35 95 38 18 m 10 m 35 95 35 s en 95 13,88 m 4,1 m 50 18,54 m 35 50 Perímetro 56,54 m 35 h/ h 10,63 m Áre 18,5 m 4 Demuestr que en todo triángulo, se umple l iguldd: tg,onoid omo Teorem de Nepper. tg (Indiión: dees usr el teorem del o pr esriir l relión entre y ) Por el teorem del o: s en. Sustituimos: s en s en s en tg os tg os Qued entones demostrdo. 43 En los ldos de un triángulo se umple que 1 y 1, y se tiene que os 0,6. lul, tg y. Los ldos son, 1y. Plntemos el teorem del oo y otenemos est euión un vez simplifid: 1 13 0 1. Pr lulr on el teorem del oo otenemos: os 1 3 tg 1 Pr lulr plimos el teorem del oo y se otiene: os 1 10 y 3 18 38 10 Por otr prte: 10 Resolviendo el sistem otenemos: 5 m 16,6 Por tnto, el ángulo que formn ls dos tngentes es: 33,. 47 Un triángulo de ldos 3 m, 4 m y 6 m, está insrito en un irunfereni. ) lul su perímetro. ) verigu su áre. En primer lugr, lulmos uno de sus ángulos. Se 3 m, 4 m y 6 m os 16 36 9 6 3 3,59 48 Por el teorem del o, si r es el rdio de l irunfereni irunsrit l triángulo: r r 3,375 m se n Por lo que el perímetro y el áre de l irunfereni son, respetivmente: p 1,1 m y 35,79 m. 48 En un irunfereni de rdio 10 m, hy insrito un triángulo isóseles uyo ldo desigul mide 10 m tmién. lul el áre de diho triángulo. Se 10 m. Por el teorem del o, si r es el rdio de l irunfereni irunsrit l triángulo, r 30. se n Los ángulos igules medirán 75 d uno. Uno de los ldos igules,, medirá: 0 75 El áre del triángulo es: h 75 10 0 75 75 93,3 m 56 Trigonometrí y números omplejos
49 Determin el áre de un triángulo que está insrito en un irunfereni de rdio 3 m, siendo que dos de los ldos prtir de este sistem se pueden lulr ls longitudes soliitds: del triángulo miden m y 4 m, respetivmente. D 50 Supongmos m y 4 m. omo: r, se n se n siendo r el rdio de l irunfereni irunsrit l triángulo, 105 45 30 tenemos lo siguiente: 1/3 y 1/4 D D 6,05 m; D 10,48 m; 16,53 m; 19 8 16,39 o 160 31 43,6 y 14 8 39,04 o 1,10 m; 8,56 m. 165 31 0,9. 53 De un triángulo onoemos que 11 m; el ángulo Hy pues, dos triángulos posiles: 30 ; y el áre es 7 m.lul: Triángulo 1: ) L longitud de d uno de los ldos del triángulo. 19 8 16,39, 14 8 39,04 y 146 3 4,56 ) Los ángulos del triángulo. Triángulo : ) Plntemos el siguiente sistem: 160 31 43,6, 14 8 39,04 y 4 59 37,35 omo es áre de un triángulo es h ( ),sustituyendo se tiene: 11 7 30 7, 4 4, 7 Triángulo 1: 4,34 m Es deir, los ldos miden 4 m y 7 m, respetivmente. 50 Triángulo : 4 0,348 m lul el áre del triángulo repretdo en l siguiente figur si ses que 5 m: 54 ) Por el teorem del o, los ángulos miden 9,49 y 10,51, respetivmente. lul el áre de un triángulo isóseles insrito en un irunfereni de 30 m de rdio, y uyo ldo desigul mide 0 m. r 30 m 51 5 30 40 Por el teorem del o: 5 30 110 5 40 5 (5 30 / 110) 40 106,88 m Siendo que l longitud de ls mneills de un reloj de pred miden 10 y 1 entímetros, respetivmente. ) uál es l distni entre sus etremos undo son ls 16:00? ) Qué áre tiene el triángulo que determinn ls mneills est hor? ) Por el teorem del oo, l distni entre sus etremos es 19,08 m proimdmente. El ángulo que formn ls mneills es de 10. ) 1 10 10 51,96 m El áre de un triángulo de vérties, y, tiene un superfiie de 50 m.el ángulo de este triángulo es de 45 y el ángulo es de 30. Se D el pie de l ltur desde el vértie, es deir, el punto del segmento en que se umple que D es perpendiulr. lul l longitud de los segmentos D, D, D,,y. Pr resolver este prolem onviene onsultr el prtdo pliión de los teorems del o y del oo de l seión Ejeriios resueltos. Pr lulr el ángulo desigul del triángulo isóseles, se lul el ángulo que r un ro igul y uno de uyos ldos es un diámetro. 0 1 19,47 160,53 60 Hy dos triángulos isóseles insritos. Los elementos de uno son: El ángulo que formn los ldos igules es, proimdmente, 19,47. L longitud de los ldos igules: 9,735 1 0 59,14 m L ltur: os 9,735 h h 58,9 m, y por tnto, el áre es 58,9 m, proimdmente. Los elementos del otro triángulo son: El ángulo que formn los ángulos igules es, proimdmente, 160,53. L longitud de los ldos igules: 80,65 1 0 10,15 m L ltur: 45 D 30 os 80,65 h 17, m. h 1,7 m, y por tnto, el áre es 4. Trigonometrí II 57
55 Sore un irunfereni de rdio 1 m y entro en el punto O, onsidermos los ino vérties,,, D y E de un pentágono regulr. lul: ) El ángulo que form el rdio que en el vértie on el ldo y el ángulo que formn en el vértie los dos ldos que lo tienen omo etremo. 58 Si el etremo superior de un esttu es oservdo desde un punto situdo rs del suelo y iert distni, on un ángulo de elevión de 35, uál será el ángulo de elevión desde el triple de distni? 35 h h 35 ) L longitud de d uno de los ldos del pentágono. h 35 11,0 ) L longitud de ulquier de ls digonles. 3 3 d) El áre del triángulo E. El ángulo de elevión es de 11,0. 59 Un rmp de 40 m de longitud y 10 de inlinión ondue l pie de un esttu. lul su ltur siendo que, en el iniio de l rmp, el ángulo de elevión del punto más E O lto de l esttu es de 15. 56 ) omo es un pentágono, el ángulo interno del ro es 360 /5 7. Por tnto, omo el triángulo O es isóseles, el ángulo que formn el rdio y el ldo es: 180 7 54 Y el ángulo que formn E y es el dole, es deir, 108. ) Por el teorem del oo: l os 7 1,176 m ) El ángulo entrl que r un ldo mide 7, por tnto el que r dos ldos del pentágono 144. Por el teorem del oo: d os 4 14 1,90 m d) E 36 0,657 m El ldo más lrgo de un prlelogrmo mide 0 m, su áre es de 10 m y su ángulo menor, 30. Determin: ) El ángulo myor del prlelogrmo. ) L longitud del ldo menor. ) Los utro ángulos de un udrilátero sumn 360. Por tnto, el ángulo myor es 150. ) El áre es h. Tomndo omo se el ldo onoido: 10 0 30 1 m. pliiones de l trigonometrí 57 D En un ierto lugr de su reorrido un río tiene sus orills prlels. En ese punto se dese medir su nhur. Pr ello desde dos puntos y de un de sus orills, que están seprdos 5 m, se oserv un punto P de l otr orill, situdo río jo. Si ls visules desde y P formn on l orill unos ángulos de 39 5 y 5 48 respetivmente, verigu l nhur del río en ese punto. Relizmos un diujo pr entender mejor el prolem: 17 1 5 48 39 5 13 3 omo 5 m, l plir el teorem del o: 5 P 1 3 3 1 7 1 Luego otenemos P y omo P 39 5 54,63 m P 60 61 6 40 m 15 10 40 m h h 11,4 m se n 65 15 L ltur de l esttu es de 11,4 m. Un emrión,, se enuentr 45 km l sureste de otro r- N o, y un terer emrión, 45, se hll 57 km l sur de. ) Qué distni sepr los ros y? 57 km ) Qué rumo deerí tomr el ro pr rrir l punto donde está situdo? ) 57 45 5745os 45 40,58 km 45 ) 51,64 45 se n El ro deerí tomr un rumo 51,64 Noreste. Un golfist golpe l pelot de modo que su lnzmiento lnz un longitud de 19 m. Si l distni del golfist l hoyo es de 150 m y l pelot qued un distni de 40 m del hoyo, lul el ángulo que form l líne de unión del golfist on el hoyo y l direión del lnzmiento. plindo el teorem del oo: 40 19 150 19 150 os El ángulo que form l direión del tiro y l visul entre el golfist y el hoyo es 14,06. Dos oservdores que se hlln en l ost 1 000 m de distni el uno del otro ontempln un pltform petrolífer situd mr dentro. mos dirigen sus respetivs visules l pltform y miden el ángulo que formn ests on l líne imginri que los une. Si estos ángulos vlen 63 y 83, uál es l distni que sepr l pltform de l ost? 1 000 1 774,96 m 83 se n 34 h 63 h 1 581,5 m 177 4,96 L distni de l pltform tierr es de 1 581,5 m, proimdmente. 45 km 58 Trigonometrí y números omplejos
63 Los puentes levdizos de l figur tienen l mism longitud. undo están elevdos 33, qué distni sepr los ) Relizmos el siguiente diujo: puntos X e Y? 77 X Y 68 3 m 64 33 33 18 m os 33 X/9 X 7,55 m 18 15,10,90 m L distni entre X e Y es,90 m, proimdmente. verigu el ángulo que formn dos fuerzs de 5 N y 31 N, uy resultnte es de 70 N. Relizmos el siguiente diujo: plindo el teorem del oo: 5 N 70 N 70 31 5 31 5 os 11 31 5 prtir de l figur y teniendo en uent este resultdo, se otiene que el ángulo que formn ls dos fuerz 31 N es su suplementrio, 67 8 35, proimdmente. 67 ) plindo el teorem del o, se otiene: 3 35 77 68 1,77m y,85 m ) Puesto que 1 m del mp son 500 m en l relidd, 883 m y 147,36 m. En el momento de mrr el último gol de lemni en l finl de l Euroop de Inglterr, ierhoff est situdo 5 metros de uno de los plos y 8 metros del otro, y veí l porterí jo un ángulo de 60. lul l distni del jugdor l líne de gol. Relizmos el siguiente diujo: 35 65 66 lejndro quiere olgr un lámpr un determind distni del teho de su hitión. Pr ello, oge un le, fij l lámpr y lo lv por sus etremos en dos puntos del teho que están seprdos 140 m. lejndro esoge estos puntos de modo que los ángulos entre el le y el teho son de 40 y 60 en d uno de los puntos de fijión. ) uál es l longitud del le? ) qué distni del teho quedrá l lámpr? ) Relizmos el siguiente diujo: 140 m 40 plindo el teorem del o: 140 ( 60 40 ) 14,49 se n 80 L longitud del le será, por tnto, 14,49 m 140 ) L lámpr estrá d 60 40 se n 80 79,136 m del teho. Hy que relizr un mp de un iert zon montños y, y son ls ims de tres montñs de l mism ltur. Ls ims y están ien determinds y repretds en el mp, mientrs que l situión de está por determinr. Suimos lo lto de l im y medimos el ángulo entre l líne y l líne, que result de 68. Suimos y el ángulo entre ls línes y es de 35. En el mp l distni entre y es de 3 m. ) Hz un digrm de l situión, notndo el ángulo que formn en ls línes y. ) Hll, sore el mp, l distni entre y y l distni entre y. ) Si l esl del mp es 1: 50 000, lul l distni entre ls ims de ls tres montñs. 80 60 68 5 m y 8 m en el diujo plindo el teorem del oo: os 5 8 5 8 os 60 49 7 L nhur de l porterí es, por tnto, 7 m. Entones: se n 7 8 60 se n 8 se n 60 7 d 5 d 5 5 8 se n 60 4,95 7 L distni del jugdor l porterí es de 4,95 m. Pr medir l ltur de un nue se hn heho dos oserviones simultánes desde los puntos y, mos situdos l nivel del mr y que distn entre sí 1 km. L inlinión de l visul desde l nue, respeto de l horizontl, es de 47. Los ángulos que formn ls visules desde y desde on l ret son, respetivmente, 38 y 53, tl omo se indi en l figur. verigu l ltur l que se enuentr situd dih nue on respeto del nivel del mr. 5 m 47 38 d 60 1 km 53 8 m Nue 4. Trigonometrí II 59
69 Se el ángulo el ángulo que form l nue on y. 180 (38 53 ) 89 on este dto podemos lulr el ldo : se n 100 0 53 s en 89 on este vlor podemos lulr l ltur de l nue, h: 47 h h 47 100 0 53 47 89 584,17 m Dos migos están d uno de ellos en l terrz de su s y oservn un ro. Quieren determinr qué distni se enuentr, y pr ello disponen d uno de un teodolito. Llmemos y los puntos en que se enuentrn sus respetivos teodolitos. Desde el punto miden un distni de 10 m un punto, 10 m, de mner que el triángulo es retángulo en. Desde el punto result que el ángulo de este triángulo es de 5,6. ) Qué distni hy entre los dos migos? ) lul qué distni está el ro de d uno de ellos si l ret que une on el ro form on l ret un ángulo de 75,5. Y si l ret que une on el ro form on l ret un ángulo de 81,6. ) Podemos ser, sin her álulos, quién está más er del ro? Por qué? Relizmos el siguiente diujo:,9 70 71 El iro h llegdo un iudd y hy que instlrlo. El espeilist que lo mont no h llegdo y los operrios no sen uánto le neesitn. Hy uno que reuerd que, un vez tensdo el le desde el etremo del plo prinipl hst un punto determindo del suelo, on el ul form un ángulo de 60, hen flt m más de le que si form on el suelo un ángulo de 70. En totl hn de olor 6 les tensdos formndo on el suelo un ángulo de 60 d uno de ellos. uántos metros de le neesitn? Relizmos el siguiente diujo: 70 110 Por el teorem del o: 3,51 m 60 se n 110 En totl, neesitn 6 (3,51 ) 153,071 m de le. Dos vís de ferrorril se ortn formndo un ángulo uyo vlor es de 0 16. Del rue slen l mismo tiempo dos loomotors, un por d ví. Un de ls loomotors v un veloidd de 100 km/h. qué veloidd dee irulr l otr pr que ls 3 hors estén seprds un distni de 150 km? Relizmos el siguiente diujo: 60 10 m 75,5 5,6 81,6 10 ) L distni entre y es: 101,99 m tg 5,6 ) prtir de l figur y, simplemente plindo el teorem del o, se otiene: 59,8 m y 53,75m, distni del ro y, respetivmente. ) Está más er de, porque el ángulo es más pequeño. 0 0 16 Plntemos el teorem del o: 150 300 43,851 136,149 0 16 115,883 3,584 Hy dos soluiones l situión: d 150 115,883 389,599 km 0 16 19,87 km/h proimdmente d 150 3, 584 173,55 km 0 16 57,75 km/h proimdmente 300 km 150 km 150 km 60 Trigonometrí y números omplejos