Capítulo 5 Ecuacones y Teoremas de la Elastcdad. partr de las ecuacones báscas de la Teoría de la Elastcdad, presentadas en los tres capítulos anterores, se dervan un conjunto de ecuacones y teoremas de gran utldad a la hora de abordar la resolucón de un problema dado, o que son el fundamento de certas estrategas o métodos generales de resolucón. En este capítulo se presentan algunas de estas ecuacones y teoremas. 5.1.- Ecuacones de Naver. Estas ecuacones fueron desarrolladas por Lous Naver en la década de 180. La dea fundamental que se persgue es evtar la complcacón asocada al manejo de magntudes de varos tpos (deformacones, tensones, desplazamentos), formulando un conjunto de ecuacones que contengan solamente a los desplazamentos, y cuya solucón sea la solucón del problema elástco. La eleccón de los desplazamentos como varables báscas del problema obedece a que conocdos éstos, la obtencón de los campos de deformacones y tensones requere smples dervacones y operacones algebracas ordnaras. Para consegur tales ecuacones, partmos de las ecuacones de equlbro (.13), las de compatbldad deformacón-desplazamento (3.11), y de la ley de comportamento lneal sótropa (4.40), que reproducmos por comoddad: σ X = 0 ; ε = ( u u ) / ; σ = λε δ Gε j, j j, j j, j kk j j Es posble poner en la tercera ecuacón las deformacones en funcón de los desplazamentos (usando la segunda ecuacón). Obtenemos así la tensón en funcón de los desplazamentos. Después llevamos la tensón a la prmera ecuacón, realzando la dervacón que ésta ndca. Segudamente se detalla este sencllo proceso: σ = λu δ G( u u ) σ = λu δ G( u u ) = ( λ G) u Gu j k, k j, j j, j, j k, kj j, jj j, j j, j, jj ( λ G) u j, j Gu, jj X = 0 (5.1) Conocemos como Ecuacones de Naver a las tres ecuacones anterores (=1,,3). El procedmento segudo por Naver para su obtencón no fue el presentado aquí, dado que la mecánca de medos contnuos no contaba en la época con la populardad que tene hoy día. Las msmas fueron obtendas a partr de un modelo de sóldo consstente en partículas conectadas entre sí. Incalmente Naver propuso unas ecuacones con una sola constante elástca para el materal sótropo (eran, por lo tanto, ncorrectas). Fue un
5. ECUCIONES Y TEOREMS amplo perodo de dscusón de los nvestgadores más relevantes del momento el que condujo a la forma (5.1) de estas ecuacones. Las msmas admten ser expresadas en funcón de operadores usuales en teoría vectoral de campos, lo que resulta cómodo s se han de expresar en otros sstemas de coordenadas no cartesanos: (λg) grad dv (u) G (u) X =0 Es nmedato aprecar que s un campo de desplazamentos satsface las ecuacones de Naver y todas las condcones de contorno de un problema, entonces ese campo de desplazamentos es solucón de nuestro problema elástco. En efecto, las tensones que dervan de ese campo de desplazamentos cumplrá las ecuacones de equlbro nterno (dado que las ecuacones de Naver son en realdad estas ecuacones de equlbro expresadas en funcón de los desplazamentos), y las demás ecuacones del modelo matemátco se satsfacen por propa defncón: el campo de deformacones es aquel que derva de los desplazamentos medante (3.11), y las tensones son las que se obtenen medante (4.40) con las msmas constantes elástcas empleadas en (5.1). Nocones sobre la búsqueda de solucón para las ecuacones de Naver Cuando se pretende ntegrar las ecuacones de Naver, un paso prevo es expresar las condcones de contorno en tensones en funcón de los desplazamentos, para poder mponerlas en estas varables. Su expresón es: X = σ n = ( λeδ Gε ) n = λu δ G( u u ) n j j j j j k, k j, j j, j En prncpo, es posble ntegrar (analítcamente o medante métodos aproxmados) las ecuacones de Naver en un problema dado, y ajustar las constantes de ntegracón medante las condcones de contorno en tensones anterores, y las condcones de contorno en desplazamentos. Estas últmas se mponen de manera más senclla, ya que los desplazamentos son precsamente las varables en las que están planteadas las ecuacones. Segudamente presentamos algunas breves nocones acerca de la obtencón de solucones por métodos analítcos. S las fuerzas de volumen son constantes, X =cte, la ecuacón de Naver permte observar algunas partculardades de la solucón. Dervando cada ecuacón (5.1) respecto de la coordenada x respectva y sumándolas, se tene: ( λ G) u Gu X = 0 ( λ G) G u = 0 u = e = 0 j, j, jj, j, j j, j Es decr, que s las fuerzas de volumen son constantes, la dlatacón "e" es una funcón armónca. Tenendo en cuenta este resultado, s aplcamos a cada ecuacón (5.1) por separado obtenemos nmedatamente que ( u ) = 4 u =0, propedad que enuncamos como: "s las fuerzas de volumen son constantes, cada componente de desplazamento es una funcón barmónca". De esta propedad se deduce obvamente que cada componente de deformacón y cada componente de tensón será tambén barmónca en el caso de fuerzas de volumen constantes. Esta propedad ofrece para
ECUCIONES Y TEOREMS 5.3 estos casos una orentacón acerca de qué tpo de solucones plantear o ensayar para las ecuacones de Naver. En la búsqueda de solucones analítcas de la ecuacón de Naver se utlzan técncas matemátcas complementaras, tales como el planteamento de funcones potencales de desplazamento. Estas técncas están basadas en la propedad de que cualquer campo vectoral analítco (u en nuestro caso) puede expresarse como el gradente de un certo campo escalar φ más el rotaconal de un certo campo vectoral Ψ (teorema de Helmholtz): u = grad φ rot Ψ, o ben u = e Ψ φ, jk k, j Puede demostrarse que exsten las funcones φ y ψ anterores asocadas al campo analítco u bajo la condcón adconal dv ψ =0. Llamamos entonces a φ y ψ respectvamente potencal escalar y potencal vector. La dlatacón se expresa en funcón de los potencales como: e = u, = φ, ejkψ k, j. El últmo térmno es nulo ya que expresa la dvergenca de un rotaconal. Por tanto se tene e= φ. En el caso de fuerzas de volumen nulas, X=0, al que nos referremos en lo sucesvo, las ecuacones de Naver quedan: ( λ G)( φ) G( φ) Ge ( Ψ ) = 0,, jk k, j La ecuacón anteror se satsface s φ = e = cte, Ψ = cte (aunque no se trate de una solucón general). Cuando se espere de antemano que la dlatacón sea constante en el sóldo, es natural ntentar encontrar la solucón bajo estas condcones. nalcemos el caso aún más partcular en el que el campo de desplazamentos derve úncamente del potencal escalar: Gu = φ, l potencal escalar φ así defndo se le llama potencal de Lamé. La constante G se ncluye por razones hstórcas. La dlatacón asocada a este campo se obtene por dervacón: Gu, = Ge = φ, (=cte, para satsfacer (5.1)) Las deformacones y tensones dadas por este potencal son, respectvamente: ε = 1 λ j φ, j σ φ kk δ j φ j G =, G j, S la dlatacón es nula, e = 0 φ = 0 (caso de materal ncompresble), entonces los campos de deformacones y tensones asocados al potencal de Lamé son: ε = 1 φ, σ φ G = j, j j j
5.4 ECUCIONES Y TEOREMS El potencal de Lamé da solucón, entre otros, a problemas del tpo esfera macza o hueca con presón exteror (e nteror en su caso), y tambén bajo otras condcones de contorno sencllas. El procedmento suele basarse en plantear la funcón potencal φ como suma de varas funcones, una del tpo =cte (típcamente Cr ), que produce la aportacón constante no nula a la dlatacón, más otras del tpo armónco =0, de las que se conoce una ampla varedad. Por ejemplo, las sguentes son funcones armóncas: D: x xy y r cos( nθ) ln( r) 3D: θ n x, y, coordenadas cartesanas r = x y ; θ = atg(y / x),, constantes arbtraras n, número entero / R (R = x y z ) ln(r z) (x,y,z coordenadas cartesanas) ln (r (z ) z )(r (z ) z ) r Pueden plantearse tambén otras funcones polnómcas armóncas, del tpo a la prmera de las anterores, lo que da solucón a algunos problemas en coordenadas cartesanas. El resto de las funcones bdmensonales anterores resuelven algunos problemas relatvos a sóldos crculares. La prmera de las trdmensonales resuelve específcamente problemas de esferas con solctacones smétrcas respecto de todos los planos que pasan por su centro. Las dos últmas resuelven algunos problemas de sóldos con geometría de revolucón entorno al eje z. Pese a lo atractvo de su sencllez, resulta claro que el potencal de Lamé no es lo bastante general para representar cualquer campo dado de desplazamentos u, ya que en general éste no podrá ser expresado en funcón del potencal escalar solamente. Exsten otros enfoques más generales de solucón basados en potencales. Entre ellos merece especal mencón la técnca del "ector de Galerkn", que consste en expresar el potencal vector Ψ como rotaconal de otro campo vectoral. Esta técnca ha permtdo encontrar la solucón de muchos problemas cláscos de la elastcdad, notablemente los relaconados con cargas concentradas en el sóldo nfnto o sem-nfnto (un semespaco lmtado por un plano). Los detalles de esta y otras técncas de partcular nterés para problemas trdmensonales no serán presentados aquí, remténdose al lector nteresado a bblografía más especalzada (por ejemplo el texto de J.R. arber, capítulos 15 y 16). 5..- Ecuacones de eltram y Mchell. En ocasones es posble obtener la solucón de tensones del problema sn llegar a obtener los desplazamentos. Cuando se da esta posbldad suele ser ventajoso hacer uso de ella, ya que la obtencón de las tensones mplca un orden menos de ntegracón
ECUCIONES Y TEOREMS 5.5 que la obtencón de los desplazamentos. Es especalmente razonable pensar en un enfoque en tensones cuando todas las tensones del contorno sean conocdas, aunque puede aplcarse en otras stuacones. Puesto que en prncpo no tenemos ntencón de calcular el campo de desplazamentos, hemos de asegurarnos de que el campo de tensones tenga asocado un campo de desplazamentos físcamente posble. Para ello mponemos el cumplmento de las ecuacones de ntegrabldad (3.3): ε ε ε ε = 0 j, kl kl, j l, kj kj, l Que expresamos en funcón de las tensones a través de la ley de comportamento en su forma (4.5): [ ] ν σ, σ, σ, σ, = ν σ, δ σ, δ σ, δ σ, 1 δ j kl kl j l kj kj l pp kl j pp j kl pp kj l pp l kj Recordemos que solo hay 6 ecuacones ndependentes de ntegrabldad, por tanto solo 6 de las 81 aparentes ecuacones anterores serán ndependentes. Realzamos una combnacón lneal con estas 81 ecuacones, consstente en hacer guales los subíndces "" y "l", con el sumatoro que ello conlleva. De esta manera obtenemos un conjunto de 9 ecuacones (subíndces lbres j y k). Más tarde comprobaremos que 6 de estas 9 ecuacones son ndependentes, lo que ndca que no se perde nformacón al realzar esta combnacón lneal: [ ] ν σj, k σ k, j σ, kj σ kj, = ν σ pp, k δ j σ pp, j δ k σ pp, kj δ 1 σ pp, δ kj = ν = [ ] ν σ pp, kj σ pp, kj 3 σ pp, kj σ pp, δ kj 1 Utlzamos la ecuacón de equlbro en el domno para transformar los dos prmeros térmnos de la ecuacón anteror: σ X = 0 σ = X ; σ = X j, j j, k j, k k, j k, j Por tanto: 1 ( X X ) = 1 ν σ σ ν 1 ν σ j, k k, j pp, kj kj, pp, kj δ Hay que notar que esta transformacón de algunos térmnos utlzando las ecuacones de equlbro no supone que la eventual aplcacón de la ecuacón anteror lleve mplícta la mposcón de las propas ecuacones de equlbro. Lo que sí es certo es que la anteror es una forma válda de las ecuacones de ntegrabldad solo cuando se cumplen la ecuacones de equlbro. Pero s deseamos mponer las propas ecuacones de equlbro (lo que en general necestaremos), tendremos que hacerlo separadamente. Como operacón fnal, podemos calcular el valor de σ pp, (últmo térmno de la ecuacón anteror) hacendo k=j en la propa ecuacón anteror:
5.6 ECUCIONES Y TEOREMS 1 ν ν 1 ν X = σ σ σ 3 = σ σ = X 1 ν 1 ν 1 ν 1 ν k,k pp,kk kk, pp, pp,kk pp,kk, Con lo que tenemos: σ 1 ν σ = ( X X ) X δ 1 1 νν (5.) kj,, kj j, k k, j, kj Las anterores son las ecuacones de ntegrabldad expresadas en funcón de las tensones cuando se cumplen las ecuacones de equlbro. Se conocen como ecuacones de Mchell y eltram. Cabe nsstr en el hecho de que un campo de desplazamentos que ensayemos como solucón de un problema, puede satsfacer estas ecuacones sn satsfacer las de equlbro. En forma desarrollada, las ses ecuacones ndependentes contendas en la expresón (5.) son: 1 σ11 ( 11 33 11 = 1 1 1 1 3 3 1 ν σ σ σ ), X, ( X, X, X, ) 1 νν 1 σ ( 11 33 = 1 1 3 3 1 ν σ σ σ ), X, ( X, X, X, ) 1 νν 1 σ33 ( 11 33 33 = 3 3 1 1 3 3 1 ν σ σ σ ), X, ( X, X, X, ) 1 νν 1 σ1 ( 11 33 1 = 1 1 1 ν σ σ σ ), ( X, X, ) 1 σ13 ( 11 33), 13 = ( 1, 3 3, 1) 1 ν σ σ σ X X 1 σ3 ( 11 33), 3 = (, 3 3, ) 1 ν σ σ σ X X En el caso en que las fuerzas de volumen sean constantes, X = cte, los membros derechos se anulan, resultando: σ 1 ν σ kj = 0 1 kj,, (5.3) S a partr de las ecuacones de eltram-mchell y de las ecuacones de equlbro se consgue calcular el campo de tensones, puede procederse al cálculo de desplazamentos aplcando lo expuesto en el epígrafe 3.6 acerca de la obtencón del campo de desplazamentos a partr del de deformacones. Contraejemplo a la sufcenca de las ecuacones de eltram-mchell Hemos nsstdo en el hecho de que un campo de desplazamentos que ensayemos como solucón de un problema, puede satsfacer las ecuacones de eltram-mchell sn satsfacer las de equlbro. Ello puede sorprender en un prncpo, dado que las ecuacones de equlbro fueron utlzadas en su obtencón.
ECUCIONES Y TEOREMS 5.7 X X = x 1 = x 1 x Solucón ensayada: x 1 σ 11 =0 σ =0 σ 1 =-x Fgura 5.1.- Problema y tensones en el contorno de la solucón ensayada. S las aclaracones presentadas en su momento no nfunden aún sufcente segurdad en el lector, puede consderarse el sguente contraejemplo: Sea un sóldo bdmensonal cuadrado como ndca la fgura 5.1, sometdo a las fuerzas de volumen X 1 = x ; X = x 1. sumendo σ 33 =0, y que las dervadas respecto de x 3 son nulas, las ecuacones sgnfcatvas en (5.) son las sguentes: 1 σ11 11 11 = 0 1 ν σ σ ν 1 ( ), 11 11 11 11 = 0 1 ν σ σ 1 ν σ,,, 1 σ ( 11 = 0 1 ν σ σ ν 1 ), 11 11 = 0 1 ν σ σ 1 ν σ,,, 1 σ1 ( 11 1 = 1 ν σ σ 1 ), σ1 11 σ1 11 1 = 1 ν σ σ,, ( ), Como campo de tensones elegmos ensayar σ 11 = σ = 0; σ 1 = -x 1, que cumple las ecuacones anterores. Pero es fácl comprobar que no satsfacen las de equlbro: X = σ σ x = x 1 11, 1 1, X = σ σ x = 0 0 = 0 1, 1, 1 (Falso!) (Falso!) Lo que muestra que efectvamente un campo de tensones que propongamos puede satsfacer las ecuacones de eltram-mchell sn ser la solucón de nuestro problema, ya que puede no satsfacer las de equlbro. Notemos de paso que la no satsfaccón de las ecuacones de equlbro nterno mplca en general el no equlbro del conjunto del sóldo. sí, en este caso las fuerzas de volumen son un sstema autoequlbrado en la placa, por lo que las fuerzas de contorno tambén tendrían que serlo para que la msma estuvera en equlbro. Puede comprobarse que lo anteror no se da en la solucón de tensones ensayada: las fuerzas de contorno tenen resultante nula pero su momento respecto de un punto no lo es (ver segunda fgura 5.1). 5.3.- Teorema de uncdad de solucón del problema elástco lneal. La experenca físca común ndca que en general exste una relacón causa - efecto unívoca en los fenómenos naturales. En partcular esperamos que cada vez que aplquemos determnada accón sobre un sóldo, éste adopte la msma confguracón deformada. En prncpo, demos por válda esa aprecacón de la realdad, al menos mentras no ocurran fenómenos especales, como deformacones no elástcas en el materal, o nestabldad. dmtda esta relacón unívoca entre causa y efecto en el fenómeno físco, nos preguntamos s tambén exste el msmo tpo de relacón en el
5.8 ECUCIONES Y TEOREMS modelo matemátco que hemos desarrollado. Es decr, deseamos saber s a un conjunto de solctacones partcular de un sóldo le corresponde una confguracón deformada únca en el modelo matemátco. La cuestón planteada es, por tanto, la de uncdad de solucón del problema elástco. ntes de presentar el teorema que nos ocupa, convene tener notca de la mportanca y el alcance de la cuestón planteada: En elastcdad es habtual emplear métodos de resolucón de tpo nverso, que conssten báscamente en ensayar una solucón y comprobar a posteror que la msma cumple las ecuacones del modelo matemátco (ajustando en su caso algunos parámetros). Este tpo de procedmentos carecería de fundamento s no estuvera asegurado que la solucón del problema es únca. La demostracón de uncdad de solucón del problema elástco bajo certas condcones, que se consderan las condcones que debe cumplr un problema para estar planteado correctamente, es debda a Krchoff. Dcha demostracón se presenta a contnuacón. Sea un sóldo cuyo contorno exteror es S. En una parte del contorno, S u, están prescrtos los desplazamentos y se desconocen las tensones, y en otra parte del contorno, S σ, están prescrtas las tensones y se desconocen los desplazamentos. En nngún punto del contorno se prescrbe smultáneamente la tensón y el desplazamento, por lo que las porcones S u y S σ no tenen nterseccón, y además S u y S σ cubren por completo la superfce S del sóldo. Un ejemplo de estas condcones se muestra en la fgura 5.. Nótese que la ausenca de actuacón exteror sobre un punto del contorno supone en realdad prescrbr tensón nula en ese punto, por lo que el msmo pertenecerá a S σ. Se supone además que las restrccones al desplazamento son por lo menos sufcentes para evtar la ndetermnacón asocada a movmentos como sóldo rígdo. S σ S u En S u = * u u (funcones dadas) * En S X = X (funcones dadas) σ S S = S u σ Fgura 5..- Ejemplo de condcones para el teorema de uncdad de Krchoff El teorema establece que bajo las condcones anterores, y s exste la funcón de densdad de energía de deformacón, y ésta es defnda postva, entonces la solucón de desplazamentos es únca (y por lo tanto tambén lo son los campos de deformacones y de tensones). Exsten argumentos termodnámcos que ndcan que la funcón de densdad de energía de deformacón, W, debe ser defnda postva en condcones más generales. Nosotros smplemente comprobaremos que efectvamente lo es para el caso lneal elástco sótropo de nuestro nterés. De (4.59) tenemos:
ECUCIONES Y TEOREMS 5.9 1 1 1 W = σjε j = ( λeδj Gε j ) εj = λe Gεjε j 0 Que nunca es negatva por ser una suma de térmnos de deformacón al cuadrado, y que sólo puede ser cero s todas las componentes de deformacón son nulas (estas condcones defnen a una funcón como "defnda postva"). Realzada la comprobacón anteror, vamos a demostrar el teorema. Supongamos que bajo unas msmas condcones de contorno exsten dos solucones de desplazamento, que llamaremos u' y u''. Cada una tendrá asocado un campo de deformacones y de tensones. Como suponemos que ambas son solucones váldas, ambos campos de tensones cumplrán las ecuacones de equlbro:, j j, Hooke * u' ε' σ' ( σ' X = 0) ( u u )/ j j j, j, j j, Hooke * u'' ε'' σ'' ( σ'' X = 0) ( u u )/ j j j, j Sendo X * la fuerza de volumen, dato del problema. Consderemos un nuevo campo de desplazamentos u, obtendo como dferenca de los dos anterores. Como todas las relacones son lneales, las deformacones y tensones asocadas a este nuevo campo tambén se obtenen por dferenca: Dervando la últma gualdad tenemos: u = u' u'' ; ε = ε' ε'' ; σ = σ' -σ'' j j j j j j * * σ = σ' - σ'' = X X = 0 j, j j, j j, j Multplcando σ j,j por u e ntegrando en el volumen se tene: S S σ u d = 0 = ( σ u ), d σ u d = σ u n ds σ ε d = j, j j j j, j S j j j j = X u ds Wd X u ds = Wd En donde X es el vector tensón en el contorno asocado a la solucón dferenca. La ntegral de contorno se anula porque en una parte de ese contorno (S u ) se anula u (nótese que esto sucede aunque los desplazamentos prescrtos u no sean nulos, ya que se trata del campo de desplazamentos dferenca), y en el resto del contorno (S σ ) se anula la tensón en el contorno (ya que en las zonas de tensón prescrta es * * X = X X = 0). Por lo tanto: Xu ds = Wd = 0 (5.4) S Como W es una funcón defnda postva, lo anteror mplca que la deformacón ε j asocada al campo u debe ser nula en todos los puntos del sóldo. Sabemos que el únco campo de movmentos posble con estas característcas corresponde a un movmento
5.10 ECUCIONES Y TEOREMS como sóldo rígdo. Pero tal movmento no es posble, dado que en S u el campo u tene desplazamentos prescrtos nulos (y según nuestras premsas, en cantdad sufcente para mpedr movmentos arbtraros como sóldo rígdo). Por tanto es u =0, como únca posbldad de movmento con deformacón nula y además movmento nulo de un número sufcente de puntos del contorno. De esta conclusón se sgue nmedatamente que las dos solucones dstntas supuestas ncalmente, deben en realdad concdr: u = u' u'' = 0 u' = u'' El hecho de que s exstesen dos solucones dstntas las msmas concdrían, es equvalente a enuncar que, tal como ha sdo planteado, la solucón del problema elástco es únca, como queríamos demostrar. Evdentemente, la gualdad del campo de desplazamentos mplca la de los campos de deformacones y de tensones. mplacón de las condcones para el teorema de uncdad. Desde el punto de vsta de su aplcacón, el aspecto más nteresante a recordar del teorema de uncdad es sn duda el conjunto de premsas del teorema, que como se ha demostrado son condcones sufcentes para que el problema elástco tenga solucón únca. Mostraremos que dchas premsas no son todas estrctamente necesaras: la premsa de que en cada punto del contorno esté prescrto el vector tensón o ben el vector desplazamento puede amplarse lgeramente, para recoger algunos tpos usuales de condcones de contorno. En efecto, observamos que esta premsa ha servdo úncamente para asegurar que la ntegral de contorno de (5.4) se anule. Pero esta ntegral se anula gualmente s en puntos del contorno está prescrta la tensón según una dreccón y el desplazamento según la dreccón perpendcular (nótese que el ntegrando tene la forma de un producto escalar). Esto permte nclur entre las condcones de contorno aceptables las asocadas a "apoyos móvles", que permten el movmento solamente según una dreccón (usualmente tangente al contorno S). En el epígrafe 5.9 de este capítulo se detallarán esta y otras condcones de apoyo. 5.4.- Planteamento ntegral de las ecuacones de equlbro: Prncpo de los Desplazamentos rtuales (PD). En este epígrafe y en los tres sguentes estudaremos un conjunto de prncpos y teoremas formulados de forma ntegral, en oposcón al enfoque drecto sobre las ecuacones dferencales aportado por las ecuacones de Naver y las de eltram- Mchell. Estas formulacones ntegrales pueden consderarse la base de los potentes métodos de resolucón que han progresado enormemente con la crecente capacdad de cálculo de los ordenadores. Por ejemplo, el PD que estudamos en este epígrafe está en la base del popular Método de los Elementos Fntos, así como del cálculo matrcal de estructuras.
ECUCIONES Y TEOREMS 5.11 Sea σ j un campo de tensones cualquera en un sóldo, que llamaremos "campo real" de tensones. Sea un campo cualquera de desplazamentos, unvaluado y tres veces dervable, cuyas deformacones asocadas son ε j, y que llamaremos "campo vrtual" de desplazamentos. Nótese que no se requere que el campo vrtual guarde nnguna relacón con el campo real. ajo estas condcones, el enuncado del PD es el sguente: El cumplmento para cualquer campo vrtual de la ecuacón ntegral sguente: j j σ ε d = X d X S ds (5.5) Es condcón necesara y sufcente para que el campo real de tensones satsfaga la ecuacón de equlbro en el domno con X (σ j, j X = 0 en ), y la ecuacón de equlbro en el contorno con X (X = σ n en S). j j Como es habtual, es el domno ocupado por el sóldo, y S su contorno. Demostraremos en prmer lugar que la ecuacón ntegral es una condcón necesara para que el conjunto de magntudes "reales" esté en equlbro. Es decr, partmos de que se satsface el equlbro y llegaremos a que debe cumplrse la ecuacón (5.5). Tomamos la ecuacón de equlbro en el domno, σ j,j X =0, la multplcamos por e ntegramos en el sóldo: σ d X d = 0 ( σ ), d σ d X d = 0 j, j j j j, j Hemos ntegrado por partes la ntegral de volumen. Medante el teorema de la dvergenca transformamos la prmera ntegral de la últma gualdad en una ntegral de contorno. El ntegrando de la segunda ntegral puede transformarse tenendo en cuenta que,j =ε j ω j (tensores deformacón y rotacón asocados al campo vrtual), y por tanto σ j,j = σ j ε j, puesto que el producto σ j ω j es sempre nulo (tensor smétrco por tensor antsmétrco). Con esto tenemos: σ n d σ ε d X d = 0 S j j j j Podemos utlzar la relacón σ j n j = X en la prmera de las ntegrales anterores, dado que en este sentdo de la demostracón se asume el equlbro del campo real. Hacendo esto y reordenando térmnos obtenemos la ecuacón ntegral (5.5)., como queríamos demostrar. Demostraremos ahora que el cumplmento de la ecuacón ntegral (5.5) en las condcones establecdas en el enuncado, es tambén condcón sufcente para que el campo de tensones "real" cumpla las ecuacones de equlbro. Es decr, ahora tomamos como punto de partda el que la ecuacón ntegral se satsface, y deseamos obtener a partr de ella las ecuacones de equlbro. Comenzaremos manpulando la prmera ntegral de (5.5):
5.1 ECUCIONES Y TEOREMS = (por (5.5)) = X d X S ds j, j S j j σ ε d = σ d = ( σ ), d σ d = σ n d σ d = j j j, j j j j, j S j j j, j grupando térmnos tenemos: (X σ ) d (X σ n ) ds = 0 El que la gualdad anteror se satsfcera para un sólo campo partcular de desplazamentos vrtuales, no permtría asegurar nada acerca de sus cofactores en los ntegrandos. Pero s tal como establece el enuncado, el campo vrtual puede ser cualquera que podamos magnar, entonces los factores que multplcan a en las ntegrales deben ser nulos para que se cumpla en todo caso la gualdad a cero (esto se admte por prncpo). Los factores de en los ntegrandos gualados a cero son precsamente las ecuacones de equlbro, como queríamos demostrar: X σj, j = 0 ; X σjn j = 0 Cabe hacer algunas observacones acerca del Prncpo de los desplazamentos rtuales. La prmera es que el cumplmento de la ecuacón ntegral (5.5) no garantza absolutamente nada acerca del campo de desplazamentos "real" u (asocado a σ j ), que como se apreca, n squera aparece. Los métodos de resolucón basados en el PD deben en algún momento asegurar la contnudad, unvaluacón, etc, del campo de desplazamentos ("real"). Por ejemplo, los métodos matrcales de cálculo de estructuras mponen la gualdad de desplazamentos y gros (cuando proceda) en las unones de las barras, y el método de los elementos fntos obva el problema utlzando los desplazamentos como varables báscas, y realzando una aproxmacón de los msmos que tene desde el prncpo las propedades requerdas. Este método será presentado en un capítulo posteror. La segunda observacón es que el PD es váldo sea cual sea la ley de comportamento, ya que no se usó nnguna en su formulacón. Lo anteror ncluye tanto leyes no lneales como comportamento plástco. No abordaremos la consderacón del tempo como varable y de los efectos de nerca en el contexto de los teoremas ntegrales. Una tercera observacón está relaconada con el hecho de que los térmnos de la ecuacón ntegral (5.5) tenen dmensones de trabajo. De hecho, cada térmno representa el trabajo que realzaría la fuerza o tensón correspondente, permanecendo constante, s se produjera el desplazamento vrtual. Se suele denomnar al membro zquerdo "trabajo vrtual nterno", y al membro derecho "trabajo vrtual exteror", lo que asgna a la ecuacón ntegral el sgnfcado de "trabajo nterno gual a trabajo exteror". La cuarta y últma observacón es que el uso práctco del PD se centra sobre todo en el uso de la ecuacón (5.5) como "una ecuacón que debe cumplrse" (es decr, como condcón necesara), y que es posble plantear tantas veces como necestemos, con dstntos estados vrtuales, para obtener tantas ecuacones como queramos nvolucrando a los parámetros de nuestro problema. 5.5.- Planteamento ntegral de las ecuacones de compatbldad: Prncpo de las Fuerzas vrtuales (PF).
ECUCIONES Y TEOREMS 5.13 Se trata de un enuncado dual del anteror. Es tambén la base de una famla de métodos de resolucón de problemas elástcos, llamados "métodos de compatbldad". Estos métodos tenen en general la desventaja de ser poco apropados para ser sstematzados e mplementados en ordenador. Cuando se deben efectuar cálculos manualmente, es en ocasones ventajoso utlzar métodos de esta famla en lugar de métodos de equlbro. Sea ε j un campo de deformacones cualquera en un sóldo, que llamaremos "campo real" de deformacones. Sea σ j un campo cualquera de tensones, que llamaremos "campo vrtual" de tensones, y que está en equlbro con las fuerzas "vrtuales" de volumen y de contorno. Es decr: σ σ j, j X = 0, X = jnj Nótese que no se requere que el campo vrtual guarde nnguna relacón partcular con el campo real. ajo estas condcones, el enuncado del PF es el sguente: El cumplmento para cualquer campo vrtual σ j de la ecuacón ntegral sguente: c j j σ ε d = X u d X u S ds (5.6) Es condcón necesara y sufcente para que el campo real de deformacones ε j satsfaga la ecuacón de compatbldad con u (ε j = ( u, j u j, ) / en ), y que los desplazamentos en el contorno tengan el valor u c (u =u c.en S). Por analogía con las ecuacones de equlbro, llamaremos ecuacón de compatbldad en el domno y ecuacón de compatbldad en el contorno a cada una de las dos últmas relacones entre paréntess del enuncado, respectvamente. En general, un sóldo tendrá prescrtos los desplazamentos en una parte del contorno S y en otra no, pero ello no es de nterés ahora: u c son los desplazamentos del campo real en todo el contorno S (s el enuncado del PF es certo; como demostraremos, lo es), de la msma manera que en el PD era X la tensón en el contorno, estuvese ésta prescrta o no en un punto partcular del msmo. Demostraremos en prmer lugar que el cumplmento de la ecuacón ntegral es una condcón necesara para que se satsfagan las ecuacones de compatbldad. Partmos por tanto de que las msmas se satsfacen, y llegaremos a obtener la ecuacón (5.6). Multplcando la ecuacón de compatbldad en el domno por el campo vrtual de tensones e ntegrando en el sóldo, tenemos: 1 ε σ d = (u u ) σ d = u σ d = (u σ ), d u σ d j j, j j, j, j j j j j, j En donde se ha hecho uso de que el tensor de tensones es smétrco junto con que es ndferente el símbolo utlzado para un subíndce mudo (segunda gualdad), y se ha realzado una ntegracón por partes (tercera gualdad). La prmera ntegral del últmo
5.14 ECUCIONES Y TEOREMS membro puede pasarse al contorno medante el teorema de la dvergenca, y una vez hecho esto puede hacerse la susttucón de u por u c, ya que en este sentdo de la demostracón se asume que u = u c en S. Fnalmente podemos utlzar las ecuacones de equlbro del campo vrtual en el domno y el contorno, que se satsfacen en todo caso, para que aparezcan las cargas vrtuales en lugar de las tensones: c c c εjσ j = σj j σ j, j = σj j σ j, j = S S S d u n ds u d u n ds u d u X ds u X d El prmer y últmo membros de la gualdad anteror reproducen la ecuacón (5.6), como queríamos demostrar. hora demostraremos que el cumplmento de la ecuacón ntegral (5.6) es tambén una condcón sufcente para que el campo "real" de deformacones y desplazamentos cumpla las ecuacones de compatbldad en el domno y en el contorno. Partmos pues de la ecuacón ntegral, y queremos obtener a partr de ella las ecuacones de compatbldad. Comenzamos manpulando la ntegral de volumen del segundo membro de (5.6): u, j u j, X ud = σ j, jud = ( σ ju ), j d σ ju, jd = σ S jun jds σ j d Las manpulacones anterores son formalmente análogas a las realzadas en el epígrafe anteror. Como en este sentdo de la demostracón se asume que se cumple (5.6), lo anteror debe ser gual a: c j j d S = σ ε X u ds grupando térmnos de la últma gualdad, tenemos: c j j, j j, S σ ε (u u ) / d X (u u )ds = 0 Nuevamente, s la gualdad anteror fuese certa sólo para un campo vrtual de tensones, no cabría extraer nnguna conclusón acerca de sus cofactores en los ntegrandos. Pero su cumplmento para cualquer campo vrtual de tensones magnable exge que los cofactores sean nulos, para que la gualdad a cero se asegure en todos los casos: c ε j ( u j u j ) / ; u u,, = 0 = 0 Las anterores son precsamente las relacones que queríamos obtener. Por tanto, el cumplmento de la ecuacón ntegral (5.6) para todo campo vrtual posble de tensones es tambén condcón sufcente para que las deformacones ε j sean las que corresponden a los desplazamentos u, y para que el valor de estos desplazamentos en S sea u c.
ECUCIONES Y TEOREMS 5.15 Cabe tambén hacer algunas observacones acerca del Prncpo de las Fuerzas rtuales, que serán en gran parte paralelas a las realzadas acerca del PD. La prmera es que el cumplmento de la ecuacón ntegral (5.6) no garantza absolutamente nada acerca del campo de tensones "real" σ j (asocado a u ), que como se apreca, n squera aparece en (5.6). Los métodos de resolucón basados en el PF deben en algún momento mponer el equlbro. La segunda observacón es que el PF es tambén váldo para cualquer ley de comportamento. Como tercera observacón apuntaremos tambén que los térmnos de la ecuacón ntegral (5.6) tenen dmensones de trabajo, denomnándose al membro zquerdo trabajo nterno de las tensones vrtuales, y al membro derecho trabajo externo de las cargas vrtuales. La cuarta y últma observacón es que la forma más frecuente del uso del PF es el de la ecuacón (5.6) como condcón necesara, planteándola para algún o algunos estados vrtuales partculares. Fnalmente apuntaremos que cuando el únco objetvo es utlzar las ecuacones (5.5) o (5.6) como "ecuacones que deben cumplrse" (como condcones necesaras), es frecuente prescndr de las dferencas conceptuales entre ellas, consderando un campo de tensones y fuerzas en equlbro, pertenecentes a un estado "1", y un campo de deformacones y desplazamentos compatbles, pertenecentes a otro estado "" del sóldo. De esta manera, tanto (5.5) como (5.6) se escrben: 1 1 1 c σjε j = S d X u d X u ds Donde los superíndces 1 y referen a los menconados estados dstntos del sóldo, sendo crcunstancal la consderacón de uno de ellos como estado vrtual. La ecuacón ntegral anteror es una condcón necesara para que el conjunto de magntudes (tpo fuerza) del estado 1 que aparecen cumplan las ecuacones de equlbro, junto con que las magntudes (tpo deformacón) del estado que aparecen cumplan las condcones de compatbldad. Se conoce como Prncpo de los Trabajos rtuales (PT) al enuncado de esta condcón necesara, refundda del PD y del PF. 5.6.- Teoremas de Recprocdad de ett. Los teoremas de recprocdad que estudaremos a contnuacón permten dar respuesta a algunas posbles cuestones sn necesdad de resolver completamente un problema elástco. En este aspecto, su utldad es más patente en el cálculo de magntudes defndas como promedos (u otro tpo de expresones ntegrales) de las tensones o desplazamentos. Estos teoremas serán tambén la herramenta básca que utlzaremos para calcular "coefcentes de nfluenca" en un epígrafe posteror. demás, el segundo teorema de recprocdad puede consderarse como la base del Método de los Elementos de Contorno (MEC) en elastcdad. Se trata de un moderno método de cálculo que presenta certas ventajas sobre el Método de los Elementos Fntos en algunas aplcacones, s ben sus posbldades están aún bajo estudo.
5.16 ECUCIONES Y TEOREMS Prmer Teorema de Recprocdad. Consdérese un campo cualquera de tensones y deformacones "vrtuales" σ j, ε j, que verfquen la ley de Hooke: σ j = C jkl ε kl. El cumplmento de la ecuacón ntegral sguente para cualquer campo de magntudes vrtuales: σ ε d = σ ε d j j j j (5.7) Es condcón necesara y sufcente para que las tensones y deformacones reales σ j, ε j, satsfagan la ley de Hooke con las msmas constantes, es decr: σ j = C jkl ε kl Demostraremos en prmer lugar que la expresón ntegral es una condcón necesara para que el campo real cumpla la ley de Hooke, con las msmas constantes elástcas que el vrtual. Partmos pues de que se cumple σ j = C jkl ε kl. Multplcando por el campo vrtual de deformacones e ntegrando, tenemos: σ ε d = C ε ε d = (C = C ) = C ε ε d j j jkl kl j jkl klj klj j kl Como las magntudes vrtuales satsfacen en todo caso la ley de Hooke, será: kl kld j j = σ ε = σ ε d Como queríamos demostrar. La demostracón de que el cumplmento de (5.7) es condcón sufcente para que el campo real satsfaga la ley de Hooke se realza tambén sn dfcultad. Partmos del cumplmento de la ecuacón (5.7) y manpulamos el membro zquerdo: σ ε d = ε C ε d = (C = C ) = ε C ε d = ε C ε d j j j jkl kl jkl klj j klj kl kl jkl j En la últma gualdad se ha ntercambado la pareja se subíndces mudos "j" con la "kl" (es ndferente el símbolo empleado como subíndce mudo). Esta últma ntegral debe ser, en vrtud de (5.7): C ε ε d = σ ε d jkl kl j j j La únca manera de asegurar que se cumpla lo anteror para cualquer campo vrtual magnable de deformacones ε j, es que los factores que le multplcan en los ntegrandos sean guales: C jkl ε kl = σ j Que es la gualdad que queríamos demostrar.
ECUCIONES Y TEOREMS 5.17 Segundo Teorema de Recprocdad. Consdérese un campo "real" cualquera de magntudes elástcas (tensones, deformacones y desplazamentos), y otro campo "vrtual", cada uno satsfacendo las ecuacones de compatbldad, comportamento y equlbro: compatb. C jkl equlbro ε σ X, X j j compatb. C jkl equlbro u ε σ X, X j j En estas condcones se cumple la sguente ecuacón ntegral: c X u d X u ds X d X = S S ds (5.8) La demostracón de lo anteror se realza sn dfcultad tenendo en cuenta en prmer lugar que por cumplr el campo real las ecuacones de equlbro, y cumplr el campo vrtual la ecuacón de compatbldad en el domno, se cumplrá la ecuacón ntegral del PD (5.5). Nótese que, al gual que en el PD, la "compatbldad en el contorno" de los desplazamentos vrtuales con unas certas funcones c, no se ncluye como premsa por no ser habtualmente de nterés. En segundo lugar, por cumplr el campo real las ecuacones de compatbldad nterna y en el contorno, y cumplr el campo vrtual las ecuacones de equlbro, se cumplrá la ecuacón del PF (5.6). Reproducmos por comoddad estas ecuacones: c j jd X ud X σ ε = u S ds j j σ ε = S d X d X ds Por otra parte, por estar relaconadas las tensones y deformacones del campo real medante la ley de Hooke con las msmas constantes elástcas que lo están las tensones y deformacones vrtuales, se satsface la ecuacón (5.7) del Prmer Teorema de Recprocdad. Observamos que esto mplca precsamente la gualdad entre los membros zquerdos de las ecuacones anterores del PD y PF. Por lo tanto, los membros derechos serán a su vez guales entre sí, lo que consttuye la ecuacón (5.8) que queríamos demostrar. unque el enuncado propuesto ha quedado demostrado, establecendo que el cumplmento de la ecuacón ntegral (5.8) es condcón necesara para que el campo real satsfaga las ecuacones báscas de la Elastcdad, el lector se preguntará acerca de la posbldad de que la ecuacón ntegral sea tambén condcón sufcente, en analogía con las ecuacones ntegrales de epígrafes precedentes. este respecto, debemos aprecar que en la ecuacón (5.8) no aparecen n las tensones n las deformacones reales, por lo que no cabe plantear que dcha ecuacón pudera ser condcón sufcente por sí msma de nngún enuncado que afectase a estas varables.
5.18 ECUCIONES Y TEOREMS No obstante, s se unen algunas hpótess adconales al cumplmento de la propa ecuacón (5.8), el conjunto resulta sufcente para que se satsfagan algunas otras relacones. Por ejemplo, s el campo vrtual satsface todas las ecuacones de la elastcdad (lo que suponemos en todo caso), podemos demostrar el sguente enuncado: S se satsface la ecuacón ntegral (5.8) para todo campo vrtual, y ε j es el campo de deformacones asocado a u medante las ecuacones de compatbldad nterna, y además es σ j el campo de tensones asocado a ε j medante la ley de Hooke (con las msmas constantes elástcas que el campo vrtual), entonces el campo real satsface la ecuacón de compatbldad en el contorno, y las de equlbro nterno y en el contorno. En forma más compacta, el enuncado anteror puede expresarse como: c X u d X u ds X d X ds = S S ε = (u u ) / ; σ = C ε j, j j, j jkl kl c u = u ; X = σ n en S j j σ X = 0 j, j en Para demostrar lo anteror comenzamos por manpular la prmera de las ntegrales: X u d = σ u d = ( σ u ), d σ u d = σ u n ds σ ε d = j, j j j j, j S j j j j er a (1 T Recpr.) X uds j jd X u S S ds j, jd = σ ε = σ = S S j j j, j = X u ds σ n ds σ d Nótese que en la manpulacón anteror se ha hecho uso de las dos hpótess adconales: compatbldad del campo real (3ª gualdad), y ley de Hooke en el campo real (prmer teorema de recprocdad). Llevando esto a la expresón ntegral y agrupando térmnos, resulta: c S S j j j, j (u u )X ds ( σ n X ) ds ( σ X ) d = 0 Para asegurar que lo anteror se satsfaga para cualquer campo vrtual magnable de magntudes, deben ser cero los factores que multplcan a las magntudes vrtuales en los ntegrandos, es decr: c u u = 0 en S ; σjn j X = 0 en S ; σ j, j X = 0 en Las tres ecuacones anterores reproducen la ecuacón de compatbldad en el contorno, y las ecuacones de equlbro en el contorno y en el domno, respectvamente, como queríamos demostrar. Por lo tanto, con las condcones adconales que se han especfcado, la ecuacón ntegral (5.8) es tambén condcón sufcente para que el campo real esté en equlbro, y además se satsfaga la ecuacón de compatbldad en el contorno.
ECUCIONES Y TEOREMS 5.19 Como nota fnal nsstremos en que la dfcultad de establecer la sufcenca de la ecuacón ntegral (5.8) estrba en que en la msma no aparecen n ε j n σ j. Estos sólo pueden ntroducrse a partr de u s se asume que ε j =(u,j u j, )/, como se ha mostrado, o a partr de las fuerzas de volumen y de contorno s se asume el equlbro del campo real. Esto últmo tene menor nterés teórco, por lo que se omte la demostracón correspondente. De todas formas el nterés práctco se centra en la utlzacón de la expresón ntegral (5.8) como condcón necesara, para uno o varos estados vrtuales concretos, tal como ocurre con las demás expresones ntegrales. 5.7.- Teorema de la mínma energía potencal. Las formulacones varaconales son una técnca matemátca potente que tene el atractvo de permtr un tratamento formal unfcado (hasta certo punto) de los problemas físcos, ponendo de releve analogías entre las magntudes de dversas dscplnas. Para utlzar este tpo de enfoque debe encontrarse una magntud escalar que tome dstntos valores para las dstntas solucones que podamos ensayar, pero que alcance un mínmo para la solucón verdadera. S ello es posble, entonces la resolucón del problema se reduce al de encontrar un valor mínmo. Demostraremos que en elastcdad exste una magntud con estas característcas, que llamaremos energía potencal. Consderemos un sóldo en equlbro bajo las accones X, X, de volumen y de contorno respectvamente, y cuyo campo de desplazamentos es u. Consderemos un campo de desplazamentos lgeramente modfcado, u δu, donde δu es una pequeña varacón vrtual. El trabajo de las accones durante el pequeño desplazamento vrtual será: Xδ u d S δ X u ds Esta suma de dos ntegrales reproduce el membro derecho de la expresón (5.5) del PD, sendo ahora δu el campo vrtual de desplazamentos. El campo de tensones del sóldo en equlbro, σ j, cumplrá las ecuacones de equlbro con las fuerzas de volumen y de contorno. Por ello, la expresón (5.5) del PD debe satsfacerse. Llamando δε j a las deformacones asocadas a δu, tenemos: X δ u d X δ u ds = σ δε d S j j La ecuacón anteror es una forma de expresar el PD sn nnguna hpótess adconal, y por tanto es válda para cualquer ley de comportamento. Ponendo el tensor de tensones en funcón de la densdad de energía de deformacón, y aplcando a la varacón vrtual las propedades usuales de los dferencales, la últma ntegral puede escrbrse como:
5.0 ECUCIONES Y TEOREMS Por lo tanto: W σ δε d = δε d = δ Wd = δ Wd j j j ε j δ Wd Xδud Xδ uds = 0 S (5.9) La anteror es una forma del PD válda sólo cuando exste la densdad de energía de deformacón, y por tanto requere que el sóldo tenga comportamento elástco, ya sea lneal o no lneal. amos a partcularzar esta expresón para el caso en que las fuerzas actuantes sean conservatvas, lo que es frecuente en los problemas de mecánca de sóldos. Por defncón, una fuerza es conservatva s su valor puede obtenerse como la dervada respecto a los desplazamentos de una certa funcón potencal. Ejemplos de este tpo de fuerzas son las gravtatoras, y las fuerzas de contorno aplcadas por contacto o traccón drecta. Una excepcón notable son las fuerzas de tpo aerodnámco que un fludo en movmento puede ejercer sobre un sóldo. Sean ξ y ξ los potencales de los que dervan respectvamente las fuerzas de volumen y de contorno de nuestro problema. Por ejemplo, en el caso sencllo de un resorte de rgdez K, hay que producr un alargamento x para que la fuerza sobre el resorte sea F=Kx. La funcón potencal en este caso sería ξ =-Kx /, ya que F=- ξ/ x. Con nuestras funcones potencales tendremos, por su defncón: ξ ξ X = ; X = u u Con lo que las dos últmas ntegrales de (5.7) quedan: ξ ξ X δu d X δ u ds = δ u d δ u ds = δ ξ d ξds S u S S u Lo que permte escrbr (5.9) como:
ECUCIONES Y TEOREMS 5.1 S δ (W ξ )d ξ ds = δ = 0 (5.10) En donde se ha defndo la "energía potencal total" del sstema como la expresón entre corchetes del prmer membro. Esta expresón encerra el enuncado del teorema objeto de este epígrafe: En la poscón de equlbro, la energía potencal total tene un valor extremo (máxmo o mínmo). Puede demostrarse que sendo la densdad de energía de deformacón una funcón defnda postva, el extremo aluddo es un mínmo. Omtmos aquí esta demostracón. Fnalmente, nótese que el campo de desplazamentos que ncluye la varacón vrtual, u δu, puede ser absolutamente general. No obstante en la práctca suele restrngrse esta generaldad, hacendo que este campo satsfaga las condcones de contorno en desplazamentos (es decr, se mpone δu = 0 en las zonas de desplazamento prescrto). La ventaja práctca que se persgue con ello es exclur de la evaluacón de la ntegral de contorno de (5.9), o su homóloga de (5.10), las zonas en donde la tensón de contorno es desconocda a pror. 5.8.- Prncpo de Sant-enant. Presentaremos ahora un prncpo cuya justfcacón es totalmente expermental, aunque sea posble dar argumentos físcos en su favor. demás, este prncpo no es aplcable en certas stuacones. Ello hace que pueda resultar sorprendente encontrar su enuncado en el contexto del modelo matemátco de la Teoría de la Elastcdad, cuya robustez es notora. No obstante, se trata de un prncpo muy útl para consegur solucones de sufcente exacttud desde el punto de vsta de las aplcacones práctcas. La exposcón sguente no se ajusta exactamente a la forma presentada por Sant- enant en 1855, sno que ncde en la conclusón de mayor aplcabldad práctca. Sea S una pequeña porcón del contorno S de un sóldo, como ndca la fgura 5.3. El prncpo de Sant-enant establece que a dstancas grandes, -comparadas con las dmensones de S-, la solucón elástca (desplazamentos, tensones, etc.) dferrá muy poco s se susttuyen las cargas que actúan sobre S por otro sstema de cargas dstnto, pero estátcamente equvalente (de gual resultante e gual momento resultante). Por ejemplo, en el punto P de la fgura, esperamos smlares movmentos y tensones cuando actúa el sstema de cargas a) sobre la porcón S del contorno, que cuando actúa el sstema b), que es estátcamente equvalente. mbos sstemas de cargas constan de la superposcón de una dstrbucón de tensones de resultante F mas otra dstrbucón de resultante nula y momento M.
5. ECUCIONES Y TEOREMS a) b) S S M M F F P S M F Fgura 5.3.- ccones estátcamente equvalentes sobre una pequeña superfce. pesar de que la ntucón físca pudera parecer sufcente para justfcar este prncpo, hay ocasones en que el msmo no es de aplcacón. Desafortunadamente hay que nvocar a la experenca preva s se pretende juzgar de antemano cuándo puede aplcarse razonablemente y cuando no. Una excepcón notable es la torsón con alabeo restrngdo de barras de perfl de pared delgada, que se estuda habtualmente en el contexto de la Resstenca de Materales. Pueden encontrarse algunas excepcones más en algunas estructuras partculares de barras con nudos artculados, como la de la fgura 5.4. En efecto, s contemplamos la estructura en su conjunto, la zona en la que actúa el sstema autoequlbrado de cargas (p/, -p, p/) es una pequeña zona del contorno de la msma, por lo que cabría esperar que a grandes dstancas (zona derecha de la estructura) los esfuerzos en las barras fuesen próxmos a cero. Sn embargo, puede comprobarse (equlbrando sucesvamente los nudos), que tanto las barras próxmas a la zona de aplcacón de las cargas como las más lejanas soportan esfuerzos de déntca magntud. p/ p p/ Fgura 5.4.- Una excepcón respecto del Prncpo de Sant-enant. 5.9.- lgunas notas acerca de las condcones de contorno. Independentemente del enfoque o de las ecuacones que se empleen para resolver un problema, sempre deben mponerse las condcones de contorno del msmo durante la resolucón. Como es evdente, una defcente mposcón de las condcones de contorno hará nútl el esfuerzo posteror de resolucón, ya que en el mejor de los casos se estará resolvendo un problema dstnto del planteado ncalmente. Segudamente revsaremos algunos tpos báscos de condcones de contorno. En problemas elástcos que afectan a un solo sóldo, debe tenerse presente como regla básca que en cada punto del contorno, s está restrngdo el movmento según una dreccón del espaco, la componente del vector tensón según esa dreccón debe ser ncógnta. nálogamente, s es conocda una componente de tensón, la correspondente componente de desplazamento debe ser ncógnta. Esta senclla regla nos asegura el
ECUCIONES Y TEOREMS 5.3 correcto planteamento de nuestro problema, en el sentdo de que cumpla las condcones del teorema de uncdad de Krchoff. Todas condcones de contorno representadas esquemátcamente en la fgura 5.5 son posbldades váldas. Exsten otras posbldades váldas, como por ejemplo la mposcón de un valor no nulo de desplazamento en lugar del valor nulo representado en las condcones de apoyo. Desplazamento prescrto sóldo Prescrta una componente de desplaz. y otra de tensón. sóldo Tensón prescrta sóldo En un punto ("apoyo fjo") En un punto ("apoyo móvl") ("fuerza puntual") sóldo sóldo sóldo En una regón de S En una regón de S X prescrto Fgura 5.5.- lgunas posbldades váldas de condcones de contorno. Se entende como "fuerza puntual" al límte de una dstrbucón de tensones X usual (tambén de una fuerza de volumen X ), cuyos valores son arbtraramente grandes, pero que actúa sobre una porcón arbtraramente pequeña del contorno, de tal manera que la fuerza resultante (ntegral del vector tensón o de la fuerza de volumen) tene el valor vectoral de la fuerza concentrada especfcada. sí, s se da una fuerza puntual de componentes F sobre un punto P del contorno, debemos entender que se trata de una dstrbucón muy ntensa de tensones X, que actúa sobre una porcón muy pequeña εs(p) del contorno, en torno al punto P dado, de manera que se cumple: XdS = F ε S( P) La nterpretacón anteror debera ser tenda en cuenta cada vez que se neceste tratar una fuerza puntual, por ejemplo en el contexto de los teoremas ntegrales presentados en este capítulo. En todo caso, s una componente de fuerza es conocda, la componente del desplazamento en ese punto debe ser ncógnta, y vceversa (caso de un apoyo). Una fuerza concentrada nteror al sóldo se nterpreta análogamente, como una dstrbucón de fuerzas de volumen X muy ntensa que actúa sobre un volumen muy pequeño. El trabajo vrtual de una fuerza concentrada es gual al producto escalar de la fuerza por el desplazamento vrtual de su punto de aplcacón. Un momento concentrado admte una nterpretacón smlar, con salvedades que analzaremos detendamente a contnuacón. El trabajo de un momento. l gual que una fuerza concentrada, un momento concentrado es una abstraccón matemátca que físcamente se nterpreta como una dstrbucón de fuerzas de volumen