Apuntes: Matemátcas Fnanceras 1. Leccón 7 - Rentas - Valoracón (Contnuacón) 1.1. Valoracón de Rentas: Constantes y Dferdas 1.1.1. Renta Temporal y Pospagable En este caso, el orgen de la renta es un momento d dstnto al nstante 0, por lo que el dfermento se produce desde 0 hasta d. En d + 1 se produce el prmer pago y el últmo en d + n (gráfco 1). Fgura 1: Valor fnal renta dferda pospagable El valor actual, que se denota por d /a se obtene sumando los captales untaros en el momento 0. Otra forma de encontrar el valor, es a partr del valor de la renta en d y trasladarla a 0 (multplcando por (1 + ) d ): d/a = (1 + ) d a El valor fnal de la renta no se ve modfcado por el dfermento. S en vez de pagar una cantdad untara, en cada momento del tempo se paga una cuantía constante C, el valor actual se obtene como: V 0 = C d /a = C (1 + ) d a Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al fnal de cada año a partr del cuarto año y durante 10 años, s se utlza el tpo del 10 %. 1
1.1 Valoracón de Rentas: Constantes y Dferdas En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantías se abonan al fnal de cada año), de cuantía constante y con un dfermento de 4 años. Por lo tanto el valor actual de la renta se obtendrá a partr del valor de la renta en d para luego encontrar el valor en 0. El valor en d es: a 10 10 = 1 (1 + ) n = 1 (1 + 0,1) 10 0,1 = 6,1445 0: Ahora, a partr del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en 4/a 10 10 = (1 + ) d a 10 10 = (1 + 0,1) 4 6,1445 = 4,1968 Ahora, a partr de la renta untara, se obtene el valor de la renta de cuantía C multplcando por dcha cuantía: V 0 = C 4/a 10 10 = C (1+) d a 10 10 = 5000 4,1968 = 5000 (1+0,1) 4 6,1445 = 20984,11 1.1.2. Renta Perpetua y Pospagable En este caso los pagos no acaban en d + n sno que contnúan de forma ndefnda. El valor actual de dcha renta se puede calcular de tres formas dstntas: 1. A partr de la suma de todos los captales llevados al nstante 0: d/a = 1 (1+) (d+1) +1 (1+) (d+2) + = (1+) d [ (1 + ) 1 + (1 + ) 2 + ] El térmno del corchete es justamente la suma nfnta vsta en el caso de l renta perpetua, pospagable pero nmedata y cuya suma vale 1 y por lo tanto 2
Apuntes: Matemátcas Fnanceras d/a = (1 + ) d 2. Como límte de la renta temporal d/a = lím n (1 + ) d a = (1 + ) d 3. A partr del traslado de la renta permanente en el nstante d (a ) al nstante 0 ( d /a = (1 + ) d a ) Por últmo, s la renta no es untara sno que paga una cuantía constante C entonces el valor de la renta permanente es: V 0 = C d /a = C (1 + ) d Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al prncpo de cada año a partr del cuarto año y de forma ndefnda, s se utlza el tpo del 10 %. En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantías se abonan al prncpo de cada año), de cuantía constante y con un dfermento de 4 años. Además es una renta permanente ya que el pago de las cuantías se produce de forma ndefnda. Una de las formas para obtener el valor actual de la renta es valorar la renta ndefnda en el nstante d y valorarla después en 0. El valor de la renta permanente en d es: a 10 = 1 = 1 0,1 = 10 d: y ahora, multplcando por (1 + ) d se encuentra el valor de dcha renta en 3
1.1 Valoracón de Rentas: Constantes y Dferdas d/a 10 = (1 + 0,1) 4 1 0,1 = 0,6830 10 = 6,830 Y por últmo, se multplca por C para tener la renta de cuantía C = 5000: V 0 = 5000 d /a 10 = 5000 6,830 = 34150,67 1.1.3. Renta Temporal y Prepagable En este caso los captales se pagan al prncpo del perodo pero exstendo un dfermento entre 0 y el perodo d. Por lo tanto, el prmer pago se hace en d. Fgura 2: Valor fnal renta dferda prepagable El valor actual se puede obtener como la suma de todos los captales trasladados al sntante 0 o como el valor actual en 0 de la renta sn dfermento d/ä = (1 + ) d ä y fnalmente, a partr de la relacón entre la renta pospagable y prepagable 1 se obtene que d/ä = (1 + ) d+1 a 1 Como recordatoro ä = (1 + ) 1 a 4
Apuntes: Matemátcas Fnanceras S en vez de ser una renta untara, es una renta constante de cuantía C, entonces el valor actual es: V 0 = C d /ä = C (1 + ) d+1 a = C (1 + ) d+1 a Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al prncpo de cada año a partr del cuarto año y durante 10 años, s se utlza el tpo del 10 %. En este caso es una renta prepagable (ya que las cuantías se abonan al prncpo de cada año), de cuantía constante y con un dfermento de 4 años. Por lo tanto el valor actual de la renta se obtendrá a partr del valor de la renta en d para luego encontrar el valor en 0. El valor en d es: ä 10 10 = 1 (1 + ) n 1 (1 + 0,1) 10 = = 6,7590 1 (1 + ) 1 1 (1 + 0,1) 1 0: Ahora, a partr del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en 4/ä 10 10 = (1 + ) d ä 10 10 = (1 + 0,1) 4 6,7590 = 4,6165 Ahora, a partr de la renta untara, se obtene el valor de la renta de cuantía C multplcando por dcha cuantía: V 0 = C 4/ä 10 10 = C (1+) d ä 10 10 = C (1+0,1) 4 6,7590 = 5000 4,6165 = 23082,52 Tambén se puede resolver el ejercco a partr de la relacón entre la renta dferda pospagable y la renta dferda prepagable. Así, sabendo que: ä 10 10 = (1 + ) a 10 10 5
1.2 Valoracón de Rentas: Constantes y Antcpadas y susttuyendo en la expresón para la renta dferda y prepagable: 4/ä 10 10 = (1 + ) d (1 + ) a 10 10 = (1 + ) d+1 a 10 10 y como se ha vsto antes a 10 10 = 6,1445 por lo que 4/ä 10 10 = (1 + ) d+1 a 10 10 = (1 + 0,1) 4+1 6,1445 = 4,6165 Y, fnalmente multplcando por C se obtene la renta pedda en el ejercco: V 0 = 5000 4,6165 = 23082,52 1.1.4. Renta Perpetua y Prepagable De forma análoga a la renta pospagable, se obtene la renta permanente prepagable como: d/ä = (1 + ) d ä = (1 + ) d+1 y s la cuantía es constante: V 0 = C d /ä = C (1 + ) d ä = C (1 + ) d+1 1.2. Valoracón de Rentas: Constantes y Antcpadas En estos casos la renta fnalza en el perodo n pero se valora en un nstante posteror n + k por lo que la renta está antcpada k perodos en el momento de la valoracón. 6
Apuntes: Matemátcas Fnanceras El valor actual de dchas rentas no se ve afectado ya que en el momento 0 la renta es nmedata. Además no pueden exstr rentas perpetuas y antcpadas ya que dchas rentas no termnan nunca y por lo tanto no se pueden valorar en un nstante posteror al de su fnalzacón. El problema radca en encontrar el valor fnal, que dependerá de s la renta es pospagable o prepagable. 1.2.1. Renta pospagable Fgura 3: Valor fnal renta antcpada y pospagable formas: El valor fnal en este tpo de rentas se denota por k /S y se obtene de dos 1. trasladando todas las cuantías al nstante n + k. 2. trasladando el valor fnal de la renta en n (ya calculado en apartados anterores) y trasladar dcho valor a n + k multplcando por el factor de captalzacón (1 + ) k : k/s = (1 + ) k S S la renta es de cuantía constante C entonces el valor fnal será V n+k = C k/s = C (1 + ) k S 7
1.2 Valoracón de Rentas: Constantes y Antcpadas Valore un Bono que se compró hace 15 años, que paga unas cuantías anuales de 1000 euros al fnal de cada año durante 10 años s el tpo de nterés para su valoracón es el 8 %. Como el bono tene una duracón de 10 años y se valora 5 años después, se trata de una renta antcpada. Para su valoracón, se puede encontrar el valor del bono a los 10 años a través de la expresón para la valoracón de una renta pospagable y luego valorarla cnco años después. Así, el valor de la renta a los 10 años será: V 10 = C S 10 8 = 1000 (1 + 0,08)10 1 0,08 = 1000 14,4865 = 14486,56 Y, para encontrar el valor fnal del bono, se debe llevar el valor de la renta V 10 5 años adelante: V 10+5 = 1000 5/S 10 8 = 1000 (1 + 0,08) 5 S = 1000 1,4693 14,4865 = 21285,51 1.2.2. Renta prepagable En este caso, como los captales se pagan al prncpo del perodo, el últmo captal se paga en n 1. Fgura 4: Valor fnal renta antcpada y prepagable De nuevo, se puede valorar la renta sumando todos los captales una vez trasladados a n + k o trasladando el valor de la renta en n a n + k. En ese caso, y denotando el valor de la renta por k / S : 8
Apuntes: Matemátcas Fnanceras k/ S = (1 + ) k S y a partr de la relacón entre el valor fnal de una renta pospagable y prepagable 2 se obtene que: k/ S = (1 + ) k+1 S S la renta es de cuantía constante C entonces el valor fnal será V n+k = C k / S = C (1 + ) k S = (1 + ) k+1 S Valore un Bono que se compró hace 15 años, que paga unas cuantías anuales de 1000 euros al prncpo de cada año durante 10 años s el tpo de nterés para su valoracón es el 8 %. Como el bono tene una duracón de 10 años y se valora 5 años después, se trata de una renta antcpada. Para su valoracón, se puede encontrar el valor del bono a los 10 años a través de la expresón para la valoracón de una renta prepagable (ya que las cuantías se abonan al prncpo de cada año) y luego valorarla cnco años después. Además, se puede obtener el valor de la renta prepagable a partr de su expresón o a partr de la renta pospagable. Así, una vez obtendo S 10 0,08 en el apartado anteror, la renta prepagable se obtene como: S 10 0,08 = (1 + 0,08)S 10 0,08 = (1,08) 14,4865 = 15,6455 Así, el valor de la renta a los 10 años será: V 10 = 1000 S 10 8 = 1000 15,6455 = 1000 14,4865 = 15645,49 2 A modo de recordatoro S = (1 + ) S 9
1.3 Valoracón de Rentas: Rentas Fracconadas Y, para encontrar el valor fnal del bono, se debe llevar el valor de la renta V 10 5 años adelante: V 10+5 = 1000 5/ S 10 8 = 1000 (1+0,08) 5 S 10 0,08 = 1000 1,4693 15,6455 = 22988,35 1.3. Valoracón de Rentas: Rentas Fracconadas Se dce que una renta es fracconada cuando se dvde cada cuantía y cada perodo en m partes guales y en cada perodo de tempo de ampltud 1 m le corresponde un captal de cuantía C S m 3 1.3.1. Renta temporal y pospagable En cada perodo de tempo, la dstrbucón de los captales es déntca y por lo tanto se puede susttur por un captal equvalente a los m captales en cada perodo. De esta forma pasamos de una renta fracconada a una que no lo está. Fgura 5: Valor fnal renta fracconada S pensamos en la renta untara, en cada perodo hay m cuantías y por tanto al fnal del perodo se puede encontrar el valor fnal de la renta compuesta de las m cuantías que será S m m es decr, el valor fnal de una renta pospagable con m 3 Es mportante tener claro las relacones entre los tantos efectvo (), tantos nomnal de frecuenca m ( ) y rédto asocdado a subperodos de ampltud 1 m. Dcha relacón es 1 + = (1 + m) m = ( 1 + m ) m 10
Apuntes: Matemátcas Fnanceras perodos y con un tpo en cada perodo de m. Como la cuantía no es untara sno que toma el valor 1 m entonces el valor fnal de la renta en cada perodo es: 1 m S m m Por otro lado, utlzando la expresón para el valor fnal de una renta pospagable se obtene que: S m m = (1 + m) m 1 m y tenendo en cuenta la relacón de los tpos anuales y el rédto de frecuenca m, = (1 + m ) m 1 y m = m se obtene que: 1 m S m m = 1 m (1 + m) m 1 m = De tal forma que en cada perodo el captal que se abona es y por lo tanto, utlzando la valoracón de las rentas pospagables no fracconadas se obtene el valor de las fracconadas, que se denotan por a (m) la cuantía anual C = : y S (m) smplemente multplcando por a (m) = a S (m) = S Sendo el operador que no lo está. el que permte pasar de una renta fracconada a una S la renta es constante, en cada momento 1 el captal es C. El valor de las m m m cuantías al fnal del perodo se obtenen como: C m S m m = C m (1 + m) m 1 = C m m = C m 11
1.3 Valoracón de Rentas: Rentas Fracconadas y por lo tanto los valores actual fnal son V (m) 0 = C a (m) = C a V (m) n = C S (m) = C S Obtener el valor actual de una renta fracconada de cuantías trmestrales pospagables sabendo que se valora a un tanto efectvo anual del 12 %. Para encontrar tanto el valor actual como el fnal es necesaro encontrar prevamente el tanto nomnal de frecuenca 4, que en ese caso toma el valor j 4 = 4 (1,12 1 4 1) = 0,1149 Posterormente se encuentra el valor actual de la renta fracconada untara: a (4) 10 12 = a Para lo cual hace falta calcular la renta pospagable no fracconada: a = 1 (1 + ) n = 1 (1 + 0,12) 10 0,12 = 5,6502 Y susttuyendo en la expresón de la renta fracconada se obtene que: a (4) 10 12 = a = 0,12 5,6502 = 5,9010 0,1149 Exste otra forma de valorar las rentas fracconadas. Este segundo método consste en valorarlas como no fracconadas pero tomando como medda del tempo 12
Apuntes: Matemátcas Fnanceras un emésmo perodo (pensar en meses, trmestres, etc). En ese caso, el número de perodos consste en el número de años multplcado por el número de perodos al año n m, el tpo de nterés será el rédto de frecuenca m y la cuantía será C. Así, m se obtenen los valores actuales y fnales de una renta de n m como: V 0 = C m a n m m y V n = C m S n m m cumple que: lógcamente, la valoracón de las rentas debe ser la msma, por lo que se C a (m) = C m a n m m Obtener el valor actual de una renta fracconada de cuantías trmestrales pospagables durante 10 años, sabendo que se valora a un tanto efectvo anual del 12 %. En este caso se encontrará el valor actual de la renta fracconada como s no fuera fracconada. Para ello será necesaro encontrar el rédto trmestral. Para encontrar el rédto mensual se puede partr del tanto nomnal de frecuenca trmestral obtendo anterormente: j 4 = 4 (1,12 1 4 1) = 0,1149 4 = j 4 4 = 0,1149 = 0,0288 4 13
1.3 Valoracón de Rentas: Rentas Fracconadas la renta es Ahora, sabendo que el número de perodos es n m = 10 4 = 40, el valor de 1 m a n m m = 1 4 [ ] 1 (1 + m ) (n+m) = 1 [ ] 1 (1 + 0,0288) 40 4 = 5,90 0,0288 m 1.3.2. Renta perpetua y pospagable temporal, así: El valor actual de la renta perpetua se puede obtener como límte de la renta a (m) = lím n a(m) = lím a = lím a = 1 n n y por lo tanto y s la cuantía es constante C: a (m) = 1 V (m) 0 = C a (m) = C Obtener el valor actual de una renta fracconada de cuantías trmestrales perpetuas y pospagables sabendo que se valora a un tanto efectvo anual del 12 %. forma Como se ha vsto anterormente el valor actual de la renta perpetua toma la a (m) = 1 14
Apuntes: Matemátcas Fnanceras donde, para su valoracón, se necesta. Como hemos vsto en el apartado anteror, j 4 = 4 (1,12 1 4 1) = 0,1149 y por lo tanto: a (4) 12 = 1 0,1149 = 8,7032 1.3.3. Renta temporal y prepagable De nuevo, para cada perodo se construye una renta equvalente no fracconada y pospagable desplazando todas las cuantías 1 m multplcándolas por (1 + ) 1 m fracconada es: un perodo a la derecha = 1 + m y así la cuantía de la renta pospagable y no (1 + ) 1 m 1 m y los valores actuales y fnales se obtenen a partr de la valoracón de la renta temporal pospagable no fracconada: ä (m) = (1 + ) 1 (m) m a = (1 + ) 1 m a S (m) = (1 + ) 1 (m) m S = (1 + ) 1 m S De nuevo, es mportante observar que el operador que permte pasar de una renta prepagable y fracconada a una renta pospagable y fracconada es (1 +) frac1m fnal son: Cuando la cuantía es constante, C m en cada subperodo, los valores actual y V (m) 0 = C ä (m) V n (m) (m) = C S 15
1.3 Valoracón de Rentas: Rentas Fracconadas Obtener el valor actual de una renta fracconada de cuantías mensuales prepagables, de duracón 10 años, sabendo que se valora a un tanto efectvo anual del 12 %. Para encontrar el valor de la renta fracconada prepagable se necesta el valor de la renta no fracconada y pospagable. Así, en prmer lugar se obtene a = 1 (1 + ) n = 1 (1 + 0,12) 10 0,12 = 5,6502 Para encontrar la renta fracconada pospagable se multplca la cantdad anteror por, por lo que, prevamente, se debe encontrar j 12 : j 12 = 12 (1,12 1 12 1) = 0,1139 Ahora, la renta fracconada pospagable es: a (m) = a = 0,12 5,6502 = 5,9546 0,1139 Y por últmo, la renta prepagable se encuentra a partr de la pospagable a multplcando por (1 + ) 1 m : ä (m) = (1 + ) 1 m a (m) = (1 + 0,12) 1 12 5,9546 = 1,009 5,9546 = 6,0111 1.3.4. Renta perpetua y prepagable tanto: De nuevo, la renta perpetua se obtene como límte de la temporal. Por lo ä (m) = lím S (m) = (1 + ) 1 m lím a = n n 16 (1 + ) 1 m
Apuntes: Matemátcas Fnanceras y s la cuantía es constante V (m) 0 = C ä (m) = C (1 + ) 1 m 1.3.5. Rentas Fracconadas, Dferdas y Antcpadas Para valorar las rentas fracconadas dferdas, se obtene el valor de la renta sn tener en cuenta el dfermento y luego se aplca el operador para las rentas dferdas, (1 + ) d. De la msma forma, s se quere valorar una renta fracconada antcpada, se valora la renta sn tener en cuenta los años antcpados y luego se aplca el operador de las rentas antcpadas, (1 + ) k. Obtener el valor actual de una renta fracconada de cuantías mensuales prepagables, dferda 3 años, sabendo que se valora a un tanto efectvo anual del 12 %. En el ejemplo anteror se ha calculado la renta anteror para el caso en el que no hay dfermento: ä (m) = (1 + ) 1 m a (m) = 6,0111 Para encontrar la renta dferda, tan solo hay que multplcar por (1 + ) d d/ä (m) = (1 + ) d ä (m) y en este ejercco 3/ä (m) = (1 + ) 3 6,0111 = 0,7118 6,0111 = 4,2786 17